（运筹学与控制论专业论文）期望规划的稳定性.pdf

摘要 本文讨论了期望规划关于随机变量的稳定性问题，即讨论了期望规划的最优 值以及最优解集关于随机变量的稳定性问题 全文共分二章： 第一章，预备知识其中，概率论方面简单介绍了一下有关随机变量、分布函 数的一些基本概念和定理，着重介绍了特征函数的一些基本而重要的性质：集值 分析部分主要介绍集值映射的半连续性、闭性和紧性 第二章，是本文的主要部分我们先给r 上的随机变量分布函数的全体所成 的空间赋以适当的距离，使它形成一个距离空间，然后使这个距离空间完备化这 是本文的难点，也是本文有特色的地方所在在得到了期望规划的若干性质后，利 用集值映射的工具讨论了期望规划的最优值以及最优解集的稳定性，并且得到了 一些稳定性结果 关键词：期望规划随机变量分布函数稳定性 a b s t r a c t t h es t a b i l i t yo ft h eo p t i m a lv a l u e sa n dt h eo p t i m a ls o l u t i o n ss e to nr a n d o m v a r i a b l eo fe x p e c t a t i o np r o g r a m m i n gi sd i s c u s s e di nt h i sp a p e n t h ep a p e rc o n t a i n st w oc h a p t e r s c h a p t e r1 i st h ep r e l i m i n a d e s 1 np r o b a b i l i t y , w es i m p l yi n t r o d u c es o m e b a s i cc o n c e p t sa n di e m m a sa b o u t r e a l - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sa n d d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s ，e s p e c i a l l y , t h ei m p o r t a n ta n db a s i cp r o p e r t i e sa b o u t c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n sa r ei n t r o d u c e d a ti a s t ，t h es e m i - c o n t i n u i t y , c l o s u r e ， c o m p a c t n e s so fs e t - v a l u e dm a p sa r ei n t r o d u c e di nt h es e t - v a l u e da n a l y s i s c h a p t e r2i st h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e na tf i r s t w em a k et h es p a c eo f d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n so fr a n d o mv a r i a b l e sad i s t a n c es p a c ea f t e re n d u i n gi ta p r o p e rd i s t a r i c e 。t h e nm a k i n gi tac o m p l e t ed i s t a n c es p a c e w h a ti ss a i da b o v e j st h ed i f f i c u l tp a r to ft h i sp a p er a tt h es a m et i m e 。i ti st h ef e a t u r eo ft h ep a p e n a f t e rg e t t i n gs o m ep r o p e r t i e sa b o u te x p e c t a t i o np r o g r a m m i n g ，w es t u d yt h e s t a b i l i t yo ft h eo p t i m a lv a l u e sa n dt h eo p t i m a ls o l u t i o n ss e to fe x p e c t a t i o n p r o g r a m m i n gw i t ht h et o o lo fs e t - v a