（化工过程机械专业论文）波纹管非线性有限元分析与软件开发.pdf

南京x - , o k 大学硕士学位论文 摘要 波形膨胀节是一种重要的补偿元件，常用于补偿管道因温度变化、机械位 移或振动引起的轴向、横向和角向位移，在石油、化工、冶金、电力、船舶、 核能、航天等工业领域有着广泛的应用。鉴于波纹管的特性属于材料非线性与 几何非线性，其力学分析十分复杂，因此运用现代的数值分析方法，即非线性 有限元方法对其进行应力场分析，从而精确地把握其力学性能是本领域的一项 重要研究工作。同时，开发一套波纹管非线性有限元分析专用软件也是当务之 急，它的成功开发，必将推动我国波纹管行业向更高水平发展。 为了实现波纹管的非线性有限元分析，并将此过程软件化，使之更方便、 快捷地应用于波纹管的应力分析实践中，本文在以下几个方面作了研究探索。 根据非线性有限元理论，从材料非线性和几何非线性两个方面分析了波纹 管的非线性特性，推导出波纹管有限元计算的平衡方程式，并对该非线性方程 组的数值解法进行了研究。在此基础上，根据有限元程序设计方法，将上述的 有限元平衡方程及其数值解法转化为计算机程序，编制了用于波纹管非线性有 限元分析的f o r t r a n 程序。 根据波纹管的结构特点和载荷特点，编制了用于波纹管有限元计算的自动 建模程序。该程序能够完成单元划分、边界约束和施加载荷等工作，建立正确 的有限元分析模型，从而大大简化了有限元分析所必需的前处理过程。 研究了不同程序设计语言间的接e l 问题，利用v i s u a lc + + 与f o r t r a n 混合语 言编程技术，成功地将有限元计算的f o r t r a n 过程嵌入到v i s u a lc + + 过程中，实 现了有限元分析与面向对象软件开发技术的统一。 利用v i s u a lc + + 面向对象的软件开发技术，开发软件的用户界面，实现用 户过程对有限元建模过程和计算过程的调用，并利用v i s u a lc + + 的各种编程技 术，完成了数据交互、文件操作以及图形后处理等各项功能，从而成功地开发 出一套波纹管专用有限元分析软件系统。 本波纹管有限元分析软件的计算经与试验验证，结果较为吻合，可以作为 波纹管设计和使用的依据。 关键词：波纹管膨胀节非线性有限元分析混合语言编程 a b s t r a ( 了 a b s t r a c t b e l l o w se x p a n s i o nj o i n t sa r ei m p o r t a n tc o m p e n s a t i n gc o m p o n e n t s ，w h i c ha r e u s u a l l yu s e dt oc o m p e n s a t et h ea x i a ld i s p l a c e m e n t ，t r a n s v e r s a ld i s p l a c e m e n ta n d a n g u l a rd i s p l a c e m e n t c a u s e db y c h a n g i n gt e m p e r a t u r e ，m e c h a n i c a lm o t i o n o r v i b r a t i o n i ti sw i d e l ya p p l i e di nt h ef i e l d so fp e t r o c h e m i c a li n d u s t r y ，m e t a l l u r g y ， e l e c t r i cp o w e r ，s h i p ，n u c l e a ri n d u s t r y ，s p a c ef l i g h t , e t c b e c a u s et h ep r o p e r t i e so f b e l l o w sb e l o n gt om a t e r i a ln o n l i n e a r i t ya n dg e o m e t r yn o n l i n e a r i t y , i t sm e c h a n i c a l a n a l y s i si sv e r yc o m p l e x t h e r e f o r e ，i ti sa ni m p o r t a n tw o r ki nt h i sf i e l dt h a ta n a l y z i n g i t ss t r e s sf i e l db yu s i n gn u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o d ，n a m e l yn o n l i n e a rf e m ( f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) a tt h es a m et i m e ，d e v e l o p i n gas p e c i a lf e a ( f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) s o f t w a r eo fb e l l o w sh a sb e c o m et h eu r g e n tm a t t e r w i t hd e v e l o p e ds u c c e s s f u l l y ，i t w i l li m p e lc h i n e s eb e l l o w ss t u d yah i g h e rl e v e l i no rt oa n a l y z eb e l l o w sb yn o n l i n e a rf e ma n dd e v e l o pa c o r r e s p o n d i n gs o t t w a r e ， w h i c hc a nb ea p p l i e di np r a c t i c eo fb e l l o w ss t r e s sa n a l y s i s ，f o l l o w i n gr e s e a r c hw o r k h a sb e e nc a r r i e do u ti nt h i sp a p e r i nt h ef i r s t ，a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo fn o n l i n e a rf i n i t e e l e m e n t ，t h i sp a p e r a n a l y z e st h en o n l i n e a rp r o p e r t i e so f b e l l o w sf r o mt w oa s p e c t so f m a t e r i a in o n l i n e a r i t y a n dg e o m e t r yn o n l i n e a r i t y , a n dd e d u c e st h eb a l a n c e de q u a t i o n so fb e l l o w sf e a m o r e o v e r ，n u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h e s en o n l i n e a re q u a t i o n sa r ed i s c u s s e d o nt h i s b a s e ，a c c o r d i n gt ot h em e t h o do ff i n i t ee l e m e n tp r o g r a m m i n g ，t h ef i n i t ee l e m e n t e q u a t i o n sa n dt h e i r n u m e r i c a ls o l u t i o n sa sm e n t i o n e da r er e a l i z e d b yc o m p u t e r p r o g r a m t h en o n l i n e a rf e ap r o g r a mo f b e l l o w si sd e v e l o p e di nf o r t r a n a c c o r d i n gt ot h ef c a t u r e so fs t r u c t u r ea n dl c a d so fb e l l o w s ，a na u t o m a t i cm o d e l b u i l tp r o g r a mi s d e v e l o p e d ，w h i c hc a nf u l f i lt h ed a t ap r e p a r a t i o nw o r k ss u c ha s d i v i d i n ge l e m e n t s ，b u i l d i n gb o u n d a r yc o n s t r a i n sa n da p p l y i n gl o a d s b yt h em o d e l - b u i l tp r o g r a m , t h ep r o p e rf e am o d e lc a nb eb u i l ta n dt h ef o r et r e a t m e n tp r o c e s so f f e ai ss i m p l i f i e dg r e a t l y b ys t u d y i n gt h ei n t e r f a c et e c h n o l o g ya m o n gd i f f e r e n tp r o g r a m m i n gl a n g u a g e s ， e s p e c i a l l yt h em i x e dl a n g u a g e sp r o g r a m m i n gt e c h n o l o