（检测技术与自动化装置专业论文）机载激光捷联惯导优化算法研究.pdf

摘要 自主性、隐蔽性和导航信息的完备性是惯导系统特有的特点，这些特点决定 了惯导系统在军事应用中的特殊重要地位，激光捷联惯导系统技术对提高我国武 器的精确制导起着至关重要的作用。 为了提高激光撼联惯导系统的整体精度、满足武器平台f i s 视) 的精确制导， 对激光捷联惯导优化算法进行了系统、深入的研究。 主隳疆究工 乍集中在算法研究、算法推导投仿真验证等方面，具体寄： 1 、麓透了溪罨遴论基磕。惫摇雾定了一黧常瘸参数、定义，奔缮了矢量叉 乘、哥氏定理，推导了坐标变换、基本方程，说明了一些符号约定等。 2 、对激光捷联惯导算法进行了深入、准确的推导。研究了以下算法：姿态 更毅诗冀戆霆元数赣法及等效旋转矢量算法；镶运动强境下簿散旋转矢鬣三子棰 解、冀法漂移及优化算法：速度舞法中的划桨效应补偿算法及优化算法；位蚤算 法中的旋转效应补偿算法、涡卷效应补偿算法殿优化算法。 3 、详细推导并撼出了扩展导航参数及大测靛线航迹织辣奠法，还给如了算 法滚稔黼。 4 、对激光捷联惯导优化算法及大圆航线航迹规划进行了全数字仿真。 研究过程中主鬟采用了资料收集、分析、归纳，数学、机理推导，仿舆验证 等方法。铁傍奏结鬃嚣看窭，经l 霪饶凭算法簿篱螽姿态蒺发达煮努鼗量缀、霞萋 精度达米数量级( 1 0 0 0 s ) 。 本论文研究创新点有： 1 、提出了激光捷联惯导系统姿态、速度、位置解算优化算法。 2 、提出了扩展导航参数及大圆航线航迹解算算法。 3 、编程实现激光捷联惯导优化算法及大圆航线航迹规划全数字仿真。 关键谲： 圆锥诶差 大圆航线 划桨误差涡卷误差 扩展导航参数 a b s t r a c t a b s o l u t ei n d e p e n d e n c e ，c o n c e a l m e n ta n dn a v i g a t i o ni n f o r m a t i o nf u l la r es p e c i a l c h a r a c t e r i s t i c so fi n e r t i a l n a v i g a t i o ns y s t e m s t h e s e c h a r a c t e r i s t i c sm a k ei n e r t i a l n a v i g a t i o ns y s t e m st ol e a ds p e c i a li m p o r t a n ts t a t u si nm i l i t a r ya p p l i c a t i o n ，t h el a s e r s t r a p d o w ni n e r t i a ln a v i g a t i o ns y s t e m ( l s i n s ) t e c h n o l o g yp l a y st h ev e r yi m p o r t a n t r o l et oe n h a n c eo u rc o u n t r yw e a p o n s p r e c i s i o ng u i d a n c ep e r f o r m a n c e i no r d e rt oe n h a n c eo v e r a l lp r e c i s i o no ft h el s i n sa n dm e e tt h ep r e c i s i o n g u i d a n c ep e r f o r m a n c eo fw e a p o np l a t f o r m ( a i r p l a n e ) ，a l g o r i t h m s o fl s i n sa r e s y s t e m a t i c a l l ya n dt h r o u g h l ys t u d i e d t h em a i nr e s e a r c hw o r kc o n c e n t r a t e so na l g o r i t h mr e s e a r c h ，a l g o r i t h md e d u c t i o n a n ds i m u l a t i o nc o n f i r m a t i o ni nt h i st h e s i s ，s p e c i f i c a l l y ： 1 b a s i ct h e o r i e so fi n e r t i a l n a v i g a t i o na r es u m m a r i z e d i n c l u d i n gs o m e c o m m o n l yu s e dp a r a m e t e r sa n dd e f i n i t i o n sa r ee x p l a i n e d ；v e c t o rc r o s sp r o d u c ta n d c o r i o l i st h e o r e ma r ei n