（道路与铁道工程专业论文）箱梁的扭转畸变分析.pdf

摘要 箱形截面梁是目前桥梁中广泛采用的一种截面形式，具有优良的结构受力性能，但 箱梁的约束扭转分析则较为复杂，本文介绍了不考虑断面变形的箱梁扭转理 a 和考虑断 面畸变的符拉索夫广义变分法，论述了用有限元法计算断面有、无畸变的薄壁杆的理 论，并以此为基础编制了相应的有限元程序，该程序对于等截面薄壁直杆的扭转分析非 常适用，且具有较高的计算精度。 对于复杂的变截面连续箱梁的扭转分析，则需借助通用有限元程序对结构进行空间 分析，本文以齐齐哈尔嫩江公路大桥模型试验为研究对象，采用通用有限元程序 a n s y s 对试验模型进行仿真分析，将模型在不同荷载工况作用下扭转畸变效应的理论 计算值与试验值进行了比较分析，取得了较为理想的结果，表明用a n s y s 中的 s h e l l 6 3 壳单元对复杂的大跨度变截面连续箱梁进行空间分析是可行性的，并以此为 基础重点讨论了横隔板的密度及厚度对变截面连续箱梁在偏心荷载作用下所产生畸变效 应的影响程度。通过计算分析认为，横隔板可以显著减小变截面连续箱梁的畸变效应， 特别是在跨中断面设置横隔板，能有效的减小跨中截面附近的畸变应力，而在4 等分截 面、6 等分截面设置横隔板对截面畸变效应的约束作用有一定减小。最后，变截面连续 箱梁在横隔板间距一定的情况下，将中洲横隔板厚度的变化对畸变效应的影响程度做了 分析，计算结果表明，当横隔扳具有一定的刚度时，中间横隔板厚度的变化对畸变效应 的影响较小。本文分析所得的结论对变截面连续箱梁的设计和施工有一定指导意义。 关键词箱梁；扭转；畸变；横隔板 ：= ：=篓! ! 竺些叁茎竺耋耋竺堡兰 a b s t r a c t t h eb o xg i r d e ri sak i n do fs e c t i o n a lf o r ma d o p t e de x t e n s i v e l yi nt h eb r i d g ea tp r e s e n t ， t h e r ei sf i n es t r u c t u r et h a tr e c e i v e ss t r e n g t hp e r f o r m a n c e ，b u tt h i nw a l ls t r u c t u r et o r s i o n a n a l y s i n gc o m p a r a t i v e l yc o m p l i c a t e d ，t h i sp a p e ri n t r o d u c e dt h eb o xg i r d e rt o r s i o nt h e o r yo f n o t h i n gs e c t i o nd i s t o r t i o na n dc o n s i d e rs e c t i o nd i s t o r t i o nb e n do v e rb r o a ds e n s ec a l c u l u so f v z v l a s o v i ta l s oi n t r o d u c e dt h et h i nw a l lf i n i t ee l e m e n tt h e o r yw i t hd i s t o r t e da n du n d i s t o r t e d s e c t i o n ，a n dw o r ko u tc o r r e s p o n d i n gf i n i t ee l e m e n tp r o g r a m ，t h i sp r o g r a mi sv e r ya p p l i c a b l e t ot h et o r s i o n a la n a l y s i so ft h et u r ns i m p l eo n es e c t i o nt h i nw a l ls t r a i g h tp o l e ，h a v et h eh i 曲e r p r e c i s i o no fc a l c u l a t i o n t u r na st ot h et o r s i o na n a l y s i so fc o m p l i c a t e dc o n t i n u o u sb e a m ，i tn e e dt h es p a c ea n a l y s i s w i t ht h eg e n e r a lf i n i t ee l e m e n tp r o g r a m t h i sp a p e rr e g a r d sn e n j i a n gh i g h w a yb r i d g em o d e l t e s to fq i q i h a ra st h er e s e a r c ho b j e c t ，a d o p tf i n i t ee l e m e n tp r o g r a ma n s y st oe m u l a t et h