（计算数学专业论文）带弱阻尼项的kortewegde+vries方程的fourier谱方法.pdf

中文摘要 中文摘要 本文考虑了一维带弱阻尼项的k o r t e w e g - d ev r i e s 方程通过对带有弱阻尼项 的k o r t e w e g - d ev r i e s 方程的周期和初边值问题的研究，我们提出了此类方程的半 离散f o u r i e r 谱格式，并证明了其近似解所满足的一系列能量等式充分利用这些 能量等式，针对其近似解给出了对时间t 的致的先验估计且得到了很好的结果 在此基础上，进一步地得出在一定条件及有限时间段( o ，t 】内，我们建立的半离散 f o u r i e r 谱格式的稳定性、收敛性及误差估计 其次，我们讨论了由半离散的f o u r i e r 谱格式生成的离散动力系统( 有穷维的) 的动力性质，证明了离散动力系统拥有整体的吸引子 关键词： 带有弱阻尼项的k o r t e w e g - d ev r i e s 方程；f o u r i e r 谱方法；整体吸引子 黑龙江大学硕士学位论文 a b s tr a c t o n e - d i m e n s i o n a lw e a k l yd a m p e dk o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o n si sc o n s i d e r e d i nt h ep a p e r t h r o u g ht h er e a s e r c h i n go nt h ew e a k l yd a m p e dk o r t e w e g - d ev r i e e q u a t i o n sw i t hi n i t i a lc o n d i t i o na n dp e r i o d i cb o u n d a r y , w ec o n s t r u c tas e m i d i s c r e t e f o u r i e rs p e c t r a ls c h e m ef o rt h ee q u a t i o na n dg e tas e r i e so f e n e r g ye q u a t i o n s m a k i n g f u l lu s eo ft h e s e e n e r g ye q u a t i o n s ”，w en o to n l yo b t a i nau n i f o r mp r i o r ie s t i m a t e f o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no ft h es e m i d i s c r e t ef o u r i e rs p e c t r a li nt i m eb u ta l s o r e c e i v eag o o dr e s u l t o nt h e s eb a s i s ，w eh a v ef u r t h e rf o u n dt h es t a b i l i t y , t h ec o n - v e r g e n c ea n dt h ee r r o re s t i m a t eo ft h es e m i d i s c r e t ef o u r i e rs p e c t r a ls c h e m eo v e ra f i n i t et i m ei n t e r v a l ( 0 ，t 】u n d e rs o m ec o n d i t i o n s a n dt h e n ，w ed i s c u s sd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m sw h i c hw e r eg e n e r a t e db yt h e s e m i d i s c r e t ef o u r i e rs p e c t r a ls c h e m e t h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o ri sp r o v e df o r k e y w o r d s ：w e a k l yd a m p e dk o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o n s ；f o u r i e rs p e c t r a l m e t h o d ； g l o b a la t t r a c t o r i i 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。 