（船舶与海洋结构物设计制造专业论文）孤立水波及其相互作用的解析研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 求解非线性微分方程的精确解在理论和实际中都是重要的研究课题。显式解析解， 特别是行波解可以很好的描述水面波的运动过程。基于非线性方程的复杂性，至今能求 出精确解的方程很少，因此，寻求新的求解方法和扩展已有的方法都是重要而有价值的 工作。 在本文中，我们对同伦分析方法( h o m o t o p ya n a l y s i sm e h o d h a m ) 的初始猜测解进 行了研究。并且将同伦分析得到的近似解和精确解进行了比较，两者吻合良好。结果表 明，同伦分析方法在解决非线性问题上是一种很有前途的解析方法 孤立水波是非线性水波最重要的一种形式。以往有很多关于单个孤立水波的解。本 文主要研究了孤立水波的相互作用，采用齐次平衡法，求解了非线性水波k o r t e w e g - d e v r i e s ( k d v ) 方程、b o u s s i n e s q 方程、k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i ( k p ) 方程，非线性薛定 谔方程( n o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n - n l s ) ，并获得了这些方程的孤立水波相互作用 的解析解，这对非线性孤立水波的研究具有重要的理论和参考意义。 关键词：孤立水波；同伦分析法；齐次平衡法；精确解；非线性 孤立水波及其相互作用的解析研究 a n a l y t i c a ls t u d yo ns o l i t a r yw a v e s a n dt h e i ri n t e r a c t i o n s a bs t r a c t i t i sa ni m p o r t a n ts t u d yf o ro b t a i n i n gt h ee x a c ts o l u t i o no fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h ee x p l i c i ts o l u t i o n ，e s p e c i a l l yt h et r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n , c a nb eu s e dt od e s c r i b e t h em o v e m e n to fs u r f a c ew a v e sw e l l b a s e dt h ee x a c ts o l u t i o nf o rm a n yi m p o r t a n te q u a t i o n s c a nn o ts t i l lb er e c e i v e ds i n c et h ec o m p l e x i t yo ft h en o n l i n e a re q u a t i o n s t h u ss e e k i n gn e w m e t h o da n de x t e n d i n ge x i s t e dm e t h o d ，b o t hc o m et oa ni m p o r t a n ta n dv a l u a b l ew o r k i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ei n i t i a lg u e s si nh o m o t o p ya n a l y s i sm e h o d c o m p a r i s o n sa l e m a d eb e t w e e nt h ee x a c ts o l u t i o na n dt h ea p p r o x i m a t i o no f h o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d b o t ho f t h ea n a l y t i cs o l u t i o n sa g r e ew e l lw i t ht h ee x a c ts o l u t i o n s t h er e s u l t ss h o wt h a th o m o t o p y a n a l y s i sm e t h o di sap o t e n t i a la n a l y t i cm e t h o di ns o l v i n gn o n l i n e a rp r o b l e m s s o l i t a r yw a v ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt y p e so fn o n