t r o d u c e d ；c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o na n ds p e c i f i cf o r c e e q u a t i o na r ed e d u c e d ；s o m es y m b o l sa r ei l l u s t r a t e d 2 a l g o r i t h m so fl s i n sa r ea c c u r a t e l yd e d u c e d s o m ea l g o r i t h m sr e s e a r c ha r ea s f o l l o w s ：t h eq u a t e r n i o na l g o r i t h ma n dt h ee q u i v a l e n tr o t a t i n gv e c t o ra l g o d t h mo f a t t i t u d eu p d a t i n g ；t h ee q u i v a l e n tr o t a t i n gv e c t o rt h r e e s a m p l ea l g o r i t h md r i f t i n ga n d t h eo p t i m i z e da l g o r i t h mu n d e rc o n i n gm o v e m e n te n v i r o n m e n t ；t h ev e l o c i t yu p d a t i n g a l g o r i t h ma n dt h eo p t i m i z e dv e l o c i t ya l g o r i t h mb yc o m p e n s a t e ds c u l l i n ge r r o r ；t h e p o s i t i o nu p d a t i n ga l g o r i t t m aa n dt h eo p t i m i z e dp o s i t i o na l g o r i t h mb yc o m p e n s a t e d s c r o l l i n ge r r o r 3e x t e n d e dn a v i g a t i o np a r a m e t e r s ( e n p ) a n dg r e a tc i r c l ef l i g h tp a t h ( g c f p ) c a l c u l a t e da l g o r i t h m sa r ep r e s e n t e di nd e t a i la n dt h ea l g o r i t h mf l o wc h a r ti sp r e s e n t e d 4 o p t i m i z e da l g o r i t h m so fl s i n sa n dg c f pt r a j e c t o r i e sa r ec o n f i r m e db ye n t i r e d i g i t a ls i m u l a t i o n s d a t aa c q u i s i t i o n ，a n a l y s i s ，i n d u c t i o n ，m a t h e m a t i cd e d u c t i o n ，p h y s i c a ld e d u c t i o n a n ds i m u l a t i o nc o n f i r m a t i o nm e t h o da r em a i n l yu s e di nt h er e s e a r c hp r o c e s s s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ea t t i t u d ep r e c i s i o nr e a c h e sa r c - m i nl e v e la n dt h e p o s i t i o np r e c i s i o n r e a c h e sm e t e rl e v e li n1 0 0 0s e c o n d sb yo p t i m i z e da l g o r i t h m c a l c u l a t i o n 1 t t h em a i ni r m o v a t i o n sd o n ei nt h i st h e s i sa r ea si o l l o w s ： 1 o p t i m i z e da l g o r i t h m so fa t t i t u d e ，v e l o c i t ya n dp o s i t i o nc a l c u l a t e do fl s i n s a r ep r e s e n t e d 2 a l g o