（固体力学专业论文）一类非线性结构混沌运动的研究.pdf

西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 摘要 梁、拱、板、壳等非线性结构的受迫振动问题，经过g a l e r k i n 原理的 转换，均可归结为如下形式的非线性动力方程 量+ 以+ 2 1 3 x 2 + y x 3 = 占g ( x ，量，) ( 1 ) 对方程( 1 ) 的动力学性质的研究，是当前固体力学的研究领域中前沿的研 究内容。对方程( 1 ) 的研究的解析结果，能有效的分析、计算和掌握梁、 板、壳、拱等非线性弹性动力系统的发展演化规律，更好的认识、理解和实 现对这类非线性系统的预测和控制。 ，方程( 1 ) 是含有二次非线性项和三次非线性项的动力学方程。当 口0 时，方程( 1 )成为 j + 似+ y x 3 = s g ( x ，j ，) ( 2 ) 方程( 2 ) 是d u f f i n g 方程，其特点是方程等式左边中的非线性项为三次幂。 前人对d u f f i n g 方程( 2 ) 描述的系统进行了许多研究，但很少见到用解析方法 研究方程( 1 ) 。二次非线性项和三次非线性项共同存在于方程( 1 ) 中，使得 用解析方法研究这类系统的难度增大，对应h a m i l t o n 系统中的同宿轨道或 异宿轨道的解析表达式的求解相当困难。本文用m e l i n k o v 方法对方程( 1 ) 的混沌运动进行了全面和详细地研究。主要工作和结果如下： 1 分析了方程( 1 ) 建立的平面p o i n c a r 6 映射的奇点性质，讨论了此类方 程对应的h a m i l t o n 系统的同宿轨道和异宿轨道与三个参数口、y 的关系，给出了h a m i l t o n 系统存在同宿轨道或异宿轨道的充分必要条 件。 2 得出了同宿轨道或异宿轨道的解析表达式。应用m e l n i k o v 方法，计 算并建立了同宿轨道或异宿轨道的m e l n i k o v 函数。给出了p o i n c a r 6 映 射出现s m a l e 马蹄混沌的临界值。 3 得到了同宿轨道或异宿轨道内的，围绕中心型奇点的一族周期轨道 的解析表达式。计算并建立了次谐周期轨道的m e l n i k o v 函数，给出了 p o i n c a r 6 映射出现周期m 点的判据。 4 讨论了系统经过次谐分叉进入s m a l e 马蹄混沌的具体途径。 文中的各个结果均以具体的解析形式给出，其中包括同宿轨道或异宿轨 道的解析表达式及其m e l n i k o v 函数：同( 异) 宿轨道内围绕中心型奇点的 周期轨道的解析表达式及其m e l n i k o v 函数：出现周期m 点的临界值；出现 s m a l e 马蹄混沌的临界值等。这些结果对于分析和研究方程( i ) 的s m a l e 马蹄 西南交通大学博士研究生学位论文第| | 页 混沌运动具有重要意义p 本文进行的研究讨论工作始终考虑方程中三个参数口、y 对系统的 影响，由于参数口、，决定着确定系统的动力学行为，因而文中所得 到的各个结果具有一般性和普适性。至此，本文基本解决了方程( 1 ) 的关 于s m a l e 马蹄混沌的判别及相关问题。 关键词：非线性动力系统，同宿轨道，异宿轨道，m e l n i k o v 函数 s m a l e 马蹄变换，混沌 西南交通大学博士研究生学位论文 第1 | i 页 a b s t r a c t c o n v e r t e db yg a l e r k i np r i n c i p l e ，p r o b l e m so ff o r c e dv i b r a t i o no fn o n l i n e a r s t r u c t u r es u c ha sb e a m ，a r c h ，s l a ba n ds h e l lc a nb ec o n v e r t e di n t ot h ef o l l o w i n g n o n l i n e a rd y n a m i ce q u a t i o n x + 0 9 c + 2 摩2 + 肄3 = 占g ( x ，量，) ( 1 ) r e s e a r c h e so nd y n a m i cp r o p e r t i e so f e q u a t i o n ( 1 ) a r et h el e a d i n gw o r ko f p r e s e n t r e s e a r c ha c t i v i t i e so fs o l i dm e c h a n i c s t h r o u g ht h ea n a l y t i c a lr e s e a r c hr e s u l to f e q u a t i o n ( 1 ) ，e v o l u t i o nr u l e so f n o n l i n e a re l a s t i cd y n a m i cs y s t e