l u e dm a p p i n g s ，a n ds o m er e s u l t s o f s t a b i l i t ya r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：e x p e c t a t i o np r o g r a m m i n g r a n d o mv a r i a b l e ，d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ，s t a b i l i t y 前言 所谓期望规划，即是在目标函数中引入随机变量取期望后，再求最值的问题 而在计算数学期望时，我们需要知道随机变量的具体分布函数而实际上，任一随 机变量的分布函数常常都是未知的，这就给求解期望规划带来了困难其中比较 可行的办法是用简单明确的分布函数去逼近的方法来解决，但是我们用逼近求解 的方法所得到的解是否就是原问题解的近似呢? 这是我们非常关心的问题，这就 必须涉及到稳定性的问题 当我们用逼近方法去求解期望规划问题时，为了保证所得到的近似解确为原 问题解的近似，必须首先建立期望规划的稳定性理论 关于期望规划的稳定性理论，目前结果还不多见然而有关随机规划稳定性 的内容已经是相当丰富了虽然期望规划与随机规划之间是有区别的，但我们还 是可以从随机规划的一些稳定性理论中吸取到一些有益的借鉴和启示近三十年 来，国内外不少学者对随机规划的逼近理论进行了研究，极大地丰富了随机规划 稳定性理论的内容下面便是一些学者对随机规划稳定性理论研究的情况：1 9 7 2 年，v a ng u s t e m 证明了当逼近问题中的随机向量孝耻( ) 以某种意义收敛于掌( ) 时，逼近问题的最优值序列 z ( ( 善( ) ) ) 的各种收敛性，但由于所要求的条件太复 杂，几乎无法验证1 9 7 6 年，b e r e a n u 讨论了较为特殊的分布问题的依概率收敛 性1 9 8 3 年，w 如提出了用上图收敛性来处理逼近问题1 9 8 6 年，s a l i n e a i ，w 如 从最广泛的角度研究了随机极值的收敛性，不过要求 掌耻( ) 必须以很特殊的方 式趋近于毒( ) 才能保证极值的收敛性1 9 8 6 年，w a n g j d 把w e t s 提出的用上 图收敛性来处理逼近问题的结果推广n - 阶段问题，研究可行解集对随机变量的 连续依赖性对概率约束问题的稳定性研究，先是在1 9 8 3 年由s f l i n e t t i 对其逼近 方法进行了研究，接着在1 9 8 9 年w a n g j d 解决了目标函数不含随机向量的极值 收敛问题，2 0 0 1 年，骆建文，鲁世杰两人则将随机函数导入概率规划问题，对随机 向量介入目标函数的更为一般的概率约束规划问题的稳定性进行研究，解决了用 逼近方法求解随机向量介入目标函数的概率约束规划问题的极值收敛性问题有 关随机规划稳定性理论的内容现在仍然在进一步的发展之中 鉴于期望规划稳定性的内容不是很多，本文采用集值映射的工具对期望规划 的稳定性进行了一些初步的探讨这将对实际的期望规划问题的求解起到一定的 理论指导作用 第一章预备知识 1 1 随机变量的一些性质 此节简单讲一下本文中所要用到的一些有关随机变量、分布函数以及特征函 数的基本而重要的概念和性质以下内容在任何一本概率论的书上都是可以看到 的 定义1 1 1 设e ( z ) ( 玎= 1 , 2 ，) ，f o ) 分别为随机变量磊( n = 1 , 2 ，) 及善 的分布函数，若对于f ( x ) 的任一连续点x ，有l i m 只( x ) = f ( x ) ，则称随机序列 眠 依分布收敛于随机变量f ，并称f ( x ) 为e ( x ) 的极限分布函数 定义1 1 2 对于分布函数列( 只( x ) ) ，如果存在一单调不减函数f ( x ) ，使在 f ( x ) 的每一连续点处都有舰f a x ) = f ( x ) ，则称分布函数列 只( x ) 弱收敛于 f ( x ) ，并记为! i m 只( z ) = f ( x ) ( 矽) 或e ( x ) 旦哼f ( x ) 注：在上述定义中我们是要求分布函数列e ( x ) 弱收敛于一个单调不减的函 数f ( x ) ，但f ( x ) 未必就是分布函数，这一点由下例即可看出 例1 1 1 考虑具有退化分布的随机序列 六) ，它的分布列为p 己= ，l = i ， = 1 ，2 ) ，这时e ) = f 耋：；：。= l ，2 ) ，令f ) ；。显然，对任意 x r ，有l i m e o ) = 0 = f ( x ) ，因而有e ( x ) ! 