（光学专业论文）kerr介质中耦合原子的tc模型.pdf

一圭塑盔堂堡主堂垡笙塞 k e r r 介质中耦合原子的t - c 模型 摘要 本篇论文利用t a v i s c u m m i n g s 模型研究了相干态和偶相干态光场与耦含全同两 能级原子的相互作用和真空态光场与耦合全同a 型三能级原子的相互作用。不但得出 了这两种系统在一定简化条件下系统的态函数，而且集中研究了三种系统中几种系统 参量( 初态中原子的基态概率幅，光场强度，原予之间的耦合强度，克尔介质的非线 性强度系数) 对光场压缩，原子偶极矩压缩和粒子数反转随时间演化的影响。论文的 主要内容包括两个方面： 1 利用克尔介质中的非线性耦合t - c 模型，推导出了克尔介质中相干态光场、 偶相干态光场和初始时处于基态与激发态相干叠加耦合全同两能级原子相互作用系 统态矢的一般表示；也推导出了真空态光场和初始时处在基态与激发态相干叠加耦合 全同a 型三能级原子相互作用系统态矢的一般表示。同时理论计算出了上面三种系统 中光场压缩参量，原子偶极矩压缩参量和粒子数反转参量与系统态矢的函数关系。 2 利用数值计算，观察并分析了结果。结果显示：对两类压缩( 光场压缩、原 子偶极矩压缩) 影响最大的系统参量是初态中耦合原子的基态概率幅，基态概率幅越 大，两类压缩越容易产生：在光场不是真空场的相互作用系统中，光场强度增大对两 类压缩的产生是不利的；原予之间耦合强度的增大一般的来说只是降低光场压缩参 量，原子偶极矩压缩参量和粒子数反转参量随时间演化过程中的噪声；克尔介质系数 的增大能够降低光场与原子的相互作用而增强光场与克尔介质的相互作用 强的相干 态光场、偶相干态光场与耦合原子的相互作用和与单原予相互作用的过程一样能够使 原子系统原子能级布居出现量子崩塌和回复现象。 关键词：非线性t a v i s c u m m i n g s 模型 子数反转 k e r r 介质；光场压缩；原子偶极矩压缩；粒 l 上海大学硕士学位论文 t - cm o d e lf o r c o u p l e da t o m s i nt h ek e r r - l i k em e d i u m a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , u s i n gt a v i s c u m m i n g sm o d e l ，w ee s t a b l i s ht h eg e n e r a lf o r m a l i s m sf o rt h e s y s t e m so ft h ec o u p l e dt w o - l e v e la t o m si n t e r a c t i n gw i t ho n e m o d el i g h tf i e l d si nc o h e r e n t s t a t e ，e v e nc o h e r e n ts t a t ea n dt h ec o u p l e dat y p et h r e e l e v e la t o m si n t e r a c t i n gw i t h o n e m o d ev a c n n n ll i g h tf i e l dw i t h i nt h ek e r r - l i k em e d i u mc a v i t y f u r t h e r m o r e ，t h e s q u e e z i n go ft h el i g h tf i e l d ，t h e c o l l e c t i v ea t o m i cd i p o l ea n dt h ea t o m i cp o p u l a t i o n i n v e r s i o na r es t u d i e df o rt h ea b o v es y s t e m s t h em a i nc o n t e n tc o n t a i n st w o p a r t s ： 1 u s i n gt h en o n l i n e a rc o u p l e dt - cm o d e l ，w en o to n l yc a r e f u l l yc o n s i d e rt h et h r e e i n t e r a c t i n gs y s t e m sa n dd e r i v et h ew a v e f u n c t i o n so ft h es y s t e m s ，b u ta l s oc a l c u l a t et h e f u n c t i o n a lr e l a t i o n sb e t w e e np a r a m e t e r so ft h es q u e e z i n go ft h el i g h tf i e l d 、t h ec o l l e c t i v e a t o m i cd i