ms u c ha sb e a m ， s l a b ，s h e l l a n da r c hc a nb e e f f e c t i v e l ya n a l y z e d ，c a l c u l a t e d a n dm a s t e r e d t h e r e f o r ep r e d i c t i o na n dc o n t r o lo ft h i ss o r to fn o n l i n e a rs y s t e mc a nb em o r e e f f e c t i v e l yr e c o g n i z e d ，u n d e r s t o o da n da c h i e v e d e q u a t i o n ( 1 ) i st h ed y n a m i ce q u a t i o nt h a tc o n t a i n sq u a d r a t i cn o n l i n e a rt e r m a n d c u b i cn o n 1 i n e a rt e r m w h e n 口= o ，t h i se q u a t i o nb e c o m e s x + 似+ f 3 = 占g ( x ，主，t ) ( 2 ) e q u a t i o n ( 2 ) i st h ed u f f i n ge q u a t i o n ，w h o s ec h a r a c t e r i s t i c i st h a tt h en o n l i n e a r t e r m s0 1 1t h el e f ts i d eo ft h ee q u a t i o na r ea l lc u b i cp o w e r m a n ys t u d i e sh a v e b e e nc a r r i e do u to nt h es y s t e md e s c r i b e db yd u f f i n ge q u a t i o n ( 2 ) ，b u tv e r yf e w o ne q u a t i o n ( 1 ) b yu s i n gt h ea n a l y t i c a lm e t h o d t h eq u a d r a t i cn o n l i n e a rt e r ma n d t h ec u b i cn o n l i n e a rt e r mt h a tc o e x i s ti ne q u a t i o n ( 1 ) ，t h u sc a u s e sd i f f i c u l t y i n s t u d y i n gt h i ss o r to fs y s t e mt h r o u g ht h ea n a l y t i c a lm e t h o da n dc o r r e s p o n d i n g l y m a k e st h es o l u t i o no fa n a l y t i c a le x p r e s s i o no fh o m o e l i n i co r b i to rh e t e r o c l i n i c o r b i ti nh a m i l t o ns y s t e me x t r e m e l yd i f f i c u l t b yu s i n gm e l i n k o vm e t h o d ，t h e c h a o t i cm o v e m e n to fe q u a t i o n ( 1 ) i st h o r o u g h l ys t u d i e di nt h i sp a p e r t h em a i n w o r ka n dr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 n a t u r eo ft h es i n g u l a rp o i n to f p l a n ep o i n c a r em a p p i n g t h a ti se s t a b l i s h e d b ye q u a t i o n ( 1 ) i sa n a l y z e d r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et h r e ep a r a m e t e r s d 、卢、ya n dh o m o c l i n i co r b i ta n dh e t e r o c l i n i co r b i t o ft h eh a m i l t o n s y s t e mc o r r e s p o n d i n gt ot h i ss o r to fe q u a t i o ni s d i s c u s s e d