（化学工程专业论文）基于优进策略的差分进化算法及其化工应用.pdf

浙，i 大学顾卜学位沦文 摘要 建立准确的模型埘化学t 程的理沦研究和实际鹿川都有重要的意义。由于很 多化i 对象都比较复杂，向且机理也不甚明了，冈此，很难直接通过机理建立准 确的模型。另力。面，完全的经验模型太依赖于样本数据，当样本数据不足，或 者包含有噪音，粗差等，无法准确全面地反映建模对象的特性时，就会降低模型 的可靠性，甚至违反对象的机理。机理分析与经验分析相结合的方法建模可以较 好地解决上述两类方法的不足，。方面由理论分析得到定程度的简化机理方 程，另力面采集实际观测数据，然后采川优化方法确定其i i 的模型i i ，的参数， 共同建立可靠的模型。本文重点研究了基予所建模型作优化计算。主要内容有： 1 1 提出，基于优进策略的差分进化算法，它是种改进的差分进化算法。 此算法不但能根据寻优过程叶i 的信息，智能的调节算法q 1 参数的设置。 而且还加入了单纯形寻优操作和重布操作。测试函数表明此算法能有效 的解决了简甲差分进化算法搜优过程进展的缓慢和比较容易出现的“早 熟”。同时，此算法还成功应1 = | 于化工模型巾的参数估计。 2 ) 提出了判断种群大小的函数，此函数能有效的衡量搜优过程q 1 是否有“早 熟”的趋势，以便预防。作者还提出了只有三点组成的简单的单纯形， 在寻优效果变化不大的情况下，解决了由于多维情况下难以找到凸型而 使荦纯形法难以应川的情况。 3 ) 川多元方差分析的方法分析了简单单纯型寻优精度和重布操作i i 的最小 尺度对寻优结果的影响。结果显示：在用优进差分算法寻优过程。 i ，应 根据具体的函数不同，选川合适的参数。同时，通过方差分析结果，能 初步的了解所要优化的函数的特性。 文章最后对所做的t 作进行了总结，并在此基础i ：，提出了差分算法应该和 神经网络、专家系统柏结合的研究方法。 关键词：优进策略、差分进化算法、单纯形、方差分析、化工建模、参数估计。 t t 浙江大学碗 学位论义 a b s t r a c t a c c u r a t em o d e l sa r ei m p o r t a n t t ot h er e s e a r c ha n da p p l i c a t i o no fc h e m i c a l e n g i n e e r i n g h o w e v e r , m o s tp r o b l e m si nc h e m i c a le n g i n e e r i n ga r ec o m p l e x a n dw e k n o wl i t t l ea b o u tt h e i rp r i n c i p l e s s oi ti sd i f f i c u l tt ob u i l da c c u r a t em o d e l sd i r e c t l yb y t h ef i r s tp r i n c i p l e s o nt h eo t h e rh a n d ，a l t h o u g ht h ew h o l ee x p e r i m e n t a lm o d e l c a nb e b u i l tw i t h o u tt h ep r i n c i p l e s ，i tc o m p l e t e l yr e p l i e so ns a m p l ed a t a w h e ns a m p l ed a t a a r en o te n o u g h ，o rc o n t a i nn o i s e so ra b e r r a n td a t a ，t h e yc a n n o tr e f l e c tt h ep r o p e r t i e so f t h eo b j e c tt ob em o d e l e dv e r yw e l l t h u st h em o d e l sp e r f o r m a n c e sa r ed e g r a d e d - t h e m o d e l sb u i l tb yt h ec o m b i n a t i o no fp r i n c i p l e sa n do b s e r v a t i o nd a t ac a l lo v e r c o m et h e d i s a d v a n t a g e so f t h ea b o v et w om e t h o d s o n es i d e ，s