寸f ( x ) ，但f ( x ) 不是分布函数 注：为了使得分布函数列弱收敛于一个分布函数，则需要给分布函数列加上 一定的条件，具体参见文献 3 5 定义1 1 3 如果随机变量f 的分布函数为f ( 茗) ，则定义f 的特征函数为： 妒o ) = ee 时= e e “d f ( x ) ，- o o f 0 ，存在x 的邻域o ( x ) ，使对v x o ( x ) ， 有g ( x ) c u ( g ( x ) ，占) 和g ( x 。) c u ( g ( x ) ，占) 同时成立，即日( g ( x ) ，g ( x ) ) n 时，p ( e ，e ) = s u p 阮( ，) 一o ) l s ，从而对上述的s ，n ，及 v t r ，阮( f ) 一( r ) l 时，有k ( f ，一一( t , - t j ) l 盖， 于是 。 匿窆纯( 一虿一窆窆( r ，一t j ) a t j ) a ，i ll 纯( 卜f 膨虿一( 卜，习 f f = l 产li = 1 ，l lf = i 善n n j = tk _ h _ ，k ，虿il f z l 即有 善n 蔷ni ( 一。) 一( 一t , ) j j 司 善n 缶n 万s 降- - if f i i 吩j = s1 5 l ，2 i1 5， n n 吼( f 一t s ) a 。虿一n n ( f ，t j ) a 。虿o _ o o ) i f f i lj f f i li f f i lj = l 由于纯( r ) 为特征函数，由定义1 1 3 的性质2 可知，纯( f ) 非负定，即实数 纯( f ，一t j ) 一a j 0 ，所以又由实数的完备性，实数( f 。一t j ) i o l = l j f f i t i = 1j = 1 即p o ( t ) 非负定根据引理1 1 i ，即知( f ) 是特征函数由分布函数和特征函数 之间的一一对应关系知，吼p ) 能唯一决定一个分布函数f o ( x ) 因 p ( 只，r ) = s u p 阮( f ) 一( f ) l j 0 ( 玎专o 。) f e r 即知c a u c h y 列 e ) 收敛到分布函数r ，所以( m ，力是完备的证完 设p ( 只，e ) 哼o ，则s u p 阮( ，) 一吼( ，) i 哼0 ，于是必有纯( ，) 点点收敛于仇o ) ， t e r 由引理1 1 5 可知，分布函数列只( x ) 弱收敛到分布函数f o ( x ) ，即在f o ( x ) 的连续 点处有l i m e ( x ) = f o ( x ) n 下面我们先得到期望规划目标函数的一些性质： 下文中均设s 为竹维欧氏空间r “中的紧子集，r = ( 一，佃) ，且设函数u ： s r 寸r 在s r 上有界且一致连续记m 为r 上的实随机变量的分布函数的 全体所构成的完备距离空间 对任一只m ，定义吃( x l 一，矗) = e “( _ ，k ，x ) 哌( x ) 若记x = ( 一，k ) s ，则上式化为圪( x ) = e “( x ，曲蛾( 功，其中e ( 曲 为实随机变量厶的分布函数 定理2 2 2 由上面所定义的函数圪( x ) 在s 上连续 证明：因为 阪何+ 硝) 一z o ( x ) l = l c “( x + 醚峨( x ) 一亡“( 置工飕( x ) l = l f = l ( z + 硝叫孙) 虹( z ) 1 0 ，由“在s r 上一致连续，因此当0 硎( 注：表欧氏距离，下同) 充分小 时，对一切肖s ，x r ，有i “( x 十硝，x ) - u ( x ，x ) i n 时，有 i k ( x 。) 一v ( x 、) l 成立因 x 、 c s ，且s 是紧的，故不失一般性哥设 x 。专z + ( 否则可选子列) 由定理2 2 2 可知，y ( x ) 连续，即对导，s n , o ， 当玎t l 时，总有i y ( k ) 一v ( x ) i o ，当仇 2 时，f “晤，z ) 一“，x ) f 三矗一鱼：鱼 i 氏一j 2 亏+ 但 i v + ( x + ) 一v ( x ) h e 舭峨一i = 啦，x ) d f i 由引理1 1 4 可知，对充分大的t l k ) - - 定有陈( x + ) 一v ( x + ) i 了e o ，从而矛盾即知 v a x ) 在s 上一致地收敛于v ( x ) 证完 下面我们来讨论当期望规划目标函数中的实随机变量发生一个小的扰动时， 即实随机变量的分布函数发生一个小的扰动时，期望规划的最优目标值和最优解 集的稳定性问题 对任一兄m ，它决定了一个如下的期望规划： 赠觑( x ，厶) = m a x , ：”( z ，x ) 识( x ) = m 搿sv o ( x ) ，其中瓦( x ) 为实随机变 量幺的分布函数 又对任一f 口m ，定义g ( 只) = z s ：g ( x + ) = 毋蝥e “( x ，x ) 蛾( x ) ) ，则 g 定义了一个从m 到s 的集值映射 定理2 2 4 若 k ( x ) ) 在紧集s 上一致地收敛于v ( x ) ，且k ( x ) 连续，则 有。