（理论物理专业论文）腔场作用的量子纯化过程研究.pdf

、p ，一、t r i飞j，1 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作 所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位做储躲丝坌垄 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：垂短窒謦指导教师签名：叠至三l 塾 日期：硼汐- 苎谚 日 期：如f 口多沙 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： ，一 1 _ ”、 摘要 在量子信息学中，纠缠态处于重要的地位，它主要的应用是在量子隐形传态， 量子计算，量子通信和量子密码术等方面。在实际的量子通信中，往往需要最大 纠缠态传递信息，这样就要求从大量的纠缠度较低的量子态中，获取尽可能高的 纠缠度量子态，这就是纠缠纯化。 我们可以利用腔q e d 方案进行原子纠缠态的纯化。本论文概述了原子与腔 场之间作用的动力学过程，并在此基础上实现了两原子和三原子的纠缠纯化。用 密度矩阵形式表示出了含时的纯化因子，对纯化因子的极值进行了分析，得到了 原子与腔场共振情况下的纠缠度。含时演化的密度矩阵的对角化空间的含时基矢 的熵纠缠度进行了探讨，以其找到既能使纯化因子尽量大，又能使具有这个纯化 因子的纠缠态就是或接近最大纠缠态的特定的演化时间。 关键词：腔q e d ；纠缠态；纠缠纯化；纯化因子 a b s t r a c t i ti sw e l l - k n o w nt h a te n t a n g l e ds t a t e sp l a yt h em o s ti m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d y o fq u a n t u mi n f o r m a t i o n t h ei m p o r t a n c ei sa l s os h o w ni ni t sa p p l i c a t i o ni i lq u a n t u m t e l e p o r t a t i o n , q u a n t u mc o m p u t a t i o n , q u a n t u m c o m m u n i c a t i o na n d q u a n t u m c r y p t o g r a p h y , a n d s oo n i nt h e a c t u a l q u a n t u mc o m m u n i c a t i o n , t h em a x i m a l e n t a n g l e ds t a t e sa l en e e d e dt ot r a n s i tt h ei n f o r m a t i o n t h e r e f o r ei tb e c o m e sn e c e s s a r y t oa c q u i r et h em a x i m a le n t a n g l e ds t a t e sf r o mt h o s ew h o s ee n t a n g l e m e n ti sf a ra w a y f r o mt h em a x i m a le n t a n g l e m e n t t h ep r o c e s sm e n t i o n e da b o v ei sd e f n e dt ob e e n t a n g l e m e n tp u r i f i c a t i o n i ti sc l e a rt h a tt h ep r o c e s sc o u l db er e a l i z e do n l yt h r o u g h t h ei n t e r a c t i o n i nt h i st h e s i s ，t h eq u a n t u me l e c t r o d y n a m i c s ( q e d ) t e c h n i q u ei su s e dt o r e a l i z et h ep r o c e s so fp u r i f i c a t i o n t h eb a s i cd y n a m i c so fq e di sf i r s to u t l i n e d , t h a ti s ， t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ea t o mw i 也o n ec a v i t yf i e l