（计算数学专业论文）基于加权范数迭代算法的总变差正则化图像复原方法.pdf

摘要 数字图像复原过程是一个反卷积问题，由于观测图像无可避免的受到噪声的 影响，图像复原的过程无论是理论分析或是数值计算都有一定的困难图像复原 最基本的任务是在去除由降质系统引入的噪声的同时，不丢失原始数据的细节信 息，然而抑制噪声和保持细节往往是一对矛盾，也是图像复原中至今尚未很好解 决的一个问题总变差正则化方法正是在这种背景下提出并发展起来的 本文在经典的t d d m n o v 正则化方法求解反问题的理论框架下，将传统的总变 差正则化方法中的范数进行推广，提出了广义总变差正则化模型，并根据加权迭 代最小二乘方法的基本思想，通过加权矩阵将一般的，范数转化为，2 范数，从而 应用标准的二次优化方法进行迭代求解，这就是本文重点介绍的算法一加权范 数迭代算法从数值仿真试验中对降质图像的复原效果来看，与经典复原算法相 比，加权范数迭代算法在计算时间和复原质量上都具有显著优势 本文的研究思路和主要工作概述如下：首先介绍数字图像复原的一般理论， 然后在总变差正则化图像复原的r o f 模型基础之上，将其范数推广后，提出了 通用的广义总变差正则化模型，并介绍了求解该模型的加权范数迭代算法，同时 也简要讨论了该算法的收敛性 数值仿真试验主要针对z 1 范数和，2 范数两种典型情形下的总变差正则化模型 进行了算法验证和分析，主要结论有：与| 2 范数相比，1 范数下的总变差正则化 求解模型复原效果较好，但计算时问较多；较小的噪声水平下对应的正则化参数 的选取也相对较小；总变差正则化模型对椒盐噪声复原效果较好，正是其本身的 保持不连续性特点的体现；在经典复原算法失效的情形下，总变差正则化模型仍 然能得到较好的复原效果同时从试验结果可以看出，加权范数迭代算法求解总 变差模型收敛速度快，计算时间少，且具有很好的鲁棒性 关键词 总变差正则化，图像复原，加权范数迭代算法 a b s t r a c t t h e p r e e c s so fd i g i t a li m a g er e s t o r a t i o ni sad e c o n v o l u t i o np r o b l e m b e c a u s eo f t h ee f f e c to fn o i s e ，t h e r ea r em a n yd i f f i c u l t i e si nt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a l c o m p u t a t i o no fi m a g er e s t o r a t i o n t h eb a s i ct a s ki st or e m o v et h ed e g r a d e ds y s t e m n o i s ew i t h o u t l o s i n g d e t a i li n f o r m a t i o no f o r i g i n a ld a t a , b u tt h i s i sap a i ro f c o n t r a d i c t i o n sw h i c hh a sn o ty e tb e e ns o l v e dw c l ln o w t o t a lv a r i a t i o nr e g u l a r i z a t i o n m e t h o di sag o o dc h o i c et ot h i sp r o b l e m t h i s p a p e rp r e s e n t e dg e n e r a lt o t a lv a r i a t i o nr e g u l a r i z a t i o nm o d e lb a s e do i l g e n e r a l i z e dn o r mo ft r a d i t i o n a lt o t a lv a r i a t i o ni nt h et h e o r e t i c a lf r a m e w o r k o fc l a s s i c a l t i k h o n o vr v g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，a n da c c o r d i n gt ot h eb a s i ci d e ao fi t e r a t i v e l y r e w e i g h t e dl e a s ts q u a r em e t h o d ，w et r a n s f o r m e dg e n e r a l i z e dn o r mt o ，2 n o r mw i t h w e i g h t e dm a t r i x ，w h i c hc a nb es o l v e db ys t a n d a r dq u a d r a t i co p t i m i z a t i o nm e