（应用数学专业论文）代数重建算法的改进与应用研究.pdf

絮镶产蔽声璃雾羲魏蛙声麓 题北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解举校有关傈护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论 文工作的知谈产权单位属于谣j 艺大学。学校有权保誉并怒藩家有关部f j 或视构送交 论文豹复露谗藉毫予舨。本人允许论文被查舞帮诺阕。学校焉数将零学袋论文熬全 部或部分鸯容缓入蒋关数据瘁进行捡素，霹以慕臻影印、缩印或扫攒等复制手段保 存昶汇编本学位论文。阉时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题科撰写的文 章一律注明作者单位为谶北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 论文箨者签塞； 训。，一一， 指导教掰签氛杰垫耋 缈口g 年l f 月旦 西北大学学位论文独创性声明 本入声嚼：所呈交的学位论文是本入在导师指导下进行的研究工作及敬褥的研 究成果。据我所知，除了文审特裂翔羲糠注程致落游逮方舞，奉论文不穰会莫氆入 嚣经发表或撰写越麓赣巍残暴，趣不毫禽巍获褥嚣= | 象大学或其它教育棍构熬学位或 程錾瑟使蜀避的材料。与我一同工作豹网志对本研究所徽的镬何贡献均殴在论文中 佟了明确的说明并表示谢意。 论文稚者签名： 孚啤霭多黧 囊 嚣慧式攀蕊素攀魏攀簸逾震 撼篓 诗冀凝黼震袋漾恭( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y , c t ) 燕童怒髓怒嚣摸箍溅拽 拳袭震鹣最蓬簧藏暴。撵爨c t 援蓉赡基本葵瀵，栈熬羹建然法( a l g e b r a i e r e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e , a r t ) 糕辕予蒸襄爱黎辫簿法( f i l t e rb a c kp r o j e c t i o n , 髓擎，寄舔壤篱攀、摭漾麓力强鬻舞瓣蹇金投影数瓣酃霹毒效熊傣戆德势。特 鏊是褒王遵涎搂稳溅i n d u s t r i a lc o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ，i c t ) 枣，袋晁囊泰蓐 黯垒属片到薅籀复杂翁艇裂发裁褥，瓣室一方嚣要求壤橡攥捺麟塞鬻分辫率，罴 方瑟要求攥溅过程德持较羝难崖鞠艘本臻a r t 熟盛像特搂瓣较符合戳上特 蕊簪餐是簧麓a r t 算法运冀蠢、存德繁大；薰建遴蕊缓享曼熬及嚣法震囊簿鬟罐 麴缺点，戮潮了蕤在工邋、罴学等感魈领域豹发勰。 嚣搂熬鼗燃烧火焰溉寝壤灏量熬a r t 算法瘦煺鹣个辩领域。这个燃烧攀 美穗毅零瓷藏懑领域黪粼跫瓣邀厂等翔寄大型燃漂镄炉翡攀裳肖萋黧要意义本 该技术主簧糍溺工进电搿耦金器拌( c h a r g ec o u p l e dd e v i c e s ，c c d ) 辅烈数字 篓赣愁理燕壤，遴遵c c d 获褒瓣必戆鬻豫羹建窭三壤溢囊蘧瓣片，与c t 篡嚣 耀弼懿源瑷。 本文熬辫巍逡褰主豢分舞激下礴蕊： 一避避淫谂鬈舔a r t 雾洼羹建蘧攫器豢莲鬟曩嚣皇娄遴寨，赞辩萋建 避稷孛投澎豢数诗葵淡糕绝大部分耋壤辩瓣豹特攥，挺爨一糟缎速诗算援影蕊 羧瓣方法。镞方法囊嚣蠛壤蓑，辍糕瓣撬萼霭辫糍交蕊不霹耩瓣，势粪莰邃黎 解投彩素数。溺潴囊黧警抒爨砉紊下瓣缓熊攘美燕毒瓣舔幢，避擞大量璧复诗薷， 缭短计算潜黼释文孛遮愿了雾个蒋冀寨验进行验谶。 二攫囊熏a r t 舞法逶黎攀菠懋蕊瀵囊矮溅壁瓣臻黧孛，善凳磐蒸燃蕊 镳炉蠢鞲黼蒋递模受并瓣蒸遥姿篱稳慧绫牲模囊，漾褥挺整密糕瓣投影线瓣臻 惩稳下篱捷投黪蓑数诗舞势谴懿投嚣漤麟迭栽骥绺艇燕懑a r t 冀法。进一梦 戆，在诗冀孛蓑慈主文滚遴a r t 冀法纛建鼗委溢凄爨。逶蓬蕊囊试验涯囊冀煮 效爨搬迷毪喾 蕊粪试验嫠鬟燕塞瓣熊酶嚣壤下褥裂缝过艇鳖试验褥樊，鞴蛰瓣实醚王邋 警穗鼗囊憝簿洼躞遥专爨爨簿 懿 塞嚣卷霆拳鸯豁镁蟮 关穗溺；茨鬻蘧，髓豫熬建，鼗魏熊建鬻法，羧黪系薮，溢攫璐 a b s t r a c t 3 一 c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h yi st h em o s ti m p o r t a n td e v e l o p m e n ti nu o n - d e s l w u c t i v e d e t e c t i o nt e c h n i q u ei n2 0 t hc e n t u r y , a so n eo ft h ef u n d a m e n t a la l g o r i t h mo fc 鼍 a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u ec o m p a r e sw i 懋f i l t e rb a c kp r o j e c t i o n , h a st h e a d v a n t a g e sl i k es i m p l i c i t y , e f f i c i e n c ya n dn e e d l e s so fc 潞m p | e t ep r o j e c t i o nd a m s r e c o n s t r u c t i o n 。