l i n e a rw a t e rw a v e s q u i t es o m e e x a c ts o l u t i o n so f s i n g l es o l i t a r yw a v ea r ea v a i l a b l e i nt h i sp a p e r ，t h ei n t e r a c t i o no f t w os o l i t a r y w a v e si ss t u d i e d u s i n gt h eh o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ( h b m ) ，w eh a v ef o u n dt h ee x a c t s o l u t i o n st ot h en o n l i n e a re q u a t i o n so fw a t e rw a v e si n c l u d i n gk o r t e w e g - d e c r i e s ( k d v ) e q u a t i o n ,b o n s s i n e s qe q u a t i o n , k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i( k p )e q u a t i o na n dn o n l i n e a r s c h r o d i n g e r ( n l s ) e q u a t i o n , w h i c ha r eb e l i e v e dt ob eu s e f u lf o rt h eo c e a ne n g i n e e r i n g k e yw o r d s ：s o l i t a r yw a v e s ；h o m o t o p ya n a l y s i sm e t h o d ；h o m o g e n e o u sb a l a n c e m e t h o d ；e x a c ts o l u t i o n ；n o n l i n e a r 1 i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 孤。量d ! 谴坠蛐碰团延多生硇竭世 作者签名：乏血碰矗日期：么逍年乜一目五日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 丛丑l 涩冬姒衅圜垒丝蜀丝毫么 作者签名： 珀丝盈日期：乏巫盈年业月兰上日 导师签名： 宝缉日期：丝翌年且月立l 日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 研究的背景和意义 尽管船舶与海洋结构物的设计是依据规范进行的，但是每年在全世界范围内，仍然 有许多船舶和海洋结构物发生事故，沉没海底，造成大量的人员和物力的损伤。造成这 些损伤的原因之一就是在设计阶段，我们往往采用由简单的线性波理论所产生的波浪载 荷作为设计的外载。但是实际上，海洋中的波浪都是非线性的。因此，对于波浪的非线 性考虑不足，会给船舶和海洋结构物造成巨大的损失。 随着全球人口的增加，陆地上的资源已经难以满足要求，海洋正在成为人类的资源 基地和第二生存空间。海洋资源的开发利用首先依赖于海上的工程设施，随着海洋开发 利用的规模日趋复杂和庞大，港口，海岸以及近海油气开发不断向深水发展，这些海洋 平台及船舶很有可能承受实际海况下的强非线性波浪的作用，这些强非线性波浪的能量 集中，破坏力极大u 圳。例如，在1 9 5 4 1 9 8 2 年期间，全世界就有3 6 座石油钻井平台因 遭遇狂风恶浪的袭击而翻沉。在大洋上由于狂风恶浪引起的海难，至今仍占全世界海难 总数的6 0 以上。所以说，非线性水波的研究在工程中有着广泛的应用h 。人类对水波 和海浪的研究随着世界航海和海洋资源开发的发展而发展，特别是2 0 世纪4 0 年代以来， 伴随着计算机技术和计算机的发展，取得了大量的突破性进展。 近年来，非线性水波方程的研究日益受到重视。由于海岸边界、海洋工程建筑、船 舶边界和海底条件相当复杂，再加上自由液面条件的非线性，使得非线性水波问题成为 近年来海洋工程的热点研究问趔刈。现在己经建立了微幅波理论、斯托克斯波理论、椭 圆余弦波理论和孤立波理论等各种分析波浪的解析方法，以及流函数法等应用计算机直 接进行数值计算波浪的方法m ，。自然界本质上是非线性的，船舶与海洋工程的绝大部分 问题也是非线性的。对于非线性水波问题的求解主要通过三种途径，分别是：解析求解、 数值模拟和实验。其中，物理模型实验是将实际波浪场按照比例尺缩至实验室以进行观 测分析流场特征的方法，缺点是费用昂贵，且无法全面考虑各种因素对波浪场的影响。 不可否认，在计算机高速发展的今天，数值模拟己经成为一种可选的、高效可靠的方式。 但是，我们所要求的信息往往被数值模拟处理的大量离散数据所淹没。而解析的表达式 却可以显示出不同物理量的影响和变化趋势，看到变化的过程，有利于参数优化。 