t h o d t h i si sm a i nw o r kc a l l e dl t e r a t i v e l yr e w e i g h t e dn o r ma l g o r i t h m n u m e r i c a lr e s u l t s s h o wt h a t ，o u ra l g o r i t h mh a sa d v a n t a g e si nc o m p u t et i m ea n dr e s t o r a t i o nq u a l i t yt o t r a d i t i o n a lr e s t o r a t i o na l g o r i t h m r e s e a r c hi d e aa n dm a i nw o r ko ft h i sp a p e ra r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ：f i r s t ，w e i n t r o d u c e db a s i ck n o w l e d g eo fi m a g er e s t o r a t i o n ；t h e nw ep r e s e n t e dg e n e r a l i z e dt o t a l v a r i a t i o nr e g u l a r i z a t i o nm o d e lb a s e do nt h er o fm o d e la n dd i s c u s s e dt h ep r o c e d u r e s a n d c o n v e r g e n c eo fl t e r a t i v e l yr e w e i g h t e dn o r ma l g o r i t h m n u m e r i c a le x p e r i m e n tv e r i f i e do u ra l g o r i t h mb a s e do n1 1 - n o r ma n d ，2 - n o r m c a s e sa n dc o m p u t a t i o n a lr e s u l t ss u m m a r i z e da sf o l l o w s ：t h er e s t o r a t i o ne f f e c to f ，1 - n o r mt o t a lv a r i a t i o nr e g u l a r i z a t i o nm o d e li sb e t t e rt h a ni 2 n o r mm o d e l 。b u tc o s t s m o r ec 【m l p 哪t ct i m e ；t h eb e s tr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e ri ss m a l lw h e nt h en o i s el e v e li s l o w ；t o t a lv a r i a t i o nr e g u l a r i z a t i o nm o d e lh a sg o o dr e s t o r a t i o ne f f e c tt op e p p e r - s a l t n o i s eb c c a u $ eo ft h i sm e t h o dc a nk e e ps h a r pd i s c o n t i n u i t i e s ；t o t a lv a r i a t i o n r e g u l a r i z a t i o nm e t h o dc a ng e tg o o dr e s t o r a t i o n r e s u l t se v e nw h e nt r a d i t i o n a l r e s t o r a t i o na l g o r i t h mi sf a i l e d m e a n w h i l e ，i t e r a t i v e l yr e w e i g h t e dn o r ma l g o r i t h m 咖l p u l 懿f a s ta n dr o b u s tw h e ns o l v i n gt h et o t a lv a r i a t i o nm o d e l k e y w o r d t o t a lv a r i a t i o nr e g u l a r i z a t i o n , i m a g er e s t o r a t i o n ，l t e r a t i v e l yr e w e i g h t e dn o r m a i ! g o r i t h r n 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 签名：篓阻日期：型蝉 