（基础数学专业论文）关于几类完全正则半群的探究.pdf

( 1 口 攻读硕士学位期间发表和完成的学术论文 感谢 2 4 2 5 、 口 西南大学硕士学位论文摘要 关于几类完全正则半群的探究 基础数学专业硕士研究生翁利 指导老师郭聿琦教授 摘要 本文研究了几类完全正则半群的结构和性质，给出了左半正则纯正群并半 群和局部左半正规纯正群并半群的定义恒等式，同时对l 尼拟正规纯正群并半群 和l r - 拟正规密码群并半群的性质及结构进行了刻画全文共分为四章 关键词：左半i e 贝j i 纯正群并半群；局部左半正规纯正群并半群；l 昆拟正规纯 正群并半群；完全正则半群 s o m es t u d i e so ns o m ek i n d so fc o m p l e t e l yr e g u l a r s e m l g ：r o u p s m a j o r ：a l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s n a m e ：w e n g ，l i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rg u o ，y u q i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r e so fc e r t a i nk i n d s o fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s d e f i n ei d e n t i t i e so fl e f ts e m i r e g u l a ro r t h o g r o u p s a n dl o c a l l yl e f ts e m i n o r m a lo r t h o g r o u p sa r eg i v e n ，a n da tt h es a m et i m es o m ep r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r ec h a r a c t e r i z a t i o n sf o rl r - q u a s i - n o r m a lo r t h o g r o u p sa n dl r - q u a s i - n o r m a lo r t h o d o xc r y p t o g r o u p sa r ed i s c u s s e d t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u r c h a p t e r s k e y w o r d s ：l e f ts e m i r e g u l a ro r t h o g r o u p s ；l o c a l l yl e f ts e m i n o r m a lo r t h o g r o u p s ； l r - q u a s i - n o r m a lo r t h o g r o u p s ；c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s 囊 了 西南大学硕士学位论文前言 上l 月u声 半群代数理论是一个相对年轻的代数学分支，在学科内部和外部的巨大推动 下，经过半个多世纪的系统研究，已经成为“代数学 的一个独具特色的学科分支， 它与群论的关系类似于环论与域论的关系同时，半群代数理论在理论计算机科学， 组合数学，代数表示论，算子代数，信息科学等方面都有广泛的应用国际上对半群 代数理论的研究也是方兴未艾 回顾整个半群代数理论的历史，正则半群一直占据着主导地位，完全正则半群 作为一类重要的正则半群，它的研究成为半群代数理论中相当活跃的领域为了更 好的研究完全正则半群，很多学者从研究特殊的完全正则半群入手进行研究研究 一类特殊完全正则半群，有许多有效的工具，例如，刻画等式，局部性等文献 2 】中， j m h o w i e 列出了部分完全正则半群的定义恒等式在2 0 0 8 年，刘国新，宋光天，张 建刚给出了局部左正则纯正密码群并半群的定义恒等式2 0 0 8 年，胡洵，刘国新又 给出了拟正则密码群并半群的定义恒等式为了更进一步了解完全正则半群的性 质，本文给出了左半正规纯正群并半群和左半正则纯正群并半群的定义恒等式，接 着又给出了局部左半正规纯正群并半群的定义恒等式 文献f 6 1 中记载了华罗庚的一个著名定理，后人称为华定理华定理在半群中 也出现了很多相似的结论，其中文献7 1 | 8 1 中就给出了很多有意义的结果受两个 类一华定理( 见 7 】， 