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摘要 h i l b e r t 不等式分为级数和积分两种情形近十几年来，与其相关的各种结果大量涌 现本文以经典的h i l b e r t 不等式为基础，首先讨论了h i l b e r t 不等式和h i l b e r t 型不等 式的统一问题，其次通过引入一些参数，建立了h i l b e r t 不等式的一个新的推广，最后介 绍了h i l b e r t 不等式的相似形式，同时证明了一些新的不等式和加强形式 关键词：h i l b e r t 不等式，权函数，h s l d e r 不等式，y o u n g 不等式，j e n s e n 不等式 a b s t r a c t h i l b e r t si n e q u a l i t ym a yb ec l a s s i f i e di n t os e v e r a lt y p e s ( d i s c r e t ea n di n t e g r a le t c ) ， n u m e r o u sr e l a t e dr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e di ns e v e r a ld e c a d e s i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y , w e m a k et h eu n i f i c a t i o no fh i l b e r t sa n dh i l b e r t st y p ei n e q u a l i t ya n di t se q u i v a l e n tf o r m h e n c em a n yr e s u l t so nh i l b e r t si n e q u a l i t y , f o l l o w sa sas p e c i a lc a s eo fo u rr e s u l t s s e e o n d l y , g e n e r a l i z a t i o n so ft h eh i l b e r t sa n dh i l b e r t st y p ei n e q u a l i t ya r ee s t a b l i s h e d b y i n t r o d u c i n gp a r a m e t e r s t h i r d l y ，s e v e r a ln e wi n e q u a l i t i e sc l o s et oh i l b e r t p a c h p a t t e si n e q u a l i t ya n d i t si n v e r s e - t y p ea r eg i v e n m o r e o v e r ，n e wi n e q u a l i t yf o rh a r d y h i l b e r t st y p e i n e q u a l i t yi n v o l v i n gb o t hi n t e g r a l sa n ds e r i e sa r ep r o v e d ，a sw e l la ss o m es t r e n g t h e n e d v e r s l o n k e y w o r d s ：h i l b e r t si n e q u a l i t y ，w e i g h tf u n c t i o n ，h s l d e r si n e a q u a l i t y ，y o u n g s i n e q u a l i t y , j e n s e n si n e q u a l i t y 第一章绪论 1 1 综 述 设，g o ，p 1 ，；1 + i 1 = 1 ，口( o ，。) ，g l q ( o ，o o ) ，则( 见 1 0 ) ：”z ”掣蛐 赢忖1 1 扩1 1 。