l i m 。孵( 2 赠坎z ) 证明：由s 紧，k ( x ) 在s 上连续，则k ( 柳在s 上必有最大值，设以是它的 一个最大值点，即有( 以) 。毋蝥吒( ) 设为叹) 的一个最大值点因为 x 。 c s ，故不失一般性( 否则可选一子列) ，可设x 。_ x s 因吒( 以) 专v ( x + ) ，下证v ( x ) = v ( x 。) 设若不然，不妨设v ( x + ) o ，使v ( x ) + r 1 时，有矿( z 。) 2 时，有k ( x 。) 一三 v ( x ) + 圪( 以) 一三+ 三= v o ( x 小即 有k ( x o ) k ( x 。) ，而这与x 。是圪( z ) 在s 上的最大值点矛盾从而有 v ( x ) = v ( x o ) 成立而k ( 以) 哼v ( x ) ，即知k ( 以) 斗v ( x 。) ，故原式的结论 成立证完 定理2 2 4 表明，当分布函数发生一个小的扰动时，对应的期望规划的最优 目标值变化不大，即期望规划的最优目标值相对于实随机变量的分布函数是稳定 的 下面我们接着讨论当分布函数发生一个小的扰动时，期望规划的最优解集的 稳定性问题为此先给出以下定理： 定理2 2 5 集值映射g ：m 专2 5 是一个u s c o 映射 证明：设p ( 只，f ) j o ，z ，g ( 只) ，0 以一x 1 1 j 0 ，往证x g ( f ) ，即证 w ( x ) = 孵e 甜( x , x ) d f ( 工) ( 2 2 1 2 ) 因 i k ( 以) 一y ( z ) 闰k ( 以) 一v ( z 。) i + l 矿( 以) 一v ( x + ) l 0 又由定理2 2 2 知，v 皑) 在s 上连续，且i f 以一x | f 号0 ， 所以 i 矿+ ( x 。) 一v + ( z ) l 专0 于是 j k ( 以) 一v + 皑+ ) i - - o ，即v a x ) 斗y + + ) ( 2 2 2 ) 因圪( x ) = e 甜( x ，功以( x ) ，y ( x ) = e 甜( x , x ) a f o ) ，由定理2 2 3 知，当 p ( 只，f ) j 0 时，k ( x ) 在s 上一致地收敛于v ( x ) 由定理2 2 2 知，圪( x ) 连 续，故由定理2 2 4 ，即有当p ( e ，f ) 一0 时， 有1 懋o ( x ，x ) 识 ) - - ) , m 。a x + f 。甜( x , x ) d f ( x ) ( 2 2 3 ) 又 v a x 一) 2 璎孥e u ( x ，x ) 识( x ) ( 2 2 4 ) 由式( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 及极限的唯一性，& 口可知( 2 2 1 ) 式成立，即 x g ( f ) 这即证明了集值映射g 是闭的，又因s 是紧的，根据引理1 2 3 知， g 是u s c o 映射证完 定理2 2 6 存在m 中一个稠密剩余集q ，使每个f o 满足： v s 0 ，j 占 0 ，v f m ，当p ( f ，f ) 0 ，对v f e m ，当 p ( f ，f ) n 时，d ( p 。，p ，) = s u p i u n ( r 3 - u ，( y ) l + s u p 协o ) 一( f ) i s ，从而对上述的 r e s rt e r s ，n ，有k ( y ) 一( y ) i s 和k ( r ) 一( f ) i 0 ，由( e s x r 上一致连续，因此当f f 硝充分小时，对一切z e s ，x r ，有 l u a ( x + a x ，x ) - u 。( x ，功i l 时，有 v ( x o ) ：时，_ ( x 。) 一三 y ( x ) + 三 k ( 以) 一三+ 三= k ( 以) ，即有 k ( x o ) v a x 。) ，而这与x 。是v a x ) 的最大值点矛盾从而v ( x ) = v ( x 。) ，而 吒( j 0 ) 一v ( x ) ，则( k ) 斗v ( x 。) ，即知原式结论成立证完 定理2 3 4 表明，当分布函数和目标函数同时发生一个小的扰动时，对应的 _ l l i j 蝌) j l l 划的最优目标值变化不大，即期望规划的最优目标值相对于实随机变量的 分斫i 函数和期望规划的目标函数是稳定的 下面进一步研究期望规划的最优解集关于实随机变量的分布函数和期望规 划的目标函数的稳定性 对任一以= ( u a ) e ) c m = t ， 定义g ( 儿) = z s ：v a x ) = 。