p o l e 、t h ea t o m i cp o p u l a t i o ni n v e r s i o na n dt h es y s t e ms t a t e v e c t o r s 2 w i t ht h en u m e r i c a lc a l c u l a t i n g ，w ed i s c u s sa n da n a l y s et h er e s u l t s o u rr e s u l t ss h o w ： w h a tm a i n l yi n f l u e n c et h et w ok i n d so fs q u e e z i n g ( t h es q u e e z i n go ft h el i g h tf i e l da n dt h e s q u e e z i n go ft h ec o l l e c t i v ea t o m i cd i p o l e ) i st h ea m p l i t u d eo f t h eg r o u n ds t a t ei nt h ei n i t i a l s t a t e ，t h el a r g e ra m p l i t u d e ，t h ed e e p e rs q u e e z i n gc a nb eo b t a i n e d i n c r e a s i n gt h ei n t e n s i t yo f t h el i g h tf i e l dw o u l dr e d u c et h ea v e r a g et i m eo ft h et w ok i n d so fs q u e e z i n g i n c r e a s i n gt h e c o u p l i n gs t r e n g t hb e t w e e nt h ea t o m sw o u l dr e d u c et h en o i s ei nt h et i m ee v o l u t i o n so ft h e t w ok i n d so fs q u e e z i n gp a r a m e t e r t h ek e r r - l i k em e d i u m st a k i n gp a r ti nt h ei n t e r a c t i n g s y s t e mc a nr e d u c et h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ea t o m sa n dt h el i g h tf i e l d ，b u tw o u l d i n c r e a s e st h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ek e r r - l i k em e d i u ma n dt h el i g h tf i e l d t h es t r o n g e r l i g h tf i e l d so ft h ec o h e r e n ts t a t ea n dt h ee v e nc o h e r e n ts t a t ew o u l di n d u c et h ep h e n o m e n a o fc o l l a p s ea n dr e v i v a lo ft h ea t o m i cs y s t e m ，i ti sa ss r m ea st h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na s i n g l ea t o ma n dt h el i g h tf i e l d so f t h ec o h e r e n ts t a t ea n dt h ee v e nc o h e r e n ts t a t e k e yw o r d s ：n o n l i n e a rt a v i s c u m m i n g sm o d e l ；k e r r - l i k em e d i u m ；s q u e e z i n go fl i g h t f i e l d ；s q u e e z i n go fa t o m i cd i p o l e ；a t o m i cp o p u l a t i o ni n v e r s i o n l l 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或 者撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 签名：二夔l 日期：啤 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 虢虹靳虢迎嗍缎；2 上海大学硕士学位毕业论文 第一章引言 量子光学的研究对象是光场的量子特性以及光与物质相互作用的景子本性。