i m p l em o d e l sa r eb u i l tb yt h e i r p r i n c i p l e s ；o nt h eo t h e rs i d e ，o b s e r v a t i o nd a t aa r eo b t a i n e db ye x p e r i m e n t so ro t h e r w a y s t h e nm o r e r e l i a b l em o d e l sa r ec r e a t e db yt h ea b o v ei n f o r m a t i o nv i ao p t i m i z i n g i nt h i sp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h ed i f f e r e n t i a le v o l u t i o na l g o r i t h mb a s eo ne u g e n i c s t r a t e g ya n da p p l i c a t i o nt oc h e m i c a le n g i n e e r i n g ，i n c l u d i n g t h ef o l l o w i n gp a r t s ： 1 ae u g e n i ce v o l u t i o ns t r a t e g yw a sp r o p o s e dt oi m p r o v et h ee f f i c i e n c yo ft h e c o n v e n t i o n a ls i m p l ed i f f e r e n t i a le v o l u t i o na l g o r i t h m ( s d e a ) s e a r c h i n g 、t h e d i f f e r e n t i a l e u g e n i c e v o l u t i o n a l g o r i t h m ( d e e a ) c o l l e c t s t h e p o p u l a t i o n i n f o r m a t i o n a l o n g t h ee v o l u t i o no fc h i l d r e n g e n e r a t i o n s a n dc o n s t r u c t sa d e t e r m i n i s t i co p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ，w h i c hw i l lb ee m b e d d e di nt h ee v o l u t i o n p r o c e s sa ta p p r o p r i a t es t a g et os p e e du pt h el o c a ls e a r c h i n g f o rt h ep o s s i b l e d e t e r m i n i s t i cs e a r c h i n gm e t h o d s ，t h es i m p l es e a r c h i n gm e t h o dw a sf o u n dt o b ef e a s i b l ei ni n t e g r a t i n gw i t ht h ed i f f e r e n t i a le v o l u t i o na l g o r i t h m b e s i d e s ， o f f e r i n g a f r e s hd i s t r i b u t i o no p e r a t i o nt oe s c a p ep r e m a t u r e i s e f f e c t i v e l y m o d i f i e dt h es d e a ，t w o t y p i c a le x a m p l e si n d i c a t e dt h eg o o dp e r f o r m a n c eo f t h ep r o p o s e dm e t h o d f i n a l l y , t h ed e e aw a ss u c c e s s f u l l ya p p l i e dt ot h e n o n l i n e a rp a r a m e t e re s t i m