（船舶与海洋结构物设计制造专业论文）正交异性超大浮体的水动力学分析.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 关于超大浮体( v l f s ) 的研究开始于上个世纪八十年代。1 9 9 1 年，在美国的夏威夷 召开了第一次关于v l f s 的国际性会议。在那次会议之后，陆续有关于v l f s 的文章发表。 目前，v l f s 的研究工作在i t t c 和i s s c 中占据了很重要的地位。全世界每年有超过1 0 0 篇的论文发表。在我们国家，吴有生院士是第一个将这个概念引入学术领域的人。此外， 他还推荐王大云和社双兴两位搏士与国外的研究人员共同合作，使用三维水弹性理论研 究v l f s 。 超大浮体的用途主要表现在三个方面：作为科研基地，开发海洋资源；作为解决陆 地资源匮乏的手段之一。 研究1 | ，l f s 的方法主要有两种，即直接法和模态分析法。大多数研究中使用的模态 分析法，在使用这种方法时频率的计算是很重要的。最近的几年，直接法也逐渐被采用。 关于、，l f s 研究的发展趋势主要分四个部分：复杂海洋环境中的响应；计算效率的提高； 非线性的影响；简单的估计方法的探求。 在本文的研究中，主要使用了直接法。取一正交异性的矩形层合板模型作为研究对 象，它由两层单层板组成，长为1 0 0 0 米，宽为5 0 0 米。将其分为6 2 5 个小的矩形板单 元。在流体部分的计算中采用布源法，求得每个小单元形心处的源强。结构部分的计算 采用了4 节点矩形单元，通过确定层合板的广义刚度系数得到单元的弹性矩阵，并组成 结构的总刚度阵。之后，将水动力附加系数加到结构的刚度阵和质量阵中进行求解。 当然，本文中还有很多不足之处。由于计算机的内存限制，只划分了6 2 5 个单元， 精度上是比较差的。此外在流体与结构的耦合方法上也有可以改进的地方这些缺憾， 如果以后有机会再进行这方面的研究一定会进一步完善。 关键词：超大浮体；直接法；水弹性理论；耦合方法；四节点单元 大连理工大学硕士论文 h y d r o d y n a m i ca n a l y s i so fa n i s o t r o p i cv e r yla r g ef l o a t i n gs t r u c t u r e a b s t r a c t 1 kr e s e a r c ho fv e r yl a r g ef l o a t i n gs t r u c t u r e ( v l f s ) s t a r t e da tt h ee n do f8 0 sl a s t c e n t u r y t h ef i r s ti n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c ea b o u tv l f s w a sh o l di nh a w a i io fu s aa t1 9 9 1 a f t e rt h a ts o m ep a p e r sw e r ep u b l i s h e d ，n er e s e a r c ha b o u tv l f sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei n i t t ca n di s s ca tp r e s e n t m o r et h a n1 0 0p a p e r sw i l lb ep u b l i s h e da l lo v e rt h ew o r l de v e r y y e a r i ne r rc o u n t r y i h ef i r s tm a r tw h ob r o u g h ti n t oc o n t a c tw i t ht h i sc o n c e p ti sm r w u y o u s h e n g m o r e o v e r , h es e n tt w od o c t o r , w a n gd a y u na n dd us h u a n g x i n g , t ow o r kw i t h r e s e a r c h e ro fo t h e rc o u n t r yu s i n g3 dh y d r o e l n s t i c i t yt h e o r y n ev l f sh a st h r e ew a y so fu s i n g ：a sas c i e n t i f i cb a s e ；s o l v i n gt h el a c k i n go fl a n d ；a sa m a r t i a lb a s e t h e r ea r et w om e t h o d so fr e s e a r c ha b o u tv l f s ，d i r e c tm e t h o da n da n a l y t i c a lm e t h o do