（计算机应用技术专业论文）基于分段插值及迭代算法的织物染色计算机配色方法研究.pdf

r e s e a r c ho nc o m p u t e rc o l o r m a t c h i n gf o rt e x t i l ed y e i n gb a s e do n i n t e r p o l a t i o nb ys e g m e n t sa n di t e r a t i o na l g o r i t h m s a b s t r a c t g e n e r a ls p e a k i n g , t r a d i t i o n a lm e t h o d st or e a l i z ep i g m e n t sr e c i p ep r e d i c t i o nf o r t e x t i l ed y e i n ga r es p e c t r o p h o t o m e t r i ca n dc o l o r i m e t r i cm a t c h i n gw h i c ha r eb a s e do n k u b e l k a - m u n kt h e o r y b u ta s s u m p t i o n si nt h i st h e o r ym a k et h em e t h o d sb a s e do ni t l a r g e rc a l c u l a t i o ne r r o r s s ot h er e c i p eo b t a i n e di sn o ta c c u r a t ee n o u g ht om e e tt h e p r o d u c td e m a n d i nv i e wo ft h ec h a r a c t e r i s t i c so fc o l o rt h e o r ya n dc o l o rd y e i n gm i x e d ， t h ee s s e n c eo fc o l o rm a t c h i n gf o rt e x t i l ed y e i n gi sap r o b l e mo fn o n l i n e a rm o d e l i n g w i t he x p e r i m e n t a ld a t a s om a n yr e s e a r c h e r st r yt ou s en o n l i n e a rp r o c e s sm o d e l i n g e f f e c t i v em e a n s c o m p u t e rc o l o ri nc o m p u t e rc o l o rm a t c h i n ga n da c h i e v e dm a n yr e s u l t s b u tg e n e r a l i z a t i o na n dl o c a lm i n i m u mi n t r a d i t i o n a ln e u r a ln e t w o r km a k em a n y d i 伍c u l t i e sf o ru st os o l v e i no r d e rt oo v e r c o m et h ed e f i c i e n c i e so ft h ee x i s t i n gc o l o rm a t c h i n gm e t h o d s ，t h e c o n c e p to fi n t e r p o l a t i o nb ys e g m e n t sa n di t e r a t i o na l g o r i t h m sa r ei n t r o d u c e dt o c o m p u t e rc o l o rm a t c h i n gp r o c e s s e s a n dt h ec o m p a r i s o no fc a l c u l a t e da n de x p e r i m e n t s h o w st h a tt h em a t c h i n gm e t h o di nt h i sp a p e ri sf e a s i b l e o nt h eb a s i so ft h e a n a l y s i s o ft h ed a t a ，t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e c o n c e n t r a t i o no fs a m p l ef r o mo n ep