（基础数学专业论文）ree群、suzuki群的极大幺幂子群的自同构(1).pdf

湘潭大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人或集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：曹疲日期：j d 略年中月，8日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湘潭大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密财。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：嗜粒日期：) 呱年卒月j g 日 导师签名：杌扩 日期：啷厂年群月，孑日 提要 设f 是一个特征为2 的q 元有限域，2 f 4 f 0 ) ，z b ：口) 分别是域p 上 的一型r e e 群和s u z u k i 群；再设f 是一个特征为3 有限域，2 g 2 是 f 上的g ：型r e e 群我们知道，这三个群又叫做有限扭c h e v a l l e y 群， 它们都是由其幺幂子群u 一和v - 生成本文的目的是要讨论极大幺 幂子群驴的自同构在文中，我们定义了u - 的四种标准自同构，并 且证明了它们生成了u - 的白同构群a u tu - 首先分别列出2 ( f ) ，2 助，2 函的极大幺幂子群u 1 的基础生 成元如下： ( i ) 2 f 4 ( f ) 的【，1 ： 0 ( 1 ( 0 = a 2 ( f ) = r e ( t ) = 0 ( 4 ( 0 = 0 5 = a 6 ( 0 = a 7 ( 0 = d 8 ( o = 0 ( 9 ( 0 = t o o ( t ) = a l l ( 力= o ( 1 2 ( f ) = u = ( i i ) 2 8 2 ( f ) 的驴： o ( f ) = f l ( t ) = u 1 = x 4 ( t o ) x 3 4 ，( t ) x 3 ( t ”1 ) ， 工3 ( 护) x 3 4 ( 0 ， x 1 2 , 3 , 4 , ( 1 。) x 2 3 ，( o ， x 1 2 y 4 ( ，) 耽十( f h l 2 3 4 ( t o + 1 ) ， x 2 ( d ) x ”q ) x l ( 1 ) ， x 1 2 3 4 ( ，) 她4 砸n 1 2 3 4 ( t o + 1 ) ， x 1 2 3 4 ( 1 。) 。2 3 ( 0 ， x 1 2 3 4 ( 1 。) x 1 3 ，( o ， x 1 2 3 ，4 ( t 8 ) x 1 4 ，( ，) ， x 1 2 3 4 , ( t 。) z 1 4 ( 0 ， x 1 2 3 4 ( ，) x 1 3 ( r ) ， x i ( ，) x 1 2 ( f ) ， ( a 加) l1 i 1 2 ，f 矿) x a ( ，) 粕( 0 如+ 6 ( t 2 0 + i ) ， x a + b ( 尸) 动。+ ( ，) ， ( a ( 0 i 口( f ) 4 = 1 ，f f + ) ( i ) 2 g 2 ( f ) 的u 1 ： o ( 0 = x o ( t 。) x 6 ( f ) 靠( ，“) x 2 m ( f 2 ) ， 觑f ) = x a + b c ) x 3 m ( 力， 7 ( 0 = x 2 。+ 6 ( f 8 ) x m 2 6 ( n u 1 = ( a f t ) j o ( f ) 9 = 1 ，f f + ， 生成元之间的换位子公式如下： 情况( i ) 【a ：( 0 ，a j ( 甜) 】 = 0 j ( t u 2 。+ t 2 。u ) ， ( f ，力= ( 1 ，2 ) ，( 4 ，8 ) ，( 5 ，1 2 ) ，( 6 ，1 1 ) j a i l ( t ) ，0 3 ) 】= 0 1 2 ( t u ) ， 陋1 0 ( f ) ，0 4 ) 】= 0 1 2 ( f “) ， o ( 0 ，0 1 ( 纠= 0 i ( t u ) ， d 9 ( 0 ，0 6 ( “) = 0 n ( t u ) ， 【0 9 ( 0 ，0 2 ( = 0 ( t u ) ， 0 9 ( f ) ，a 1 ( ) = 0 1 0 ( t u 2 0 ) 0 1 1 ( “2 1 ) 0 1 2 c 。计) ， 口8 ( f ) ，理7 ( ) = 口1 2 ( f “) ， 口8 ( f ) ，0 2 0 ) 】= 0 1 0 ( f “) d l l ( t u 2 。) 口1 2 ( f 2 8 材) ， 口8 ( 0 ，。l ( “) = 。9 ( 柳。l l ( t u 2 0 + 2 ) a 1 2 ( t 2 。矿。+ 1 ) ， 陋7 ( 力，口5 ( 功】= 0 l l ( t u ) ， 【0 7 ( f ) ，( h ( 】 = 。