r i t h m so fe n p a n dg c f pa r ep r e s e n t e d 3 e n t i r ed i g i t a ls i m u l a t o n so fo p t i m i z e da l g o r i t h m so fl s i n sa n dg c f p 仃a j e c t o r i e sa r ed o n eb yc o m p u t e rp r o g r a m m i n g k e yw o r d s ： c o n i n ge r r o r , s c u l l i n ge r r o r ,s c r o l l i n ge r r o r , g r e a tc i r c l ef l i g h tp a t h ( g c f p ) ， e x t e n d e dn a v i g a t i o np a r a m e t e r s ( e n p ) 1 1 1 两北j + 业人学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 惯性导航是- - f 3 综合了机电、光学、数学、力学、控制及计算机等学科的尖 端技术，是现代科学技术发展到一定阶段的产物，在航空、航天、航海等军事领 域以及许多民用领域都得到了广泛应用“，。随着激光陀螺的工程化，计算机技 术的快速发展和计算理论的日益完善，捷联惯导系统的优势正日益显露，因此， 激光捷联惯导系统正成为当今机载精确制导武器的个发展方向。4 5 “”。 1 1 研究背景 惯性导航的基本原理是以牛顿力学定律为基础的，在运载体内用加速度计测 量运载体运动的加速度，通过积分运算得到运载体的速度和位置信息”1 。由于惯 性是所有质量体的基本属性，所以建立在惯性原理基础上的惯性导航系统不需要 任何外来信息，也不会向外辐射任何信息，仅靠惯性导航系统本身就能在全天候 条件下，在全球范围内和任何介质环境里自主地、隐蔽地进行连续的三维定位和 三维定向，这种同时具备自主性、隐蔽性和能获取运载体完备运动信息的独特优 点是诸如无线电导航、卫星导航和天文导航等其它导航系统无法比拟的，尽管这 些导航系统的某些导航性能可能远远优于惯导系统，惯导仍然是重要运载体不可 缺少的核心导航设备。 激光陀螺的出现是惯性技术的一场大革命，激光陀螺与传统的机械转子陀螺 的工作原理有本质的区别，后者服从解释宏观世界的牛顿力学，而前者服从解释 微观世界的量子力学，因此是种全新概念的惯性器件。1 。利用光的干涉原理测 量旋转运动早在2 0 世纪初就有人提出，1 9 1 3 年法国物理学家萨格奈克研制了一 种光学干涉仪，1 9 2 5 年迈克尔逊根据干涉仪研制崮了一种光学陀螺测量装置， 用于测量地球的自转角速度，该装置由3 0 0 x6 0 0 m 2 的矩形光学回路构成但所采 用的光源是普通光，相干性极差，干涉条纹的移动量仅为干涉条纹间距的四分之 一，测量精度极低。1 9 6 0 年物理学家发明了激光，1 9 6 2 年世界上第一台氦氖激 光器问世，以美国为首的技术先进国家开始研制激光陀螺，经过二十一年的不懈 努力，美国霍尼韦尔公司于1 9 8 2 年批量生产g g l 3 4 2 激光陀螺，浚型陀螺h t l 3 f 高达9 0 0 0 0 小时，漂移在0 0 1 。h o 0 0 1 。，h 量级范围内，g g l 3 8 9 漂移稳定性和 游走系数分别可达o 0 0 0 3 。h o 0 0 0 0 4 。，h ，是机械转子陀螺无法比拟的“。抖 曲j l _ l j 业大学硕士学位论文 第一章绪论 动型激光陀螺的精度等级大致在l o 。2 一l o 。度d , 时量级范围内，是构造航空标准 惯导的理想惯性器件，美国利登公司生产的l t n 一9 2 激光捷联惯导被认定为美国 民航飞机、政府运输和行政飞机的必备导航系统，取代了l t n - 7 2 而成为标准机 载惯导系统1 。 惯性技术水平的标志一方面反映在惯性器件的性能及制造工艺水平上，另一 方面反映在系统设计理论及工程实现水平上1 。平台惯性导航系统中，用机电控 制方法建立起物理实体平台，用于模拟所要求的导航坐标系。由于有惯性平台隔 离了运载体的角运动，导航坐标系的旋转又十分缓慢，所以平台惯导系统中陀螺 的动态范围可以很小，导航计算机的解算负担也比较轻，这对上个世纪六，七十 年代计算机水平还不高，陀螺的施矩电流还不能太大的实际情况，采用物理平台 构造惯性导航系统是十分合适的。平台惯导的最大缺点是结构复杂、体积大、重 量重、可靠性差，所以随着激光陀螺批量制造技术的成熟，捷联惯性导航系统正 在各个领域逐步取代平台惯性导航系统，特别是诸如飞机，导弹等中低精度应用 领域几乎都采用捷联惯导系统，利登公司在十年前就推出l t n - 9 2 激光捷联惯导 系统，作为替换挠性陀螺平台惯导l t n 一7 2 的换代产品，波音和空中客车民航机 几乎都装备l t n 一9 2 激光捷联惯导系统。 捷联惯导系统的最大特点是依靠算法建立起导航坐标系，即平台坐标系以数 学平台形式存在，这样省略了复杂的物理实体平台，结构简单，体积小，重量轻， 成本低，维护简便，可靠性高，还可通过余度技术提高系统的容错能力。