在上 世纪前半期光与物质相互作用过程的研究中主要是采用半经典理论，即把原子用量子 理论来处理而把光依然用经典的场来处理。但是，在上世纪六十年代随着激光器的出 现，在实验中发现了大量的用半经典理论无法解释的光学现象。实际上，这些新的现 象是光与物质相互作用过程中光的量子特性的体现。这就有必要发展光与物质相互作 用的全量子理论来处理和研究这些现象。从而使得量子光学的研究得到了快速的发 展。从一定角度来讲，量子光学填补了量子电动力学在光与物质相互作用方面的空白。 在诸多光与物质相互作用的量子理论所采用的模型中，j a y n e s - c u m m i n g s 模型 1 】 是一个比较成功的理论。就其原因是因为它结构简单，又精确可解。但是，j - c 模型 只适用于单个两能级原子和单模光场的单光子相互作用系统，这使得它的应用范围受 到了很大的限制。1 9 6 8 年，入们又把j c 模型推广到了用于处理光与两个和多个原子 相互作用的t a v i s c u m m i n g s 模型【2 】。后来又对它进行了不断的发展。这样，在j - c 模型的基础上推广开来的一系列研究，使得量子光学所研究的范围越来越大且系统变 得越来越精细化。当然，科学的发展永远是无止境的。直到今天，这种推广和研究工 作仍然在继续。 在早期的t - c 模型中有两个基本近似：一个是旋波近似，即在光场与原子相互作 用的哈密顿量中略去了不满足能量守恒定律的项。这些项描写的是寿命及其短暂的虚 光子过程；另一个是孤立原子近似，即认为原子之间是相互独立的，略去了原子之阀 的相互作用。但是在原子之间距离十分近的情况下，原子之间通过偶极矩而发生耦合。 这种耦合效应不仅对原子系统的性质产生影响，而且也将对原子一光场系统的动力学 行为产生影响。二能级原子在与光场相互作用过程中原子间的耦合对系统动力学行为 的影响已有了研究 3 5 】。最近，两个二能级原子之间的耦合对原子光场系统的动力 学行为的影响也得到了讨论【6 】。 研究k e r r 介质中光与原子的相互作用是非线性j - c 模型的- 3 0 0 推广，它研究的是 在充满k e r r 介质的高q 腔中，光场与原子相互作用系统的动力学行为。研究这种系 统不但有助于更进一步从理论上揭示光与物质相互作用过程的物理本质，而且在实际 圭查盔堂堡圭堂堡兰些堡壅 应用中诸如量子态的制各，光子通讯【7 等领域有着潜在的重要的应用价值。在以往关 于k e r r 介质中光与原子相互作用系统的研究中发现，k e r r 介质在光与原子相互作用 系统中的参与，使得原子的量子崩塌和回复效应变得更加有规律，而且k e r r 介质也 能使系统中光场的性质发生变化。例如：k e r r 介质能在一定程度上使得光场与原子的 相互作用减弱【8 ，也能使光场的压缩效应不受腔损耗和热光场的影响。 非线性j c 模型推广到多原子的情况下就是非线性t - c 模型。包括原子之间耦合 作用的非线性t - c 模型最近也得到了讨论【9 】，但是其中只是讨论了二能级原子的情 况。 这篇论文的主要工作是利用k e r r 介质中耦合两能级，三能级原子与光场相互作 用的t - c 模型，讨论了光场的压缩特性，原子的动力学行为及原子偶极矩的压缩。 本篇论文的安排是这样的：在第二章中比较详细地介绍了量子化光场的表示以及 充满k e r r 介质腔中非线性t - c 模型的发展历程。然后，集中介绍了量子光学中描述 光场和原予系统量子性质的一个主要概念压缩；第三章研究了k e r r 介质中耦合仝 同两能级原子与相干态光场和偶相干态光场相互作用系统的动力学行为；第四章研究 了k e r r 介质中耦合全同a 型三能级原子与真空场相互作用系统的动力学行为：第五 章是本篇论文的总结，同时也对就本篇论文所涉及到的更进一步的研究作了些建 议。 2 上海大学硕士学位毕业论文 第二章概论 2 1 量子化光场的表示 辐射场从物理本质上讲本来就是量子化的，这已经是被实验所证实了的。作为一 个动力学系统，我们得用量子场论的正则量子化方法将其量子化。对于处于一定腔体 内的辐射场经量子化后，等效于一系列量子线性谐振子的叠加。这已经是众所周知的 研究量子化辐射场的理论基础。对于处于一定状态的辐射场，按照量子力学中惯用的 方法，总是把它表示为一定算符的具有完备性或者超完备性本征态矢的线性叠加。在 量子光学中，用的比较多的这种本征态矢通常有光子数态和相干态。 2 1 i 用光子数态作为基矢表示光场 对于处于一定腔体内的辐射场经量子化后等效于无穷多模式量子化简谐振予的 线性叠加系统。系统的哈密顿量如下： h = 直( 口；鲰+ ) ； ( 2 川) k 其中口：，d 。分别是频率为。的单模光场的产生算符和湮灭算符，矗是p l a n c k 常数 。是辐射场所对应的一定模式量子化简谐振子的频率。 对于单模辐射场，其哈密顿量为： 日= h c o ( a + a 4 - ) ； ( 2 1 2 ) 其本征态为光子数态l 聆) ( 也称为f o c k 态) ，对应的本征值为 + 吉) a 国。