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的 全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存或汇编本学位论文同时授权经武汉理工大学认可的国家有 关机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息 服务 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生( 签名) ：笆触 导师( 签名) ( 注：此页内容装订在论文扉页) 期 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第1 章绪论 一般来讲，凡是由“效果、表现、输出反求“原因、原象、输入”的问题， 都称为反问题反问题应用前景广阔，已经成为数学发展中的热点问题之一求 解反问题的难点在于如何利用问题本身的特性及一些处理手段将其转化为适定 问题，目前研究较为成熟完善的便是正则化理论，是由前苏联数学家t i k h o n o v 于上个世纪6 0 年代提出的除此之外，截断奇异值分解和总变差正则化方法也 在反问题求解中取得了广泛的应用目前，反问题的研究主要集中在三个方面： ( 1 ) 不适定性和正则化理论研究，主要是针对如何设计正则化算子使得求解更加 稳定；( 2 ) 正则化参数的选取方法及其快速求解算法，目前已经形成了各种迭代 求解算法：( 3 ) 反问题在具体的实际问题中的应用，比如医学图像、地理遥感、 通信控制等领域有很多问题可以从数学求解的角度将其归结为反问题 图像复原是一类典型的反问题，起源于2 0 世纪5 0 年代开始的苏联与美国的 太空竞赛i 枷，当时的太空计划，如美国为获取月球表面影像等数据而进行的探 月计划( r a n g e r , 1 9 6 1 1 9 6 5 年) 、为未来阿波罗登月计划进行筹备的月球轨道计划 ( l u n a ro r b i t e r , 1 9 6 6 - 1 9 6 7 年) 、火星探测计划( m a r i n e rm i s s i o n ，1 9 6 4 1 9 6 5 年) 获得 了一批令人难以置信的地球与太阳系的图像这些图像的获取，代价极为高 昂例如，火星探测计划中的m a r i n e r4 ，经过几亿千米的航行靠近火星，在1 万多千米的范围内，每4 8 s 获取一张2 0 0 x 2 0 0 像素、每像素分辨率仅为3 k m 的 电视图像，而且仅仅获得了2 2 张这些图像传回地球用了4 天的时间按照比 特传输计算其成本，大约是每l 比特消耗1 0 0 0 万美元在太空中获取图像，由 于相对较慢的成像速度与相对极快的飞行器速度，加上飞行器本身的震动等因 素，质量不高，需要进行后期的图像处理 图像复原是一种客观的图像处理任务，它要求根据退化的( 模糊的) 、含有噪 声的观测图像，复原出“精确的”原始图像( 如图1 - 1 ) 而图像增强则主要是为 了做出适合人眼观看的改良图像，是主观的图像处理任务图像复原的基本手 段包括代数复原( 最小二乘、奇异值分解、正则化技巧等) 、统计复原( b a y e s 模 型、m a r k o v 随机场等) 、分析复原模型( 偏微分方程或者变分模型等) 以及各种混 武汉理上大学硕士学位论文 合模型在图像复原模型中，起主导作用的两个因素是保真性与光滑性前者 的目的是复原的图像与观测图像应当保持一致的图像特征，后者的目的是尽可 能使图像平滑以便消除图像中的噪声但是，在实际应用中的绝太多数模型内， 这两个因素实际上互相是冲突的在代数复原中，通常在保真项与正则化项之 间有一个可调节的正则化参数，用阻在保留图像特征和去噪之间做出适当的折 中 原始图像降质图像 复原图像 图1 - 1 图像复原过程示例 数字图像的成像过程可i = 上用积分方程进行描述，对退化图像的复原过程可 以看作是一个反卷积问题，这是一类重要的反问题，由于观测图像无可避免的 受到噪声的影响，图像复原的过程无论是理论分析或是数值计算都有一定的困 难图像复原要求我们分析图像变质的原因，建立图像退化的数学模型，然后 沿着逆向的过程来获得对原始图像的估计值目前常用的图像复原的模型和方 法有很多，例如，基于统计的方法，由于噪声具有一定的统计模型，通过对噪 声模型的分析可以得到去除噪声的目的，维纳滤波就是一种基于统计的滤波方 法：基于频谱分析的方法，利用噪声往往在高频段的特点，通过频谱变换后去 掉高频信息而达到去噪的目的；正则化方法，通过t i k h o n o v 正则化方法构造合 适的变分模型来进行复原；小波分析的方法，通过构造具有特殊性质的小波基 进行小波分解，然后对小波系数进行处理达到去噪的目的：p d e 方法 图像复原最基本的任务是在去除由降质系统引入的噪声的同时，不丢失原始 数据的细节信息，将反问题的理论和方法应用于图像处理，不失为一种有意义 的探索 武汉理工大学硕士学位论文 1 2 国内外研究现状及存在的问题 图像复原问题的研究始于2 0 世纪五六十年代，当时前苏联和美国的科学 家在进行各自的太空计划中获取了大量有关地球和太阳系的图像信息，但是 