g yo fv i s u a lc + + a n df o r t r a n t h ef o r t r a np r o c e s so ff e ai si n s e r t e di n t ot h ev i s u a lc + + p r o c e s s t h e r e f o r e t h e f e a t e c h n o l o g ya n dt h eo b j e c t o r i e n t e ds o t t w a r ed e v e l o p i n gt e c h n o l o g ya r eu n i f i e d w i t ht h eu s eo fo b j e c t - o r i e n t e ds o f t w a r ed e v e l o p i n gt e c h n o l o g yo fv i s u a lc + + t h ec u s t o m e ri n t e r f a c ei sm a d e ，b yw h i c ht h eu s e rc a nc a l lt h em o d e l b u i l tb l o c ka n d 南京工业大学硕士学位论文 t h ef e ab l o c k m o r e o v e r ，b yu s i n ga l ls o r t so fp r o g r a m m i n gt e c h n o l o g yo fv i s u a l c + + ，m a n yf u n c t i o n sa l er e a l i z e d ，s u c ha si n t e r a c t i v ed a t a , f i l e so p e r a t i n g , g r a p h m a n i p u l a t i o n ，e t c t h e r e f o r e , t h es p e c i a lf e as o f t w a r es y s t e mo f b e l l o w si sm a d e b yc o m p a r e d ，t h ec a l c u l a t i n gr e s u l to f t h es o f t w a r ea p p r o x i m a t e st h ee x p e r i m e n t a l r e s u l tr d a t i v d y i ti ss h o w i n gt h a tt h ec a l c u l a t i n gr e s u ho ff e ac a l lb eu s e da st h e f o u n d a t i o no f d e s i g na n da p p l i c a t i o no f b e l l o w s k e y w o r d s ：b e l l o w s ，e x p a n s i o n j o i n t s ，n o n l i n e a r ，f e a ( f i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s ) ，m i x e dl a n g u a g e sp r o g r a m m i n g 南京工业大学硕士学住论文 第一章绪论 1 1 课题意义 波形膨胀节是压力容器和管道系统中常用的连接和补偿装景，其主体是金 属波纹管。它的特点是轴向刚度较小，径向刚度较大，能够承受较大的轴向位 移，同时还能够承受一定的内、外压，常用于补偿管道因温度变化、机械位移 引起的轴向位移、横向位移和角位移。还可以用作消除机械振动、降低噪声 等。由于具有上述的特点，波形膨胀节已广泛应用于冶金、炼油、石油化工、 电力、热网、船舶、宇航和机械等各工业部门的热力管线、工艺配管和压力容 器等设备上f 1 1 。自2 0 世纪4 0 年代以束，世界各工业国家的研究机构和生产厂 家对作为其主要部分的波纹管进行了广泛研究，其中，在不同工况下对波纹管 进行应力应变分析是评估其对各种工况承受能力的基础和重要组成部分。 波纹管的应力应变分析研究方法主要有四种：解析分析方法：数值分 析方法：工程近似方法；实验应力法。7 0 年代之前的结构分析主要采用解 析法，从壳体以及板的微分方程出发，通过解析的方法寻求解答。这种求解方 法是比较困难和繁杂的，不容易掌握，实用性差，而且所用的计算模型与实际 的波纹管有较大误差。 为了适应工程设计需要，研究者们在解析法得到的近似解中引出了图表形 式的修正系数。经过这样的近似就可得出简单的设计计算公式，并在工程设计 中应用，其中较有影响的是：前苏联维赫曼公式、k e l l o g g 公式、日本东阳 ( t o y o ) 公司公式、西德a d 规范公式、美国膨胀节制造者协会标准 ( e j m a ) 公式 2 1 。在我国较有影响的是美国( e j m a ) 公式。由于计算模型与 原形( 膨胀节) 依然有一定差距，所以工程近似法的分析误差也很大。 