（基础数学专业论文）脉冲微分方程关于部分变元的稳定性.pdf

摘要 本论文由三章组成，主要讨论了下列脉冲微分方程关于部分变元 的稳定性： f 害州) “觎( 菇)( i ) 【3 x = ( 菇) ，t = r & ( z ) ，k = 1 ，2 ， r 也，、 面。八“x ，舢( ) t a x = 厶( 菇) ，t = ，k = 1 ，2 ， 第一章，我们介绍了微分方程及脉冲微分方程关于部分变元稳定 性的研究情况，给出了与本论文有关的定义。 第二章，我们建立了脉冲微分方程( 工) 关于部分变元的稳定性的 几个充分条件，改进和推广了现有文献中的一些已知结果。 第三章，我们讨论了具有固定脉冲时刻的脉冲微分方程( ) 的稳 定性和不稳定性。 a b s t r a e t t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s w em a l n i yd i s c u s st h es t a b i l i t y w i t hr e s p e c tt op a r to ft h ev a r i a b l e si nt h ef o l l o w i n gi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a d o n s ： 詈= m ，省) ，t “( 引( i ) l 并= i k ( 并) ，t = r i ( 石) ，k = 1 ，2 ， f 害= 如，茹) ，t 舢( ) l , s x = i k ( 菇) ，t = t k ，k = 1 ，2 ， i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h es t u d i e sa b o u tt h es t a b i l i t yw i t hr e s p e c t t o p a r to ft h ev a r i a b l e si no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n di m p u l s i v ee q u a t i o n ， t h e nw es a v es o m ed e f i n a t i o n sr e l a t i v et ot h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ef o u n df o rs t a b i l i t yw i t hr e s p e c tt o d a r to ft h ev a r i a b l e si ne q u a t i o n ( i ) i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h es t a b i l i t ya n dt r u s t a b i l i t yw i t hr e s p e c tt op a r t 0 ft h ev a r i a b l e si ne q u a t i o n ( ) 一2 一 第一章预备知识 1 1 引言 十九世纪末，俄国数学家李雅普诺夫首创运动稳定性的一般理论。 一个世纪以来，随着控制系统、电力系统、生态系统等实际系统中稳定 性问题的不断提出以及常微分方程中的李雅普诺夫稳定性理论在差分 方程、微分差分方程、微分积分方程、泛函微分方程、偏微分方程等上的 推广，稳定性理论得到了不断的完善和发展，成为数学中充满着生命力 的重要分支。 早在1 8 9 3 年，李雅普诺夫论述省。= 茹2 = = 并。对全体变元的稳 定性时写了一个注记：“可以研究更一般的问题：这一运动的稳定性不 是对所有变元，而仅是对其中某些变量，例如对茹卜搿：、茗。( m , ) 而言。”1 4 r 马尔金科在1 9 3 8 年指出，李雅普诺夫关于稳定、渐近稳定及 第一不稳定性定理中的加在v 函数上的条件做适当修改，便可得到关 于部分变元稳定性的相应定理，但未加证明。 对于部分变元的李雅普诺夫稳定性给出了严格的数学论证的是 p y m y l l w _ 3 。他于1 9 5 7 年，引进函数关于部分变元定号、有无穷小上 界、无穷大下界等定义，并且证明了第一批关于部分变元的稳定性判别 定理。此后，关于部分变元稳定性的研究成果大量涌现，综述性的结果 可参阅文献( 2 3 、 2 4 3 。 二十世纪六十年代，人们通过对自动控制理论、生物学、电子学等 领域中出现的大量的脉冲现象的研究发现，带有脉冲的常微分方程较 不带脉冲的常微分方程更能客观地反映实际，于是人们开始关注脉冲 微分方程的解的各种性质的研究，特别是解的稳定性的研究。八十年 代以来，人们不仅对脉冲微分方程的解的稳定性作了深入细致的研究， 一3 一 而且对线性脉冲差分方程、脉) 中微分积分方程、脉冲时滞微分方程、脉 冲中立型时滞微分方程及一般性的脉冲泛函微分方程的解的稳定性都 作了卓有成效的研究( 见文献 3 一 2 2 ) 。这些工作无疑都大大地丰 富和发展了脉冲微分方程稳定性理论。 