这些图像很模糊，在当时的技术条件下根本无法看清楚，使得这些来之不易 的信息失去了使用价值任何一种因素造成的图像降质都会降低图像的科学 价值，同时也是巨大的经济损失，从5 0 年代开始的空间探索，人们期望有一 种技术能够弥补或找回由于图像获取系统不完善而造成的图像降质，于是从 降质图像中复原有用的信息的数字图像复原技术也就随着应用的需要而开始 产生如月面和火星表面探测，阿波罗登月事件，以及若干天文观测结果， 就是图像复原技术的成果早期的一个成功例子是n a s a 的喷气推进实验室 在1 9 6 4 年用计算机处理有关月球的照片，照片原来是在空间飞行器上用电视 摄像机拍摄的，图像复原处理包括消除干扰和噪声，校正几何失真和对比度 损失，以及反卷积等等另一个典型的例子是1 9 7 8 年美国政府重新调查肯尼 迪总统被刺事件时，就利用了现场照片进行复原处理，并作为调查案件的辅 证由于事发突然，照片是在相机移动过程中拍摄的，图像复原的目的主要 是消除移动造成的失真 目前在此领域中，全世界有许多研究人员投入此领域中，进行了广泛的研 究，对于各种不同的退化图像，从不同的角度提出了许多有价值的算法，并 且有的算法运用于实际应用中己获得较好的结果例如m a l p e rk u t a y 和 h a l d u nm o z a k t a s 等【1 7 l 提出的因时变或空间变化引起的退化图像采用分数维 变换域滤波的方法进行复原，在不增加附加计算代价的前题下，此方法所得 的均方误差比傅氏变换域滤波所得的均方误差小，性能得以改善此方法只 对特定的时变或空变退化模型而言，复原效果比较好，但这种复原技术的先 验条件在于须知图像和噪声的知识( 相关函数) ，且复原中存在分数维阶次的优 化问题，对其它模型的应用效果如何，能否得以广泛应用还是个未知数，因 此对这方面的研究具有较广的前景又如d e e p k u n d e 和d i m i t r i o sh a t z i n a k o s 等1 1 8 l 提出了使用循环滤波的方法对线性退化图像复原采取所谓的盲卷积技 术，此技术在原始图像或点扩散函数未知的情况下，对具有限定支撑点的目 标( 如医学图像，宇宙图像等) 进行复原通过设计具有最小凸状面的代价函 数的循环滤波器来复原原信号这种方法是非参数限定支撑点的盲卷积技术 的改进，它提高了算法可靠性，加快了算法的收敛性但使用这技术须有许 3 ，武汉理工大学硕士学位论文 多先验假定条件，特别是对点扩散函数和噪声的假定，若假定条件不满足或 有所变化，则此技术可能出现病态，因而对此技术的改进亦可进一步加以研 究当然还有其它的图像复原技术，例如m u n c h i r on a m b a 和y o s h i h i s ai s h i d a 等1 1 9 l 提出了使用小波变换对图像进行盲复原等等总而言之，图像复原技术 的研究是一个有着较广前景的领域 经典的图像复原中，常用的方法有逆滤波法，此方法虽然简单，但是有很 大的局限性另外还有维纳滤波法，但是该方法的使用前提是系统必须是线 性移不变，信号和噪声是平稳的随机变量，同时须知图像和噪声的先验知识 才能对图像进行复原 图像复原中要求我们在去除噪声的同时，又不丢失信号的细节信息，这也 是至今尚未很好解决的一个问题总变差正则化方法与经典的复原方法相比在 此方面具有优势，它可以保持图像中不连续信息，然而由于模型本身的不可微 性导致了求解比较困难i l l l 2 1 1 3 1 1 3 本文研究思路及主要工作 本文围绕总变差正则化方法提出了通用的广义总变差正则化模型，及其求解 的加权范数迭代算法，研究思路和主要工作总述如下： 图像复原是信息领域中的一类重要的反问题，本文首先介绍了数字图像复原 的基本知识，以及图像复原中涉及到的技术处理细节 然后从经典的t i k h o n o v 正则化方法入手，介绍了总变差图像复原的r o f 模 型，并将之推广后，提出了通用的广义总变差正则化模型，同时也概述了现行 的总变差正则化模型的求解算法 加权范数迭代算法是本文的核心内容，本文从加权迭代最小二乘方法出发， 根据加权范数的思想分别将广义总变差正则化模型中的数据保真项和正则化项 进行修改，统一转化为，2 范数下的正则化模型，然后通过标准的优化方法求解， 同时也简要讨论了该算法的收敛性 最后是数值试验及其结果分析，广义总变差正则化模型中范数的选择、算法 中相关参数的设置以及图像本身的特性和退化成因，都对试验的复原效果有不 同的影响试验结果的对比分析，表明该算法具有通用性、鲁棒性，复原效果 比经典复原算法计算时间快，且信噪比高 4 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章图像复原基本理论 2 1 图像的基本表示 对于灰度图像，常见的表示方法有： ( 1 ) 图像的函数表示 最为简单的描述图像的方式就是把图像f ( m ，刀) 看做是定义在像素点( 朋，刀) 处的像素值，其中f ( m ，d 0 ，1 ，2 q 一1 ) ，( 肌，刀) p ，1 ，m 一1 o ，1 ，n 一1 ， 此时称图像f ( m ，门) 是g 位的，其尺寸为m a t ( 2 ) 图像的矩阵表示 在计算机处理中，常常把图像厂理解为一个m x n 的矩阵 f 一 矗磊。 