7 0 年代以后，随着计算机技术的飞速发展，数值分析的方法在工程领域得 到了r 益广泛的应用。有限元技术作为一种用数值方法求解工程问题的新兴技 术在结构分析中的地位同益突出它在解决几何非线性、材料非线性和结构非 线性问题方面的独特优势愈来愈为研究人员所接受。 对波纹管进行有限元分析能够有效解决传统的解析法无法计算的波纹管弹 塑性大变形范围内的载荷应力响应问题。这个方法是将膨胀节本体进行离散 绪论 化，分成若干个单元，通过能量原理建立起以结点位移为基本未知量的代数方 程组，通过求解结点位移进而求出应变和应力口l 。它的特点是可以借助计算 机，一次计算出多种工况下的波纹管的位移和应力分布，便于设计者进行应力 分析，是对波纹管进行应力或总体分析的有效方法。 目前国内外流行着许多大型的通用有限元分析软件，如a n s y s ， a l g o r ，a d i n a 等，它们具有很强的非线性有限元分析能力。但由于使用这 些软件需要有经过长期培训的专业人员，购买软件又需要高昂的费用，特别是 软件使用过程中前后处理程序较为烦琐，在应用上受到了限制。随着波纹管研 究和应用的深入，开发一套界面友好、使用方便、求解精度较高的波纹管应力 应变分析专用软件己成为波纹管行业的一项重要课题。 1 2 有限元方法及其在波纹管研究领域中的应用 1 2 1 有限元方法的原理 有限单元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称f e m ) 是把整个结构看作由有限个 单元相互连接而成的几何实体，每个小单元的力学特征的总装效果反映出结构 的整体力学特性。 有限元分析的过程由解决一系列问题的代数方程组组成，对于结构应用来 说，基本的平衡方程可以由最小化系统的总位能得到。系统的总位能可以表示 为： 石= 告胪阳矿一f 计p d v f 8 1 7q d s ( 1 1 ) 式中p 为单位体积的体力，q 为面力，积分取在结构的体积v 和承载表面的面 积s 上。 在有限元位移法中，位移假定为未知量，且仅在节点上，因此在单元以内 的变化是以插值函数通过结点值来描述的，即 占= n j 。 ( 1 2 ) 式中n 称为为形函数的插值函数数组，占。是单元的结点位移向量。单元内的应 变可用单元的结点位移表示为 s = b j 。( 1 3 ) 应力则可以通过应变表示为 o = d c( 1 4 ) 南京工业大学硕士学位论文 根据连续体的总位能等于各单元能量之和有 石= t ( 1 5 ) 应用( 1 1 ) 式可以得到单元e 的总位能丌。 铲j 1 胪m ”伽跗矿一f f w p d v 一w 时q d s ( 1 6 ) 对单元e 的位能相对于结点位移取极小化可得： 孑= l ( d b ) 6 。d v 一班】，p d v u q d s = k 铲 ( 1 7 ) 式中 f 。= m p d v + u 】7 q d s ( 1 8 ) k 。= ，【b 】7 d b d v( 1 9 ) f 。是单元的等效结点力，k 。称为单元刚度矩阵。在( 1 7 ) 式中全部单元上各项进 行累加，当使它等于零时就得到整个连续体的平衡方程组 k 6 一f = 0 ( 1 1 0 ) k 称为总体刚度矩阵。求解这些方程组，便可求出结点位移，进而利用式 ( 1 3 ) 、( 1 4 ) 求出应力应变值，从而获得问题的解答。 综上可得，结构问题的有限元分析包括如下的基本步骤： ( 1 ) 将连续体割分为有限个单元： ( 2 ) 计算单元刚度和载荷项： ( 3 ) 将单元刚度和载荷项组装成总刚度矩阵和总的载荷向量； ( 4 ) 求解合成的联立方程组，求出未知的结点变量( 位移) ； ( 5 ) 计算从属的单元参数，如应力应变等。 公式( 1 1o ) 中刚度矩阵k 的形成是有限元分析的关键所在，本文的第二章 将对弹塑性大变形情况下的刚度矩阵作详细的介绍。 i 2 2 有限元方法的发展历程及其研究进展1 4 】【5 1 早在上个世纪4 0 年代初就有人提出了离散化的数值计算方法，到了5 0 年 代中期，m j t u r n e r 和r w c l o u g h 等人运用此方法用简单受铰接的三角平板单 元进行了飞机的结构分析，这一工作被认为是有限元方法的起源1 6 l 。1 9 6 0 年， r w c l o u g h 正式使用有限元这一术语，并用这种方法首次求解了弹性力学的二 绪论 维平面应力问题，引起了人们的极大关注。以后o c z i e n k i e w i c z 等对建立有限 元法的完备理论体系和计算方法方面作出了重要贡献。 1 9 6 7 年，p v m a r c a l 和i p k i n g 用有限元方法求解弹塑性问题，开始了在 塑性领域中的应用。1 9 6 8 年，山阳嘉昭【7 1 ( y y a m a d a ) 等推导出了弹塑性小变 形问题的应变矩阵显式，大大推进了小变形弹塑性有限元方法的发展和实用。 但是一小变形理论为基础的弹塑性有限元法只适用于分析结构变形的初期情 况，随着变形量的增加会出现明显的误差这就推动了大变形弹塑性有限元法 的发展。