最常见的非线性水波是由k d v 方程、b o u s s i n e s q 方程、k p 方程、n l s 方程等描述 的( 当然还有其他的) 。这些非线性方程的显著特点都是存在孤立水波解。这在以前的 孤立水波及其相互作用的解析研究 理论和实验研究中都给予了充分的重视。但是，实际的情况更为复杂。比如，实际的海 浪往往包含多个孤立水波。鉴于此，本文着重研究孤立水波的相互作用。 1 2国内外研究现状 1 2 。1非线性水波的研究进展 近几年来，很多研究都集中于非线性深水波所引起的在船舶与海洋结构物上的潜在 的破坏性作用方面。非线性水波理论是流体力学中一个重要而又十分困难的课题，一直 以来都引起了力学、应用数学及船舶与海洋工程工作者的广泛注意。但是，由于研究非 线性波问题十分困难，人们把主要的注意力集中在线性水波- a i r y 理论方面。非线性水 波理论得到迅速发展是近4 0 年的事。究其原因，随着海洋开发、海洋运输的要求日益 迫切，应用数学中各种奇异摄动理论、偏微分方程的数值方法、数值模拟、计算流体力 学及计算机技术的迅速发展，都为非线性水波理论提供了必备的条件和强有力的解决工 具。 在造船领域内，取得的第一个富有理论性的成果是s t o k e s 理论。s t o k e s 得到的非线 性周期波渐近解不仅证明了周期波列的存在，而且指出了波数及频率与振幅有关这一重 要结论。这正是非线性波在本质上区别于线性波的重要特征，从而导致各种非线性效应。 浅水波理论所研究的非线性水波在某种意义下是“弱 非线性的。因此，我们能用 小参数来描述非线性效应，从而可以用各种摄动方法来求解方程。有两个小参数十分重 要，一个是口= a h ，a 为波幅，它表征了非线性加速度项对当地时间导数项的比，表 现了振幅弥散，它使重力波的波峰变尖而波谷变平；另一个是= ( h i ) 2 ，五为波长， 它表征了相位的弥散，波长越长传播越快。这两个小参数之比口矽称为u r s e l l 数。二维 浅水波方程以及其适当修改形式可用来研究某些非线性水波问题，如水跃现象、河口潮 汐波、河渠流动、近海环流以及其它某些大范围流动问题，特别是对于近海环流的数值 计算有很大发展。但是由于这种理论只强调了振幅弥散作用，振幅不大的波动将沿传播 方向使波的陡度愈来愈大以至破碎，因此不存在周期波，这显然是不符合实际的。浅水 波理论的发展着重在于对浅水弥散波的研究，要同时考虑到口，的影响，控制方程就 变为著名的经典方程以及各种类似的方程。孤立子( s o l i t o n ) 是最早在自然界观察到，并 且可以在实验室产生的非线性现象之一，它是1 9 世纪苏格兰一位造船工程9 币( j o r ms c o t t r u s s e l l ) 发现的。s c o t tr u s s e l l 是第一个观察到孤立水波并且加以研究的人，不过他未能 在理论上证明孤立水波的存在。b o u s s i n e s q 以水深对波长的比为小参数得到了以他命名 的近似方程，找到了孤立水波解。k o r t e w e g - d ev r i e s 通过类似的处理导出了著名的方程， 大连理工大学硕士学位论文 找到了由雅可比椭圆函数表示的周期解，用c n o i d a l w a v e 命名这种周期波。k e l l e r 从浅 水波高阶近似的研究中重新得到了孤立水波和周期波。在1 9 世纪六十年代早期，z a b u s k y 和k r u s k a l 通过数值模拟发现了浅水波中的孤立子。这一突破是一种新的数学物理方法一 逆散射方法的重大发现。g a l d n e r 等提出的逆散射变换方法是求解非线性发展方程的开 创性工作，有力地促进了非线性浅水波理论的发展。椭圆余弦( c n o i d a l ) 波理论和孤立波 理论，这些都是适用于不同水深范围的。 1 2 2 研究方法的进展 高速计算机的出现使线性问题的求解变得简单。然而，求解非线性问题仍然非常困 难，尤其是寻求非线性问题的解析解更是如此。摄动方法是一种被广泛地应用于解析求 解非线性问题的工具之一，它最早被应用于天体力学，用来计算小天体对大天体运动的 影响，后来广泛应用在物理学和力学的理论研究方面。摄动方法作为一般的数学方法， 也是控制理论研究中的一种工具。通过摄动方法，很多有趣的非线性现象和重要属性都 被揭示出来了。然而，摄动方法的有效性需要强烈地依赖于小参数，这给摄动方法的应 用带来了很大的局限。首先，对于很多非线性问题，尤其是那些强非线性问题，根本没 有小参数。其次，即使这样的参数存在，摄动方法给出的结果也可能不令人满意。因此， 有必要发展一种新的不完全依赖于小参数的解析方法。基于同伦这一拓扑学中的基本概 念，廖p 。1 叫提出了一种新的解决非线性问题的解析方法，即同伦分析方法( h a m ) 。 摄动方法本质上依赖于小参数，而同伦分析方法的有效性与所研究的非线性问题是 否含有小参数无关。在同伦分析法的应用上，廖和他的团队做了大量的工作。