a t i o no f t w om o d e l si nc h e m i c a le n g i n e e r i n g 2 ak i n do fm a t h e m a t i cf u n c t i o ni sc r e a t e dt oe s t i m a t et h e d i v e r s i t y o f 1 1 i 浙江大学硕 学位除文 p o p u l a t i o ni no r d e rt oa v o i dp r c m a t u r e a tt h es a m et i m e ，ao v e r s i m p l i f i e d s i m p l ef o r m e db yo n l yt h r e ep o i n t i so f f e r e d ，i tc a l ls o l v et h ed i f f i c u l t yo ff i n d t h er e a ls i m p l ei nm u l t i d i m e n t i o ni nt h es i m p l es e a r c h i n gm e t h o d 3 ，a n a l y z i n g t h ei n f l u e n c eo ft h et w oo p e r a t i o n s ( t h ep r e c i s i o no fs i m p l e s c a r c h i n g m e t h o da n dm i n i m a ld i v e r s i t yo f p o p u l a t i o nf o ra f r e s hd i s t r i b u t i o n ) u s i n gt w o f a c t o ra n a l y s i s o f v a r i a n c e 。a sar e s u l t ，d i f f e r e n tp a r a m e t e r ss h o u l d b es e ti n o p t i m i z i n gd i f f e r e n t f u n c t i o nw i t hd i f f e r e n t i a le u g e n i ce v o l u t i o n a l g o r i t h m i nt h ee n do ft h i sp a p e r ，w em a k eas u m m a r y a n dd e s c r i b et h ef u t u r ew o r k s ：t h e d i f f e r e n t i a le v o l u t i o n a l g o r i t h m s h o u l db ec o m b i n e dw i t hn e u r a ln e t w o r k ，e x p e r t s y s t e m a n do t h e rk i n d so f i n t e l l i g e n ta g e n t s k e y w o r d ：d i f f e r e n t i a le v o l u t i o n ，e u g e n i cs t r a t e g y ，p a r a m e t e re s t i m a t i o n ，c h e m i c a l e n g i n e e r i n g ，m o d e l i n g ，a n a l y s i so f v a r i a n c e ，s i m p l es e a r c h i n g m e t h o d i v 浙江大学颐 j 学位论义 1 1 引言 第一章绪论 人类为了满足自身的牛存和发展需求，必须和外部环境发牛交互作川。随着 时问的流逝和现代文明的发展，人类所依赖的这种联系方式变得日趋复杂并多样 化。人类在科学丰1 ：1r l 程技术上所作的研究就是努力理解真实世界、改进和加强与 真实世界发牛联系的方式、并能不断更深入地掌握改变世界的技术。随着科学和 工程技术的发展，人们认识自然和改造自然的能力和手段也不断增强。人类活动 的科学研究i i i 的绝大部分工作是：认识世界和改造世界。改造世界的基础在于准 确地认识世界。为了准确地认识世界，人们对认识世界的要求不断从粗略的定性 形式向越米越精确的定量形式发展。对客观世界的任何一个研究对象的定量认 识，就是1 个对它建立模型的问题。在人们使州过的各类模型巾，又以数学模型 最为有t h ：j 。