， ( 1 ，) z 。0 ( z 。等 1 ，；+ ：= 1 ，i l a l l p = ( 墨。喘) 1 加，i l b l l 口= ( 甚l 鳃) 1 加，0 峙 o o ，0 l t b l l 口 0 0 则 蚤歪羔 南忙怕， ( 1 f 2 ) 三玺m a + mn 】p 0 ，f ，g 0 ， g l 2 ( 0 ，。) ，则 , o 一o 掣蛐1 45 ( 1 l f l l ；一i l f l l ：j 川圳雌办 ( 1 5 ) 其中u ( 。) = ；j ；：”丛l + 麴t 2 一妒( z ) ，i l f l l 。= ( j ：；”i f 2 ) 1 2 ，i l f l l t ，= ( ”i ，i 。u ) 。 1 9 9 9 ，高明哲( 见 8 ) 得到了这样一个不等式： z ”z 。掣如d y 2 - m i n p ，g ，( z ) = 。1 1 ，0 i ，l i p 一= ( j ：l f l p “j ) 1 加 。，0 n m i n 鼽) ，i = i ，2 ，礼贝0 卜z 0 。冰“丽1 娶n r c 半， p 4 啪捌1 m ( 1 加， 这里，常数因子南1 - i , ：，r ( 也专竽) 是最佳的 2 0 0 5 年，洪勇( 见 1 1 】) 作了另一多重推广：设n ，p n ，；+ i n = 1 ，a 即一1 1 2 ( p n 泞 那么 ”l 0 。萼芒掣蛐- i 厶厶小- 矿9 1 ，；+ i 1 = 1 ，护( o ，。o ) ，g l q ( o ，o o ) ，则 。f 。黑黑如d y p q l l f l l 川 ( 1 1 2 ) 厶 鬲i 面础o ，。( i 1 印 5 。百l n ( x y ) 荆咖) 蛐 1 ，；+ i 1 = 1 ，i l a l l ，= ( 墨1 嚷) ”，i g = ( 慧l 鳃) 1 加，而且0 f l a i l p 0 ( 3 ，0 恻i q o o 则 薹至i n a x m p 圳训川圳。，鲁名 ，n ) 圳p ”p ” 嘲一妻l n 一( m n ) m k ( 毒纠h f p f f 6 f f 。 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 2 0 0 5 年，杨必成( 见 3 z ) 得到了一个新的h i l b e r t 型不等式：设f ，g 0 ，0 a 1 ，；1 + i 1 = 1 ，使得0 j 尸( 。) 如 o o 和0 j g q ( x ) d x 。，则 z 。z ”管掣蛐诣卜+ 中嘲1 加 z ”矿州圳科向，( 1 1 6 ) 4 h i l b e r t 不等式 其中h ( p ) 皇b ( ；，1 一a ) + 日( ；，1 一a ) 是最佳的 1 9 9 8 年，b g p a c h p a t t e ( 见 2 6 】) 另辟蹊径建立了如下h i l b e r t 不等式的类似不等 式： z 8 f ( x ) g ( y ) d x d y 0 ，则 1 2 古典h i l b e r t 不等式的证明 f l 。x - 1 - 8 d x f o 。+ l “u - ( 1 + 0 2 砒= 。( 1 ) ，( s - + 。+ ) 证明令0 e i 1 ，对z 1 ，有 。 z ；1 击u _ ( 1 删u 茎z ；1 “却肛砒 = 圭( 5 一t 1l = ，2 2 4 ( 4 因此 。 ，。+ 蚀z ；击“川删吲，0 0 z 一；1 出 4 ，0 。x - l - 如：1 6 4 如= 这就证明了关系式( 2 1 ) 定理1 2 2 设，g 为实函数满足0 f ，2 ( x ) d x 0 0 和0 f 9 2 ( x ) d x 0 0 ，那么 亳ic j ? h a r d ye ta l ? 1 1 0 ) 弋 。f ( x ) g ( y 1 z + yd z d ” z ”，2 ( z ) d z z 。