本文主要研究脉冲微分方程的解关于部分变元的稳定性，目前这 一方面的研究结果不是很多，仅见 1 、 2 。至于脉冲时滞微分方程、 脉冲中立型时滞微分方程、脉冲泛函微分方程等的解关于部分部分变 元的稳定性，还有待人们作进一步的研究。 1 2 基本概念 考虑脉冲微分方程 睁“t ，x ) t “x )( 工) 【x = l k ( x ) ，t = n ( x ) ，k = 1 ，2 ， 其中f ：r + x q r n ；t k ：q ，r ；i k ：q + r 8 ，n 是n 维欧基里德空间的 一个子集。 恒设( 工) 的解是左连续的，即在t k 时刻，积分凿线遇到超平面s k ：t = 取( x ) ，( 0 r 1 ( x ) 吃( x ) ) 时，下列条件满足 x ( t f ) = x ( t k 一0 ) = x ( t k ) x ( t k + ) = x ( t k + 0 ) = x ( t k ) + 2 x x ( t k ) = x ( t k ) + i k ( x ( t k ) ) 若x = ( x 1 ，x m ，x 。+ l ，】【l ，) r n ，y = ( x 1 ，x m ) r “，z = ( x 。+ 1 i x 。) e r l ，m + l = n ，则记x = ( y ，z ) 。 若t o e r + ，x o e q ，定义x ( t ；t o ，x o ) = ( y ( t ；t o ，x o ) ，z ( t ；t o ，x o ) ) 为( 工) 的解，且有x ( t o + ；t o ，j ( 0 ) = x o 。 令r + ( t o ，x o ) 表示( 工) 的解在其上右连续且具有形式( t o ，t ) 的最大 区间。 设向量u = ( u l ，u 2 ，u k ) r k ，v = ( v l v 2 ，h ) r 则iu l = ( u 2 + 正+ u 2 k ，1 z ，( u ，v ) ：u l v l + + u k v k 。 设q = b 嚣r l ，b 嚣= y e r 。：l y l h ，h 为常数。 下面定义条件( a ) 、( b ) 、( c ) 。 若下列条件满足，则称条件( a ) 成立。 a 1 f ( t ，x ) 在r + q 上连续，且对x 满足李普希兹条件 i f ( t ，x 1 ) 一f ( t ，x 2 ) l l i x l x 2 l ，t r + ，x 1 ，x 2 e q ，l 为常数； a 2 f ( t ，0 ) = 0 ，t e r + ； a 3 i k ( x ) 在q 上连续且i k ( 0 ) = o ，k = 1 ，2 ，； a 4 存在一个数p ( o 弘 h ) ，使得当x e b ： r 1 时，有x + i k ( x ) b 嚣r 1 ，k = 1 ，2 ，； a 5 c k ( x ) 在q 上连续，且0 r 1 ( x ) 也( x ) 0 ，对vr o e q ，当ix o i 0 ，对vx o e q ，lx o i 0 ，使得t o + t ef + ( t o ，x o ) ，当v t ， t o + t ，t r + ( t o ，x o ) 时，有i y ( t ；t o ，x o ) i 0 ，存在t o e r + ，对v 8 0 ，存在x o q ，ix o l 8 ， 且存在t i 、+ ( t o ，x o ) ，使得i y ( t ；t o ，x o ) i e 成立。 设可( x ) = o ，q = ( t ，x ) r + 1 2 ：r k 一1 ( x ) 0 ，使得 呱i v ( g ，x ) l m i i l ( a ( e ) ，a ( 弘) ) 没x o e q ，i x o 8 ，x ( t ) = ( t ；t o ，x 0 ) 是( i ) 的一个解，由于v ( t ，x ( t ) ) 在 区间f + ( t o ，x o ) 上不增，由( 1 ) 式可得 a ( iy ( t ；t o ，x o ) i ) v ( t ，x ( t ) ) v ( 讨，x o ) 0 ，取艿( ) b _ 1 ( r a i n ( a ( e ) ，a ( _ u ) ) 不 一r 一 依赖于t o ，当i x o i 8 时，有 a ( 1 y ( t ；t o ，x o ) i ) v ( t ，x ) v ( t d + ，x o ) b ( 1x 0 1 ) b ( 8 ) 0 ，使得 s 暇iv ( t o * ，x ) i l n i i l ( a ( ) ，a ( 弘) ) 设x o e q ，i x o i 8 ，x ( t ) = x ( t ；x 0 ，t o ) 是( 工) 的解，由b ) 知v ( t ，x ( t ) ) 在区间i 、+ ( t o ，x 0 ) 上不增，则有 0 ( t ) a ( iy ( t ；t o ，x o ) 1 ) v ( t ，x ( t ) ) v ( 讨，x o ) m i i l ( a ( ) ，a ( 弘) ) 即a ( 1 y ( t ；t o ，x o ) i ) 南血( a ( ) ，a ( p ) ) 南曲 ( a ( ) ，a ( 弘) ) = 心( a ( ) ，a ( 弘) ) 因而 i y ( t ；t o ，x o ) l n 血( e ，肛) ，t e r + ( t o ，x o ) 由z _ 连续性和上式知，1 - + ( t o ，x o ) = ( t o ，m ) 故( 工) 的平凡解关于丫稳定 对o a ( i y ( t ，】c 0 ) 1 ) 0 ，使得当lx o i 0 ，使得当lx o i 0 ，存在t ( t o ，x o ，s ) 1 - + ( t o ，x o ) ，当t t o + t ，t ef + ( t o ， x 0 ) 时，v ( t ，x ) a ( ) 从而得a ( i y i ) v ( t ，x ) a ( ) 即l y l et e i 、+ ( t o ，x o ) 由( 工) 的解的z _ 一连续性知，i 、+ ( t o ，x o ) = ( t o ，。) 故( 工) 的平凡解关于y 是吸引的。证毕。 记s ( t ，a ) = x e q ：v ( t + ，x ) a ( a ) ，其中t r + ，a r + ，v e v o ，a k 定理2 4 若存在函数v ( t ，x ) e v l ，a ，b ，c k ，使得 a ( 1 y 1 ) v ( t ，x ) b “乏薪) i ) ，( t ，x ) e r + q ，m k n ( 4 ) v ( t ，x ) 一c “乏x 2 ) ) ，( t ，x ) ，u g k ( 5 ) xt t=l v ( t + ，x 七i kx ) ) v ( t ，x )( t ，x ) s k n ( r + b ：r 1 ) ( 6 ) 则l若0 d 肛，( t o ，x o ) r + s ( t ，a ) ，则当t - - - - 时，j y ( t ； 一1 0 一 t o ，x 0 ) i 一致性收敛于o 2 ( i ) 的解x = 0 关于y 一致渐近稳定。 证明：1 设0 a 弘，由( 4 ) 知 a ( i y i ) v ( t + ，x ) a ( a ) ，即i y i 0 ，可取= 1 ( ) 0 和t = t ( ) o ，使得b ( 1 ) a ( a ) c ( 叼) 下面证明：存在t 1 ( t o ，t o + t ) ，使得v ( t l ，x ( t 1 ) ) a ( ) 若不然，则对每一个t ( t o ，t o + t ) ，有v ( t ，x ( t ) ) a ( e ) 由b ( 1 ) 1 i = l 则有一c ( ( 艺x ；) ) 一c ( t j ) 由( 5 ) 、( 6 ) 知 v ( t o - i - t ，x ( t 0 + t ) ) v ( 讨，x 0 ) 一r + 7 c ( 1 ) d s a ( a ) 一c ( 丁7 ) t 0 与( 4 ) 矛盾 故存在t l ( t o ，t o + t ) ，使得v ( t 1 ，x ( t 1 ) ) a ( e ) 。 由( 5 ) 、( 6 ) 知v ( t ，x ) 不增，故有当t t o + t 时 a ( i y ( t ；t o , x ) i ) v ( t ，x ( t ) ) v ( t l ，x ( t 1 ) ) a ( e ) 即i y ( t ；t o ，x o ) i 0 ，使得b ( a ) a ( a ) ，则有 v ( t + ，x ) b ( i k i ) b ( 8 ) 0 ，对v x o e b m r 1 ，存在t ”( t o ，t o + t ) 使得 i y ( t 。；t o ，x o ) l 0 ，使得8 职i v ( t o + ，x ) l 妇( a ( e ) ，a ( “) ) ，又设x o eq ，lx o i 8 ，x ( t ) = x ( t ；t o ，x o ) 是 ( 工) 的一个解，由( 7 ) 、( 8 ) 知v ( t ，x ( t ) ) 在区间i 、+ ( t o ，x o ) 上不增，则有 a ( iy ( t ；t o ，x o ) i ) v ( t ，x ) v ( 讨，x o ) m i n ( a ( ) ，a ( p ) ) l y ( t ；t o ，x o ) i m i n ( z ，p ) = 三t e l - + ( t o ，x o ) 由( 工) 的解的z 连续性知，f + ( t o ，x o ) = ( t o ，* ) ，即有 i y ( t ；t o ，x o ) i i l l i n ( e ，弘) t o 。 设x ( t o ) = 腿l v ( g ，x ) i ，t ( t o ，) = x ( , o ) b g ) 若iy ( t ；t o ，x o ) i h ，当t e t o ，t o + t 时 由v 一b ( i y l ) 得 0 v ) ，i = 1 ，2 ，p 。 定义3 1 1 函数中：g r p ，若当u v 时有i f i ( u ) j ( v ) 且当u v 时有中( u ) 中( v ) ，则称f i 在g 上是单调增加的。 