搿亡( x , x ) d y o ( x ) ) ，则g 定义了一个从 r 到s 的集值映射 定理2 3 5 集值映射g ：t 2 5 是一个i l s c o 映射 证明：由于s 是紧的，则只需要证明集值映射g 是闭的即可这只需证明 g r a p h ( g ) 是闭集即可 而 g r a p h ( g ) = ( p ，x ) t s ：p e t ，x g ( p ) ) ， 任取序列 ( 岛，x 。) 亡g r a p h ( g ) ，且( 见，以) 专( p 。，z ) t x s ， 而p 。= ( 甜。，只) ，p = ( 地，e ) ，则知u 。专u 。，e 寸只，欲证z g ( p j ， 即证 k ( 兄) = r 懋e 玑( x ，功识( x ) 由 以g ( 见) ，即有圪隅) = m 。a 。xe ( x ，力识 ) 则l 圪( x 。) 一k ( x 。) i q k ( 以) 一k ( 以) i + l k ( x 。) 一k ( x 。) i m 。a s x l ( x ) 一k ( x ) i + l k ( 以) 一k ( 丘) 1 1 6 上式中右边的第一部分当以一p 。时，由定理2 3 3 知v a x ) 在s 上一致收敛于 k 峭) ，故璎野l 圪) 一k ( x ) i - o ，0 一。) 第二部分由于k ( z ) 在s 上是连续的，故当0 x 。一x 。0 辛0 时， 有 i k ( x 。) 一k ( x 。) 卜0 于是 i ( 以) 一k ( x 。) i j o ，即v a x 。) 哼k ( x ) ( 2 3 1 ) 而已知 圪( z 。) = 毋警e ( x ，x ) 蛾( x ) ( 2 3 2 ) d ( p 。，肛) 哼o a , ，由定理2 3 3 知，k ( x ) 在s 上一致收敛于k ( z ) ，又圪( z ) 连续，则i i i 定理2 3 4 知，有l i m m a 3 圪( z ) = m 晔k ( x ) ，即当行一o o 时，有 n e je6 m a xi = u n ( x ，x ) 识( x ) 一m 。a 。x 。f f u ( x , , ) 矾( x ) ( 2 3 3 ) 由式( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) 及极限的唯一性 得 k ( x ) = m 。a x 。v u , ( x , x ) d f o ( x ) 即兄g ( p ) ，所以( p ，鼠) g r a p h ( g ) ，故集值映射g 是闭的由引理1 2 3 即 知，g 是一个u s c o 映射证完 定理2 3 6 存在r 中一个稠密剩余集q ，使每个p = ( “，f ) q 都满足： v 占 0 ，了万 0 ，v p t ，当d ( p ，p ) 0 ，v p t ，当d ( p ，p ) 0 ，当” l 时，3 y s ，使得0 以一】1 i o ，当玎 n 2 ， 有0 以一x + 8 m a x ( n , ，2 ) 时，就有 l 防。一y ll - 0 ，由u r n 在s r 上一致连续，因此当i 硝l l 充分小时，对一切x s ，x r ， ：f f l u 。( x + a x ，x ) - u ，( x ，x ) i o ( m - - - 。o ) ，卿l l i r a m 鹕a x v ( x ) = m m a x v ( x ) 证明：由s m 紧，由定理2 4 3 知，( x ) 在s 上连续，从而在瓯上连续，则 ( x ) 在氏上必有最大值，设x 。s ，是它的一个最大值点，即有 _ 一( m ) 2m 。a x v ( x ) 设x 。s + 为y ( x ) 在s 上的一个最大值点因为 x 。 c s ，故不失一般性( 否则可选一子列) 设x 。专x s ，因 日( & ，s ) _ 0 ，厶瓯，则由定理2 4 1 可知z s 因 i ( x ，) - v ( j + ) i f _ ( x 。) 一y ( x 。) i + p + ( 彳。) 一矿( x ) i 母警i 圪( x ) 一矿( x ) i + i 矿( x ，) 一矿( x ) i 由定理2 4 4 知，当d ( p 。，p ) 寸0 ( 肌寸o o ) 时，( z ) 在s 上一致收敛于矿( x ) ， 即知 m a x i v , ( x ) 一矿( z ) 卜0 又由定理2 4 3 知，v ( j ) 在s 上连续，而。kj x ， 所以 i 矿( 以) - v 省) 卜0 ，掰哼o o 于是 圪( x 。) 寸y ( x + ) ，m j o o 下证矿( x ) = v ( x 。) 