9 2 ( 。) d z j ， ( 2 2 ) 这里，常数因子”为最佳值 证明由h 6 1 d e r 不等式，我们有 等觇u 中山大学硕士学位论文 5 = z 。厅哉每c 尹】【万骂耘c 少 d x d y 【z 。0z 。第c d x d y m 【z 。z 。0 鬻c 蛐1 垆 定义权函数留( u ) 为 晰= ：。耐1i u ) 1 2 1 蛾吲啉 则以上不等式变为 z 。0z ”笔掣蛐【z 。删2 妒【：。砒2 蚓 对固定的，令u = u t ，有 槲= z 。南t ；- l d t = b ( ；习1 黾 从而 z ”z 。掣蛐纠z 。，2 ( 蛐p 埘 ( 2 。) 若( 2 3 ) 取等号，则存在不全为零的非负常数c 和d ( 见【1 7 】) ，成立 c 鬻( ；) 1 2 = d 鬻( ! ) ，e 于( o ，。o ) ( o ，) i e c ，2 ( 刃) z = d 9 2 ( ”) ，n - e 于( 0 ，o o ) ( 0 ，o 。) ，则存在一个常数b ，使得c f 2 ( 。) z = d 9 2 ( ) ! ，= b ，a e 于( 0 ，0 0 ) ( 0 ，。) 不失一般性，设c 0 ，则有，2 ( z ) = 圭，o e 于( o ，) 这与已知条件0 f ，2 ( x ) d x o 。矛盾因此( 2 3 ) 取严格的不等号 ( 2 2 ) 得证 对0 ，构造 ( z ) = 正寄，当z 【1 ，。) ； ( z ) = 0 ，当z ( o ，1 ) 乳( 掣) = ”半，当y 【1 ，。) ；乳( ”) = 0 ，当y ( o ，1 ) 假设( 2 2 ) 的常数因子7 r 不是最佳值，则存 在正实数k 目k 7 r ，使得当7 r 换成k 时，( 2 2 ) 仍成立显然我们有 - ：”z 。f ( z x 十) g 口( y ) d x d y 0 ) 足够小时，成立 7 r + o ( 1 1 1 ，；1 + i 1 = 1 ，0 f f p ( z ) d x o 。且0 j f 9 9 ( z ) 如 。，则 z 。0z 0 。等掣蚴 五南 z ”，p ( 帕p p 妒， ( 1 ) z 。( z 。鬟， 【高l p l f 。一姚 ( 1 z ) 这里五i 嚣两为最佳常数因子式子( 1 1 ) 称为h a r d y h i l b e r t 积分不等式( 见1 1 0 1 ) ，它在 分析学中有重要应用( 见【2 4 】) 在与( 1 1 ) 相同的条件下，有如下h a r d y h i l b e r t 型不等 式( 见【1 0 1 ，t h 3 1 9 ，t h 3 4 1 ) ： o = l 。：；! 耄a z 由 p a t z ”尸c z ，如，v f r o = 9 c 。，如，叫口 z ”c z 。篙啄z 。雕冲， 其中常数因子p q 为最佳的相应的级数情形为： ( 1 3 ) ( 1 4 ) 三：- - ，至z - - * 型t i t - i - 生l l 0 ，定义权函数曰( 卫ts ) 为 嘶卜z 。硒若警c 争协， 8 h i l b e r t 不等式 设口( z ，s ) = a c ( a ，b ，s ) ，其中c ( a ，b ，8 ) 为一常数则 特别地 0 0 ，我们有 咖，= z 。碡g 警c 争协 = 口z 。硒而杀丽一t = 上1 赤t - 1 8 d t + a 。赤一小出 = 而。o 鑫南一t + 硒寿酽犀南一恸 茎而南 。 不可万丽 因此0 0 则 o o ；7 ：- e - 1z 。面丁f 丁f 南二半d 如= 。( 1 ) 忙- 。+ ) ( 2 2 ) 证明存在一个足够大的n n ，使得对( 0 ，1 有1 + = 导盟 0 ，又茁1 ，那么 z 硒而1 面丽产出 0 ，0 铲z ；一1 f f ( x ) d x o o ，0 f 茁i 1 1 9 4 ( x ) d x o 。则 z f o 硒等如妇 掣 ，。 o,io1 尸( z ) d 石) ； z 。z - l g q ( z ) d 石) 其中常数因子掣最佳特别地， 俐当a = 1 ，b = 0 时，以上不等式变为： ( 2 3 ) z 。