（基础数学专业论文）两类奇异积分算子交换子的某些有界性.pdf

摘要 本文主要讨论广义c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子t 与l i p s c h i t z 函数b 生成的 交换子【b ，t 】和具有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分芦n 与b m o ( r n ) 函数b 生成 的交换子肌z b 在h e r z 型空间上的加权有界性 文章主要包括下面几个部分： 在第一章中，利用加权h e r z 型h a r d y 空间的原子分解理论及4 1 权性质， 研究了广义c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子t 与l i p s c h i t z 函数b 生成的交换子 b ，卅 的有界性，证明了【b ，刀是从齐次加权h e r z 型h a r d y 空间日如巾t 1 ，u 1 1 ) 到 齐次加权h e r z 空间j 秀砌0 t ，“于) 有界的，并且在临界点情形证明了该交换子 是从日程1 者l p l p ，端z ) 到1 - 者“p 2 p ，堙) 有界的，还证明了【6 ，列是从 日1 _ 古w 9 1 ( u ，叫! ，) 到1 - 者舶p 2 ( u 1 ，“于) 有界的对于【6 ，丁】在非齐次 加权h e r z 型空间上相应有界性也类似得到 在第二章中，将具有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分p n 与b m o ( r n ) 函数b 生成的交换子肌2 ，b 在h e r z 空间砑，9 ( p ) 中的有界性定理推广到了加权形式， 从而证明了m a r c i n k i e w i c z 积分交换子# i l b 是从加权h e r z 空间砑巾( u 1 ，u 2 ) 到其自身有界的结果的推证主要是从k 芋，9 r ) 的定义入手，进而利用 m i n k o w s k i 积分不等式， j e n s e n 不等式等进行某些不等式的缩放得到了a ，q 分别满足两种不同条件时m a r c i n k i e w i c z 积分交换子肌2 6 在h e r z 型空间上的 加权有界性 关键词：h e r z 空间；h e r z 型h a t d y 空间；交换子；中心原子；a 1 权；有界性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e 8 8o ft w ot y p e so fc o m m u t a t o r so n w e i g h t e dh e r zt y p es p a c e s ，w h i c ha r e 【b ，卅g e n e r a t e db yg e n e r a l i z e dc a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r stw i t hl i p s c h i t zf u n c t i o nba n dac l a s so fm a r c i n k i e w i c z i n t e g r a lc o m m u t a t o r sp l ，bg e n e r a t e db yb m o ( r ”) f u n c t i o n sa n dm a r c i n k i e w i c z i n t e g r a l sw i t hr o u g hk e r n e l s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gp a r t s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，u s i n gt h ed e c o m p o s i t i o no fh e r zt y p eh a r d ys p a c e si n t e r m so fc e n t r a la t o m sa n dt h ep r o p e r t i e so fa 1 ，t h eb o u n d e d n e s so ft h ee o m m u t a t o rf b ，卅g e n e r a t e db yg e n e r a l i z e dc a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r stw i t h l i p s c h i t zf u n c t i o nbi ss t u d i e d w es h