l o ( f “2 。) a l l ( f 2 。0 1 2 ( f 甜2 抖1 ) ， 【口7 ( f ) ，( = 0 9 ( t u 2 勺口1 0 ( f 2 8 ， 。6 ( f ) ，口5 ( “) = 0 l o ( t u ) ， a 6 ( f ) ，口3 ( 砧) = 0 8 ( t d 8 ) 哪( f 2 。n ) 口1 2 ( f 2 “1 “) ， ( f ) ，口i ( “) = 口7 ( 蜘， 球5 ( 0 ，口4 ( “) 】 = a 9 ( f ) ， 0 5 ( 0 ，口3 ( “) = d 8 ( f “) ， 0 4 ( 0 ，t 2 2 ( ) = 0 7 ( t u ) a l l ( ，2 8 + 1 “2 8 ) 口1 2 ( t 2 0 + 2 “) ， 3 口4 ( 力，o i ( “) = ( 0 ，叻0 ) = 球3 ( 力，口1 ( “) = 情况( i i ) 情况( i i i ) 口5 c 9 “) 口6 ( t u 2 8 ) 。7 ( t u 2 n 1 ) a 9 c “1 “) 口l l ( t 2 “1 2 0 + 2 ) 口1 2 c 。+ 2 i t 2 。+ 1 ) ， d 5 c 8 曲d 6 ( f ) 口7 ( t u 2 8 ) 口8 ( t 2 肝1 “) a 9 ( r 2 8 + 1 “2 。) o ：l o ( t 2 “1 “2 ) d 2 。+ 2 “2 ) ， a 4 ( t u ) a 1 5 ( f 2 8 矿8 + 1 ) 口7 ( t u 2 “2 ) 口8 ( t 2 8 + 1 矿抖1 ) o 匆( f 2 8 + 1 “2 8 + 2 ) 口1 0 c 肌1 d 4 f l + 2 ) 口1 l ( 产。+ 1 4 “3 ) a 1 2 ( t 2 8 + 2 4 0 + 3 ) 口( f ) ，口( “) 】 =d ( f ) 一1 。( “) 一1 口( f ) 口 ) = 口( f ) 3 口( “) 3 0 ( f ) a ( = n t u 2 。+ t 2 0 n a ( 0 ，口( ) = 。( f ) 一1 口( ) 一1o ( f ) o ( “) =。( f ) 8 口( “) 8 。( 0o ( “) = 卢( f 3 8 甜一t u 3 。) ，( 户8 l , 1 2 一f 2 甜3 8 + f 矿8 + 1 一t 3 0 + l 砷 口( 0 ，卢( “) 】= o ( f ) - 1 觑“) _ 1a ( f ) 卢( “) = a ( 0 瓢“) 2 口( f ) 卢( “) = y ( t u ) 下面是扩的四类标准自同构的定义 1 对角自同构 设x 是根格p = z o 的耻特征标乘群，则每个a - e z 诱导一( f ) ，b 2 ( f ) ， g z 口) 的一个自同构毛：蕾( f ) 卜鼻( 一，) 如果满足性质：vrem ，七( p ) = o d r ) ) 州j ) ，即下图是交换图： 0 ! jf + 一ll 州n ，一 中_ 珂+ 4 则称x 是p 一不变的 设_ c x 是p 一不变的，易知u 1 在咴的作用下不变，从而喀确定 了u 的一个自同构，称为对角自同构，不妨仍用畋表示它对u 1 的 生成元的作用如下： 或 d ，( f ) = 嘶( 一2 8 f ) ， 矗 口( f ) = a ( 6 ) f ) 其中，是生成元。；( 力的表达式中的下标根向量集r ；中的第一个元 2 域自同构 设，是域f 的任一自同构，则该自同构诱导出群目，曰： 和 g ：的一个自同构叩，：耳( f ) 卜耳( f ，) 由f 是有限域易知，f 0 = 0 。厂， 由此推出u ，在w 的作用下不变，从而w 确定了u 1 的一个自同构， 称为域自同构，不妨仍用计表示它对u 1 的生成元的作用如下： w b ( r ) 】 q f 【d ( f ) 】 = 口f ( ，) ， = 口r t s ) 3 中，心自同构 设g 是一群，沙a u t ( g ) ，如果驴满足性质：v g g ，都有g - 1 妒 z ( g ) ，则称妒为g 的中心自同构记u 1 的所有中心自同构组成的群 为匹 设c 是2 f 4 ( f ) 的子群u 1 到其中心u 8 的一个同态，并且k e r c = u 2 容易验证映射儿：x x e ( x ) ，v x u - ，是u 1 的一个中心自同构，该自同 构令u l 的换位子群驴中的每一个元素不变，因此它由对a t ( ，) ，a 3 ( t ) 的作用确定设 。( o ，( 0 ) = 口f ( f ) 0 1 2 p ，( f ) ) ，i = l ，3 ， ( 1 1 ) 则c ，。是域f 的加群的自同态，并且m 由c hc 3 唯一确定反之，f + 的任意两个自同态c h c 3 可以确定的一个中- t l - 自同构它对 0 ，。