但这些 好处是用复杂的算法设计和繁重的计算负荷换取的。姿态更新解算是捷联惯导的 关键算法。传统的姿态更新算法有欧拉角法、方向余弦法和四元数法，其中四元 数毕卡算法简单、计算量小，因而在工程实际中常采用。但四元数毕卡算法仅为 单子样算法，不可交换误差补偿不彻底，特别是运载体姿态变化剧烈时，这种误 差更加严重。1 9 7 1 年b o r t z 和j o r d o n 提出了等效旋转矢量概念”，将运载体的 姿态四元数更新转化为姿态变化四元数的更新，为姿态更新的多子样算法提供了 理论依据。1 9 8 0 年g il m o r e 提出了在快速计算回路内迭代解算旋转矢量，在慢 速计算回路内解算姿态四元数“。1 9 8 3 年m i l l e r 探讨了锥运动条件下等效旋转 矢量的三子样优化算法，优化指标是圆锥误差影响达到最小“。在此基础上，l e e 和y o o n 研究了四子样算法“5 i a n 研究了利用本更新周期内的三子样及前更新 周期内的角增量计算旋转矢量的优化算法“”。1 9 9 5 年t u s o f f 提出了圆锥补偿算 法的优化指标，分析了算法误差与补偿周期的关系“。对于运动状态变化剧烈和 导航定位精度要求特别高的应用场合，除对圆锥运动效应作补偿计算外，还要对 划桨运动效应和涡卷运动效应作补偿计算，对此，s a v a g e 作了系统研究“9 。“。 曲北1 业大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 研究内容 1 2 1 激光捷联惯导优化算法研究 在实际系统中，为了降低捷联陀螺和加速度计的输出噪声对系统解算精度的 影响，并且能够完全利用输出信息，陀螺和加速度计的输出全部采用增量形式， 即加速度计输出为速度增量，激光陀螺输出为角增量。在此情况下，姿态解算和 导航解算只能通过求解差分方程来完成。当载体沿两正交轴存在同频率角运动和 线运动时，在姿态解算中会引起圆锥误差，角振动和线振动引起的整流效应会在 速度计算中产生划桨误差。因此要实现高精度的捷联速度计算，需要对划桨效应 进行补偿。载体作划桨运动时会在捷联惯导位置解算中产生涡卷误差，涡卷效应 对捷联位置的计算有一定的影响”“2 52 = “。理论上这些误差主要是由于算法更新 率过低引起的，可以证明当更新率非常高时这些误差都将足够小，但更新率的提 高受到惯性器件的采样频率和算法实时 生等限制”“”。2 8 “。本论文，将从理论的 角度对姿态等效旋转矢量法、圆锥误差及其补偿优化算法，划桨效应产生的机理 及其补偿优化算法，涡卷效应产生的机理及其补偿优化算法进行深入分析研究。 1 2 2 扩展导航参数及大圆航线航迹规划解算 惯导系统输出的速度、位置、航向、姿态信息反映了飞机的瞬时飞行状态， 通常将这些量称为导航参数。导航计算机根据惯导系统输出的位置信息实时解算 出飞机偏丌期望航迹的偏航距。“圳；同时，为了确保飞机沿期望航迹稳定飞行， 还需要实时计算飞机的航迹角误差。通常将偏航距、航迹角误差、偏流角、至下 r 个航路点的待飞距离和待飞时间等称为扩展导航参数或制导参数，现根据惯导 上常用的坐标变换矩阵及向量点积、叉积等数学知识，提出一种全新的扩展导航 参数解算算法。 大圆航线是长距离飞行时所采用的航程最短的航线。航迹规划就是在飞行前 规划好一个明确的飞行航线，也即确定出中途飞越的航路点。根据球面直角三角 形法进行大圆航线航逊规划解算。 1 2 3 激光捷联惯导优化算法与航迹规划仿真 仿真是指建立系统模型、并通过模型运行来完成科学试验研究的全过程。模 型是反映实际系统物理( 化学) 本质和基本特征的模仿、抽象或描述。数学模型 是反映实际系统内部和外部各变量之间相互关系的数学表达式。数学建模的根本 婀北r 业大学硕士学位论文第一章绪论 任务是确定系统的模型形式、结构和参数，以获取能正确描述该系统表征和特性 的最简数学表达式。2 。根据激光捷联惯导系统物理机理分析推导出激光捷联惯 导算法及补偿优化算法，根据球面直角三角推导大圆航线航迹规划解算算法，这 就是仿真中的数学模型。 航迹仿真的目的是生成惯性器件信息源( 比力和角速度) ，并给出相应航迹 点的航行参数( 姿态、速度和位置) 。比力和角速度增量信息用作激光捷联惯导 优化算法的数据输入，经过激光捷联惯导优化算法解算后得到的导航参数与前述 信息源产生的理想导航参数作比较，对仿真结果进行分析和评估”5 。航迹仿真 的方法足根据设定的航行运动状态解算一组航迹微分方程组，通常利用计算机求 该微分方程组的数值解，数值解法中常用到的是四阶龙格一库塔法。 1 3 研究意义 自主性、隐蔽性和导航信息的完备性是惯导系统特有的优点，这些特点决定 了惯导系统在军事应用中的特殊重要地位。随着激光陀螺制造工艺臻至完善和成 熟，激光捷联惯导将逐步取代平台惯导。与平台惯导相比，激光捷联惯导更具有 优势：结构简化，成本、重量、体积、功耗均有所下降，输出信息非常全面，能 输出位置、速度、姿态、角速度等诸多信息o “3 ”。 