z ”笔笋蛐 0 ，由h s l d e r 不等式和引理2 2 1 ，我们有 ee 硒案糕蕊蛐 ：f “r 舻oj o 【z 丢一1 ，( 嚣) 】 可丢一1 9 ( 可) 】 4 扣+ 可) + b m a x z ，) = 去z 。z 。而丽面1 雨 d x d y 出扣m ) 筹祟( 券) 1 1 护丽y ( i - l l a ) l pl 两y l l , , 严叩咖 鞫 泖 箩 击击 ! !坚! ! ! 堕丕簦蒌 “一o 石若警戋丽爷c 券，u q d x d y 】1 9 z 。z 。碡篙警丽喾c 争恸】l 4 ( 2 4 ) 矾1 0 0 1 1 p z 。面若喾c 争协m ) 珈 f o c 。! - i 烈州z 。石若兰芝丽芝娑c 争) l 4 = 去 z i 。口( z ，口) ，( z ) 如 i 1 y l 。仍( g ，p ) g a ( g ) 句) j ：型 n ”。一，尸( 。) 出) ； ，。h 。( g ) d 订： 因此( 2 3 ) 成立 假设( 2 4 ) 等号成立，则存在不全为零的非负常数o ，b ，使得( 见 17 ) 。样叫一z ) 每警( 筹) 1 - 曲畦- 1 ) g 坳) 丛；娑( 而y l a ) m a e 于( 0 ，o 。) ( 0 ，。) 即 。z ：，9 ( z ) = b 口：9 9 ( 口)a e 于( 0 ，。) ( 0 ，o 。) 从而存在一常数d ，使得 a x j f p ( x ) = b y g q ( y ) = da e 于( 0 ，o o ) ( 0 ，。) 不失一般性，设o 0 ，则得z j - 1 f p ( x ) = 盖，a f e t 于( 0 ，o 。) ，这与已知条件0 j z - 1 f p ( x ) d x 0 ，构造f d z ) ：z 二三= 产，当茁 1 ，o 。) ； ( z ) = 0 ，当z ( 0 ，1 ) 和 乳( 口) = 9 2 半，当9 【1 ，。) ；9 。( g ) = 0 ，当y ( o ，1 ) 假设( 2 3 ) 的常数因子里l ! ：型非 最佳，则存在一个正实数k 满足k ! i ：掣，使得当把旦毪掣换成k ( 2 3 ) 仍成立 一方面、 z 。z 。j i i i j 二； ：；a 茁a ” k t p l 孙1 娥卜； 另一方面，作t = 肛，由引理2 2 2 ，有 1 醒( ) 咖) ；= k 肛 z 。z 。才i _ f 舌 车a z d ” 中山大学硕士学位论文 1 1 = 去z 。0z 。五i l 譬喜i ；竽晕! 熟a z d ” d x d y 三。z 一1 厂斫面1 丽丽t 一- 1 - a 5 出如 + o ( 1 ) 】一0 ( 1 ) + o ( 1 ) 】 则 旦i j 掌型+ 。( 1 ) l k a ，i e - 旦! 窖型茎k ，这与假设矛盾因此( 2 + 3 ) 的常数因 子掣最佳 注2 1 ( i ) 当a = 1 ，a = 1 ，b = 0 时，上述不等式变成h a r d y h i l b e r t 不等式 z 0 。z 。掣蛐 南 z 。帅胁疵p 埘；( 2 3 c ) ( i i ) 当口= 1 ，a = 0 ，b = 1 ，上述不等式变成h a r d y - h i l b e r t 型不等式 z ”上。；：；3 三d x d y 1 ，；+ i 1 = 1 ，a 0 ，b 0 ，0 铲z 一1 广( x ) d z 。 则 z ” z “j 玎互_ 干i i ! ；：； 五；：i ；丽4 。】d ” 垦掣z 。z 一1 ，一( 。) d z ，( 。6 ) 其中常数因子垡笔乎垃为最佳的式俾砂与式俾圳等价 证明令g ( ) 为 则由( 2 3 ) ，得 j厂”j开：ji：i；：i；兰d。，一，(o，。) o a ( z 士+ y 1 ) + b m a x z ，可占) 叫 七w 0 n 一2 。g - l g q ( g ) d j 0 a p 一1 o 。e o ”j i j i j 二孑_ ! ；a z 】9 a v =z。