t h ea d e q u a t e a n de s s e n t i a lc o n d i t i o no ft h ee x i s t i n gh o m o c l i n i co r b i to rh e t e r o c l i n i c o r b i tf o rt h eh a m i l t o ns y s t e mi sp r e s e n t e d 西南交通大学博士研究生学位论文第1v 页 2 a na n a l y t i c a l e x p r e s s i o n o fh o m o c l i n i co r b i to rh e t e r o c l i n i co r b i ti s w o r k e do u t b y u s i n g m e l n i k o vm e t h o d ，t h em e l n i k o vf u n c t i o no f h o m o c l i n i co r b i to rh e t e r o c l i n i co r b i ti sc a l c u l a t e da n de s t a b l i s h e d t h e c r i t i c a lv a l u ew h e np o i n c a r em a p p i n gt a k e nt h ef o r mo fs m a l eh o r s e s h o e s c h a o si sp r e s e n t e d 3 w i t h i nt h eh o m o c l i n i co r b i to rh e t e r o c l i n i c o r b i t ，t h e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n o fo n es e to fp e r i o d i c a lt r a c k s u r r o u n d i n g t h e c e n t e r t y p e s i n g u l a rp o i n t i sw o r k e do u t t h em e l n i k o vf u n c t i o no fs u b h a r m o n i c o r b i t si sc a l c u l a t e da n de s t a b l i s h e da n dt h ec r i t e r i o no f a p p e a r i n g p e r i o d i c a lmp o i n to f p o i n c a r em a p p i n gi sp r e s e n t e d 4 t h e s p e c i f i c r o u t eo ft h e s y s t e mg o i n g i n t os m a l eh o r s e h o o fc h a o s t h r o u g hs u b h a r m o n i cb i f u r c a t i o ni s d i s c u s s e d e v e r yr e s u l t i nt h ep a p e ri s p r e s e n t e dt h r o u g hs p e c i f i ca n a l y t i ce x p r e s s i o n ， i n c l u d i n gt h ea n a l ) t i ce x p r e s s i o no f h o m o c l i n i co r b i to rh e t e r o c l i n i co r b i ta n di t s m e l n i k o v f u n c t i o n a n a l y t i c a le x p r e s s i o n o fp e r i o d i c a lt r a c k s u r r o u n d i n g t h e c e n t e r - t y p es i n g u l a rp o i n tw i t h i nt h eh o m o c l i n i co r b i to rh e t e r o c l i n i co r b i ta n d i t sm e l i n k o vf u n c t i o n ，t h ec r i t i c a lv a l u ew h e np e r i o d i c a lm p o i n ta p p e a r s ，t h e c r i t i c a lv a l u e h e ns m a l eh o r s e s h o e sc h a o sa p p e a r s e t c t h e s er e s u l t sa r eo f g r e a ts i g n i f