（应用数学专业论文）几种逻辑系统中命题真度的研究.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 模糊系统控制的理论和技术已经取得了举世公认的成功，作为模糊控制理论基 础的模糊推理与模糊逻辑也日益受到关注 早期的逻辑代数研究始于l e i b n i z ，他用符号表示命题，建立了二值逻辑演算 理论但是，随着科学技术的不断进步和发展，经典二值逻辑不能满足各种新型 推理的需要，在现实生活中，无法用绝对真与绝对假的二值逻辑来处理的现象也 有很多所以必须将经典二值逻辑加以改进和推广才能满足新型推理和现实生活 的需要改进和推广的方法之一就是扩充经典二值逻辑的赋值域，这就形成了多 值逻辑系统和模糊逻辑系统比较著名的系统有l u k a s i e w i c z 逻辑系统，g o d e l 逻 辑系统等 在以上系统中，一种具有明显数值特征的公式真度概念和逻辑度量空间理论已 经提出一个公式的真度是一个确定的数值那么如何刻划一个公式彳在信息i 下 的真度呢? ( 这里r 为有限公式之集) 有学者对此进行了一定的讨论和研究，得 到了一些结论本文在前面学者的成果的基础上，在、g ，、f i ，、l ，等三值逻辑系 统以及刀值氐一命题逻辑系统厶中定义了条件真度并进行了讨论，得到了若干结 论至于非线性序集逻辑系统g ：及暖，则定义了真度的概念并进行了讨论 下面介绍本文的结构及主要内容： 第一章预备知识对文章中将要用到的几种逻辑系统的基本概念作一个简要 的叙述，并给出了本文要用到的均匀概率空间的若干定义 第二章基于条件概率的思想，借助于各个逻辑系统中的演绎定理，在 、g ，、h ，、l 3 等三值逻辑系统以及以值氐一命题逻辑系统三。中引入了条件真度 的概念，并得到了条件真度的性质及相应的推理规则 山东大学硕士学位论文 第三章讨论了非线性序集逻辑系统暖及g ；中命题的真度理论 关键词：逻辑系统；真度；条件真度；推理规则；非线性序集 2 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e o r i e sa n dt e c h n o l o g i e so ff u z z ys y s t e m sc o n t r o lh a v ea c h i e v e d t h ew o r l d - f a m o u ss u c c e s s t h e nf u z z yi n f e r e n c ea n df u z z yl o g i ca st h e k e r n e lo ft h et h e o r i e so ff u z z ys y s t e mc o n t r o lh a v eb e e nc o n c e r n e dm o r e a n dm o r e e a r l ys t u d yo fl o g i ca l g e b r ab e g a nw i t hl e i b n i z ，w h o u s e ds i g n st o d e m o n s t r a t ep r o p o s i t i o n sa n ds e tu pt h et h e o r yo ft w o v a l u e dl o g i c c a l c u l u s h o w e v e r ，w i t h t h e d e v e l o p m e n t o fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ， c l a s s i c a lt w o - v a l u e dl o g i cc a n n o tf u l f i l lt h en e e d so fa l ln e wt y p e so f d e d u c t i o n t h e r ea r eal o to fp h e n o m e n aw h i c hc a n n o tb ee x p l a i n e db y t w o - v a l u e dl o g i ci nr e a ll i f e t h e r e f o r e ，c l a s s i c a lt w o v a l u e dl o g i cs h o u l d b ei m p r o v e da n dp r o m o t e dt of u l f i l lt h en e e d so fn e wt y p eo fd e d u c t i o n a n dt h en e