et e s t m o d e l ，a tt h ed i f f e r e n tl o a do p e r a t i o n ，i tc o m p a r et h ec a l c u l a t ev a l u et ot e s tv a l u eo ft h es h e a r - l a ge f f e c ta n dt o r s i o ne f f e c t ，h a v em a d et h ec o m p a r a t i v e l yi d e a lr e s u l t ，h a v ep r o v e dt o c o m p l i c a t e dt u r n i n gt h ef e a s i b i l i t yo f a n a l y s i n gt h es p a c ei n t ot h ec o n t i n u o u sc a s er o o f b e a mo f s e c t i o f iw i t hs h e l le l e m e n ts h e l l 6 3i na n s y sb a s e do nt h i s ，i td i s c u s s e di n f l u e n c ed e g r e e o fh o r i z o n t a ld e n s i t yo fd i a p h r a g mt ot h ed i s t o r t i o no ft h ec o n t i n u o u sg i r d e l b r i d g ea tt h e d i f f e r e n tl o a d ，t h i n kt h r o u g hc o m p u t a t i o n a la n a l y s i s ，t h eh o r i z o n t a ld i a p h r a g mc a nr e d u c et h e d i s t o r t i o ne f f e c to ft h ec o n t i n u o u sg i r d e rb r i d g e ，s e tu pt h ed i a p h r a g mn e a r b yg r e a t e rd i s t o r t i o n s t r e s si nt h er e d u c t i o nt h a ti tc a nb ee f f e c t i v es u p p o r t st h ep l a c ea n ds t e p ss p e c i a l l yw h i l e s u p p o r t i n gt h ep l a c ea n ds t e p p i n g ，b u ts e tu paf a i r l yl a r g en u m b e ro fh o r i z o n t a ld i a p h r a g m ，i t i s v e r yd i f f i c u l tt or e d u c et h ec o n t i n u o u sd i s t o r t i o ne f f e c tt on e g l e c t e dd e g r e e ，s om u s t c o n s i d e rt h ei n f l u e n c eo fd i s t o r t i o nw h e nw ea n a l y s et h ec o n t i n u o u sg i r d e rb r i d g e f i n a l l y , a t t h ec e r t a i nd i a p h r a g mi d e n s i t y , h a v em a d eb r i e fa n a l y s i si ni m p a c to nd i s t o r t i o ne f f e c to f c h a n g eo ft h ed i a p h r a g mt h i c k n e s si nt h em i d d l e ，t h ec h a n g eo ft h eh o r i z o n t a lt h i c k n e s so f d i a p h r a g mh a sal i t t l ee f f e c to nd i s t o r t i o ne f f e c t ，t h i sc o n c l u s i o ni su n a n i m o u sw i t hj a p a n e s e s c h o l a r t h i sp a p e r c o n c l u s i o nw o u l db eh e l pt ot h ed e s i g na n dc o n s t r u c t i o no ft h ec o n t i n u o u s g i r d e rb r i d g e k e y w o r d sb o xg i r d e r ；t o r s i o n ；d i s t o r s i o n ；d i a p h r a g m 1 1 绪论 1 1 引言 1 绪论 箱形截面梁是一种闭口薄壁结构，其长度远大于横截面尺寸，并且壁厚度又远小于 截面宽度或高度。