尤其在计算机出现以后，使得人们能够更加便捷和精确地对复杂对象 和复杂系统进行建模与优化。如今建模和优化已成为当今现代科学技术中定量研 究的丰要内容之一。 专业科技人员常刷的建模方法首先根据具体问题对所研究的对象做出机理 假设，据此提出初步的数学模型，建立摹本方程。然后通过数值计算，获得数值 结果。同时通过实验测定，榆查数值结果，再根据两者的差异进步修正模型。 反复进行上述过程，最终获得能够反应研究对象的可j u 模型。这利i 砬过研究对象 的机理，获得其模型的方法，被人们称为机理建模方法。 在现实世界 1 存在着大量对其内在机理不明的对象，但却可通过稃利t 方式获 得研究对象的各l t j b 部表现数据。其l | j 有些是可以直接得到的，有些则需通过各 i i n 量手段得到。要获得这类对象的模型，不能通过机理分析米建模的研究方法 去解决，它们需要其他的解决方法。这种通过观测数据建立研究对象的经验模型 米认识事物的方法，是类非机理建模方法，也可称之为经验建模方法。 另有类采1 j 机那分析与经验分析柏结台的方法建模。方面由坪论分析得 浙江大学颤卜学位晗文 到定程度的简化机耻山程，另方面采集实际观测数据，然后采t j 某利r 方法确 定其i i 的参数。这类方法又被称为半机理半经验建模方法。这类机坪与经验相结 合的方法又有两利r 不同的形式：是由机理构造一1 个框架，确定诤| | 方程形式， 然后根据观测数据米求出其一lr 的参数或系数；二是对机理非常复杂的对象，采刖 r 1 个经验模型构造框架来确定方程形式，然后将局部的必须满足的机坪条件作为 约束米求m 方程参数值，这就是所谓结合先验知识的经验建模方法。 在机理、非机理以及半机理半经验这三类建模方法r h 在很大程度上二均依赖 于“人”和“对象”之问交可行为所获得的观测数据。一切可实川模型的基础都 必须建立存观测数据之【二。机理模型r | 1 的物性参数，需要由观测数据米确定；机 理模型的正确性与否，要通过观测数据来验证：非机理模型往往要通过观测数据 米确定其隐含的自变量、因变量关系。因此，基于观测数据的建模和参数估计是 所有建模方法t ir 最为根本的技术。 1 2 化学化工对象建模的意义 在化学工业实际牛产操作中，并不像一般想象的那样，凡是遵守操作规程或 实行自动控制的牛产过程都是条件最优的。实际情况是，生产t i 常常偏离最优操 作。原冈很多0 1 ： ( 1 )牛产原料来源发牛变化，导致原料的性能指标有差异，有时差异相 ! 1 大。例如，来自不同油田的原油，其成分相差很大，有时甚至同 油田巧i 同油井成分也相差不小，如果仍按同一操作条件米对待这 些不同原油成分的油晶，炼油生产就不能达到最优。 ( 2 ) 生产负荷的变化，导致最优操作区的变化。一套装置由于原料或市 场的原冈，需要超负荷或低负荷运行时，如果仍维持常规运行条件， 肯定不能达到最优操作状态。 ( 3 )流程：r ：艺的前后工段发生变化，使最优操作也要做相应的调整。当 个1 ：段增添了新设备或t 序有了革新，则原来与之相协调的前后 1 ：段的t 艺条件就需要发生变化，随之而来操作也不会再是原有的 最优区。 浙江大学碗f j 学位论史 ( 4 )产6 6 要求和市场状况的变动使最优区偏离。t 业产品的规格要求、 原料以及产6 价格常有变化和差异，要在这种变化一ir 达到最优操作， 操作条件要随之而动。尤其在加入w t o 后，受到国际市场的影响， 这点将表现得柑当突出。如对炼油厂，在原油价格低廉时，律科：不 i + 分重视收率，而注重其它经济指标，而原油价格上涨时，则原油 的消耗就成为相! 重要的指标。 由此可见，实际卜产i i i ，由于各种各样的原冈，使得生产偏离( 或需要偏离) 原有的最优区，这就使得实际的牛成过程中也需要针对现行的运行条件重新建模 及綦于模型的操作条件优化，以使操作处于最优状态。 研究变化后的新情况，使t 艺操作重新回到最优i 篡，对牛产的经济效益具 有重大的影响。在生产流程已确定、生产设备已建成的前提下，通过对过程或某 操作甲兀进行优化调整往往能取得较好的实际效果。冈此，针对过程或操作单元 的建模优化_ ：= 作应视为现代企业提高生产效率，降低生产成本，增加市场竞争力 的一种重要手段，具有现实意义。 1 3 基于观测数据的建模 潘正君曾归纳出基于观测数据建模的形式化定义。”： 设 ( x ，y 。) ；x ，x ，y 。