8 1 ，【1 6 】，后者给出了他们的简化证明) 的启发，在郭聿琦教授的国 家自然基金项目( # 1 0 8 7 11 6 1 ) 9 的一个课题上，就设置了一个关于一类特殊的遗传 类 关于子半群封闭】的研究探索( 从概念到方法) 的子课题，在郭等的工作 9 】的基 础上，张建刚，宋光天和刘国新，杜爱华和刘云，张爱平和李刚也开展了工作，分 别见 1 0 】，【1 1 ，【1 4 本文最第四章也得到相关的一些结果，主要研究l 尼拟正规 纯正群并半群这里对l 皿拟正规纯正群并半群的结构刻画与前人的不同，如文 献 1 0 】中，张爱平，李刚刻画得l 品拟正规一e h r e m a n n 半群的结构限制到己尼拟正规 纯正群并半群是y a m a d a 定理的一种特殊体现，而本文不是 本文就上述完全正则半群中的相关课题展开研究第一章是预备知识在第二 章中，我们给出了左半正则纯正群并半群的等式在第三章中，我们刻画了局部左 半正规纯正群并半群的等式第四章，首先刻画了厶融拟正规带的结构和性质，其 次刻画了l r - 拟正规纯正群并半群的结构和性质，最后刻画了l r - 拟正规密码群并 半群的性质 1 囊 、 “ 西南大学硕士学位论文第1 章预备知识 1预备知识 在本章中，我们介绍整篇文章中经常使用的概念及记号第1 节对我们研究中 涉及有关半群与正则半群的知识做一个简单介绍在第2 节中，我们介绍一下完全 正则半群的相关知识本文中没有具体给出的概念和符号都是标准的，都可以在 1 】， 【2 】和【3 】中找到 1 1 半群与正则半群 令s 是一个非空集合称二元组( s ) 为一个半群，如果“ 是s 上的一个满 足结合律 ( v a ，b ，c s ) ( a 6 ) c = n ( b c ) 的二元运算在不引起混淆时，我们也常常简称s 为半群，将a b 简记为口6 ，其中 a ，b s a s 称为s 的幂等元，若 0 2 ：n 若半群s 中仅含有幂等元，则称s 为带半群s 中的全体幂等元组成的集合记 为e ( s ) 称半群s 中元素a 是正则元，如果存在z s 使得a = a x a 如果半群s 的每一个 元都是正则元，则称s 是正则半群如果x s 使得a = a x a ，z = x a x 则称z 是a 的逆 元，n 的全体逆元组成的集合记为y ( n ) 如果存在x y ( o ) 使得a x = x a ，则称a 是半 群s 的完全正则元若半群s 的每一个元素都是完全正则元，则称s 是完全正则半群 此时s 的每一个咒类都是一个子群，因此完全正则半群也叫群并半群记a 在上l 中的 逆元为o o 1 2 完全正则半群 令s 是一个完全正则半群若它的幂等元集形成半群，则称s 是纯正群并半群 若它的幂等元集合形成c 带，则称s 为c 纯正群并半群若它的格林关系氕是一个 同余，则称s 是密码群并半群若s 咒是c 带，则称s 是c 密码群并半群若对于任意 的e e ( s ) ，有e s e y ，则称s 是一个局部的弘半群 令s 为一个完全正则半群若咒是s 一个同余且s 饨是一个左半正则带，则 称s 为左半正则密码群并半群记所有的这类半群为昭冗召9 当s 还是一个纯正群 并半群时，就称它为左半正则密码群并半群，记所有的这类半群为船7 已d 8 9 2 、 西南大学硕士学位论文1 2 完全正则半群 令s 为一个完全正则半群若对任意的e ，g e ( s ) ，有 e y g = e f e g ， 则称s 是一个左拟正规纯正群并半群记所有的这类半群为c 来若对任意 的e ，9 e ( s ) ，有 e 1 9 = e f g e g ， 则称s 是一个左半正规纯正群并半群记所有的这类半群为c s p 若对于任意的 元素e ，g e c s ) 有 e f g = e f g e g f g ， 则s 为左半正则纯正群并半群，记所有的这类半群为厶s 冗o 为了方面我们引进下面几个记号 c ( c 冗) ：完全正则半群簇生成的格 v ：完全正则半群簇的一个子簇 c 冗：完全正则半群簇 d ：纯正群并半群簇 b g ：密码群并半群簇 o b g ：纯正密码群并半群簇 3 西南大学硕士学位论文第2 章左半正则纯正群并半群 2 左半正则纯正群并半群 引理2 1 ( 【2 】，推论i i 5 2 ) 令s = ( r & ) ，s 是纯正群并半群若o l ，卢在f e e ，q 卢则关于y 中任意q ，有e ( & ) 为一个矩形带，关于所有的a ，6 及e ( 昂) 中任意e ， 有a b = a e b 引理2 2 ( 2 1 ，引理i i 4 4 ) 令e ，在e ( s ) 贝j j ( e f e ) o = e ( f e ) o 引理2 3 ( 2 1 ，引理i i 1 6 ) s 为完全单半群，则s 满足等式( 曲) o = ( a