o wt h a t 【b ，卅i sb o u n d e df r o mh o m o - g e n e o u sh e r zt y p eh a r d ys p a c eh k q a l , m ( u l ，迸1 ) t oh o m o g e n e o u sh e r zs p a c e 垤船( 谬) a n dw ea l s oo b t a i nt h a t 6 ，卅i sb o u n d e df r o mh o m o g e n e o u s h e r zt y p eh a r d ys p a c et oh o m o g e n e o u sh e r zs p a c eo nc r i t i c a lp o i n t s 。f o rt h e n o n h o m o g e n e o u sh e r zs p a c e s ，w eh a v et h es i m i l a rr e s u l t s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h eb o u n d e d n e s so nh o m o g e n e o u sw e i g h t e dh e r z s p a c e si se s t a b l i s h e df o rac l a s so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lc o m m u t a t o r sp 1 b g e n e r a t e db yb m o ( r 1 ) f u n c t i o n sa n dm a r c i n k i e w i e zi n t e g r a l sw i t hr o u g hk e r - n e l s t h em a i nr e s u l t sa r ed e d u c e df r o mt h ed e f i n i t i o n so fk 嚣p 2 ( u 1 ，u 字) b y t h em i n k o w s k ii n t e g r a li n e q u a l i t ya n dt h ej e n s e ni n e q u a l i t yt oc o n t r o ls o m e i n e q u a l i t i e s ，w eo b t a i nt h eb o u n d e d n e s so fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lc o m m u t a t o r s p n ，bo nw e i g h t e dh e r zs p a c e sw h e nq ，口s a t i s f yt w ok i n d so fd i f f e r e n tc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：h e r zs p a c e s ；h e r z - t y p eh a r d ys p a c e ；c o m m u t a t o r ；c e n t r a l a t o m s ；a 1w e i g h t ；b o u n d e d n e s s 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果 论文作者签名。 葛专 日期： 。夕年 f 。月p日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署 名单位仍然为青岛大学 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明 不保密毗 ( 请在以上方框内打 ) 论文作者签名：努专 导师签名t牛0i r 艺u ( 本声明的版权归青岛大学所有， 用) 日期：沙印年io 月3 日 日期：司年 f o 月 3 日 未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使 引言 引言 调和分析的思想与方法来源于分析的许多分支，它的方法几乎渗透到数学 的所有领域调和分析中建立的许多分析工具诸如算子插值方法、极大函数方 法、球调和函数理论、位势理论和一般可微函数空间等都是研究偏微分方程的 必备工具近二十年来，随着调和分析理论的发展和逐步完善，它在偏微分方 程中的应用显得尤为突出 众所周知，调和分析中一些经典算子与b m o 函数或l i p s c h i t z 函数生成的 交换子在偏微分方程中有着广泛的应用因此，研究这些交换子在某些空间上的 有界性是个十分有意义的问题基于此，本文就两类交换子在h e r z 型空间上 的加权有界性展开研究，其中一类交换子是由广义c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子t 与l i p s c h i t z 函数b 生成的交换子 b ，卸，另一类是具有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分蛐与b m o ( r ”) 函数b 生成的交换子胁。