( f ) 叻( f ) 的作用由( 1 1 ) 给出，而令导群泸的每一个元素不变 vc e n d 矿，它确定2 口：( f ) 的幺幂子群u 1 的中心自同构m ，并且 fa ( f ) hc e ( t ) f l ( c ( t ) ) i 卢( f ) 一卢( f ) vc e n d 口+ ，它确定2 g 2 ( 聊的幺幂子群u 1 的中心自同构芦。，并且 io ( f ) + a ( f ) ，( c ( 0 ) 卢( f ) - + 卢( 力 i “f ) 一“f ) 4 内自同构 设y 是u 1 的一个取定元素，映射q ：x y - i x y 是u 1 的一个内 自同构 由生成元的换位子公式可知，对于u 的任意内自同构o a ，n = n 嘶，都有o a 平凡作用u 1r o o dw 2 ，而且吒1 = 0 a - 将u 1 的自同构群，内自同构群分别记为a u t u 一，i n n u ，则有 u 1 i z ( u 1 ) gi n nu 1 i n nu 1q a u tu 1 本文的主要结果是下面两个定理： 定理1 设妒是r e e 群的极大幺幂子群u 的任一自同构，则存在 u 1 的对角自同构露，域自同构w ，内自同构。和中心自同构m ，使 祷译= d q f o a - ”c 。 定理2 设u 1 是s u z u k i 群2 口z 的极大幺幂子群，那么u 1 的任意 自同构妒都能写成对角自同构西，域自同构，和中心自同构比的乘 积 6 s u m m a r y l e t f b e a f i n r e f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c 2 t h a t c o n t a i n s qe l e m e n t s ，l e t2 f 4 f f ) ， 2 8 2 ( f ) b et h er e eg r o u po f t y p ef 4a n ds u z u k ig r o u po v e rt h ef i e l df ，r e s p e c t i v e l y ； l e tfb eaf i n n ef i e l do f c h a r a e t e r i s t i c3a n d2 g 2 b et h er e eg r o u po f t y p eg 2o v e r f w ek n o wt h a tt h e s et h r e eg r o u p sa r ec a l l e df i n i t et w i n e dc h e v a l l e yg r o u p s t h e y a r ea l lg e n e r a t e db yt h eu n i p o t e n ts u b g r o u p s ，u 1a n dv 1o f t h e m s e l v e s t h ep u r - p o s e o f t h i s p a p e r i s t o d e t e r m i n e t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p o f t h e m a x i m a l t m i p o t e n t s u b g r o u p s ，u 1 i nt h cp a p e r ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no f f o u r k i n d so fs t a n d a r da u - t o m o r p h i s m sa n dt h e n ，w ep r o v et h a tt h e s es t a n d a r da u t o m o r p h i s m sg e n e r a t et h e a u t o m o r p h i s mg r o u po fu 1w h i c hi sd e n o t e db ya u tu 1 f i r s t ，w ee n u m e r a t et h eb a s i cg e n e r a t o r so f t h em a x i m a lu 1 1 i p o t e n ts u b g r o u p 驴，o f 2 f 4 ，2 8 2 a n d2 6 2 回s e p a r a t e l y ： ( i ) u 1o f2 f 4 ( f ) ： = x 4 c ) x 3 4 ，( 0 x 3 ( t o + 1 ) ， = x 3 c ) x 3 4 ( 巩 = x 1 2 y 4 ( n 功，( 0 ， = x 1 2 y 4 ( t o h 2 4 ，o h l 2 3 4 ( t “1 ) ， = 曲( ，弦1 2 ，( f ) 衲( f “1 ) ， = x 1 2 3 4 c ) x 2 4 ，( f ) 卸2 3 4 ( p 1 ) ， = x 1 2 3 4 ( t 。) x 2 3 ( f ) ， = x 1 2 y 4 ( 。) 