y ，i ，) 是给定的输入输出数据集，这里x ，y 都是实 有限维空问的子集，i 是指标集；又若f 是c ( x ) ( c ( x ) 是x 上所有连续函数全 体) 的个子集，p 是定义在乘积空问g y 上的一一个距离，则建模问题便是确定 一个函数f f 使得对任意f f 有 p ( ，+ ( 一) ) ，f y ，) ) 户( ，( 而) ) ， n ) ) ( 1 一1 ) 成立，或使得对某给定的s 0 有 p ( + ( 耳。) ， ，：) ) s ( 1 2 ) 南( 卜1 ) 和( 卜2 ) 可知，建模问题实际上可看成是如下的个优化问题： r a 似i n p ( ，( _ ) ) ，) ( 1 - 3 ) 浙江大学硕卜学位沦立 传统的基j 二观测数据的觯决建模问题方法巾最常j h 的是线性回归类方法( 包 括最小_ 乘回归、岭回归、丰成分回归等等) ，这些方法的求解是通过一系列的 求解公式进行，可视为利- 特殊的优化问题。对于：l 线性回归( 包括数据拟合、 回归分析及逼近论等等) 方法，问题就转化为确定某 给定函数- f i 的参数问题， 需要些优化力法进行求解。 优化方法是本文关注的重点，建模和优化的关系可细分为：( 1 ) 已经建好模 型川以作优化计算。( 2 ) 在建模过程巾优化模型结构。( 3 ) 在建模过程【l 优化模 型参数。 本文所做的优化研究与所建模型的关系为第利t ，即基于所建模型作优化计 算。 经典优化方法种类繁多，也较成熟，如牛顿法，最速梯度法“1 等，但所优化 的问题必须要有明确的函数表达形式。当函数形式过于复杂，或函数不满足优化 方法的某些要求，如连续可导，经典优化方法难于胜任。由s t o r n 和p r i c e 于 1 9 9 5 年提出的差分进化算法是种随机的并行直接搜索算法5 卅，简单易用，以 其稳健性和强大的仝局寻优能力已在多个领域取得成功“3 。常规的差分进化算法 ( s i m p l ed i f f e r e n t i a le v o l u t i o na l g o r i t h m ，s d e a ) 由父代问的差异产牛子 代，易于“早熟”，同时，s d e 完全以随机性的概率转换机制代替确定性的机理 转换机制，可能导致搜优过程进展卜分缓慢。本文拟提出基于优进策略( e u g e n i c e v o l u t i o n ) 的差分进化算法，简称差分优进算法( d i f f e r e n t i a le u g e n i c e v o l u t i o na l g o r i t h m ，d e e a ) ，它借鉴生物繁衍的优牛思想，将机理转换与概率 转换相结合，在随机性的“自然进化”的进程中融合进确定性的“能动”因素， 川以克服s d e a 的弱点。 本文的内容是这样组织的： 全文共分六章。 第章绪论绪论根据现代化学化工对象的特点，强调了建立化学化t 对 象模型的重要性，并指出了本文研究重点在基于观测数据的统计学习建模方法i l i 的优化。 第二章基于观测数据建模的优化方法介绍了目前在化学化工对象优化巾 浙江大学砸l 学位沦义 常川的方法以及近几年米发展比较快的遗传算法，分别介绍了经典的二 e 线性优化 方法( 包括黄金分割法、抛物线法、最速梯度法、牛顿法、甲纯型法、鲍威尔法) 和遗传算法的步骤与优缺j 囊。 笫三章基于优生演进策略的差分算法优化算法是半机理半经验建模的关 键技术。冈此，有很多学者都花很大精力研究优化算法。差分算法是种全局寻 优性能良好的优化方法。冈此，本章针对简单差分算法容易早熟、全局寻优效率 偏低等缺点。提出了基于优生演进策略的差分算法( d e e a ) 以改进简单遗传算法 ( s d e a ) 的性能。测试函数的效果表明优牛演进策略的运用很有效。 第四章优进演进策略的差分算法在化工中的应用本章将优进差分应川于 铯一铷一钒系低温硫酸催化剂上s o 。氧化反应模型参数和重油热解集总模型参数 的估计，并与简荦遗传算法性能进行了比较。结果表明优牛演进策略的运刚相当 成功。 第五章差分算法中的优进策略分析本章用多元方差法分析了优进策略寻 优操作和重布操作对算法结果的影响。测试函数和实例显示：对不同的丌标函数， 这二个操作所起到的作川丰i = i 差很大，因此在应川优进差分算法对1 1 标函数进行优 化时应该选_ ：】1 合适的参数，以期达到较好的优化效果。 第六章总结与展望总结了本文整个的研究工作，并提出了进步的研究 方向。 浙江大学硕l 学位论文 第二章基于观测数据建模的优化方法 本章叙述r 基于观测数据的化学化工对象优化的t 要方法，并对各种优化力 法进行丁较为详细的分析和讨论，总结备种方法的优缺点。 2 1 引言 早在1 7 世纪在欧洲就有入提出了各种求最大最小的问题。以及某些求极大 极小的法则f f l 当时还没有系统的理论。微积分理论的建立给出了求函数极值的必 要条件，为最优化问题的解决提供了理论基础。