i g m e n ta n dt h ec m y v a l u ea n dt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ec o n c e n t r a t i o no fs a m p l ef r o mt h r e ep i g m e n t sa n dt h ec m yv a l u ea r e r e s e a r c h e dr e s p e c t i v e l y a c c o r d i n gt ot h el a wo fd i s c o v e r yf r o mt h er e s e a r c ha b o v e ， t h em a t h e m a t i c sm o d e li se s t a b l i s h e db a s e do nt h e a f f e c t i n gt o e 伍c i e n to ft h e a s s u m p t i o n s t h e nu s i n gs u b f u n c t i o nr e l a t i o n s h i pa n di n t e r p o l a t i o nb ys e g m e n t s ，t h e m e t h o dv e r i f i e st h ea f f e c t i n gc o e f f i c i e n to ft h ea s s u m p t i o n s a tl a s t ，a c c o r d i n gt o i n t e r p o l a t i o nb ys e g m e n t sa n di t e r a t i o na l g o r i t h m s ，t h em a t h e m a t i c sm o d e lr e s o l v e t h ec o n c e n t r a t i o no ft h es a m p l e t h r o u g ht h i sr e s e a r c h ，t h em a t h e m a t i c sm o d e lb a s e do ni n t e r p o l a t i o nb ys e g m e n t s a n di t e r a t i o na l g o r i t h m st os o l v ec o m p u t e rc o l o rm a t c h i n gp r o b l e m si sm o r ea c c u r a t e ， m o r ee f f e c t i v ea n dm o r ep r a c t i c a lt h a nt h eb pn e u r a ln e t w o r k i tc a nb a s i c a l l ym e e tt h e c o l o rr e q u i r e m e n t so fi n d u s t r i a lp r o d u c t i o n t h em e t h o dp r o p o s e di nt h i sp a p e rp r o v i d en e wr e f e r e n c e sf o rt e x t i l ed y e i n gc o l o r m a t c h i n ga n da l s oh a v ec e r t a i nv a l u e sf o rt h e o r ys t u d ya n da p p l i c a t i o nr e s e a r c h k e yw o r d s ：t e x t i l ed y e i n g ；c o m p u t e rc o l o rm a t c h i n g ；a f f e c t i n gc o e f f i c i e n t ； i n t e r p o l a t i o nb ys e g m e n t s ；i t e r a t i o na l g o r i t h m s 日录 目录 第l 章绪论1 1 1 织物染色计算机配色的研究背景和意义l 1 2 计算机配色的基础l 1 2 1 计算机配色的理论基础l 1 2 2 计算机配色的基本分类2 1 3 基于数学建模的本课题的主要内容及创新点3 第2 章计算机配色的基础知识5 2 1 色度学的基本理论原理5 2 1 1 颜色的基本属性及颜色的混合一5 2 1 2 颜色空间6 2 2 染料8 2 2 1 染料的命名及特点8 2 2 2 染料的选择及混合原则一9 2 3 本章小结9 第3 章计算机配色的数学基础1 1 3 1 数学建模的基本原理1l 3 2 函数和插值一1 1 3 2 1 分段函数的基本概念1 2 3 2 2 插值法的定义1 2 3 2 3 插值法的分类1 2 3 3 优化设计方法13 3 4 本章小节1 4 第4 章计算机配色的数学模型1 5 4 1 计算机配色数学模型建立的基础1 5 4 1 1 基础数据库的建立1 5 4 1 2 单色染料浓度与三刺激值之间的关系1 6 4 1 3 三拼色染料浓度与三刺激值之间的关系1 7 4 2 计算机配色数学模型的建立18 4 3 数学模型的求解19 4 4 本章小节1 9 第5 章基于数学建模方法的计算机配色2 0 t 5 1 单色染料实验数据的预处理。