辐射场 所处的态，总可表示为光子数本征态矢的线性叠加： l 妒( f ) ) = c 。( f ) i 砷； ( 2 l 3 ) 其中c 。( f ) 是态1 妒( f ) ) 处于光子数态i n ) 的概率幅。 如果不考虑模之间的相互作用，哈密顿量( 2 1 1 ) 式的本征态矢可以表示成各个模 式量子化谐振子本征态矢的直积形式： l m ，啦。) ； ( 2 1 4 ) 这样，任何辐射场所处的态都可表示为光子数态矢集的相干叠加： 一一圭塑查堂堡主堂垡兰些望壅 ( f ) ) = q 。一( r ) h ”：”，) ； ( 2 1 5 ) 其中c 。( f ) 是辐射场l 妒o ) ) 处于光子数本征态矢l n 。，玎：吩) 的概率幅。 2 1 2 用相干态作为基矢表示光场 相干态i 口) 是光场湮灭算符的本征态，即： 口l 口) = 口 口) ； ( 2 1 6 ) 其中本征值为口。当然，相干态作为辐射场的一种状态，也可用光子数态表示。对于 单模光场，相干态可表示为： f a ) p ( _ 睁1 2 2 ) 莓杀阶 ( 2 1 7 ) 多模相干态相应的可表示成： l a ) = e x p 一( 1 a 1 2 + i 口：1 2 + + p 1 2 ) 2 磊，舞南南i n l , n 2 , h i ) ； 亿1 8 ， 相干态i 口) 也可以表示为对真空态的激发： 协唧( w 峰竿i 。) 鼍x p ( _ 川2 2 ) e x p ( o a + ) l o ) ； ( 2 1 9 ) 数学上还可以等价地把相干态表示为平移算符d ) 作用于真空态l o ) 上产生的 态： l 口) = d ( 口) i o ) ； ( 2 1 i o ) 其中 d ( a ) = e x p ( a a + 一口a ) ； ( 2 1 1 1 ) 可以证明，相干态矢虽然不具备正交性但具有超完备性。所以，辐射场的任意态 矢也可以用相干态矢的线性叠加表示为： l p ( f ) ) = c 。( t ) l a ) d a ； ( 2 1 1 2 ) 其中c 。( r ) 是辐射场1 p o ) ) 处于相干态本征态矢i 口) 的概率幅。 4 上海大学硕士学位毕业论文 l p ( r ) ) = q 。( r ) h ： 。) ； ( 2 1 5 ) 其中c 。( f ) 是辐射场1 妒o ) ) 处于光子数本征态矢l h 。，h ：_ ) 的概率幅。 2 1 2 用相干态作为基矢表示光场 相干态i 口) 是光场湮灭算符的本征态，即： a l a ) = a l 盘) ； ( 2 1 6 ) 其中本征值为口。当然，相干态作为辐射场的一种状态，也可用光子数态表示。对于 单模光场，相干态可表示为： j a ) p ( _ 虹1 2 2 ) 杀 ( 2 1 7 ) 多模相干态相应的可表示成： l a ) = e x p 卜( 1 a 1 2 + i 口：1 2 + + l 口f 1 2 ) 2 1 点，籍焉希小 伍m ， 相干态i “) 也可以表示为对真空态的激发； l a ) = e x p ( 一盯2 ) e 掣l 。) x p 卜蚓2 2 ) 唧( + ) l o ) ； ( 2 1 9 ) 数学上还可以等价地把相干态表示为平移算符d ) 作用于真空态l o ) 上产生的 态： i 盯) = d ( 口) 1 0 ) r 2 1 1 0 ) 其中 d ( c q = e x p ( a a + 一口； ( 2 - 1 1 1 ) 町以证明，相干态矢虽然不具备正交性但具有超完备性。所以，辐射场的任意态 矢也可咀用相干态矢的线性叠加表示为： 眦) ) = c 州a ) d “； ( 2 1 1 2 ) 其中c 。( ，) 是辐射场 ( ，处于相干态本征态矢i 砷的概率幅。 其中c 。( r ) 是辐射场l p ( f ) ) 处于相干态本征态矢1 0 。的概率幅。 4 上海大学硕士学位毕业论文 激光器发出的激光是相干态光场。所以，相干态是一种在实际生活中用得很多的 光场。而且，由相干态可以确定出一个最小不确定波包。这使得相干态不但在理论研 究中有重要的研究价值，而且在实际应用中有着重要的应用价值。本篇论文主要就是 研究相干态光场，偶相干态光场以及真空态光场和原子相互作用系统的动力学行为。 2 2j - c 模型和t - c 模型 2 2 1 j - c 模型 要精确地讨论光场与原子系统的相互作用是不太可能的，即使讨论一个原子与光 场的相互作用也难以给出精确的解释，通常要借助于某些假设。因为实际原子的谱结 构是很复杂的，而且其大部分能级是兼并的。电磁场能够诱导原子不同本征态之间的 跃迁，所以最自然的假设是令原予只有两个非兼并的能级，称为二能级原子。从概念 上讲，二能级原子与磁场中自旋为1 t 2 的粒子属于同一类粒子，所以也有时称它为赝 自旋粒子。 一个二能级原子的能量本征态可以表示为：i - ) ( 或者1 1 ) ，代表较低能量本征态， 即基态) 和i 十) ( 或者1 2 ) ，代表较高能量本征态，即激发态) 。