北京市朝阳区2014届高三数学上学期期末考试试题 文 新人教A版

1 北京市朝阳区 2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文史类） 2014.1 （考试时间 120分钟 满分 150分） 本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 . 1.已知集合 2lo g 0A x x,集合 01B x x ,则 AB= A. 0xx B. 1xx C. 0 1 1x x x 或 D. 2.为了得到函数 22yx的图象，可以把函数 2yx 的图象上所有 的点 A. 向右平行移动 2个单位长度 B向右平行移动 1 个单位长度 C. 向左平行移动 2个单位长度 D. 向左平行移动 1 个单位长度 3. 执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为 A. 6 B. 24 C. 120 D.720 4.已知函数 2 , 0 ,(), 0 ,x xfx xx 则 2a 是 ( ) 4fa 成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 开始 k=1 i=2 k=k i i=i+1 是 i5? 输出 k 否 结束 2 5. 若实数 ,xy满足3200xyxyx ，则 z y x的最小值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知 02，且 4cos5 ，则 tan( )4 等于 A. 7 B. 1 C. 34 D. 7 7. 若双曲线 C ： 222 ( 0 )x y m m 与抛物线 xy 162 的准线交于 ,AB两点，且 43AB ，则 m 的值是 A. 116 B. 80 C. 52 D. 20 8. 函数 2( ) 3f x x x的图象为曲线 1C ，函数 2( ) 4g x x 的图象为曲线 2C ，过 x 轴上的动点( , 0 ) ( 0 3 )M a a作垂直 于 x 轴的直线 分别 交曲线 1C ， 2C 于 ,AB两点， 则线段 AB 长度的最大值为 A 2 B 4 C 5 D 418 第 二部分 （非选择题 共 110分） 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 .把答案填在答题卡上 . 9.已知数列 na 为等差数列，若 1 3 5 8a a a ， 2 4 6 20aaa ，则公差 d 10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 . 11. 某校 为了解 高 一 学 生寒 假期 间的阅读情况， 抽查 并统计了 100 名同学 的某一周阅读 时间 ， 绘 制俯视图 1 1 侧视图 正视图 1 频率 /组距 3 了 频率分布直方图 （如图所示），那么这 100名学生中阅读时间在 4,8) 小时内 的人数为 _ 12.直线 l ： 3 6 0xy 被圆 :C 2 21 ( 2 ) 5xy 截得的弦 AB 的长是 . 13.在 ABC 中， 120A，1AB AC ，则 AB AC ；|BC的最小值是 . 14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的 .（写出满足 条件的图形序号 ） （ 1）正三角形 （ 2）梯形 （ 3）直角三角形 （ 4）矩形 三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15.（本题满分 13分） 已知函数 22( ) 3 s i n 2 s i n c o s c o s 2f x x x x x . （）求 ()4f 的值； （）求函数 ()fx的最小正周期及单调递增区 间 . 16. （本题满分 13分） 甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试 .在相同的测试条件下，两人 5 次测试的成绩（单位：分）如下表： 第 1次 第 2次 第 3次 第 4次 第 5次 甲 58 55 76 92 88 乙 65 82 87 85 95 （）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图 . 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （）若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有一个高于 90分的概率 . 4 17. （本题满分 14分） 如图，在三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面ABC ,PA AC ， AB BC 设 D ， E 分别为 PA ， AC中点 . （）求证： DE 平面 PBC ； （）求证： BC 平面 PAB ； （）试问在线段 AB 上是否存在点 F ，使得过三点 D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说明理由 18.（本题满分 13分） 已知函数 3 2 2()f x x a x a x ，其中 0a . （）若 (0) 4f ，求 a 的值，并求此时曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （）求函数 ()fx在区间 0,2 上的最小值 . 19.（本题满分 14分） 已知椭圆 C 两焦点坐标分别为1( 2,0)F ,2( 2,0)F，一个顶点为 (0, 1)A . （）求椭圆 C 的标准方程； （）是否存在斜率为 ( 0)kk 的直线 l ，使直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 ,MN，满足AM AN . 若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由 . 20. （本题满分 13分） 已知数列 na的通项 192 1 0nnan ， n N . ( )求12,aa； （） 判断数列 na的增减性 ,并说明理由； ( ) 设1n n nb a a，求数列 1nnbb的最大项和最小项 . 北京市朝阳区 2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试 D E B A P C 5 数学答案（文史类） 2014.1 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A B D D D 二、填空题： 三、解答题： 15.