2 0 5 1 1 三种单色染料在浓度范围1 ( 0 2 0 5 ) 2 0 5 1 2 三种单色染料在浓度范围2 ( o 5 o 8 ) 2 7 5 1 3 三种单色染料在浓度范围3 ( o 8 1 o ) 2 9 5 2 拼色染料实验数据的预处理3 2 5 3k 值的求解3 2 5 3 1k i 值的求解3 3 5 3 2 恐值的求解3 3 5 3 3 恐值的求解。3 4 5 4k 值的验证3 4 5 4 1 各浓度范围撇j 函数关系式的建立3 4 5 4 2 各浓度范围内分段插值3 5 青岛人学硕i ：学位论文 5 4 3 蟛值的验证过程3 5 5 5 迭代算法求浓度。4 l 5 5 1 迭代算法仿真4 1 5 5 2 误差分析4 3 5 6 本章小结4 4 第6 章总结4 5 参考文献4 7 攻读学位期间的研究成果4 9 j l 定谢5 0 学位论文独创性声明5 1 学位论文知识产权权属声明5 1 2 第i 章绪论 鉴于颜色的混合性理论陋儿9 ，我们发现织物染色的计算机配色实际上是一个 复杂的非线性求解问题，因此很多研究人员尝试将非线性过程建模的有效手段一 神经网络应用于计算机配色，并取得了不小的成果。 将b p 神经网络原理应用到织物染色配色中，首先要建立神经网络模型，然 后进行训练数据规格化，权值优化等一系列操作以改进网络的性能。我们将以织 物染色标样的c m y 值作为神经网络的输入，将用于染色的染料浓度作为神经网 络的输出，构造一个多层神经网络模型，输入是c m y 值，而输出是一个色系的 三种染料的染料浓度。 神经网络配色方法弥补了三刺激值配色和全光谱配色的诸多不足，具有多方 面的优势。但是由于神经网络自身存在的局部最小值以及泛化能力问题，使得神 经网络应用于计算机配色方面还有很多亟待解决的问题。 1 3 基于数学建模的本课题的主要内容及创新点 分析了织物染色的计算机配色的基础原理后，解决配色时所需染料的浓度与 织物样本三拼色刺激值的关系是我们主要研究的问题。 为了解决现有方法在织物染色配色中的问题，本文将分段建立函数关系式以 及分段插值和迭代算法n 町引入到织物染色的计算机配色过程中。在分析了基础数 据的基础上，分别将单色染料的浓度和其小样对应的三刺激值c 、m ，】，以及拼 色染料的浓度和其小样对应的三刺激值c ，m 、】，作了研究，根据其规律，在假 设的影响系数成立的情况下建立了三拼色的数学模型，然后利用分段建立函数关 系式和分段插值，对假设的影响系数进行验证，最后通过分段插值求解，并利用 迭代算法实现了染料浓度的求解。 1 本课题的主要研究内容： ( 1 ) 从工厂获取小样，在比较分析了浅，中，深三色系织物小样的基础上， 针对中色系小样提取颜色信息，即获取不同浓度下单色和拼色小样的c m y 值。 ( 2 ) 分别测试和分析单色染料的浓度与三刺激值的关系曲线以及拼色染料的 浓度( 三种基本染料浓度相同时) 和三刺激值的关系曲线。 ( 3 ) 通过寻求单色染料的浓度与三刺激值关系曲线以及拼色染料的浓度( 三 种基本染料浓度相同时) 与三刺激值关系曲线的对应关系，建立了三拼色的数学 模型。 3 青岛人学硕i ：学位论文 ( 4 ) 对建立起的数学模型进行求解，以得到拼色染料浓度的配方。 ( 5 ) 对所得的预测结果进行误差分析，并分别与基于b p 神经网络的计算机 配色模型的预测结果进行比较。 2 本文的主要创新点： ( 1 ) 在分别对单色和拼色配色规律的分析过程中，采用了分段建立函数关系 式。 ( 2 ) 对建立的三拼色数学模型进行验证时，采用了分段插值的方法，提高了 计算的精确度。 ( 3 ) 将迭代算法引入到计算机配色中，克服了神经网络配色模型中所存在的 泛化能力及易陷入局部最小值的一系列问题。用实验进行验证，从而得到更准确、 更可靠的染料配方的方法。 4 第2 章计算机配色的某础知识 第2 章计算机配色的基础知识 2 1 色度学的基本理论原理 2 1 1 颜色的基本属性及颜色的混合 颜色作为一门科学发展起来仅仅是近半个世纪以来的事情。1 9 3 1 年国际照 明委员会( c i e ) 根据匹配一个颜色时所需混合三原色的相对量建立了c i e 色度 学系统，色度学的诞生使颜色成为一门科学。 