d o nt h eb a s i so fa t o m - f i e l d i n t e r a c t i o n , t w o - a t o mp u r i f i c a t i o na n dt h r e e - a t o mp u r i f i c a t i o nc o u l db er e a l i z e d t h e c h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e rf o ro n ep u r i f i c a t i o nm e t h o di st h ep u r i f i c a t i o nf a c t o r i nt h e s t u d y , w ed r e wt h ep u r i f i c a t i o nf a c t o r sf r o mt h et i m e - d e p e n d e n td e n s i t ym a t r i xo ft h e t w o - a t o mc o r r e l a t e ds y s t e m t h ee x t r e m e so ft h ef a c t o rc o u l db eg o t t e nb y d i f f e r e n t i a t et h ef a c t o r s t h ed i a g o n a ls t a t e so ft h ed e n s i t ym a t r i xa l eg i v e n , a l s ot h e e n t a n g l e m e n te n t r o p yo fe a c hs t a t e t h ef i n a lg o a lo fa b o v ed i s c u s s i o ni se v i d e n tt o f i n dt h ee v o l u t i o nt i m e ，t of u l f i l lb o md i a g o n a ls t a t e sa l em a x i m a l l ye n t a n g l e da n dt h e p u r i f i c a t i o nf a c t o r sa l ea l m o s tt h ee x t r e m e s k e yw o r d s ：c a v i t yq e d ；e n t a n g l e ds t a t e s ；e n t a n g l e m e n tp u r i f i c a t i o n ；p u r i f i c a t i o n f a c t o r s i i i 东北师范大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 纠缠纯化的提出与发展 为了解决在量子隐形传态【1 , 2 , 3 】，量子密码通讯【4 j ，密集编码的过程中所用的 纯的纠缠态和环境( 噪声) 发生无法避免的相互作用，造成相干性逐步消退的退 相干过程的问题，1 9 9 6 年，由b e n n e t t 掣5 j 提出的通过定域操作和经典通讯的方 案，理论上解决了对混合纠缠态的纯化，提取了纯度较高的纠缠态。纠缠纯化的 概念是：从大量纠缠纯度较低的量子系综里提取出纠缠纯度较高的子系综。纠缠 纯化的基本思想是：a l i c e 作为发送者，先局域制备很多的e p r 对，再把e p r 对中的一个粒子发送给接收者b o b ，并且把另一个粒子留给m i c e 自己。在粒子传 送过程中，热库的耗散会使纠缠度降低，当接收者b o b 接收到粒子时，a l i c e 和 b 0 b 共享的是处于部分纠缠态的粒子对。此时，a l i c e 可以通过旋转，控制非， 局域幺正操作并进行测量，最后通过经典通道协调a l i c e 和b o b 的操作，就可以 从他们共享的部分纠缠的粒子对中获得由他们共享的接近最大纠缠态的e p r 对。 19 9 6 年，b e n n e t t 等最先提出了一种纠缠纯化方案。h o r o d e k i 6 等证明了任意 2 x 2 系统的混合纠缠态都可以纯化1 9 9 9 年，b o s e 等【7 j 又提出可以通过纠缠交换 的方法进行纠缠纯化。 1 2b e n n e t t 的纠缠纯化方案 假定这里l y 一) = ( 卜j ，) 一卜l 个) ) 互为经过噪声环境影响下，想要纯化的态。 也就是说，自旋单态l 甲一) = ( j 个j ) 一j 、1 1 、) ) 互经过一个嘈杂环境，会有多大几率 处于原来形式。那么这里可以定义一个概念，即保真度：f2 ( 、王，一i m i 甲一) ， 要 求f 。