e d so fr e a ll if e o n ew a yt od ot h ei m p r o v e m e n tist oi n c r e a s e e v a l u a t i o nd o m a i n ，w h i c hf u r t h e rf o r m e dm u l t i v a l u e dl o g i cs y s t e m sa n d f u z z yl o g i cs y s t e m s s u c ha sl u k a s i e w i c zl o g i cs y s t e m ，g o d e ll o g i c s y s t e m ，e t c i nt h ea b o v es y s t e m s ，o n ek i n dt r u t hd e g r e eo ff o r m u l aw i t hn u m e r i c a l c h a r a c t e r i s t i c sa n dt h et h e o r yo fl o g i c a lm e t r i cs p a c eh a v eb e e np u t f o r w a r d t h et r u ed e g r e eo faf o r m u l ai sad e t e r m i n e dv a l u e t h e nh o wt o s c o r et h et r u ed e g r e eo faf o r m u l aau n d e rt h ei n f o r m a t i o nfb e c o m e sa p r o b l e m i nt h i sp a p e r ，o nt h eb a s i so ft h ea c h i e v e m e n to fp r e v i o u ss c h o l a r s ， c o n d i t i o n a lt r u t hd e g r e eh a sb e e nd e f i n e da n dd i s c u s s e di n 呢、g 3 、n 3 、l ， a sw e l la 。s i n r o n - v a l u e dp r o p s i t i o n a ll o g i cs y s t e m l ：a n d s o m e c o n c l u s i o n sh a v eb e e no b t a i n e d i nt h el o g i cs y s t e m sa s s o c i a t e dw i t ha n o n li n e a ro r d e r in gt r u ev a l u es e tg ；a n dg ；，t r u t hd e g r e e sh a v e b e e n d e f i n e da n dd is c u s s e d t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： 山东大学硕士学位论文 c h a p t e r1 p r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i nt h i sc h a p t e r ，w em a d eai n t r o d u c t i o n o fb a s i ck n o w l e d g eo fs e v e r a ll o g i cs y s t e m sw h i c hw o u l db eu s e di nt h e f o l l o w i n gc h a p t e r sa n dc e r t a i nd e f i n i t i o n so ft h eu n i f o r m l yd i s t r i b u t e d p r o b a b i l i t ys p a c en e e d e di nt h i sa r t i c l e c h a p t e r2 t h ec o n d i ti o n a lt r u t hd e g r e eo ff o r m u l a si n 彤、g 3 、h 3 、l ，a s w e l la sr o 丹一v a l u e dp r o p o s i t i o n a ll o g i cs y s t e m 三。