解： （）依题意 2( ) 2 s i n s i n 2 1f x x x sin 2 cos 2xx 2 s in ( 2 )4x . 则 ( ) 2 s i n ( 2 ) 14 4 4f . .7 分 （） ()fx的最小正周期 . 当 2 222 4 2k x k 时，即 3 88k x k 时 , ()fx为增函数 . 则函数 ()fx的单调增区间为 3 , 88kk,kZ . .13分 16 . 解：（） 茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好 . .6 分 （）设事件 A ：抽到的成绩中至少有一个高于 90分 . 从 甲 、 乙 两 人 5 次 的 成 绩 中 各 随 机 抽 取 一 个 成 绩 ， 所 有 的 基 本 事 件 如 下 ： 5 8 , 6 5 , 5 8 , 8 2 , 5 8 , 8 7 , 5 8 , 8 5 , 5 8 , 9 5 ,5 5 , 6 5 , 5 5 , 8 2 , 5 5 , 8 7 , 5 5 , 8 5 , 5 5 , 9 5 ,7 6 , 6 5 , 7 6 , 8 2 , 7 6 , 8 7 , 7 6 , 8 5 , 7 6 , 9 5 ,8 8 , 6 5 , 8 8 , 8 2 , 8 8 , 8 7 , 8 8 , 8 5 , 8 8 , 9 5 ,9 2 , 6 5 , 9 2 , 8 2 , 9 2 , 8 7 , 9 2 , 8 5 , 9 2 , 9 5 , 共 25个 . 事件 A 包含的基本事件有 5 8 , 9 5 , 5 5 , 9 5 , 7 6 , 9 5 , 8 8 , 9 5 , 9 2 , 6 5 ,9 2 , 8 2 , 9 2 , 8 7 , 9 2 , 8 5 , 9 2 , 9 5 共 9 个 . 题号 9 10 11 12 13 14 答案 4 16， 332 54 10 2, 6 （ 1）（ 2）（ 4） 8 7 5 6 9 8 2 6 甲 乙 5 5 7 2 5 8 5 6 所以 9()25PA，即抽到的成绩中至少有一个高于 90 分的概率为 925. .13分 17. 证明： （）因为点 E 是 AC 中点，点 D 为 PA 的中点， 所以 DE PC 又因为 DE 面 PBC ， PC 面 PBC ， 所以 DE 平面 PBC .4分 （）因为平面 PAC 面 ABC , 平面 PAC 平面 ABC =AC ,又 PA 平面 PAC ， PA AC ，所以 PA 面 ABC . 所以 PA BC 又因为 AB BC ，且 PA AB = A ， 所以 BC 面 PAB .9 分 （）当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行 取 AB 中点 F ，连 EF ，连 DF . 由（）可知 DE 平面 PBC 因为点 E 是 AC 中点，点 F 为 AB 的中点， 所以 EF BC 又因为 EF 平面 PBC ， BC 平面 PBC ， 所以 EF 平面 PBC 又因为 D E E F = E ， 所以平面 DEF 平面 PBC ， 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行 故当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D , E , F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行 .14分 18. 解：（）已知函数 3 2 2()f x x a x a x ， 所以 22( ) 3 2f x x a x a ， 2( 0 ) 4fa ， 又 0a ，所以 2a . 又 (1 ) 5 , (1 ) 5ff ， 所以曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 50xy . . . 5分 （） 0,2x ， 22( ) 3 2 ( ) ( 3 )f x x a x a x a x a D E B A P C F 7 令 ( ) 0fx ，则12,3ax x a . （ 1）当 0a 时， 2( ) 3 0f x x 在 0,2 上恒成立，所以函数 ()fx在区间 0,2 上单调递增，所以m i n( ) ( 0 ) 0f x f； （ 2）当 02a 时，在区间 0, )a 上， ( ) 0fx ，在区间 ( ,2a 上， ( ) 0fx ，所以函数 ()fx在区间 0, )a 上单调递减，在区间 ( ,2a 上单调递增，且 xa 是 0,2 上唯一极值点，所以 3m i n( ) ( )f x f a a ； （ 3）当 2a 时，在区间 0,2 上， ( ) 0fx （仅有当 2a 时 (2) 0f ），所以 ()fx 在区间 0,2 上单调递减 所以函数 2m i n( ) ( 2 ) 8 4 2f x f a a . 综上所述，当 02a 时，函数 ()fx的最小值为 3a ， 2a 时，函数 ()fx的最小值为 28 4 2aa 13分 19.解：（）设椭圆方 程为 22 1 ( 0 )xy abab .则依题意 2c ， 1b ，所以 2 2 2 3a b c 于是椭圆 C 的方程为 2 2 13x y .4分 （）存在这样的直线 l . 依题意，直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y kx m，则 由22 13x yy kx m 得 2 2 2( 3 1 ) 6 3 3 0k x k m x m 因为 2 2 2 23 6 4 ( 3 1 ) ( 3 3 ) 0k m k m 得 223 1 0km 设 1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y，线段 MN 中点为 00( , )P x y ，则12 2212 26313331kmxxkmxxk 8 于是0 0 0223 ,3 1 3 1k m mx y k x mkk 因为 AM AN ，所以 AP MN . 若 0m ，则直线 l 过原点， (0,0)P ，不合题意 . 若 0m ，由 0k 得， 001 1y kx ，整理得 22 3 1mk 由 知， 2 1k ， 所以 11k 又 0k ，所以 ( 1, 0 ) ( 0 , 1)k . .14分 20（）1 0.45a ,2 1.215a . .2 分 （） 11 ( 0 . 5 ) 0 . 9 ( 0 . 5 ) 0 . 9nnnna a n n 0 . 9 ( 0 . 9 0 . 4 5 0 . 5 )n nn 0 . 1 0 . 9 ( 9 . 5 )n n . 则当 19n时，1 0nnaa ，则 1 10n 时，数列 na为递增数列， n N ； 当 10n 时，1 0nnaa ，数