设若不然，不妨设y ) 0 ， 使得 v ( x ) o ，当m l 时， 2 1 有 心( x ，) 0 ，当m n 2 1 对， 仃 y ( ) m a x ( n , ，2 ) 时，由( 2 - 4 1 ) ，( 2 t 4 2 ) ，( 2 4 3 ) - - 式， 就有 ( x 。) 矿+ ( x + ) + 主 y ( ) 一三 o ，v p t ，当d ( p ，p 。) o ，v p 。t ，d ( p ，p ) 占 时，有h a u s d o r f fg 巨离日( ( p ) ，n ( p ) ) g 证完 定理2 4 7 表明，q 中的函数对决定的期望规划的最优解集关于期望规划的 目标函数、实随机变量的分布函数以及目标函数的约束域是稳定的从而按定义 1 2 7 ，丁中的函数对决定的期望规划的最优解集关于期望规划的目标函数、实随 机变量的分布函数以及目标函数的约束域是通有稳定的 通过以上的讨论，我们得到了当期望规划中的目标函数、实随机变量的分布 函数以及目标函数的约束域三者同时发生一个小的扰动时，关于期望规划的最优 目标值和最优解集的稳定性有下面两个结论： 一、期望规划的最优目标值关于期望规划的目标函数、实随机变量的分布函 数以及目标函数的约束域是稳定的 二、期望规划的最优解集关于期望规划的目标函数、实随机变量的分布函数 以及目标函数的约束域是通有稳定的 2 5 结束语 上面三节内容我们讨论了期望规划相对于各个不同的变量变化时它的最优 目标值和最优解集的稳定性即从单一的随机变量变化到目标函数与随机变量同 时发生变化，以及到最后的目标函数、随机变量和目标函数的约束域三者同时发 生变化时，期望规划的最优目标值和最优解集的稳定性这几个结果对我们计算 实际的期望规划时将会起到很好的理论指导作用，就像本章前言中所说的那样， 现实生活中要清楚的知道一个随机变量的分布函数是比较困难的，而有了本章的 这几个结果，那么我们只需知道随机变量的一个近似分布就可以很好的解决问题 了，同时还可以保证我们得到的结果和真实结果也是很近似的而且在此基础上 的两个推广也拓展了期望规划稳定性的内容，当然这种推广还是有局限的，比如 对目标函数及约束域的的要求比较高，接下去的工作便是如何在减弱这些条件的 时候做出稳定性的结果，同时在推广方面也还有工作要做，比如可以将单一的随 机变量推广为一个随机向量，讨论在相互独立以及不相互独立的情况下有什么稳 定性结果在目标函数上也可以考虑将单一的目标函数推广为多目标函数等等。 总之，关于期望规划的稳定性问题还有着很丰富的内容 致谢 衷心感谢恩师曹素元教授和俞建教授! 本论文是在曹素元教授的悉心指导下 完成的从论文的选题、文献的收集到论文的撰写，曹教授都给予了耐心而细致的 指导和帮助两位导师生动翔实的授课使我感受到了数学的无穷魅力俞建教授 为我们提供的大量国外最新学术资料使我受益匪浅二位恩师渊博的学识、严谨 的治学作风、谦逊的人格将令我受益终生 三年来我的家人在物质上和精神上给予了我极大的支持和鼓励，我要深深地 堪谢他们! 祝他们一生健康平安! 我还要衷心的感谢基础教学部的张民选主任、周 i 问利教授、唐真红老师、周天清老师等以及理学院的其他老师们，他们给了我生 活和学习上的诸多关心和照顾在此也真诚地感谢我的师兄彭定涛，在学习上他 给予了我很大的帮助和指导，同时在论文的修改上也给予了我一些很好的建议 同时也要感谢我的三年同窗好友，他们使我获得了真挚的友谊，助我顺利完成学 业 还要真诚地感谢评审本论文的各位专家和老师们的辛勤劳动! 最后，请允许我再一次向所有关心、支持过我的人表示最诚挚的谢意! 参考文献 【1 】王梓坤概率论基础及其应用嗍北京师范大学出版社，1 9 9 6 【2 】王金德随机规划嗍南京大学出版社，1 9 9 0 3 】邓乃扬等无约束最优化计算方法 m 】科学出版社，1 9 8 2 【4 】中山大学测度与概率基础编写组测度与概率基础 m 】广东科技出版社，1 9 8 3 5 】那汤松实变函数论【m 】( 徐瑞云译) 高等教育出版社，1 9 5 8 【6 】江泽坚，吴智泉实变函数论( 第二版) 【m 】高等教育出版社，1 9 9 4 【7 】江泽涵拓扑学引论 h q 上海科学技术出版社，1 9 7 8 【8 】8 关肇直等线性泛函分析入门嗍上海科学技术出版社，1 9 7 9 【9 】孙文瑜等最优化方法 m i 高等教育出版社，2 0 0 4 【1 0 】李贤平概率论基础( 第二版) 嗍高等教育出版社，1 9 9 7 【1 l 】李雷，吴从圻集值分析 h q 科学出版社，2 0 0 3 【1 2 】严加安测度论讲义( 第二版) 口咽科学出版社，2 0 0 4 1 3 】严士健等概率论基础【m 】科学出版社，1 9 8 2 【1 4 】张恭庆泛函分析( 上册) 口川_ b 京大学出版社，1 9 9 0 【1 5 】张从军集值分析与经济应用 m 