学位论文作者签名：罩囊签字日期：妒罗年乓月je t j j k - ，、一 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文。 学位论文作者躲跌 新躲矧乏嘭 签字日期：硝年上月上日 签字日期：矽哆年1 - 月? e t 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第1 章绪论 i i 第1 章绪论 1 1无穷维动力系统简介及研究状况 法国著名数学家r o g e rt e m a m 在他的专著”i n f i n i t e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a l s y s t e m si nm e c h a n i c sa n dp h y s i c s ”的序言中说到：非线性动力学问题的研究是一 个极度吸引人的问题，因为它对于自然科学中的许多重要问题的理解起着核心的作 用在非线性动力学中最老、最著名的两类问题是天体力学问题和流体力学中的湍 流问题这两个物理现象吸引科学家对其进行研究已经有相当长的一段时间了第 类问题是有穷维的，第二类问题是无穷维的作为一个古老的课题，非线性动力 系统的研究甚至可以追溯到牛顿对于行星运动的研究一百多年前，h p o i n c a r 6 论 述太阳系稳定性的长达2 7 0 页的论文当可谓动力系统定性理论的第一本教科书，并 提出动力系统的概念，不少新兴的研究领域从中生发出来 动力系统的概念源于常微分方程定性理论的研究考虑定义于r m 上的常微分 方程组的初值问题 j 苦= f ( y ) ， t 0 ( 1 1 ) y ( o ) = y o ( 1 2 ) 如果f c ( r m ，r 一) ，y o p ，我们知道常微分方程组的初值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 局部 解存在如果f 进步满足一定的条件，如l i p s c l i t z 条件，则初值问题( 1 1 ) - ( 1 2 ) 的解y ( t ) 对于任何的初值y o p 在r 上都存在定义初值问题( 1 1 ) - ( 1 2 ) 的解 算子 s ( t ) ：y o y ( t ) ， 那么算子族 s ( ) 】称之为p 上的一个动力系统二百多年前，h p o i n c a r 6 等就 对这样的系统的轨道结构进行了研究 上面的系统所在的相空间是有穷维的由于无穷维空间的复杂性，过去对于非 线性偏微分方程所对应的系统很少涉及事实上，对于一个给定的偏微分方程，甚 至解的存在性都是个棘手的问题由于受非线性项的影响，即使解局部存在，也未 必整体存在由于科学和技术的进步，人们越来越多地想了解这样的系统的行为 因此，自上个世纪八十年代以来，人们就对无穷维空间上的动力系统展开了研究 一项重大的研究成果就是发现了相当多的由耗散的偏微分方程( 组) 生成的无穷维 动力系统，就其长时间行为而言，与由常微分方程( 组) 生成的有穷维动力系统本 一1 一 黑龙江大学硕士学位论文 质上是一致的随着时间的延续，系统的所有轨道都趋于一个h a u s d o r f f 维数和分 形维数均有限的紧致区域( 整体吸引子月) 到上个世纪八十年代末，有关无穷维动 力系统研究的成果分别由r t e m a m 4 9 】和j k h a l e 7 】总结在他们各自的专著中 后来，a v b a b i n ，m i v i s h i k 和0 l a d y z h e n s k a y a 分别在上个世纪八十年代末和 九十年代初也陆续出版了他们的专著我国著名数学家郭柏灵院士在2 0 0 0 年也出 版了关于无穷维动力系统的专著【l 】 一般地，设日是个距离空间， s ( ) ) t o 是定义在日上而取值也在日中的 一族算子，并且具有如下半群性质 js ( t + s ) = s ( t ) s ( s ) ， v t ，s 芝0 ，o 、 is ( o ) = i ( 恒同算子) 、。 、 如果s ( t ) t 关于变元( t ，t ) h r + 连续，且关于t 有直到r 阶f r 6 c h e t 导数，则 称 s ( 亡) ) t o 是伊( r 0 ) 类算子半群我们称算子半群 s ( t ) ) 忿。