f m o d e m e t h o do fm o d ew a su s e di nm o s to fr e a r c 血t h cc o m p u t a t i o no ff r e q u e n c yi s i m p o r t a n ta su s i n gt h i sm e t h o d i nl a t e ry e a r s t h ed i r e c tm e t h o dw a su s e dg r a d u a l l y n em a i n d e v e l o p i n gt r e n do fr e s e a r c ha b o u tv l f sc o n t a i n sf o u rp a r t s ：r e s p o n s e s i nc o m p l i c a t e d e n v i r o n m e n to fo c e a n ；e n h a n c et h ee f f i c i e n c yo fc o m p u t a t i o n ；i n f l u e n c eo fn o n - l i n e a r ；s i m p l e m e t h o do fe s t i m a t i n ga b o u tc a p a b i l i t y i nm yr e s e a r c h d i r e c tm e t h o d w a su s e d ia s s u m e dac o m p o s i t em a t e r i a lr t a n # em o d e i a sm ys t u d y i n go b j e c t , w i t h1 0 0 0m e t e r sl o n ga n d5 0 0m e t e r sw i d e i ti sd i v i d e di n t o6 2 5 s m a l l e rr e c t a n g l e s t h e nid i s p o s ef o u n t a i n h e a di ne a c hr e c t a n g l e t h cc o m p u t a t i o no f i n t e n s i t yi s s i n gt h em e t h o do fg r e e nf u n c t i o n 珏ec o m p u t a t i o no ft h es t r u c t u r ew a su s i n g f i n i t ee l e m e n tm e t h o d 4 - n o d e sp a r a m e t e re l e m e n tw a su s e di ne a c hs t r u c t u r a le l e m e n t a f t e r 也a t ia d dh y d r o - c o e f f i c i e n t st ot h em a t r i xo f t h es t r u c t u r et oc o m p u t et h ed i s p l a c e m e n t t h e r ea r em a n yd e f i c i e n tp o i n t si nm yt h e s i s ，s u c ha st h ep r e c i s i o no fc o m p u t a t i o n ，t h e c o u p l i n gm e t h o db e t w e e nl i q u i da n ds o l i d a n ds oo n a l lo ft h e m 伽b ei m p r o v e di nm y f u l l e rr e s e a r c h k e yw o r d s ：v l f s ；d i r e c tm e t h o d ；h y d r o e l a s t i c l t yt h e o r y ；c o u p f i n gm e t h o d ； 4 - n o d e se l e m e n t 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一周工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名： 训磊 秀奄 尘堕年垒月兰日 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 1 1 选题的目的及意义 随着地球上人口的急剧胀，陆上资源供应已趋极限，各国都把经济发展的重点转移 到海洋。这是因为在占地球总面积7 1 的浩瀚大海里，有极其丰富的化学资源、矿产资 源、动力资源和生物资源等，2 1 世纪人类将全面步入海洋经济时代。海洋开发将形成海 洋油气工韭、海洋亿学工业、深海采矿业等一我新兴产业。面对这一形势，国际海洋工 程界掀起了研究超大型浮式结构物的热潮。