颜色的基本属性： 颜色主要分为两大类：非彩色和彩色。非彩色是指白黑两种颜色以及这两种 颜色按不同比例混合生成的一系列灰色。物体的明度是指白黑等非彩色的反射 率，也就是人眼对物体的明亮感觉，反射率越高，越接近白色；反之则越接近黑 色。彩色是指除了白黑灰等非彩色以外的各种颜色。 对一种颜色的描述主要从它的三个基本属性考虑，即色调( h ) 、饱和度( c ) 、 明度( l ) 。不同的波长有不同的颜色视觉感受，这就是色调，比如彩色中的红、 橙、黄、绿、蓝、紫等；而颜色的鲜明程度就是饱和度，如果一个物体的颜色是 深色，就说明它的饱和度比较高；白黑系列上非彩色的反射率，即黑白度，也就 是明度。对于彩色而言，它具有色调和饱和度两个基本属性的差别，而非彩色却 只有明度上的差别。 颜色的混合1 ： 颜色的混合，顾名思义就是将不同的几种颜色混合在一起从而形成另一种颜 色的过程。颜色的混合可以分为加法混合和减法混合两类。 ( 1 ) 加法混合是指色光的混合。由于两种以上的光混合在一起光亮度会提高， 因此加法混合即是相互混合的各色光亮度之和。色光三原色是指红( r e d ) 、绿 ( g r e e n ) 和蓝( b l u e ) ，也就是加法混合的基本色，不同的色彩就是这三种颜色 按照不同的比例混合而成的。彩色电视就是利用了颜色的加法混合。 ( 2 ) 减法混合是指色料的混合。色料是指对不同波长的可见光进行选择性吸 收后，呈现各种不同色彩的颜料或者染料。色料混合时，白光照射在色料上，光 谱的某些成分被吸收，而其它部分被反射或透射，从而表现出某种颜色。每增加 一种色料，都要从白光中减去更多的光谱成分，所以色料混合后颜色变暗。纺织、 绘画以及彩色印刷等都是利用的减法混色。加法混色三原色的补色，即c ( c y a n ， 青色) 、m ( m a g e n t a ，品红) 和y ( y e l l o w ，黄色) 作为减法混合的基本色。 5 青岛人学硕1 ：学位论文 2 1 2 颜色空间 谈到配色即涉及到颜色空间的定义，根据不同行业的配色来使用不同的颜色 空间。某个三维颜色领域中的一个可见光子集，它是包含某个颜色域的所有颜色， 这就是颜色空间n 引。颜色空间通常使用三个独立变量的综合运用来构成一个空间 坐标，由于颜色可以用三个一组的不同属性加以描述，从而就产生了不同的颜色 空间，但由于描述的颜色对象本身是客观的，所以不同的颜色空问只是从不同方 面去衡量同一个颜色对象。 现在表示颜色空间的体系有十余种，这些颜色空间体系的数值都是根据反射 光谱的三刺激值公式转化得到的。目前还没有准确的分类准则来对这些现有的颜 色空间来进行分类，但可以从颜色的应用角度或者感知角度给颜色空间进行初步 的分类。 1 从颜色的应用角度来考虑，可以将颜色空间分为三类： r g b 型颜色空间计算机图形颜色空间：这类颜色空间主要以r g b ，h i s ， h s l 和h s v 为例，电视机和计算机的颜色显示系统就是利用这类颜色空间。 x y z 型颜色空间c i e 颜色空间：这类颜色空间是作为国际性的颜色空间 标准使用，它是颜色的基本度量方法，是由国际照明委员会来定义的。这类颜色 空间在科学技术中得到了广泛使用，它可以作为过渡性的颜色空间来对不能直接 相互转化的两个颜色空间来使用，以c i e l 9 3 lx y z ，l a b ，l u v 和l c h 为例的颜 色空间就可作为过渡性的转换空间。 y u v 型颜色空间电视系统颜色空间：它主要是通过压缩色度信息，以有 效地播送彩色电视图像为目的的一类颜色空间。例如，y i q ，i t u rb t 6 0 1 y c b c r ，i t u rb t 和s m p t e 2 4 0 my p b p r 等颜色空间。 2 从颜色的感知角度来考虑，也可以将颜色空间分为三类： 非线性亮度色度( 1 u m a c h r o m a ) 型颜色空间：这类颜色空间对于需要黑白 图像时是非常方便的。非彩色的感知是用一个分量来表示，彩色的感知是用两个 独立的分量。例如，l a b ，l u v ，和y i q 就是这类空间系统。 混合( m i x t u r e ) 型颜色空间：按三种基色的比例合成颜色。我们常用的r g b ， c m y ( k ) 和x y z 等颜色空间就属于这类空间系统。 强度饱和度色调( i n t e n s i t y s a t u r a t i o n h u e ) 型颜色空间：这类空间色彩的 感知是利用饱和度和色度来进行描述，从而颜色的解释更加直观。例如，h i s ， h s l ，h s v 和l c h 等属于这种类型。 颜色空间的分类很复杂，但是我们常用的颜色空间主要有c i e r g b ， c i e x y z 颜色空间和c i e l 9 7 6 ( l ，a ，b ) 均匀颜色空间三大类。 