其二能级原子算符具 有如下形式： 盯。= ( ：； ；盯：= ( ： ；盯：，= ( ： ；盯，：= ( ：) ； c 2 2 ， 由此可以引入三个原子赝自旋算符s + ，s 一，s ：分别为： s + = 盯：，= ( ：0 1 ；s _ = o t z = ( ：趵；s ：= ( - o - u ，= ( ：! 。) ；q 2 z ， s + 2 盯2 l2 l o 1 1o j ；s z 2 2 l o 一1 j ； ( 2 2 2 其中s 、s 可分别称为原子的升、降算符。 假设原子中只有一个核外电子，如果这个原子与由矢势爿( ，d 描述的辐射场相互 作用。那么，系统的哈密顿量为： h = _ 1 ( ；一p j ，c ) 2 + y ( r ) + 坼= h 月+ h f + h ，； ( 2 2 3 ) 其中描述原予的哈密顿量为：h 。= 去；2 + 矿( r ) ；描述自由场的哈密顿量为 h ，= a 吼：嘶：h a 可以用原子的赝自旋算符表示为： 上海大学硕士学位毕业论文 h a ；e q l + e 0 2 2 = 壳( 吒2 一盯1 1 ) 2 = a s z ； ( 2 2 4 ) e - + 巨= 0 ： 钒= e _ 一e + 其中e ，e 分别是原子上下能级的能量。而描述原子与场相互作用的哈密顿量为： ，= 一丽e ( - 面+ j 罚+ 去( e 砒2 ； 5 ) 上式第二项含有e 2 ，与前一项相比非常小，而且它表征场的不同辐射振子之间通 过电子与场的耦合而发生的相互作用，这种相互作用导致双光子跃迁过程。作为近似 可略去这一相对微弱的项。于是， 日，：一：兰_ ( i j + j 历； ( 2 2 6 ) 由于算符 a = 以( 吼+ 口“7 ) ； ( 2 2 7 ) 含有坐标算符；，所以【j ，初0 。但对于原子范围来讲，一般情况下，可取在玻尔 半径范围5 3 1 0 1 1 米以内，可见光的波长为1 0 6 米，故七= 2 ，r a = 2 z t x l 0 6 米，所 以乏；。3 5 。1 0 _ 4 1 ，作为近似可取口i ；* e o = 1 ，从而j ( r ) 一j ( o ) ，这相当于在处 理原子与场相互作用时，略去原子的线度。通常称这种近似为偶极近似a 在偶极近似 下， ( j ，动= o ； ( 2 2 8 ) 从而原子与光场的相互作用哈密顿量简化为： h ，：一三j ( o ) p ； ( 2 2 9 ) 此时， j ( o ) = 以，( 吼+ 口：) ； ( 2 2 l o ) = ( 等卜 ( 2 2 1 1 ) 其中v 为对辐射场采用腔量子化时腔体的体积大小。 经过简单的计算，原孑核外电子的动量算符由原子腰自旋算符可以表示为： 6 二塑二堕堡主堂垡兰些笙苎一一一一 p = 一m c o o 五( s + + s 一) ； p ( 2 2 1 2 ) 其中d 为原子上下能级间的偶极矩阵元的实部。 这样，一个二能级原子与辐射场相互作用的哈密顿量可以写为： 珥= 一去莩& ( + a d ( 一m c 。o d ) ( s + + 墨) = 缸( 虻+ 吼) ( 只一) ； ( 2 2 1 3 ) 耦合常数 吼= ( 司2 n h _ i c o o d 一e k ；( 2 2 1 4 ) 从而，一个二能级原予与辐射场相互作用系统总的哈密顿量为： h = 意纨口叔+ a s ：+ 气( 口；+ 吼) ( s + + 受) ；( 2 2 1 5 ) 其中n ：，吼分别是频率为吼的单模光场的产生算符和湮灭算符；s ：，s + ，s 一是 描述本征跃迁频率为的二能级原子行为的赝自旋算符；为原子光场的耦合系数， 它反映原子与光场相互作用的强度。 显然，上式右边的第一项对应光场的能量，第二项对应裸原子的能量，第三项表 征原子与光场的相互作用能。这种相互作用过程体现为原子跃迁时伴随发射和吸收光 子的过程。 ( 2 2 1 5 ) 式表明，辐射场的能量由波矢为k ，频率为吼的无穷多模式的光子叠加而 成，裸原子的能量由原子赝自旋算符的z 分量确定，原子与场的相互作用哈密顿量可 表示为： v = g ( 口；s 一十唧s + + 口溉+ 吼s 一) ； ( 2 2 1 6 ) 式中第一项反映原予由上态l + ) 跃迁到下态 - ) ，同时产生一个光子的相互作用过程； 第二项反映原子由下态1 _ ) 跃迁到上态1 + ) ，同时吸收一个光子的相互作用过程；第三 项反映原子由下态i 一) 跃迁到上态i + ) ，同时产生一个光子的相互作用过程；第四项反 映原子由上态l + ) 跃迁到下态【一) ，同时吸收一个光子的相互作用过程。显然，( 2 2 1 6 ) 7 一 一一圭查查堂堡主堂垡兰些堡塞 式的前两项对应的跃迁过程导致系统的能量改变为： a e j = 壳( 一o ) ； 在近共振情况下，即光场频率和原子本征跃迁频率满足甜。* 缈。时，系统的能量 变化a e ，。0 ，即保持系统能量守恒，根据系统能量时间不确定关系： a e l f 1 ；( 2 2 1 8 ) 可知，当巨斗0 时，f ，_ o o ，所以跃迁过程能产生稳定的实光子。 