i c a n c e f o r s t u d y i n ga n da n a l y z i n gt h e s m a l eh o r s e s h o e sc h a o so f e q u a t i o n ( 1 ) i n f l u e n c eo ft h et h r e ep a r a m e t e r s q 、；b 、y i nt h ee q u a t i o ni s p e r s i s t e n t l y c o n s i d e r e di nt h er e s e a r c hw o r kc o n d u c t e di nt h i s p a p e r b e c a u s e t h e d e t e r m i n a t i o no ft h e d y n a m i c b e h a v i o ro ft h e s y s t e m i sd e c i d e d b y t h e p a r a m e t e r s 口、y ，e v e r y r e s u l ti nt h i s p a p e rh a sg e n e r a l a n du n i v e r s a l m e a n i n g a tt h i st i m e ，t h ec r i t e r i o nc o n c e r n i n gt h es m a l eh o r s e h o e sc h a o so f e q u a t i o n ( 1 ) a n di t sr e l a t e dp r o b l e m sa r eb a s i c a l l ys o l v e di nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：n o n - l i n e rd y n a m i cs y s t e m s ，h o m o c l i n i co r b i t ， h e t e r o c l i n i co r b i t ，m e l n i k o vf u n c t i o n ， s m a l eh o r s e s h o e st r a n s f o r m a t i o n ，c h a o s 西南交通大学博士研究生学位论文第1 页 第一章绪论 在对以梁、板、壳、拱等结构为研究对象的动力学系统进行动力分析中， 由于系统诸多的非线性因素( 例如几何非线性，材料非线性，边界条件非线 性，耗散非线性等) 的影响，确定性的力学系统可能出现诸如分叉【1 “j 、混 沌1 9 15 】、分形i “。、突变队2 ”、孤粒子【2 “2 4 1 2 5 1 等复杂的动力学现象。因而， 研究随时间的长期发展系统各种运动模式的复杂性和演化过程，尤其是系统 状念的大时间渐进性态以及对参变量的依赖关系，成为动力系统研究的主要 目标之一1 2 6 “1 。 描述动力学系统发展和演化的数学形式，通常是带有对时间导数的非线 性微分方程n “”1 。这类方程始终是科学家们非常兴趣和活跃的研究领域。1 9 世纪以前，由于受所处时代科学发展水平和个人科学经验的局限，人们尚未 认识到非线性与线性问题的根本区别。直到现在，在求解非线性微分方程的 过程中，往往仍采用将非线性问题线性化的处理办法。这样的简化方式，虽 然避丌了非线性方程复杂形式所引起的方程求解过程的困难，然而却不能发 现非线性与线性问题的本质区别。首先意识到非线性问题复杂性的科学家是 p o i n c a r 6 ，他在对三体问题的研究中，注意到了某些在确定的简单规律作用 下的非线性问题可能形成不可预测的现象。这引发了对传统决定论世界观的 一场伟大的革命 3 6 , 3 7 】。随着近代科学技术的需要以及现代数学和计算技术的 发展，人们发现了极其丰富的非线性动力学现象。同时，也开始承认在非线 性的确定规律支配的有序外表之下，可能发生不可预知的极端复杂的变化。 人们丌始具有关于现实的非线性世界的混沌世界观。 非线性动力学的研究主要包括定性理论和定量方法等方面的工作。这些 研究是建立在微分拓扑、非线性分析、近代微分几何等现代数学的理论和方 法之上 3 8 - 4 2 1 。定性研究从理论上探讨系统存在周期解、周期解的数目及其 稳定性等问题“6 】：定量研究给出了周期解的解析表达式以及求解步骤， 从而能有效的分析和计算一些典型的问题。 分叉和混沌是非线性动力学研究的重要内容。分又是非线性动力系统 的控制参数达到临界值时，系统的定性行为发生质的变化的现象。混沌是在 非线性的确定规律支配的有序外表之下形成的极端复杂的不可预测的现象。 由r 系统所有的分叉信息全部包含在奇异部分，非线性动力学分叉理论的研 西南交通大学博士研究生学位论文第2 页 究中，常常采用分离系统奇点处的奇异部分和非奇异部分的方法。以实现对 系统的研究中降低维数的简化。这方面的典型方法主要有中。