1 c i e l 9 3 1r g b 颜色空间 1 9 3 1 年c i e 规定7 0 0 n m 的红、5 4 6 1 n m 的绿和4 3 5 8 n m 的蓝为色光三原色， 6 i i 第2 章计算机配色的皋础知识 等能白色( e 光源) 就是三原色相加匹配所得到的。等能光谱色的r 、g 、b 分量 是在配色仪上匹配出的，称为1 9 3 1 c i e r g b 系统标准色度观察者光谱三刺激值， 用；( 五) 、g t a ) 、5 ( 五) 分别表示 2 c i e l 9 3 lx y z 颜色空间 由于c i e l 9 3 1r g b 中用来标定光谱色的原色出现负值，计算不方便，不易 理解，从而引出了c i e l 9 3 1x y z 表色系统引。它是由三个假想的原色光x 、y 、 z 组成的色度学系统，任何物体的颜色可由它的三刺激值x 、y 、z 表示( 这一 色度系统是在观测视场为2 。的情况下制订出来的) 。 x = 七s ( 五) 事万( 兄) 宰p ( z ) 事a 2 f 互l 】，= 后s ( 五) 宰少( 五) 宰p ( 名) 幸旯 i = l z = 后s ( 兄) 宰z ( 五) 宰p ( 见) 宰见 ( 2 - 1 ) 式中：k 是常数，常称作调整因数；x ( 入) ，y ( 入) ，z ( 入) 称为标准色度观察 刚宇簪烈鞫 亿2 ， 尺g=10；：01981520兰2-5528470釜0。18527b 00 0 0 9 00 0 2 5 017 8 6 8 r z 歹 c 2 3 ， ii = l 一 1 i 】，i( 2 3 ) lii 0l 7 -r且_ i 青岛人学硕i ：学位论文 式中 i ( 】，y ：| ) = ( 】，l ) “3 f i r 0 0 0 8 8 5 6 【f ( y l ) = 7 7 8 7 ( y l ) + 1 6 1 1 6 y y ：l 0 0 0 8 8 5 6 f ( z z 一) = ( z z 一) 3z z , 0 m 8 8 5 6 ( 2 - 4 ) 【f ( z z 。) = 7 7 8 7 ( z z ) + 1 6 11 6z z 。0 0 0 8 8 5 6 x 、y 、z 是颜色样本的- - - 束u 激值，x n 、y n 、z n 为c i e 标准照明体照射在完 全漫反射体上，然后反射到观察者中的三刺激值，其中y n = 1 0 0 ； 在判定一个颜色与样品色的差异时，常用的色差公式为c i el a b 色差式： 总色差：a e = ( 此) 2 + ( 曲) 2 + ( 6 ) 2 饱和度差：g = g ) 2 + ( 6 ) 2 r 一( 口) 2 + ( 6 ) 2 s 亮度差：a l = 岛一厶 2 2 染料 2 2 1 染料的命名及特点 所谓染料，就是采用适当的方法能将其他的某种物质染成色泽鲜明而坚牢色 泽的一种有机物。一般情况下，染料是可以溶解于水的，或者经过处理后以分散 状态来被使用。 染料分子一般包括发色基团或者助色基团，所以当溶于水，油，有机溶剂时， 具有很好的着色能力。它的用途相当广泛，棉、毛、丝、麻、各种再生纤维以及 合成纤维的染色和印花，造纸、塑料、皮革、墨水、橡胶制品、彩色照相材料、 食品工业等方面各种纺织纤维的印染等都可以用到染料。当染料用于纺织品行业 时，除了要色泽鲜艳之外，其良好的着色能力以及各项监牢度也是非常重要的， 比如说，耐皂洗、耐摩擦、耐水洗、耐汗渍、耐光、耐氯漂等等。所以，染料按 照各种应用性能分类是非常复杂的，例如直接染料，分散染料，活性染料，阳离 子染料等。 染料的分子结构也是比较复杂的，所以为了更加直接和明确的来反映其性能 和作用，染料的名称使用了专用的统一的命名方法，它通常有三部分构成，即三 段命名法。第一部分为冠称，主要表示染料在应用方面属于哪一类，大约有3 1 种；第二部分为色称，表示染料对织物染色后所得到的基本颜色名称，大约包括 3 0 种色称；第三部分为尾称，用拉丁字母或符号表示染料的色光、形态及特殊 性能和用途。以活性艳红k 4 b 染料为例，冠称是指“活性，色称是指艳红， k 为高温型活性染料，4 b 表示偏蓝光的程度，所以此染料名称的意义就是带蓝 光的适于印花的高温型活性艳红染料。 8 jl，i，1 1 1 il! l ： 第2 章计算机配色的基础知识 2 2 2 染料的选择及混合原则 在染整工艺中，对参与配色的染料进行选择是非常重要的环节。配色是寻找 颜色匹配的染料配方模型或方法，即是以不同的比例将三原色染料调和成样本颜 色的过程。就目前参与配色的所有染料来讲，活性染料占有较大的比例，表现出 强大的增长优势。活性染料n 5 1 指的是在适当的条件下，其分子中的活性基团与其 他的化学纤维发生化学反应，形成牢固共价键性的染料。活性染料中的活性基团 是染料的核心部分，它对染料的着色能力，牢固度以及染色所需的条件起着关键 作用。