所谓超大型浮式结构物是指那些尺度以公里 计的浮式海洋结构物，以区别于目前尺度以百米计的船舶和海洋工程结构物，如海洋平 台等。一般而言，v l f s 可以以沿海岛屿或岛屿群为依托，带有永久或半永久性，具有综 合性、多用途的功能。它的设置将对某一区域的社会、经济活动乃至政治、军事格局产 生决定性的影响。 国外之所以如此重视v l f s 的研制，主要是由于它有如下三个方面的用途：( 1 ) 大量 开发和利用海洋资源就必须要在合适的海域建立资源开发和科学研究基地、海上中转基 地、海上机场等；( 2 ) 当沿海城市缺乏合适的陆域时，可以把一些原本应建在陆地上的 设施，如空港、核电站，废物处理厂等，移至或新建在近海海域，以图降低城市噪音和 环境污染。 分析我国的国情，上述两个用途均具有很重要的应用前景。我国拥有的海域面积超 过陆地面积的三分之一。这片广阔海域的丰富资源是我们未来赖以生存和发展的重要物 质基础。如果在这片海域建造一个超大型浮式结构物，直接用于海洋资源的开发，这样 我国目前的资源缺乏现状就可以有所改善。 此外由于我国人口众多，相对陆地面积少，而且绝大部分人口均居住在沿海经济发 达的城市。因此，这些地方的地价是寸土如金。如果能将一些空港、发电厂、废物处理 厂等陆地设施建在近海处则对促进这些城市的发展，改善城市的生活环境具有非常重要 的作用，从经济角度来看，可能也是十分有利的。另外，根据国际公海管理委员会的决 议，在檀香山东南的7 5 万平方公里海域是属于我国优先开发的海域，这一海底蕴藏着 丰富的锰结核，在该海域建立一个大型浮式结构物作为资源开发和科学研究基地，也对 加快该海区资源开发有十分重要的作用。 正交异性超大浮体的水动力学分析 1 2v l f s 概述 1 2 1 国内外研究概况及发展趋势 对超大型海洋浮式结构物水弹性响应的研究可能开始予八十年代后期，到九十年代 初陆续有论文发表。1 9 9 1 年在美国夏威夷召开了首届超大型浮式结构物的国际专题研讨 会，会上有十多篇相关论文发表。随后，在其它一些大型国际学术会议如i s o p e ，o m a e 以及相关专业学术期刊上均有论文发表，数量逐年增多。也正是对超大型海洋浮式结构 物的水弹性响应研究，促进了水弹性学科的发展并引起船舶与海洋工程界的广泛重视。 1 9 9 4 年国际上又出现了一个“海洋技术中的水弹性”( i c h h f f ) 系列国际会议。目前， v l f s 的水弹性响应研究在i t t c 和i s s c 中均有相当高的地位，国际上每年在学术刊物和会 议上发表的针对超大型海洋浮式结构物的研究论文要超过百篇。 我国的吴有生院士在二十世纪八十年代后期最早接触到这一新概念，就意识到它对 我国国民经济的发展以及捍卫我国领海主权有重要的战略意义。因此，他一方面积极呼 吁有关方面支持v l f s 的研究，另一方面积极开展国际合作，从二十世纪九十年代初就 与美国夏威夷大学合作共同研究超大型浮式结构物在海浪中的水弹性动力响应。曾首先 后派出2 名博土生( 王大云，杜双兴) 参与合作研究，所采用的理论分析方法是他在2 0 世纪 8 0 年代初期发展起来的当时国际上最先进的三维水弹性理论。 v l f s 水弹性响应的分析方法大致分直接法和模态分析法。绝大部分的研究均采用模 态分析法。模态分析法有干模态和湿模态两种采用湿模态法来计算、，l f s 的水弹性响应， 频率和振型的计算就十分重要。在这一计算中关键是要确定附加质量分布和静水刚度矩 阵。h a m a m o t o 等人给出了一组简化的解析公式用于计算任意形状平板的附加质量分布， 丽r g g s 推导了静水两度矩阵的计算公式。 最近几年，直接法也逐渐被采用。第一个进行直接法计算的是m a m i d i p u d ia n d w e b s t e r 。他们采用中心有限差分法直接求解耦合的水弹性方程组。h e m a n s 推导了柔性 平台在波浪中挠度响应的三维积分、微分公式，并讨论了二维方程的求解问题。另一种 方法是o h k u s ua n dn a n b a ，他们将结构当作一块平板，通过定的量级分析，忽略小量， 最后求解一个六阶微分方程。k a s h i w a g i 提出了另一种时域分析方法。流体仍用压力分 布法而结构用振动微分方程。他将挠度和压力化为一组线性代数方程进行求解。o h m a t s u 基于正、逆傅里叶变抉求响应的对问历程。k a s m 再a g i 比较了直接法和模态分析法的计 算结果。数值收敛测试表明这两种方法基本上差不多，给出的预报结果都与试验结果有 较好的吻合。 超大浮体水弹性响应研究的发展趋势主要是在四个方面： 2 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 非均匀海洋环境的影响研究 这一问题在第届国际v l f s 研讨会中就有专家提出，但至今为止还没有见到这方面 研究的报道。其主要原因是一旦采用这样的海浪描述方法，传统的势流理论到底是否还 适用就是一个疑问。如果再考虑时间上的随机性，如何建立随位置渐交的局部海区的海 浪谱，其难度就更大。