j厂o。a(x孑jy：；bm a x x a z d ” o+ ) +，” 9 茎! ! ：j j 里盟 z 。z 一1 ，( z ) d 。) ； z o o - l g q ( ) d ) ； 从而 ( 2 7 ) roop o 。g q ( y ) d y a p c p ( a ，b ，p ) z 一1 ，( 。) 如 。 ( 2 8 ) j oj o 由( 2 3 ) ，( 2 7 ) 和( 2 8 ) 均取严格不等号，即得( 2 6 ) 反之，设( 2 6 ) 为真由h s l d e r 不等式，得 z 吖j o ”而a ( x 等y 巡b , n a x 岛 x 蛐o+ ) +，g r 9 = z 。r i 0 0 。j i j i j j ；t ! j d z 】，( ，。) d ” ：。f r o 。j 叮五i f i ! ； ：；2 i i 王i ；丽4 。 一d ”) 1 加 z 。，4 ( 可。) 咖) 生盎兰塑主堂垒煎圭望 r h ( 2 6 ) ，即得到( 2 3 ) 因此( 2 3 ) 和( 2 6 ) 等价 若( 2 6 ) 的常数因子堡鲁旦越不是最佳值，则由( 2 9 ) ，我们可以推断( 2 3 ) 亦不是最佳 的，矛盾 注2 2 ( i ) 当n = 1 ，a = 1 ，b = 0 时，不等式( 2 6 ) 变为 门：”筹捌 o ，o f 茁( d 一1 ) ( 唧+ 1 尸扣) d x 0 0 ，0 fx ( c * - 1 ) ( a - q + 1 ) 9 4 ( z ) 出 则 o 。o 。硒者端蛐 ，p)，。z(a1)(一川尸(z)出)；厂z(一)(a-q+1)gqc(a b( z ) 出庀( 2 1 0 ) 1 ，；1 + i 1 = 1 ，a o ，b20 ，且0 器1 0 p o o ， 0 o 。o ：1 蝇 o 。则 薹薹丽南 c ( a ，b ，p ) ( 喘) ；( 6 ：) ：， ( 3 1 ) n = ln = l 萎 三而而面a m 面丽k ( a , b , p ) e 。a ：， 3 2 其中常数因子c ( a ，b ，p ) 和c p ( a ，b ，p ) 都是最佳的，且p 纠和p 剀等价特别地， 以j 对a = 1 ，b = 0 ，它变为h a r d y h i l b e r t 不等式： “订对a = 0 ，b = 1 ，它降为h a r d y h i l b e r t 型不等式 ( 3 1 0 ) 加 嘲 脚 加 嚷 删 两丌一汀 一n 生n坐叶 。一 。惴 1 4 h i l b e r t 不等式 三三端 ( i 硒慧嘿丽蛐 ( 3 3 ) 麴； 耋叫= 薹熹 - + 0 。熹；1 1 醒疵醒) = 熹 1 ，；1 + ；1 = 1 ，0 铲f f ( x ) d x o 。和0 f 9 9 ( x ) d x ，则 z 。：0 。笔掣蛐 而南 ：。，p ( 帕) 坳 p 妒， ( 1 ) z 。( j ( ”等删p 五南 z ”一圳z ， ( 1 。) 其中常数因子面l i r 丽最佳不等式( 1 1 ) 称为h a r d y h i l b e r t 积分不等式( 见 1 0 】) ，它们 在分析学中有重要应用( 见【2 4 ) 同样有h a r d y h i l b e r t s 型不等式( 见 1 0 ，t h 3 1 9 ， t h 3 4 1 ) ： z 。z 。：；：毫警告d x d y p q ”，9c z ，如，1 加t z 。矿扣，d 茁，v g z 。0c ：。盏耘计虮z 。一牡， 其中常数因子p q 是最佳值相应的级数不等式为， ( 1 3 ) ( 1 4 ) 圣三端pq(脚ea：)oo0 0 “9 ( 薹o o 螂v 口， ( 1 5 ) ， 其中常数因子p q 亦是最佳的特别地，对p = q = 2 ，得到h i l b e r t 型不等式： z 。z 0 。差5 ；瓷路如d y m i n p ，q ) z 。z 。啬端d x d y 两毒杀两 “。0 ) ( 2 叫1 九帕) ，f 。