】科学出版社，2 0 0 4 【1 6 】阿佛里耳【美】非线性规划一分析与方法( 上、下) 【m 】上海科学技术出版社，1 9 7 9 1 7 】周民强实变函数论 m 】北京大学出版社，2 0 0 1 【1 8 俞建n a s h 平衡的存在性与稳定性 j 】系统科学与数学2 0 0 2 ，2 2 ：2 9 6 3 1 1 【1 9 】骆建文，鲁世杰概率约束规划的稳定性分析 j 】高校应用数学学报a 辑，2 0 0 1 ，1 6 ：11 9 1 2 4 【2 0 】夏道行等实变函数论与泛函分析( 上、下册) 【m 】人民教育出版社，1 9 7 9 【2 l 】夏道行，杨亚立线性拓扑空间引论【h q 上海科学技术出版社，1 9 8 6 【2 2 】格涅坚科概率论教程p 棚丁寿田译高等教育出版社，1 9 5 6 【2 3 】席少霖最优化计算方法 上海科学技术出版社，1 9 8 3 【2 4 】袁亚湘非线性规划数值方法【m 】上海科学技术出版社，1 9 9 3 【2 5 】徐增垫数学规划导论【m 】科学出版社，2 0 0 0 2 6 】徐钟济蒙特卡罗方法口田上海科学技术出版社，1 9 8 5 2 7 】徐利治，周蕴时高维数值积分【m 】科学出版社，1 9 8 0 【2 8 】梁之舜等概率论与数理统计( 上册) 【m ( 第二版) 高等教育出版社，1 9 8 8 【2 9 】富兰克林( 俞建、顾悦译) 数理经济学方法【m 】贵州科学出版社，1 9 8 7 f 3 0 管梅谷，郑汉鼎线性规划 h 司山东科学技术出版社，1 9 8 3 【3 1 a u b i n j p a n d e k e l a n d i a p p l i e d n o n l i n e a r a n a l y s i s m j o h n w i l e y a n ds o n s 1 9 8 4 【3 2 】a u b i njp a p p l i e d a b s t r a c t a n a l y s i s m s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 9 【3 3 】a u b i njp o p t i m aa n de q u l i b r i u m ：a n i n t r o d u c t i o nt on o n l i n e a ra n a l y s i s 【m 】s p r i n g e r - v e r l a g , 1 9 9 3 【3 4 】b r i d g e sds f o u n d a t i o n so f r e a la n d a b s t r a c t a n a l y s i s m s p r i n g e r - v e f l a g1 9 9 1 3 5 c a os u - y u a n ac o m p a c tc o n d i t i o n o fs e q u e n c eo fd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s m o n l i n e a r a n a l y s i s 2 0 0 6 ，v o i ( 6 3 ) ，5 - 7 【3 6 e l u k a s c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n m l o n d o n ：c h a r l e sg r i f f i n ，1 9 6 0 【3 7 】e l u k a sa n dr gl a h a a p p l i c a t i o n so f c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n l o n d o n ：c h a r l e sg r i f f i n ，1 9 6 4 【3 8 】e n g e l k i n ge g e n e r a lt o p o l o g y m h e l d e r r n a nv e r l a g ，b e r l i n ，1 9 9 2 3 9 】f o r tm k p o i n t so f c o n t i n u i t yo f s e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n s j p u b lm a t h d e b r e c e n , 1 9 5 1 ( 2 ) ：1 0 0 - 1 0 2 【4 0 】f o r tmkj r e s s e n t i a la n dn o n e s s e n t i a lf i x e d