t b 流形方法 1 47 , 4 8 , 4 9 1 ，l i a p u n o v s c h m i d t 方法| 5 0 川，( p b ) 范式理论方法f ”j 等。这些方法 在动力系统研究中发挥了重要作用。研究分叉的其它主要方法还有扰动方法 i ”川，奇异性方法1 6 2 ，后继函数法1 等。对于混沌现象，目前还缺乏统一 的严格定义，因而也就缺乏准确的判定方法。但是，根据混沌的特征1 6 4 , 6 5 ( 系 统对仞值微小变化的极端敏感依赖性，确定系统中的内在随机性，系统周期 的广。泛性和周期点集合的稠密性，迭代过程的遍历性等) ，人们给出了一些 判断混沌现象的准则：解的频谱连续6 “，l i a p u n o v 指数大于0 6 7 , 6 8 j ，有非 整维数的吸引子1 6 9 7 “7 ”，拓扑熵大于0 6 8 7 2 等。在众多的方法中，判断可能 出现洮沌现象的解析方法m e l n i k o v 方法具有重要的地位。 m e l n i k o v 方法是研究混沌现象的解析方法17 3 , 7 4 1 。此方法的基本思想足 将动力系统! j = j 结为平面j 二的一个p o i n c a r 6 映射，研究陔映射足否存在横戗 删( 钟) i r 轨道的数学条件，从而得出映射是否具有s m a l e 马蹄变换意义卜的 混沌。p j ：质。所以，m e l n i k o v 办法给出了类非线性动力系统s m a l ej 蹄变 换意义f ；i 现混沌现象的判掘。此外，m e l n i k o v 方法还可判定次偕分义的 仃礼州： 5 “l 。山于m e l n i k o v 方法可以直接进行解析运算，这样更便- j i 刈动 力系统进行定性和定量的分析，因而m e l n i k o v 方法得到了很大的关注和发 胜。此厅法被推广到高阶m e l n i k o v 方法 7 7 , 7 8 , 7 9 1 ，并 h 在多自由度系统1 8 0 , 8 1 , 8 2 1 和广义h a m i l t o n 系统 t s , 8 3 j 中进行了的推广。 19 6 3 年。m e l n i k o v 8 4 1 建立了同宿环经小扰动破裂后判别分界线相互位 置的方法。a r n o l d l 8 5 1 把m e l n i k o v 方法推广到两自由度完全可积h a m i l t o n 系 统的时问周期扰动中。1 9 8 1 年，h o l m e s 和m a r s d e n l 8 6 1 用m e l n i k o v 方法研究 了一类无穷维动力学系统和一类扰动情况下的多自由度哈密顿系统。从而使 m e l n i k o v 方法作为可积系统在小扰动情况下的混沌判据得到了广泛的应 用。其中具典型的例子之一是m e l n i k o v 方法应用于d u f f i n g 方程1 的研究。 物理和力学中的许多非线性系统的运动问题，可以归结为如下形式的非 线性方程7 _ ”8 9 , ”1 的研究： 置+ 口x + y x 3 = 6 ( x ，量，f ) ( 1 1 ) 其中f 是关于变量t 的周期函数。( 1 1 ) 常被称为受迫d u f f i n g 方程，它是一 个带有三次非线性项和弱周期扰动的动力方程。对于这类方程，可以建立一 个平面上的p o i n e a r 6 映射。如果此映射存在s m a l e 马蹄变换性质，则此映 西南交通大学博士研究生学位论文第3 页 射可能具有一个混沌属性的不变集1 ”9 ”。 g r e e n s p a n 、h o l m e s ”im o o n ( 9 3 i 等人用m e l n i k o v 方法对由( 1 1 ) 确定 的系统系统进行了研究，并用m e l n i k o v 方法预计了系统出现混沌现象时的 临界参数值，利用m e l n i k o v 方法对该系统次谐轨道的存在性及稳定性进行 了研究，结合扰动法分析其稳定性，结合二次平均法得到稳定性判据。其结 果为u e d a i ”1 用数值积分的方法的以证实，这使m e l n i k o v 方法更受关注。对 d u f f i n g 方程的研究一直在持续下去，如刘曾荣1 9 5 1 ，l i l ”】，c h a c o n i ”】， m a r g a l l o ”l ，韩强】，张年梅【8 9 i ，王立彬0 0 1 等人从不同的角度对d u l l i n g 方 程及其应用进行了研究，并取得了很有价值的研究结果。 对梁、板、壳、拱等结构的弹性动力系统非线性控制方程的研究中i ”， 其非线性项不仅有奇次幂项，而且也有偶次幂项，即含有关于时间导数的二 次和三次非线性项和弱周期扰动项的微分方程： 譬+ 口x + 2 , o x 2 + ，x 3 = c f ( x ，主，t ) ( 1 - 2 ) 厂是关于变量r 的周期函数。方程( 卜1 ) 是方程( 1 2 ) 当= 0 的情形。由于 方程中二次非线性项和三次非线性项的共同存在，使得求解和计算这类动力 系统的同宿轨道、异宿轨道、周期解、m e l n i k o v 函数等相关的解析表达形 式相当困难1 1 0 2 , 0 3 , 1 0 4 ，因而尚未见到用解析方法研究此类方程的结果。