o o x ( q - 1 ) ( 2 - a ) - l g q ( 圳栌( 1 8 ) 1 6 h i l b e r t 不等式 和 ( e 盏熬蛐 p q a ( p + a 一2 ) ( q + a 一2 ) f o c 。z 1 - a ，( z ) d z ) 1 z 。1 一 9 9 ( z ) d z ) 1 g 同时，杨( 见【3 2 ，3 1 】) 还考虑了一些其他形式的不等式的改进工作 本章给出如下h i l b e r t 不等式和h i l b e r t 型不等式的一个推广 l 。i ( x 1 ) 9 ( 旷) x + y 出咖 ee 慧躲蛐 7 r a ；p is i n ：t 卜 0 为简化起见，下面仅介绍不等式( 1 1 1 ) 的有关证明 3 2主要结果 引理3 2 1 设r 1 ，。1 + ，1 = 1 ，a ， 0 则 从而 j 厂1o o 石叫坶d 厂o 。高t 半d t d x = 0 ( 1 ) ( + ) 证明设n 足够大，使得对( o ，矗】满足1 + 寺笠 0 ，又z 1 ，则有 m a x 1 ，t )t 半拈z 。一t 半拈甭1 学! 、- - ；，l + 半 当o 1 时函数9 ( g ) = 面1 。匆( o ，o 。) ) 单调递减，那么有 未孚( z 11 _ 半 o，po，且o旷zcp叫n-女，p(z)出0 o 。， 铲。曲- 1 ) ( 卜j ) 雪9 ( z ) 如 。贝i 4 j u 。卜严山、 z 。z 。篙等筹蛐 嚣t 序嘶m ；：0 。产- 州删川国 当a = 芦时，常数因子 车为最佳的 p 口 证明由h s l d e r 不等式，得 ej r o 螋m a x 黑x 如魂j o ，量， u 山掣 = ；丢z 。z 。堡2 t - 三i 辩1 1 如由 = ；并z ”r 潞x - 1c 警湖扣 c 热1 1 fc 鬈a 新蛐 。( m a x 协，可i j i 、“1 一 汤o 忑川删9 瓤”j 厂o 。舻意警c 扣妒 l ( 。p 扣篡芝警c 争蚓抽 则以上不等式化为 喾( 譬咖d y 艇( 0 删1 二r 一【- t ，9，z ( ，o 。) y y p 喾( 争岫( o 川 端如曲 b 磊 童一 f 厂 = = ，o 鲈 妒 砂 1 8 h i l b e r t 不等式 ； z 。 p ( z ) z p ( 一1 ) ，( z ) d z 】； ：。妒( ) “；- 1 ) g q ( ) d g 】； 对固定的z ，令g i l ：z t ，有 妒( z ) ：= 肛z 扣一l 】( 1 一 z 0 。五丽1 t ；一1 出 = # p q x ( p 一1 ) ( 1 一 ) = # p q x ( p 一1 ) ( 1 一如 同样，妒( ) = ) p q y ( q 一1 ) ( 1 一；) ，因此 即 一慧器d x d y 弧p qt p ，( 。) d 。) ； ，可 ，0 1 9 9 ( z ) d z ) ；( 2 3 ) 若( 2 3 ) 等号可达，则存在两非负常数c 和d ，且c ，d 不全为零，有 志警c 一。舞1m a x 肼，卉广；、g ：厂一m a x t z x ，内 从而存在一常数b ，使得 a e o n ( 0 ，0 0 ) x ( 0 ，0 0 ) 丁y o - ) q p ( ) ； x1岱 c x ( p - 1 ) ( 1 一 ) + 1 ，9 ( z ) = d y ( q 一1 ) ( 1 一；) + 1 9 。( g ) a e o i l ( 0 ，0 0 ) ( 0 ，o 。) ( p 一1 ) ( 1 一 ) 十1 f p ( x ) = d y ( q 一1 肛；) + 1 矿( ) = b a e o n ( 0 ，。) x ( 0 ，o o ) 不妨设c 0 ，则x ( p - 1 ) o - f p ( x ) = b 。