e s p e c i a l l yi nt h e f i e l do fi n d u s t r i a ln o n d e s t r u c t i v ed e t e c t i o n , i n d u 积a ! c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h yi su s e dt od e t e c tf r o ms h e e tm e t a it o 瓣寥 s o p h i s t 4 c a r em o t o r , o no n eh a n dd e t e c t i o nr e 麟t ts h o u l dh a sh i g hr e s o l u t i o n , o nt h e o t h e rh a n dt h ed i f f i c u l t ya n dc o s to fd e t e c t i o np r o c e s ss h o u l db ec o n t r o l l e d a r t s c h a r a c t e r i s t i c 魏f i tf o rt h a t h o w e v e r , t h ed r a w b a c ki n f l u e n tt h et r a d i t i o n a l 燃稔 b eu s e di ni n d u s t r ya n dc l i n i c a ls t u d i e s ，w h i c hi st h e 她辨c o m p u t a t i o na n ds t o r a g e a l et a k e d , a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h er e c o n s t r u c t i o ni sv e r ys l o w 轰n e wf i e l dt oa p p l ya r ti st h en o n - c o n t a c tm e a s u r e m e n to ff l a m et e m p e r a t u r e f i e l d i ti sa r ti m p o r t a n tt e c h n i q u ef o rf a c t o r i e s 喇饿l a r g eb u r n i n gf u r n a c e sl i k e e l e c t r i c i t yf a c t o r ：t h i st e c h n i q u em a i n l yu s e st h ec h a r g ec o u p l e dd e v i c e sw i t h d i g i t a l * i m a g ec o m p u t i n gs y s t e mt or e c o n s t r u c tt h et h r e e d i m e n s i o n a lt e m p e r a t u r e f i e l db yi m a g e so ft h ef l a m e 。i th a s 堍巷s a m ep r i n c i p l ew i t hc t t h i sa r t i c l ei sd p 擎i d e di n t o2 p r o i s ， 纛。d i s c u s s i n gt h ef a c t o r so fa f f e c t i n gt h er e c o n s m l c t i o ns p e e da n dq u a l i t yo fa r t s i n c et h ep r o j e c t i o nc o e f f i c i e n th a sc r u c i a le f f e c to i lr e c o n s t r u c t i o ns p e e da n d q u a l i t y , a ne f f i c i e n tm e t h o db a s e do nr a y t oc o m p u t ep r o j e c t i o nc o e f f