但是，( 2 2 1 6 ) 式中的后两项对应的跃迁过程导致系统能量变化为： e = 壳洄+ )( 2 2 1 9 ) 它是一个相当大的能量，说明这种跃迁过程不保持系统能量守恒。同时，根据系统能 量时间不确定关系： a e 2 f 2 壳； ( 2 2 。2 0 ) 可知，f ：很小，这说明此过程产生的光子寿命很短，我们称它为虚光子。如果在( 2 2 1 5 ) 或( 2 2 1 6 ) 式中略去能量不守恒的后两项，称为旋波近似( r o t a t i n gw a v ca p p r o x i a t i o n ， r w a ) 。则此时的哈密顿量就成为； h 目= 亢珊。s ：+ 矗口；吼+ ( 以s + + 口；s 一) ； ( 2 2 2 1 ) 它是1 9 5 4 年由d i c k e 首先引入的，所以也称为d i e k e 模式。它能成功的解释原 子的自发辐射和原子频谱的兰姆位移。d i c k e 模式的哈密顿量描述了单个二能级原子 与多模辐射场的相互作用系统。其缺点是系统的态矢随时间变化的规律不易精确求 解。 1 9 6 3 年e t j a y n e s 和f w c u m m i n g s 在由五十年代建立起来的d i c k e 模式的基础 上，讨论微波激射器时提出了现在我们所说的j - c 模型。如果把d i c k e 模式的哈密顿 量应用于单模光场和单个二能级原子的单光子相互作用，就可得到旋波近似下的j - c 模型哈密顿量： h = 缈o s ：+ h r o a + d + p ( 口+ s 一十a s + ) ； ( 2 2 2 2 ) 由于对它可精确求解系统的态矢。因此。它不仅在量子光学中，而且在激光物理， 核磁共振和量子场论等许多问题中都常被采用。 上海大学硕士学位毕业论文 研究表明，与光子数态光场相互作用的二能级原子，在相互作用过程中将在基态 和激发态之间作量子拉比振荡，不同的光子数态光场将产生不同的拉比振荡频率。但 是，如果初始时刻的光场为相干态，那么原子粒子数反转的时间演化将出现不同的情 形。在这种情况下，原子算符的期望值 为： ( s z ( f ) ) = 一去e x p ( - n ) nc o s ( 2 9 、- n t ) ! ； ( 2 2 2 3 ) - n m o 其中已令n = 2 。上式表明，原予的粒子数布居差的期望值为无穷多个频率为 2 9 而，振幅为1 2 余弦振荡的带权重为e x p ( _ ；) ；n ，。! 的叠加。显然，这种叠加将使得 随时间的变化不再是余弦振荡。下图给出了；：1 5 时， 随时间的演化规律。 从下图可以看出， 首先锐减至0 ，并在较长时间内保持一定的稳定值，通常将 此现象称之为崩塌，随后 又开始作振幅增大的快速振荡，称之为回复。崩塌和 回复轮流出现。 图2 i 1 初始态为基态的二能级原子与相干态光场相互作用时 的时间演化( ；1 5 ) 这种原子能级占有率差的振荡所显示的崩塌一回复现象，是光场被量子化的结果。 对于这个现象，可以作这样的解释：当光场处于光子数态i n ) 时，原子的粒子数在场 作用下产生拉比振荡，振荡频率与n 有关。当光场处于相干态时，可以将场分解成各 光子数态以不同权重因子的叠加，其中场的每个组分将分别导致原予的粒子数以相应 9 上海大学硕士学位毕业论文 的拉比频率振荡，这些振荡之间有着很复杂的相位关联。在各个振荡之间的相位关系 完全随机的时间内，原子粒子数分布趋于稳定，而当各拉比振荡的相位出现关联的时 候，原子在场作用下其粒子数分布开始振荡。于是，出现回复现象。近年来的研究也 已证明，越来越多的场一原子相互作用体系可以呈现出这种崩塌回复现象 8 ，1 0 ，1 1 】。 由于j - c 模型过于简单，故不足以描述整个量子光学领域中场物质( 原子，分子 和离子) 之间的各种相互作用问题，于是就对其进行了许多修正和扩充。提出了很多 新的j - c 模型。例如：双光子j - c 模型 1 2 - 1 3 】；多光子j - c 模型 1 4 ；多模j - c 模型 1 5 1 ； 多原子j - c 模型( 即t - c 模型) 【2 ，1 6 】； 三能级原子j - c 模型【1 7 1 8 】；多能级原予 j c 模型 1 9 】：非线性j - c 模型 2 0 ，2 1 ，2 2 1 等等。 2 2 2t - c 模型 t - c 模型是m t a v i s 和f w c u m m i n g s 两入在1 9 6 8 年提出的。这个模型主要是用 来表征单模光场与两个全同二能级原子( 两能级之间无任何交叉耦合作用) 之间的单 光子相互作用过程。1 9 9 2 年，由罗振飞、徐至展和徐磊等人提出了单模光场与两个偶 极- 偶极力关联的等同双能级原子之间的单光子相互作用模型 2 3 1 。这两个模型计及了 原子之问的交叉耦合作用，是对t - c 模型的直接推广。 在j - c 模型的基础上，如果考虑两耦合原子之间偶极矩的相互作用，就可得到耦 合的两个二能级原子与单模光场相互作用系统的哈密顿量： b 日 = 瑚+ 口+ 甜。