廖在他的 著作中，讨论了具有简单分岔的非线性问题、具有多解的非线性问题、非线性特征值问 题、托马斯费米( t o m a s f e r m i ) 原子模型、v o l t e r r a 生态学模型、自由振动系统、多维动 力系统、布拉休斯( b l a s i u s ) 粘性流、呈指数衰减的边界层流、呈代数衰减的边界层流、 冯卡门w o nk a r m a n ) 粘性涡流、s t o k e s 深水波等。汪淳在他的博士论文中讨论了达西 对流问题等，徐航在他的博士论文中讨论了非牛顿流、磁性流等复杂流体的传热传质等。 谭越在他的博士论文中研究了一维反应扩散方程，一些非牛顿流和薛定谔方程初值问题 等等。邹丽u u 在她的博士论文中将同伦分析方法成功地应用到离散的微分差分方程。 近年来，同伦分析法越来越受到国内外学术界的关注。同伦分析方法对于更多的非 线性问题而言是很有效的，特别是那些关于强非线性问题。谭首先运用了同伦分析法来 求解非线性薛定谔方程，并把这个方法推广到复平面上。 同伦分析方法所研究的问题，由常微分方程到偏微分方程，由单一的方程到藕合的 方程组，由单解到多解，难度越来越大。所应用的领域也逐步拓展，由定常流动到非定 孤立水波及其相互作用的解析研究 常流动，由牛顿流体到非牛顿流体，乃至非线性波流相互作用等复杂的非线性问题。同 伦分析方法，经过大量的验证而不断完善，被越来越多的国内外的研究者承认和接受。 近年来提出并发展起来的齐次平衡方法u 引。实际上是求非线性偏微分方程精确解的 一种指导原则，故也称为齐次平衡原则。依据该原则，可事先判定某类非线性偏微分方 程是否有一定形式的精确解存在，如果回答是肯定的，则可按一定的步骤求出这一精确 解来。因而齐次平衡原则具有直接、简洁、步骤分明的特点。再者，它还适用于计算机 的符号计算系统进行计算，且得到的是精确的结果。至今，齐次平衡原则在非线性数学 物理中己得到广泛的应用，且其应用范围正在不断的扩展，己成为处理非线性数学物理 相关问题的有效工具之一。 大连理工大学硕士学位论文 2 水波控制方程 2 1 基本方程 风和海底的变动都会给予水面扰动。这种扰动受回复力的作用以波动形式传播。回 复力包括表面张力、重力和科里奥利力。而回复力所产生的波动，在时间一空间尺度上 是延伸的。表面张力波主要是指以表面张力回复所产生的波。而波浪( 风浪、波涛) 主 要是指以重力为回复力所产生的波。此外，要是考虑海啸和潮汐，那么加给重力的还有 受科里奥利力影响的情况。这里主要介绍重力所产生的波浪u 3 ”j 。 建立如图2 1 所示的坐标系。其中，空间坐标系为o x y z ，时间为r 。采用欧拉观点， 空间任一点的速度为( “，v ，w ) 。 图2 1 坐标系 f i g 2 1 t h ec o o r d i n a t es y s t e m 分析水面波时，通常都忽略流体的黏性和压缩性，并假定流动为无旋流。在这种情 况下，基本方程就是伯努利方程( 欧拉方程的积分形) 。可以把速度势矽和压强p 作为 未知函数来表示这些方程： 警+ 三 ( 考) 2 + ( 警) 2 + g z + 号= 。 c2 ， 矽基警+ 鲁：o ( 2 2 式中，g 是重力加速度，p 是流体密度。此外，利用速度势将各流速分量表示为： u i = a 矽a i ( i = 1 ，2 ) ；w = a 矽瑟 孤立水波及其相互作用的解析研究 在边界条件方面，有水面上的力学边界条件( 水面上压强等于大气压强) ，运动学 边界条件( 水粒子不从水面飞出) ，以及底面上的运动学边界条件( 水粒子沿底面运动) ， 各边界条件分别为： 警+ 三 ( 考) 2 + ( 尝) 2 ，+ g f ：。c z = f ， ( 2 3 ) 警= 鲁地妻( z = f ) ( 2 4 )一= 一十 一l 7 = 广-，o 月、 瑟研+ 缸二、 叫 、“17 老一，罢( z = - f l ) 汜5 ， o = 一”。一i z = i f 95 、 院戗 此外，在有结构物的情况下，采用壁面法线方向，2 ，在固定壁面上有： 娑：0 ( 2 6 ) 此式在本质上与式( 2 5 ) 相同，特别是关系到反射和绕射现象时。 2 2 小振幅波一线性水波 2 2 1水面波形，水粒子速度和压强 考虑一定水深中波形不变，向x 方向行进的二维波。假定波高是微幅的，小振幅波 理论就是将式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 进行线性化，则定形行波式( 2 1 ) ( 2 5 ) 的解( 式 ( 2 5 ) 的右边为0 ) 为 f = a c o s ( k x o j t ) ( 2 7 ) 矽：a 丝一c o s hk ( h + z ) s i n ( 妇一o ) t 1 驴= 一 。n l 肮一i ：丝：缈coshk(h+z)(kx-cotu ac o s c o t l = 2 缈一 ii ：型：铡sinhk(h+z)sin(kx-ogtw l r l o ) t 、= o = 口国 s i =一pgz+pp pga型堕蝉cos(缸一cotcoslaopt )= 一p 二 i 舡一j ， ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 11 ) 式中，口( = h 2 ，h 是波高) 为振幅，七( = 2 # l ，l 是波长) 为波数，( = 2 x t ，t 是周期) 为角频率。 