是定义在日上 的个动力系统，h 称为这个动力系统的相空间对于牡h ，称 s ( t ) u l t r + ) 为起点在t i 的个正轨( 道) 如果t | h 满足s ( t ) 仳= uv t r + ，则称u 为s ( t ) 的平衡点一般地，日是个b a n a c h 空间，或者是个h i l b e r t 空间根据相空 间日的维数，我们又把动力系统s ( t ) 分为有穷维动力系统和无穷维动力系统根 据时间变量t 在r + 上的取值，我们又可把动力系统称为离散时间变量的动力系统 和连续时间变量的动力系统动力系统研究的主要目标是要研究这个系统随时间演 化的过程及系统演化的最终状态吸引子和整体吸引子是刻画系统最终状态非常重 要的概念 定义相空间日中的集合4 称为动力系统s ( t ) 的个吸引子( a t t r a c t o r ) ，如 果4 具有如下性质 ( i ) 4 是个泛函不变集，即s ( t ) a = a ，v t r + ， ( i i ) 存在a 的一个开邻域“，使得对于每个t o 酣，当t _ o c 时s ( t ) 伽收敛 到a ，即d i s t ( s ( t ) u o ，a ) _ 0 ：当t o 。，其中d i s t ( s ( t ) u o ，a ) = i n f v e 4d ( s ( t ) u o ，可) ， 而d ( s ( t ) u o ：y ) 为s ( t ) 和y 之间的距离( 在日中) 吸引子4 具有局部性质，它只吸引它邻域中的点，a 也可以称为局部吸引子 定义相空间日中的集合4 称为动力系统s ( t ) 的一个整体吸引子( g l o b a l a t t r a c t o r ) ，如果4 是一个紧的吸引子，而且它吸引日中的任何有界集 日中的整体吸引子a 如果存在必定唯一按照集合的包含关系，整体吸引子 a 是最大的有界吸引子和最大的有界泛函不变集，因此我们又称整体吸引子a 为 最大吸引子( m a x i m a la t t r a c t o r ) 第1 章绪论 设b 是日的个子集，“是包含b 的个开集，称召在甜中是吸收的，如 果“中的任何有界集的轨道当t 达到某一时刻以后均进入到艿中 为了动力系统s ( t ) 在相空间日中整体吸引子4 的存在性，我们要求s ( t ) 满 足 对于每个t 0 ，s ( t ) 是日到日的连续算子( 1 4 ) 算子s ( t ) 对于充分大的t 是一致紧的，即对每个有界集召，都存在t o ( n ) ， 使得u t t us ( t ) b 在日中是列紧集 ( 1 5 ) 如果日是b a n a c h 空间时，还可对s ( t ) 的结构做进一步地假设 日是b a z m c h 空间，s ( t ) = & ( t ) + 岛( t ) ，其中算子母( t ) 对于充分大的t 是 一致紧的，岛( ) 是日到日的连续映射，而且对于日中的每个有界集c ， 当t _ 0 0 时，有心( t ) = s u p 妒dl i & ( t ) ：，o l l r z _ 0 ( 1 6 ) r o g e rt e m a n 在他的专著 4 9 】中给出了如下重要定理 定理1 1 1 4 9 1 设日是个距离空间， s ( t ) ) t o 是定义在h 上的个动力系 统，满足( 1 4 ) ，( 1 5 ) 或者( 1 6 ) 设存在开集“ch 和“中的个有界集艿，使得 召在“中是吸收的那么b 的u 极限集a = u ( 召) 是个紧的吸引子，4 吸引“ 中的有界集，一4 是甜的最大有界吸引子如果日是b a n a c h 空间而且甜既是凸的 又是连通的，那么4 也是连通的 实际上，条件( 1 5 ) 能够用如下更弱的条件代替： 存在t l 0 ：使得s ( t a ) 是日到日的紧算子( 1 5 ) 7 由u 极限集的定义，还有 a = nu s ( t i n ： s ot s 其中闭包是在h 上取的 人们发现，相当广泛的一批描述弱非线性作用下的波动方程和方程组，在长波 近似和小的且为有限的振幅假定下，均可归结为k o r t e w e g - d ev r i e s 方程，如冷等 离子体的磁流体波的运动，非谐振晶格的振动，等离子体的离子声波，在弹性杆中 的纵向色散运动，在液，气两种混合态的压力波运动，在低温下非线性晶格的声子 波包的热激发等 通过对p d e 方程离散化，并采用长时间计算方法，是从有穷维动力系统走向 无穷维动力系统的一条很好的途径利用数值计算，通过计算机模拟动力系统的行 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 为是研究无穷维动力系统很重要的方法由于在数值计算中必须考虑t 趋向无穷的 有效性，这对微分方程的数值解法来说，也是个全新的研究领域国内外许多学者 都致力于这方面的研究，如c m e l l i o t t ，a m s t u a r t 在文【1 2 】中用有限差分法研究 了半线性抛物方程的半离散和全离散格式，对于一些离散格式，证明了对应的离散 系统拥有整体的吸引子；向新民【1 3 】讨论了带弱阻尼的非线性s c h r s d i n g e r 方程周 期初边问题的半离散f o u r i e r 谱格式，得到了近似解的长时间收敛性以及近似吸 引子的存在性和弱上半连续性f y z h a n g 在文f 1 4 1 5 