因薄壁箱梁具有优良的结构及受力性能，所以在桥梁工程中得到了广 泛的应用，其优点主要表现在： ( 1 ) 箱梁截面抗扭刚度较大，在施工和使用过程中均有良好的稳定性； ( 2 ) 顶板和底板都具有较大的混凝土面积，能有效的抵抗正负弯矩，因而特别适应 具有正负弯矩的连续结构； ( 3 ) 箱梁结构中部得到很大的挖空，因而自重小； ( 4 ) 承重结构和传力结构相结合，使各部件共同受力，达到较好的经济效果同时 截面效率高，适合预应力混凝土结构空间布置钢束。 薄壁杆件在偏心荷载作用下，其受力特性比较复杂，将产生纵向弯曲、扭转、畸变 以及横向挠越四种基本变形状态如图l l 所示。 一一i 一一 t 1 l 二r 二二二二j 彳r 、，一， ( b ) 刚性转动( c ) 截面歪烈( 畸变)( c ，) 局部横向弯曲 幽卜l 此外，当外荷载达到一定的数值时，杆件还可能发生失稳。薄壁杆件力学主要就是 研究薄壁杆件的弯曲、扭转、畸变、横向挠曲及稳定性问题。 1 2 国内外研究现状 由于箱梁受力的复杂性其研究方法亦多种多样，但概括起来，可分为两大类即 解析法和数值法。 1 2 1 解析法 箱形梁是一个复杂的空间受力体系，计算相当复杂，为简化分析，在解析法中，通 常进行一些必要的假设。将作用于箱形梁上的偏心荷载分解成对称荷载与反对称荷载。 在反对称荷载作用下，按薄壁轩件理论求解；在对称荷载作用下，按梁的弯曲理论求 解，然后将二者的结果叠加即为偏心荷载作用下总的荷载效应。扭转分析时根据横断面 的刚度区分为刚性扭转( 截面周边不变形) 、畸变( 截面周边变形) 和约束扭转( 纵向 纤维变形) 。解析法的具体思路是：先假设位移模式，有了位移后。可求得截面各点的 应变和应力。在此基础上，用力的平衡条件和变形协调条件或根据变分原理建立控制微 童! ! 塾兰奎兰些! ：兰些兰兰 分方程：解微分方程，求得应力和位移。 ( 1 ) 扭转分析早期，薄壁杆件的扭转和弯曲是分开考虑的。其弯曲理论建立在平 截面假定的基础上，除弯曲剪应力外，一般用材料力学初等梁的理论就可以解决l jj 。随 着研究的深入，人们发现在大多数情况下平截面假定足不合实际的，对腹板间距较宽的 箱梁，对称弯曲时，翼板上远离腹板处的纵向位移滞后于近腹板处的纵向位移，即剪力 滞效应。对于扭转的研究，圣维南( s t v e n a n t ) 首先在十九世纪五十年代提出了完善的 自由扭转理论【引解决了扭转时杼件截面的翘曲问题。1 9 0 3 年普朗特( l p r a n d t l e ) 提出 了薄膜比拟法 1 0 l ，使圣维南的扭转理论得以在工程薄壁结构中应用。铁木辛柯 ( s t i m o s h e n k o ) 和符拉索夫( v z v l a s o v ) 分别在二十世纪初独立的提出了约束扭转 的一般理论。其中符拉索夫理论f 2 j 是在“板中面剪应变为零”和“周边不变形”两条假 定的基础提出来的，简洁明了，得到了广泛应用。但是这两条假定引起的计算结果的误 差也不容忽视。a a 乌曼斯基在分析闭口薄壁杆件时放弃了符拉索夫“板中面剪应变为 零”的假定，提出了闭口截面杆件的约束扭转理论口j 。但是这一理论还是忽略了对于闭 口截面薄壁杆件至关重要的截面外形轮廓线变形即畸变，因此计算结果仍存在很大的 误差。 ( 2 ) 畸变分析随着研究的发展，发现当薄壁杆件具有非对称截面且剪切的作用不 容忽视时，畸变对受力性能的影响较大。1 9 3 3 年，艾伯纳发表了关于折板理论的畸变 解析法怛1 1 ，从而拉开了考虑周边变形的箱梁扭转问题研究的序幕；此后辛格、戴弗里 斯、斯肯纳相继发表了关于畸变问题研究的报告；1 9 4 9 年，符拉索夫另辟蹊径，提出了 对于由平板围成的闭口截面杆件考虑截面外形轮廓线变形的约束扭转计算新方法广 义坐标法1 4 j 。阿伯代尔、沙马特、莱特、罗宾逊、奥村和板井等人也用广义坐标法研究 了畸变问题；西野、长谷川、名取在严格变位场假设下，比较了广义坐标法，对约束扭 转和畸变做了综合考察但出于该法采用截面变形中心与扭转中心一致的假设，因此只 适用于具有两个对称轴的截面，并且不能考虑箱梁顶板的悬臂作用。 由于将约束扭转和畸变综合在一起考虑时，计算分析比较复杂，而且已有的方法， 如广义坐标法，在实际应用中有其局限性，因此在实际分析中，薄壁杆件的约束扭转一 般分解为刚性扭转和畸变两部分进行单独分析。对于箱梁的畸变，除广义坐标法外，薄 壳理论是另外一种传统的解析方法，但其繁琐可想而知，很难在实际工程中推广应用。 得勃洛斯基( r d a b r o w s k i ) 由传统的弯曲理论和约束扭转理论推广出“广义的弯曲理 论”，经简化得到简便实用的畸变分析理论。文献【3 】介绍了这种不考虑剪切变形的畸变 分析理论，并利用其与弹性地基梁的相似关系对其畸变微分方程进行求解，是畸变分析 的良好思路。