。1 3 一( 0 ， = x 1 2 3 m ( t 。) 。1 4 ，( f ) ， = x 1 2 3 4 , ( t o ) 。1 4 ( 嘎 = x 1 2 3 4 ( d ) x 1 3 ( f ) ， = x i ( ，) x 1 2 ( f ) ， = ( a i ( t ) i1 i 1 2 ，f f 8 ) ； o o 0 o o o o o 0 0 o u l 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 d 口 a 口 口 o 8 口 口 h ( 1 i ) u 1o f 2 8 2 ( 聊： d ( 0 = x o ( t 。) x 6 ( t ) x o + 6 ( t 2 0 + 1 ) ， 卢( f ) = x a + 6 ( ，) x 2 。+ 6 ( o ， u 1 = ( d ( 0 l 。( 矿= 1 ，t f + ) ( i i i ) u 1o f 2 g 2 ) ： 。( f ) = b ( ，h 6 ( t ) x o + 6 ( p l h 2 a t b c 8 + ) 觑f ) = x a + 6 c ) x 3 a + b ( f ) ， r ( t ) = x 2 a + b c ) x 3 a + 2 6 ( f ) ， u 1 = ( 口( f ) i 口( 0 9 = 1 ，t f + t h ec o m m u t a t o rf o r m u l a eb e t w e e nt w og e n e r a t o r sa r es h o w nb e l o w c a s e ( 1 ) o ，( f ) ，口f ( “) = 町( f 矿8 + t 2 0 “) ，( f ，力= ( 1 ，2 ) ，( 4 ，8 ) ，( 5 ，1 2 ) ，( 6 ，1 1 ) ， 0 ( 1 1 ( f ) ，叻( = o r l 2 ( t ， 陋1 0 ，嘞( 纠= 。1 2 ( t u ) ， 【f f l o ( t ) ，1 7 1 ) 】= l ( r ”) ， o z g ( t ) ，o ：6 ) 】= 0 1 2 ( m ) ， 哪( 0 ，0 2 ( ”) = d l l ( 蚴， 0 9 ( 0 ，口l ( 】 =。1 0 ( t u 2 勺口1 l ( t u 2 0 + 1 ) 口1 2 ( f 2 。) ， 陋8 ( 力，a 7 ( u ) = c q 2 ( t u ) ， 岱8 ( f ) ，c 乜( “) = o l o ( f 口1 l ( t u 2 8 ) 。1 2 ( 产8 “) ， o ：8 ( f ) ，口l ( “) 】= o f 9 ( m ) 。l i ( t u 2 0 + 2 ) a 1 2 ( f 2 0 矿肌1 ) ， 口7 ( 0 ，d 5 ( “) = o ：ii ( f “) ， 0 7 ( 0 ，0 4 ( “) =口i o ( t u 2 。) 0 1 l ( r 2 。“) 口1 2 ( t u 2 肌1 ) ， a 7 ( 0 ，0 3 ( “) = 0 9 ( t u 2 勺口1 0 ( f ”) ， 陋6 ( f ) ，a s ( u ) = 口l o ( t 们， 8 p 6 ( 力，( 甜) 】 =c 。8 ( t u 2 。) 0 2 。却1 2 ( 产川) ， 【口6 ( f ) ，口1 ( “) 】 =d 7 ( f 甜) ， 0 5 ( f ) ，叽0 ) = a 9 ( f “) ， 心( f ) ，叻( “) = a s ( t u ) ， 0 4 ( 0 ，i f 2 ( 材) = 0 1 7 ( f 口i l ( 产8 + 1 “2 。) 。1 2 ( f l o + 2 “) ， 岫( 力，。l ( “) 】 = a 5 ( 尸甜) 口6 ( t u 2 勺d 7 ( t u t m l ) 0 0 ( t 拍+ 2 甜) 口1 l ( f 2 “1 矿“2 ) a 1 2 ( 产抖2 “2 1 ) ， 【( b ( f ) ，0 4 ( ”) 】 =o t s ( t 2 。“) 口6 ( t u ) d 7 ( t u 2 。) 口8 ( 产。+ 1 口9 ( t 2 抖1 打2 。) 口l o ( 产“1 铲1 2 ( t 2 “2 “2 “1 ) ， 叻( f ) ，o l l ) =口4 ( f ”) d 5 ( f 2 。“2 肌1 ) o 。7 ( t u 2 肌2 ) 口8 ( t 2 抖1 甜2 抖1 ) 叻0 2 8 + 1 “2 0 + 2 ) 0 1 0 ( 产“1 4 “2 ) l ( f 2 “1 扩“3 ) 0 1 2 ( 产“2 u 4 “3 ) c a s e ( ) a ( f ) ，口( “) = 口( f ) 一1 d ( 帕一1 盯( f ) d ) = 口( f ) 3 口 ) 3 a ( t ) a ( u ) = 3 ( t u 2 。