然而以后的二、三百年间，这方 面的发展是缓慢的。这期问的工作只考虑了有约束的复杂情况。并发展了一套变 分方法、但j 。1 我们门j 这些精确的分析方法来处弹具体的优化问题时却遇到了很大 的喇难，吲为它所归结成的数学问题通常是极其难于处理的常常使人一筹莫展， 所以说这时月的t 作没有能够为真正解决最优化问题提供有效的好办法。第二 次世界大战l h 由于军事上的需要产生了运筹学，提出了大量不能用古典方法觯 决的最优化问题【8 4 】。第二次世界大战后，最优化理论和方法迅速发展起来，随 着现代儿牛产的发展和科学技术的进步，最优化理论和方法日益受到人们的重 视。现在它已渗透到生产、管理、商业、军事、决策等备领域。 2 2 经典的非线性优化方法 非线性最优化方法丰要有一维搜索、无约束优化方法和约束最优化力法三大 类，维搜索丰要有：黄金分割法、二次抛物线法等等；无约束优化方法可分为 解析法和直接法二类，梯度法主要有：最速下降法、十i 顷法等等；直接法主要有： 鲍威尔法、甲纯型法等；有约束的最优化方法主要有：内外罚函数法。本节丰要 对前二类的方法作简单介绍、分析和比较。 浙汀大学硕l + 学位论文 2 2 1 一维搜索 在大多数优化算法一ir ，为1 n 角定极小化点列，要沿逐次确定的系列射线求 檄小值，即所谓的一维搜索可归结为甲变量函数的极小化问题。设1 标函数为 _ ，( x ) ，过点x 沿方向d 的直线可用点集表示，记作 l = x lx = x + 五- d ，一o o a i ，刿k 么d = 玎l ； 如果口2 a 1 ，那么b = 口，； 区问 日，b 为所求。 浙江大学坝j 学位论文 2 2 1 2 黄金分割法 一、基本思想：按照对称、稳定的选点法则将区问进行分割，进而按同定比 例确定保留1 式问。 二、方法步骤： 在给定区问 d ，日：】上，个试验点a 。取在 a ，0 2 的0 6 1 8 位置上，另。个试 验点q 取存 日。，a ： 的0 3 8 2 位置上，即a ，与a 。为区问【a l , a ：】上的两个对称点。 a 3 = d i + o 3 8 2 ( a 2 4 1 ) 4 = 日1 + o 6 1 8 ( a 2 一a 1 ) 若函数f ( a ，) f ( a 。) 说明d ，是好点，极小点必在 口，a 。 之内。否则在 吼，d ： 之内。然后在保留区问内继续取点，连续n 一1 次缩短后，最后的区问为： 0 6 1 8 ( n - t ) ( 口2 一a i ) 应满足精度要求，若相对精度为占，则0 6 1 8 “1 s 。 具体步骤： ( 1 ) 确定试点个数。 根据精度要求，o 6 1 8 卅1 1 。，则n i n 6 i n 0 6 1 8 ，n 为整数， n = 1 n t ( i n s i n 0 ，6 1 8 1 十1 。 ( 2 ) 取试点( 令f = 0 6 1 8 ) d 3 = n 2 + r ( a l a 2 )口4 = 口l + f ( 2 一d i ) 计算f ( a ，) ，f ( a 。) ，并令 ( 3 ) 比较六和 如果 ，令 六= f ( a ，) ，厶= f ( a 。) 口2 = a 4 ；a 4 = 口3 ；六= 六 浙江大学硕1 学位论文 a 3 = a 2 十f ( d 1 一a 2 ) ： = f ( a 3 ) a 1 = 吩；a 3 = a 4 ； = 六 口4 = a 1 + r ( a 2 一口1 ) ；正= f ( a 4 ) ； ( 4 ) 上述计算从一l 开始，以1 为步长，直到1 为止。 ( 5 ) l - l 较l 与工，如果六 ，4 ，则口，为极小点，厶为极小值。否则日。极小 点，六极小值 三、优缺点：区问缩短率与计算次数呈指数关系，因而收敛较快，对函数形 式无特殊要求，计算简单。对于区间内有多个极值的问题无法解决。 2 2 1 2 抛物线法 用多项武逼近函数是种常用的方法。在求一元函数的极小点问题上我们可 以利”j 若干点处的函数值来构造个多项式，用这个多项式的极小点做为原米函 数极小点的近似值。抛物线法就是一个川二次函数米逼近f ( x ) 的方法，这也是 我们常说的二次插值法 设在已知的三点x l x 2 处对应的函数值，( ) = z ，i = 0 , i ，2 ，且满足 、) q ， 。 0 ，有lx 。一；| 0 则有 一x = x o + 揣缸 ( 2 4 ) 由抛物线法产生的序列收敛于它的极小点x + 。可以证明抛物线法时超线性收 敛的。 具体步骤： 已知三点x ， 0 。 ( 1 ) 若x l x 2 峰s l ，贝转至01 0 ； ( 2 ) 若l ( x ：x 0 ) f l + ( z ，一x ：) 兀+ ( x 。