然而， 这类方程代表着更为广泛的非线性动力系统，因而对该方程的研究具有重要 意义。特别是对该方程采用解析方法研究的解析结果，能有效的分析、计算 和掌握非线性动力系统的发展演化规律，有助于更好的认识和理解分叉、混 沌运动等复杂的动力现象的本质，实现对非线性动力系统的预测和控制。 本文对一类含有二次和三次非线性项的动力方程( 1 2 ) 的混沌运动进 行了全面和详细地讨论。其主要工作和结果如下： 1 分析了此方程建立的平面p o i n c a r 6 映射的奇点性质，给出了此类方 程具有同宿轨道或异宿轨道的充分必要条件。 2 得出了同宿轨道或异宿轨道的解析表达式。应用m e l n i k o v 方法，计 算并建立了同宿轨道或异宿轨道的m e l n i k o v 函数。给出了p o i n c a r 4 映 射出现s m a l e 马蹄混沌的临界值。 3 得到了同宿轨道或异宿轨道内的，围绕中心型奇点的一族周期轨道 的解析表达式。计算并建立了次谐周期轨道的m e l n i k o v 函数，给出了 p o i n c a r 6 映射出现周期m 点的判掘。 4 讨论了系统经过次谐分叉进入s m a l e 马蹄混沌的具体途径。 西南交通大学博士研究生学位论文第4 页 文中的全部结果是以一系列的解析表达式和具体数值的形式给出的，其 中包括同宿轨道或异宿轨道的解析表达式及其m e l n i k o v 函数；同( 异) 宿 轨道内围绕中心型奇点的周期轨道的解析表达式及其m e l n i k o v 函数；出现 周期m 点的临界值；出现s m a l e 马蹄混沌的临界值等。因而，本文基本解 决了方程( 1 2 ) 复杂动力行为的有关问题。 函南交通大学博士研究生学位论文 第5 页 第二章非线性模型举例与m e inik o v 方法 研究梁、板、壳、拱等结构的非线性振动问题，可归结为研究具有材 料非线性、几何非线性、边界条件非线性等性质的非线性动力模型，这些模 型的数学形式是带有时间变量导数和空间变量导数的非线性偏微分方程( 系 统的控制方程) 。根据非线性动力系统的物理关系和几何关系，在确定的边 界条件下，对系统的控制方程进行无量纲化处理并运用g a l e r k i n 原理，许 多控制方程可以转化为非线性动力方程。m e l n i k o v 方法就是研究非线性动 力方程动力学行为的一种解析方法。 本章首先针对梁、板、壳、拱等结构的非线性振动问题建立相应的非 线性动力方程，然后简要介绍m e l n i k o v 方法。 2 1 非线性弹性梁受扰振动问题 1 0 0 设有两端简支的非线性弹性梁受轴向压缩载荷的作用，屈曲后的梁受到 横向扰动f = 6 五s i n 军c o s c o t ，系统的控制方程为 等+ 害+ m 窘叫倒n 芋c o s c o t - 。争 防， 其中，m 为梁的单位长度的质量，酗为阻尼系数。 边界条件为 w ( 0 ) = w ( ，) = 0 | ：c ，( 0 ) = 讳( f ) = 0 设梁材料的本构关系式满足 盯= e 6 ( 1 + e t 6 + e 2 占2 ) e 、e 、e ，为材料常数。 设梁屈曲后仍为小应变状态，几何关系为 a p 6 剐n 一面 g 为距中性面为y 处的应变，。为中性面的应变，一是x 处梁的横截面的转 角，满足 s i n 臼：l 一竺 1 + 占孤 堕壹至塑查兰堡圭塑窭竺兰堡垒塞 篁! 堕 把几何关系与物理关系( 本构关系) 代入m = p yd a 中，再将得出的 的 表达式代入式( 2 - 1 ) ，略去高阶无穷小后得 g 窘+ g z c 窘卜s 罢窘窘+ c p 8 w2 剥 + g s c 窘，2 窘埘窘，2 斜+ 昔窘+ 毒窘 百8 w 】( 2 - 2 ) g 2 去c ：= 高 a l = i + 2 e l 占o + 3 最占n 2 c 3 - 一百3 而1 2 e 2 了 ，= p 2 d 4 为惯性矩 ，! = n ，d , 4 ，a 为梁的横截面的面积。 没 ：华，引、螨足 ， ”。 “郴心w + ( 1 蝎一丁3 e 2 1 , z 2 ) 8 0 2 + ”等驴等：。 梁的临界线衙为： 。= 而z2 e 丽i ) a 1 利用无量纲 扣手币。芋= o ) 0 t 万= 嚣妒 肛了肛了 弛景 = 对式( 2 - 2 ) 进行无量纲化后得 q 窘+ 呻c 窘n a 豢害窘+ c 争：窘， 一，印c 2 窘+ c 窘，2 窘，窘+ 丽窘 叫夕s i n 竽c o s 万r 一万争( 2 - 3 )l d f 一 册一， n 厶 旦 i i p其 厣 西南交通大学博士研究生学位论文第7 n 其中 己= 等万= 訾，= 筹= 筹而= 鲁 根据边界条件，设无量纲面的初级模态为 面= ( v ) s i n 蕊 将其代入式( 2 - 3 ) ，并应用g a l e r k i n 原理得 矿+ 口矽+ 膨3 = 8 ( f c o s 万f 一万矿)( 2 4 ) 这里 口= 厅2 ( c l ，r 2 一)= 石6 ( c 2 3 己石2 ) 方程( 2 - 4 ) 是个带周期扰动的d u f f i n g 非线性微分方程。 