+ f 2 1 a ( 0 ，口( “) = 缸f ) 一1 口 ) 一1 口( 0 口( = o ( f ) 8 0 ) 8 口( 0 。( = 1 3 ( t 3 0 u t u ”) r ( p a u 2 一f 2 矿9 + f 矿“1 一f 3 8 + 甜1 【o ( 以，卢( “) 】= a ( 0 1 卢( “) 一1 口( 力卢( 曲 = 口( 0 印( 2 。( 力口( = “t u ) f h ed e f i n i t i o n so f t h ef o u rk i n d so fs t a n d a r da u t o m o r p h i s m sa r ea sf o l l o w s 9 1 d i a g o n a la u t o m o r p h i s m s a s s u m e 石i st h ef c h a r a c t e rm u l t i p l i c a t i v eg r o u po ft h er o o tl a t t i c ep = z o ，e v e r yc h a r a c t e r ) ： o f x i n d u c e sa na u t o m o r p h i s m 喀o f f g ( f ) 、b 2 ( f ) 、g 2 ( 町， w h i c hm a p sx r ( t ) t o 耳o r ( o t ) i f xi sac h a r a c t e rs u c ht h a tvr 西，疋( p ( 力) = “( 力) 。扣啪，i e m a k i n gt h e f o l l o w i n gd i a g r a mc o m m u t a t i v e ： 西! jf + p ll a 0 “r ) ) 0 0 _ p j 爿i sc a l l e dp i n v a r i a n t l e t ) c xb ep i n v a r i a n t ，t h e nw ec a l le a s i l ys e ei t t h a td xm a p su 1o n t o i t s e l f , w h i c hi n d u c e sa l la u t o m o r p h i s mo fu 1a n d i sc a l l e dd i a g o n a la u t o m o r p h i s m w es t i l ld e n o t ei t b y 喀t h ee f f e c to f t h i sa u t o m o r p h i s mo nt h eg e n e r a t o r so fu 1i s a sf 0 1 1 0 w s3 矗【o r ( f ) 】= d ，( “r ) 2 。f ) ， 咴 口( o 】= a ( z ( 6 ) 0 w h e r eri st h ef i r s te l e m e n ti nr jw h i c hd e n o t et h es e to fr o o t sa p p e a r i n gi nt h e e x p r e s s i o no f f , q ) 2f i e l da u t o m o r p h i s m s l e tfb ea na u t o m o r p h i s mo ff i e l df ，fi n d u c e sa l la u t o m o r p h i s mw o f f 4 ( 碑) 、b 2 ( f ) a n dg 2 ( 毋，w h i c hm a p sj o ( 力 畸x r ( 一) t h ef a c t ，0 = 0 f i sd u et ot h ef i n i t e n e s so f f ，i tf o l l o w st h a t ”rm a p su 1o n t oi t s e l f a n dv ，i n d u c e sa f i e l da u t o m o r p h i s mo fu 1 ，w h i c hi ss t i l ld e n o t e db y 叩，i t se f f e c to nt h eg e n e r a t o r s o f u ii s ： r ! r t a i ( t ) 玎， d ( f ) = 口f ( ) = d f f ，1 3c e n t r a la u t o m o r p h i s m s a s s u m cgi sag r o u p ，砂ea u t ( g ) ，i f 哆s a t i s f i e s ：g - i 砂( 曲z ( g ) f o r vg g ，w ec a l l 沙i sac e n t r a la u t o m o r p h i s mo fg t h eg r o u pt h a ti sc o m p o s e do f a ut h ec e n t r a la u t o m o r p h i s m so fu 1i sd e n o t e db y 匹 l e tcb eah o m o m o r p h i s mf r o mt h el m i p o t e n ts u b g r o u po f2 凡( 聊，u 1t oi t s c e n t e r u 8s u c h t h a t k e r e = 驴。