这里m 为两自旋1 2 粒子的一般性混合态，用m 操作可以达到提纯 纠缠纯态的目的，而f 就是系统还处于自旋单态的几率。 我们可以对混合态m 进行s u ( 2 ) 操作，得到： w f = ，愀叶半刚叶半愀叶+ 半俐一l 其中： l 、王，一) ，i 甲+ ) ，i 垂+ ) ，i ) 为四个标准的正交的b e l l 态。 对w 进行单边泡利转动q ：i 甲) 铮( 千i ，则w 态变为： w ，t ，俐叶+ 孚俐叶半刚叶半愀一i 取两对粒子 ( 4 ，点) ；( 4 ，展) ) ，每对粒子都处于上面的态上，总的态等于两 对粒子的直积态，其中：( 4 ，4 ) 属于灿i c e ，( 蜀，垦) 属于b o b 。我们用i ) i 中+ ) 表示p ) q ap ) 也屯 以此类推，总的波函数表示为： w f j f 21 咿) ( 俐+ 掣俐中诈俐 + ! 垒手盟l + ) i 甲+ ) ( 中+ | ( 甲+ i + f ( 1 3 f ) i 中+ ) l 甲一) ( 西+ | ( 甲一i + 掣俐中似俐+ ( 1 - ，f ) 2 i m 妒) ( 协l + 华俐甲惟俐+ 了( 1 - f ) 2 俐甲诈妒i + 掣i 甲咿) ( 叫( 叶0 - ，e ) 2i 甲咿) ( 甲咿i + ( 1 丁- f ) 2l 甲+ ) l 、i ，+ ) ( 甲+ i ( 甲+ l + ( 1 r - f ) 2i 甲+ ) i 甲一) ( 甲+ i ( 甲一i + 掣m 咿俐+ 丁( 1 - f ) 2 m 一) ( 甲巾i + 学俐甲+ ) ( 甲妒| + 丁( 1 - f ) 2 俐甲一) ( 甲妒l 对w 进行双边非控制操作，其中( 4 ，且) 是源粒子，( 鸣，岛) 为耙粒子，则w 态 变为： w ，一，：i + ) i 垂+ ) ( + i ( + i + f ( 1 3 f ) i 。) i 一) ( 中一| ( m l 苎苎塑堕塑垄望型兰垡笙塞 + 掣m 甲似+ 华m 甲诈俐 + 掣删面似例+ 华m 中诈l ( 叫 + 学m 甲惟例+ 华m 甲静州 + 华m 甲咿+ ( 1 7 ) 21 甲巾) ( 甲巾| + 华m 巾俐+ 华m 水俐 + 掣m 甲似俐+ 华m 甲妒 + 学删垂似俐+ 华m 巾妒俐 茱m ，篓要型苎苎粒子在z 方向上的自旋：如果测量结果相同，就保留源粒子， 否则就抛弃它们。剩下的w 态为： 。一”“一 w r m 矿) 叶华m 中诈俐 十f ( 1 i - 一f ) l m 一) j m + ) ( 西一| ( 中+ f + ( 1 r - f ) 2 l 垂+ ) f 垂一) ( 巾+ j ( 中一l + 丁( 1 - f ) 2m 西+ ) ( 甲咿卜华刚中一) ( 甲似i + 学刚垂水俐+ 华m 中水俐 测量耙粒子后，源粒子处于： w r 掣愀叶掣愀m i + 了( 1 - f ) 2 愀叶学m 叶( j - ，f ) i 甲水f + 华m 叶华瞅甲+ j 东北师范大学硕士学位论文 对w 态进行单边泡利转动，q ：i 甲) 铮i m 千) 。则w 态变为： w f = f 2 甲诈卜华刚叶掣刚叫 + 0 - ，r 2i 甲妒i + 华愀i 0 - 7 f ) i 水i + ( 1 - ，f ) 笪i m + ) ( + i + ( 1 丁- f ) 2i 一) ( 一i i 甲一) 经纯化后的保真度为： f = 一 当丢 ， 去。 通过这种纯化过程产生了一个新的系综： p = f i + ) ( + i + ( 1 一f ) l 、王，+ ) ( 甲+ i 1 3 论文主要内容 本文的第二章主要介绍了基于原子腔场之间作用的量子纯化过程，并推导 出两原子和三原子基于以上方法得到纠缠纯化过程。两原子纯化基本过程是先推 导出原子与单模腔场作用的动力学过程，再使处于纠缠交换之后的一个原子通过 一个单模光场，根据原子与腔场作用的动力学过程，得到这个原子随时间演化后 的状态。三原子纯化过程与两原子纯化过程基本相同，不同的是得到一个原子与 腔场作用随时间演化之后，再让此原子通过一个经典腔场。最后得到三原子纠缠 纯化过程。 本文的重点是第三章，主要是利用密度矩阵形式表示纯化过程的演化，得到 含时的纯化因子，并对纯化因子的极值进行分析和得到对角化空间的基矢纠缠 度，也就是信息熵。 东北师范大学硕士学位论文 第二章基于原子腔场作用的量子纯化过程 2 1 原子腔场作用的动力学过程 一个原子与单模腔场作用，根据j - c 模型，原子和单模腔场系统相互作用的 哈密顿量在旋转波近似下可以表示为： h = o 1 a + a + o 口o s z + ( 口叉+ 口+ 叟) ( 2 1 1 ) 其中：= 寺( | p ) ( p | - 旧) 馆) ；墨= 1 0 佑i ；最- i g ) ( e i 吧是原子跃迁频率，彩是腔场的频率，是原子与腔场的耦合常数。