1 9 7 0 年，h d h i b b r 等首次利用l a g r a n g e 描述提出了大变形弹塑性有 限元列式，7 0 年代中期，r m m c m e e k i n g 采用e u l e r 描述法建立了大变形有限 元列式，自那时起，大变形弹塑性非线性有限元理论不断完善，在结构分析中 得到了广泛的引用。 8 0 年代后，由于数值方法的发展和一些复杂工程问题数值求解的需要，逐 渐出现并形成了一些新的有限元处理方法，如自适应有限元方法、随机有限元 方法、并行有限元方法、智能型有限元方法等。 自适应有限元方法是一种能通过自适应分析自动调整算法以改进求解进程 的数值方法。它以传统的f e m 为基础，以误差估计和自适应网格改进技术为核 心通过有限元网格和形函数的自动选择提高求解的精度和效率。另外，自适 应方法还可以在求解非线性问题和瞬念问题时实现载荷增量的自话应选取和时 间步长的自适应调整。它和c a d 、优化设计、计算机可视化等先进技术的结 合，使工程设计的自动化程度大大提高，己成为f e m 发展的一个重要方向。 随机有限元方法是一种利用常规的确定性f e m 和概率分析技术求解随机结 构问题的随机数值方法。它在物理建模上将客观不定性描述为随机量，建立随 机模型通过随机结构的离散化借助确定性f e m 和考虑随机性的算法，可以 求得随机结构力学特性的统计特征，并合理地估计结构的可靠性。随机有限元 的计算量较大，其分析效率和自动化程度的提高以及与其它先进算法的结合是 其发展中的主要问题。 8 0 年代出现了采用新型体系结构的大型并行计算机和并行处理微机网络， 同时，各种数值分析算法的并行化也得到了发展，这就促成了并行有限元的形 成和发展。有限元并行算法包括两类，直接并行法和并行迭代法。前者是基于 一般有限元体系对方程组求解采用并行分析方法。后者则是将运算扩展到单元 南京工业大学硕士学位论文 级，化为大量的矩阵和向量运算可在不形成总刚度矩阵的情况下进行求解。 并行有限元的发展大大提高了有限元分析的运算速度。 智能型有限元方法是指计算力学和特定工程领域专家的集体知识为依据的 有限元专家系统，是集模型化过程、有限元分析和解释评价于一体的智能化分 析系统。智能型有限元专家系统，由于捌有知识库和推理机，可为工程问题的 物理理解、有限元建模、数值模型求解、结果的解释评价等提供所需的知识、 经验和判断，帮助用户进行合理的建模和求解，可有效地提高f e m 的分析效率 和精度。 上述的有限元先进算法，有些已经取得了较大的发展，如自适应有限元和 并行有限元，有些尚处于探索性阶段，如随机有限元、智能型有限元。他们的 共同特点是传统有限元方法与其它理论和方法的结合，这将是有限元进一步发 展的必然趋势。 1 2 3 有限元方法在波纹管研究领域中的应用 随着计算机技术的迅猛发展，有限元方法已成为能处理几乎所有连续介质 和场问题的一种强有力的数值计算方法，其在波纹管研究领域中的应用也得到 了迅速而深入的发展。 8 0 年代以来，国内许多研究人员开始将有限元方法应用于波纹管应力应变 分析研究中，取得了很大的成功。概括起来讲，主要经历了三个发展阶段： 第一阶段出现在8 0 年代初，特点是利用弹性有限元对波纹管进行应力应变 分析。钱定会【b 1 1 9 1 分别用三角形轴对称单元和截锥壳单元对波纹管进行了弹性分 析。谢志成提出了考虑轴对称薄壳的曲率影响，以壳的斜度变形为连续参数 的直线单元的弹性有限元分析方法。弹性有限元分析在小载荷情况下，可以获 得了比较好的计算结果，但随着位移量的增大，误差也越来越大。 第二阶段始于8 0 年代末，在9 0 年中后期有了较快发展，主要特征是非线 性有限元技术在波纹管分析中的应用。陆明力l 发展了一种轴对称薄壳弹塑性 大变形有限元分析方法，并编写了计算机程序。我校研究生何森、周毅锦 1 3 】 等人在硕士论文中建立了轴对称弹塑性有限元程序，并增加了简单的前处理程 序，可用于u 形波纹管的应力应变分析。非线性有限元技术的应用，使得有限 元分析的计算精度得到了很大的提高。 绪论 9 0 年代术至今，国外许多优秀的商用有限元软件如a n s y s 、a l g o r ， a d i n a 等逐渐在国内得到推广与应用，波纹管的有限元分析随之也进入了蓬勃 发展时期。波纹管的非线性有限元分析已经成为波纹管强度分析、振动分析以 及稳定性分析的基础。赵连生1 1 4 1 、张列”1 等人借助商用有限元软件a d i n a 和 a n s y s 对波纹管进行了非线性分析，得到了较好的计算结果。我校博士生陈晔 在他的博士论文1 6 1 中对波纹管的非线性特性进行了较为全面的研究。他不但考 虑了波纹管的弹塑性大变形特性，而且利用a n s y s 的接触分析能力，综合考 虑了波纹管层问间隙的影晌，取得了较为满意的计算结果。 上述研究工作的共同特点是，研究人员使用通用有限元程序或一些商用有 限元软件，选用其中的一种模型对波纹管进行应力应变分析，依然没有与现代 软件设计方法结合起来，形成波纹管专用分析软件，因而只能用于波纹管有关 研究工作中，难以在工程中得到广泛应用。 