i t s t r i v i a l t os h o w t h e m a p , u c ：x hx c ，帆 u 1 ，i sac e n t r a la u t o m o r p h i s mo fu 1 ，w h i c hm a k e se v e r ye l e m e n to f 泸i n v a r i a n t s oi ti sd e t e r m i n e db yt h ee f f e c to n8 1 ( 0a n d ( b ( 0 a s s u m et h a t f 。【o f ( f ) 】= a f ( 0 口1 2 ( c ，( ， i = 1 ，3( 1 1 ) w h e r ec l ，如a r et w oe n d o m o r p h i s m so ft h ea d d i t i v eg r o u po ff i e l df ，s o 心i s u n i q u e l yd e f i n e db yo i ，c 3 c o n v e r s e l y ，a n y t w oe n d o m o r p h i s m so f f + d e t e r m i n e ac e n t r a la u t o m o r p h i s mm ，o fu 1s u c ht h a t c ( 0 。( 0 ) = a x t ) f o ro t h e rg e n e r a t o r s t h a no q ( t ) ，0 3 ( f ) t h ee f f e c t o f u 。o n 口l ( f ) ，0 3 ( d i ss h o w n i n ( 1 1 ) f o ra n yc e n d 矿i td e t e r m i n e sac e n t r a la u t o m o r p h i s mo ft h eu n i p o t e n t s u b g r o u p0 - 1o f c a s e2 8 2 a n d f 雄) i - - - - f fo 段c ( f ) ) i 觑f ) i - - - - ) 卢( f ) 臃筘 4i n n e ra u t o m o r p h i s m s s u p p o s e y i sa f i x e de l e m e n to f u l ，t h e f u n c t i o no - y ：x ”y1 x y i sa n i n n e r a u t o m o r p h i s mo fu 1i n d u c e db y y 。 t h ec o m m u t a t o rf o r m u l a es h o wt h a to - 0a c t st r i v i a l l yo nu 1m o du 2f o ra n y i n n e ra u t o m o r p h i s mo ao fu 1a n d 眨1 = 口r 1 ，w h e r e 日= 丌o ：i ( k 3 ， w r i t ea u tu 1 ，i n nu 1f o rt h ea u t o m o r p h i s mg r o u pa n di n n e ra u t o m o r p h i s m g r o u po f u lr e s p e c t i v e l y ，t h e nu 1 胆( u ) gi n nu 1 ，i n nu 1qa u tu 1 t h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e ra r et h ef o l l o w i n gt w ot h e o r e m s t h e o r e m1l e t 驴b ea n ya u t o m o r p h i s mo f t h em a x i m a lu n i p o t e n ts u b g r o u p s u 1o f r e e g r o u p t h e nt h e r e a r e d i a g o n a l ，彦l d ，i n n e r ，a n d c e n t m l a u t o m o r p h i s m s d x ，h 卜盯。