显然，可以 选i 岛刀) 和l g ，以+ 1 ) 为体系不变子空间的基矢。 日i e ，咒) = 捌口+ a + e o o s z + ( 口叉+ 口+ 叟) 】i p ，玎) = 【钼+ 口+ 寺心q d ( p i - i g ) ( 9 1 ) + ( 口i p ) ( g | + 口+ l g ) ( p i ) 】i 鲫) 曰i g ，n + 1 ) = 【髓b + a + o j o s z + ( 口叉+ 口+ 叟) 】l g ，玎+ 1 = 0 3 1 a + a + i 1 纰( | 力( p l - i g ( 9 1 ) + ( 口i 力( g l + 口+ l g ) ( p | ) i g ，刀+ 1 ) ；( 刀+ 1 ) c o l g ，玎+ 1 ) - l c ol g ，刀+ 1 ) + 打玎忉) = 【( 刀+ 1 ) 彩一去吧】l g ，玎+ 1 ) + 而胁) 将日写成矩阵形就是 h =( 州) 国一三他历 鬲力缈+ j 1 铊 6 2l 仁 + 珩叭v k 肘 ? 岫 一阿 晰 而 磅 协 刚 卜 训 郇 12川 扣 哝 岛 + 砷 附 加 东北师范大学硕士学位论文 = ( 刀+ j 1 ) 力+ 这里我们设万= 竺手，解久期方程得 i 篇叼l = 。 所以得，五= = 歹i 骊 能量本征值为： 如) - ( 力+ 扣硒而 却+ 扣压甄 相应地能量本征态分别为 l 织( 以) ) = 位( 刀) ) = 鼽协幺= 箐 2 s i n 幺= 石百 幺 c o s 三 2 幺 s 1 1 1 2 2 晓 一s m 二 2 眈 c o s 三 2 逆变换可得： 扣川) “n 扣刀) ( 2 1 4 ) = 一s i n 鲁l g , n + 1 ) + c o s 扣行) ( 2 工5 ) c o s 吃= 国一吧 2 e , r t ) = s 证鲁胁) ) + c o s 鲁胁) ) 7 而 一丁 一焉 东j l , j i l i 范大学硕士学位论文 对于这样的体系，我们假定体系初始被制备在量子态i 甲( o ) ) = i e ，玎) ，显然有 i 甲( o ) ) ：i p ，刀) = s i n 冬i 织( ，z ) ) + c o s 冬i 纯( 刀) ) 则任意时刻的体系状态就是： i 甲( f ) ) = s i l l 冬p 崛r | 织( 刀) ) 十c 。s 冬p 诅，i 纯( 刀) ) = s i n 冬p 川” 胁瓯pi 识) ) + c o s 导p 一弓) 缈乜pl 纯o ) ) = ，洳扣陋了幺g - q 。ti 织( 刀) ) + c o s 导p 疵一i 位( 刀) ) 】 其中加。= 洋) 2 + ，( 肿1 ) 反演回原来的态空间，得： i 甲o ) ) = ，“”专啊 s i n 譬e 一哪( c o s 鲁l g 玎+ 1 ) + s i n 鲁i e ，玎” + c 。s 鲁严飞一s i n 导i g 刀+ ) + c o s 鲁k 刀) ) 】 = ，洳“s i n - - c x ) s 导( 矿哪矽1 i g , n + 1 ) + ( s i i l 2 譬p 一蛳+ c o s o ，ne - 哪) 伽) = p - f ( 扣【一f s i n 色s i l l q 。幅砟+ 1 ) + ( s i n 2 - 鲁- e - a a t + c o s - 口，ne i a , t 协) 】 ( 2 1 6 ) 2 2 两原子纯化过程 在这一部分，我们依据上述腔q e d 的基本过程，研究两原子部分纠缠态的 演化。整个过程我们令一个原子经过腔场。显然如果原子受到一个经典场的作用， 原来的部分纠缠态的纠缠度不会发生任何变化，因为这个过程相当于经典场对单 原子产生了一个局域的转动，自然纠缠度不会发生变化。而我们应用了量子化场， 作用过程相当于引入了场的自由度，而动力学演化表现的是单原子与场的关联， 最后真正考虑两原子关联时，实际上必须将场自由度消除，也就是矩阵求迹的过 程，结果将大大不同于经典场情况。 东北师范大学硕士学位论文 我们构造两原子邵分纠缠态，形式为 l 甲) ，：- a l e e ) ，：+ b l g g ) 。： i 甲) 弘= c l e e 弘+ d l g g ) 弘 其中，h + 1 6 2 l = 1 ；i c 2 i + 1 d 2 l = 1 这里假定原子l ，2 和3 传递给a l i c e ， 和3 实施b e l l 态测量。 四个b e l l 基为： 1 3 = 击2 ( 1 e e ) 1 3 + l g g ) 。，) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 原子4 传递给b o b 。a l i c e 对原子1 l 矿) 。，= 击 。) 则原子2 ，4 塌缩到如下态上： 。，( 矿i 、壬，) 。：。