定义3 1 2 函数g 称为在r + g 上拟单调增加的，若对( t ，u ) r + g ，( t ，v ) r + g ，无论u i = v i 还是u v 时，g i ( t ，u ) g i ( t ，v ) 都 成立，i = 1 ，2 ，p 。 定义3 1 3 设u + ：( t o ，) 一r p 是( ) 的解且u + ( 讨) = u o ，称u + 为( u i ) 的最大解，若对( ) 的任一其它解u ：( t o ，三) 一r p ，u ( t 。+ ) = u o ， 当t ( t 0 ，) n ( t 0 ，五) 时，有不等式u + ( t ) u ( t ) 成立。 定义3 1 4设u 一：( t o ，) 一r p 是( ) 的解且u 一( 培) = u o ，称u 一 一1 3 为( m ) 的最小解，若对( m ) 的任一其它解u ：( t o ，三) 一r p ，u ( t o + ) = u o ， 当t ( t o ，) n ( t o ，五) 时，不等式1 1 一 o ，存在艿 0 ，若it i t oi 8 ( 若t l t o 8 ) ，ix 1 一x oi 8 ，则t o t t 时，lx ( t ， t l + ，x 1 ) 一x ( t ，t o + ，x o ) l ，其中t o t k ( 其中t o = t k ) 3 2主要结 果 考虑脉冲微分系统( ) 和( i i i ) ，且设( ) 满足条件( a ) 、( b ) 、 ( c ) ，我们有如下结论。 定理3 2 1设下列条件满足 1 存在v ：r + q r p ，v = ( v 1 ，一，v 。) 关于x 满足局部李普希兹 条件，v i v o ，i = 1 ，2 ，p s up l v ( t ，x ) l 丫+ ，g = u r p ：i1 1i 0 ，( a ( e ) 7 ， 0 ，若m a 】ci 矿( 讨，x o ) i 入，则m a 。xd u ( t ；t o ，v ( 讨，x o ) ) 0 ，( 8 m l n ( a ( e ) ，a ( 肚) ) ，使 得当x o r “lx o i 8 时，有0 1 m 蛏v ( 讨，】【0 ) 入 ( 3 ) 由( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 知，对t o r + ，x o r 8 ，lx oi 8 ，t r 1 ，有 a ( 1y ( t ；t o ，x o ) 1 ) 0 ，对v8 。 0 ，存在 w g ，且m a xiw ii t o 和j ( 1 j p ) ，使得u j ( t ；t o ， i l r w ) e 。 下面分t o t k 和t o = t k 两种情形来讨论。 情形1当t t k 时，k = 1 ，2 ， 由定理条件2 知对，v 8 0 ，存在x 0er “，ix oi o ，使得8 ”m a x v 。( t o ，x o ) ，从而存在t o r + 和e 0 ，对v 8 0 ，存 l e r 在w g ，使w t o 和j ( 1 j p ) ，有 u j ( t ”；t o ，w ) b ( e ) ( 7 ) 令x ( t ) = x ( t ；t o ，x o ) ，v ( t ) = v ( t ，x ( t ) ) ，由引理3 2 2 知 v ( t ) u 一( t ；t o ，w ) ，tef lnr 2 ( 8 ) 其中f 1 和r 2 为使u ，v 分别存在且有形式( t o ，t ) 的最大区间。 下证存在一个t f + ( t o ，x o ) ，使得ly ( t ；t o ，x o ) l e 若不然，则对v t f + ( t o ，x o ) ，有ly ( t ；t o ，x o ) i 0 ，对vx o 且ix 0l o ( o 8 1 8 ) ，对v x r n 有lxi 文，使得 ix + i k ( x ) i 0 矛盾 在情形1 中取8 。m i n v 。( t o x o ) ，仿情形l 即可证得 存在t t o ，使得ly ( t ；t o ，x o ) l e 由上可知，xz 0 关于y 不稳定。 定理3 2 3对( i i ) 存在函数v v ，和8 1 k ，使得 1 a ( 1yj ) v ( t ，x )( t ，x ) r + 1 1 ； 2 d + v ( t ，x ) p ( t ) v ( t ，x ) ，( t ，x ) ，u g k ，g k = ( t ，x ) 1 t + f 2 ： t k l 0 ，当ixi 8 1 时，有v ( t ，x ) i 讨一讨i = 0 ( 赴 艿1 ) ， l x 0l = ix o 一0l 8 2 ，使得ix ( t ，讨，x o ) i = ix ( t ；培) 一x ( t ；碚，o ) i 8 1 1 r 一 t o ，当ix oi 逊时，有 a ( iyi ) v ( t ，x ) a ( ；)即iyi ；，t t o ，t 由条件4 得，存在一个入，使得对所有自然数，有 d l d 。