另外，在当前的水池条件下，如何模拟这种环境条件也是一个挑 战。 ( 2 ) 提高计算效率的措施研究 v l f s 水弹性响应计算的最关键之处就在于数值计算的精确和快速。这两个要求本身 是一对矛盾，需要做出合理的平衡。k a s h i w a g i 曾对v l f s 的水弹性响应研究现状作了回 顾，结合他自己的工作经历，他认为层次相互作用理论是今后的一个重要研究方向。 ( 3 ) 非线性因素的影响研究 目前绝大部分研究的流体采用的是单向的规则和不规则波，而简化的模型采用的是 各向均匀的平板模型。而比较实际的分析应该是在考虑流体非线性的同时，还要考虑结 构的各向异性。 ( 4 ) 适用与设计阶段的性能估算的简化方法研究 与其他工程问题一样，对v l f s 的研究也要一方面在理论上更加深化，使计算结果 更加精确；另一方面从实用角度来说，需要有一定精度但很方便使用的估算方法。 1 2 2 超大型浮体水弹性响应分祈中鸯搴特殊力学问题 与一般的海洋工程结构物相比，v l f s 具有如下几个特点： ( 1 ) 水平尺度与高度的比值非常大。它是一个极为扁平的柔性结构物，它在海洋环 境中的弹性响应必须考虑。这一特点使得过去通常将海洋工程结构物的流体与结构响应 分开处理的方法不再适用，而必须将两者耦合起来，用2 0 世纪7 0 年代末期发展起来的 水弹性理论( h y d r o e l a s t i c i t yt h e o r y ) 进行分析。 水弹性理论是研究流体( 水) 与固体( 结构物) 相互作用的一门力学学科，它需要考虑 惯性力、水动力和弹性力的耦合作用，把水动力学的方程和结构动力学的方程联合起来 进行求解。水弹性力学的核心是考虑各种不同类型力之间的相互耦合作用。不论导致流 固系统运动的来源如何，一般而言，作用于结构湿表面上的流体压力将使结构的动力状 态发生改变，反过来，结构的运动和变形又使周围流体的压力场、流动及波形发生变化。 水弹性力学不仅概括了结构与流体两个领域中各自的全都动力学问题，还必须处理它们 之间的耦合问题。因此。它是一个典型的交叉学科问题，它远比水动力学和结构力学单 方面的问题要复杂得多。 3 正交异性超大浮体的水动力学分析 超大型海洋浮式结构物提供了个非常典型的水弹性力学应用例子因此，对超大 型海洋浮式结构物的研究也极大地推动了水弹性力学的发展。水弹性理论的基本方程从 形式上看非常完美，但它的数学求解遇到了相当困难，如何高效地求解如此庞大的结构 物的响应，无论是对计算数学理论还是计算机技术都提出了许多需要解决的问题。反过 来，这些问题的解决又可以大大地推进整个社会科技水平的发展，对其它工业也带来不 可估量的好处。这可能是为什么v l f s 一经提出，世界范围内就有如此多的科学家对这 一领域感兴趣。现在每年在国际会议和学术期刊上发表的论文都是以数百篇计。除了有 专门的国际学术会议( v l f s ) 系列，i c h m t 系列，在其它一些每年召开一次的大型国际学 术会议如删a e 和i s o p e 上，它也是最热门的方向，而且绝大部分的研究都是围绕着分 析v l f s 在波浪中的水弹性响应。主要关心的问题有数学建模，求解方法，简化方法的 开发，载荷的长期预报，计算结果的试验验证等。 ( 2 ) 常规的海洋工程结构物因所占海洋面积非常小，因此，一般都是假定它们处于 一个均匀的随机海洋环境中，因而所有波浪谱均是用波高和周期两个参数来描述的。而 v l f s 从一端至另一端要跨越数公里，这么长的距离还假定海洋是均匀的，就有可能与实 际情况发生很大的差异。因此，需要建立一种新的随位置缓变的海浪谱，用于作为v l f s 水弹性响应的激励。这种新谱如何建立，在理论上本身也是一个挑战，尽管已有许多人 意识到这一问题，但有关这方面的研究工作还很少。目前为止，几乎所有v l f s 在波浪 中的水弹性响应均是假定在均匀的海浪条件下的。一旦采用这样的新谱，过去的水弹性 基本方程都得重新修改，此时响应如何计算又是一个全新的数学问题。这种非均匀波浪 场对v l f s 的水弹性响应甚至结构的安全性又带来什么样的影响，都需要重新研究。另 外，在当前的水池条件下，如何模拟这种环境条件也是一个挑战。 ( 3 ) 由于结构的柔性以及环境的不均匀性，v l f s 的响应是非线性的，而且非线性的 程度可能较高，除了目前已经研究到的二阶力外，三阶、四阶甚至更高阶的力可能对结 构的安全性仍有较大的作用，如何计算这些高阶力是一个非常复杂的非线性力学问题。 因此，对于v l f s 这样一种特殊的海洋工程结构物，为了比较精确地求解它在海浪中的 动态特性，有一系列理论问题需要解决，对于这些理论问题包括数值计算问题的研究可 能给学科的发展带来意想不到的好处。 ( 4 ) 由于、r l f s 的巨大，注定它是一个模块化的结构。模块之间的相互作用导致它是 一个多刚体或多弹性体系统的水弹性问题。同时模块与模块之问如何连接又是一个实际 的工程问题，但给定连接方式后如何计算连接构件上的动态响应则是一个很重要的理论 问题。对于v l f s 来说，连接构件将是危及其自身安全性的一个重要因素。