激光捷联惯导的大量工作集中在姿态、速度、位置的算法上，特别是对高动 态运载体来说，惯导系统的精度一方面取决予陨性器件的精度，更重要的是取决 于算法的精度，特别是姿态算法的精度。 本论文主要研究激光捷联惯导高精度优化算法并进行仿真验证，从而提高激 光捷联惯导系统的整体精度，满足武器平台( 飞机) 精确制导。 随着我国军事技术的不断发展和国防建设的迫切需求，精确制导武器正在逐 步替代过去的常规武器，激光捷联惯导系统技术对提高我国精确制导武器性能起 着至关重要的作用，因此本研究不但具有现实战略意义、也具有一定的理论参考 和工程实践意义。 睡北工业大学硕士学位论文 第二二章惯导理论基础 第二章惯导理论基础 在本论文的分析推导和研究中经常用到一些参数、定义、常用关系式及常用 符号，先作一简单介绍及推导说明“r 4 ”。”“3 。 2 1 常用参数及定义 2 1 1 地球几何参数及物理参数 ( 1 ) 地球形状 地球表面的几何形状是很不规则的，无法用数学模型精确表示。将地球近似 为圆球的方法不能满足精密导航的要求，因此导航中使用的地球模型是参考椭 球。为了与国际惯例接轨，本文采用w g s 一8 4 参考椭球作为导航用地球模型“”- “”。 其赤道半径尼( 长轴半径) 和曲率e 分别为： r = 6 3 7 8 1 3 7 m e = 一 。 2 9 8 2 5 7 将地球作为圆球看待时，其平均半径为：r = 6 3 7 1 k m 。 参考椭球子午圈和卯酉圈上的主曲率半径月。、段的计算方法如下： r 。：生! 二o ：尺。( 1 2 p + 3 e s i n z 工) l c o s 2 + ( 1 一e ) 2 s i n 2 三f ( 2 1 1 ) 一土 r = r o 1 一( 2 一e ) e s i n 2 z l2 = r ( 1 + e s i n 2 上) ( 2 ) 地球自转角速度( 魄) 地球自转角速度对惯性导航系统而言是一个很重要的参数。在惯性导航系统 中地球自转角速度一般采用如下数值： q 。= 1 5 0 4 1 l = 7 2 9 2 1 1 5 8 5 1 0 。吆 ( 3 ) 地球重力加速度( g ) 地球重力加速度是引力加速度和离心加速度的矢量合成，w g s 一8 4 参考椭球 表面的重力加速度模型为： 譬( ) ：9 7 8 0 3 2 6 7 7 1 4 。 兰! ：! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 墅兰 ( 2 1 2 ) 。 l 一0 0 0 6 6 9 4 3 7 9 9 9 0 1 3 s i n 2 上 重力加速度随高度的变化规律为： 心北j 业人学硕士学位论文 第一二章惯导理论基础 鲋，强舞c ，一百2 h ，( 2 1 - 3 ) 其中g 。= 9 7 8 0 3 2 6 7 7 1 4 m s 2 ( 赤道重力加速度) ，h 表示高度。 2 12 姿态角定义 ( 1 ) 航向角：载机纵轴o y 。在水平面上的投影与地理子午线n 之间的夹角， 称为载机的航向角( 也可称为偏航角) ，记为i f ，。航向角从真北算起，偏东为正， 偏西为负，其定义域为一1 8 0 。+ 1 8 0 。 ( 2 ) 俯仰角：载机绕横轴水平转动时，载机纵轴和水平面的夹角，称为载 机的俯仰角，记为目。俯仰角从水平面算起，向上为正，向下为负，其定义域为 一9 0 。+ 9 0 。 ( 3 ) 横滚角：载机纵向对称面与纵向铅垂面之间的夹角，称为载机的横滚 角( 也可称为倾斜角) ，记为，。横滚角从铅垂平面算起，右倾为正，左倾为负， 其定义域为一1 8 0 。+ 1 8 0 。 2 1 3 常用坐标系的定义 ( 1 ) 地心惯性坐标系( i 系) 用o x y 。z 。表示，原点为地球中心，x i 、y 。轴在地球赤道平面内，x 。轴指向春 分点( 赤道面与黄道面交线与天球的交点之一) ，春分点是天文测量中确定恒星 时的起始点，z 。轴为地球自转轴，o x 。、o y ；、o z 。轴构成右手坐标系。三个坐标轴 指向惯性空间固定不动，惯性仪表是相对于该坐标系进行测量的。 ( 2 ) 地球坐标系( e 系) 用o x 。y 。z 。表示，原点为地球中心，x 。、y 。轴在地球赤道平面内，x 。指向本初 子午线，z 。轴为地球自转轴。e 系与地球固连，地球坐标系相对于惯性坐标系的 运动就是地球的自转角速度= 1 5 。h 。 ( 3 ) 地理坐标系( g 系) 用o x 。y 。z 。表示，原点为载体重心，x 。轴在当地水平面内指向东方( e ) ，y 。轴 与当地予午线一致指向真北 ) ，z 。沿当地垂线指天向上( u ) ，形成右手坐标系。 地理坐标系相对于地球坐标系的方位关系就是载体的地理位置( 经度五和纬度 l ) 。地理坐标系的坐标轴有东北天、北东地、北西天三种取法，本文采用东北 天坐标系。 ( 4 ) 导航坐标系( i 3 系) 用o x 。y 。z 表示，它是惯导系统在求解导航参数时所采用的坐标系，本文采用 两北 业大学硕士学位论文 第二章惯导理论基础 东北天地理坐标系作为导航坐标系。 ( j ) 载机坐标系( b 系) 用o x 。y 。z 。表示，原点为载机的重心，x 。