w e r ep r o p o s e db a s e d 0 nc o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t y t h e nd i s c u s s e dt h ec o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e s a n di n f e r e n c er u l e o ft h e m c h a p t e r3 t h et h e o r i e so ft r u t hd e g r e ei nt h el o g i cs y s t e m sa s s o c i a t e d w i t han o n l i n e a ro r d e r i n gt r u ev a l u es e t 口a n dgw e r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：l o g i cs y s t e m ；t r u t hd e g r e e ：c o n d i t i o n a lt r u t hd e g r e e ：i n f e r e n c e r u l e ：n o n l i n e a ro r d e r i n gs e t 4 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：捌丝出 e t期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：翻出导师签名：翻鸳塞 日期：塑五! 垦17 山东大学硕士学位论文 刖吾 人工智能控制理论作为近代计算机科学的一个重要研究方面，受到了从理论到 实践很多领域专家的普遍重视，特别是2 0 世纪7 0 年代以后，各种模糊推理方法 纷纷被应用于工业控制与家电产品的制造中，但作为模糊控制基础的模糊推理在 理论上却缺乏严格的逻辑基础，在一定程度上制约了模糊控制技术的推广和发 展 1 9 6 5 年，美国著名控制论专家l a z a d e h 提出了模糊集概念，随着模糊集的提 出，通过很多数学工作者的努力，模糊推理理论已经取得了长足的发展【1 1 ，但模 糊推理的逻辑基础这个问题并没有得到解决国内外一批学者基于模糊集的近似 推理理论做了大量工作，也得到了一系列的成果1 2 - 2 2 然而，近似推理理论并非 一定要与模糊集联系在一起 2 3 - 2 9 1 王国俊教授在 2 8 中的积分语义学部分提出的 近似推理理论不依赖于模糊集，他基于均匀概率的思想在二值命题逻辑中提出了 命题的真度理论，并提出了一种相应的近似推理理论【3 0 1 随后国内一部分学者将 这种思想推广到三值、多值甚至是连续值命题逻辑中得到了相应的一系列结论 f 3 l 喇】 文 2 8 、 3 0 、 3 5 定义的一个公式的真度是一个确切的常数，如一个原子公 式的真度均为昙，这是因为一个公式的真度是在不考虑其它信息的前提下给出的 文 3 6 基于条件概率的思想，给出了在二值经典命题逻辑系统中一个公式4 在信 息r 下的真度( 此处r 是有限公式之集) ，同时给出了二值逻辑系统在信息i 下的 近似推理理论 本文基于上述思想，将条件真度的概念引入到几种三值逻辑系统以及九值r o 一 命题逻辑系统三。中，给出了这几种逻辑系统中命题的条件真度概念，并讨论了 相应的性质及推理规则此外，对于非线性序集逻辑系统四及g ；，则讨论了其 中的真度理论 第一章预备知识 1 1 几种逻辑系统的基本概念 定义1 1 1 2 8 1 设s = p 1 ，p 2 ， ，f ( s ) 是由s 生成的( 1 ，v ，一) 型自由代数，这里 - 1 是f ( s ) 上的一元运算，v 与一均是f ( s ) 上的二元运算，则称s 中的元为原子 命题( 或原子公式) ，称f ( s ) 中的元为命题( 或公式) 定义1 1 2 1 设= o , l , 1 ) ，在z 中规定：v x , y “一一l 吖( 有时以记 ) ， x v y = m a x ( x ，y ) x y = m i n ( x ，y ) 目按如下方式定义x y ： c a ，x - - y = r o c x ，y ，= x ，v l y ，二三羔 c b ， x y = r g g ，y ，= 三二三； f1 ，工- y ； i y ( d ) x y = r 上( x ，y ) = ( 1 一x + y ) 八1 则l 成为( 1 ，v ，专) 型代数，当专分别取( a ) 、( b ) 、( c ) 、( d ) 中蕴涵算子时， 相应的三称为职逻辑系统、g 3 逻辑系统、1 1 3 逻辑系统、3 逻辑系统，且分别简 记为、g ，、f i ，、l ， 定义1 1 3 印1 设4 = 4 0 l ，p ：，p 。) f ) ，则4 对应一个m 元函数么：l 3 专三 这里j g 。