因此，精确 地计算不同连接方式下的连接构件的动响应是连接构件设计的理论基础。 4 大连理工大学硕士学位论文 ( 5 ) v l f s 除了有时需要将其移动外，一般来说，必须相对地固定在某一位置，不能 让它随风、浪、流任意漂移。因此，系泊装置在浮体结构设计中也极其重要。常用的系 泊装置有打桩系泊及锚链系泊。与连接构件一样，系泊装置的动力响应计算也是其设计 的理论依据。但它与连按构件又不同，系泊装置通常是由上百根桩桂或锚链组成，在流 场中它们是相互干扰的。因此，它是一个大规模的多体水动力学问题，其动态响应的计 算是相当困难的。因此，它也是v l f s 研究中的一个重点。 ( 6 ) v l f s 通常有两类结构型式；厢式( p o n t o o nt y p e 或b o xt y p e 也叫m a t - l i k e ) 和 半潜式( s e m i s u b m e r s i b l et y p e 简写s e m i s u bt y p e ) 厢式浮体构造简单，维护方便， 日本的“m e g a - f l o a t ”就采用这种形式。半潜式浮体虽然构造比较复杂，但水动力性能 更佳，适宜在较为恶劣的海洋环境中生存。半潜式浮体又可分为立柱支撑式 ( c o l u m n - s u p p o r t e dt y p e ) 狃立柱下体混合立撑式( c o l u 髓a n dl o w e rh u lls u p p o r t e d t y p e ) 。美国的移动式海洋基地( m o b i l eo f f s h o r eb a s e ，简称m o b ) 就是采用立柱下体混 合支撑式的v l f s 。最近，人们为了改进厢式v l f s 的水动力性能，提出了在厢形主体四 周设置半潜式消波堤。如何分析带有半潜式消波堤的v l f s 的动态特性也是一个非常复 杂的水动力学问题在一般的海洋工程结构物中没有这样的问题。对于半潜式，则需要 动力定位技术。 ( 7 ) 与一般的海洋工程结构物不同，v l f s 要求的寿命特别长，一般要在百年以上。 因此，超长期耐用技术的研究除了其本身材料的选用，耐腐蚀保护材料和维护系统以外， 在综合考虑这些因素的基础上进行结构动响应的计算和安全性的评估，也是、，l f s 动力 特性研究需要解决的问题。如果再考虑到在局部受到破坏的情况下的生存，其问题就更 加复杂。 ( 8 ) 任何一个理论的发展都离不开实验的验证。在上面的分析中可以看到，通过对 v l f s 动力特性的深入研究，可以发展许多新的理论和方法。这些理论和方法当然也需要 进行实验验证。实尺度或大比例模型的海上试验固然是最佳的验证手段，但其代价太大 不可能进行很多。因此，在水池中进行小模型试验仍然是主要依靠的对象。除了前面讲 到的如何在水池中模拟非均匀环境条件问题外，还有许多问题需要解决由于v l f s 结 构物庞大，来波波长相对较小，模型比例的选择和相似条件都可能需要重新研究模型 大，要求大的水池和大的造波能力，甚至很大的测力机构，条件不一定允许，或者很不 经济 模型小，波浪短，波高小。造波困难，测量精度降低，或者波浪很容易破碎，流 体和结构的模拟条件遭到破坏，尺度效应严重。因此，如何设计合适的模型试验以验证 v l p s 的分析理论和计算方法本身就是一门科学，需要进行系统的研究。 5 正交异性超大浮体的水动力学分析 1 2 3 模型的简化及基本假设 在本论文中，以最简单的浮舟桥型浮体入手，研究它在波浪作用下的动力响应的数 值解法。 浮舟桥型浮体是长大扁平的厢形结构，为提高其刚度并充分利用内部空间，减小危 险，厢形内部用纵横交错的梁将其分割成众多的密封小厢体( 可开密封门作为内部通 道) 。一个小厢体内漏水或者发生火灾，不至于影响浮体整体。由于它长大扁平，与其 他海洋结构相比，弯曲刚度小，结构变形和流体力的相互于涉不能忽略，必须用水弹性 振动理论求解。将浮体简化成漂浮于相同水深的海面的弹性薄板。基本假设为： ( 1 ) 水深一定； ( 2 ) 浮体为正交各向异性矩形层合平板。由于它的长大扁平，其吃水可视为o ，即可 使用零吃水理论，吃水的影响用单位面积的重量考虑： ( 3 ) 流体为非粘性、无涡的理想流体，因此，流体的运动能用速度势表达； ( 4 ) 浮体因系泊装置限制了水平方向的运动，只能作上下运动； ( 5 ) 入射波振幅、浮体的响应都是微小的，因此能用线性理论处理； ( 6 ) 一切现象都是周期性的，因此时间项可分离。 1 2 4 海洋浮体水弹性的一般理论 海洋浮体在风、浪、流的作用下会产生刚体运动，同时还受到风、浪，流引起的作 用力并发生弹性变形，弹性变形对周围的流体产生影响，从而改变波浪作用在结构上的 力。这种流体( 水) 与结构( 固体) 相互耦合作用的特性称为水弹性。研究水弹性的力学称 为水弹性力学。传统的计算海洋结构物( 如船舶与海洋平台) 运动和载荷的方法都是假定 结构是刚体，即忽略结构交形对流场的影响。水弹性的概念在六十年代初期才被提出， 到八十年代中期才正式形成- - 1 3 比较完整的学科。水弹性力学的核心是考虑惯性力、水 动力和弹性力的耦合作用，把水动力方程和结构动力学方程联合起来求解。