b 关于h e r z 空间的研究始于1 9 6 4 年，b e u r l i n g ( 见) 为研究卷积代数引入 了一些基本形式的h e r z 空间；四年后h e r z ( 2 ) 给出不同形式集合下定义的空 间。此后h e r z 空间理论得到了重大发展，这对于偏微分方程及相关领域的研究 起到了巨大的推动作用例如，b a e r n s t e i n 和s a w y e r ( 3 ) 利用h e r z 空间理论 刻画标准h a r d y 空间上的乘子；陆和杨( 4 】) 将理论用于偏微分方程的研究 这反过来又促使h e r z 空间理论受到人们的重视而得到长足的发展而与h e r z 空间有关的h a r d y 空间理论也经历了一个多世纪的发展这一新的h a r d y 空 间被认为是经典h a r d y 空间日p 很好的替代，尤其在研究非平移不变算子的有 界性时对于加权情形，陆善镇和杨大春( 5 】，【6 ) 引入了加权h e r z 型h a r d y 空间并建立了它的原子分解理论；赵凯等( 【7 】) 定义了加权h e r z 型h a r d y 空间 上的分子并给出了加权h e r z 型h a r d y 空间的分子刻画这些使得很多算子及 其交换子在加权h e r z 型空间的有界性研究有了简洁而有效的解决方法受此 启发本文着重研究交换子在加权h e r z 型空间上的有界性 一方面，与奇异积分相关联的交换子，由于它与偏微分方程、c a u c h y 型 积分等问题有着密切的联系，而且又是一个非卷积型的c a l d e r 6 n z y g m u n d 算 青岛大学硕士学位论文 子，所以对这类算子的研究一直是现代分析数学的热点问题之一( 见【8 1 0 ) 如此一来奇异积分算子及其交换子得到了广泛的研究并取得了丰硕的成果，尤 其是随着一些空间分解理论的建立，它们在一些空间上的有界性问题得到了解 决 然而对于y a b u t a 和彭立中分别在【1 1 】和【1 2 中引进的e ( t ) 型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的交换子讨论的不多但这类算子的引进是有较深刻的微分方 程背景的而且我们知道与标准c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子和交换子相比，研究 p ( t ) 型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子和交换子要复杂困难的多，( 详见 9 】， 1 1 】， 1 3 - 1 1 】 等) 2 0 0 2 年，陆善镇、吴强、杨大春( 1 6 】) 研究了由标准c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子与l i p s c h i t z 函数生成的交换子在h a r d y 型空间的有界性；最近，赵凯等 ( 17 ) 研究了由e ( t ) 型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子t 与l i p s c h i t z 函数b 生成 的交换子 b ，t 】在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性而陆善镇、杨大春引进加 权h e r z 型h a r d y 空间并建立了它的原子分解理论受此启发，本文将在第一 章中引入由广义c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子t 与l i p s c h i t z 函数b 生成的交换子 b ，t 】，主要讨论 b ，卅在加权h e r z 型h a r d y 空间的有界性问题，利用加权 h e r z 型h a r d y 空间原子分解理论证明了【b ，卅是从齐次加权h e r z 型h a r d y 空 间日k 铲t ( u 1 ，u ；1 ) 到齐次加权h e r z 空间蠕龙( u 1 ，u 字) 有界的并且在临界 点情形证明了该交换子【6 ，卅是从日1 - 者h p l 1 ，u ) 到1 - 吉l p 2 ( u 1 ，“乎) 有界的，还证明了 6 ，卅是从日程1 - 吉+ 肋1 ( m i 啦) 到1 _ 吉+ 口，瑚0 3 1 湾) 有界的 另一方面，l i t t l e w o o d - p a l e y 函数( g 函数，s 函数，吠函数) 在调和分析 理论中占有很重要的地位，这些函数不但有许多独特而有趣的性质，它们还在 奇异积分、乘子理论等的研究中扮演重要的角色作为经典的l i t t l e w o o d - p a l e y g 函数的类似，m a r c i n k i e w i c z 引进了一维的m a r c i n k i e w i c z 积分1 9 5 8 年， s t e i n ( 1 8 ) 引进了一种新的l i t t l e w o o d - p a l e y 函数，它是一维m a r c i n k i e w i c z 积 分的高维推广，其定义为一 ( x ，= l 。掣舳，妇阿肛， 其中q 是单位球面扩- 1n 2 ) 上可积的零阶齐次函数且满足止。一。2 ( x ) d x = 0 s t e i n ( 1 1 8 ) 证明了，如果q 在s ”1 上连续并满足l p 。( s r * - - i ) ( o a 1 ) 引言 条件，那么他2 是妒( 1 0 使得 俐2 裟南厶| 6 ( z ) 一6 。恤 1 ) 满足止。一。q ( 茹) 出= 0 ，如果p ，q 及u 满足下述条件之一； ( a ) q p o o 及u a p 矿； ( b ) 1 p q 及u 1 一一a p , ，r ； ( c ) 1 p r 7 和q ( - n q ，n ( 1 ，一1 q ) + l r ) ； 3u 青岛大学硕士学位论文 ( 2 ) q 0 使得： ( a ) l k ( x ，可) l c i z 一可| - “ ( b ) 对于z ，x 0 ，y r ”，当2 i z x o i i y x o i 时，有 沪后( x o m 砌棚“锄) l 0 , l i p s c h i t z 空间l 印口( 珏p ) 定义为： 酬r 卜i i l l ( r n ) - - - - 训哪s u p 耐，背 1 则三缸冶( 即) 仅包含常数且 b ，t 】兰o ；所以我们限制0 p 1 在偏微分方程中，为了研究p o i s s o n 方程让= f 的解，引入了标准分数 次积分算子( 又称r i e s z 位势积分算子) ，在本章的证明过程中用到r i e s z 积分 的定义及相关性质引理，现介绍如下： 定义1 3 幽对于0 o t n ，r i e s z 积分厶定义为： w ，= 厶毋耘d y y ，r “i 一 弓l 理1 1 【2 5 1 令0 q 孔， 1 q 1 0 ，使得 恢( ，) | i 如c l i f l i l l k 。 本章主要结果涉及到 b ，卅加权h e r z 型h a r d y 空间有界性问题，有关加 权h e r z 型空间介绍如下。 记b k = 和r “：x 2 k ，c k = b k 鼠一l ，矶= ) ( 仇为伉的特征函 数，k z ，z 表示整数集，并且对于舻上的函数，和非负权函数u ( 。) ，记 i i f l l 髓( r 。) = ( i f ( x ) 1 ( 。) 如) 定义1 4 【5 】设a r ，0 p o o ，1 q o o ，以及u l 和0 3 2 为非负权函 数 ( 1 ) 齐次加权h e r z 空间砰p ( 0 3 1 ，0 3 2 ) 定义为： r 苫护( u 1 ，u 2 ) = ，l l ( r ” o ) ，0 9 2 ) ：l i f l i k e ，。，忱) o o ， 其中 i 簖，。加) _ p - ( 最) 】署i l f x m | i 琵。声 ( 2 ) 非齐次加权h e r z 空间j 凹p ( 0 3 1 ，0 3 2 ) 定义为： 碍护( 忱) = l q 。( r ”) n 砑巾( 忱) ， 并规定l i f l i k 拿，( w l , u ；2 ) = i i f l l l o 。+ | i 州格- ，o 。，屹) 若0 3 1 三u 2 三1 ，则砑p ( w l ，忱) 和k 孑 p ( 0 3 1 ，u 2 ) 即为通常的h e r z 空间 j 管护( 础) 和增巾( r “) 6 第一章广义c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子交换子的有界性 定义1 5 【5 】设u 1 ，忱a l ，0 p o o ，1 q o o ，且o r ， ( 1 ) 伴随砖，p ( w 1 ，u 2 ) 的齐次h a r d y 空间日砖，1 ，忱) 定义为 日砖9 ( u 1 ，忱) = ，s ( r ”) ：g ，砑一( u l ，忱) ) ， 并规定i i 刘j j r 船，p 。