，a n d p cr e s p e c t i v e l y ，o f u ls u c ht h a tl p = d x q ，- 玎口耻c t h e o r e m2l e t 驴b et h e m a x i m a l u n i p o t e n t s u b g r o u p o f s u z u k i g r o u p2 毋( f ) t h e na n y a u t o m o r p h i s m 妒o f u lc a bb ee x p r e s s e d a sa p r o d u c to f d i a g o n a l a u t o m o r p h i s m 田，f i e l d a u t o m o r p h i s m f a n d c e n t r a l a u t o m o r p h i s m 口口 摘要 设f 是一个特征为2 的有限域，2 一( r o ，2 b z ( f ) 分别是域f 上的一 型r e e 群和s u z u k i 群，z g 2 ( f ) 是特征3 的有限域f 上的g ：型r e e 群， 它们都是由其幺幂予群u 一，v 1 生成的有限扭c h e v a l l e y 群本文的目的 是确定它们的极大幺幂子群的自同构群，主要结果如下： 设u 是r e e 群的极大幺幂子群，那么u ，的任意一个自同构妒都 可以表示成为对角自同构以、域自同构q r 、内自同构和中心自同 构肌的乘积，即妒= 巩”r o a 比 当是s u z u k i 群的幺幂子群时，我们也确定了u - 的自同构群 结论是：u 1 的任意自同构妒可以表示成对角自同构4 、域自同构，、 和中心自同构比的乘积，即妒= d x - f m 关键词：r e e 群；s u z u k i 群；幺幂子群；自同构 a b s t r a c t l e t2 f 4 回) ，2 8 2 凹) b et h er e eg r o u po ft y p ef 4a n dt h es u z u k ig r o u po v e r af i n i t ef i e l dfo fc h a r a c t e r i s t i c2 ，r e s p e c t i v e l yl e t2 g 2 陋) b et h er e eg r o u po f t y p eg 2o v e raf i n i t ef i e l do f c h a r a c t e r i s t i c3 t h e s eg r o u p sa r ea l s oc a l l e dt w i s t e d c h e v a l l e yg r o u p s ，t h e ya r eg e n e r a t e db yt h eu n i p o t e n ts u b g r o u p s ，u 1a n dv 1 t h i sp a p e ra i m st od e t e r m i n et h ea u t o m o r p h i s mg r o u po ft h em a x i m a lu n i p o t e n t s u b g r o u pu it h em a i nt h e o r e mi s a sf o l l o w ： l e tu 1b et h em a x i m a lu n i p o t e n ts u b g r o u po fr e eg r o u p ，t h e na n ya u t o m o r - p h i s m 妒o f u 1c a nb ee x p r e s s e da sap r o d u c to f d i a g o n a l ，f i e l d ，i n n e ra n dc e n t r a l a u t o r n o r p h i s m s ，i e ，妒2d r q f o a u c ，w h e r ed v ， t r ，o aa n dp ca r ed i a g o n a l ，f i e l d ，i n n e ra n dc e n t r a la u t o m o r p h i s m s ，r e s p e c t i v e l y ，o fu 1 f o rt h ec a s eo f2 8 2 口) ，w ea l s od e t e r m i n et h ea u t o m o r p h i s mg r o u po fu 1 t h er e s u l ti s ：a n ya u t o m o r p h i s m 妒o fu 1c a nb ee x p r e s s e da sap r o d u c to f d i a g o h a l ，f i e l d ，a n dc e n t r a la u t o m o r p h i s m s ，i e ，妒2 畋f 。