j 、王，) “ = 而1 ( ， 弘+ t l g g m ) v 二 = 万1 ( 。 弘) = 去( a c i e 屯b d l g g ) 拍) v 二 同理! ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 。 。：圆i 甲) 弭 ：去( 耐6 c l 韵m ) 2 2 6 这样原子1 、2 和原子3 、4 之间的纠缠消失，而在原子2 、4 之间形成了新 的纠缠，这就是纠缠交换嘲。 对于( 2 2 5 ) 式，我们为了实现纠缠的纯化，a l i c e 将原子2 通过一个初始态为 真空态的j o ) 一的q e d 单模腔场。则原子2 和单模腔场系统相互作用的态随时间 演化为： i v m 圆h = 老a c j e e ) 2 4 + b d g g ) z t 概 9 东北师范大学硕士学位论文 = 去( a c i e ) 2 i o ) 1 4 。b d l g ) 。i o ) 一i g ) 4 ) v 二 = 击( a c i e 0 ) 烈l e ) 4 + b d l 9 0 ) 烈i g ) 。) ( 2 2 7 ) 根据原子与腔场作用的动力学过程，原子2 与处于真空态i o 一的腔场作用之 后代入( 2 1 6 ) 式演化为： i 叫：一一e i - - a j t ， 2 【_ f 亍：兰，_ ；一： ( 孚) 2 + 矿 l 一 坚l l 。三巫兰竺p + 一 2 一t 陬t 牡孚枫= 压荪代入( 2 2 8 试可得： 帆一，专s i n q i ： l g ，0 ) = 锄+ a + c o o s z + e ( a s + + a + 墨) 】k ，0 ) = 一去吃i g ，o )= 一i 吃l ，叩 所以： i g o ) ：一p 。严i g ，o ) ：一 ( 2 2 7 ) 式可以化成： l 、王，) 2 4o i o ) = 老( 础i 哪z i p ) 材1 9 0 ) ：一i g ) 。 1 0 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 东北师范大学硕士学位论文 + 2 百iac-i三z甜阿e s i n 阿) ( 2 2 1 1 ) 枷盟2 枫= 压丽代弛1 1 ) 式，确 i 甲) 2 4 1 0 一 一护专耐k c 罾矿q + 删韶) m 一( 屹叫) 7 i 昭) m 】1 0 ) 一老，专甜善s i n q 叫韵m 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 灿i c e 对腔场进行检测，若测量结果为1 1 ) 一，则原子2 ，4 完全消纠缠，测量 结果无效。若测量结果为l o ) 一则实现了最大纠缠态，这就是纠缠纯化。 2 3 三原子纯化过程 同样的道理，假设有对三原子部分纠缠态如下： l 甲) ，= a l e e e 。+ 6 i g 路) 。 i 甲) 缁= a l e e e 蛳+ b l g g g 柏。 将原子1 ，2 ，3 和4 传递给a l i c e ，原子5 ， 4 实施b e l l 态测量。四个b e l l 基为： 峨4 = 万1 ( 蹴。) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 6 传递给b o b 。a l i c e 对原子1 和 ( 2 3 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 - _ _ - 一 m 。= 去( i 曙) ，。m 。) ( 2 3 4 ) 则原子2 ，3 ，5 和6 塌缩到： 。( 矿i 甲) 。 l 、壬，) 俩 = 老( 口c l e e e e ) s 。耐l 麟) 弱) ( 2 3 5 ) 。( 矿i 甲) 。j 甲) 缁 = 去( 耐卜e g g ) 2 a 5 6 + - 6 c l 酬5 6 ) 石 v 二 对于( 2 3 5 ) 式，为了实现纠缠的纯化，a l i c e 将原子2 送入一初始态为i o 一 的q e d 单模腔场，根据j - c 模型，原子和腔场在旋转波近似下的哈密顿量表 示为 h = 髓+ a + o j ：z + ( 口叉+ 口+ 蔓) ( 2 3 7 ) 研究原子与腔场相互作用随时间的演化，制备初态可以表示为： f 甲) 乃s 。p i o ) = 老a c i e o ) 烈i e e e ) ，。+ b d | g o ) 2 i g g i g ) 。弱) ( 2 3 8 ) 将( 2 2 9 ) 式和( 2 2 10 ) 式代入( 2 3 8 ) 式，可得： l 、壬，) ：，。