n + g a + s c _ 门+ 丛+ 矿； j - aj ；4 其中v 是两能级原予之间的偶极矩相互作用能，为： v = q 【s ，14 - s ，1 】【s ? + s ! 】； = q s y l s ，+ 碰椰掣+ 碰椰& 哪+ 碰椰s ，1 】； ( 2 2 2 5 ) 其中q 是两个原子通过偶极矩相互作用发生耦合的耦合强度，s ( 棚和s 分别是a ，b 两原子的赝自旋算符。从上式中可以看出，括号中的第一项是a 原子从下能级跃迁到 上能级而b 原子从上能级跃迁到下能级，第二项是a 原子从上能级跃迁到下能级而b 原子从下能级跃迁到上能级，第三项是a 原子和b 原子都从下能级跃迁到上能级， 第四项是a 原子和b 原子都从上能级跃迁到下能级，很明显后面的两项不能使能量 守恒。略去v 中的能量不守恒项，v 可写成： 上海大学硕士学位毕业论文 v = q 【s y l sc 口+ s ，s ：却】； f 2 2 2 6 1 1 9 8 9 年，g s a g a r w a l 和r r p u r i 两人提出了k e r r 介质中的非线性j - c 模型 2 2 1 ， 这个模型，主要用来表征位于充满k e r r 介质的高q 腔中( 即不考虑腔体的单光子损 耗) 的单个理想二能级原子与单模光场单光予相互作用过程中k e r r 效应对于场原子 系统的各种动力学特性的影响程度。 在t - c 模型哈密顿量的基础上，加上描述k e r r 介质与光场相互作用的非线性项， 就得到了非线性t - c 模型的哈密顿量： 口占 h = o a + 口+ 0 9 0 掣+ 烈a + 础+ 甜y ) 】+ 矿+ 朋+ 2 a 2 ；( 2 2 2 7 ) j ；一j 一 其中z 为k e r r 介质的三阶非线性强度系数。 由于以上t - c 模型中将原子作为理想二能级原子考虑，故不足以描述场原子相 互作用过程中的所有物理属性。于是人们不但将非线性j c 模型推广到了光场与单个 三能级原子的相互作用系统 2 4 - 2 5 ，也将非线性t - c 模型推广到了光场与耦合三能级 原子的相互作用系统。 2 3 量子光学中的两类压缩 在量子力学中，任何一对物理量算符之间都存在着一定的对易关系。如果这两个 物理量的算符不对易，那么，依据海森堡不确定关系，这两个物理量的涨落之间就存 在着一定的关联。利用不对易算符之间关系的这种性质，可以定义关于物理量的压缩 或者是所谓的压缩态，即： 如果对于任意一对厄密算符a 和b ，它们之间的对易关系为： 【4 ，b - i c ( c 为一常数或一厄密算符) ；( 2 3 1 ) 则力学量a 和b 期望值的量子涨落所遵循的海森堡不确定关系为： ( 鲋) 2 ( 衄) 2 l ( c ) 1 2 ； ( 2 3 2 ) 也就是说，这种关系，决定了a 、b 之间的量子涨落存在一个最小值 i ( c ) i ，我们称 之为基础量子涨落。对应着c 有两种情形需要考虑： ( 1 ) 如果c 为常数，( 2 3 2 ) 式右边为常数。那么对应着不同系统所处的态。a ，b 的基础量子涨落都一样，与态无关。 上海大学硕士学位毕业论文 ( 2 ) 如果c 为一个算符，那么对应着不同系统所处的态，a ，b 的量子涨落之间的 关联值会有所不同，因为( 2 3 2 ) 右边是一个与态有关的量。 但是，不管怎么样，可以这样定义压缩。如果a 或b 的量子涨落满足如下条件： ( 鲋) 2 一 i ( c l o ；或( 艚) 2 一 l ( c ) l o ； ( 2 3 - 3 ) 那么就说算符a 或曰的量子涨落被压缩了。对于不同的系统，不同的研究对象，可以 利用这种定义研究不对易物理量涨落之间的关系，甚至可以对这种定义在不同的场合 进行推广 2 6 - 2 7 。 尽管光场- 原子相互作用系统是一个统一的整体，但是实际上，不论是理论研究， 还是实际应用，都有必要把光场和原子系统分离开来研究他们各自的量子统计行为。 这就完全有必要在这两种系统中定义一些能够体现它们各自的量子统计性质的物理 量。下面，我们就压缩概念在光场和原子中的应用分别进行讨论。 2 3 1 光场的压缩 对于一单模光场： e ( t ) = z ( d p 叫叫+ a + e 鲥) ； ( 2 3 4 ) 如果定义两个厄密算符： 五= ( 口+ 口+ ) ； ( 2 3 5 a ) x 2 = 古 一日+ ) ； ( 2 3 5 b ) 那么( 2 3 4 ) 就变为： e ( t ) = a ( x ic o s a 3 t + x 2s i n o g t ) ； ( 2 。3 。6 ) 可见工和肖，分别是光场电场算符中两个相位正交的振幅算符。他们之间的对易关系 可以由玻色子算符之间的对易关系得出为： 【爿”x 2 】= 1 2 ； ( 2 3 7 ) 依据海森堡不确定关系，x 。和x 2 的涨落之积应满足； ( x 。) 2 ( 趟：) 2 1 1 6 ；( 常数) ( 2 3 8 ) 我们知道，若光场处于相干态，那么它的振幅的两个相位正交的分量算符x 。和 彳，的量子涨落相等且为1 4 。