x b ) o 引理2 4 ( 2 】，定理i i 8 1 ) s 为密码群并半群，则s 满足等式( 0 6 ) o = ( 扩6 0 ) o 引理2 5 ( 2 】，引理v 4 2 ) = 【a x y = a x y ( a y x y ) o 】 定理2 6 令s 为一个半群则下了几条等价 ( 1 ) s 为纯正群并半群，t r 为同余； ( 2 ) 关于e ( s ) 中任意元素e ，f ，g ，有e f g = e f g e g f g ； ( 3 ) 关于e ( s ) 中任意元素e ，9 ，s 中a ，存在0 在y ( o ) 中使得e 叼= e a g a e g a g ； ( 4 ) 关于e ( s ) 中任意元素e ，s 中a ，b ，存在0 在y ( o ) 中使得e 0 6 = e a b o a e b o a b ； ( 5 ) 关于s 中任意元素a ，z ，y ，存在a 7 在y ( 口) 中使得x a y = x a y o a x o y o a y ； ( 6 ) 关于e ( s ) 中任意元素a 0 ，b o ，c o ，有a o b o c o = a o b o c o a o c o b o c o 证明( 1 ) 弓( 2 ) 显然成立 ( 2 ) 考( 3 ) 由于对任意元素e ，e ( s ) 有 e f = e l f = e f f e f f f = e f e f , 从而e ，e ( s ) ，s 为纯正群并半群那么对任意元素a s ，存在o y ( o ) 使得 e a g = e a a a g = e a a a g a a g ( i ：ht a 0 夕是幂等元) = e a a a g a g a g ( 1 主t 引理2 1 ) = e ( a g a ) g e g ( a g a ) g a g = e ( 叼0 ，) 9 e 夕( 叼0 ) 叼( 由引理2 1 ) = e ( a g aj g e g a aa g aa g ，、， = ( e ( a g a ) ) 9 ( e 夕n 夕) = e ( a g a ) e g a g ( 由引理2 1 ) ( 3 ) 昔( 4 ) 对于任意元素e e ( s ) ，口，b s ，存在y ( o ) 6 0 日6 使得 e n b = e a b o b = e a b o a e ：b o a b o b = e a b o a e b o a b 4 西南大学硕士学位论文 第2 章左半正则纯正群并半群 ( 4 ) = 令( 5 ) 对任意元素口，z ，y s ，存在n y ( o ) ，护上乙，y o 吼使得 x a y = z 护a y = x a y 0 0 7 z o y o a y ( 5 ) 号( 6 ) 对任意元素a o ，b o ，c o e ( s ) 有 n 0 6 0 c 0 = 口0 6 0 c 0 6 0 n o c 0 6 0 c o = a o b o c o a o c o b o c o ( 6 ) 考( 1 ) 有引理2 5 显然成立 引理2 7 ( 2 】，习题v 4 6 ) pnt 3 9 = ( a o 护) o y = ( a x ) o y ( a y z y ) o 】 证明若s l + n 西，则对于任意元素a ，z ，y s 有a x y = a x y ( a y x y ) o 两边同 时左乘( n z ) _ 1 得 ( a x ) o y = ( a x ) o y ( a y x y ) o ， 又由于s 为密码群并半群，由引理2 4 有a o z o ) o y = ( a x ) o 秒( o y z 秒) o 若s a o x o ) o y = ( a x ) o y ( n y z 秒) o 】，则对于任意元素a ，z ，y s ，令y 扩就 有a x ) = ( a o x o ) o ，易知s 为密码群并半群从而有 ( a x ) o y = ( a x ) o 秒( 叼z 可) o 两边同时右乘a x ，得a x y = a z y ( a y x y ) o ，所以s n 踯 定理2 8f _ 沾n b g = 【( o z 秒) o = ( a o x o y o a o y o x y ) o 】 证明若s f _ z t z b g ，则对任意元素a ，z ，y s 有 a x y t - l a x y a y x y t - l a o x o y o a o y o 扩沪 从而有( 凹y ) o = ( a o x o y o a o y o 扩y o ) o 若s 【( 们可) o = ( a o x o y o a o y o x o y o ) o 】，令y _ x 0 则有 ( a x ) o = ( a o x o a o x o ) o = = ( a o x o ) 2 ) o 由于s 是完全正则的，就有a o z 0 7 - l ( a x o ) 2 ，即( n o 一) o = ( a o 一) 2 ) o 此时( 口z ) o = ( a o x o ) o ，s 为密码群并半群因此 a x y t - l a x y a y x y t - l a o x o y o a o y o z o y o 可得s c s 7 已8 9 定理2 9 n 即= f _ s r b g 5 西南大学硕士学位论文 第2 章左半正则纯正群并半群 证明若s l + nb g ，则对于任意元素a ，z ，y s 有 由于s 是密码群并半群，就有 从而 a x y = a x y ( a y x y ) o ( a x y ) 0 7 t a o 扩y o ， ( a y x y ) 0 7 q a o ! ，o z o y o ( a x y ) o ( o z ) 0 7 - l a o z o y o a o y o z o y o 可得( ( o z y ) o ( 口z y ) o ) o = ( n o z o y o o o y o 护y o ) o 而又由于( n z 可) o = ( ( 凹y ) o ( o 可z 可) o ) o ，此 时就有( 凹y ) o = ( a o x o y o a o y o 扩矿) o ，即s 舰后哆 若s 厶s r s g ，对于任意元素a ，z ，y s 有 a x y t - l a x y a y x y l ：a y x y 从- 而a x y = o z 可( o 秒z 秒) o 即s + nb g 定理2 1 0 c s 7 已召9 = 【a o z o ) o y = ( a x ) o 可( 口可z 可) o 】 定理2 1 1f 岱n b g 垡o 证明令s 为完全单半群显然s 是密码群并半群则对于任意元素口，z ，y s 有 ( a y ) o = ( a z y ) o = ( a x y a y x y ) o = ( a o x o y o a o y o z o 矿) o 从而s i _ s t c b g ，若s t 已b g 0 则有完全单半群是纯正的，矛盾所以厶s 7 已。舀乡垡 定理2 1 2c , s r o b g = 【( o z 矽) o = a o x ya o y o 护y o 】 证明若s 岱7 已p 召9 ，则对任意元素a ，z ，y s 有 a x y t - l a x y a y x y t - l a o x o y o a o y o x o y o 又由于s 是纯正的，就有( a x y ) o = a o x o y o a o y o z o y o 若s 【( a x y ) o = a o x o y o a o y o z o y o 】，令秒j 护则有 ( a x ) o = ( a o x o o o z o ) = ( a o x o ) 2 6 西南大学硕士学位论文第2 章左半正则纯正群并半群 ii| 由于s 是完全正则的，有a o x o t - l ( a o 扩) 2 ，即( o o 扩) o = ( a o z o ) 2 ) o ，从而( o z ) o = ( a o x o ) o ， s 为密码群并半半群因此a x y t - l a x y a y x y t - l a o x o y o a o y o z o y o 可得s 一s n b g 对 于任意元素e ，厂e ( s ) 令a - e ，z _ ，可一e 有 接着有 ( e r e ) o = e f e f e = ( e 1 ) o e ， e l = ( e 1 ) o e l = e f e f e f = ( e 1 ) 3 再令口= zje ，y - ，有( e ，) o = e e f e f e f = ( e 1 ) 3 = e 1 所以s f _ 一t 5 7 己o b g 弓l 理2 1 3 ) ( 2 1 ，习题v 4 6 ) c + no s g = 【n ( o z ) o x y = a x y ( a y x y ) o 】 证明若s n o b g ，则对于任意元素o ，z ，! ，s 有o z ! ，= a x y ( a y x y ) o ，从而 a x y = a a o x o x y = a x y ( a y x y ) o 由于s 为纯正密码群并半群，有a a o z o x y = a ( a x ) o x y = a x y ( a y x y ) o 若s 陋( 凹) o x y = a x y ( a y x y ) o 】，则对于任意元素o ，z ，y s ，令可_ z o 有n ( 彻) = n z ( 凹) o ，即n ( n z ) o ) z = 凹两边同时左乘o ，右乘z ，有( n z ) o = a o x o 所以s 为纯 正密码群并半群从而有 o ( o z ) o x y = 口( 扩扩) z 可= a a o x o x y = a x y = a x y ( a y x y ) o 由引理2 5 ，s c ，可得s c f l o 召9 推论2 1 4 n0 1 3 9 = f _ 5 7 已o b g 由定理2 9 知推论2 1 4 显然成立 由引理2 1 3 和推论2 1 4 易得下列结论 引理2 15 邱冗p 召9 = 【a ( a x ) o x y = a x y ( a y x y ) o 】 注7 已p 召9 ，q 厂o b g ，y s x o b o 厶s 7 z p 召9 7 西南大学硕士学位论文第3 章局部左半正规纯正群并半群的等式 3局部左半正规纯正群并半群的等式 引理3 1 ( 2 】，命题i i 7 3 ) 令y = 阻a = 】口a c ( c 冗) 则c 1 夕= 【钆q ( z 甄z ) = q ( 蕾z i z ) 】a a ，其中z 不在u n ：ac ( t l 口) 中 引理3 2 ( 2 】推论i i 4 3 ( i i ) ) 令s = ( y ；& ) 是一个完全正则半群，n 在中， 扫在& 中，其中o z p 贝l j a e b a ，a t t a b 且a = 口( 阮) o = ( a b ) o a 引理3 3 ( 2 】，推论i i 8 4 ) l 召夕= 助罗 引理3 4 ( 【2 】，推论i i 5 2 ) 令s = ( & ) 是一个纯正群并半群，q ，卢在y 中，a 卢贝t e ( s a ) 是一个矩形带并且对& 中任意元素a ，b 及e ( s z ) 中e ，我们有n 6 = a e b 引理3 5 ( 【2 】，定理i i 5 3 ) 0 = 【a o b o = ( a 0 6 0 ) o 】 引理3 6 ( 2 】，定理i i 8 1 ) 召乡= 【( n 6 ) o = ( a 0 6 0 ) o 】 引理3 7 ( f 4 】) 令s 是一个半群则s 在l c 7 已0 中当且仅当s 满足等式a x y = a x y ( a y ) o 引理3 8 ( 4 】) 令s 是一个半群则s 在己嬲、厂8 乡中当且仅当s 满足等式( 凹y ) o = ( 口。护y o a o y o ) o 引理3 9 ( 【4 】) 己7 已。艿9 = c 6 们9 推论3 1 0 令s 是一个半群则s 在q 厂p 中当且仅当s 满足等式a x b = a x a o b 证明如果s c ，则对任意e ，f ，g e ( s ) ，我们有e f g = e f e g 令a s 则0 y ( o ) ，耐o = 口，此时 e a e f = e ( a a a ) e f = e a ( a a ) e f = e a ( a 7 0 ) e ( o a ) f = e ( a e a ) a f = e ( a e a 7a a 7 a f = e ( a e a ) e ( 0 0 ) n ，( 因为n e 0 e ( s ) ) = e a e a e a f = ( e a ) e ( a e ) a f = e a a e a f ( 1 t l6 l 理3 4 ) = e a a e a a a f = e a r 对任意z ，b s 可得a x b = a a o x b o y = a ( a o x a o b o ) b = a x a o b 如果s 满足等式a x b = a x a o b ，则显然有s q 厂p 定理3 1 1 令s 是一个半群则s 在三q 厂p 中当且仅当s 满足等式a x y = 凹( o 秒) o 证明令s 己c 则对任意a ，z ，b ，y s ，由引理3 1 和推论3 1 0 我们有 ( y a y ) ( y x y ) ( y b y ) = ( w v ) ( w v ) ( w v ) o ( v b v ) 8 西南大学硕士学位论文第3 章局部左半正规纯正群并半群的等式 令a _ x a ，z _ a x ，b _ y 我们得到 ( y x a y ) ( y a x y ) ( y y y ) = ( y z o 可) ( 可o z y ) ( 秒z 口y ) o ( y y y ) 把上式右乘( 箩3 ) 一，有 ( 可z o y ) ( 可n z 可) ( 秒3 ) o = ( y z q 可) ( 可o z 秒) ( 可z o 可) o ( 可3 ) o 因为s c 冗，y o = ( y 3 ) o ，所以 ( y x a y ) ( y a x y ) = ( y z 口) ( 可口z 可) ( 可z 口可) o ， 再把等式两边左乘( y a x y x a y ) 。