o i o ) 一 = 老( 口c 1 印) ：彳l 绒) ，铂+ b d l g o ) ：一l g g g ) ，弱 1 1 坚l 一扩c 一e 一眄 1 + 竺丝k 一 + 一p r 眄恻麟矗k ) 2 3 5 6 i 唬 万i a c - i ；耐阿e 咖阿呐6 | 1 ) 一 1 2 东：l l g j f f j 范大学硕士学位论文 a l i c e 对腔场进行测量，若测量结果为1 1 ) 一，则测量结果无效。若测量结果 为i o ) 一，则有： i v ) 一击p 一哇甜凶(v 二 2 1 缈一吧 卜型! 军竺p r 眄，l 酬，。 亿3 加， 6 菇刊7i g 嘲) 嬲】i o ) 4 使原子2 再经过一个经典埘9 1 ，经典场哈密顿量变为： 皿= 纪s z + ( 叉+ 篷) 则： 皿l 力：= 心是+ ( 叉+ 受) i d ： = 去吧1 0 ：+ l g ) ： h 。l g ) ：= c o o s z + ( 叉+ 叟) i g ) ： = 占l e ) ：一i i 吧l g ) ： 将( 2 3 1 0 ) 式变形为： i v ) 弱一万1 e 一厶2 ( v z 2 ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) 1 + 竺丝k 一 + 型! 军竺p t 阿恻酬蜥 6 菇( t o o - m ) ti g ) ：l 黜) ，。1 1 0 ) 一 ( 2 3 1 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 甲) ：，弱 其中： + 一去p 一专耐 ( 一万【 1 2 2 f 赙而1 p f 眄) 幽洲g ) ：) l e e e ) 蜥 6 毒删7 ( l e ) ：一互1 - 0 9 0 ig ) 2 ) i 黜) ，。帆 去p 一专耐 船( 万【船 + 1 + 2 2 鹦西t e j 阿) 咖) ：喇：) l e e e ) ，靳 其中： 击j 6 毒( ) 7 ( 恢一三吧| g ) 2 ) | g g g ) ，。】h 1 4 ) ，。1 0 ： ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) 。一万1e 一钒号a c o g , , ( 2 1 + - 丝竺l 一 + 三坐兰竺p r 眄 耐屹一神l 黜) ，。】l d ： 罹而t ) l e e e ) ，。 捌j 1 矿l i g g g ) ，巾) ：) 3 5 6 将万= 0 ) - - 2 0 ) aq 。= j ：罩乏互而代入c 2 3 - 7 ，式，可得： i 甲) 5 6 ( 2 3 1 7 ) 一护告甜 【孚( 箐p 罾秒) l e e e ) ，靳捌抄奶i g g g ) ，胤 恤p 等p 哪) l e e e ) ，5 6 半抄功哟，。1 1 9 ) ：) ( 2 3 1 8 ) 现在对原子2 进行检测，不论原子2 处于什么态，基态或是激发态，原子3 ， 5 ，6 都塌缩到最大纠缠态，所以对于原子3 ，5 ，6 ，它们之间的纠缠增加了，即 实现了纠缠纯化【1 0 1 。 东北9 币范大学硕士学位论文 第三章纯化因子的时间关系的研究 根据上述给出的部分纠缠量子态的演化，我们研究一个真正的混合态的演 化，从演化过程提取纯化因子。本章我们研究二原子混合态的演化，给出纯化因 子与时间的可能关系。由于解析结果的复杂性，我们假定原子，腔场共振。 3 1 二原子混合态的演化 初态我们选择【1 1 捌： a ：= ，l 、壬，一) ( 、王，一i + ( 1 一，) i 中+ ) ( + i 其中= 万1 ( 眺) 一| g ) | d ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) = 击( | + l g ) l g ” ( 3 ”) 我们让原子2 与处于真空态1 0 ) 一的腔场作用，考虑共振的情况。得到： l 力：= l 岛0 ) 一p l _ 埘( c o s 科l p ，o ) + f s i n e t l g ，1 ) ) ( 3 1 4 ) i g ) 2 一乒甜i g ，o ) ( 3 1 5 ) 所以： l i q l g ：) _ 广i l g ：o ) | g ) 1l e ：一p 一- ：1a 4 f ( c o s 甜k e 2 0 + i s i n e t g 。9 2 1 ) ) 。 ( e a 9 2 0 i 东北师范大学硕士学位论文 - i e 一栅s i n f t g ，g ：1 ) “o f + c o s 2 刮f g 。吃o ) ( g 。e 2 0 i - i s i n e t c o s e t g i 吃0 ( 蜀9 2 l i + i s i n 掰c o s 日i 蜀9 2 1 ) ( g l 乞o + s i n 2e t l g ，9 2 0 ) ( 蜀9 2 1 1 ) + 旦箬( c o s ：甜i q 吃o ) 他乞o l f s i l l 甜c 。