一x 1 ) l s ：，贝0 转1 0 ； ( 3 ) 按公式( 2 4 ) 计算；，并计算7 = ( _ ) ； ( 4 ) 若兀一7 0 ，转5 ： ( 5 ) 若x 。 x ，则令x ：= x o ，= ；， = f o ，f o = 7 ，转到l ；否则( x o 0 ，取初始向量x o ，并令k = 0 ； ( 2 ) 计算搜索方i 柚v f + = v ( x ) ； ( 3 ) 若| | 耵l i s ，则x = x i ，停；否则，4 a = - v f ( x 环v 7 w l l ，由1 维 搜索求步长a ，使得 ，( x + a k d ) = 嘧f ( x + n d ) ( 4 ) 令x 州= x + d d ，k = k + 1 ，转2 ： 2 2 - 2 _ 2 牛顿法 设x 为f ( x ) 的极小点x + 的个近似，将f ( x ) 在x 附近作泰勒展开，有 厂( x ) = ，( x ) + v ( x ) 7 ( x - x k ) + i 1 ( x 一。) 7 i 敢一) ( x x ) + 刮l x x 1 1 2 ) ( 2 - 6 ) 其h h ( x ) = a 2 ，( x ) ( a x ) 2 a 2 f ( x 1 叙2 扭【 a 2 f ( x 、 孤h 叙1 a 2 f ( x 、 扭。叔l a 2 f ( x 、 叙1 叙2 0 2 f ( x ) ( a x 2 ) 2 a ! f ( x 、 孤。一1 a x2 a 2 f ( x 、 孤。孤2 a 2 f ( x 1 扭l 叙h a 2 f ( x 1 缸2 缸h a 2 f ( x 、 ( 叙) 2 a 2 f ( x ) 良。a x h a 2 f ( x 、 扭l 孤。 a 2 f ( x 1 扭2 扭。 a 2 ( x ) 孤h 缸。 a 2 f ( x 、 ( 缸。) 2 假设( x ) 在点x 。的t t e s s e 矩阵n ( x 。) 是非奇异的，则f ( x ) 的二阶近似 ( 2 7 ) 浙江大学硕l 。学位论文 ，( x 。) + v f ( x 。) r ( x - - x k ) + ：1 ( x - - x k ) h ( x 。) ( x - - x k ) ( 28 ) 的平稳点是 x = x 。- h ( x 。) v f ( x 。) ( 2 9 ) 我们可取x 。作为- ，( x ) 的平稳点的第女+ 1 次近似点，这就是古典牛顿力法的基本 思想。在这个方法的迭代公式一29 ) ，搜索方向是_ h ( x 。) _ 【w ( x 。) ，步长则 恒取为l 。 具体步骤： ( 1 ) 选取初始点x 。，= 0 。 ( 2 ) 计算v ( x 。) ，如果w ( x t ) = 0 ，计算终止；否则，计算h e s s e 矩h ( x i ) ， 并且求出搜索方向d 。= _ h ( x 。) 一v 丁( x 。) 。 ( 3 ) 令x = x l + d t ，以七+ 1 代替女，返回( 2 ) 。 牛顿法的优点是收敛速度非常快。但缺点也有很多，比如：需要求| _ = _ i 标函数 的海森矩阵u ( x ) 和它的逆矩阵：计算工作量和占用计算机的存贮空问都比较大； h ( x ) 必须是非奇异的；即使h ( x ) 是非奇异的，也不能保证算法就一定收敛等。 2 _ 2 2 3 单纯形法 所谓单纯形法是指在”维设计空问巾，由”+ 1 个定点构成的一个多面体。 对于具有r 个设计变量的问题，我们就选择n + 1 个面体的单纯形。如果”+ 1 个顶点之问的距离均相等，即边长相等的单纯形称谓正规甲纯形。 单纯形法是直接法，即利用 + 1 个顶点的函数值进行比较，丢掉最坏点， 并按定的姚则去寻找一个新点。此新点与前面保留的”个点又组成1 个新的单 纯形。如此进行下去，逐次逼近极小点。 具体步骤： ( 1 ) 取初始点x o ，棱长f ，形成棱长为t 的正单纯形x o ，x 1 ，x ”； 4 浙江大学坝卜学位论文 ( 2 ) 计算并比较各点x o ，x 1 ，x “的函数值，将它们从小到大重新排列，不 妨设重排后就是x o ，x 1 ，x “，称x o 为最好点，x “为最坏点 ( 3 ) 求出x ox 1 ，x 叫的重心y = x o + x + + x 肛1 ； ( 4 ) ( 反射) 求出最坏点x ”关于y 的反射点z ：三( x 。- - x i + + x n - i ) 一x ”； ” ( 5 ) 求，( z ) ，并t 7 f ( x 。) ，f ( x “) 进行比较，若( z ) f ( x o ) ，此即zl l x 。 