，x ：，x 。) 是由运算符号1 ，v ， ，一将x 。，x ：，靠连接而成，其方式恰如 么0 。，p ：，p 。) 由连接词1 ，v ，a ，一将原子公式p 。，p 2 ，p 。连接而成那样称4 6 山东大学硕士学位论文 是公式彳所诱导的函数 定义1 1 4 3 5 1 疗值r 。一命题逻辑系统三。，它的真值表或赋值格三记为 三2 0 ，击击，鲁，) 为适应表达否命题的真假程度的需要，在三上引入非运算1 ：l 一三，或为简便计 把1 改记为“”，则对每个口l ，应有a7 l ，且 ( a ) 7 = a ，as 卢当且仅当卢口 即：l 专l 是上的逆序对合对应 口v 卢= m a x ( a ，3 ) aa 卢= m i n ( a ，3 ) a 一卢= k ，：；卢，兰至二： 在三上定义了1 ，v ，人，专之后，则三成为( 1 ，v ，- - - ) 型代数，把相应的代数系统称 为甩值r 一命题逻辑系统厶 定义1 1 5 设三= f o ，j , 1 ，其中1 v ， 专如下定义： ( 1 ) 1 0 = l ，l = o ，- - , i = ，- j = 0vl = i ，0 vj = j ， ( 2 ) j 几卜l j v j = j , i ，vj = 1 ， 【ivl = 1 ，v l = 1 10a i = 0 ，0 a j = 0 ， ( 3 ) ， ，= ， ，= 以 ii j = 0 ， 【ial = i ， l = ， f 0 专0 = 0 一i = 0 _ j = 0 哼1 = i 专1 = j 专1 = 1 ， i，一，= j 专j = 1 专1 = 1 ， ( 4 ) ，一0 = j 一0 = 1j0 = 0 ， i ，一，= l 专j = j ， 【 j - - i ：1 一，：i 则l 成为一( 一，v ，专) 型代数，称为四值非线性序集逻辑系统g ： 7 山东大学硕士学位论文 定义1 1 6 设= 口。，i l ，j ：，厶，1 4 ，其中厶- - 0 ，厶= 1 ，1 ，v , a ，专如下定义： 1 ) 1 0 = 1 ，1 1 = 0 ，一j t = l ，七= 1 , 2 ，3 3 ) k v ，。= 1 ，s 且，s = 1 , 2 ，3 ， i lvi t = i i ，l = 0 , i ，2 ，3 ，4 ， i tv 0 = 厶，= 0 , i ，2 ，3 ，4 ， i jv 1 = 1 ，= 0 , i ，2 ，3 ，4 a i 。= 0 ，s r ，s = 1 , 2 ，3 ， i lai l = i t ，= 0 , i ，2 ，3 ，4 ， 厶a0 = 0 ，= 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ， i la 1 = i t ，= 0 ，1 ，2 ，3 ，4 i i 专i s = i s ， 1 - - ) 1 1 = i t ， j 1 = i f i t = 0jl j = 1 ， 0 = 0 z s 且，s = 1 , 2 ，3 ， ，= 0 , i ，2 ，3 ，4 ， l = 0 , i ，2 ，3 ，4 1 = 1 , 2 ，3 ，4 则三成为一( - 1 ，v ，。) 型代数，称为五值非线性序集逻辑系统g ； 定义1 1 7 设1 ，：f ) j 三是h v ，j ) 型同态，则称1 ，是f ( s ) 的赋值映射， v a f ( s ) ，础) 叫公式彳的赋值f ( s ) 的赋值映射的全体记为q 定义1 1 8 1 设彳= a ( p l ，p 2 ，p 。) f ) ，则么对应_ 个朋元函数彳：7 一三 这里2 o ，击击，鲁，) ，j k 驴， ) 是由运算符号1 ，v 兮将 x 。，x ：，x 。连接而成，其方式恰如彳0 。，p 2 ，p 。) 由连接词- 1 ，v ，a ，一将原子公式 p l ，p 2 ，p 。连接而成那样也称么是公式彳所诱导的函数 定义1 1 9 3 。3 2 1 设( x 。，a 。，心) 是概率测度空间，这里心是以上的概率测度，a 。 是全体儿可测集之族，p 。( 以) = 1 令x = 兀以在x 上可生成一个盯一代数a ， n = l 这时x 上存在唯一的测度卢满足条件： ( 1 ) a 是x 中的j l l 可测集之族； 8 山东大学硕士学位论文 卅 ( 2 ) 对于兀x 。中的任一可测集e ，e x 兀x 。