文献 5 】据此推导了变截面箱梁畸变分析的刚度法。薄壁杆件横向挠曲一般 认为是产生畸变的原因，故其分析与畸变分不刀：，文献【4 】对此作了介绍。 平岛政治【1 2 j 以弯曲理论为出发点提出考虑剪切变形的任意四边形箱梁畸变理论， r i c h o w d b 采用等代梁法来求解变截面箱梁的畸变问题，该法是- - 4 0 0 实用的简化计 算；近年来，精确而实用的弹性地基比拟梁法( b e f 法w r i g h t n ) 的出现，使等截面 箱形梁的畸变分析得到了初步的完善，该法应用能量原理推得一个和弹性地基梁挠曲微 分方程类似的畸变微分方程。从而可以应用弹性地基梁理论分析箱粱畸变，浚法具有物 理概念清晰，受力明确，计算简单等特点，但该法不能计算变截面的畸变问题。 绪论 ( 3 ) 横向挠曲对于荷载作用下在箱梁顶板( 两腹板之间或悬臂上) 任意位置时， 必须考虑箱梁的局部荷载效应，亦即考虑箱梁的横向弯曲问题。目前，箱梁横向弯曲分 析的解析方法有影响面法和框架分析法。影响面法( h o m b e r g 法) j4 j 以弹性变形理论为 基础利用p a u e h e r 、h o m b e r g 与r o p e r s 等人所作弹性薄板影响面图表、公式求出嵌固点 的弯矩和反力，荷载作用处的弯矩电可利用影响面求出，然后解除角点的嵌圃，即在角 点处施加以方向相反而数值相等的等效角点弯矩和反力，再按框架进行分析；框架分析 法是美国目前流行的计算荷载局部弯曲的一种简化方法，该法首先在箱梁底角点设辅助 的垂直铰支承，并在侧面的一个顶角点及一个底角点上设水平铰接支承，然后按平面框 架分析求得垂直荷载作用下框架的内力与铰接支承处的反力。由于实际上并不存在支 点，故施以与支点反力反方向而大小相等的力，以恢复结构原状，这样角点力产生的畸 变横向挠曲力矩与框架横向挠曲力矩之和即为垂直荷载作用下的全部横向力矩。 ( 4 ) 国内研究概况我国学者也在箱梁分丰j i 的解析法方面做了大量的研究工作。李 国豪教授在文献 1 7 】中从分析箱梁板微元的变形和内力h 发，运用能量变分原理演出挠 曲与扭转时的静力平衡微分方程，黄剑源教授在文献 1 】中对薄壁箱梁结构的扭转问题 做了详细的分析，福州大学结构工程研究所受交通部委托，近年来对箱形梁的受力性能 进行了计算分析，同济大学张士铎教授在文献 7 】中采用能量原理推导畸变微分方程，铁 道部大桥局设计院秦顺全应用广义坐标法分析了钱塘江二桥的约束扭转效应，并提出箱 梁扭转分析时横隔板的简化计算法，并在文献 8 】中把厂义坐标法的基本原理和结构分析 中的矩阵位移法相结合，能毫无困难的分析任意室数和截面形状的箱梁，解决了广义坐 标法只能解决具有两个对称轴的箱形截面的扭转问题。 1 2 2 数值法 随着电子计算机应用的同益广泛，除了解析法外，数值方法逐渐成为分析薄壁杆件 的重要的方法。其中有由上述解析法发展而来的有限元法，或称刚度法；也有按有限元 基本理论推导而得的数值方法；利用成熟的板壳有限元分析软件对薄壁秆件进行分析也 是实际工程中常用的方法。另外，有限条法、有限杆单元法电是薄壁杆件分析中常用的 数值方法。 ( 1 ) 有限元法有限元法被公认为是一种强有力的数值计算方法。浚方法的优点是 适用于各种类型、各种支承情况的箱梁( 如单室、多室、单箱、多箱、简支、连续 等) ，考虑因素全面，能够计算弯曲、扭转、畸变、横向挠曲引起的综合应力。目前， 大型通用有限元程序( 如s a p 2 0 0 0 、a n s y s 等) 非常流行，为该方法的应用提供了有 利的条件。 ( 2 ) 有限条法有限条法是y k e h e u n g ( 张佑启) 于1 9 6 8 年创立的一种半数值半 解析法。它根据折板理论，把箱梁三维空间问题简化成二维问题，具有内存少、节省机 时等优点，因而近二十年来得到了广泛的应用和发展，国内外许多学者都将它作为分析 连续箱梁桥的一个重要手段。但是该法致命缺点是它对变截面或两端非铰支的板条( 例 如变截面箱梁或柔性横隔板的箱粱) 不能得出满意的结果。张佑启于1 9 7 6 ，在文献 3 0 中总结了他的工作，该书对有限条法及其派生方法的应用做了详细的论述。后来，他又 ： 至! ! 堑兰叁耋竺圭茎堡堡耋：= ：= =： 提出了样条有限条法【3 “，即用样条函数代替原来的三角级数。这种方法能计算变厚度 板，但仍无法计算变宽度板，未知数的数目也增加许多。在众多应用有限条法的文献 中，仍队纵向用三角级数逼近函数者居多，而沿横向则不尽相同。卢耀锌( 澳大利亚) 在文献 3 2 】中沿横向采用多项式函数，利用最小势能原理建立单元刚度矩阵，这是最常 见的作法。 ( 3 ) 有限段法有限段法是以梁段为单元，根据薄壁梁理论取定位移沿横向变化规 律，然后沿纵向采用插值函数表示位移函数，利用最小势能原理建立刚度矩阵。由于该 方法以梁段为单元，因此能计算变截面箱梁桥。该法适用于各种支承条件的箱梁。内力 可以以剪力、弯矩、扭矩等形式输出，符合工程师的使用习惯，是一种较为实用的计算 方法。但该方法不能计算箱梁局部应力，对多箱、多室箱梁的处理很麻烦。 1 3 研究的内容和意义 1 3 1 问题的提出 随着箱形截面桥梁跨度的日益增大，以及对薄壁结构研究的深入，箱梁截面扭转、 畸变的影响越来越受到工程人员的重视。