1 3 课题的主要内容 本课题主要是利用有限元的方法分析波纹管的非线性特性，并利用现代软 件设计技术，按照软件工程的方法开发一套界面友好、使用方便、求解精度较 高的波纹管应力应变分析专用软件系统。主要有如下几个方面的内容： 1 二维非线性有限元程序的研制。 这是软件的核心计算部分。为了实现对不同类型、不同工况的波纹管进行 非线性有限元分析，程序应当具有参数化的有限元分析能力。这一方面，有很 多前人的工作可以借鉴，国内外的许多研究人员利用f o r t r a i i 语言开发出二维有 限元分析程序，可以求解平面应力、平面应变和轴对称问题。本课题在吸取上 述有限元编程经验的基础上，根据波纹管的非线性特性和弹塑性大变形有限元 分析方法，编制了适合波纹管应力应变分析的有限元计算程序。 2 波纹管有限元分析前处理程序的研制。 前处理技术直是有限元发展的瓶颈问题。以往人们几乎是手工或半自动 地进行有限元网格生成、冗长的数据准备等，这耗去了有限元分析的绝大部分 时间。前处理技术的研究一直是有限元发展中的热点问题。 本课题根据波纹管几何特性和载荷特性，编制了波纹管有限元分析的前处 理程序。该程序能够根据用户提供的计算条件，自动建立波纹管的有限元模 6 南京工业大学硕士学位论文 型，实现网格划分、边界约束和载荷加载的自动化，为有限元计算提供模型的 几何参数、材料参数、约束参数、载荷参数和各种控制参数。 3 用户界面设计与程序的组装。 设计友好的用户界面，方便用户操作是本课题的主要目的。通过软件的工 作界面，用户能够方便地输入波纹管基本参数，调用前处理程序和有限元计算 程序进行有限元建模和计算，并对计算结果进行后处理。 将用户界面程序与有限元计算程序和前处理程序结合起来，组装成一个完 整的波纹管有限元分析系统，这是一项重要的实践性工作，其中的接口技术是 本课题研究工作的重点之一。 另外，软件系统应能够提供各种提示信息和错误操作处理信息，以控制软 件的f 确运行。 4 。软件测试。 软件测试是软件开发中一项不可或缺的工作，其工作量约占软件丌发总工 作量的4 0 以上。通过软件测试，可以尽可能地发现软件产品中存在的错误和 缺陷，促进软件的不断完善。 软件测试包括单元测试和组装测试。 单元测试，主要检查各个程序模块的正确性，进行边值分析，处理各种出 错信息，给出软件的使用范围。 组装测试，主要分析程序组装成软件的诈确性，处理各种非法数据和非法 操作，最终完成软件设计任务。 5 软件可靠性验证。 本文使用课题丌发的波纹管有限元计算软件( b f e a ) 计算了一些典型算例， 通过将有限元计算结果与实验结果进行比较和分析，直观地验证了本软件的正 确性和可靠性，。 1 4 课题的研究方法 本课题主要采用f o r t r a n 与v c + + 混合语言编程的方法进行软件设计。 混合语吉。编程是一种应用型的编程技术，它可以将多种程序设计语言编制 的模块组合起来实现软件功能。混合语言编程技术是软件开发技术中一个重 要的研究领域。 绪论 本软件的有限元计算模块和前处理模块使用f o r t r a np o w e r s t a t i o n4 0 编写 程序，生成相应的动态链接库文件。利用v c + + 6 0 开发软件的用户界面，通过 软件接口调用动态链接库中的f o r t r a n 模块，实现有限元建模和计算，再对计算 结果进行各种可视化处理。 这样，既发挥了f o r t r a n 语言强大的科学计算速度和能力，又能够方便地丌 发出友好的图形用户界面，而且便于实现软件设计的模块化，提高了软件开发 的质量和效率。 8 南京工业大学硕士学位论丈 第二章非线性有限元分析的理论基础 固体力学问题，从本质上讲都是非线性的，线性假设只是实际问题的一种 简化。线性分析的基本假设包含三点：结点位移为无限小量，材料为线弹性， 加载时边界条件的性质保持不变”。如采上述假设中的任一条不能满足。则属 于非线性问题。常见的是不满足前两种假设的非线性行为。分别称为几何非线 性和材料非线性。 2 1 波纹管的非线性特性【l s 】【饽1 工作状态下的波纹管伸缩变形是一种复杂的非线性变形。实验表明。在小 载荷情况下，波纹管的应力应变关系呈线性特征，此时，采用弹性有限元分析 的结果与实验结果较为接近。但是，当波纹管承受较大的位移补偿时，结构处 予高应力水平，波峰和波谷的局部处于塑性区，弹性有艰元分析的结果与实验 结果之问就存在较大的误差。这种误差是由材料的非线性特性引起的，因而必 须采用弹塑性有限元方法进行分析。 结构的非线性分析中，对于位移量超过构件本身几何尺寸而应变又远小于 l 的问题称为大位移小应变问题。大型波纹管的壁厚一般不超过5 m m ，而单波轴 向补偿量却往往在1 0 m m 以上，因此，波纹管的屈曲变形属于大位移行为。另一 方面，大量的实验研究和有限元分析实例表明，承载状态下的波纹管尽管挠度 很大，但应变值并不大。其数量缴一般小于1 0 4 煳。尽管局部塑性区的应变 值可能会较大，但其范围一般很小。为了简化问题的复杂程度，一般认为波纹 管的应变处于小应变范围。因此，运行状况下的波纹管还表现出大位移、小应 变的几何非线性特征。 综上可得，波纹管的非线性特性既存在材料非线性因素，又存在几何非线 性因素，因此，对实际波纹管的有限元分析应建立在材料非线性和几何非线性 分析的基础上。 