】中也用差分法研究了带有 阻尼项的一维和三维s c h r s d i n g e r 方程的全离散格式，证明了对应的离散系统吸引 子的存在性y i ny a h 在文【1 6 】中用差分法研究了带有阻尼项的一维s c h r s d i n g e r 方程的半离散格式，证明了对应的离散系统吸引子的存在性及它们的h a u s d o r i t 维 数和f r a c t a l 维数的估计 j k h a l e ，x b l i n ，g r a u g e l 在文【2 1 2 2 】中研究了耗 散的抛物型方程和双曲型方程的离散化问题，证明了离散系统吸引子的存在性及它 们的上、下半连续性l d e t t o r i 在文【1 7 】中研究了一类半线性抛物型方程的吸引 子的谱逼近c d e v u l d e r ，m m a r i o n ，e s t i t i 在文【1 8 】中考虑了非线性g a l e r k i n 方法的收敛速度j i es h e n 在文【1 9 】中证明了全离散非线性g a l e r k i n 方法的长时 间稳定性和收敛性 1 2 谱方法简介及研究状况 谱方法是7 0 年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法，但是，长期以 来，由于他计算量大而一直没有被广泛应用，直到快速变换的出现，给谱方法带来了 生机近三十多年来，谱方法得到了蓬勃的发展，如j e p a s c i a k 2 0 ，h o k r e i s s e 2 1 】，郭 本瑜【2 2 】【2 3 】【2 4 】【2 5 i c c a n u t o 2 6 1 2 7 1 2 8 2 9 1 3 0 ，y m a d a y 3 1 】【3 2 1 3 3 1 ：a q u a r t e r o n i ，等人对谱方 法在理论上进行了系统地研究，对各类投影算子，插值算子在各种范数意义下给出了 误差估计，并把这些结果运用于一系列重要的线性和非线性偏微分方程的数值分析 上，得到十分满意的结果，而这些成果已总结在c c a n u t o ，m y h u s s a i n i ，a q u a r t e r o n i 的专著【3 4 】中在国内也有如 2 5 】， 3 5 】这些谱方法方面的专著现在，大量的实际 计算也证明了谱方法确是一种十分有效的数值方法，并被广泛地用于地应用到流体 力学、气象、计算物理等领域 谱方法最大的优点就是具有所谓的。无穷阶”收敛性，即如果原问题的解充分 光滑，那么用适当的谱方法所求得的近似解将以以的任意幂次速度收敛于精确 解这里为所选取的基函数个数因此，谱方法已经成为继有限差分法、有限元 一4 一 第1 章绪论 法之后叉种重要的数值方法 1 3 k o r t e w e g - d ev r i e s 方程数值解法的研究 设q = ( o ，l ) ，l 是非负常数k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程 豢+ 仳关+ 耄：o ，( 叫) q r + ， ( 1 6 ) 瓦+ 仳瓦+ 瓦2 u ，【z ， 3 2 腿，【1 - 6 ) 最初是由d j k o r t e w e g 和g d e v r i e s 在【3 6 】中作为浅水波中带有小振幅的一维水 波模型提出的在【3 7 】中，r t e m a n 利用粘性方法证明了k o r t e w e g - d ev f i e s 方程 在周期边界条件下广义解的存在性和唯性j l b o n a 和r s m i t h 3 8 1 考虑了带有 零阶项的非齐次k o r t e w e g - d ev r i e s 方程，也得到了其周期初值问题广义解的存在 唯性 与此同时，自从z a b l l s k y 和k r u s k a l 在【3 9 】中利用蛙跳格式数值求解此方程 后，k o r t e w e g - d e c r i e s 方程的数值解法的研究得到了迅速发展人们用各种数值方 法对其进行数值分析，构造了相当多的数值计算格式，得到了一些非常好的结果， 如g a b a k e r ，v a d o u g a l i s 及o a k a r a k a s h i a n 在【4 0 】中，k u o 和s a n z - s e m a 在 【4 1 】中，h a n 和s h e n 在 4 2 】中，及r w i n t h e r 在【4 3 】中等等m a 和g u o 在【4 4 】 中，利用限制算子完善了f o u r i e r 拟谱方法，消除了对拟谱方法来说引起能量反常 增加的非线性不稳定现象 w a h l b i n 在【4 5 】中提出了非标准的耗散g a l e r k i n 有限 元方法，而且分析了其半离散逼近收敛的最优阶 