2 2 轴压弹性圆柱壳受迫振动问题9 9 长为的弹性柱壳，直径2 尺，厚为h ，两端铰支，在径向承受随时问周 期性变化的匀布载荷q 。设在轴向压力作用下壳体首先发生的是轴对称变 形，那么由r e is s n e r 广义变分原理可得壳体的方程为： 警= p 4 窘+ 去軎 旦呈生一n o ：p 旷+ 巧矿一f c o s 耐 ( 2 5 ) 融r 。 堕o x q + 塑o x = 丛1 2b r 鲁3 t + 誓o tl 一4 i 2 2 l 壳体内单位长度的内力、内力矩分别为 卟号卜抄羔刳 虬= 号卜和羔) q ：k g h ( 妒+ o - w ) ( 2 - 6 ) m 。：d 塑 o u 1 ，a w 、， 占x 2 瓦+ i ( 百) 上述各式中，u ( x ，r ) 、w ( x ，f ) 、e ( x ，f ) 分别为壳中面的轴向位移、径向位移 nm j - e 和法线转角， ，、心、q 、，分别为单位长度的压力、剪力和吾矿 e 、g 、2 是弹性模量、剪切模量和p o i s s o n 比，k 为折减系数，万为阻尼 系数。 引入下述基本假设： ( 1 ) 不计轴向惯性和转动惯性的影响： ( 2 ) k i r c h o f f 假设成立，即口：一里： ( 3 ) 对薄壳较小，略去高阶无穷小； 此时，方程( 2 - 6 ) 的第二式化为 心= 等卜+ 善 i ( 2 - 6 ) 第一j 联立消去得： 虬一，= 警一。等警 办挫( 2 - 5 ) 的第一i 文化为 _ 0 1 1 4 , 一致+ 掣掣：o j ：式1 j ( 2 - 5 ) _ t 第二二式联立消去q 得： 等一誓一力旷一跏+ f c o s c o t + 学= 。 ( 2 - 6 ) 中第四式化为 m ，：一d 0 2 w ， 上述各结果整理可得 。等一学+ 力警+ 警+ 夤m = f c o s m t - 旷 ( 2 - 5 ) 中第一式化为： 譬：o m ：常数 咖 因此，以位移表示的动力方程为 。警一虬害训警+ 等e 月n ，= f c o s c o t - 6 矿 ， 西南交通大学博士研究生学位论文 第9 页 ( 2 - 6 ) 中第一式可化为 ”旦1 - 1 1 2k l o ，x 圭( 警) 2 + 抄羔爿 将上式在【0 ，l 上积分，得 ”志卜沪啦渤+ 三数罢 2 出+ 铷如m h , 渺f a , r v 出 对两端铰支圆柱壳，轴向边界条件为： u ( l ，t ) = 0 ，u ( o ，t ) = c 0 ( c 为常数) 则 设 虬= 志 _ c + 孙1 1 i o w 尸2 i ul p , 一羔蟹卅 _ c + 烈11 刮o w 2 , ar j f , 羔蟹却罟 + 砌警+ 等+ 簧熹 - c + 烈1 l i o w 尸 - 百i tj i 面h 2 埘l 0 2 w 却 = f c o s t 一占旷 p ：e h cw ：w + f r p 三助 则上式可化为 。等+ 尸等一高 颞等) 2 出+ 秒出一羔簪卅等 + 肋等+ 耖+ 簧志 - c + 圭页爿出+ 钞出一篙謦却 = f c o s 0 9 f 一占旷 一0一番 引 棚一掰 代 i j 互i i 斋：i 里塑塑坠曼苎兰堡型兰竺堡窒 蔓! ! 基 其无量纲形式为 可a 4 w + 警+ 矿旷一p 夏豢卜+ 履眵一屈鬻司警 七。 删廿一瓯舞氟 = f c o s 五一y w 疗程的变分形式为 甜警+ 警+ 矿旷一l ；( 剥2 赢+ 履降一屈j 可a 2 w 出l f 萨a - w + 。j 州s p 芦髂舡汹一y 形 j e 止筹肛而e h 内r ：洲。履= 茄层 屈= 圭污鼠= 三屈 从= 群岛c 万d ， 成= 彘( 影 w 一：芝 月 ，：旦 。 j p 2 月2 ，= 丽d 6 i = p 厕一 叮：珊业丝 p f ：i 业竺 j p 壳体的边界条件为： 旷( 。力= 欧云d = 导旷( 。，) = 导旷( r ，d ：。 因此，设 旷( 可) = 于鼢i n 等 将其代入得： 一 西南交通大学博士研究生学位论文 第11 页 t 一五l t + z ：7 。+ 五3 7 一= e ( g c o s ? s t ) 一s 7 l 2 - uj 其中 州争c 争 等c 争等 ：= 2 屈+ 屈唔) 2 + 屈】唔) 2 o 扣竽c 弘og = o 拈o 2 3 受热板的非线性振动问题4 2 1 基本假设： ( 1 ) 板的材料是各向同性、均质的线弹性材料； ( 2 ) 忽略板挠曲振动中的转动惯性和剪切效应； ( 3 ) 板的厚度是很小的； ( 4 ) 板的性能参数e 、g 、口、a 是与温度无关的常数； ( 5 ) 温度场与应变场互不耦合： ( 6 ) 温度不随板的厚度变化而变化； ( 7 ) 板中温度低于板的屈曲温度。 