也就是说，相干态是最小不确定性波包，它的两个正交 上海大学硕士学位毕业论文 分量的最小的不确定值为1 4 ，这个值也是光场的真空涨落。在过去相当长的一段时 期内，人们一直认为，1 4 是任何光场的两个振幅分量的最小量子涨落。但是，这一 极限值对于实际应用是非常不利的。例如，在光通讯中，如果是在微波段，噪声的主 要来源是热噪声，而到了光波段，噪声的主要来源是光场的量子噪声。这样，在未来 的光通讯中，量子噪声就显得十分重要，成为提高信噪比的主要限制。于是，l o u d o n 和k n i g h t 在研究光场压缩时提出：如果光场某个振幅的分量算符的方差小于它在相 干态中的值1 4 。那么，就称其中一个分量的涨落被压缩了。当然，这种压缩是以光 场另一个正交分量涨落的增大作为代价的。 自从1 9 7 0 年d s t o l e r 在国际上首次引入压缩态的概念以来 2 8 1 ，有关这一领域的 进展就十分迅速。1 9 7 6 ，h r y u e n 最先从理论上得出了光学压缩态。光学压缩态在8 0 年代以来就一直是研究的热点。很多的非线性光学系统可以产生压缩态 2 9 3 2 1 。从 r e s l u s h e r 等人在1 9 8 5 年通过四波混频实验首次观察到光场的压缩 3 3 1 之后，不断有 压缩态在实验中被观察到3 4 3 6 1 。 1 9 8 5 年，c k h o n g 和l m a n d e l 两人在推广普通压缩概念的基础上，首次在国际 上提出了高阶压缩的概念【3 7 】。1 9 9 6 年，董传华又独立地提出了有关单模辐射场的另 一种高阶压缩的定义 3 8 1 。至此，有关单模辐射场的压缩及高阶压缩理论完全形成 3 9 - 4 3 。 光场压缩及高阶压缩是一种非经典现象。压缩及高阶压缩光是通过比相干态还要 低的噪音分量来体现光场的非经典特征的，即压缩光中某正交分量中噪音分量低于相 干态光场中相应分量的噪音【4 4 】。因此，在实际应用当中。若用此分量传递信息，则 可得比相干态光场更高的信噪比，这不仅具有重要的理论价值，而且具有更广泛的实 际应用意义。压缩和高阶压缩光所具有的这种纯量子效应在高保真度的量子保密光通 讯，引力波探测 4 5 】，超高灵敏度的光学非破坏检测，光学精密测量，弱光及超弱光 信号检测，超长驰豫时间和超窄线宽( 远低于自然线宽) 光谱学以及生命系统的超弱 光子辐射探测等研究领域有着十分广泛的应用前景，并将在科技领域中获得更为广泛 的应用。 以上所介绍的压缩称之为二阶压缩。在这种定义的基础上h o n g 和m a n d l e 等人 又提出了光场振幅的高阶压缩概念。即x 。或x ：在某个态中的k 阶矩小于其在相干态 中的k 阶矩( 这是因为【x 。，x 2 】= i c 的缘故) 。i f _ n y 9 如此，这种定义有其局限性， 上海大学硕士学位毕业论文 即只能使用于光场的压缩。但是后来的一系列研究表明，压缩现象也可以在原子中存 在，并且除了光场振幅压缩以外，其他的物理量( 如振幅平方，相位，原子的角动量， 偶极矩等) 也可以存在着压缩，这就有必要给出新的高阶压缩的定义来讨论这些物理 量的高阶压缩问题。为此，董传华提出了能运用更广范围的高阶压缩的定义。 2 3 2 原子偶极矩的压缩 类似于光场压缩态，可以把这种定义推广到原子算符。对于一个由赝自旋算s ， s 一，s ，描述的两能级原子，可定义两个厄密正交的算符： s 。= 圭c s + + s 一，= ( 。? ：1 孑 ； c z 。， s ：；i ( s + - s _ ，= 一只2 孑 ； g s 。， 显然，他们满足对易关系： s 1 ，s 2 】= i s 3 ； ( 2 3 1 1 ) 相应的海森堡不确定关系为： ( a s 。) 2 ( a s ：) 2 隅) 1 2 ； ( 2 3 1 2 ) 如果存在某个态l 缈) ，使得s 的量子涨落满足( 墨) 2 i ( s ，) l ( i = 1 或2 ) 或者 f = ( 丛，) 2 - - i s ，) i o ；( i = l 或2 ) ( 2 3 1 3 ) 我们就说原子算符s ，的量子涨落被压缩，原子呈现出压缩效应。此时，原子所处的态 i 妒) 称为原子压缩态。实际上，算符s 和s ：分别对应于原子偶极矩的两个正交分量。 因此，有时也把原子算符的压缩称为原子偶极矩的压缩。 对于相互之间存在偶极矩作用的两个原子，定义s ，s ：分别为： s 1 = ( d + + d 一) ； ( 2 3 1 4 a ) s 2 = 击( d + 一d 一) ； ( 2 - 3 1 4 b ) 式中d 和d 一为原子系统总的赝自旋算符 d + = s i + s ? 1 4 佗3 1 5 a ) 上海大学硕士学位毕业论文 d 一= 碰1 + 醚2 ； 陀3 1 5 ” 显然，s ，和s ：分别代衰原子偶极短的色散分量和吸收分量，它们满足的对易关系为 ( 2 3 1 1 ) 式。 原子的压缩效应是w a l l 等人1 4 6 在八十年代初研究单原子共振荧光的起伏时提 出的。人们通过对二能级原子偶极矩的演化研究，发现原予与光场之间相互作用的量 子机制可以通过对