2 2 材料非线性问题的有限元分析他2 儿圳阻们。他州 对于材料非线性，此时，结点位移分量仍假设为无限小量，非线性效应主 要由材料应力应变关系的非线性特性引起，也就是小变形弹塑性问题。为了阐 述弹塑性变形理论，将会出现下面三个方面的要求： 非线l 生有限元分析的理论基础 ( 1 ) 必须用显式关系来描述弹性条件下即未出现塑性变形时的应力应变 关系。这在绝大多数弹性力学教材中均有介绍，可以表示为式( 2 1 ) 所示的形 式： 盯= d c ( 2 1 ) 该式称为本构方程。其中，d 称为弹性矩阵。 ( 2 ) 要有一个屈服准则，以此来指示应力达到多大时，必须开始出现塑性 流动。 ( 3 ) 必须研究屈服状态的应力应变关系，这种状态下的变形同时由弹性和 塑性两部分变形组成。 2 2 1 屈服准则 屈服准则主要用来确定开始塑性变形时应力的大小。在复杂应力状态下， 材料的屈服条件和六个应力分量有关，与材料性质有关，一般可以表示为以下 的函数形式 f ( c r 。) = f ( o - ，c r 2 2 ，) = f ( 女) ( 2 2 ) 式中，表示某个函数，k 是与材料性质有关的常数，可由实验确定。这个方程代 表一个曲面，这个曲面称为屈服面。 从物理角度来看，任何屈服准则都不依赖于所选的坐标系方向，因此，对 于均匀的各向同性材料，函数只能是三个应力不变量的函数： j i = c r ， j 2 = i l q ( 2 3 ) j 3 = 毛a | p i k d k ? 由于金属的塑性变形实质上与静水压无关的，因此屈服函数可以用应力偏 张量的不变量表示为 f ( j ，j j ) = f ( 2 4 ) 式中j 2 ，j 3 为应力偏张量的第- a n 第三不变量。 对于金属材料，常用的两个屈服准则是t r e s c a 准则和v o nm i s e s 准则。 ( 1 ) t r e s c a 屈服准则 o 南京工业大学硕士学位论文 这个准则认为当最大剪应力达到某一值时即开始屈服。若主应力为盯、 盯2 、盯) ，且盯l 盯2 盯3 ，那么当 吼一0 3 = y ( k ) ( 2 5 ) 时丌始屈服。这个准则可用一个无限长的正六边形柱体来表示，如图2 1 所示， 柱体的轴线与由吼= 盯：= 玛确定的空间斜线重合，而且柱体的每个f 截面都相 同。如图2 2 ( a ) 所示，把正截面投影到平面q + 盯：+ q = o 上，用几何方法来 表示屈服面则较为方便。当屈服函数f 只依赖于j 2 ，j 3 时，可以写成 ，( q 一吒，仃：一吒) 的形式，那么曲面f _ f 的二维图像如图2 2 ( b ) 所示。 图2 1 主麻力空间 t r e s c a i v o nm i s e s 屈服面 f i g 2 1t h ey i e l ds u r f a c eo f t r e s c aa n dv o nm i s e si nt h es p a c eo f m a i ns t f e s s ( 2 ) v o nm i s e s 屈服准则 v o nm i s e s 屈服准则认为应力偏量第二不变量j 2 达到极限值时，材料开始 屈服。 ( j 2 ) i2 万o s ( 2 6 ) 式中盯。为材料单向拉伸试验的屈服应力。应力偏量的第二不变量j 2 可直接写成 如下形式： 几= 三西盯；= 吉i q 一盯：) 2 + ( c r 2 一乃) 2 + ( 0 3 - - 0 t ) 2 】 ( 2 _ 7 ) 代入公式( 2 6 ) 可得 孑= j 圭陆吧) 2 + ( 妒2 + ( 巳1 ) 2 】咆 ( 2 8 ) 非线性有限元分析的理论基础 即在复杂应力状态下，某点的等效应力达到材料单向拉伸时的屈服应力时，该 点开始屈服。仃称为等效应力或当量应力。 在以q ，盯。，盯，为坐标轴的应力空间中，式( 2 8 ) 的图形是等倾圆柱面，见图 2 - 1 ，称为m i s s 屈服面。如应力点在圆柱面内，只产生弹性变形，应力点在圆柱 斤 面外继续产生塑性变形。等倾圆柱面在n 平面上的投影是一个半径为1 愕以的 yj 圆，如图2 - 2 ( a ) 所示。m i s s 屈服面的二维图形是如图2 2 ( b ) 所示的椭圆。 v 0 1 钐 幼 倒2 2t r e s e a l ! v o nm i s e s 准则屈服的二维表示法 ( a ) n 平面表示法：( b ) i ：程_ h j 法 f i g 2 - 2t h ey i e l dr u l e so f t r e s c aa n dv o n m i s e si nt w od i m e n s i o n s 对于大多数的金属，v o nm i s e s 准则 ：| ：, t r e s c a 准则与实验数据更加符合，但 由于t r e s e a 准贝1 在理论应用上比较简单，故也经常使用。 2 2 2 等向硬化模型 对于不具有硬化特性的理想塑性材料，到达塑性变形状态以后，屈服条件 不变，也就是说变形可以继续增加直至破坏为止，其屈服曲面的大小和形状都 不改变。但对于具有硬化特性的材料则不然。