活性染料能在工业生产中广泛使用的重要原因就是它具有齐全的色谱，鲜 艳的颜色，低廉的成本，使用的方便性等诸多优点。 配色时染料的选择是非常重要的，只有当各种染料的性能相同时才能在光学 理论的条件下使用。本课题的所有样本均使用活性染料来进行染色。根据成品的 颜色，所用的染料可以分为三大类：浅色系，中色系和深色系。 浅色系：京仁浅三元活性红s h f g d 、活性黄s h f 4 g r 、活性兰s h f b r s 中色系：极品中三元活性红3 b s 、活性黄3 r s 、活性兰f b n 深色系：虹光深三元活性红c d 3 b 、活性黄c d r 、活性丈青c d 在工业生产中，如果一种染料的强度比较高，那么其着色能力就比较强，得 色就比较深，反之则着色能力低，得色浅，所以各种染料的强度决定了染料的用 量多少。本课题均采用中色系染料。 在前面的颜色混合中了解到，非发光色的混合指的就是染料的混合，它所遵 循的原则是减法混合。几种染料进行混合时，各种染料的吸收与散射之和就是总 的吸收与散射，这是k m 的染料混合理论。在进行染料混合时，白光照射在染 料上，染料吸收了光谱的某些成分，而其它部分被反射或散射，从而表现出某一 种特定的颜色，每一种染料进行增加时，都要从白光中减去一部分光谱成分，所 以染料混合后颜色逐渐变暗，这是减法混色原则。 在减法混合中，三基色指的是c ( c y a n ，青色) 、m ( m a g e n t a ，品红) 和 y ( y e l l o w ，黄色) ，它们是加法混合中三基色r 、g 、b 分别对应的补色。三基色 的含义就是利用c 、m 、y 这三种颜色可染制出我们生活中所遇到的各种各样的 颜色。在所有色彩系中，黑色就是三基色重叠后最暗的地方。 目前，减法混合在生产生活中被广泛使用，比如绘画，印刷行业，彩色胶卷， 纺织生产等等。 2 3 本章小结 本章主要讨论了计算机配色技术方面色度学以及染料方面的相关理论原理。 从颜色的特点、颜色的混合和颜色空间三个方面对色度学进行了详细的介绍。针 对计算机配色技术，提出了适宜配色所需的减色混合原则以及颜色空间。 9 青岛人学硕i ：学位论文 根据染料的命名和基本属性更深刻的认识了染料的特点，重点指出了在进行 计算机配色时，各种染料如何来进行选择，以及选择好染料后其混合的原则。 本章主要从配色技术的基础理论方面来初步讨论计算机配色问题。 l o 第3 章计算机配色的数学堆础 第3 章计算机配色的数学基础 随着计算机应用于科学计算过程中的普及化，数学建模更是起到了举足轻重 的作用。科学领域中，利用计算机进行数学建模大体分为实际问题的提出，分析 实际问题建立数学模型，选择合适的数学方法，利用计算机( 程序设计，上机计 算等) 得出数值结果并进行验证几个步骤。因此，应用计算机来解决实际问题的 科学研究中构建合适的数学模型是非常关键的。 3 1 数学建模的基本原理 数学建模n 町是以现实生活中的实际问题为原型，通过用数学语言和思维方法 来进行简化模拟，建立起能够近似描述现实问题的数学模型。它的特点在于用数 学的思想和语言描述实际事物或现象，它是实际事物被数学简化的产物，常常是 以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的。数学建模主要分为以下几个基本 步骤：建模准备，模型假设，模型构成，模型求解与分析，模型检验和模型应用。 数学模型的建立与现实世界研究对象的原型有着密切的关系，如图3 1 所示。 图3 1 数学模型与研究对象的关系 3 2 函数和插值 在现实生活或科学研究中，经常会接触大量的函数，然而相当一部分函数是 在实验中测量或者计算得到的。虽然y i ，w 的函数关系在某个区间陋，6 】上是客观 存在的，但因为我们不能得到明确的函数解析式，只能通过观察、测量或实验得 到函数在这个区间上的一些离散点的函数值、导数值等来对这样的函数用一个比 较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。还有些函数，虽然在整个区间 上具有明确的函数解析表达式，但却过于复杂而不便于进行分析和计算，或者分 析计算出来的结果误差很大，这种情况下，更希望构造一个既能反映函数的特性 又便于计算的简单函数，近似替代原来的函数。 所以，本课题研究中引入了分段函数和插值法。 青岛人学硕i ：学位论义 3 2 1 分段函数的基本概念 分段函数，即将某个区间k 6 】分为有限的几个区间，若在各个区间上表示 对应规则的数学表达式一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值：或 者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样，则称这样的函数为 分段函数。其中定义域所分成的有限的几个区间称为分段区间，分段区间的 公共端点称为分界点。 