这样，水 弹性力学不仅概括了结构与流体两个领域中各自的全都动力学问题，还必须处理它们之 间的耦合问题。因此，它是一个典型的交叉学科问题，它远比水动力学和结构力学单方 面的问题要复杂得多。 考虑一块浮于港湾中的矩形平板，港湾一边连接深海。我们可以将整个水域划分为 三个区：a 区为平板覆盖区；b 区为平板外的港湾区；e 区为深海区。整个问题的数学描 述可分为以下三个部分： ( 1 ) a 区的水弹性问题 6 大连理工大学硕士学位论文 变水深、完全非线性流体运动问题的描述：假设速度势存在，由结构的小挠度动力 学平衡方程以及由伯努利方程给出的作用在平板上的动压力，结合边界条件以及b 区的 衔接条件还有适当的初始条件，流体和结构的运动问题可以耦合求解。相应的板上的应 力和弯矩可按公式计算。 ( 2 ) b 区的流体运动问题 流体运动方程和水面和海底的运动学条件与a 区相同，水面动力学条件压力为零的 条件代替板的运动方程，根据a 区与b 区的连续条件、c 区与b 区的连续条件、b 区在 陆地和防波堤边界处的边界条件可对方程求解。 ( 3 ) c 区的流体运动问题 流体运动方程和水面、海底条件由之前方程给出，在陆地处的边界条件与b 区相同。 数值计算对在有跟远处遁常采用钤传播技术 大连理工大学硕士学位论文 2 关于b e s s ei 函数的数值积分 在流体力学的研究中为了减少计算量通常不使用有限元法而使用边界元法。在边 界元法中尤其是在表示三维脉动源的时候最常用的就是格林函数，而有些格稀函数中会 包含比较复杂的b e s s e l 函数的积分问题。因此，在这一章中主要研究关于b e s s e l 函数 的三个积分。 2 1 b e s s e i 函数的三个积分 2 1 1b e s s e l 函数 本章所研究的三个积分由简单到复杂，使用解析和数值方法得到了理想的结果。先 ，简要介绍一下b e s s e l 函数。 b e s s e l 方程 x z y + x y + 仁2 一，2 ) - 0 ( 2 1 ) 的解称为b e s s e l 函数，它分为三类。 第一类b e s s e l 函数简称为b e s s e l 函数，记作以( 力和，。0 ) ，即 卜。蠢( _ 1 ) l 而申诺亿。， 卜”妻( 一矿丽去丽童一篮 其中r 一e - , 广切 第二类b e s s e l 函数，又称作n e u m a n n 函数，记作k 0 ) ，即 l ：o ) c o s v a _ ( x ) - ：一一( z ) ( 2 3 ) 第三类b e s s e l 函数，又称作h a n k e l 函数，记作剐”( 功和剧2 ( 功，即 f 哎o ) 。+ ( 2 4 ) l 硪2 o ) l 一o ) 9 正交异性超大浮体的水动力学分析 我1 在返草针冗的b e s s e l 函数只是当阶效，一0 睇寸的第一荚b e s s e l 函数，即天于 j o ( x ) 的三个积分对于i ，。0 ) ，有以下几个问题需要了解。 由厶( d - 击j f 一。m n “嘧口可咀得到下面的式子： ，o o ) 。二j 17 e 铂 ( 2 5 ) 此外关于 ( d 还有以下积分表示式； 厶。) 一拓s ( x c o s 口矽口- 三f s o s i n 疗m 8 ( 2 6 ) b e s s e l 函数有 如下递推公式； 五d 0 7 g ) - x c 。 ( 2 7 ) 特别地，当，- 1 时，对第一类b e s s e l 函数，有 ( 玎j 灯。 ( 2 8 ) 2 1 2 积分f g ) 出的解 以解析方法计算积分f ，。o ) 出是比较容易的，设有小数满足h 1 且 0 ，由式 ( 2 6 ) 可得： 矿j o 舭- p 。专蠹c 嘶s i n o ) d a l & - j 0 1 ，。- p “s 。s i n p 皿p p - 扫志枷 2 e 一任 a 8 。- j o z 2 + s j n z 0 1 - = = = = = = f 2 + 1 由于1 ，可以得到： 1 0 大连理工大学硕士学位论文 f o j 。o ) 出一1 ( 2 9 ) 2 1 3 积分f 工，0 的解 对这个积分同样以解析方法求解，设有小数满足h 1 且e t o ，根据式( 2 8 ) 的 性质可得： ，。j ：。船”，。o 一x 砜洲 - 詈。仲“- f l y 。+ 玎o ，o 。k “研占 - 寻【彳砸百u 。协训 - 一詈【1 一f 川。弦“纠 一詈【1 一x 川州】 - 一詈 1 一争4 。) c “i - 一f 船。陟b 一三( 1 + 三，) 即： t - - - 1 0 + ! j ) ! k 志一南i o 由于h 1 ，很容易就可得到： f 工，。o 冲- 0 ( 2 1 0 ) 正交异性超大浮体的水动力学分析 2 1 4 积分r - 型出的解 j ox 一“ 这是一个比较复杂的积分，在尝试了很多种方法后，仍无法得到解析解所以只能 用数值方法求解。为了求解简单方便，根据( 2 5 ) 式，我们可以将要求的积分变为以 下形式： 广业出土产d 疗r ! 