轴沿载机横轴向右，y b 轴沿载机纵轴 向前，z 。、轴沿载机立轴向上。该系与载机固连，载机坐标系相对于导航坐标系的 方位关系就是载体的航向和姿态。 ( 6 ) 平台坐标系( p 系) 用o x 。y 。z 。表示，原点在飞机重心，在平台惯导系统中，它是代表实际平台的 坐标系，在捷联惯导系统中，它代表“数学”平台。理想情况x r 、y 。轴总在水平 面内，z 。轴指向天。它可以与地理坐标系重合，也可以与其在水平面内存在一定 夹角，后者则称为游移方位平台坐标系，在水平面内y 。轴与北向的夹角叫游移方 位角。 2 2 常用关系式及符号说明 2 2 1 坐标变换 l l 。一一二汐j ，7 、 7 、i 、? 少x l ：绽t j 幽2 2 - - 1 坐标系问的变换关系 ，、，= o a + a b + b c 。12 = o d c o s o t + b d s i n0 5 斗b fs i n 2 r x c o s o t + k8 m 口 l = d e a d = d fc o so 【一o d s i n0 c 。r r , c o s o t r x ts i n g 七= ， 设坐标系o 一置xz l 绕o z , 轴旋转口角后得到坐标系 0 一只l z 2 ，空间矢量，在 0 一x y , z l ( 简称坐标系1 ) 内 的投影为f 乞i ，在 o x ，e z 2 ( 简称坐标系2 ) 内的投影为lo ，飞， 要求推导出两组坐标值问的 关系。由于旋转轴绕o z , 轴进 行，所以z 坐标未变，即有： r z = r z ，由图2 2 1 得： 烈北f 业人学硕士学位论文 第二章惯导理论基础 将上述三式写成矩阵形式 记，1 = r x 飞 吃 c o s 口 = f s i n 口 0 s i n 口0 c o s 口0 01 巨 o 如 rc o s 口s i n 2 o q h 卜怦。薯口? j ( 2 2 一1 ) 则( 22 一i ) 式可写成： ，2 = 口， 该式描述了同一矢量在不同坐标系内投影间的变化关系，砰称为从坐标系1 至 坐标系2 的变换矩阵。经观察后可发现口的诸元是坐标系1 诸轴上的单位i 在 坐标系2 各轴上的投影和，其中投影关系可用图2 2 2 来表示。 s l n 口 c os 口 0 引 匕轴上的投影 z 轴上的单位1 一轴上的单位1 上，轴上的单位l 幽2 。2 2 坐标系1 和坐标系2 之i 可的投影关系 上述变换关系分析中，坐标系2 是经坐标系1 仅绕z l 轴旋转口角后获得的 为便于叙述，称仅绕一根轴的旋转为基本旋转。两坐标系间任何复杂的角位罱关 系都可以看作有限次基本旋转的复合，变换矩阵等于基本旋转确定的变换矩阵的 连乘，连乘顺序依基本旋转的先后次序由右向左排列。 例如运载体的空间姿态可看作依次绕航向轴、俯仰轴、横滚轴作基本旋转后 的复合结果，如图2 2 - 3 所示。图中，1 3 坐标系为地理坐标系，x 。指东、y 。指北、 z 。指天，b 坐标系为机体坐标系，x 。指右、y 。指前、z 。指上。飞机的空间角位置 由下述依次基本旋转确定： 。一x 。z 转。一x 。，。z i 静。一x y ：乙静。一x b g 。乙 口 go g o 0 s c 一 l = 2 e x 1 ( 所以 昏一。薯0 j q = 憾0 剖 c ：。茗，? 一8 孑y 1 c o s y q 口c i = 1 0 i s l n y c o s 7 c o s v + s i n y s i n p , s i n o s i n c o s 0 s i n y c o s y - c o s 7 s i n g , - s i n 6 2 一c o s y s i n v + s i n r c o s 妒s i n o c o sj | uc o s 0 一s i n f s i a v - c o s y c o s s i n o 9 一s i l l “， c o s 0 一s i n y c o s 0 l s i n 0 c o s y c o s of 们i 川= 1 妒y 璺o 丌iiin p 口o|蓦|刍。刚舢 1 o 0 丌i i i i 儿 v y m o 宝 一 c 嘏北工业大学硕士学位论文 第二章惯导理论基础 = = = ! 自e = ! = ! ! = = 目= ! = ! = = j t = = = ! = = j | = ! = ! = j | e 2 = ! e j l = = = = ! = = 一i = ；= = = = ；= l j l _ ；= = = = = = 一 ( 2 2 2 ) 上式中，d 与旋转次序有关，即当旋转角妒、臼、y 不都为小角时，对应于不同 的旋转次序，坐标系b 的最终空间位鹭是不同的，这就是常说的有限转动的不可 交换性。但当p 、0 、y 都为小角时，忽略小角间的高阶小量。 1 一7 c ：= 卜y 1 0 ly 一目1 j 其中v 、臼、7 的单位为弧度。此时由y 、口、，构成的列向量眇曰玎可视 为三维空间矢量，各分量正负号的规定为：当产生小角的旋转方向与坐标轴指向 相同时该小角取正，否则取负。