1 9 8 0 年，w i n t h e r 在【4 3 】中提 出了非标准的保守有限元方法进一步地，h a i l 和s h e n 在 4 2 】中利用四个近守恒 方程建立了一族差分方法，并且在s o b o l e v 空间l ( o ，丁；日3 ) 和l ( o ：t ；日2 ) 中分 别证明了其数值解的收敛性和稳定性而这些结果的证明往往依赖于k o r t e w e g d e v r i e s 方程的如下守恒性质( 1 7 ) 一( 1 1 0 ) pr l t ( z ，t ) d x = 乱( z ：o ) d x ，v t 0 r lp l t 2 ( z ，t ) d x = u 2 ( z ，o ) d x ，v t 0 z l ( ( u ) 2 ( z ，t ) 一吾i ，u 3 ( z ：t ) ) d z 已o l ( u ：( z ，。) 一圭u 3 ( z ，。) ) d z ，v t 。 z 工( 詈u 2 2 霉c z ，一3 u ，“：( z ：t ) + 三u 4 ( z ，t ) ) d 匆 一5 一 墨垄婆奎兰堡兰垡堡奎 = ：l ( 詈u 2 z ( z ，。) 一3 u u ：( z ，。) + 吾u 4 ( z ，。) ) 如：v t 。 本论文结构如下- 在第2 章，我们给出带有弱阻尼项的k o r t e w e g - d ev r i e s 方程的一些基本性质 和结论 在第3 章，我们首先给出一些记号和引理，其次对非线性波动方程的初边值问 题( 2 1 ) ( 2 3 ) 建立了半离散f o u r i e r 谱格式( 3 1 ) 一( 3 2 ) ，对其解进行了先验估计，并 证明了半离散f o u r i e r 谱格式( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的稳定性，收敛性及误差估计 在第4 章，我们讨论了由半离散格式生成的离散系统的长时间行为，证明了离 散系统具有整体吸引子 1 4 本章小结 在本章中，首先，介绍了谱方法和无穷维动力系统的历史背景以及近些年来的 研究状况，其次，指出了本文所要讨论的类一维带弱阻尼的非线性波动方程初边 问题及其数值解法最后，给出了本论文的整体结构 一6 一 第2 章带有弱阻尼项的k o r t e w e g d ev r i e s 方程的长时间行为 第2 章 带有弱阻尼项的k o r t e w e g - d ev r i e s 方程的长 时间行为 本文我们研究如下带有弱阻尼项的k o r t e w e g - d e c r i e s 方程周期初值问题 雾+ u 鬈+ 嘉+ 7 u ：，( z ：t ) q 时， ( 2 1 ) 瓦+ u 瓦十瓦十7 u 2 ， 【z ：t ) sz 肽， ( 2 - 1 ) u ( x ，亡) = t ( z + l ，t ) ，( 。，t ) q 瓜卜， ( 2 2 ) 豇( z ，o ) = 2 l o ( z ) ( 2 3 ) 这里7 是正的常数，= ，( z ) 是以l 为周期的光滑函数 初边值问题( 2 1 ) - ( 2 3 ) 的解t ( z ，t ) 满足下面的 能量等式 爰lu 2 d x + z 工( , y u 2 - - ，牡) d x = 。，耽 。 ( 2 4 ) 爰z 工( 丢“3 ) 如+ o 工n ( 2 一u 3 ) + ，u 2 2 厶u z ) 如= 。，v t 。( 2 5 ) 爰z 工( 兰u ：x - 3 u u ：+ u 4 ) d x + o l 7 ( 萼仳：+ 矿+ 3 仳u ：+ 6 u 2 让霉霉) 一萼一6 f u u x = - 3 f t l ：一，乱3 ) 如= o v t o ( 2 6 ) j m g h i d a g l i a 利用上面的能量等式( 2 4 ) 一( 2 6 ) ，在文【4 6 】中研究了由问题( 2 1 ) - ( 2 3 ) 生成的无穷维动力系统s ( t ) ，得到如下结果 定理2 1 4 6 1 设7 0 和，磁那么存在常熟p 2 = p 2 ( l ，7 ：i i 川2 ) 使得对于 r 0 ，存在乃( 尺) 使得 i i s ( t ) 咖1 1 2 晚：v u o 磁，1 1 咖1 1 2 r ，正( 冗) 即碗中的闭球 b 2 = 秒哦；i l v l l 2 晚) 是动力系统s ( t ) 在相空间砚中的个有界吸引集 利用r t e m a m 的定理1 1 ，j m g h i d a g l i a 得到如下主要定理 定理2 2 4 6 集合 a = u ( 岛) 满足 a 是有界的，且在哦上是弱闭的， 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 s ( 亡) 4 = a ， 且对于磁中每个有界集b ，集合s ( t ) b 按照磁中的弱拓扑当t _ + 0 0 时都收敛 到4 2 1 本章小结 在本章中，我们介绍了将要研究的带有若阻尼项的k o r t e w e g - d ev r i e s 方程的 解所满足的能量等式，并因此得到其相应的动力系统的有界吸引集的存在性及其性 质 第3 章半离散f o u r i e r 谱方法 i i 第3 章半离散f o u r i e r 谱方法 3 1 一些记号和引理 考虑纯量函数设驴( q ) 为q 上所有p 次幂l e b e s g u e 可积的实函数全体， ( ，) p ，i | - 0 p 分别代表护( q ) 上的内积和范数特别地，当p = 2 时，用( ，) ，i i i | 表 示l 2 中的内积和范数 以l 为周期的m 阶s o b o l e v 空间三留( q ) 的范数定义为 象= 垆排， k = o 其中半模定义为i u 瞪= 詹i 象1 2 d x 又设l ( q ) 为在q 上本性有界的实函数全 体，其范数记为1 1 7 2 1 1 工一，简记为i i u l l 设c 在不同的地方表示不同的常数，是 一个正整数，取空间 一 鼬= s p a n ( 、圭e 半i ) 昂中全体实值函数构成的空间记为虱令h = 紊击，巧= j h ( j = 0 ，1 ，2 n ) 让p 表示从l 2 ( q ) 到鼬的正交投影算子关于这个正交投影算子p n ，我 们有如下结果 引理3 1 【3 5 】对于“娥( q ) ，0 p 盯，存在不依赖于t i 和的常数c ，使得 0 t 一p u i i p c n p 一口1 1 7 2 1 1 矿 引理3 2 【3 5 l 对于t s k ，os 肛伊，存在不依赖于u 和的常数c ，使得 1 1 7 2 1 1 盯c n a - - l a1 1 “1 1 p 引理3 3 1 3 5 v u 耽( q ) ：有 1 1 7 2 1 1 。三s u pi t ( z ) l 1 1 7 2 1 1 ( 2 1 u 1 ，+ 亭| | i i ) o x 0 ，有如下估计 l l u l l e - t t i i u = ol i + 7 - 1i l f l l ( 1 一e - 7 ) ： 特别地，若取c o = m a = l l “。l i ，y i i l l l ，则有s u pl l l i c o 成立 证明；由( 3 3 ) 式，易知 d i l l = 1 2 + 2 训乱1 1 2 2 1 1 f l l l l “= 0 ， 上式两端同时约去2 1 1 u 0 并乘以e - 7 后对t 积分，由g r 6 n w a l l 不等式，有 i i 让o e - ，r 。o 牡。o + i i f l le - - k 。一r ) d 予se - 1 。o u 。i i + ，y 一1 1 1 1 ( 1 一e - 1 ) ( 3 6 ) ，0 引理3 9 若i | u 。i i i r 1 ，则问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解t 有如下的先验估计 i u 瞎c l ( r 1 ) ， 其中， 且有 妒( u ) = o l ( u 2 x 一丢u 暑) d z ， c i ( 剐= ( 2 咖o ) + 2 引m e l 2 + 学+ 2 咱警+ 钏u 1 1 3 ， ( “o ) = 2 4 7 o i l 警+ 警一。 i s - i - 2 4 i i 牡。1 4 + 3 2 4 i i 1 1 6 ： 尬= z , - , 4 7 - 刮川警+ 菩一7 - 3 1 1 f l l 3 + 2 4 7 卅l i f l l t + 3 2 4 , , f - 6 1 1 f i i 6 + 瓦1 + 壶l ) i i i i l 2 + 孤 罴死江大手坝士罕但论又 证明：若令妒( ) = 竹( x 一 仳斋) 如，则( 3 4 ) 式可记为 掣+ ，y 咖删= 洳删 ( 3 7 ) 其中， ( u ) = o 工( 一，y u 斋x + 孚让3 一：r ，+ 2 u n x p 厶) 如 ( 3 8 ) 利用引理3 3 即h f l d e r 不等式有 ，厶 i 钍出i i 牡i o u 1 1 2 i l u 1 1 1 ( 2 1 u i 。+ l - 1 i i u 1 1 ) ，0 i l u 。, l i ；( 以l 牡i + 三一圭1 1 “l i ；) 冬去l 也l i + 3 4 。