从简单拉伸实验知道，硬化材料 在屈服以后，随着塑性变形的发展仍有继续抵抗变形的能力。也就是说，要产生 新的塑性变形，只有提高应力才有可能，这就是材料的硬化特性。 图2 3 给出了材料中描述硬化特性的几种不同模型。图2 3 ( a ) 表示理想塑性 材料，其屈服应力的大小与变形的程度无关。如图2 3 ( b ) 所示，随后的屈服面是 初始屈服面的无平移的均匀扩展，这种硬化模型是各向同性的，称为等向硬化 模型。相反的，如果随后的屈服面保持它原先的形状与方位，而只是在应力空 南京工业大学硕士学位论文 间中象刚体一样平移如图2 3 ( c ) 所示，则称为随动硬化模型。 。i j 锄 彩 当前屈服面 乍叔加载。 心弓0 赫屈服面 加藏 t fn 。 弋二 一， 嘉屈服面 幽2 3 二种硬化模型 ( a ) 理想塑性；( b ) 等向硬化：( c ) 随动硬化 f i g 2 - 3t h r e et y p e so f s t r e n g t h e n i n gm o d e l s 等向硬化模型认为材料的硬化是在各个方向同样的产生和发展，这样屈服 曲面只是随着硬化强度而逐渐等向地扩大，后继屈服曲线保持原来的形态中心 和方向，只是均匀地膨胀和缩小。等向硬化条件为： 八盯。) = f ( k )( 2 9 ) 式中k 是一个和塑性变形及加载历史有关的量。假定硬化参数k 只是总塑性功的 函数，即 k 2 5j d 巧 ( 2 1 0 ) 式中如：是应变增量过程中产生的塑性应变分量的增量。 2 2 3 弹塑性应力应变关系 在初次屈服以后，材料特性将是部分弹性和部分塑性的。这时，有的点或 区域有很大的变形，另外的点或区域可能仍处于弹性状态，有的点或区域则可 能处于从弹性到塑性的过度状态，p r a n d t l r e u s s 塑性流动理论用增量方法描述了 此时的应力应变关系。 p r a n d t l - r e u s s 塑性流动理论认为： 1 ) 材料进入塑性后，物体内一点的应变分量总增量d 毛由弹性应变分量的增 量d 和塑性应变分量的增量如彳两部分组成 嘞2 蟛+ 蟛 ( 2 1 1 ) 2 ) 弹性应力增量的分量与应变增量之问的关系由广义虎克定律来确定 蟛= 【d r 。d e r 。 ( 2 1 2 ) 非线性有限元分析的理论基础 3 ) 弹塑陡应变增量的分量d s ；与应力偏量的分量间有下面关系 d ：。d 3 , g r ( 2 1 3 ) 式中以是比例因子，对各向同性硬化材料而言，它是载荷和点的位置坐标有关 的函数，对不同的材料，由于其本身的物理机械性能不同，烈函数也是不同 的。 利用塑性流动理论、m i s e s 屈服条件和等向硬化条件可以推导出弹塑性增量 的应力应变关系为 d a = d ”d e( 2 1 4 ) 其中 胪却一蔫却加。咖肋 j d ”通常称为弹塑性矩阵。式中各参数的意义如下： d 是通常的弹性常数矩阵，对于波纹管一类的轴对称问题， 可写为 d ：墨! ! 二生 ( 1 + ) ( 1 2 ) 1 l0 生 1 一ul 一社 生 10 生 1 一u1 一耻 oo ! 二! 坐0 2 ( 1 一) 上上0 1 ( 2 1 5 ) 弹性矩阵d 的显式 ( 2 1 6 ) a 称为流动矢量。它的值与屈服准则有关，用分量形式可以表示为： 口r = 口l ，口2 ，a 3 ，d 4 ( 2 1 7 ) 文献 2 5 】给出了不同屈服准则下流动矢量a 的值， 根据式( 2 1 6 ) $ e 1 ( 2 1 7 ) 可以得到轴对称问题的如值 d d = d i d 2 d 3 d d 旦口+ m l + “ 上d + 肘 1 + “ e 而o ， 旦口+ m 1 + 4 m i - 繁1 荣等2 k t ，砷 ( + ) ( 1 一 ) 南京工业大学硕士学位论文 h 为硬化模量h ，= 要：_ ；七，e t 是弹塑性材料的切向模量，为了降低 如9 、一e ，| e 。 1 问题的复杂程度，一般可以采用线性形式的应变强化模型。如图2 4 所示，可以 从弹塑性材料单向拉伸试验时的 o p e n ( ”d b h n a t e r i a l m d b “) ； ) c a t c h ( c d a o e x c e p t i o n + e ) d i s p l a y d a o e x c e p t i o n ( e ) ； d e l e t et m p d b ； e - d e l e t e o ； r e t u r n ； i f ( m _ p d b ) i f ( m _ p d b - i s o p e n o ) m a 口d b - c l o s e o ； m _ _ p d b = n u l l ； m a ) d b 2 t m p d b ； c d a o t a b l e d e f m _ o p e n t a b l e ( m a 】d b ) ； t r y m _ o p e n t a b l e o p e n ( m _ m a 0 ； c a t c h ( c d a o e x c e p t i o n + e