，屹) = i l c f l l r r ；, ，和。忱) ( 2 ) 伴随j 管p p l ，0 ) 2 ) 的齐次h a r d y 空间日增伊1 ，w 2 ) 定义为 日k 芋p ( u 1 ，0 ) 2 ) = f 5 7 ( 酞”) ：c f k 孑巾( u 1 ，“恐) ) 并规定i i f l l g 芋，。舢) = i l g 刘砰t ，。，忱) ，其中g ，( z ) 为，的g r a n d 极大函 数，5 7 是缓增广义函数空间 加权h e r z 型h a r d y 空间的原子分解理论使得研究算子和交换子在这些空 间上有界性简便了许多，介绍如下； 定义1 6 1 5 j 令0 p 0 0 ，1 q o o ，n ( 1 1 q ) a 0 ，( b ( o ，r ) = 。酞”：l z i r ) ； ( b ) i l a l l l e ) p l ( b ( o ，r ) ) 】_ 鲁； ( c ) x z a ( x ) d x = x 疗a ( x ) b ( x ) d x = 0 ，当例s j r “ t ，r “ 引理1 2 【5 j 令0 p o 。，1 口 o o ，扎( 1 1 q ) a 。，且w 1 ，w 2 a 1 ， 那么，h 砖，p p l ，w z ) 的充要条件是在分布意义下，( 。) = k o k ( z ) ， k = - c o 其中a k 是支集为b k 的中心( o ，q ，0 ) 1 ，w 2 ，8 ；6 ) 原子，并且l k i 0 ，6 ( 0 ，1 ) 使 w ( e ) 0 ) ( q ) c ( i e i i q i ) 6 , w ( q ) 0 ) ( e ) c ( i q i i e i ) ， 对所有的可测子集ecq 成立，其中u ( q ) = 尼u ( 。) 如 7 青岛大学硕士学位论文 1 2主要结果及证明 本章的主要结果是下面的3 个定理 定理1 1设b l 锄( 舻) ( 0 卢1 ) ，对于0 p l p 2 + 。，1 口1 ，q 2 + ，1 1 q 2 = 1 q l p n ，n ( 1 一l q 1 ) o n ( 1 1 吼) + p ，如果 此a 1 ，婵a ，且满足 1 筹出 0 0 , 则f b ，t 】是从h k ：i m ，以1 ) 到 缝船，谚) 有界的 定理1 2 设b l 缸协( r n ) ( 0 p 1 ) ，对于0 p l 1 p 2 + o o ，1 9 1 ，口2 + o 。，i 9 2 ：1 q 1 - - p 亿，u 1ea 1 , a f t 2ea 1 ，且设f 1 黎出 o 。，则当 q ：他( 1 一击) 时，【6 ，卅是从日卜者妇1 。，堪z ) 到程1 - 古 p 2 p 。，婵) 有 界的 定理1 3 设b l i p 口( r n ) ( 0 p 1 ) ，q l ，q 2 ，p l ，p 2 同定理1 2 ， u l a l ，u 字a 1 ，且f 1 黎d t o 。，则 6 ，卅是从日1 _ 者邯i p l ( u 。，u ；- ) 到1 - 吉卜晟p 2 ( u 。，谚) 有界的 在证明定理之前，我们先看( b ，t i 的( i 涧q l ，三孙) 有界性： 命题1 1 令b l p z ( r “) ，( p = n ( 击一去) ) ，1 吼 q 2 o o ，u 口2 a 1 ， 则交换子 b ，刁是从l 舯q i 到l 有界的 证明设f l 棚q i ，先考虑 l 【6 ，t f l = i 南( z ，可) ( 6 ( z ) 一b ( y ) ) f ( y ) d y l 孚 j 七( 甄y ) l l b ( x ) 一b ( y ) l l f ( y ) l d y _ ， o i i b l l l , p 口) i 。一y l z - , , i f ( y ) l d y = c l l b l l u p , , ( 1 l n ) 厶( i 巾( 。) 则由引理1 1 得。 ， l i l t , , t f l i l 墨。= 丘。 ( ，1 1 1 n o l l b l i = o l l b l i c l l b l i 6 ，卅，i 啦u 钇( z ) d 茁) 西1 c l l b l l 。( ) i l l p 口( 即) ( i l l i p 口( r n ) j | l ( i 州 l 椰( ) l 1 f 1 ) ( x ) l 口2 u 啦( z ) d 。) 