可测，且 n = lh = i r a + l l l ( ex 兀以) = ( t a l 丘2 j l l m ) e 聊= 1 ，2 ， ( 1 1 1 ) 月= 册+ l 称j l l 为x 上的关于“，j l f ：，的无穷乘积测度，概率测度空间( x ，a ，p ) 也简记为x 定义1 1 10 驯设，q ，则由f ( s ) 是由s 生成的自由代数知v 由，i s 唯一确定 设，0 。) ：吨 ：1 ，2 ，) ，则无穷维向量；：( v 。，1 ，：，) x ，这里x 是由定义1 1 9 确定反之设- ，4 , ：( v 。，1 ，：，) x ，则由；唯一确定q 中的一个赋值1 ，这里 v 0 。) ：v 。 ：1 ，2 ，) 令妒) ：；，则妒：q 斗x 是从q 到x 的一一满射，称9 为 q 的测度化映射 注1 1 1 设彳= 么b j l ，p f _ ) f ) ，令 e = 卜：，以，郎。忙荆= ) ， m ， 则 阻】= e 兀k i ，以，七= 1 2 一，z ( 1 1 3 ) 1 2 几种逻辑系统中的演绎定理 定理1 2 1 【3 5 1 设r 是一理论，即fc ， ) ，彳，b ， ) ，则 ( a ) 在g ，、h ，中，演绎定理成立，即r u 臼) | 一b 当且仅当1 1 一a b ； ( b ) 在中，广义演绎定理成立，即r w a - b 当且仅当r 卜- 4 2 专b ； ( c ) 在厶中，广义演绎定理成立，即r u 0 ) | 一b 当且仅当r | - 彳2 _ b 定理1 2 2 瞰1 设r 是一理论，即rcf ) ，a , b f p ) ，则在三。中，广义演绎 定理成立，即r u 臼) i bf i r t 2 当r - a 2 专b 9 山东大学硕士学位论文 第二章命题逻辑系统中命题的条件真度 2 1 几个三值命题逻辑系统中命题的条件真度 定义2 1 1 陋1 彳= a ( p 。，p ：，p 。) 是f ) 中含有坍个原子公式p l ，p 2 ，p ，的 公式，彳g 。，x 2 ，x 。) 是彳所诱导的函数，则在职、g ，、i i ，、l ，中，令 删= 划7 ( 刖一。柏 其中蚓表示集合e 中元素的个数，称f 0 ) 为公式么的真度 定理2 1 1 【3 5 1 设彳，b f g ) ，a , f l 【o ，l 】则下述结论成立： ( 1 ) 在三值逻辑系统中，r 0 ) = 1 当且仅当a 是重言式；f 0 ) = o 当且仅当a 是 矛盾式 ( 2 ) 若i - 么jb ，则f 0 ) f 佃) ； ( 3 ) f o v b ) = f 0 ) + r 0 ) 一r 0 八b ) ； ( 4 ) f 0 ) = f 0 b ) + r 0 人- 1 召) ； ( 5 ) 若彳b ，即a 可证等价于b ，则r 0 ) = f p ) ( 6 ) 若f 0 ) a ，f 0jb ) 卢，则r 亿) a + f l - i ( 7 ) 若r 0 一b ) 口，f pjc ) 卢，则r 0jc ) 口+ f l - 1 定义2 1 2 设彳f ( s ) ( a ) 在三值逻辑系统呒、l 3 中： 信息r = 0 l ，a 2 ，a 。) ，i e 固r 2 = a 1 2o 彳2 2o p 彳。2 ，( 其中a 2 = 彳oa ， 对彳，be ， ) ，a b = - 1 0 专- 1 b ) ) ，设f pr 2 ) o ，则公式彳在信息r 下的条 件真度为： f 0 i r ) = 特别地，当r 只含一个公式b 时，公式彳在信息b 下的条件真度为： 1 0 山东大学硕士学位论文 f o l r ) = ( b ) 在三值逻辑系统中g ，、n ，中： 信息r = 0 ，a ：，a 。) ，记 r = a 。aa ：a - aa 。，设f ( 人r ) 0 ，则公式彳在 信息r 下的条件真度为： f 0 i v ) = 瓮铲 特别地，当r 只含一个公式b 时，公式a 在信息b 下的条件真度为： f o r ) = 帮 例2 1 1 分别在、g ，、f i ，、l 3 中，进行计算： ( 1 ) 设4 = p 。，r = 扫lap ： ，则 ( a ) 在呢、l 。中： f r ) = f 。i p 。a p ：) = ( b ) 在g ，、r i ，中： 1 9 1 2 t 2 l l 9 5 f 0f ) = f o 。 p la p z ) = 二谢= 呈= 1 8 这反映了若命题aa p ：为真，当然有命题p 。为真 ( 2 ) 设4 = p l ，b = p 2 ，则 ( a ) 在呢、厶中： f 0 2 专b ) = f g 。2 专p ：) = 吾 f p i 彳) = f 0 ：p 。) - - - - - ( b ) 在g ，、r i ，中： 1 6 1 2 t 2 j 3 山东大学硕士学位论文 f o 专b ) = f o 。