( 可口z ) ，我们可以得到 ( y a x y x a y ) o ( y a x y ) = ( y a x y x a y ) o ( 可o z y ) ( 可z o 可) o ， ( y a x y x a y ) o n ( y a z y ) 引理3 3 蕴含了下面这个等式 y a x y = y a x y ( y x a y ) o 两边左乘( 凹秒) - 1 ( o z ) ，得到 a x y = n z ( 可z n 可) o ， 两边右乘( n 可) o ，我们得到n z 耖= 可( o 可) o 反之，假设对任意n jz ，y s ，有a x y = a x y ( a y ) o 令e e ( s ) ，b ，c ，z e s e 则( 6 c ) o ，( 6 西) o e ，( 6 c ) o 冗( 6 c 6 ) o ，s o ( 6 c ) o = ( 鼢) o ( 6 c ) o e = ( 鼢) o ( 6 c ) o e ( ( 6 c 6 ) o e ) o = ( 鼢) o 两边右乘( 6 ) o ，可得( 6 c ) o b o = ( 6 c ) o 则6 c = b c b o ， l t b c z = b c b o z 由推论3 1 0 s 三c q 怕 由引理3 7 我们可得l c = l c 7 宅0 ，有引理3 3 和引理3 9 ，我们有己c q 们嬲乡= s n b g 引理3 1 2l c q 人厂p l c s 们 证明令s l c 乏w 移对任意e ，f g e ( s ) 有e f g = e f e g ，两边右乘e 夕得到 e f g e g = e f e g e g = e f e g = e f g 因此有e ，9 = e f g e g 此时我们得到s c s a f o ，所以三q 厂p l f _ , $ a f o 9 西南大学硕士学位论文 第3 章局部左半正规纯正群并半群的等式 推论3 1 3 令s 是一个半群则s 在r _ 3 n o 口p 当且仅当s 满足等式a x b = a x b o a o b 证明令s c s n o ，对任意e ，f ，g e ( s ) 有e ，夕= e f g e g 则对于任意o s ， 我i t f f f a 7 y ( n ) ，a a n = 8 并h ( a f e f a 7 ) ( a f e f a 7 ) = a ( f e f a a f e f a a ) a = a f e f a e ( s ) 所以我们得到 e a f e f = e ( a a a ) f e f = e a ( a a ) ( f e ) f ( a a ) f = e ( a f e f a ) a f = e ( a f e f a a a a f = e ( a f e f a ) ( a a ，) e ( 口o ) a f = ( e a f ) e f ( a e a f ) ( 引理3 4 ) = e a f a e a f = e a f a 7 a a e a a a f = e ( a f a ) ( n n 7e ( a a 7 ) a f = e ( a f a 7a a a f ( 因为e f g = e f g e g ) ：e 口f a a f ：e o ， 所以对任意z ，b s 得到 a x b = a a o x b o b = a ( a o x b o a o b o ) b = a x b o a o b 我们得到s 满足等式a x b = a x b o a o b 如果s 满足等式a x b = a x b o a o b ，则显然有s a 罗- 帕 定理3 1 4 令s 是一个半群则s 在l 嬲们中当且仅当s 满足等式a x y = a y ( a y ) o 证明令s l s a f o ，对所有的口，z ，b ，y s ，由引理3 1 和推论3 1 3 我们得到 ( 可o y ) ( 可z 秒) ( 可6 可) = ( 妙n 秒) ( z 秒) ( 可6 秒) o ( 可a ) o ( y t w ) i h a x a ，z - - oa x ，b _ y 得到 ( z o ) ( n z 秒) ( 可可可) = ( 秒z o 可) ( y o z 可) ( 可可可) o ( 可z 口可) o ( y y y ) 两边右乘( 可3 ) ，得到 ( y x a y ) ( y a x y ) ( y 3 ) o = ( 可z o 秒) ( 可o z y ) ( 秒3 ) o ( 可z o 秒) o ( 3 ) o 因为s c 冗，y o = ( y 3 ) o 因此 ( y x a y ) ( y a x y ) = ( 可z o y ) ( 可口z y ) ( 可z o 可) o 1 0 西南大学硕士学位论文第3 章局部左半正规纯正群并半群的等式 由定理3 1 1 的证明，我们有a x y = a x y ( a y ) o 反之，令s 满足等式a x y = n z 秒( o 可) o 由引理3 1 2 和推论3 1 3 我们有s l c s n 0 所以我们得到 定理3 1 5l c t 已o = l c = l f _ , s a f o = 【a x y = a x y ( a y ) o 】 定理3 1 6l f i t 已o b o = 三c q p 召9 = l c s v d 召乡= c 5 厂8 乡 对称的可得 定理3 1 7l 7 况d = l 冗q 厂p = l t t s a f o = 【a x y = ( a u ) o a x y 定理3 1 8 己舰p 召9 = l 7 已q 人。p 召9 = l 7 宅s 厂p 召乡= 灭登邶9 1 1 西南大学硕士学位论文 第4 章l r 拟正规纯正群并半群 4 己体拟正规纯正群并半群 4 1己体拟正规带 定义4 1 1 令b 是一个带若关于b 中任意元素e ，下列两款至少成立一款 ( i ) 关于b 中任意的，9 ，有e f g = e f e 9 ； ( i i ) 关于b 中任意的，9 ，有g y e = 9 e f e ， 则称b 为l 尼拟正规带 易知左( 右) 拟正规带是l r 拟正规带，但l 皿拟正规带既不一定是左拟正规带 也不一定是右拟正规同时，三皿拟正规带是正则带，但正则带并不一定是l 皿拟正 规带下面分别给出两个反例 例4 1 2 1 1 5 】令b = e ，f ，g ，h ，z ) 乘法表如下 给出了b 上的一个运算易验算b 是一个三b 拟正规带，但b 既不是左拟正规带，也 不是右拟正规带，这是因为 e 2 ，2 f l = f 2 f l = 止e 2 f 2 e 2 f l = f 2 e 2 f l = e 2 f l = e 2 e 2 9 e l2g e l2g e 2 e l g e l2e l g e l2e l e l2e 1 例4 1 3 1 1 5 】令b = e ，f ，夕，危，磅乘法表如下 给出了b 上的一个运算易验算b 是一个正则带，但b 不是l 尼拟正规带，这是因为 e l g e 2 。f 2 e 2 = f 2 e l g e l e 22t 2 e l e 2 = e i e 2 = e 1 1 2 西南大学硕士学位论文 4 1 工r 拟正规带 e 2 9 e l = g e l 。 e 2 e l g e l = e l g e l = ，2 e l = e 1 命题4 1 4 令b 为一个带则下列几条等价 ( 1 ) b 是一个三尼拟正规带； ( 2 ) 关于b e e 任意e ，有a 。在e n d ( b ) 或几在e n d ( b ) ； ( 3 ) l ，冗为b 上同余，关于b e e 任意e ，任意，g ，有e f g c f e g 或任意，9 ，有g f e 冗g e f 证明( 1 ) 专( 2 ) 显然成立 ( 1 ) = 号( 3 ) 关于任意e ，f ，g b ，若e z , f ，则e ，= e ，f e = f 从而有 g f g e = g f e g e f = g f e g f e f ( 虹t - b 是l 尼拟正规带) = g f e f = 9 1 同理有g e g f = g e ，因此g e c g f ，则c 为同余类似的可得7 已为同余由于b 是己皿拟 正规带，显然有任意e b ，任意 g b ，e f g c f e g 或任意，g b ，g f e 冗g e f ( 3 ) 警( 1 ) 由c ，7 已为同余知b 为正则带 若关于任意e b ，任意，g b ，e f g c f e g ，则 e f g = e f g f e g = e f e g f e g ( 由于b 是i f _ 贝u 带) = e f e g 类似的，若关于任意e b ，任意，g b ，g f e 冗g e f ，则有9 ，e = g e f e 因此由定 义4 1 1 知b 是一个l 皿拟正规带 下面我们就看l r - 拟正规带的结构，在此之前先给出一个引理 引理4 1 5 ( 【1 】，定理4 4 5 ) 令y 为一半格，【玩= l a q i 口y ) 是一族两两不 相交的矩形带若关于y e e 任意a ，卢，q 卢有 e a ，卢：e 口专歹( 如) 歹( 人卢) a h ( 三，卢，线，卢) 如果满足：关于f e e 任意o l ，卢，y ，e , ，e e a = ( i ，a ) ，岛e e b = ( 歹，p ) 有， ( 1 ) = i ， = 入； ( 2 ) = k ， = 王，； ( 3 ) 若c = ( k ，) ，q p 7 ，则 镌，7 鸪，y = 三卢，7 ，妒三，7 妒各，1 = 妒三卢，1 1 3 西南大学硕士学位论文4 1 r 拟正规带 则在e = u 。