1 l i 让i i 警+ l 一言1 1 牡1 1 3 ( 3 9 ) 于是得 l p ( u ) = z l ( u 刍x j l u 3 ) d z i u l i 一亏1 lz 二, 4 d z l 丢l u i ；一三2 | l 让i j 警一三三一；i | u 1 1 3 ， ( 3 1 0 ) 又 i p n $ 1 警川+ 瓦3 221ui ll p n $ 1 1 - - 4 -i p n f i ；： ( 3 1 1 ) 叫i u 悖+ 瓦： ( 3 1 1 ) 1 0 0 lu 斋( p n f ) d x l z li u l l p n i i d x 妣i i 1 1 i i i i p n i i i i l u i l l ( v 互l u i + l 一1 1 钍1 1 ) i i p n i i i 以i u n l ；1i i u i i ；l l i i i + l 一1 1 u i i z i l s l l 7 f 牡i t i i u 1 1 3 + 专i l s l l 2 + l 一 i i 牡1 1 2 i l s l l 吾k l ；+ 却牡1 1 6 + 瓦1 2 + i i 1 1 4 + 击l l s l l 2 ( 3 1 2 ) 将( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 2 ) 带入( 3 8 ) 式并整理得 洳) 2 毛，y i i 牡i l 警+ 警一1 1 3 + i i 乱1 1 4 + 翔1 1 6 + ( 刍+ 壶) i i 川2 + 孑3 2 ， ( 3 1 3 ) 将( 3 6 ) 式代入( 3 1 3 ) 式中并化简得 型掣+ ，y 出以) ) s 所( u 小叫+ ( 3 1 4 ) 第3 章半离散f o u r i e r 谱方法 其中 局( 让。) = 2 1 1 让。庐+ i 2 4 三一址。1 1 3 + 2 4 i i 钍。1 1 4 卜3 2 4 慨。1 1 6 ： 恐：2 4 ，y 一萼i i ，i i 警+ 百2 4l 一，y 一3 l i ，1 1 3 + 2 4 7 40 ，0 4 + 3 2 - 6 l l f l l 6 + 瓦1 + 去) l l 1 1 2 + 号i ，臣 在( 3 1 3 ) 式两端同乘，并在( 0 ，亡) 上积分得 妒( u ( t ) ) 冬( 妒( t m ) + 艇( u 。) t ) e 一7 + k 2 r 一1 ( 1 一e - 12 ) ( 3 1 5 ) 考虑( 3 1 0 ) 及( 3 1 4 ) 式有： i u i ；2 叫2 丁1 0 + 吾l 一砉1 3 + ( 2 妒( u 。) + 2 硒( u 。) ) e - r t + 学( 3 1 6 ) 引理3 1 0 若iu 。1 1 2 冬r 2 ，则问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解u n 有如下的先验估计 i 牡。，瞎q ( 尼) ， 其中 且 妒( u ) = 詈i u l ；+ z 工( 石1 u 4 - 3 u n u j ：r x ) d z ， 岛( 啦筹( ( 三+ 翱w i i + 狮；+ 面1h l ：) + 筹蜘0 ) e 叶丽4 0 k 3 虬= ( 半+ 等+ 瓦9 7 + 瓦3 + 竽) l l 1 1 4 + 互1l u 1 2 。+ 昕m i + ( i 1 + t 盖l ) i 1 4 + 一4 4 5 7 u 信 + 弘1 8 + 筹i | ，1 1 2 + ( 互1 + 瓦1 ) l i 州4 + ( 一l o s + 瓦3 + 兰) 腿 证明：考虑( 3 1 5 ) 式，令 妒( u ) = 詈i 钍l ；+ o 工( 互1u 4 - 3 u u 斋x ) d z ( 3 1 7 ) 黑龙江大学硕士学位论文 掣+ 例乱删刮u ( 3 1 8 ) 其中， 叼( u ) = 7 o 工( 2 + 6 u r ，u 斋x 一翔妇 + z 工缸山x 如+ o l ( 6 u n u 。r x x + 3 u 斋一蚤) ( p 舳 一i 五3 t t 斋x 出+ j | ! 二t t x ( 3 p n u x p ) d 茁 ( 3 1 9 ) 又利用引理3 4 及g - 不等式，我们得到下列不等式 i 丢z 工“刍d z l 丢l l 牡l l 琵。乱1 1 2 丢i i 让1 1 3 ( 2 1 1 钍i i + z 1i t 1 1 ) 扣1 1 4 + 扣h n i l 3 i u i 。 扣1 1 4 + 而3 忙1 1 4 + 壶h j4 i 3 u 2x 如i 3 1 1 牡xi i l l l u 1 1 ，0 _ 3 v 2 1 u l i 似i l l 仳i i _ _ _ l u l l 。i i 1 1 2 + 籼； 去l 也n i + 2 1 1 u n i l 4 + 兰i u n i i 于是， 妒( ) 亏9 ；一丢1 1 牡1 1 4 一面3 帆1 1 4 一面1m ：一扣| 2 _ 2 1 1 4 一兰川； 纂l u i ；一( 互5 + 面3 ) l l u 1 1 4 一兰i u i i 一面1 i u i ：( 3 2 0 ) 又 z 工萼厶如弘l ；+ 丽1 0 8 i 朋， i f ( 6 u n u n x x + 3 u 斋x ) ( p n f ) d x 第3 章半离散f o u r i e r 谱方法 = 3 ( u ：r ：f 厶x ) 一3 ( 仳二x ，f ，) 3 1 1 , , i i 。