e x p ( i “p ( s ) d s ) 0 ，由vev l 得，可找到一个8 3 ( 0 8 3 ；) ，当ix 0i 8 3 时， v ( g ，x o ) 瓦 ( 1 3 ) 取8 = m i n ( 8 2 ，8 3 ) ，则当ix oi 8 时，有lyi ；，t t o , t ，_ e ( 1 2 ) 成立。 下证当lx oi 6 时，有ly ( t ；t o ，x o ) l t o ，i t k , k = 1 ，2 ，使得ly ( t ；t o ，x o ) i t o ( m 1 ，2 ， ) ，使得iy ( t ；t o ，x o ) l ；，te t o ) ，iy ( t 二；t o ，x o ) i ； 情形1 。 若( t o ，i ) 中无脉冲点，由条件2 、4 得 v ( l x ( - ) ) v ( 培，砒x p ( 肛s ) d s ) 而e m 乐) ( 1 4 ) 若 t 0 ，i ) 中有n 个脉冲点，设为t o t l t n i ，则 由条件2 得：- ：黜肌) d s v ( t i ，x ( t 1 ) ) v ( t 8 ，x o ) e x p ( i1 p ( s ) d s ) 。七 由条件3 得v ( t i + ，x ( t i ) ) d l v ( t l ，x ( t 1 ) ) d l v ( 访， x o ) e x p ( i p ( s ) a s ) ， 。k 由：黜肌m 得 v ( t 2 ，x ( t 2 ) ) v ( f f ，x ( t c ) e x p ( 1 、p ( s ) d s ) d l v ( 碚，x o ) e x p ( f 、p ( s ) d s ) e x p ( f 、p ( s ) d s ) = d l v ( 培，x 0 ) e x p ( i 、p ( s ) d s ) b 由归纳法得 v ( t 。，x ( t 。) ) d 1 d n 一1 v ( 讨，x o ) e x p ( i4 p ( s ) d s )( 1 5 ) v ( e ，x ( t ：) ) d l d n v ( 堪，x o ) e x p ( 1 “p ( s ) d s ) ( 1 6 ) 特别地：v ( t n ，x ( t n ) ) d 1 d n l v ( 讨，x o ) e x p ( 1 p ( s ) d s )( 1 7 ) v ( 请，( 谲) ) d 1 - d n v ( 醇，x o ) e x p ( k p ( s ) d s ) ( 1 8 ) 又i ( t n , t n + 1 ，由条件2 、( 1 8 ) 、( 1 2 ) 、( 1 3 ) 得 v ( i ，x ( i ) ) v ( t ，x ( t ) ) e x p ( i p ( s ) d s ) d 。d n v ( 讨，x o ) e x p ( f k p ( 。) d 。) e x p ( rp ( 。) d 。) ：d 。d n e x p ( f ( s ) d 。) v ( 培，x 。) e x p ( f tp ( 。) d s ) 。b ok 而翻e m百五页蕊f “ a ( i )( 1 9 ) 而v ( t ，x ( i ) ) a ( iy ( i ；t 。，】( 0 ) i ) ：a ( ；) 这与( 1 4 ) 或( 1 8 ) 矛盾 情形2 0 类似于情形1 0 可证明 v ( 磕，x ( 磕) ) d 1 d 。v ( 讨, x o ) e x p ( ik p ( s ) d s ) 。k x 丽焉 ) ( 2 0 ) 由于iy ( t 耋；t o ；x ) i i v ( t 矗，x ( t ：) ) = l im v ( t ，x ( t ) ) l im a ( iy ( t ；t o ，x o ) i ) a ( ；) hc ( 2 1 ) 与( 2 0 ) 矛盾 故有ix oi 6 ，有iy ( t ；t o ，x o ) i ；，t t o 从而( 1 1 ) 的平凡解关于y 是稳定的。 定理3 2 4 设方程( i i ) 满足定理3 2 3 的条件1 _ 3 ，且对t t o ， l i m s up d l d k e x p ( pl p ( s ) i d s ) + * 则( ) 的平凡解关于y 是稳定的。 证明：与定理3 2 3 的证明类似，但需将( 1 2 ) 、( 1 3 ) 、( 1 9 ) 、( 2 0 ) 分别 变为 d 1 d 。e x p ( f 【+ 1 l p ( s ) ld s ) 入( 2 2 ) v ( 讨，】【o ) 篇 ( 2 3 ) v ( t ，x ( t ) ) d l “d n v ( t 占，x o ) e x p ( ip(s)dsft ) 一 一 。b d l d n v ( t j ，x o ) e x p ( i i p ( s ) id s ) d l d n ( 培，x 0 ) e x p ( f h l l p ( s ) id s ) 入熙 a ( ；) ( 2 4 ) v ( 磕，x ( 磕) ) a c - a v ( t 5 ，x o ) e x p ( f 匕p ( s ) d s ) 。