石- 。 厶石。 z 。4 厶1 o 厶部厶- l - l ( 3 ) 图像的向量表示 在数值计算中，为了简便起见，常将图像表示为m n 维的列向量，即把矩阵 的各个元素依照某种次序连缀起来，如 一( 厶，厶，厶舢，石。，厶剞d ) 1 计算中常常把图像转化为一维向量，图像u e r 一按照列方向转化为一维向 量甜r ”，即： l ，j 一己，月，i 一1 ，刀2 ( f 一( g - 1 ) n + p , 1 qs 刀) 向量的，p 范数： 8 材l | p 。j ( 羹1 广) ，。 p 陋m a 卅xi , i 一 5 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 图像的噪声模型 在图像处理的几乎所有过程中，都不可避免地要克服噪声的影响一般地， 噪声可以看做是某种或者多种非确定性因素造成的，常采用统计的方式进行描 述，常见的噪声类型有： ( 1 ) 高斯噪声 许多复杂的因素综合在一起作用，一般理解成大量的、幅度很小的独立同分 布的因素进行叠加后合成的效果依据中心极限定理，可以用高斯分布进行描 述噪声 在每个像素点的位置上，噪声, 的密度估计为： 刀一n ( t , o 2 ) 一击c x p 【一譬】v 埘u训 ( 2 ) 椒盐噪声 当图像只有个别像素上有噪声，但是这些噪声的效应不同于以往的简单加性 噪声，就用椒盐噪声来描述若把原图像像素记为z ，椒盐噪声记为疗，而被椒 盐噪声污染后的图像像素记为y ，则椒盐噪声的效果可以描述为y 的密度函数： f y 町 p ( y ) 一 卢，y a l y ，y b 这里1 7 l + 户+ ，- 1 2 3 图像的质量评价模型 图像的质量评价分两个基本范畴：主观评价和客观评价本文主要关注客观 评价方法，常用的评价模型有： ( 1 ) 均方差( m s e ) 。斋善m善n陟o，df(imsemn ，) 。lv f l 厂“n 一，l 白鲁f ” ”川 ( 2 ) 信噪比( s n r ) 6 武汉理工大学硕士学位论文 s n r l o l 0 9 1 0 ( 3 ) 峰值信噪比测度( p s n r ) mn 善善m 芝兰k 小夕( f ，j ) 善善l 厂( f ，歹) 一夕( f ，j ) f 1 i ( d b ) j 1 0 1 0 9 l 。t 习霸丽 ( 4 ) 信噪比改进量测度( i s n r ) i s n r l o l 0 9 1 0 ( d b ) ( d b ) 其中， s o ，j f ) 为原始图像，f ( i ，) 为复原图像，g ( i ，d 为降质图像 2 4 图像退化成因和复原建模 图像在形成、记录、处理和传输过程中，由于成像系统、记录设备、传输介 质和处理方法的不完善，导致图像质量下降退化原因主要有i 捌： ( 1 ) 成像系统的像差、畸变、有限带宽等造成的图像失真； ( 2 ) 射线辐射、大气湍流等造成的照片畸变； ( 3 ) 携带遥感仪器的飞机或卫星运动不稳定，引起照片的几何失真； ( 4 ) 模糊图像在数字化过程损失部分细节，造成图像质量下降； ( 5 ) 拍摄时，相机与景物之间的相对运动产生的运动模糊： ( 6 ) 镜头聚焦不准产生的散焦模糊； ( 7 ) 底片感光、图像显示时会造成记录显示失真； ( 8 ) 成像系统中始终存在的噪声干扰； 退化过程可以被模型化为一个退化函数和一个加性噪声项，处理一幅输入图 像f ( x ，力产生一幅退化图像g ( x ，y ) 图像退化的过程通常简化为模型( 如图2 - 1 ) ： 7 ，一、j 力一力触瓦 一 一 一 d 一力以一 陟一陟 v智矿v箭 材v智百y智 武汉理工大学硕士学位论文 工，力 n ( x ，力 图2 1 图像退化模型 用数学公式可以表示为 g ( x ，y ) 一f f m ，叩) 办( x ，y ，宇，7 7 ) 蝣砌+ n ( x ，j ，) ( 2 1 ) 其中，h ( x ，y ，亭，7 ) 代表系统的点扩展函数，即系统的二维冲激响应函数n ( x ，力 表示系统中的噪声干扰，它通常以相加的形式出现在( 2 1 ) 式中，我们称为加 性噪声图像复原就是在给定g ( x ，y ) 和关于退化函数的一些知识以及外加噪 声项，7 0 ，y ) 的条件下，获取关于原始图像的近似估计厂( x ，y ) 假设系统的点扩展函数与景物平面上各点位置无关，那么( 2 1 ) 式可以改 写为 g o ，力一仃y ( 拿，可) 办( x 一亭，y 一刁) 鹰砌+ 刀( z ，少) ( 2 2 ) 退化模型的三种表达形式： 如果系统h 是一个线性、位置不变性的过程，那么在空间域中给出的退化图 像可由下式给出： g ( x ，y ) 一h ( x ，力f ( x ，y ) + ，7 ( j c ，y ) 其中h ( x ，y ) 是退化函数的空间描述，表示空间卷积，等价的频域描述为 g ( u ，v ) 一h ( u ，v ) f ( u ，1 ，) + n ( u ，1 ，) 在h ( u ，n 