石 ，i ) ( 。) i 船u 啦( z ) d ) 壶 第一章广义c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子交换子的有界性 命题1 1 证毕 定理1 1 的证明注意到当p 1 p 2 时，有 曰炉1 p - ，忱) 霹阳( 忱) ，剧啬伊1 ( 忱) 脚膏张( 忱) 因此，只需对p l = p 2 = p 来证明定理1 1 设f h 砑 p ( 0 2 1 ，胡1 ) ，由原子分解定理可以把f 写成 他) = ( z ) ， j = - o o 其中劬为中心( o ，q i ；w , ，以1 ) 原子，满足l i 叼i i l t t ( 以- ) p 1 ( 马) r 詈，s u p pa jc b ( o ，2 j ) ，且i i p 。o j = 一o o 记c k = b k 玩一1 ，躲为g 的特征函数，注意到0 p l p 2 + 。o ，由 定义可得 i i b ，t p 镌，和。卯) = p 1 ( 最) 】等i i ( b ，t f ) x k 渚) o ok - 2 c p ( 风) 一阱t a j ) x ( 世) ) p ( 1 1 ) c = - - o o j = - o o o oo o + c p ( b k ) 】警( i i o ( 【6 ，t a a x k l l 二蛇以。) ) p = 一 j = k - 1 = c ( d i + d 2 1 对于d 2 ，由于w 1 a i ，叫字a i ，的尺寸条件及命题1 1 中【b ，卅是从 玛- 到咯有界的，可得 0 0o o d z = c p 1 ( 仇) f a _ a ( m i i ( b ，t a j ) x k l l 脾) ) p k = - o o j = k - 1 c | 1 6 i i p 1 ( 岛) 】警( l i 1 1 嘭1 1 l 。( 。：t ) ) p k = - o v j = k - 1 o o c i i b l l 笔咖p ( 取) 】警 i l p l ( 马) 】一罢p ， ( 1 2 ) k = - c o j = k - 1 0 青岛大学硕士学位论文 下面将p 分成0 1 两种情况来讨论； 当0 1 时，由h s l d e r 不等式及引理1 3 得 d 2 c l l b l l z 伽。p - ( 玩) 】警( i j p ( b ) 】一器) ( p z ( 马) 】- 番) 多 娜崆咖薹。嗍端塞。c 蹦南多 c l l b l l ：, 印。( i m 娜2 卅驯2 ) ( 2 ( 扣) 删2 ) 多 k = 一o 。j = k - 1j = k l c l l b l l ：, 伽。i a jl p 2 ( k - # ) a 酬2 c i i b l l l , , ，9 ， ( 1 4 ) 故由式( 1 3 ) 和( 1 4 ) 知我们需要的结果成立： d 2 c l l b l l 乞- , , , , i a j l p ( 1 5 ) j = - o o 1 0 第一章广义c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子交换子的有界性 对于d 1 ，先考虑 “6 ，嘲掣饧叫厶，t i l l 弛脚v 驰 = ( i ( 6 ( z ) 一6 ( ) ) 惫扛，可) ) d yj 他w ；2 ( x ) d x j c kj b s ( i ( b ( x ) 一6 ( o ) ) 忌( z ，y ) a i ( y ) d y l 啦递2 ( 。) 如 、 ” s + ( j ( b ( y ) 一6 ( o ) ) 七y ) a j ( y ) d y i 啦凹( x ) d x ) j u kj 丑j = d 】1 + d 1 2 1 q 2 1 q 2( 1 6 ) q 2 d l l = ( 厶i 厶似垆6 ( 0 ) ) ，蜘( 帕阳1 2 ( z ) 埘胁 = ( 厶( z ) 一6 ( o ) ) 上，( 南( z ，可) 一奄( z ，o ) ) ( g ，) 咖i 啦堙( z ) 如) 1 口2 酬1 6 | l 鲫( 厶( z ，印( 器) “m 洲钇潆( z ) 如) 训b i i 脚小x e u c p k 谚( 训v q 2j b ；l 吩( 训( 厶忙p 叼( 器) 啦如) v 啦咖 以i z i 硎圳l 咖嗽嘻( 硼1 屈z if q ( 可) l ( f c f 。l z l 伊( 酱) j 船如) 1 胁妇 硎6 忆咖寺群z ，l 吩( 删( 厶盼p “6 ( 筒) 】船如) v 啦咖 刚6 i | 撕督z ，i ( 训( 厶 h 肛叫器) 】驰1 匏匆 c i i b l l l 印口ni q ( 可) i ( i x l 卢一“伊( i l i y l ) 船d x ) l q 2 w 2 ( ) d y ， ，b j，c k l 撕j ( 厶州鼢 x l ( z - n ) q 2 d x ) = ( 鹄蔫醛 = ( 籍哚竽妁玛z 1 籍皆芸小i ( 1 刊壶 = ( z 1 籍咖i 卜咄加击制( j ( 1 裂巾i ( 1 训去 妯降2 掣( z 1 硒o q 2 ( t ) 净1 - i 妒嗡, i u - 1 ) ( 1 丽o q 2 ( t ) 古 扎l o 2 - k ( n ( 1 - 帮州( 1 籍古， 青岛大学硕士学位论文 = = = = = ；= = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = ： 并且应用j e n s e n 不等式可知 ( z 1 籍蛳1 ( 妻k 厂2 。