竺出 , o x 一“ 2 , z j o j o 石一i z 令4 - c o s o ，b - 一芦，则上式变为： c j o ( x ) d x 1 p 伯f 生敦 j u x 一“2 z j oj o 并+ 6 根据f 毫出- e m 6 墨( 缸6 ) ，可以得到下面形式： f 皇等出一j 广置似c o s 口m 一 ( z 1 - ) 在原积分j 广o ! x 趔- p 农中，b e s s e l 函数厶o ) 必须以积分形式求解但是经过上面的工 作后，我们将求一个二重积分的问题简化为求一重积分。再将积分区间分为四部分，即 ( o ，三) ，唔，玎) ，似，2 a t 利【_ 3 r ，幼) ，利用三角函数公式，将式( 2 1 1 ) 变形为： f 等一去矿护哪脚伽+ 云铲e 嘶“驯删伽 + j 妒e 似“鼍a 声s j n 口弦8 + j 妒e 却咖。e 1 ( 却s i n 日矽一 使用换元法，令z 分别等于啦s 日，一i l z o o s o ，i # s i n o 和- i p s i n 0 ，只要可以找 到计算积分j 妒e 。臣o ) d 占的方法，将四种形式代入，把所得结果相加就可以得到积分 值了对于计算去妒e 2 置。v 一的积分值，可以根据前人的h e s s s m i t h 逼近公式，即： 大连理工大学硕士学位论文 e 2 局。) 一1 m + 广n + s 其中： f - 一( 荟肌：) l z 。一y 荟 d 。荟矾， 系数豫、一和t 见表( 2 1 ) ，欧拉数y o 5 7 7 2 1 5 6 6 4 9 表2 1 系效值 t a h2 a h l e 1vo fc o e f f i c i e n t s ( 2 1 2 ) 至此，只要编制f o r t r a n 程序即可求得积分f = 巫型出随p 变化的系列数值。在 j 。z 一弘 计算中，先后采用了切比雪夫积分法、蒙特卡洛积分法、变步长辛卜生积分法以及勒让 德一高斯积分法进行求解。通过对求得的结果进行比较，最后决定使用变步长辛卜生积 分法。原因是它的结果满足精度要求而且运算速度比较快，在该子程序中精度控制在 0 0 0 1 在这个精度的前提下，求出了当a 在区间【0 0 0 0 1 , 1 0 0 】上变化所对应的积分值： 在区间o o o o l , o 1 ) 上，以0 0 0 0 1 为间距平均选取了9 9 9 个点；而在区闻【0 1 , 1 0 0 】上， 以0 0 1 为间距平均选取了9 9 9 1 个点。这样做既可以使计算量比较少，又能在的取值 比较小的前提下满足精度要求。以_ 为自变量，积分值为因变量，得到下面的曲线： 正交异性超大浮体的水动力学分析 0 0 0 0 10 0 0 1 0 00 i 1 1 01 0 0 图2 1 积分曲线 f i g 2 1b t e g r 越铡e 2 2 积分曲线的拟合 2 2 1 拟合方法及结果 在得到图( 2 1 1 ) 的曲线后，我们希望通过已有的数据获得一个函数，( p ) ，要求 这个函数可以比较好的符合得到的曲线。那么，在以后的计算中就可以在误差允许的范 围内使用拟合出的函数来求出需要的数值。除了在精度上对拟合函数有要求外，还要求 所得函数的形式相对简单。相反如果函数形式很复杂，计算步骤很繁琐甚至比直接计算 还费时，就失去了进行这项工作的意义，也与初衷不符。 拟合函数的优化方法有很多中可供选择，但是为了是得到的函数形式尽量简单，所 以选择使用g 矗算法和可变误差多面体算法。这两种算法的缺点在于需要先大致确定出 函数的形式，然后才能通过程序求出各项系数的值。优点是操作比较简单，而且在函数 形式相对简单的前提下精度基本符合要求。前期使用的是g - a 算法，但是所得到的结果 并不理想。而使用可交误差多面体算法，在初始函数形式以及系数个数相同的前提下， 后者明显比g _ a 算法的精度要好这并不是说g - a 算法不好，而是说明在这个函数的拟 合过程中，可变误差多面体法更合适。可变误差多面体法的计算过程实际上是一个可变 多面体的寻找过程，也就是通过反射，膨胀，压缩和收缩来改变多面体。但是在寻找过 程中得到的每一个点若不在近似能行区域内。就要经过一个恢复过程用过程中得到的 1 4 卯 加 加 o 大连理工大学硕士学位论文 一个属于近似能行区域中的点来代换。这样可以保证可变多面体算法是在能行区域中进 行的。 通过在区间【o o o o l l o o 上得到的曲线，即图( 2 1 ) ，我们可以看到：在区间【o o o o l l ) 上时，函数基本以对数形式衰减：而在区间( i o , l 0 0 1 上时。函数则以幂函数咖的形式衰 减：在i 殉 l l o 】时，函数又出现了波动。这样我们可以推断出，该拟合函数应当是对 数函数和幂函数的复合函数。初步确定函数的形式后，系数的个数则由少到多进行试验。 这一过程是比较牯燥的。系数个数尝试的范围最少为三个，最多为十五个。这一过程中， 除了要改变系数的个数外，还需要对给出的函数形式以及目标函数进行调整。函数的形 式的确定是基于对数函数和幂函数的基本性质及曲线形状。