不管是工程实践，还是理论研究都表明，箱形 截面桥梁在偏心荷载作用下横截面产生的畸变对约束扭转的影响是不容忽视的。在一些 箱梁桥中经常看到某些横截面因较大的畸变作用而产生明显变形，严重的影响了桥梁的 正常使用性能。在理论研究上，包世华等在文献 2 】的广义坐标法中，曾对薄壁杆件约束 扭转考虑畸变与否引起的误差进行分析，对同一矩形截面薄壁杆件，采用考虑畸变的广 义坐标法计算得到的最大翘曲应力为4 3 2 7 2 n c m 2 ，而采用忽略截面变形的乌曼斯基理 论得到的最大翘曲应力仅为8 0 8 3 2n c m 2 。可见考虑畸变与否对约束扭转翘曲应力的影 响是很大的，在设计分析中应给予高度熏视。 对于工程中常用的变截面连续箱梁，设置横隔板被认为是减少闭口截面薄壁杆件畸 变效应的有效方法，而且往往认为设置了横隔板后，畸变对约束扭转的影响就可以忽略 不计了。设置了横隔板虽然可以减少畸变效应，但是否可以使畸变效应减少到相对于刚 性扭转的程度呢? 对于大跨度变截面连续箱梁，在纵向所设横隔板的密度以及横隔板的 厚度对整个桥跨结构扭转畸变效应又有何影响? 这些问题在国内外的文献中较少提到， 但是它对指导设计和施工却有较为重要的实际意义。 1 3 2 本文的内容 本文介绍了闭口薄壁卡t 件的约束扭转理论以及考虑断面变形( 畸变) 的广义坐标 法，论述了用有限元法计算断面有、无畸变的薄壁杆的理论，并以此为基础编制了求解 等截面薄壁直杆断面有、无畸变的有限元程序。最后以齐齐哈尔嫩江公路大桥有机玻璃 模型试验 1 5 l 为研究对象，考虑偏心荷载作用下各截面扭转畸变效应的耦合作用，采用大 型通用有限元程序a n s y s 对模型进行了详细的空间分析，其主要的内容有： ( 1 ) 分析模型在偏心荷载作用下的扭转畸变效应； 绪论 ( 2 ) 变截面连续箱梁在横隔板厚度一定的情况下，分析横隔板的密度对畸变效应 的影响； ( 3 ) 变截面连续箱梁在横隔板密度一定的情况下，分析横隔板的厚度的对畸变效 应的影响。 根据计算分析结果，提出分析变截面连续箱梁的扭转畸变时应注意的问题，以及横 隔板的间距及厚度对计算结果的影响程度，因此本文的工作对指导变截面连续箱梁的设 计和施工有一定的实际意义。 ：= ：= = ：= =垂! ! 塾些垒兰堡：! 兰堡鎏耋： 2 薄壁杆件的约束扭转 2 1 不考虑断面变形的约束扭转 响。 对薄壁杆件进行约束扭转分析不考虑断面变形时，采用如下的基本假定： ( 1 ) 横断面的周边不变形( 无畸变) ，不考虑横断面闭口框架的任何挠曲变形的影 ( 2 ) 横断面上的法向应力和剪应力都沿壁厚均布。 ( 3 ) 横断面的轴向位移“沿断面的分布规律与自由扭转相同。 ( 4 ) 材料为线弹性。 2 1 1 单室闭口断面薄壁杆在约束扭转时的轴向位移和法向应力 学者乌曼斯基提出如下假定：闭口断面在约束扭转时的轴向位移为 u ( z ，j ) = ( z , o ) 一c o ( s ) p7 ( z ) ( 2 - 1 ) 式中“。( z ，o ) 断面上的任意参考点m o 的轴向位移： 国( s ) 广义扇性坐标； 7 ( z ) 广义位移函数( z ) 的变化率； 从式( 2 - 1 ) 得 a ( z ，s ) ：eo u ( ，z , s ) ：e k ：一s o ( s ) ”( z ) 】 ( 2 2 ) 比 如果在断面上取没有纵向应变的点为参考点确，则有h ：( z ) = 0 。这样扇性法向 应力式( 2 2 ) 就成为很简单的形式 仃( z ，工) = 一e 历0 ) 卢”( z ) ( 2 3 ) 2 1 2 单室薄壁断面的剪力流和扭矩 ( 1 ) 约束扭转时断面剪力流的公式取微元隔离体如图2 1 口，断面上存在势力流g 和法向应力口。用力法分析时取基本结构如图2 1 6 所示，g i 表示多余未知力，此圈的 力又可分解为图2 - 2 a 、b 所示的两种情况，q o 是力法基本结构上由扇性法向应力口的增 量产生的静定剪力流。 2 薄壁杆件的约束扭转 毪。穆 ( 6 ) ( b )( o ) 幽2 2 似想缺口处的受彤迁续条件为 严学一洲= o ( 2 - 4 ) 其中 q ( z ，5 ) = g 。( z ，j ) 十口i ( z )( 2 - 5 ) 单纯用平衡关系可找到g 。和等的关系，再从式( 2 * 4 ) 可找到口imo 出o - 与护k ) 的关 系。 在图2 - 2 a 中取隔离体如图2 - 2 c ( 这里在横断面上取s 的正方向与g o 的正方向相 反) ，从平衡条件得 吣妣一f 鼍删( 2 - 6 ) 又知应力和内力的关系式 。( ：，。) ：掣( 2 - 7 ) ： 将式( 2 - 7 ) 代入式( 2 6 ) ，得 北加一掣风) 删( 2 - 8 ) 用( 2 培) 式求出的q o ( z ，5 ) 如为正值，则其方向与s 的方向相反；如为负值则其方向 蕉叁 =： ：姜i ! 竺当全董些：! ；茎! ：耋兰：= ：= = = ：= ： 与s 一致。 