i c i e n ti s p r e s e n t e d , w h i c hc l a s s i f yd i f f e r e n ts i t u a t i o n so fg r i d si n t e r c e p t e db yr a y , t h e 4 嚣麓大学顼士学位毕盈谂文 c o e f f i c i e n tm a t r i xc a l lb ec a l c u l a t e df a s ta n de f f i c i e n t l ya st h ec o r r e l a t i o na n d s y m m e t r yo ft h ep a r a l l e ll i n e s t h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h er e s u l to ft h i sm e t h o d a r ef a s ta n de f f e c t i v e 2 d i s c u s s i n gt h ea p p l i a n c eo fa r ti n t h en o n c o n t a c tm e a s u r e m e n to ff l a m e t e m p e r a t u r ef i e l d t h en o n l i n e a rm o d e l i n go fr a d i a t i o nt r a n s m i s s i o ni ss t u d i e da n d s i m p l i f i e di n t ol i n e a rm o d e l i n g 。b a s e do nt h es y m m e t r i c a ls t r u c t u r e ，s i m p l i f i e d c o m p u t a t i o no fp r o j e c t i o nc o e f f i c i e n ta n de f f e c t i v ea d j u s t m e n to fp r o j e c t i o n i t e r a t i o no r d e ri su s e dt oi m p r o v ea r t t h ee x p e r i m e n tu s i n gs i m u l a t e dd a t as h o w s 壤a 童谯i sm e t h o di sf a s ta n de f f e c t i v e a l ls i m u l a t i v ee x p e r i m e n t sa r eb u i l tb ym a t l a b 。h o p em ys t u d ym a yh e l pu sd o i n g b e t t e ri ni n d u s t r ya n dm e d i c a ls c i e n c e k e y w o r d ：i n v e r s ep r o b l e m ，a l g e b r a i c r e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e ，p r o j e c t i o n c o e f f i c i e n t ，t e m p e r a t u r ef i e l d 代熬霉建簿法液进与旋耀骚究 图像重建 第一章绪论勇一覃三；蠹善匕 由投影信怠重建蚕像是一类经典静数学物理发闯题。最早可以追溯到吉希 膳时裳人们通过观察圆一物体不鼹角度鹣影予推断物体本身形状的著名理论。 2 0 世纪开始，篷像重建作力一门独立学科其发震越来越为久鳙关注。尤其是在 电予计算机发赞之后，数字篷像重建技术在天文学、无损探测、毫# 介入性治疗、 地震勘探等众多领域褥剿了飞速发展 1 。 图像重建主要有两种算法：熊析求解的滤波反投影算法【3 】( f i l t e rb a c k p r o j e c t i o n , f b p ) 和迭代求解的代数重建算法【3 】( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e ，a r t ) 。a r t 简单来说是将图像重建问题转化为求解线性方程组。因 其原理越单、适用性强等特点在很多领域得以应用：较早用于天文学中计算星 体间距离和相对位置【1 1 ；世界上第一台医用c t 所用原理也是a r t 【4 l 。 1 。20 1 概述 计算机断层成像术( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y , c t ) 是利用射线源放出射线 穿过物体后的投影数据，运用相应重建算法，将一维数据转化成= 维数据即被 测物体截面图像的技术。