，a eo n ( 0 ，。) ，这和条件0 铲x ( p1 ) ( 1 一 ，p ( z ) 如 o o 矛盾因此( 2 3 ) 不取等号于是我们得( 2 2 ) ， 令o e j 1 ，构造f j x ) = z 彳，当z 1 ，。) ；f j x ) = 0 ，当z ( 0 ，1 ) 珧( ”) = 彳，当y 1 ，。) ；g d y ) = 0 ，当y ( 0 ，1 ) 又假设( 2 ，2 ) 的 乇非最佳，则 存在一小于乎r 的正数k ，当用代替 时，( 2 2 ) 仍成立于是 z 。z 0 。鲁羹墨筹如d y 0 ，有 ；点咖+ 0 ( 1 ) 显然，由y o u n g 不等式知a i l p i l 兰；+ 件，有“i 1 ：a 学，i - e a ：肛，则 ：( 1 e x 1 琢1is 了1 了) ，注意到其取等号的条 x 1 职1 咖圳】2 嚣+ 0 ( 1 ) 1 和0 j z 如一1 ) ( 1 一 广( x ) d x ，则 z 0 。【z 。端钟l 由 知z ”痔1 ，( 妒如， ( 2 a ) 其中常数因子( p g ) ，为最佳的不等式俾圳与偿名一等价 h i l b e r t 不等式 证明令a ( v ) 为 由( 2 2 a ) ，得 0 因此 j 尸熟酬州，g ( o ，。) o 赢而础1 1 州问 f 2 | ”u - l g q ( ，q ) d y j0 a 一1z ”c z 。五端a z ，a ， 訾躲蛐 ；： z 。0 z 一1 ，( 。) d z ) ； z o o g - 1 q q ( ) d y ) j 右 ( 2 5 ) r 。r 。 o f 口 。1 9 4 ( y ) d y 茎舻( p q ) z 。1 f ( z ) 如 1 ，p ，= p ( p 一1 ) 和亲l 嚷冬a ，甚1 b ，则 妻n = l m 妻= l 焘 1 ，p = p ( p 一1 ) 和铲蝎f j f 喇曼g ，则 ：。：。掣蛐 1 ，+ 古= 1 ，a 0 ，定义权函数面( 伽，p ，。) ，函2 ( 叫，p ，。) ，西( 叫，p ，。) 为 训w ) ：= z 0 。两1 了x ( v - 1 ) o r - ) 屯叫岫) 面2 ( 叫，p ，。)：j 尸志芝掣咖( 0 ，。) 2 o 面而忑厂北i “” ( 2 2 ) 西( 哪，z ) ：= o ”两l nx y 可x ( p - 1 ) ( 1 ) d ( 。，o 。) ( 2 3 ) 训哪，加忘南1 。釉。1 西( ，p ，z ) ：半。刚一) 一1 西3 ( 叫，p ，z ) = 意】2 x p ( i - 争1 。a s i n ( r ) 1 证明固定x ，作变换乱= 1 一，则( 2 1 ) 变为 而油，p ，。) = 争1 。击“- 1 + = 书。b ( 扣 2 意1 。却， 同理可证另外两个式子 定理4 2 2 令m 1 ，他兰1 ，a 1 ，去+ i 1 = 1 对i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，p o = p ，p 3 = k ，p 4 = r ；怕= g ，q 3 = f ，虬= 和，( 盯) 0 ，g ( t ) 0 定义f ( s ) = 片f ( a ) d a 和 g ( t ) = 9 ( f ) 打使得0 铲s p ( 1 一) 1 霹( s ) d s o o ，0 t 4 ( 1 言) 一1 a i ( t ) d t 1 ，去+ 石1 = 1 对i = 0 ，l ，2 ，3 ，4 ，p o = p ，p 3 = 女，p 4 2r ；q o 2 口，q 3 = f ，q 4 = w 和，( 口) o ，9 ( 7 ) 0 定义f ( s ) = 片，( 盯) 咖和 g ( t ) = g ( f ) 打使得0 铲s p ( 1 一；) 一1 碍( s ) d s o 。，0 1 ，i 1 + 磊1 = 1 对i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，p o 2a p 32 ，p 4 = r ；q o = 口，q 3 = f ，q 4 = 伽和f ( o ) o ，9 ( 丁) 0 定义f ( s ) = 片f ( a ) d a 和 g ( t