分段函数主要应用于在整个区间上定义的函数解析式不准确的情况下。为了 减小不必要的误差，使得函数表达式更加明确，引入了分段函数。本课题所使用 的方法中多次构造分段函数使得在各个小区间上实验所得的数据更加准确。 3 2 2 插值法的定义 插值法n 7 1 是数学分析法中很重要的一部分，通常用来构造逼近的函数，它的 主要目的是使得插值的函数尽量的逼近离散点。 设函数y = a x ) 定义在区间 口，b i - ：，x o , x l , x 2 , , a n 是 口，b l - 取定的n + 1 个互异点， 且仅仅在这些点处函数值y i = j t ( x i ) 为已知，要构造一个函数荆，使得 g ( x i ) = y i ，i = o ，1 ，万 ( 3 一1 ) 并要求误差r ( x ) = a x ) - g ( x ) 的绝对值i r ( x ) l 在区间 口，6 上任意一点或整个区间【口，6 】上 比较小，即烈x ) 较好地逼近。点拗i 抱，, a n 称为插值基点( 节点) 或简称为基 点( 节点) 。基点不一定按其大小顺序排列。【m i n ( x 0 , x l ，而) ，m a x ( x o , x l ，焉) 】称为 插值区间。a x ) 称为求插函数，烈”称为插值函数。求a x ) 的插值函数的方法称为 插值法。 从几何上看，插值法就是求通过给定的n + 1 个点瓴, y i ) i = o ，1 ，z 的曲线 y 吲力，并用它近似已知曲线删。 3 2 3 插值法的分类 若用贴) 作为的插值函数，我们不仅希望甙功能更大程度上逼近艄，使 其精度更高，同样希望删能够更简单有利于计算机计算。这种用一个函数来表 达原来函数的方法，称之为代数插值法。 插值法主要分为分段插值n 引、三角插值、多项式插值和样条插值四大类，分 段插值又可分为分段线性插值“引、分段三次埃尔米特插值等，而多项式插值法又 可分为拉格朗r 多项式插值、牛顿多项式插值等。如图3 2 描述了插值法的具体 分类。 1 2 第3 章计算机配色的数学皋础 广拉格朗e l ( l a g r a n g e ) 多项式插值 广非等距节点插值一一牛顿( n e 叭0 n ) 多项式插值 l l 内维尔( n e v i l l e ) 迭代插值 l 埃尔米特( h e r m i t e ) 插值 插值斗狮懒虻詈尝篙曼器础式 i厂分段线性插值 卜分段低次插值+ 分段h e r m i t e 插值 l 反插值 l 样条插值 图3 2 插值法的分类 本课题主要采用了分段线性插值法啪1 。所谓分段线性插值就是通过插值点在 各个分段函数脚上来求得精度更高点的函数值。设已知区间 口，纠上的n + 1 个节 点a = x o x l x n = b 上的函数值y i = j 厦x i ) ( i = o ，19 ooog n ) ，函数需要满足以下条件： ( 1 ) 心是区问陋，6 】上的连续函数； ( 2 ) l ( x ) = y i ( i = o ，1 ，n ) ； ( 3 ) 心在每个小区间阮，x i + 1 上是线性多项式。 则称为厂的分段线性插值函数。 3 3 优化设计方法 在进行优化设计过程中，建立符合实际需求的数学模型和选择恰当的优化方 法是重要内容，也是完成优化设计的关键步骤乜。 首先，建立优化设计数学模型是取得正确结果的前提。数学模型是设计内容 的概念化、公式化，是理性化的复杂过程，建模过程是对设计对象的抽象，尽可 能反映实际情况。 其次，优化方法的选择取决于数学模型的特点，如优化设计问题规模的大小、 目标函数和约束函数的性态以及计算精度等，在选择各种可选用的优化方法时， 需要考虑两个方面的问题嘲：一是优化方法本身的适应性；一是计算机执行某些 程序所花费的时间和费用。正确选用数学规划法的某种算法至今还没有一定的原 则。通常认为，对于目标函数和约束函数均为显函数且设计变量个数不太多的问 题，惩罚函数法较好；对于只含线性约束的非线性规划问题，最适宜采用梯度投 影法；对于函数易于求导的问题，利用导数信息的方法为好，如可行方向法；对 于求导非常困难的问题则应选用直接结合形法；对于高度非线性的函数，则应选 用计算稳定性较好的方法，如b f g s 变尺度法和内点惩罚函数法相结合的方法。 优化设计的全过程可分为以下几个步骤： 1 将具体的工程设计对象抽象为优化设计的数学模型； 2 根据不同的问题选择适当的优化方法； 1 3 青岛人学硕l ：学位论文 3 编写计算机程序： 4 准备必要的初始数据进行程序调试并完成优化计算过程； 5 对计算结果进行分析，如果计算结果与定性分析和常规设计的结果差距大 或不符合常理，则应重新检查数学模型的合理性。 3 4 本章小结 本章主要介绍了数学建模的基础知识和基本步骤，着重分析了分段函数的概 念以及常用的逼近函数的方法，即插值法以及插值的基本分类。