s 口i q 乞o ) g g ：i i + f s i n 甜c o s 甜i q 1 ) 他吃o l + s i n 2e t l e n 9 2 1 ) ( e ，g ：1 l + p 一妇c o s 耐i q 乞o ) ( 蜀& o | + 彪一栅s i n 甜i q 1 ) ( 蜀oj + e 妇c o s 甜i 蜀o ) ( q 吃o i 一话栅s i n e t g , 9 2 0 ) ( q g ：1 i + i g ，g ：0 ) ( 蜀g ：0 1 ) 根据：= 去( 眺) i g ) i o ) = 击( 俐o l g ) l g ) ) 我们可得： l e g = 击( 甲+ + l e e = 万i 掣4 - + ( 3 1 6 ) l e g = 万1 ( 旷一甲一)i g g ) 2 万1 ( + 一中一) ( 3 - 1 7 ) 吖二 二 将( 3 1 7 ) 式中的四项代入( 3 1 6 ) 式得： 等l 甲+ + 、l ，一) ( 甲+ + 甲一 l o ( 1 l - i e - 泐c o s e t i + 一甲一) ( 甲+ + 甲一l l o ( o l + c o s 2 r t l w + 一甲一) ( 甲+ 一甲一l l o ( 1 1 ) l - 4 f ( c o s 2 创j + + 巾一) ( 中+ + m l i o ) ( o l f s m e t c , o s 耐i + + 一) ( 甲+ + 甲一 l o ) ( 1 l + i c o s e t s i n e t g d + + 甲一) ( 中+ + 一i l o 0 1 + i + 一垂一) ( + 一一i i o 0 1 ) 将光场自由度消去可以得到有关二原子的状态为： 呼一e i 出tc o s 掰一鲁矿s 毋+ 鲁c o s 2 日+ 半s m ：踟刚甲+ i 呼+ c o s 萨1 4e - i 耐c o s 掰一；耐掰+ 半s 试：叫刚甲一i 呼一生4e i 删c o s 甜+ 鲁e 枷c o s 甜一手c o s 2 甜+ 半s i n ：甜) 刚甲+ i ( 等+ c o s 卅互4e - i 埘c o s 掰+ 扣2 甜+ 半s 如) 嗍甲一i 叫) 岸c o s 2 叶1 - 4 fe _ i a , c o s 褂1 - 4 fei埘cos4 研+ 丛4 + 等s 逾：俐m + j 444 7 i 、i 咩c o s 2 甜一半 + l - 4 f e 胁tc o s 刮一半一每s 诅：日，俐一i 岸cos2刮+坚ps田一下1-f一半一鲁sin：愀+14 4 i 444 7 岸cos2甜一坚一丝矿cos口+坚+；sin：毋m(一14 444 i 。4 一一7 一 3 2 与时间有关的纯化因子和对角化空间基矢的纠缠度 ( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 式所示的量子混合态的为在两原子的b e l l 态空间表示的形 式，很明显纯化因子必然发生变化。由第一章的分析，我们知道对于一个混合量 子态来说，动力学演化后纯化因子是很有可能增加的。接下来我们就求末态的纯 化因子，以及最大纯化结果的有效性。 求可能纯化因子形式的思想很基本，就是对混合态进行对角化。首先解本 征值和本征态如下： 解( 3 1 8 ) 式本征值为： 盈= f + f c o s ：e l t + ( 1 - 一f ) s i n 2 e t 三扩面面丽百万孓万丽丽磊赢两砑i 而而雨而 1 8 一 去2 + 2 f ( 1 - f ) s i n 2e t + f 2 c o s 4 日一2 f ( 1 一f ) s i n 2 t c o s 2e t + 2 f 2c o s 2 口+ ( 1 一f ) 2s i n 4e t 相应地本征态为 h ) = c o s 譬+ s i n 譬 卜) = “n 譬+ c o s 譬 其中 s i n 幺2 4 s i n 4 甜+ 4 ( 1 一f 、2c o s 2 t s i n 20 1 = 暑暑= 墨昌昌昌昌鲁鲁昌宣= = = = = 昌= = = 墨= 昌= = = = = = = = = = = = = 皇= = = = = = = = = 昌= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 昌= = = = = = = 昌= = = 昌= = = = = = 昌罩= 罩昌昌昌昌昌毒 ( 1 一f ) 2 + 2 f ( 1 一f ) s i n 2 研+ ( 1 一f ) 2c o s 4 f 一2 f ( 1 一f ) s i n 2 t c o s 2e t + 2 ( 1 一f ) 2c , o s 2e t + f 2s i n 4 日 求关于l 甲+ ) 的密度矩阵。 