，w h e r e 矗，f ，a n d p 。 a r ed i a g o n a l ，f i e l d ，a n dc e n t r a la u t o m o r p h i s m s ，r e s p e c t i v e l y ，o f u k e y v , o r d s ：r e eg r o u p ；s u z u k ig r o u p ；u n i p o t e n ts u b g r o u p ；a u t o m o r p h i s m ； 2 引言 研究群的自同构是群论中的一个重要课题，是一件有意义的工 作对于c h e v a l l e y 群和c h e v a l l e y 代数的自同构，人们已经做了大量的 研究工作，文献 1 】和 2 给出了有限域和代数封闭域上c h e v a l l e y 群和 s t e i n b e r g 群的自同构文献 3 】确定了特征不为2 和3 的域上c h e v a l l e y 群和s t e i n b e r g 群的幺幂子群的自同构，指出它们的任一自同构都能 表示成为图自同构，对角自同构，域自同构，内自同构，极点自同构 和中心自同构的乘积文献 4 j 、 5 1 “6 1 确定了另一类李型单群，即 s u z u k i 群和r e e 群的自同构，它们的自同构能表示为域自同构和内 自同构的乘积文献 7 、 8 】讨论了域和连通交换环上c h e v a l l e y 群的 b o r e l 子群的自同构 另一方面，李型群的自同构与李代数的自同构有着密切的联系 文献 1 1 及 1 3 】指出任一个复半单李代数的自同构群是其内自同构 群和图自同构群的半直积，并以内自同构群为正规子群文献 9 】确 定了交换环上上三角矩阵李代数的自同构群文献 1 2 】确定了交换 环上严格上三角矩阵李代数的自同构群 设2 f 4 ( f ) ，2 b ：( f ) 分别是特征为2 的q 元有限域f 上的凡型r e e 群和s u z u k i 群，2 g ：( f ) 是特征为3 的有限域f 上的g ：型r e e 群我们 知道，它们都是由其幺幂子群u 1 ，v 1 生成的有限扭c h e v a l l e y 群本 文的目的是确定它们的极大幂零子群u 1 的自同构群首先我们给出 u 的四类标准自同构的定义，然后证明这些自同构可以生成u t 的 自同构群在证明过程中，用到了文献 3 】研究c h e v a l t e y 群的幺幂子 群的自同构的一些方法本文的主要结果是下面两个定理 定理1 设妒是r e e 群的极大幺幂子群u l 的任一自同构，则存在 u 1 的对角自同构以，域自同构_ r ，内自同构和中心自同构比，使 得妒= 4q f o - a 。 定理2 设妒是s u z u k i 群2 口2 的极大幺幂子群u 1 的任意自同 构，则存在u 的对角自同构喀，域自同构，和中心自同构p 。，使得 9 = a y f p ： 4 第一章预备知识 用k 力= x - l y 一，x y 表示群中元素x 与y 的换位子，并且归纳地定 义k 重换位子如下： 期，x 2 ，x i 】= 【。【卜l ，x 2 ，均】一，札j 关于群元素的换位子，我们有下列公式 【x , y r l = 【y ，川= y “lx , y 。1j y h y z = h ： 【x , y h x , y ，z 】 【x y ，= 】= 【础】【那，y 】 h z 】 x y ，】= x ，w ，z 】【t z ，w x ，z w ，y y ，w 儿n = 】【y , z ，w 设f 4 ( f ) 是特征为2 的域f 上的f 4 型c h e v a 1 e y 群，_ ( 咄r 西，f f + ， 是它的生成元对于f 4 ( f ) 的上述生成元，有如下的换位子公式( 见文 献 5 的4 0 4 页) ： ( i ) 若r ，s m ，而r 十se 巾，贝4 耳( r ) ，z 。( “) = 1 ； ( i i ) 若r j ，r + s 巾， ( 一= ( s ) ：7 f i r + s ) = 1 ，贝0 j ，( f ) ，x a u ) = x r + ，( t u b ( i i i ) 若r ，s ，r + j m ， p ) = ( s ) = 1 ， ( r + s ) = 2 ，贝0 x a t ) ，x x u ) = i ； ( i v ) 若j ，+ s 西， ( ，) = 4 s ) = 2 ，贝0 x a t ) ，而( ) = x r + ，( f “) ； ( v ) 若 j ，r + jf t m ， ( ，) = 2 ， ( s ) = l ，贝0 薯( f ) ，x a u ) = x r + s ( t u ) x ，+ 2 ，( t u 2 ) 当f 是特征为2 的完全域，由文献【1 】的定理1 2 3 ，3 知群f 4 ( f ) 有 一个图自同构g ，它对f