最后，分别就优 化设计方法的设计理念以及设计的主要过程作了介绍。 本章为数学建模方法解决计算机配色问题的基础理论与基本概念。 1 4 j1， j_-lj1 -_-ji1_i111 j，-1j，_j111 j1】11，：j， i1 i i 第4 章计算机配色的数学模型 第4 章计算机配色的数学模型 4 1 计算机配色数学模型建立的基础 4 1 1 基础数据库的建立 计算机配色系统早期主要采用分光光度计作为采样设备乜叼，但由于分光光度 计在使用和维护起来非常不方便，所以本课题的实验过程中选用数码相机或扫描 仪等数字化采样设备来进行数据采样，然后将获得的小样颜色基本信息存入计算 机，构建基础数据库，然后利用这些样本数据来进行实验研究和数据分析。 本实验所需要的数据包括染织小样的颜色三刺激值c 、m 、y 和参与染色的 染料浓度d 。本文以中色系为例，采用活性蓝( f b n ) ，活性红( 3 b s ) 和活性黄( 3 r s ) 作为三种基本染料。小样基本信息的数据表如4 1 _ 4 4 所示。 表4 1 极品中三元f b n ( 活性蓝) 染料小样数据 序号染料浓度d小样三刺激值c m y f b n c my 1 o 21 3 41 3 l9 9 2o 51 6 31 6 31 2 8 3o 81 7 51 7 81 4 3 4l1 8 21 8 71 5 2 表4 2 极品中三元3 b s ( 活性红) 染料小样数据 序号染料浓度d小样三刺激值c m y 3 b sc my lo 22 81 2 6 7 1 2o 54 01 6 61 0 0 30 84 61 8 01 1 2 4l5 0 1 8 9 1 1 9 表4 3 极品中三元3 r s ( 活性黄) 染料小样数据 序号染料浓度d小样三刺激值c m y 3 r scmy l0 282 41 2 1 20 51 04 01 5 8 30 81 05 01 7 4 411 05 41 8 1 1 5 青岛人学顾i ：学位论文 表4 4 极品中三元三拼色小样样本数据 样奉浓度d样奉三刺激值c m y f b n3 b s3 r s cmy o 2 5o 2 50 2 5 1 3 91 5 51 4 1 o 3o 3o 31 4 51 6 2 1 4 8 o 3 50 3 50 3 51 4 81 6 5 1 5 2 o 4 5o 4 5o 4 51 5 71 7 51 6 2 o 50 5 o 51 6 01 7 81 6 5 o 5 5o 5 5o 5 5 1 6 21 8 01 6 7 0 6 5o 6 5o 6 51 6 71 8 5 1 7 3 0 7o 7o 71 7 01 8 8 1 7 6 o 7 5o 7 5o 7 51 7 11 8 91 7 7 o 8 5 o 8 5 o 8 51 7 41 9 31 8 1 0 90 9o 9 1 7 5 1 9 5 1 8 3 o 9 5o 9 5o 9 51 7 71 9 6 1 8 4 4 1 2 单色染料浓度与三刺激值之间的关系 为了发现单色染料的浓度和三刺激值之间的关系，根据表4 1 4 3 中的数据， 利用图表的方式对离散的数据进行拟合嘲。通过图表可以发现极品中三元中三种 基本染料浓度与样本三刺激值关系的整体走势，系列1 、系列2 和系列3 分别代 表各染料的浓度与c 、m 、】，的走势曲线，如图4 1 4 3 所示： 图4 1 极品中三元f b n ( 活性蓝) 染料浓度与三刺激值的关系图 1 6 i l 第4 章计算机配色的数学模型 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 o 单色3 b s 浓度d j c , m ，y 值的关系图 臣彩”+ 一”7 ：二二二 潮”4 强”7 ”缓r i 一 麓 ：- ” 7d “ z ，蔓 蠹一。i ! 。麓 f + 系列1 + 系列2 系列3 d， 图4 2 极品中三元3 b s ( 活性红) 染料浓度与三刺激值的关系图 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 0 o 单色3 r s 浓度d 与cm ，y 值的关系图 9 鬻孵黝缈呵7 7 鬻譬习 錾： 一 ， ：i ，_7 二霪 缓，一： 。一- 一，么 d 图4 3 极品中三元3 r s ( 活性黄) 染料浓度与三刺激值的关系图 由图4 1 - 4 3 可见，极品中三元单色染料的浓度与其三刺激值之间具有较强 的规律性，单色染料的c 、m 、】，值由浓度决定并随着浓度的增加而呈升高的趋 势。 4 1 3 三拼色染料浓度与三刺激值之间的关系 为了发现拼色染料的浓度和三刺激值之间的关系，根据表4 4 中的数据，即 当拼色中三种染料浓度相同时，利用图表的方式对离散的数据进行拟合。如图 4 4 所示。 图4 4 极品中三壳拼色染料浓度与三刺激值的关系图 1 7