+ 1 掣蛳= l k 1 c 壹( 口( 2 斟t ) 2 卯) 砚】击c 壹伊( 2 斟- ) 2 印 c 1 豁班舛 则应用h 5 1 d e r 不等式得 d 1 1 鲴1 6 1 j 。m 龇卜2 “h ( 1 嘈卅( j 厂0 1 嬲删口2 咖) 咖 b y 。 c i i b l l 厶, 。2 山h o 一音卜明l a a y ) i l y i 2 ( 秽) 咖 c | | 6 i j 脚口2 - 1 , - 0 - 者h 明( l a j ( y ) l q * w ；- ( 可) 咖) 1 口1 ( y l z q l d y ) z c 6 0 髓即2 - k f “( 1 一音) + 用0 f | l 。l ( 嬲，) 2 j + 牙 。 c i i b l l l 咖口2 一m 1 一音) + 剜夕+ 嚣_ 。( 岛) 】一罟 a j l 咖- 2 一“1 一者+ 纠卢竹”( 1 一击) p l ( b ) 一嚣 c l j 6 | | 脚口。2 u - k ) c a + , , - - v “- p l ( 岛) r 嚣 。 ( 1 7 ) 下面来考虑d 1 2 ，注意到j $ 一y j 一川，可得 d 1 2 = ( i ( b ( y ) 一6 ( o ) ) 后( z ，y ) ( ) 匆i 啦胡2 ( 。) 如) 1 q 2 j qj b j 硎6 忆锄( 厶 上，缘i q ( 删训啦蜉( 。) 如) v 驰 g i l 6 忆咖厶( 厶h 一他如) 1 愚，川卢i ( 训u 。( 夕) 咖 c i | 6 l | 铷2 水叶嚣l y l 芦l a j ( 耖) i 地( ! ，) 咖 ( 1 8 ) c 6 i | “即2 一”+ 嚣夕卢 “( 1 一音) i i | | l 。) c l l b l l l 咖口2 - k n + 虹q 2 + 3 卢+ 3 n - q z p l ( 岛) 一 c j | 6 脚p 2 - k n + k n ( 去一等) + j 口一n 一盥q 1 b l ( b f ) 一嚣 c j j 6j i 三2 0 - k ) ( 卢h 一嚣) p l ( b 2 1 一嚣l - 、 由式( 1 7 ) 和( 1 8 ) 知 ( 悯呵) 圳喝。_ j ，n ( 1 一去) a 岬一扣酬t 一扣阳扎即。妻。2 0 - k ) p n ( 1 - 扣_ 口】蛾故 d 1 c i i b l l 笔锄i j p ， ( 1 9 ) j f f i - o o 综合p al - 对d ，和d 2 的估计即由( 1 5 ) 和( 1 9 ) 式，我们有 | | 【6 t f l l g 毳, ，( 膨) c l l b l l 工咖( m p ) ； j = - o o 1 3 青岛大学硕士学位论文 即 i i b ，t f l i k 蛊，卯) e 0 ，0 日穑，扣。，以，) 定理1 1 证毕 定理1 2 的证明设f 日砑棚p l ，遥1 ) ，由原子分解定理可以把，写成 ，( z ) = a j a j ( x ) ， 其中为中心( a ，q l ；w l ，迸1 ) 原子由于p 2 1 ，从而由j e n s e n 不等式得 i i b ，卅州始，。( 廿) = p - ( 鼠) 】警6 ，t l f ) x 女| | 琵( 毋) ) 去 p t ) p | i ( 6 ，t l f ) x l l 厶也( 母) 一=k 一2 c p 1 ( b ) 】暑( i a a i f ( b ，卅叼) 矶i i 脾和字) ) k = - o o ，2 一。 o 。 + c p z ( 风) 】嚣( i a a i l ( b ，卅) x k o l 衄) ) = g ( d l + d 2 ) 对于d l ，注意到q = n ( 1 一二) 及定理1 1 的证明， i i ( b ，t 口a x k l l 二c l l b l l 工椰2 0 一妒扣一嚣1 p 1 ( b j ) r 告， 其中用到h s l d e r 不等式从而 d l c p 1 ( 鼠) 】詈i i 2 ( j - k ) ( f + n - 嚣p - ( 马) 】- 罟 羔；圣k-2c。胎协扎c 鼢 m2 0 。砷韧- 嚣( 崭) 导 g _ - - 一j = 一o 。 = c 吲2 肼”嚣2 h 加 r = 一，5 一o o 0 0k - - 2 = c n - 2 沪帅扣嗜1 葛。j 5 一。 = c 川( 2 0 - k w ) j = 一。k = j + 2 = g m 第一章广义c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子交换子的有界性 与定理1 1 证明类似，可以得到 岛c i 3 = - 0 0 由0 p t 1 ，综合上面的讨论有 。o 忡，列列端耽，毋) c l i c 【i 川万1 定理1 2 证毕 定理1 3 的证明与定理1 2 的证明完全类似，这里省去细节 还需要说明的是：上述定理1 1 至定理1 3 的结论对相应的非齐次情形也 成立，其证明与定理1 1 至定理1 3 相似，在此也省去细节 1 5 青岛大学硕士学位论文 第二章具有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分交换子的有界性 本章的研究对象是具有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分与b m o ( r n ) 函数b 生成的交换子地l 。b 2 1预备引理及主要结果 最近，陈冬香和陈杰诚( 【2 3 】) 研究了m a r c i n k i e w i c z 积分交换子地2 ，b 在齐次 h e r z 空间砖( r “) 上的有界性，受此启发本章给出了具有粗糙核的m a r c i n k i e w i c z 积分交换子在加权齐次h e r z 空间上的有界性结果； 定理2 1 设0 p o o ，1 q 。o ，叫1 ，0 j 2 a 1 ，且0 2 2 满足 一。 s u l 。p i 。2 。+ 。u ( z ) c2 。一。 i l n 。f k + l0 32k 1 r 7 和a ( - n q ，n ( 1 l r 7 1 q ) + l r ) ； ( i i ) q r 和a ( n c l r l q ) 一1 r ，n ( 1 一l q ) ) ， 其中1 r + 1 r = 1 作为准备工作，首先引进一些概念和符号：b k = z 舯：川2 k ) ， 伉= b k 鼠一1 ，旒= x 瓯为g 的特征函数，k z ，z 表示整数集 定义2 1 f 5 】设a r ，0 p o o ，1 口 0 0 ，叫1 和眈是非负权函数 加权齐次h e r z 空间j 曙巾0 l ，u 2 ) 定义为； 砰p ( u 1 ，眈) = ，现( o ) ，0 3 2 ) ：| i 州哿，o 。，) o 。】， 其中 i l f l 蔚，一p ，胁) = p ，( b k ) 一- h f x t i | 色。 ； 膏z 注2 1 当0 口 0 ，0 d r 且一佗+ ( n 一1 ) d r 卢 o o ，则 ( l q ( z v ) 1 8 i x l a d x ) 1 月e 州卢+ ”) 肛i l n l l l r j i z l a l v l 引理2 2 【2 7 】设马，伉，6 日如上定义对于i k 一引2 ，1 8 0 0 ，有 ( 南厶i b c x ) b b j l ) v o l k _ j | 1 l b l l ” 2 2 定理的证明 则有 定理2 1 的证明( i ) 设，砰9 p 1 ，u 2 ) 记 0 0 ，( z ) = i ( x ) x a x ) = f j ( x ) j = - o o j = - c o l i p f 2 ，b ( y ) l l k 芋，扣。，) = p - ( 口k ) 】叩加0 x p n ，b ( f ) 1 1 2 。( 此) ) 1 加 k - 2 s e p - ( 写b ) 】叩加【i l 矶以2 ，b ( y j ) l l l ( 峨) 】9 ) 1 加 删妻酬叫釜惭坛删b 甜妒 q j k = - 。o j = k - 1 o o + g p - ( 上靠) 】印加【i i 矶p 死b ( f j ) l l n a 。) 1 p ) 1 加 k = - o oj = k + 2 = c ( d 1 + d 2 + d 3 ) 先估计d 2 ，由定理a 知l l b 在l q ( w 2 ) 上有界，因此 k + 1 d 2 = c p 1 ( 上k ) 】a p l n l i x 女p n ，b ( f j ) l l l ( 屹) 】9 1 加 k = - - c l 。 , 4 = k - 1 k + l sc - , 1 ( 玩) 】叩n l q ( 屹删加 ( 2 2 ) 窘一。 j 酣_ 1 p - ) 酬“i i a i i 笔。) ) 1 加 = c i 船，如。，2 ) ， 】7 青岛大学硕士学位论文 对于d 1 ，考虑 = “。9 普辫( 6 ( 妒蛐蝴炉晰肛酬州，口 “忙 l s 。掣( b ( x ) - b ( y ) ) f j ( y ) 1 2 d t t 3 】q 妒 + 上。【rb 9 罟器( 6