y 玩上定义运算o ob = ( ， ) 易知e 是一 个带反过来，每个带也同构与此结构 定理4 1 6 令y 为一半格， 鼠= 厶a q i q y ) 是一族两两不相交的矩形 带若关于y 中任意q ，p ，a 卢有 e 口，卢：上0 专歹( 易) 了( a 卢) a h ( 饯，芦，缓，砂 如果满足：关于y 中任意q ，卢，y ，取中o = ( t ，入) ，昂中6 = 0 ，肛) 有， ( 1 ) ) ( u ，也) = ( ， ) d b a = ( ，叫) ( 歹，p ) ( t ，a ) = ( ， ) d a b a = ( t ，屯u ) ( t ，入) o ，肛) ( t ，入) = ( ， ) 由( 4 ) 知e 是l r - 拟正规带 ( 仁) 当e 为l 冗一拟正规带时，由上述证明过程知关于任意o = ( i ，入) 既，任 意6 = g ，p ) 昂，d ；( 心，伽) 日，6 = q p 7 ，有蟛，6 = 妒：，6 硝，占或任意6 = u ，肛) 岛，d = ( 牡，叫) 日，6 = q 卢7 ，有蟛，占= 钙，6 纯，6 由q ，卢，y 的任意性可得到( 4 ) 再由 引理4 1 5 知每一个l r - 拟正规带同构于此结构 4 2l 体拟正规纯正群并半群 定义4 2 1 令s 为一个完全正则半群若e ( s ) 是一个l 屉拟正规带，则称s 为l r - 拟正规纯正群并半群 引理4 2 2 ( 2 】，推论i i 5 2 ) 令s = ( k ) 是一个纯正群并半群，o l ，p 在y 中，o l 卢则e ( s q ) 是一个矩形带并且对& 中任意元素a ，6 及e ( 昂) 中e ，我们有a b = a e b 定理4 2 3 令s 为一个完全正则半群则下列几款等价 ( 1 ) s 是l r 拟正规纯正群并半群； ( 2 ) 关于e ( s ) 中任意e ，有入e 在e 蒯( e ( s ) ) 中或风在e 以( e ( s ) ) 中； ( 3 ) 关于s 中任意a ，任意z ，y ，有a x y = a x a o y 或任意z ，y ，有y x a = y a o x a ( 4 ) s 为一个纯正群并半群，t r l ，t r r 为e ( s ) 上同余，关于s 中任意a ，任意z ，y ， 有a x y f 。x a o y 或任意z ，y ，有y x a 冗y a o z 证明( 1 ) 号( 2 ) 关于任意e e ( s ) ，若有任意，g e ( s ) 有e f g = e f e g ，则关 1 5 一 西南大学硕士学位论文4 2l 犀拟正规纯正群并半群 于任意a b s 有 e a e b = e a a o e b = e a a o e a o e 6 ( 由于s 为一个纯正群并半群) _ e a e a o e b o b = e a e a o b ( f l ：l - t - e f g = e f e g ) = e ( a e a 一1 ) a o a b = e ( a e a 一1 ) e o o a b ( 1 由t - e f g = e f e g 上1 a e a 一1 e ( s ) ) = ( e a ) e ( a _ e a o a b ) = e a a - 1 e a o a b ( 由引理4 2 2 ) = e a o e a o a b = e a b 即有入。e n d ( e ( s ) ) 同理可得p e e n d ( e ( s ) ) ( 2 ) 考( 3 ) 显然成立 ( 3 ) 弓( 4 ) 关于任意e ，f e ( s ) 令( 3 ) 中的a = e ，z = = y = f 则有e f = e f e f 因此s 为一个纯正群并半群再由定理1 4 知( 4 ) 是成立的 ( 4 ) 哥( 1 ) 由定理1 4 知e ( s ) 是l 尼拟正规带，因此s 为l r 拟正规纯正群并半 群 下面我们就讨论三r 拟正规纯正群并半群的结构由于每个完全单半群同构于 一个夹心矩阵被正规化的融s s 矩阵，因此我们就仅给出每个& 的夹心阵被正规化 了的l r 拟正规纯正群并半群的结构 引理4 2 4 ( 5 】，定理4 ) 令y 为一半格， = p ( 厶，瓯，人q ；p q ) i a y ) 是一族 两两不相交的r e s s 矩阵若关于y 中任意q ，