大连理工大学硕士学位论文 2 2 2 波长，波速 当给出水深和周期时，可由下面所示的分散关系式： 功2 = 贴t a n h k h ( 2 1 2 ) 确定波长，此时，波速( 相位速度) c 成为： c = l t = 4 ( g k ) t a ：n h u ( 2 1 3 ) 因此，当波数很小时，波长很长且波速很大。 把砌j 的情况称为深水波，波长工o = g t 2 2 z ( 波速c o = g t 2 7 r ) 。把觑专0 的 情况称为长波，波数为办。同时，把处于二者之间的波称为浅水波。 2 2 3 能量，质量传递，动量传递和能量传递 由于波的存在，使能量等的时间平均量增加。每单位面积的总能量为e ，动能为乓， 势能为廓及每单位宽度的质量传递为帜，x 、y 方向的动量传递为叉、，能量传 递为p ，各式分别表示如下： e = 2 = 2 e 。= m 9 2 8 ( 2 1 4 ) 工， 、一。 坎= e c ( 2 1 5 ) = e ( 2 n 一1 2 ) ；岛= e ( 刀一1 2 ) ( 2 1 6 a ，b ) e = = 砌 ( 2 1 7 ) 式中，c 。是群速度，拧是群速度与波速之比， ，2 = 1 + ( a k h s i n h 2 k h ) 2 ( 2 1 8 ) 及可以解释为由波所产生的应力，称为辐射应力( r a d i a t i o na t r e s s ) 。它是近 岸流的起因力。式( 2 1 5 ) 所表示的是根据波速第一定义的小振幅波的质量传递。 2 2 4 波的叠加 振幅a 的入射波以反射率7 反射时，产生部分叠加波。此时的水面波形，设向正负 方向进行的小振幅波是重合的，则成为： 掣瓜丽州删沁一瞬协司 式中7 = 1 的情况是完全叠加波。此外通过波高最大值k 及最小值日嘞， 蛊 y = ( 日一一上0 咖) ( 丑_ m 缸+ 日蚰) ( 2 1 9 ) 可求出反射 ( 2 2 0 ) 孤立水波及其相互作用的解析研究 这个计算方法称为希利( h e a l y ) 方法。 2 。2 5 均匀倾度斜面上的波 在长度近似的条件下，在倾度的斜面上能完全反射的重叠波的水面波形为： f = 嘁2 c o , i x g t a n p c o s o t ( 2 2 1 ) 式中以是0 阶的贝塞尔( b e s s e l ) 函数。 此外，如图2 2 所示，x 方向( 岸向海方向) 是叠加波式的，而y 方向( 沿岸方向) 存在有行波式的波。不依赖水深条件也能求出一般解，可是若要表示为近似长波下的解， 则为： f = a l ( 2 k x ) e 也c o s ( k y - 红, t ) ( 2 2 2 ) 式中，m 表示模数，而乙表示肌次的拉盖尔( l a g u e r r e ) 多项式。此外，下述关系 国2 = g k ( 2 m + 1 ) t a n z ( 2 2 3 ) 成立。对于式( 2 2 3 ) ，在y 方向上也存在叠加波式的解，这些波称为棱边波，它作为 沿岸一带存储能量的波具有重要意义。 2 3 有限振幅波一非线性水波 图2 2 棱边波 f i g 2 2 e d g ew a v e 2 3 1波速的定义 在有限振幅波理论中，为了求出含有水面边界条件的方程( 2 1 ) ( 2 5 ) 的解， 使用了摄动方法或数值计算法。摄动展开方法虽有很多，但从精度考虑更有实用价值的 是斯托克斯波动理论及椭圆函数波动理论。二者能分别适用于深水域及浅水域。在斯托 克斯所考虑的第一定义下，设固定坐标系上的均匀流分量为0 ，就可以确定速度。在这 大连理工大学硕士学位论文 种情况下存在有2 2 3 节的质量传递。在第二定义下，设质量传递为0 ，再加上负的均 匀流，波速就会变小一些。 如上所述，对于斯托克斯波和椭圆函数波来说，因为波速和摄动参数等的定义具有 任意性，所以就导出了之间存在少许差异的各种解。 2 3 2 斯托克斯波 斯托克斯波理论，是把相对水深h l 取为l 的量级，波形梯度日三取为微小量， 就此摄动展开求出解。把用波速第二定义求出的解展开到第三次近似，则为： f = ( 1 豇) 4c o s ( k x c o t ) + a 2c o s 2 ( k x 一研) + 4c o s 3 ( k x 一研) ) ( 2 2 4 ) u = o 也+ 骂c o s h k ( h + z ) c o s ( k x - a i r ) + b 2c o s h 2 k ( h + z ) c o s 2 ( k x - a x ) + 马c o s h 3 k ( h + z ) c o s 3 ( k x - a ，t ) ( 2 2 5 ) w - q 垦s i n h k ( h + z ) s i n ( k x - c o t ) + b 2s i n h 2 k ( h + z ) s i n 2 ( k r - a t ) + b 3s i n h 3 k ( h + z ) s i n 3 ( i x - 耐) ( 2 2 6 ) 式中， 4=(等)+(等)33(-9c6+3c-3c2+1) 4 = ( 等) 2 t c ( 3 c 2 - 1 ) 4=(等)33(9c6-3c+3c2-1) 岛= ( 爿蠢 垦=去+(等)3一-27c6-3c4-41c2+39 岛：志$ l n i c t l 掣4 ， ，2 z i z i 岛= 赢 ( 等) 3 丛学 c = c o , h ：, ( g l k ) k h ( 2 2 7 ) 孤立水波及其相互作用的解析研究 缈2 = 班蛐砌 - + ( 等) 2 ( 学一去) 汜2 8 ， 到此，解的计算完全结束。 