以屯( 5 ) 表示f 石( s ) 刎，称为主广义扇性静矩，得 q o ( 邵) ：一掣屯( s ) ( 2 - 9 ) 将式( 2 - 9 ) 代入式( 2 5 ) ，再将它代入式( 2 4 ) ，解出 加半j 掣雕+ 掣 陋呐 g t 于是按式( 2 5 ) t hg z ) 和qo ( z ，s ) 求得断面上的总剪力流为 犯卿= 卜卅掣矧半+ 署 p j g ， ( 2 ) 剪力流与扭矩、双力矩的关系q ( z ，s ) 是由两部分组成。含b ( z ) 之项是由于 挈的存在而形成的，这种由于轴向变形对扭转的抗拒而产生的剪力流称为约束扭转剪 力流。与扭率( z ) 成正比的剪力流称为自由扭转剪力流。前者以q ：( z ，s ) 表示，后者以 q o ( = ) 表示。即 吲”，= 一掣倍也 半 p 2 翟 陋1 3 ) a 其中，q ，形成的扭矩称为自由扭矩，计算较易，用m ，( z ) 表示，它与扭率( z ) 相关： 虬( z ) = 批( 枷凼= 罢纵z ) ( 2 _ 1 4 9 瓦 从式f 2 1 3 ) 芹1 1 ( 2 1 4 a ) ，得 盼= 百m o , ( 2 1 4 6 ) 盼2 l q d j 日；( 2 ，s ) 产生扭矩称为约束扭矩肘；( z ) = f q ：( z ，j ) h a s ，m j ( z ) 以反时针为正，而 ! 篓竺堡竺塑塑垂堡丝 m 一旦“ ，一 s z ( 。s ) d s 芦掣m 对上( 2 1 5 ) 式进行分部积分并将各参数代入可得， m ；( z ) b 7 ( z ) lq 乇i 蜉f ( f 字施 址十荐f ( f 字劢) ( 2 - 1 5 ) = b ( z )( 2 1 6 ) 由此司知约束扭矩与双力矩得微分关系 口( z ) = m z ( z ) ( 2 1 7 ) 据此将约束扭转剪力流( 扇性剪力流) 公式( 2 - 1 2 ) 写成 味”，_ 掣储也 竿 弘哟 从式b ( z ) = 一e l ；, f l ”( z ) 可得约束扭矩与广义位移p ( z ) 的关系 m ；( z ) 2 一刖；p ”( z ) 至此已全面的建立了应力( 口、t 、q t 。t ) 、内力( 口、m ：、m 。) 和基本变形 ( 0 。、卢”、p ”) 的关系式，如求出口( z ) 和卢( z ) 这两个函数，即能求出b ( z ) 、m ；( z ) 和m ，( z ) ，从而可求盯、g ；和q 舻由此可见，口( z ) 和p ( z ) 能作为诸未知量中的基本未 知量，应建立含臼( z ) 和( z ) 的二元联立微分方程来求解这两个位移量。 2 1 3 单室闭口断面的扭角微分方程及用初参数法求解 先建立求9 ( z ) 和卢( z ) 的方程。求出口( z ) 和( z ) 后，即可求出各种内力和应力。总 剪力流为自由扭转剪力流与约束扭转剪力流之和，据此写出： 口( z ，s ) = q dz ，j ) + q z ( z ，s ) ( 1 ) 建立占( z ) 和卢( z ) 的联立微分方程组q ( z ，j ) 形成的断面上的总扭矩m 是由孙 形成的自由扭矩m ，和g ：形成的约束扭矩m ：所合成。可写为 m 。( z ) = m 口t ( z ) + i ：( = ) = g 1 ，0 ( z ) 一点；p “( z ) ：= ；至i ! 堑些奎茎堡：! 兰竺篁兰：= ： 因分布的外扭矩t ：( z ) = m j ( z ) ( 这里，：的正方向与0 的正方向相反) ，得 g i ，0 ”( z ) 一e 1 ：( z ) = t z ( z ) ( 2 - 1 9 ) 上式表示了0 、和，：的一个关系，其根据是总扭矩和荷载的关系，这是内力和外力的 关系。 为建立第二个关系式，利用剪力流和总扭矩肘，问的关系： d g ( z ，) ( j ) 出= m ，( z ) 并利用下列物理量和几何关系，以得到0 和卢： q ( z ，j ) = r ( z ，s ) t = g t y ( z ，s ) ，( ：，s ) ：掣十_ o v ( z , s ) ，v ( 。，j ) ： ( s ) 目( z ) 珊 o z 煅 啦，垆州矿卜季叶 如岫趣卜心? 辑d s 再以记号，表示弘2 d a ，即得 从上式得到 咖赫 ，得 ，) + ( 卜，) 眦) = 百m j ( 2 2 0 ) 以加卜，一甜 胙) ：绁一掣( 2 - 2 1 ) 1 1 0 ( i lp u 0 m j ( z ) = ，( z ) 为外扭矩集度，对两边都进行一次微分，得0 、卢和f ：得第二个关系 删2 等一芸 ( 2 ) 建立口( z ) 的微分方程式( 2 一1 9 ) 和( 2 - 2 2 ) 形成常微分方程组，可设法消去声( z ) 。 从式f 2 2 2 ) ，得 2 薄壁桶肿的约束扭转 肛生u o 去i d fb ! o ， = 百0 1 1 一去“0n “0 将式( 2 2 4 ) 代入( 2 一1 9 ) 后，两边除以e 1 = ，乘以“o 得到 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 毋( z ) - k2 0 = - 鸶+ 瓦1 ) 这里k 2 = 0 1 ，“o ( 掰：) 式( 2 2 5 ) 是扭角微分方程，解出o ( z ) 代入式( 2 2 1 ) 可求出f l ( z ) 。 ( 3 ) 用初参数法解扭角的微分方程为了便于求出各种边界条件下和各种荷载作用 下的o ( z ) 、p ( z ) 和内力，先解无右端项( 即，：= 0 ) 的齐次微分方程 0 ( z ) 一k2 0 4 = 0( 2 - 2 6 ) 此方程表示跨内无荷载，但有支座位移、杆端外力和杆端反力的情况。此式的通解为 o ( z ) = c l + c 2 z + c s h k z 十c 。c h k z ( 2 - 2 7 ) 0 = c 2 + c 3 k c h k z 十c 4 s h k z ( 2 - 2 7 0 “= c 3 k3 c h k z 十c 4 k3 s h k z ( 2 - 2 7 b ) 由于下面建立边界条件的需要，在解题时须求卢( 2 ) 的解。为此在上节已得的 p = ( 护7 一瓦m , 百1 中用式( 2 7 。) 的右端消去臼，只使p 显露，并考虑到 m ，= m + m ；= g 1 ，0 一e t ；声”和式( 2 2 4 ) ，并注意到f 。= 0 ，再利用( 2 2 7 a ) y f f l ( 2 2 7 b ) 两 式，以及兰生：斟，得 u o 、 烈加c 2 + c 3 k c h k z + c 4 k s h k z - 毒c z 甚 c z 之s ， b ( z ) = 一e l t 。f l ”( z ) = 一g 1 。( c 3 s h k z + c d c h k z ) ( 2 2 9 ) m ，= g 1 ，c 2 ( 2 3 0 ) 可以利用式( 2 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 、( 2 - 2 9 ) f f l ( 2 - 3 0 ) 所示的0 、屏、b 和m ，这四个函数的边 界条件来确定积分常数c 。 在z = o 处的口、卢、b 和蚴各以岛、属、b o 和m ，。表示。这样，即求出以四个初 东北林业大学帧士学位论文 = 2 2 = = = = = = = = = = = = = = # = = = = = = = = = ! = 2 ；： 参数表示的c 1 、c 2 、c j 和c 4 ，代入式( 2 2 7 ) 、( 2 2 8 ) 、( 2 2 9 ) 、年1 1 ( 2 3 0 ) ，得 o ( z ) 卢( z ) 口( = ) m ，0 ) l 半万1 ”讹)kg l 、 。 oc 垃 k s h k z “ug i ， 0 一- u o g is h k z c 乜 000 嘉( z - 半，万i 厂 1 一c h k z g 1 ， 鱼s h k z k 吼 麒 战 肘f o ( 2 - 3 1 ) 约束扭矩用初参数表达的公式为 乇= 警= 一g 属c 拓+ 凰s 垃+ m ，。c 妇( 2 - 3 2 ) 自由扭矩用初参数来表达的公式为 肘= m ，( z ) 一m ：( 。) = 一“o g ，属c h k z 十k b o s h k z 十m o ( 1 一“o c h k z ) ( 2 3 3 ) 与开i = i 薄壁杆问题相似，也可建立跨内集中和均布扭转荷载对口( z ) 、夕( z ) 、b ( z ) 和m ，( z ) 的影响项。 ( 4 ) 边界条件 在铰支端0 = 0 ，b = 0 。 在自由端 b = 0 ，m ，= 0 。， 在固定端 声；0 ，0 = 0 。 其理由如下： 在固定端断面上去翘曲，因此反映断面翘i l t t 2 _ 项筇为零。是断面的几何特性 它并非恒为零，于是= 0 。此外，由于固端断面不能扭转，于是0 = 0 。 2 2 考虑断面变形的等截面薄壁直杆分析 以上各节都采用了薄壁杆横断面无变形的假定。这个假定只能在沿杆长布置较多的 刚性横隔板的情况下才与实际情况较好的符合，否则采用横断面有变形( 或畸变) 的理 论。本节讲述符拉索夫广义变分法，其公式能计算具有任意室数的薄壁等截面直杆的位 移、变形和内力。 2 2 1 基本假定和基本未知函数 本节考虑的对象是图2 - 3 所示的这一类薄壁杆，断面由单室或多室组成，形状不 拘。受力后横断面的变形如图2 - 4 所示。 酗2 - 3 ( 1 ) 基本假定 秆之各壁的中面( 平分壁厚之面) 无横向伸缩变形。 在横断面上各点的轴向( z 向) 位移沿各壁板的横向( s ) 按直线变化。 横断面上各点的法向应力。和剪应力t 都沿该点的壁厚均布。 解释： 假定表示图2 - 4 的a b = a b ，b c = b c ，a d = a d ，b e = b e ，c f = 矿，d e = d e ，矿= e f 。 假定的解释见图2 - 5 。 图2 - 5闰2 - 6 认为曲直线先移到a b 位置，这是纯横向位移( v ) 。再从a b 移到a 2 b ，这是纯轴 向位移( “) ，其变化规律如梯形a b 日，b ，所示。 假定如图2 - 6 所示。 ( 2 ) 基本未知函数图2 3 的肘表示横断面2 上坐标处壁中面的点，其位移由三 个分量合成：v ( z ，s ) 是横向( 或称切向) 位移，“( z ，s ) 是轴向位移，w ( z ，s ) 是垂直于壁 面的位移。据以下推导，在前述三个假定的基础上w ( z ，s ) 不是独立的未知位移，求出 u ( z ，s ) 和v ( z ，s ) 后，即得w ( z ，s ) 。因此，本问题以l l ( z ，j ) 和k z ，5 ) 为基本未知位移函数。 据弹性力学的知识， 口：e o u ( z , s ) ( 2 3 4 1 出 ，：g ，：g f 墨望+ 篙生l ( 2 3 5 ) 观同 d工 横断面的应力盯和f 可以从u ( z ，j ) 和v ( z ，s ) 求出。必须先建立求u ( z ，s ) 和v ( z ，8 ) 的微 分方程组。这属于位移法。借助上述的基本假定，我们能将本属求解两个二元函数的偏 微分方程组的问题化成求解z 为主变量的常微分方程组的问题。下面就进行这种转化。 根据假定，图2 3 所示_ ；| 干件的断面z 的轴向位移分布图如图2 7 所示，可见我们不 必以二元函数u ( z ，。) 为基本未知函数，可用一元函数u 。( z ) ，u ：( z ) ，u 。( z ) 为基本未知函 数。图2 7 的轴向位移分布规律能用如下的函数表示，即 6 u ( z ，j ) = ：u 。( z ) 纯( s ) ( 2 3 6 ) 各纯( j ) 称轴向单位位移函数。 剀2 7 u ，( 2 ) 的个数等于横断面内的多边形框架的节点数，以下用n 表示，因此 u ( z ，s ) = ，( z ) 纪( ) j _ i ( 2 3 7 ) 纪( s ) 的函数和图形不难预先作出，成为已知的条件，而各u ，( z ) 是待求的函数。同 理，也能将切向位移函数写成 v ( z ，j ) = ( z ) # ( 。) m 为杆的框架形横断面切向位移的自由度。各帆为切向单位位移图 2 2 2 虚功原理建立求基本位移函数的微分方程组 前已述 u ，( z ) f p ，( s ) ( 2 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) v ( z ，s ) = k ( 2 ) y 。( 5 ) ( 2 4 0 ) - l 式中的各纯( j ) 和。( j ) 能用上节方法求出，下面将建立求各u ，( z ) 和( z ) 和常微分方 2 薄壁_ i 芊件的约束扭转 程组，其共含有m + n 个未知函数。 取处于平衡状态的微元隔离体分别使它发生z 向虚位移吼( s ) 和切向虚位移 ( j ) ，用虚功原理得两组方程。p ，( j ) 的，可以是从l 到n2 _ o e 得任一个数，h 可以是 从l 到m 之中的任一个数。在所得第一种方程中，依次令j = l ，2 ，n 。即得, 个方 程。在所得第二种方程中依次令即得j = l ，2 ，聊，个方程。 取隔离体，在隔离体表面上暴露出的应力盯和r 都成为外力。 只有发生轴向虚位移竹( s ) 时，p 。、盯+ 竽d z 和盯的作用点都要沿z 方向移动，要 做虚功。 已有公式，( z ，s ) = _ o u + 娑。在只发生轴向虚位移妒，( j ) 时，切向虚位移v = o ，这时虚 0 5 位移“即为伊，( j ) ，产生虚剪切变形，( s ) = 罢= 彰( s ) a 按虚功原理 w 。七w 。= 0 式中哌。为外虚功。蹦。为内虚功。 由此得方程 扣”，+ 掣出d a 一妙旁幽+ 弘，咖删诎) + j ( 一1 ) f ( 2 ，s ) ，y ( s ) t d s d z = 0 ( 2 4 1 ) 上式中r 为壁厚，d a = t d s ，a 为横断面全面积。s f 为横断面全部切向壁长。大括号内是 外虚功，末项是内虚功。将y ( s ) = 妒j ( s ) 代入并加以整理，并用f 表示沿全断面的积 分，约掉d z ，式( 2 - 4 1 ) 成为 璧州咖出一似肌n s ) 竹出= o ( 2 - 4 1 a ) 这就是第一种方程的典型形式。 为了得到第二种方程，使微元隔离体只发生切向虚位移眠( s ) ，从而所产生的虚横 向弯矩m 。( s ) ，发生的虚的横向曲率为肘( s ) + ，壶日3 出 从暇+ = 0 得 查! ! 些些尘兰些i 兰篓善兰；：= ： 舭+ 詈蛐一扣n 砒”眦蚴小，弘拦5 。陋。z ， 式中得横向弯矩m = 咏( z ) m 。( j ) 。并令m 。( j ) = 一m t ( s ) 出。这里m 。( 5 ) 和 ( j ) 各为 垂直于图面得厚度为比得薄片框架由于眠( j ) 和( 5 ) 产生得横向弯矩。m t ( s ) 和 m 一( j ) 各表示垂直于图面厚度为1 的薄片框架由于( s ) 和( j ) 产生的横向弯矩。如某 ( s ) 是刚体式的位移，则相应的mh ( s ) = 0 ，m 。( s ) = mk ( s ) d z 和m 。( s ) = m h ( s ) d z 成 立。 式( 2 - 4 2 ) 经整理后并约掉出，成为 扣一+ i 础一善y ；( z ) j ! ! ：! - ! ，5 1 ； ! ! ： ；1 2 垡! +