的表达式未知情况下，但是假如知道某些质量下降的原因，例如， 受到衍射限制的空间非相干光学成像系统中由于衍射造成的质量下降，摄影术 中照相机与景物之间的相对运动造成的质量下降，我们可推测得h ( u ，n 的模型， 得到点扩散函数h ( u ，v ) 如果不了解质量下降的原因，那么只能从退化图像本 身来估计点扩散函数h ( x ，力，又称盲复原关于噪声，最普通的假设为白噪声， 虽然它是一个数学上的概念，但只要噪声的带宽远大与图像带宽，我们就可近 似为白噪声有了图像复原所需的先验知识，或利用一些先验知识来推测噪声 的性质，就可采取不同的方法来复原图像 在实际应用中，处理的图像都是数字图像，所以对上式采用离散化形式进行 8 武汉理工大学硕士学位论文 表刁专： g ( x , y ) - z f ( m , n ) h ( x 毗y 一力+ 刀( x ，力 _ - o 一。 其中x 一0 ，1 , z ，m 一1 , y - 0 ，1 ，2 ，n 一1 函数厂( x ，y ) 和h ( x ，力分别是周期为m 和n 的函数，如果函数周期不时m 和n ，必须对其补零延拓，以避免卷积周期 的交叠 因此，图像复原的主要任务就是从已知的变质图像g ( x ，y ) 中，根据 h ( x ，y ，亭，叩) ，n ( s ，y ) 和，( 亭，7 ) 的某些先验信息，对f ( x ，y ) 作最佳的估值 忽略传感器噪声及非线性等因素的影响，成像公式为 g ( x ，力。胪( 亭，7 ) 办( x ，y ，亭，7 ) 蹭砌 采用算子理论来分析，即给定函数的某一定义空间和函数g 的定义空 间，寻找算子t ，对进行t 运算得到g ，即 r f g 图像复原的问题就是找到一个逆变换r ，使得 丁g f 从数学意义上讲，图像复原的问题就是讨论逆变换的存在性和唯一性问 题对于逆变换丁以不存在的问题称为奇异问题，从实际意义上说，我们可以 从g 中复原出尽量接近于函数厂的估计值，这样奇异问题就可以解决另一方 面，g 中的一个很小的扰动可能造成中的一个很大的扰动数学上表示为 r - 1 【g + 】一f + 6 其中，f 为一个任意小的扰动值，6 为造成f 的相应扰动 图像复原的研究思路总体如下：分析退化原因一建立退化模型一反向推演一 复原图像 广义上讲，图像复原是一个反问题，反问题的求解经常存在非唯一解，甚至 无解，即具有不适定性，从而使得复原全真的景物图像比较困难为了得至l j 反 问题的有用解，图像复原本身往往需要一个质量标准，即衡量接近全真景物图 像的程度，或者说，对原图像的估计是否达到最佳的程度，需要有先验知识和 对解的附加约束条件 9 武汉理工大学硕士学位论文 2 5 图像复原中常用的处理技术 图像仅仅是在有限区域内显示，但是视觉区域以外的信息也可能会影响模糊 后图像靠近边界部分的像素由于这部分信息不可知的，因此为了计算的目的， 我们需要对图像的边界条件做一定的假设在图像处理中，一般有下面三种情 形： ( 1 ) 零边界条件：即黑边界，又称d i r i c h l e t 边界，这时最自然也是最典型的 方法图像x 边界外面的像素都取值0 ，如图： ooo oxo ooo ( 2 ) 周期边界条件：即图像在各个方向都重复出现，如图： ( 3 ) 对称边界条件：图像边界外部的像素和边界内部的像素成镜面对称 x 比x rk x c x k x 比x r x 比 进行边界扩充之后的图像显示效果如图2 2 所示 1 0 武汉理l ：大学硕+ 学位论文 零边界条件 周期边界条件 毒： 对称边界条件 图2 - 2 不同边界条件图像效果 信号处理中，任一个线性系统的输出都可毗通过将输入信号与系统函数( 系 统的冲激响应) 做卷积获得卷积是一种线性运算，图像处理中常见的模板运 算都是卷积，广泛应用于图像变换例如：高斯模糊就是用高斯函数对图像进 行卷积 卷积运算可看作是加权求和的过程，使用到的图像区域中的每个像素分别于 卷积核( 权矩阵) 的每个元素对应相乘，所有乘积之和作为区域中心像素的新 值卷积核在卷积耐通常用一个矩阵表示，该矩阵与使用的图像区域大小相同， 其行、列都是奇数，是一个权矩砗 o0oo08 州0 6 o1 72 4 l 83母越 o2 35 1 4 d1 6 90 2 o4 1 32 02 2 0 o1 01 2 1 ，2 1 3o o1 11 8 2 52 9o ooo 0 000 图2 3 图像处理中的卷积运算 直观地讲，卷积算子可以看做是“滑动加权平均”的推广 武汉理工大学硕士学位论文 3 1 引言 第3 章总变差正则化方法的数学模型 图像复原是一个不适定( 病态) 的问题，即解不能同时满足存在、唯一和连 续，图像复原的结果受噪声的干扰很大正则化方法通过引入一定约束将图像 复原转换成适定( 良态) 问题，能确保图像复原结果的存在、唯一和受噪声干 扰较小，因而正则化方法对于图像复原来说是一种有效的方法图像复原的目 的是为了复原在成像和传输过程中被模糊的边缘和纹理细节，并抑制噪声，以 增加图像的信息量和改善图像的视觉效果在图像中，由于噪声和边缘都对应 着高频成分，因此在图像复原过程中保持边缘和抑制噪声是一对难于调和的矛 盾相对于其它的图像复原方法，正则化方法在保持图像边缘与平滑噪声问题 上具有更好的特性，因而是一种更受人关注的方法 t i k h o n o v 正则化也称为线性正则化，其基本想法是限制解为一平滑解，因 而，采用以上方法所得到的解常常过分平滑( 丢失了图像细节) 并会引入寄生 波纹，而在实际的图像复原应用中，解的平滑常常是不希望的，因为实际图像 总有许多棱边和点构成的特征细节，损失这些细节就意味着丢失信息；另一方 面，图像的特征细节常常难于和噪声相区别，为克服或缓解这些矛盾，近十年 来人们一直在致力研究可以保持图像边缘特征的正则化方法i 玎1 图像是以存在的突变( 边缘) 为其故有特征的，若以九v z | l 。