七 ”d m v ( 讨唧( 孓s ) d s ) 久嘏 a ( ；)( 2 5 ) 定理 3 2 5设( ) 满足定理3 2 3 的条件1 3 ，且 4 ，l i m s 忱 d 1 d t e x p ( ：p ( s ) d s ) = 。，存在m ，使：，“s ) d s ) k 。 ok 。1 m ，t ( t k 一1 ，t k ，k = 1 ，2 ，。 则( i i ) 的平凡解关于y 渐近稳定。 证明：由定理3 2 3 知，( ) 的平凡解关于y 稳定的 下证l imiy ( t ；t o ，x o ) l = 0 由条件2 、( 1 6 ) 知，当t ( t 。，t 。+ 1 ) 时 ：删：p ( 湖s v ( t ，x ( t ) ) v ( t ：，x ( t ：) ) e x p ( 1p ( s ) d s ) 。k e m v ( t ：，x ( q ) ) e 虬d l d 。v ( 访，x o ) e x p ( 14 p ( s ) d s ) 。 又a ( iy ( t 沌，x o ) 1 ) v ( t ，x ( t ) ) e m d l d 。v ( 讨， x o ) e x p ( ij p ( s ) d s ) ( 2 6 ) 由条件4 得，l i m a ( 1y ( t ；t o ，x o ) i ) = 0 故l im l y ( t 沌，x o ) l = 0 故( ) 的平凡解关于y 渐近稳定 定理3 2 6 设( ) 满足定理3 2 3 的条件1 3 ，且 4 ，l i m s u p ”d k e x p ( r l p ( s ) id s ) = 0 jt 则( i i ) 的平凡解关于y 渐近稳定 证明：与定理3 2 5 的证明类似，但需将( 2 6 ) 改为，对t ( t t 。+ 1 a ( iy ( t ；t o ，x o ) i ) v ( t ，x ( t ) ) v ( g ，x ( t ：) ) e x p ( i p ( s ) d s ) 。、 d l d 。v ( 讨, x o ) e x p ( f 。p ( s ) d s ) e x p ( f ip ( s ) d s ) 。七。t 。 d 1 d v ( 时，x o ) e x p ( ip ( s ) d s ) 。b d 1 d 。v ( 讨，x o ) e x p ( ip ( s ) id s ) 。七 d l d 。v ( 讨，x o ) e x p ( 1 f n + ip ( s ) id s ) 定理3 2 7 对( ) 存在v v 1 和a k ，使得 1 v ( t ，x ) a ( 1y ( t ；t o ，x o ) i ) ，( t ，x ) r + n 2 d + v ( t ，x ) p ( t ) v ( t ，x ) ，( t ，x ) 。u g kg k = ( t ，x ) r + q ： t k l 1 有 v ( t 。，x ( t 。) ) d r d “v ( 讨，x o ) e x p ( i 、p ( s ) d s ) 。k 设c o 0 ，v8 0 ，取x o ，使得0 熬v ( 讨，x 0 ) ：a ( 0 ) 而。l 嵋，) 列l 勒 即 y ( t n ；t o ；x o ) i e o 故( 1 i ) 的平凡解关于y 是不稳定的。 参考文献 1 p s s i m e o n o va n d d d b a i n o v s t a b i l i t y w i t h r e s p e c t t o p a r to f t h ev a r i a b l e s 抚跏t e m s w i t h l r a p u t s e e f f e c t ，j m a t h a n a l a p p t 1 1 7 ( i 9 8 6 ) ，2 4 7 2 6 3 2 y uc u od o n g ，o nt h ep a r t i a ls t a b i l i t yo f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n n o f d i f f 郇1 4 ( 1 9 9 8 ) ，4 0 7 4 1 2 3 p s m e o n o va n dd d b a i n o v ，s t a b i l 拓) ，珊t d e rp e r s i s t e n td 如“r 6 a w e sf o r s y s t e m sw i t hi m p u l s e 职c c ，m a t h a n a l a p p l ，1 0 9 ( 1 9 8 5 ) ，5 4 6 5 6 3 4 g k k a l e va n dd d b a i n o v o nt h ea * y m p t o t i es t a b i l i t yo f 跏t e m sw i t h l m p u l s e sb yt h ed i r e c tm e t h o do f l y a p u n o v ，j m a t h a n a l a p p l 1 4 0 ( 1 9 8 9 ) ，3 2 4 3 4 0 5 v l a s