斯托克斯波是斯托克斯本人最初推导出来的，然后由谢尔布雷亚一亨德里克森 ( s k j e l b r e i a h c n d r i c k s o n ) 基于波速的第一定义求得第5 次近似解。这是大家都知道的。 此外，从预估解的形式出发，利用电子计算机也能求得高次近似解。还有，斯托克斯波 的第一次近似解是小振幅波。此外，也求出了叠加波的解。 相对水深达到相当深度时，就使要引起定形行波，因要发生不稳定现象，实际上也 是不可能的。对此，作为波的非线性干涉问题进行了许多研究。与此现象相关，值得注 意的是薛定谔( s c h r o d i n g c r ) 非线性方程，该方程把斯托克斯波基本波形的振幅4 的时 间变化，利用3 次量级精度进行描述。并且已经得到肋 1 3 6 的情况下，就要发生不稳 定现象这一结果。 2 。3 ，3 椭圆函数波，孤立波 椭圆函数波理论是取阿谢尔数膨h 2 为l 的量级，相对波高h h 取为微小量，就 此摄动展开求出解。若利用波速第二定义的解展开到第2 次近似，则为： f = 日 4 + 4 册2 2 k ( 兰一手) + 4 册4 2 k ( 三一手) c 2 2 9 ， “= 何肛讽( 半) 2 + 蜀。( 半) 2 h 2 k ( 三一铷t + 卜如( 钭阡k ( 主一枷 汜3 。， w = 届掣十( 期m k ( 矧m k 睇) p 烈铡十州铡群 2 k c 纠 ( 2 3 ， 大连理工大学硕士学位论文 鸽= ( 鲁) ( 见一，+ ( 鲁) 2 ( 二兰垄学) 4 = ( 静( 锁一言) 4 = ( 鲁) 2 ( 三) ；b 葫= ( 鲁) ( 一) + ( 鲁) 2 ( 兰，二二岂半 岛，= ( 鲁) 2 ( 一百3a ) ；蜀。= ( 鲁) + ( 鲁) 2 ( 半) 耻( 锁半卜= ( 锐- 1 ) ；耻( 锁昙) 五：学；：万e ( 2 3 2 ) c n ，s n ，d n 是椎司比( j a c o b i ) 椭圆函数，k 及e 分别是第1 类及第2 类的完全椭圆 积分，k 是这些量的模数。从水深、周期和波高求模数用的公式为： 幽=婴1+(旦)h1丝21c23 hh ) ) 汜3 3 ) z lij i4j i 二- o ) ， 可由下式求得波长： 脚州- + 滢) ( 半) + ( 锁型坠等竽业型 ( 2 3 孟， 椭圆函数波第1 次近似解是由科泰威格一德夫里斯( k o r t e w e g d ev r i e s ) 推导出来 的。而第2 次近似解是莱托诺( l a i t o n e ) 根据第2 定义求得的。此外，利用电子计算机 也可求得高次近似解。尤其可求出重叠波的解。在r _ 1 的极限情况下，c 玎一s e c h , 就表 示孤立波。 考虑浅均匀水深中变形波。水深为常值h = c o n s l 。设口j i z 1 ( 弱非线性) 、h l 1 ( 弱色散) 且传播方向为单向，则水波的近似控制方程为如下含时间项的k d v 方程式： 詈+ 届( + 刳警+ x 厨h 2 8 3 f 一。 汜3 5 ， 可见在水面波以外，窝广区域也。值得霞棚。 孤立水波及其相互作用的解析研究 2 4 孤立水波 2 4 1 孤立水波定义 引入孤立水波这个概念是由扎布斯基和克鲁斯卡尔( z a b u s k y 和k r u s a l ) 开始的。 他们发现科泰威格一德夫里斯( k d v ) 方程( 2 3 5 ) 的孤立水波具有显著的“粒子性”。 相邻粒子间有非线性相互作用，并在一维点阵情况下，非线性是否引起热化( 统计学上 称为能量等分配) 问题，这种研究要与费米一帕斯塔一乌拉姆( f e r m i p a s t a - u l a m ) 问题 联系起来进行。对k d v 方程的初始问题进行数值解，由平滑的初始波产生许多孤立水 波。这些孤立水波反复冲击后，再回归初始波形( 周期边界条件时) 。单一孤立水波是 稳定传播的。孤立水波互相冲击时也是稳定的，冲击前后仅仅产生相位的微小偏移。他 们搞清楚了这样的波动像粒子同样的运动。从这一事实出发，提出了孤立水波( s o l i t a r y w a v e s ) 的概念1 6 捌。 逆散射法是能求出精确解的解析k o r t e w e g - d e v r i e s ( k d v ) 方程的方法。