还要好，转6 ：若厂( z ) f ( x ”1 ) ，即产生了一个新的坏点，转7 ：若 f ( x o ) 厂( z ) f ( x ”。) ，以z 代替x ”，返回2 ( 6 ) ( 扩张) 令w = y + 2 ( z y ) ，计算，( w ) 。若，( w ) ， 1 iy + i i ( z y ) ，帮( z ) 0 。 | p ，十o 0 5 ( 1 一p ，) ，i f ( 盖8 瑶? 。) 量 p 。= p 。- 0 0 5 p ，i f s i ( 彬。) s 2 ( 3 6 ) lp 。， o t h e r w i s e 浙江大学硕l j 学位论文 3 4 3d e e a 的实施 将优化几标设置为适麻值函数p e ( w ) ，d e e a 实施步骤的前6 步弓s d e a 基本 相同，仪在第1 步还应选定卜- 限五。和寻优率初值儿，第4 步的循环范嗣为5 8 步。第7 步后为： ( 7 ) 单纯形寻优操作：在 0 ，1 内均匀地取随机数r ，若r p ，则转至8 ， 否则执行本操作，先由w ? 与2 个随机选取的个体w ? 和? 形成寻优初始 型，麻川单纯形方法寻优，得最优个体h ，替代? 。初始型只取3 个 点，可确保为凸型。 ( 8 ) 选择操作：与s d e 的第7 步相同。 ( 9 ) g + 1 斗g 。 ( 1 0 ) 重布操作：按( 5 ) 式计算驴值，若 t i n i 。执行重布操作。 ( 1 0 ) 按( 6 ) 式改变寻优率。 ( 1 1 ) 若g 超过最大进化代数n m ，或者笫g 代和第g + 代的最优适麻值之 差小于等- f e p s ，则转至1 3 ，否则返至3 。其中k 、e p s 与s d e a 的相同。 浙江夫学坝l 学位论文 图3 2 优进差分算法的运算流程 f i g 3 - 2d i a g r a mo fd i f f e r e n t i a le u g e n i ce v o l u t i o na l g o r i t h m 3 5 算法测试 采川( 7 ) ( 8 )式所示的测试函数“ 睁 贵 十， 验证修正的差分进化算法的有效性。 x ， - 4 0 0 ，4 0 0 】 ( 3 7 ) 立 。脚 = f 浙江大学 _ l i ii 学位沦文 五= 0 0 0 2 十 f + ( x ， = 0 x l ，x 2 一6 5 5 3 6 ，6 5 5 3 6 ( 3 8 ) 其中a 。o = 一3 2 ，一1 6 ，0 ，1 6 ，3 2 ，i = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ，a o = 日d5 ，o a ，1 = 一3 2 ，一1 6 ，0 ，1 6 ，3 2 ，i = 0 , 5 ，1 0 ，1 5 ，2 0 ，a n = a ”k = 1 , 2 ，3 ，4 。 函数e 在x = 0 处有最小值0 ，函数最在x = - 3 2 ，x ：= - 3 2 处有最小值0 9 8 0 0 4 这二个甬数最优值周围存在很多局部最小”1 。分别1 s d e a 和d e e a 搜优。两剩r 算 法所川的参数值为n p = 3 0 ，c r = o 0 5 ，f = 0 6 ，k = 3 0 ，n m = 1 0 0 0 和 e p s = 1 0 一；另外d e e a 还有五m m = 0 0 1 和p ：= 0 0 5 。为减少偶然性共运行3 0 次 两种算法每次的初始种群相同。各代的最优适应值( 为3 0 次的平均值) 随代数 的变化如图4 - 3 ( 对应函数只) 和图4 4 ( 对应函数五) 所示，它们清晰地显示出 d e e a 的寻优速度和寻优质量均优于s d e a 。 代数g e n e r a t i o n 图3 - 3d e e a 与s d e a 寻优过程趋势比较 f i g - 3 _ 3 0 p t i m i z ep r o c e s s c o m p a r i s o no f d e e a v e r s u s s d e a 3 3 镕uli=8捌域恻筝喇 浙江大学硕卜学位论艾 图3 - 4d e e a 与s d e a 寻优过程趋势比较 f i g 3 - 4o p t i m i z ep r o e e s sc o m p a r i s o n o f d e e a v e r s u ss d e a 设i ( x ) 一f ( x + ) 喀1 0 “时，认为已得到最优解。两种算法在3 0 次运行巾所得 最优解的次数、最小代数、