基本方程： 删矽+ p h 警圳1 + v ) d v 2 m r - h l ( 咿署= p c o s 面r v 4 妒+ e a v 2 n 7 = 一妄e ( 矿，形) 其中 坳= 守詈一：啬篝+ 窘矿0 2 wv 2 = 等+ 等 m ，= i ；c x ，y ，r 蛐，= 去c x ，y ，出= r c x ，y ，r ， 相应的无量纲方程是 r 2 9 ) 西南交通大学博士研究生学位论文第1 2 页 这早 v 4 旷+ 筹_ 1 2 ”v 2 ) 即肼亨嘉巩。s 旦( 0 0 v 4 甲+ 三及旷，旷) + v2 羁= o = 参+ 器够，耻z c 等等一c 篙n f = 点，7 = 兰 旷= 一w 订= 兰矿= 兰 五= 一ac = ! a口h 口口 b h q = o t = 孑：坐壁 d 边界条件： n j 条f ， + x = ， y = 0 ， x = 0 y = b ， 万一生垒 厅 芦：丛 d h x y ! 口0 ，y x 二b 寞：三：0 。 = ，= ，甜= v = = j 相应的等效条件为 辟一v 虿8 2 , f 州一三c 黝= 。 筹一v 筹州，一兰c 黝咖。 予如川老+器ow筹ow00 + 蜊叩：。 j j 1 2 ( 1 + v ) 篇+ 万石+ 蜊叩= o o ，o ，o o ， 使用g a l e r k i n 方法求解方程( 2 - 9 ) 甲：三 e h z ( 2 1 0 ) 1-=叫lj 、【，l o o ， = i i 洲一衙渺一钞 i i = 缈 西南交通大学博士研究生学位论文第1 3 里 设 旷。= 哌爿( q ) s i n2 ( 西) s i n 2 ( 蕊，7 ) ， ( 瓦= 矿( 圭，去，o ) ) r ( t y ，f ) = r ，s i n 2 - 瓜2 - s i n 孚( r ，= c o 肼) 于是 巧= ! 鲁生1 s i i l 2 西s i n 2 ( 廊叩) = 呒c s i n 2 ( 西) s i n 2 ( 矾们 其中c = c o r t m ，将上式代入( 2 - 9 ) ，可得 v 4 矿= ( 且一h 2 ) c o s 2 蜀孝+ ( 日l - 2 2 h 2 ) c o s 2 ，r 2 r + ( - 2 h 2 一( 1 + 2 2 ) h 2 ) c o s 2 硝c o s 2 a 2 r 一h lc o s 4 n 善一h lc o s 4 n 2 r + h lc o s 2 西c o s 4 1 r 2 r + h lc o s 4 砖c o s 2 7 r 旯r ( 2 _ 1 1 ) 其中 = 昙瓦2 石4 , 9 2 a 2 h ：= 啄2 c 设式( 2 1 1 ) 的非齐次特解是 = r 。c o s 2 m 西c o s 2 h 砌叩 将上式代入( 2 - 1 1 ) ，可得 r o 级数式 为 其中 ( 2 - 1 2 ) = 等= 黼= 丽n i = 争= 丽- h 1如= 两- h i如2 丽n i ( 2 - 1 2 ) 中其它诸项皆为0 利用等效条件，方程式( 2 - 1 1 ) 的齐次解 虬= 塌( ，7 一击) 2 一乩( 善一互1 ) ( r l - 1 ) + 风( 掌一三1 ) 2 见= 耥瓦2 n 2 a 2 ：w ”c 万h 4 = 0 耻黼1 6 ( 1 瓦2 砌2 一熬 。 一v 2 ) “ 2 ( 1 一v ) 西南交通大学博士研究生学位论文第1 4 页 于是( 2 一1 1 ) 的解是 y = 。+ 妒。 将上述各式代入式( 2 - 9 ) ，并用c a e r k i l 7 方法解之，可得爿的方程为 彳+ 丘爿+ k ，爿3 ：丝c 。s 旦q 一确( 2 13 ) y 。o ) o 其中_ ：坐彳：塑 耻z 4 ( 3 + 2 a 2 + 3 2 4 ) 一罴2 ) ( 5 协) + 6 以2 叫】 k=业必l9-(1+2叫v2。+24)31 6 ( 1 + 志+ 旦3 2 籼卷14 - 糕1 。 i一，二)( 1 + v 2 ) 2一7 4 f4 斧、2 r 4 + _ 3 、二f 方+ 程( 2 一l3 ) 是一个其周期扰动的d u f f i n g 非线性微分方程。 2 4 横向荷载作用下弹性拱的受迫振动 芍虑盘劁所示的弹性拱两端铰支，承受横向周期性荷载口： g = f s i n7 i x c o s ， ， 图2 - 1 横向荷载作用下的弹性拱 ( 2 14 ) 一 一一一 图2 2 图中p 一一拱密度，y 一一阻尼系数，h 、v 、m 一一水平轴力、横向剪力和 弯矩。由图2 可得拱单元的动力方程： 豢一凹警一v 詈 c 耽o l 。o t o m ：v - h c 3 w 苏缸 肘= 州_ 可a z w 一可0 2 w o ) ( 2 - 1 5 ) 式中f 一一弹性模量，一横截面惯性矩。 得： 剧c 可0 4 w ( 。舐4 w 。0 m 罟+ 叫等+ v 詈= 。 拱的轴向变形由下式给定： = 圭( 警) 2 一( 豢 因此，轴力h 可表为： h ：= e a a ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 17 ) 由( 2 - 1 5 ) 一( 2 一l7 ) 式可 将( 2 一1 9 ) 、( 2 - 2 0 ) 两式代入( 2 1 8 ) ，可求得拱的动力方程： ( 2