加纳德 ( g a r d n e r ) 等人发现该逆散射法之后，就以此为起端，出现了很多表示孤立水波现象的 物理上重要的非线性发展方程。解析求解n 个孤立水波解的方法，有逆散射法的一般化、 贝克德隆( b a c k l u n d ) 变换、广田法等。这种逆散射法事解析地求解描述n 个孤立水波 相互作用解( n 个孤立水波解) 的方法。此外，渐进描述法有递减摄动法、多重尺度法 等。渐进描述法是从一般非线性发展方程出发，利用一种特异摄动法，精确求解所得的 孤立水波方程，再由此方程推导出渐进描述方法。由于这些方法的进展，孤立水波在数 学上和物理上的研究，得到显著地、长足地进步。它对物理学、数学、工程学等各种领 域，都有很多重大影响。 2 4 2k d v 方程的孤立水波 将k d v 方程( 2 3 5 ) 改写为： 坐一6 甜坐+ 罂：o( 2 一3 一t 5 )一甜+ i = ul j 研良苏3 因与特征值问题对应，非线性项取为负。设均匀状态为0 时，作为式( 2 3 6 ) 的定常波 的解，存在孤立水波的解为： “= - 2 i t 2s e e h 2 ( 麒一4 t 0 3 f ) ( 2 3 7 ) 因孤立水波的宽度与振幅的平方根成反比例，而速度与振幅成正比，所以孤立水波振幅 愈大，其宽度逾狭，传播逾快。这种孤立水波解在波动的非线性发展中起到了主要作用。 k d v 方程解得基本性质可以概括为如下几点： 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 当x _ 时，甜( x ，f ) _ 0 ，波是局域分布的，即分布在有限的空间范围内。 ( 2 ) 波是单向传播的。 ( 3 ) 波幅与波速成正比。说明了波幅高的孤波跑得快。 ( 4 ) 虽然k d v 方程包含色散项和非线性项，而方程的解( 即孤立水波) 却没有色散。 这是由于色散和非线性里两种效用所产生的结果互相抵消，所形成的孤立水波在传播过 程中才维持波形不变。 ( 5 ) 对于给定的初始条件，k d v 方程的解是唯一的。 将k d v 方程的初值问题，归结为量子力学薛定谔方程的线性特征值问题。利用求 解其逆问题可得精确解。这种方法是由加纳德等人开创的，称为逆散射法。引入变换： 舻【警卜旯 ( 2 3 8 ) 不依赖时间的薛定谔方程为： 警+ ( 力( f ) 一甜( 刈) ) 沙= o ( 2 3 9 ) 把比带入式( 2 3 6 ) 时，则得： 詈y 2 + 昙( 沙瓦o q 一警q ) = o ；q 三詈+ 軎_ 3 ( 甜+ 彳) 警 ( 2 4 。， 当h o 。，甜很快变成0 时，式( 2 3 9 ) 的离散特征值以= 一群( 胛= 1 ，2 ，n ) 在时间上 是一定的，对应的成为二重积分。把特征函数进行i 2 出= l 标准化时，系数就 可定义为巳= l i m ( x ) o x p ( , c o x ) 。此外，对于连续特征值a = k 2 ，从z 一入射的单位 量平面波中，一部分被反射，其余部分若透过x - - 4 硼，则波动函数的渐进形为： 。咐卜 酬裂薄器! 驽驯 汜4 ，) 6 ) 是反射系数，口 ) 是透过系数，而i 口( 后) 1 2 + l b ( q 2 = 1 。 散射数据对时间的依赖性，利用d 2 l d t = 0 ，由式( 2 4 0 ) 可给出： 引发畿涮0 ) e x p ( 8 i 暴k 端茹0 汜蚴 6 ( 七，f ) = 6 ( | j ， 3 f ) ；口( 尼，r ) = 口( 七，) 利用这种散射数据，把下式： 孤立水波及其相互作用的解析研究 b ( g t ) 兰芝蠢( f ) e x p ( 一h f ) + 寺j 二6 ( j j ，f ) c x p ( f k f ) d k ( 2 4 3 ) 代入下面的盖尔芬德一列维坦一马尔琴科( g e l f a n d l e v i t a n m a r c h e n k o ) ( g l m ) 方程： k ( x ，y ，z ) + b ( x + y ，f ) + f b ( y + z ，f ) k ( x ，z ，t ) d z = 0 ( 2 4 4 ) 中，求解这个线性积分方程时，就可求出逆散射问题的解为： u ( x ，) = 2 睾k ( x ，) ( 2 4 5 ) 综上所述，求解k d v 方程( 2 3 6 ) 的初值问题归结为： ( 1 ) 对于甜= g ，f ) 的散射时间问题，求解式( 2 3 9 ) ，求出毛( o ) ，( o ) ，b ( k ，o ) ，a ( k ，0 ) ； ( 2 ) 由式( 2 4 2 ) 给出时刻f 的散射数据九( f ) ，c 。( f ) ，b ( k ，f ) ，口( 七，f ) 时，求解式( 2 4 4 ) 的g l m 方程，作为逆散射问题的解求出任意时刻的甜= & ，) 。非线性方程的初值问题 由线性( 1 ) ， ( 2 ) 置换，在原理上就解决了该问题。以上的程序可以总结为： 对于般散射数据，求出甜= ( 为，) 的具体形式问题，虽说式( 2 2 4 ) 是线性的，但 常常不太容易求出。