哼p ：) = 嚣 f 国彳) = f g ：l p 。) = 定理2 1 2 设么，b f ( s ) ， r 0 ：a p 。) 一 f 0 。) 5 旦：三 1 9 2 ( a ) 在三值逻辑系统鸭、l s 中：r = 0 。，么：，彳。) ，f p r 2 ) o ，则 ( 1 ) o f o l r ) 1 ( 2 ) 若r i 一彳则f 0 1 r ) - - i ( 3 ) 若1 1 u 徊l 一么2 ，则f p 2 i r ) - ( f c 4 2 i r ) ( 4 ) 若0 。pr 2 ) ) 0 。pr 2 ) ) 为矛盾式，则f 0 vj 9 1 r ) = f 0 i r ) + f 旧r ) ( b ) 在三值逻辑系统中g ，、f i ，中： ( 9 0 r ( a i r ) - a + 卢一1 ( 5 ) 因为1 1 一b 2 一彳2 当且仅当ru 忙) l 一么2 ，从而由定理2 1 2 ( a ) 中的( 3 ) 知 f p 2 i r ) f 0 2 i t ) ( b ) 在三值逻辑系统中g ，、n ，中： o a 为r l - ( ajb ) 从而由演绎定理知r u 缸l 一曰由定理2 1 2 ( b ) 中的知： f 0 i r ) f 泅r ) ，同理由r l p 专么) 知，f 国r ) f o l l l ) 故f 0 i r ) = r 国f ) 一的证明同 3 6 中命题2 2 中相应命题的证明 注2 1 1 在三值l u k a s i e w i c z 逻辑系统中，弱演绎定理成立，即扛l ，彳：，a 。) i b 当且仅当l - a ，2 圆a ：2o o 彳2 专b ，故可用f ( or 2 - - y 彳) 来刻画a 作为f 结论 l埘 的近似度灿3 1 1 注2 1 2 由例2 1 1 知f p r 2 专4 ) 与f o l i ) 未必相等因为在一个命题逻辑中， 若命题的前提为假，则不管结论如何，该命题都是正确的，故r p i 2j 彳) 总是 不小- t r ( a f ) 注2 1 3 在刀值“枷把w 比逻辑系统。中，广义演绎定理成立，即r u 臼) f b 当 r 仅当r l - x ”专召 注2 1 4 在行值r 一命题逻辑系统厶以及连续值逻辑系统r 中仍有广义演绎定 山东大学硕士学位论文 理成立，即设r 是一理论， 彳，b f ) ，则ru 扣) i b 当且仅当r l 一彳2 - - - b 由注2 1 4 知，可将条件真度的概念及相应性质推广到玎值r o 一命题逻辑系统 l 。以及连续值逻辑系统r 中下面将条件真度的概念及相应性质推广到拧值 & 一命题逻辑系统厶中，至于连续值逻辑系统r 中条件真度的概念及相应性质 可类似得到 2 2 以值r 。一命题逻辑系统厶中命题的条件真度 定义2 2 1 瞵1a = 彳0 。，p 2 ，p 。) 是，6 ) 中含有肌个原子公式p ，p 2 ，p 舶的 公式，a ( x 。，x ：，x 。) 是彳所诱导的函数，则在。中，令 删= 吉莩击阿击计 其中i e i 表示集合e 中元素的个数，称f 0 ) 为公式彳的真度 特别地m 2 叭。) ：尉为二值逻辑系统中公式彳的真度2 m 注2 2 1p 习设彳f ) ，则f ( o ) = 1 一r 0 ) 定义2 2 2 设彳，p ) ，信息r = 0 。，彳2 ，a 。) ，记 o r 2 = a 1 2 彳2 2o o 么h 2 ， ( 其中a 2 = ao a ，对彳，b f ) ，彳圆b = 0j b ) ) ， 设f p i 2 ) o ，则公式彳在信息i 下的条件真度为： f 酬r ) = 特别地，当r 只含一个公式b 时，公式a 在信息b 下的条件真度为： f o i r ) = 例2 2 1 仍以文献 3 6 中的两个题目为例在。中考虑： ( 1 ) 设彳= p lvp ：，r = 扫： ，则 1 6 山东大学硕士学位论文 f 酬1 1 ) = f 0 。vp ：i p ：) = 这反映了若命题p ：为真，当然有命题p 。v p ：为真 ( 2 ) 设a = p l ，b = p 2 ，则 f 0 ：_ b ) ：f 0 。2 f 国么) = f 0 ：i p 。) = 、 j p 2j 2 5 ：1 2 ：1 ， 1 2 定理2 2 1 设彳，be ， ) ，r = 0 。