k h m i k a n t h a na n dx l i t * d “q u a s i s t a b i l i t yf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m s ，n o n l i n e a ra n a l1 3 ( 1 9 8 9 ) ，8 1 9 8 2 8 6 v ，l a s k s h m i k a n t h a n d d b a i n o va n dp s 榭o ，1 0 t ) ，t h e o r yo fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l 勖u a t i o n s ，w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 8 9 7 d d b a i n o va n dp s s i m e 。加v s y s t e mw i t h i m p u l s i v ee f f e c t s t a b i l i t y t h e o r ya n da p p l i c a t i o n ，e l l i s 三b 0 0 dl i m i t e d ：n e wy 。小，1 9 8 9 8 p s s i r a e o n o vh n dd d b a i n o r ，e x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo f t h es o l u t i o n o f s i n g u l a r l y p e r t u r b e d s y s t e m sw i t h i m p a l s e e f f e c t ，_ ，m a t h a n a l a p p l 1 5 1 ( 1 9 9 0 ) ，4 6 2 4 8 7 9 1 2 ux i nz h i ，p r a c t i c a ls t a b i l i z a t i o no fc o n t r o ls i n * m sw i t h 却如e f f e c t s ，j m a t h a n a l a p p l 1 6 6 ( 1 9 9 2 ) ，5 6 3 5 7 6 1 0 丘“瓤nz h i 1 m p a l s w es t a b i l i z a t i o no f n o l 垅n e e rs y s t e m s ，删 m a t h c o n t r o l i n f o r m a t i o n ，1 0 ( 1 9 9 3 ) ，1 1 1 9 11 s a m o i l e n k oa m ，p e r e s t y u kn a 1 m p a l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a j i o n s ，s i n g a p o r e ： w o r l d s c i e n t i f i c 1 9 9 5 1 2 k g o t m l a a m y ，z h a n gbg ，o nd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi ，印如，j m a t h a n a l a p p l 1 3 9 ( 1 9 8 9 ) ，1 1 0 1 2 2 1 3 s h o r tj i a n 硒衄，w a n gz h i c h e n g ，o s c i l l a t o r ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro f s o l u t i o n * o f d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e ，a n n o f d 移邬1 0 ( 1 ) 1 9 9 4 ，6 1 2 5 一6 7 1 4 aa n o k h l n ，e t0 2 ，s t a b i l i t yo fl i n e a rd e l a yi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 功删cs y u e m sa n d a p p l 4 ( 1 9 9 5 ) ，1 7 3 1 8 8 1 5 a v a n o k h i n ，l b e r e z a z t s k y a n de b r a v e r m a n e x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo f l i n e a r d e l a yi m p u l s w ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，_ ，m a t h a n a l 蛳z 1 9 3 ( 1 9 9 5 ) ，9 2 3