此时旋转后坐标系的最终角位置与旋转次序无关， 这就是常说的无限转动与旋转次序无关。 根据上述分析，可得出如下一般关系：设坐标系尸偏离坐标系，的偏离角识， 盛，唬均为小角，则 l 破 一以l 群= i 玫 1 以i ( 2 2 3 ) l 或 一破 l j 由于直角坐标系间的变换矩阵为单位正交矩阵，所以如果在坐标系r 至坐标 系b 的等效旋转中各坐标系都保持为直角坐标系，则根据单位正交矩阵的性质， 有： q = ( c ) = ( ) 7 又如设运载体所在地s 的经、纬度为五、l 。则s 点的地理坐标系g 可由地 球坐标系e 经三次基本旋转后确定出，即 础。z 焉筹以憾黧拿始：意弛z 。 两北t 业大学硕士学位论文 第二章惯导理论基础 图2 2 4 由地球坐标系e 到地理坐标系g 的三次旋转 如图2 2 - 4 所示。出于为垂线方向，所以和以轴在水平面内，而轴在经 度为丑的子午面内，又为水平轴，所以轴指向南，轴指向东，经9 0 。旋 转后，指向东，y ：指向北，因此以即为s 点的地理坐标系。由图2 2 4 c o s s i n a 0 c ：= i s i n i c o s 0 f l 00 1 j c：=f。s9兰0二：。1sn901。j1=i兰0三。1一c。0sin(90 l0 c o s ( 9 0 l0 sin8l上 c ：，= il = l 。一) 。一三) l c o s 0 1 0 c 5 = c e ? = l 一1 0 0 l0 0 i j c；=。=。1。!n上。一i：。os2cecrc。-1 0 0 0 1 0 - s i n ) ；：。0 00 io s l0 s i 00 1 c ；= 。= l09 湖旯 f c疗8 ：f s i n 蓟l n c 五o s 2 一s i 。n 。l s 丑s i n 2 。：l 。2 - 。， = l - 一c 0 8 ( 2 - 4 ) l c o s l c o s 2c o s ls i n 2 s i n l j 两北工业人学硕士学位论文 第二章惯导理论基础 2 2 2 矢量的叉乘 矢曼是既有大小又有方向的量，常用两种方式来描述矢量。设有矢量，可用 ，的模r = 和，的单位矢量“= 一- 来描述：，= f l ，如此描述的矢量常称为物理 ， 矢量。也可以用r 在坐标系n 的各轴上的投影来描述：，”= | r 节譬1 1 ，如此 描述的矢量称为数学矢量。矢量的叉乘可用物理矢量和数学矢量来表示“。 设有物理矢量，和5 ，则f = ，s 的方向由右手定则确定，大小 f = i f i = 1 ，i i s l s i n 【，ji 。 设有数学矢量，”= r 节簟 2 ，r = s ：s ： 2 ，f ”= ，”矿，则 o 一譬 3 匕善髻j 其中卜 7 。 2 2 3 哥氏定理 s ； j ： ( 2 2 5 ) 哥氏定理用于描述绝对变化率与相对变化率间的关系。设有矢量，i l l 和n 是两个作相对旋转的坐标系，则 尘1 ：立l + ， ( 2 2 - 6 ) 面i 。2 说一w 咄 其中去 。和砉i 。是分别在m 坐标系和n 坐标系内观察到的，的时间变化率 。是 坐标系n 相对坐标系m 的旋转角速度。如果将( 2 2 - 6 ) 式两边的矢量都向m 坐 标系投影，则有 i “= c ，+ 吆，” ( 2 2 - 7 ) 其中 ，= lr 妒- i l l | j ，= l 掣节簟1 1 2 2 4 惯导系统的基本方程一比力方程 自地心至理想平台坐标系r ( 导航坐标系的无误差复现) 的支点引位置矢量 r ，则根据哥氏定理： 辨割。峨置( 2 2 - 8 ， 荫北上业人学硕士学位论文第二章惯导理论基础 其中罂l 是在地球上观察到的位置矢量的变化率，所以是运载体相对地球的 d t i ， 运动速度，简称为地速，记作k ，。 埘( 2 2 - 8 ) 式两边求绝对变化率，并再次使用哥氏定理，其中相对变化率 对丁系求取： 字l = d v 口r 城”蚶c 舭等卜 由于q ，= q 。+ 吼，訾i = 口，所以上式可写成： 科= 警卜：魄+ e j 。r ) x 州c 螂砷 汜z 删 设平台上的加速度计质量块的质量为m ，质量m 受到的力为非引力外力f 和 地球引力m g ，g 为引力加速度。根据牛顿第二定律： f + m g ：。垦至l d t 2 f + g ( 2 2 1 0 ) 其中 ，：竺( 2 2 - 1 1 ) 。 m 是单位质量上作用的非引力外力，称之为比力( s p e c i f i cf o r c e ) 。 ( 2 2 1 0 ) 式代入( 2 2 9 ) 式，得： 警卜“2 蚶v e t + g - r o , e x ( x r ) ( 2 2 - 1 2 ) 图2 2 - 5 表示出了( 2 2 1 2 ) 式中最后两项与重力加速度间的关系。白图 2 2 - 5 ( a ) ，得 q 。r q 。r s i n ( 9 0 0 l ) = a ；, ，r c o s l f 哆，( 哆。露) fc o , c ( o m r c o s l ) s i n 9 0 0 = 疵r c o s l 魄( ，。r ) 的方向指向地轴。 = 塑驴 两北工业大学硕士学位论文 第二章惯导理论基础 矮一 、黩 j ( a ) ( b ) 圈2 ，2 - 5 地球旋转引起的向心加速度 考察s 点跟随地球旋转引起的向心加速度。由图2 2 5 ( b ) ，向心加速度a ， 的大小为吼= 珊：r c o s l ，方向指向地轴。 由上述分析知 埘。( 吐。置) = 口。 又因为 g = g 一口， 因此( 2 2 1 2 ) 式可写成： 旦孥l = 一( 2 + c j 。) 屹，+ g ( 2 2 一1 3 ) f i t 1 7 t 该式即为比力方程，是惯导系统的基本方程“”“。 现对比力方程作如下说明： 坐# l 是在平台坐标系内观察到的地速矢量k ，的变化率，如果将 d f i ， ( 2 2 1 3 ) 式向r 系内投影，则比力方程可写成分量形式： 蟛= f 7 一( 2 ：十甜矗) k ；+ 9 7 ( 2 2 一1 4 ) ，是加速度计的测量值，比力方程说明只有当j r 清除掉了有害加速度之 后，彳能积分获得地速。其中有害加速度包括三部分：有害加速度2 臼。k ，为 哥氏加速度，由运载体相对地球运动( 相对运动) 和地球旋转( 牵连运动) 引起； 有害加速度吐，k ，是运载体保持在地球表面运动( 圆周运动) 引起的对地向心 加速度；重力加速度g 是有害加速度的第三部分。 在静基座条件下，即v ，= o ，f = 一g 。出于f = m f 是作用在质量块上的 非引力外力，亦即质量块受到的约束力。根据作用与反作用原理，质量块对约束 体的反作用力为a f m f = m g ，其中a 即为质量块产生的惯性力，所以质 量块的单位质量惯性力为f ，= = = g 。 1 4 西北工业大学硕士学位论文第二章惯导理论基础 ( 2 ) ( 口) ：表示向量口= 【口，a ya = 1 7 的反对称矩阵( 泓) 2 i 口：0 a 0 一一 i q a x ( 3 ) 吐8 ：表示向量盯在b 系中投影瑾8 相对b 系的时间导数，即 西一：堂l ： 垫堕堕l 。且口s _ 【qq 叫r。dt 1 8l d td td t j 一 ” ( 4 ) 脚磊：表示口系相对4 系转动的角速度在c 系中的投影a ( 5 ) c ：表示从b 系到a 系的坐标变换阵，即口“= c a b 矿。 1l，j 吩q o 西北工业大学硕士学位论文第三章激光捷联惯导优化算法研究 3 1 概述 机 体 坐 标 系 b 第三章激光捷联惯导优化算法研究 速度 姿态 图3 卜1 激光捷联惯导系统原理简图 激光陀螺启动快，耐冲击，动态范围宽，天然数字输出，工作可靠，寿命长， 因此激光陀螺特别适用于构建捷联惯导系统， 激光捷联惯导系统的原理简图如图3 卜l 所示。图中，b 为运载体的机体坐 标系，n 为导航坐标系。激光陀螺和加速度计直接固联在运载体上，所以此类惯 导称为激光捷联式惯导系统，简称激光捷联惯导。激光陀螺和加速度计分别用来 测量运载体的角运动信息和线运动信息，机载计算枧根据这些测量信息解算出运 载体的航向、姿态、速度及位置。姿态阵解算相当于建立起数学平台，戤相当 于对数学平台作施矩的指令量，该指令量根据所选定的导航坐标系和导航解算得 到的速度和位置计算出。3 。因此捷联惯导系统与平台惯导系统在本质上是相同 的，但在系统的具体实现上却存在着如下明显的不同。 ( 1 ) 陀螺动态范围要求不同。平台惯导系统陀螺安装在平台台体上，陀螺感 测台体偏离导航坐标系的偏差，平台通过稳定回路消除这种偏差，其作用是隔离 掉运载体的角运动，使陀螺的工作环境不受运载体角运动的影晌。同时，平台通 过修正回路使陀螺按一定要求进动，控制平台跟踪导航坐标系的旋转运动。而导 航坐标系的旋转仅由运载体相对地球的线运动及地球的自转引起，这些旋转角速 度都十分微小，所以对陀螺的指令施矩电流是很小的。这就是说平台惯导陀螺的 两北r 业大学硕士学位论文第三章激光捷联惯导优化算法研究 动态范围可设计得较小。但捷联惯导陀螺直接安装在运载体上，陀螺必须跟随运 载体的角运动，即捷联惯导所用陀螺的动态范围远比平台惯导所采用的大。 ( 2 ) 惯性器件的工作环境不同，惯性器件动态误差和静态误差的补偿要求也 不同。在平台惯导系统中，平台对运载体的角运动起隔离作用，安装在平台上的 惯性器件只需对线加速度引起的静态误差作补偿。而捷联惯导系统中的惯性器件 除 偿静态误差外，还需要对角速度和角加速度引起的动态误差作补偿。 ( 3 ) 捷联惯导必须对三种算法误差作补偿。在实际系统中，为了降低捷联陀 螺和加速度计的输出噪声对系统解算精度的影响，并且能够完全利用输出信息， 陀螺和加速度计的输出全部采用增量形式，即加速度计输出为速度增量，陀螺输 出为角增量( 液浮陀螺或挠性陀螺及加速度计输出采用i f 或v - f 转换成脉冲输 出，激光陀螺本身就是脉冲输出) 。在此情况下，姿态解算和导航解算只能通过 求解差分方程来完成，而当运载体存在线振动和角振动，或运载体作机动运动时， 在姿态解算牛会引起圆锥误差，在速度解算中会引起划桨误差，在位置解算中会 引起涡卷误差。这些误差都必须在相应的算法中作严格补偿“。“。”“”。 ( 4 ) 计算量不同。平台惯导中平台以物理实体形式存在，平台模拟了导航坐 标系，运