而在程序中目标函数有两种 形式可供选择： s u m 一三【a ( 一) 一，( 雎) 】2 一l a i n ( 2 1 3 ) 尼舒 和 s u m m a x a e s t ( 4 ) 一，( “) 】，s u m - , m i a ( 2 1 4 ) 两式中，a ( “) 为原数据值，( 一) 为拟合函数所计算出的函数值只要使舰的值越 小。拟合的结果也就越好。 在经过多次试验后我们发现。当系数的个数为9 时，亦即函数是以下形式时，得到 的结果最理想， 删等筹筹等苦 ( 2 1 5 ) 上式中，当对数函数的系数包含二次以上的项时，在区间【0 0 0 0 1 ，1 ) 上会产生波动，所以 我们选择以关于j 的一次函数作为对数函数的系数。此外分子部分还有工2 项和矿项，而 分母部分的最高次数为四次，这种形式既可以保证在区间 1 , 1 0 11 - 会产生波动，又能使 当z 的值比较大时候函数以】x 的形式衰减a 在如式( 2 1 5 ) 的函数基础上，经过反复比较采用式( 2 1 3 ) 作为目标函数，得到 了如表( 2 2 ) 的九个系数值。 正交异性超大浮体的水动力学分析 将表( 2 2 ) 的系数值代入式( 2 1 4 ) ，然后将所得的曲线与原数据曲线进行比较，如 图( 2 2 ) ： 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 圈2 2 拟合曲线与积分盛线的比较 f i g 2 2c = a m p a r ee t t i n gc u f v ew i t hi n t e g r a lc r r y g 1 01 0 0 由图中，可以看出在区问( 1 0 ，1 0 0 】上两条曲线符合的比较好。而在区间皿1 0 】上，尤 其是波动区域的附近，两条曲线出入比较大t 此外，在区闯f o o o o i , 1 ) 上两条曲线也有一 定的差别。 因此，为了达到更好的精度以满足工程需要，决定对得到的九个系数值进行多次优 化。以表( 2 2 ) 中九个数值为初始值，仍然使用可变误差多面体算法进行优化。优化 大连理工大学硕士学位论文 的次数则以拟合的精度为准。一共进行了五次优化，其中以第三次优化后的结果最好 其系数值见表( 2 3 ) ： 表2 3 挽化系数值 t a b 2 3v a l u eo f o p t i m i z e dc o e f f i c i e n t s 根据表( 2 3 ) 所得的优化系数值绘制的曲线与原数据曲线相比，较之未经优化的 系数值精度有所提高。如图( 2 3 ) ： 图2 3 优化曲线与积分曲线的比较 f i g 2 3 c o m p a r i s o n o f o p t i m i z e d 印f v ea n d 血t c g r a l c u r v e 可以看出，与最初拟合函数的曲线相比，优化后的函数曲线无论在原本符合较好的 区间0 0 。i o o 上，还是在出入比较的大的区间【o 0 0 0 1 , 1 ) _ 1 = ，甚至在误差最大的波动区域， 都符合的比较好了。因此，最终的拟合函数确定为： 1 7 正交异性超大浮体的水动力学分析 川一然鬻筹戮象篙器 ( 2 1 6 ) 2 2 2 误差出线及分析 在前面的工作里，虽然我们已经得到了精度比较好的结果，但是与原数据相比还有 一定的误差。出现这些误差的根源，主要是简化、截断和舍入引起的。在最初的积分计 算中，我们采用了式( 2 1 2 ) 的h e s s - s m i t h 近似逼近式，这是模型简化误差的主要来 源。而在积分程序以及优化程序的运算过程中，不可避免的又引入了截断误差和舍入误 差。因此，式( 2 1 6 ) 只是一个基本上能满足工程问题要求的近似式，它在每一个计算 点的误差可以用对应的曲线表示，如图( 2 4 ) ； 圈2 4 误差曲线 f i g 2 4e r r o r l e s sa m w 上图是对应最优结果的误差曲线。在图中可以看到，在区间【o 0 0 0 1 ，1 8 】上误差变化 比较大，其值为t o 3 ；而在区间( 1 8 ，i o o 上，误差值h o 0 5 这样可以计算出拟合 函数的相对误差m c 6 。 大连理工大学硕士学位论文 图( 2 。4 ) 的误差曲线是经过优化后得到的。之所以选择这次优化作为最优结果， 是因为将其误差曲线与其他结果对比后，发现这次的误差值是最小的。初始拟合结果与 前四次优化结果的误差曲线比较见图( 2 5 ) ： 图2 5 误差曲线比较 f i g 2 5c o m p a r i s o no f e r r o r l e s sc l l r v e 由图中可以看出，初始拟合函数的误差与优化后的误差相比是比较大的；而只有第 三次优化后的误差亦即最佳拟合函数的误差可以控制在0 3 以内。对于普通的工程计算， 这个误差完全可以满足要求。但是，为了可以更加精确，我们希望可以将误差曲线也拟 合出来，这样在式( 2 1 6 ) 后只要减掉误差函数，就可以使拟合函数的误差进一步降低， 这在理论上是完全可以实现的。 通过对图( 2 4 ) 的研究，我们可以初步判断这个要拟合出来的误