作为平滑性的度 ， 。 量，则它将特别强调对大的梯度的“惩罚”，这与图像的故有特征是不相容的基 于这一考虑，r u d i n ，o s h e r 和f a t i m e 首先提出应以九v z ，i 作为图像平滑性的度量， j 。 从而开创了一种全新的图像复原方法总变差( t o t a lv a r i a t i o n ，t v ) 图像复 原方法 3 2 总变差正则化方法 3 2 1 总变差的相关注解 总变差一般地定义为：设f ( x ) 为【c l , 6 】上的有界函数，如果对于【口，b 】的一切 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 分划t ，使得 善l 厂( 毛) 一厂( 毛4 坶成为一个有界数集，则称厂( x ) 为【口，纠上的有界 变差函数，记作f e b v ( a , b ) ，并称这个上确界为( 力在【口，纠上的总变差，记 为 嘭( 力一s u p 善l 八五) 一f ( x j t ) l 于是有f b v ( i a ，6 】) 营嘭( n + 0 0 特别地，给定一个连续可微函数厂( ，) ：r 4 - 足，它的总变差可定义为 如一桫( ，) i l 。几夥( f ) l 斫 其中q 是定义的区域1 w ( ，) | 一( ( 差) 2 + + ( 薏) 2 ) ；，在图像处理中，常将其 称作梯度的幅度 总变差是对函数的变化的特性的一个度量，是一个具体的数值，直观来说， 函数变化越大，那么它的总变差也就越大常数函数的总变差为0 o ) 的总 变差又称为( x ) 的有界变差( b o u n d e dv a r i a t i o n ) 范数或半范数 由此形成的有界变差函数空间可定义为 b y ( n ) 一 p ( q ) ：v ( f ，q ) + ) 该空间具有以下性质：有界变差函数只有跳跃型间断点：该空间是一个 b a n a c h 空间f l o j 由于有界变差函数空闻中包含不连续函数，所以常用来定义非 线性问题的广义解b y ( q ) 是用来很有效地描述纹理结构简单的图像空间 1 1 1 1 从总变差的定义可以看出，它是非线性的，从而给数值求解带来了一定的 困难。 选取不同类型的范数对总变差正则化方法的影响何在? 下面用个简单的例 子来说明 武汉理工大学硕士学位论文 图3 - 1 分段线性函数 对于图3 - 1 中的分段线性函数，我们可以计算f ( t ) 的梯度的，p 范数： 妙，( r 堋；一口，( ，) l p 西吲，国司户矿， 特别地，当p - 1 时，有 当p 一2 时，有 塑 妙删，- d h ， j f t , ) u 。m d h f t , ) h ：- 杀 这表明，1 范数和区间 的宽度无关，2 范数随着区间厅的减小而增大在正 则化中，2 范数主要对梯度变化大的部分进行惩罚，1 范数对梯度的变化的惩罚 比较弱换句话说，2 范数证则化方法求得的解是比较光滑的，而，1 范数正则化 方法对解的要求则放宽了这一限制，这正是它的优势所在 下面再通过一个简单的例子说明总变差是如何随着函数的频率的变化而变 化的我们选取正弦函数厂( ，) ss i n ( i j a ) , os ，s 三，由图3 - 3 可以看出，该正弦函 数的总变差随着其自身的频率的增大而增大 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 2i = 3 图3 2 频率不同的正弦函数 图3 3 不同频率j 下弦函数的总变差 下面的例子通过4 个具有相同总变差的函数来说明光滑的函数和非光滑的 函数可以有相同的总变差，即函数的光滑性这一特性对总变差的大小没有影响 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 图3 - 4 具有相同总变差的4 个函数 假定材( x ) 是定义在区间q 叫口，h i - i = 的有界连续可导函数，当材o ) 单调上升 时，其总变差为： 。 