本征态为： 1 w ) = c 。s 譬“n 譬 将i 甲) = 去( i 力l g ) i g ) l o ) 代入( 3 2 1 ) 式可得： 1 w ) = 万1c 。s 手( i 昭) + i g e ) ) + 忑1s i i l 譬( i 曙) 一i g e ) ) 于是得到： 1 9 ( 3 2 1 ) ( p 阿) ( g 阿) ( 甲+ l p ) ( 甲+ l g ) 东北师范大学硕士学位论文 击汹s 譬确铷) 去s 争砒铷) = 万1 ( c o s 譬痂争话i = 万1 ( c o s 譬椭铷i 可以得到约化密度矩阵： p = ( p l 甲+ ) ( 甲+ i d + ( g l 甲+ ) ( 甲+ i g ) 三汹s 譬+ s m 冬) 2i g ) ( g i + ( c o s 粤一s 逾譬) 2i o ( 刮 r 设五= i 1 ( 1 + s i i l 幺。) ；五= 三( 1 一s i n 幺。) ，则信息熵为： s l = - t r c , o l 0 9 2 , o 卜( 舌舯五，。：五) - - 一( 丑l 0 9 2 五+ 五l 0 9 2 五) 同理：= 砒譬+ c o s 譬 将i 甲) = 击( i d k ) k ) i o ) 代入( 3 2 4 ) 式得： p = ( p l 甲一) ( 甲一1 0 + ( g l 甲一) ( 甲一i g ) = 三( c 。s 譬一s m 粤) 2i g ) ( g l + 三( c 。s 譬+ s m 譬) 2i d ( 刮 = 1 ( 1 - ：n 幺1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 0 出 幺 n o 跹+ o 1 2 是= 嘶c o l 0 9 2 p ) = 一 东北师范大学硕士学位论文 五= 圭( 1 一s i i l 或。) ，可以得到信息熵为： 呤舯五。兰五 = - - ( 五l 0 9 2 五+ 五l 0 9 2 丑) 可以看出墨= 是，向且五，五飘是纯化凼亍。 下面求关于i 垂+ ) 的密度矩阵： 本征态为： 阿) = c 。s 譬+ s 证譬 将l ) = 击( i 刁i d i g ) k ) ) 代入( 3 2 6 ) 式可得： ( e 阿) = 万1 ( c o s 譬+ s 证譬) i 力 ( g l + ) = 西1 ( c 。s 譬一s i n 譬) i g ) ( 吖l e ) = 万1 ( c o s 譬+ s i n 譬) o i ( + 。i g ) = 万1 ( c 。s 譬一s m 譬) 皓i 可以得到约化密度矩阵： 夕= ( p i 西+ ) ( + 1 0 + ( g l + ) ( + g ) 丢( c o s 譬+ s 洫譬) 2i o ( p i + 三( c o s 譬一s m 譬) 2i g ) 信 ( 1 + s i n 幺2 ) o 设以= j 1 ( 1 + s i l l 晚：) ；五= 三( 1 一s i n 幺：) ，则信息熵为： 墨= 一护c p l o g ：p ，= 一( 0 三) ( 1 。五 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 、j2幺 n 0 双一- l l ，一2 1 2 ，- 、j 五 0 b 扒 东北师范大学硕士学位论文 = 一( 丑l 0 9 2 以+ 五l 0 9 2 五) ( 3 2 7 ) 同理应用到本征态i 一) 上。将l 2 ) = 去( 1 e ) 1 0 k ) k ) ) 代入 卜一) = 一s i l l 譬i + ) + c o s 譬i 中一) ，可以得到： 夕= i 垂一) ( 中一i 刁+ ( g l 中一) ( 一g ) = 三( c o s 譬一s 血争2 i o o i + 三( c 。s 譬“n 譬) 2 i g ) ( g i 吉( 1 一s i l l o o 吉( 1 + s i i l 则信息熵为： 墨= 一护c p l 0 9 2 p ，= 一( 去呈) ( 1 0 五。：五) = 一( 五l 0 9 2 五+ 以l 0 9 2 五) 可以看出最= & ，而忍，五就是纯化因子。 3 3 纯化因子的极值分析 在我们的研究中，目的是通过体系动力学演化最大量地提取纠缠态。而这里 纯化因子显然都是与时间有关的，那么它的极大值就应该是我们想要得到的纠缠 态的比重。下面求t 取何值时，纯化因子名能取最大值。首先对纯化因子求时间 导数，进一步根据所得的表达式，求满足掣= o 的演化或称为控制时间f 。 警= 丢哇( 1 + s i i l 最。) 卜j l 磊d s i n 氏 s i n 幺1 f 2 + 2 f ( 1 一f ) s i n 2m + f 2c o s 4 刮一2 f ( 1 - f ) s i n 2 t c o s 2e t + 2