但在反射系数是恒等于0 ( b ( x ，f ) = b ( x ，o ) = 0 ) 的情况下，积分核b 可能分离，g l m 方程成为代数方程组，表示n 个孤立水波的相互作用的精确解( n 孤 立z k 波解) 为： “( = 。2 萨0 2 ( 1 。g d e t m ) m ，= 磊+ 2 弓i ( 巧+ _ ) e x p ( k + _ ) x 一4 ( 舌+ 亏) ，+ 乃 ( i j ；t q t ；f j = l ，2 ，) ( 2 4 6 ) 离散特征值以= 一和孤立水波之间，有“一对一 对应关系。孤立水波的速度是 4 无。 振幅是一2 九。反射系数6 ( 后，f ) 0 的情况下，其连续谱是与微波对应的。 n = i 时的解，由式( 2 4 6 ) 是“- 2 砰s e c h 2 ( 确x 一4 砰r + 7 ) ，给出1 孤立水波。在 n = 2 的情况下，给出2 2 行列，描述两个孤立水波的相互作用。根据x = 的渐进评估， 在x = - - - o o 下的两个孤立水波，冲撞后x = 佃下，表示变成两个孤立水波过程及相位偏移。 如以上所述，根据数值计算，可以解析地精确描述孤立水波相互作用的结果。 2 4 3 各种孤立水波方程 除了k d v 方程以外，还有许多具有孤立水波解的方程2 时1 1 。与水面波有关系的有以 下各方程f 2 2 】。 大连理工大学硕士学位论文 a 变形的k d v 方程瞄副 詈罢+ 甜器= 0 一 亿4 m 一+ “一十甜o = lz ，) 研ax叙n + 1 在上面的方程中，y = 2 ，j = 1 时，通常称为变形的k d v 方程。根据缪拉( m i u r a ) 变换，与k d v 方程( y = s = 1 ) 联立起来，成为逆散射法开端的方程。它描述等离子体 中的阿尔芬波、非线性分散波等。s 2 时，分散性成为高次的，描述某种表面张力波、 重力波。s = 2 的5 阶k d v 方程的孤立水波具有振动结构，有时显示出混沌现象。 b 鲍希涅斯库( b o u s s i n e s q ) 方程撕5 1 害一害一等一等= 。( 2 4 8 ，街2融2苏2叙4 。7 这个方程描述浅水波、非线性分散波等的两个方向传播。 c 本杰明一欧诺( b e n j i m i n - o n o ) 方程 詈+ “瓦a u 一肛窘= e n u ( x , o = 1 万p 号婴砂( p ：主值) ( 2 4 9 ) 这个方程描述在深的双层流体中长波长的内波。孤立水波解由下式： 甜( x ，f ) = 口 ( 口4 2 ) 2 ( z 一讲4 一) 2 + 1 ( 2 5 0 ) 给出。这个解称为代数式孤立水波。 d 卡多姆采夫一佩维亚斯维里( k a d o m t s e v p e t v i a s h v i l i ) 方程 ， i 呈f 罢+ 甜宴+ 鲁1 鲁：0 0 ( + ：负分散性，一：正分散性) ( 2 5 1 ) 一l 一+ 甜一+ ii 一= ( + ：饬分敌件一：i f 分散件)(5 】) 苏i 西苏苏3j 巩2 一一“”j 一 这个方程是考察一维孤立水波横向摄动稳定性时推导出来的。它是k d v 方程二维 扩展型。具有二维n 孤立水波解，在负分散性情况下要引起孤立水波共振。 e 非线性薛定谔方程 f 警+ 警一槲矽= 0 (252)p 0z 二+一口i 驴l 驴=l z 街缸2 叫叫7 矽( x ，f ) 是负数振幅。这个方程描述准单色波的自调制和自聚焦等。它是在流体中及 等离子体中波动、非线性光学和超导等各个领域中出现的极一般的近似方程。 矽( x ，f ) = r ( x ) e x p f o ( x ) 一i d z t ， 式中r g ) ，乡g ) 是实函数，q 是实常数 形的解有： p q o 时，r ( x ) = rs e c | l z = ；万孤x ；r = 厮 ( 2 5 3 ) p q 1 时。 三l ，g ，) 一甜。一。g ，r ) 】= 脚g 皿。甚。一。g ，t ) l 满足初始条件 础) o ，制，。 我们把0 作为方程( 3 1 ) 同伦分析级数解得首项。即n o g ，f ) = o ， 形式 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 从而解可以写作如下 甜= 甜1 + 2 + 甜3 + ( 3 2 8 ) 3 1 ，4 同伦一帕德逼近 同伦一帕德逼近将传统帕德逼近和同伦分析方法相结合。为了确保级数在q = 1 时收 敛，首先应用传统帕德近似获得关于嵌入变量g 之k ，2 】阶帕德近似解。 对级数( 3 1 7 ) 关于嵌入变量g 应用传统的帕德近似，得到k ，胛】阶帕德近似解 u 。g ，b 。 楚l 一 ( 3 2 9 ) t 1 + u 腓女g ，t ) q - 一一一、 h = l 其中，u 。g ，f ) 由前几项近似解 甜，b ，f ) ，歹= o ，1 ，2 ，m + 刀 根据式( 3 1 7 ) ，令q = 1 ，得到i n ，z 】阶同伦一帕德近似。 与传统的帕德近似相比，同伦一帕德逼近能够显著地增大级数解的收敛区域并加