bb 2 y ( 材) af 1 “( x ) i 改一p ( x ) 蠢r 一甜( 6 ) 一材( 口) ： ： 这个结果表明：只要函数( x ) ，材：( x ) ，都是单调上升的，且满足材，( 口) 一”( 口) ， ( 6 ) 一u ( b ) ，则所有这些函数具有完全一致的全变分 对于图3 4 中的四个函数，它们不是单调函数，可以分别在各自的单调区间 上计算总变差，从而很容易求得它们的总变差均为2 0 这里例子说明，将总变差作为正则化项来求解时，对解的不连续性不作惩罚， 在图像复原中，它可以保持图像的边界等细节信息总变差正则化方法可以保 持尖锐的不连续性，在图像中这些往往代表边缘或者目标的分界，这些都是图 像处理过程中保护或者提取的重要特征 从下面的试验结果也可以看出，图像退化程度越大，相应的总变差也越 大( 试验中，首先对原始图像进行高斯模糊，然后分别对其加入密度为1 0 ， 2 0 ，3 0 的椒盐噪声总变差计算中采用z 1 范数) 1 6 武汉理：【：人学硕士学位论文 原始图像。总变差为：3 2 3 12 5 8 8 8 8降质图像1 总变差为：3 9 3 27 3 0 7 3 1 l 隧馘 降质图像乏总变差为；4 6 3 29 3 4 7 0 7 降质图像3 ，总变差为：5 1 2 07 5 1 8 9 8 圈麟 图3 - 5 不同程度降质图像的总变差 3 2 2 从r o f 模型到广义模型 总变差正则化方法最先是由l r u d i n ，s o s h c r 和e f a t e m i 在处理图像去噪 和复原问题中引进的n 如果用f 2 e r ”表示图像区域，”表示复原图像，则图像 复原问题就可以看做是对总变差泛函进行极小化： 其中的约束条件就是图像获取过程的模型，包括模糊和加噪，通常表示为 ，一k ”+ nf r f q ) f 是观测图像，r 是卷积算子，它的核就是光学成像系统的点扩散函数，月是噪 声，通常假设足均值为0 的高斯白噪声 特别地，当k = ，时，约束条件就变成了 f u + n 这就是典型的去噪问题 实际中，噪声信息往往是统计获取的，当我们假设n 是均值为0 、标准差为口 的高斯白噪声时，约束条件可以转化为积分表达形式： 武汉理工大学硕士学位论文 f ( f - u ) 2 d x s d 2 l q l 在此约束下的总变差泛函极小化问题就是一个图像去噪的过程 八c h a m b o l l e 和p ll i o n s 已经证明，r o f 模型的极小化就等价于求解下面 的无约束极小化问题1 2 1 ： 螂r a 哪i n ， 净卅出+ 凹v i ) 当噪声范围未知时，l a g r a n g e 乘子a 就是正则化参数 总变差泛函具有唯一的最小解，并且求解中对观测数据、系统算子和正则化 参数的扰动都是数值稳定的i 删 下面我们根据r o f 模型将范数进行推广，可以得到总变差正则化泛函的广 义模型，在数值计算分析中常表示如下形式： j ( 材) 一言l l a u - b l 曙+ 号8 、j 乍芝：了f 丽i e ，1 s p s 2 ，1sgs2 ( 3 - 1 ) 其中，吉忡 一刎：主要用于衡量求得的解和右端观测数据的接近程度，我们将其 称为数据保真项，言8 水万历f i 瓦习：是范数修改之后的广义的总变差，我们 称之为正则化项，a 是正则化参数 在数值计算中，常常用，1 范数的光滑近似l i v 甜旷+ 占2 来代替8 v “l i ，或者各向 异性可分离近似i l v ”i i - h d ，h ”+ 8 b “8 当p 一1 g 一1 时，上述模型就是，1 范数下的总变差正则化方法( 记为，1 t v 方 法) ： 当p ；2 , q ，1 时，上述模型就是，2 范数下的总交差正则化方法( 记为j 2 t v 方 法_ ) 3 3 总变差正则化模型的求解算法 目前与之相关的研究文献中提出了很多针对总变差正则化目标泛函的优化 算法，然而它仍然是一个计算中很有挑战性的问题，特别是在问题规模很大， 1 8 武汉理工大学硕士学位论文 或者先验模糊算子k 没有一个明确的快速数值实现或者稀疏矩阵表示的情形下， 让人望而却步 下面介绍当前文献中出现的，2 刷和，1 t v 泛函的极小化算法： 特别的，当为单位矩阵时，u - n 矿- h - i f ： 假设选取权矩阵为对角矩阵w 一西口g ( m p 2 ) ，则 l ；甜眶t 甜r 胁一；一；( 1 蚝p - 2 ) 。沙h 2 ，嘭 ( 4 2 ) 由可知，通过“的加权范数卜眶来等价替州l ：之后，可以郴脚转 化成，2 范数下的极小化问题即给定初始值 o 之后，在每步的迭代计算中，权 2 1 武汉理工大学硕士学位论文 矩阵的计算公式为： 矽；咖q 彳”m 一叫，2 ) 于是，l p 范数极小化问题( 4 1 ) 就转化为： m i 州一w 磅( a u - b 堰 ( 4 _ 3 ) 若令v 砟0 ) 。a r w 唁“材一6 ) ；0 ，则得到非线性法方程： 彳r 形i ) a u 。a r 矿t 场 可以采用迭代求解： a “”一( a r w t 彳) 一1a r w 6 ( 4 - 4 ) 如此下去，迭代解最终收敛于f ) 的极小解1 9 1 当p 0 在数值计算中常常通过h u b e r 函数来构造近似处理方法，它相当于一个剪裁 算予，对于较小的残差使用2 范数作光滑处理，较大的残差使用，1 范数作鲁棒处 理为了弥补，1 范数的缺点，需要把处理残差大的鲁棒方法和残差小的高斯方法 结合起来，1 9 7 3 年h u b e r 提出了一个，1 ，2 混合误差度量函数： m ，