i l u i ii i p 且d x xl i + 3 | i t | xl l l u i l l l p f l i 3 x 2 1 1 u t | 南，1 2 + 要帆i i ：i l l 2 + 3 x 互l l 刚1 州 v d 3 铜划同训 i ，1 2 + 匀删i ii l l z + 孙1 2 + 垡4 川+ 筹盯1 1 2v d u ， 三i l u 1 1 4 + 趸1 i t l ：+ 9 2 3 1 1 u 1 1 4 + j 3 2 u l ； + 竽h | 6 + 筹2 瓣1 1 4 + 刊1 + 堑4 叭+ 喾2 + ( 互9 + 秽3 儿2 + 警h 1 2 p b 牡毒( p ，) 如帆i i l i i t , i i i l 晶f 1 1 ，o i i 牡1 1 2 ( 2 l u i - + l - 1 l i 钍i i ) l l f l i 2 l l u 1 1 2 i u i l l l f l i + l - 1 i l u 1 1 3 l i ， 剑u 1 1 4 + 丢h 1 4 + - ；l l f l l 4 + 壶l l f l l 4 + 翱牡1 1 4 外+ 差川u n i l 4 + 互1 h i i + ( 互1 + 矗) l l f l l 4 ， ，上， ( 3 他t xj ( 仳：r x ) 一3 u 牡3 x ) d x j 0 3 1 1 u x l i 0 仳洲p ( u 斋x ) 1 1 + 3 1 1 , , x i i 蝥l u i i l l , , 6 陋x ，2 一y i s i l u u s 警i 钍 l 乙l u 1 1 1 1 u l i 1 2 1 u i i i u l z l l u 0 ；+ * 帆n 0 2 ；+ 铷l i + 轴1 1 4 将以上各式带入( 3 1 9 ) 并整理有 咖胚( 半+ 了4 5 + 面9 + 瓦3 + 翱u 1 1 4 + 互1 川柏川+ ( 互1 + 盖) 川+ 警川 + 铷1 8 + 筹盯 1 2 牦1 + ) l l f l l 4 黑龙江大学硕士学位论文 + ( 黑+ 喜+ 知；全 + ( 虿爵+ 瓦+ 互) l ，i i 竺k 3 与( 3 1 5 ) 式推倒过程类似，可得 蜘) 似o ) e 叫+ 等 再由( 3 2 0 ) 式即得 川箬( ( 兰+ 面3 ) i i 训1 4 + 狮；+ 面1h i ) + 箬) e - x t + 丽4 0 k 3 b ，。b ，y 综上，我们可得下面的推论 ( 3 2 1 ) 推论3 1 若，磁，且i i 钍。0 2s 疡，则问题( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的解在( 0 ，+ o o ) 上 存在，且存在与t 无关的常数g ( 恐) ，使得i i t 1 1 25c ( r 2 ) 成立 3 4 半离散f o u r i e r 谱格式的稳定性、收敛性及误差估计 设让，是带有初值条件( o ) ，? i n ( o ) 的半离散f o u r i e r 谱格式( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的 两个解，且初值满足 0 u ( o ) 1 1 2 + l l ( o ) 0 2 r 由推论3 1 ，存在常数q ( r ) ，使得 ( t ) j 1 2 + i v ( t ) 1 1 2 q ( r ) ： 耽0 ( 3 2 2 ) 我们设e n = 1 1 , 一：那么e n 满足 e t ，x ) - 4 - ( e x x x x + ，y e + t u x 一x ，x ) = 0 ， v x 霸 ( 3 2 3 ) 在( 3 2 3 ) 中取x = e n ，并注意到( 3 2 2 ) ：则可得 丢面d1 1 1 1 2 + 7 1 1 8 1 1 2 = 一o 工( 牡x 一x ) e 如 = 圭z l ( u 专一u 嘉) e n x d z = 一三z 工e ；( u + u n ) x d z s 主( i | u x l l + i i u xi l 。) l i e 1 1 2 c 1 1 1 e 1 1 2 第3 章半离散f o u r i e r 谱方法 即 副e 雌2 ( q 一，y ) i i e 1 1 2 由g r s w n w a l l 引理，我们有如下估计： i l e j 1 2 l i e ( o ) 1 1 2 ， v t 芝0 ( 3 2 4 ) 因