，爿：，么。) ，r p r 2 ) 0 ，则 ( e1 ) o f 0 i r ) 1 ( r 2 ) 若r | 一彳n r ( x l r ) = 1 ( e 3 ) 若1 1 u 徊l 一彳，则f 扫2 i t ) - 0 ，则 ( 1 ) 若十0 2 一b 2 ) 且十0 2 寸彳2 ) ，则r 0 2r ) - f 0 2 i t ) ； ( 2 ) f 0v 矧r ) = r o l r ) + f 国r ) 一f 0 剧r ) ； ( 3 ) ( m p 规则) 若f 0 i r ) a ，f 0 一矧r ) p ，则f 国r ) a + 卢一1 ( 4 ) ( h s 规则) 若f 0 专矧r ) a ，f 0 专c i r ) 卢，则f 0 - c r ) a + 卢一1 ； 证明 ( 1 ) 因为r i 一0 2 专b 2 ) 从而由演绎定理知rw a i b 2 由( r3 ) 知， f 0 2 i r ) r 0 2 l i ) ，同理由十仁2j 彳2 ) 知，r 仁2 i r ) f 0 2 i t ) 故r 0 2 i r ) = f p 2 i f ) ( 2 ) r 缸v b ) 。p 1 1 2 ) ) = f p r 2 ) ) v 0 圆p r 2 ) ) ) = f 0 p r 2 ) ) + f 0 圆p r 2 ) ) 一r 似 b ) 。p r 2 ) ) 两边同除以f p r 2 ) ，可得f o v 剧r ) = f o f r ) + r 吲r ) 一f 0 矧r ) ( 3 ) 先证明一个不等式： 6p p 口，2 ) g + ( 口专6 ) 一1 ) 。bq 2 ) ，口，6 ，口，【o ，1 i = 1 ，2 ，刀( 2 2 1 ) 由于五g ) = x a 单调递增2 1 ，故只需证明6 口+ ( 口一6 ) 一1 ( 具体证明见文献 3 4 ) 不妨设彳，b ，a ，o = 1 , 2 ，刀) 含有相同的原子公式p 。，p 2 ，p 册p aae 0 ，l 】“，以 d w 记砂，咖2 方。，从而由文献 3 4 的定理3 和( 2 2 1 ) 式即得： f o r 2 ) ) = 上荔。( 。芦) 咖f 每+ 每专荔) 一b ( 。芦) 咖 = 工i p i 卜互仁爿。p i 卜上p i ) 挑 q + 卢一l 弦pr 2 ) ( 其中i 的含义见文献 3 2 ) 1 8 山东大学硕士学位论文 两边同除以r pr 2 ) ，可得f 仁i r ) a + 卢一1 ( 4 ) 因为r 1 一( ( b c ) 专 寸口) 寸0 专c ) ) ) ，故由( e 2 ) 知 r 专c ) 专心一b ) 一0 岭c ) ) f ) - - 1 又因为f 怡- c l r ) - ，所以由( 3 ) 知f 专b ) 专0 寸c h r ) 芝1 + p 一1 = 3 ，又r 心一b ) i r ) 饺，再次使用( 3 ) 有f 0 一c i r ) a + 卢一1 注2 2 2 玎值r 一命题逻辑系统t 。中，广义演绎定理成立，即臼。，么：，以l b 当且仅当| - a 。2oa ：2o o 彳2 辛b ，故可用r br 2 一彳) 来刻画a 作为f 结论 肼 的近似度3 ” 注2 2 3 由例2 2 1 知r p l l 2 专彳) 与f 0 j r ) 未必相等因为在一个命题逻辑中， 若命题的前提为假，则不管结论如何，该命题都是正确的，故r pr 2 寸彳) 总是 不小于f 0 i r ) 1 9 山东大学硕士学位论文 第三章非线性序集逻辑系统中命题的真度理论 3 1g ：中命题的真度理论 定义3 1 1 阱1 设以= o ，j ，1 ) ，p 。是彳。上的离散概率测度，即j l l 。 ) = 0 ， 心( x 。) = 1 且 。( 。) ) = p 。( ，) ) = j l l 。( j ) ) = 。( 1 ) ) = i 1 ( 刀= 1 ，2 ，) 令x = 兀以，设j l l 为x 上的关于p ，j l l ：，的无穷乘积测度，称j l l 为四值逻辑均 匀测度 定义3 1 2 设么f ( s ) ，令 悱辟x 忙巾) 斗协卢 慨， 称f 0 ) 为a 的真度 显然，叉e if ( s ) 中任一公式彳，都有o f 0 ) 1 又逻辑等价的公式有相同的真 度 注3 1 1 由文献 3 0 知，把f 0 ) 称为彳的真度是恰当的由定义3 1 2 容易证明 下面的命题 命题3 1 1 设彳、b f ) ，则 。 ( 1 ) a 是重言式时，f 0 专b ) = f 仁) ，f 佃j 彳) = 1 ( 2 ) 当a 是矛盾式时，r 0 ) = 0 ( 3 ) a 是重言式当且仅当r 0 ) = 1 证明 ( 1 ) 么是重言式v v q 有1 ，( 彳) = 1 c 彳专b ，= ；x l v c 么寸b ，= ，) = 苫x l v c 彳，专v c b ，= ) 山东大学硕士学位论文 = x h 驴) 由定义1 1 5 知 ”耻f x 陋= 卜， 故r 0 专b ) = j l l 旺彳专b 】) = 肛旺例) = f p ) c 口一彳，= ；x i v c b 专么，= ) 由定义1 1 5 知 c b 专彳，= ；x l v c b ，专- = ) = x 故f ( b 一彳) = p 旺召j 么】) = 伍) = 1 ( 2 ) 彳是矛盾式- v v q 有v ( a ) = 0 c 彳，= ；x 1 1 ，c 彳，= t ) = 驴 故r 0 ) = 肛旺彳】) = ) = 0 ( 3 ) 设彳是重言式则v ，q 有v ( a ) = 1 c 彳，= ；彳i v c 么，= ) = x 故r 0 ) = j l l 旺爿】) = j l l ( x ) = 1 反之，设么不是重言式，彳= 彳b ，p k ) ，则有v q 使得v ( 彳) 1 设v b ) = 1 ，吐 = 1 ，朋) ，则【v j i ，f _ ) 仨e ，这里e 由( 1 1 2 ) 式确定 2 1 = 、 分叫 0 | l 专 b 曰 m m x x _ v v = = 山东大学硕士学位论文 因龇眠帆眠她巩= 研， 所以o 。p 如垃) 一( 丢) 册，从而，由c 1 3 ) 式和c 3 ，式 可知j l f 【么】1 ，即f 0 ) 1 ，此与f 0 ) = 1 矛盾从而4 是重言式 命题3 1 2 ( 真度推理规则) 设4 、b 、c f 心) ( 1 ) ( m p 规则) 若f 0 ) a ，r 0 专b ) f l , 则f p ) a + 卢- 1 ( 2 ) ( h s 规则) 若r 0 _ b ) 仅，f 陋c ) f l , 则r 0 专c ) 仅+ 卢- 1 证明( ，令g 。= ；x i v q ，v ( 么) = ) ，g ：= ；x l ve 【 2 , v 。 b ) = ) ， 则f 0 ) = p ( g 。) ，f 0 _ b ) = p ( g ：) 显然有 1 ( g 。u g ：) = p ( g 。) + p ( g ：) 一p ( g 。n g ：) ， 从而，( g 。n g ：) p ( g 。) + p ( g ：) 一1 口+ f l - 1 令g = f x l v q v p ) = ) ，则r p ) = p ( g ) 又g 3 g 1n g ：， 事实上，若；g ing ：，则v 0 ) ：1 且v 0 一b ) = 1 从而l 专y p ) = 1 由定义 _ 1 1 5 知v p ) = 1 故v g ，所以 f p ) = p ( g ) p ( g ，n g ：) 口+ f l - 1 c 2 ，令q = f x i v q ，v 。_ b ) = ，g ：= ；x l v q ，v ( b c ) = ) ， 则r 0 专b ) = ( g 。) ，f p 专c ) = ( g ：) 显然有 1 p ( g 。w g ：) = 卢( g ，) + p ( g ：) 一( g 。r 、g ：) ， 从而，p ( g lng 2 ) p ( g 。) + j “( g 2 ) - 1 a + f l - 1 令g = ；x i v 6 g 2 , v 。专c ) = ) ，则f ( b ) = ( g ) 山东大学硕士学位论文 x g3 g ing 2 ，事实上，若；g ing 2 ，则v 0 专b ) = 1v ( b c ) = 1 从而由定义1 1 5 知1 7 0 专b ) = v ( a ) 。v p ) = 1 成立当且仅当下列情况之一成立： 伪詈；f i l v v ( 皓a ) = i 。；詈； 础蝥：础：嘶一 同理由定义1 1 5 知v p 专c ) = v p ) 专v ( c ) = 1 成立当且仅当下列情况之一成立： 娼詈川) 器蓄邝， 舄碧； 粥篓郑，馏郑荆= v ( c ) 若v 0 ) 、v 忙) 取情况，则v 0 ) 、v ( c ) 只能取情况( 6 ) ，从而有 f v 0 ) = 0 1 v ( c ) = l 由定义1 1 5 知，1 ，0 一c ) = ，0 ) v ( c ) = 1 同理可讨论其余几种情况，均有v 0 专c ) = v 0 ) 专v ( c ) = 1 n - 戋- 0 _ 故；g ，所以 f 0 专c ) = ( g ) 肛( ( zng ：) a + 卢一1 由命题3 1 卜命题3 1 2 知，若a = 卢= 1 得如下推论： 推论3 1 1 设么、b 、c f ) ( 1 ) 若f 0 ) = l ，r 0 一b ) = 1 ，则r 佃) = 1 ( 2 ) 若f 0 专b ) - - - 1