它实现了真正意义上的断层截面成像，其在医学界的 应用被誉为2 0 世纪医学革命性的发展之一f 辩。 c t 的历史可以追溯到1 8 9 5 年r o e n t g e n 发现x 射线。不过c t 真正意义上 的早期研究始于1 9 1 7 年奥地利数学家j r a d o n 证明了“二维或三维物体能够用 它投影的无限集合来唯一地重建图像 ，这就是著名的r a d o n 变换及逆变换理 论。1 9 7 2 年英国工程师c n h o u n s f i e l d 研制成功世界上第一台真正意义上盼医 用c t ，放射诊断学自此进入了c t 时代。1 9 7 3 年美国m a y oc l i n i c 帮麻省总医 s 嚣j 乏大学蠖学霞肇鼗谂文 院相继安装了颅脑c t ；1 9 7 4 年l e d l e y 研制出第代全身c t ，安装在秀治镇 大学医疗串心。2 0 世纪8 0 年代，第五代螺旋c t 诞生并沿用至今。我国予1 9 8 3 年研制成功第一台颅脑c t ：1 9 8 5 年国产第二代c t 研制成功；1 9 8 9 年9 月， 东大阿尔派数字医疗公司成功开发出我国第台垒身常规c t 一c t 2 0 0 0 ， 1 9 9 0 年国产第三代全身c t 逶过鉴定；1 9 9 2 年我国推出第一螽螺旋c 卜 c t o c 3 0 0 0 5 1 。 王盐方霹，正监无损撵测( i n d u s t r i a lc o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y , i c t ) 与医 甭c t 的主要差掰在于需臻高麓射线源检测高密度和大尺寸物体，并且要求成 像保持更离酶空阀分辨率渊。美国予主世纪7 0 年代寒起利用研制的透射式i c t 对军工高耩密嚣 孛徽舞损检测。2 0 繁纪鞠年代裙我唇窭焘研制裁翡第一台透 射式y 射线i c t 样祝，清华大学等单位研制成功x 射线微焦点i c t 机。幽予 技术封锁，露肉i c t 技术水平与重矫差距较襄显。因| l 毙开发有盘主知识产权的 阂产高分辨帑i c t 是非常必要的。 3 代数重建算法 1 9 7 0 辈，g o r d o n 。r 等人提离了a 酣算法质，遮代渡得到了迅速发展。毙 较有影响的如1 9 7 2 年g i l b e r t 建立的同时迭代重建技术等。目前，完全投影数 据的图像重建已得到了较好的解决，巍前的研究重点是少投影下的图像重建问 遂稳重建速度的提高。嚣为在大垂工照无损猱溺和撼质勘探等领域，要褥到完 叠的投影数据往往是较为嗣难的。如果能用较少的投影数据提取出令人满意的 稳含瘩惠，那就舞须花费蔓大载价来获褥更多投影数据，圈时也提离藏豫速度。 a r t 迭代重建较f b p 等解析重建另外的优点【霹肖：a r t 投影数据中的嗓声 影嚷没有f b p 裴显。a r t 羹建对可勰入图像先验知识充分遗剥髑被检测物体先 验蔷惠，降低霉檬重建不适定淫著合理剔除噪声。逡对提高重逢餮像静质量鞠 精度都有重臻意义。 找鼗羲建鬟浚改逶与藏瑟醑究 9 一 虽然a r t 算法煮计算量存簇量大，藿建遽凄慢，不韪露纯到硬件中来实现 等缺点。但随着计算机内存麴增大、速度的加抉这些缺点已经逐步降为次要矛 盾【8 1 。a r t 的优点将会更加突出，使它非常有可能成为将来图像重建领域发展 的重点。 。4 截面温度场重建概迷 在我国的能源结构中，煤炭一巍占有举足轻重的地位【9 1 。据预计到2 0 1 0 年 数燃煤炎主的火力发电橇组发电量将蠢总发电量的6 5 。5 。燃煤锅炉是火力发 电机组的重翳组成部分。保证电站内大型燃煤锅炉燃烧工况稳定，是保证电站 安全生产的关键。煤粉锅炉内燃烧过程是非常复杂的热辐射过程。如果燃烧不 稳定，炉内滠度场不均匀，轻剿导致锅炉热效率降低，造成渡费，重财会离臻 爆炉等严重错果。另外随着煤炭资源的匮乏和环境污染加剧，充分提高锅炉燃 烧效率也变的越来越重要。 妒肉火焰截面温度分布是作为判断炉内燃烧状况，包括火焰均匀度、燃烧 充分度等最省效的参考 1 0 - 1 4 。宅站锅炉必须配备凌麓齐全、性缝可靠的炉膛温 度箍视系统。传统翡接触式测量暴磊懿是热毫褒、热电阻等测瀑方法。黠尺寸 庞大置炉成环境恶劣鹃大型燃煤锅炉瓣言，这些测温方法哭缝测量被测点黪熹 湛度，徐值莱些传感器的温度惰性较大，很难实时地反浚整个炉海鲢燃烧状况。 近年亲，嚣萋计冀瓤技拳翡菱震，剩耀工遭毫蒋藕合器斧( c h a r g ec o u p l e d d e v i c e s ，c c d ) 辅以数学图像处理熬冀墼接触式测遗技术缛到了广泛重视并墩褥 了定进展。该技术核心巍辏射传递重建反闯题，遥过e d 获取的火焰图像 雄得测量走黯上熟各处滋度豹累积值，重建逛三维温度场切片【1 4 】。j # 接触式测 温几乎袭着爿抟接触测湿法的所有优点，必将是未来温度测量的发展方向。 l o 嚣熊大学硕士学挝毕业论交 1 。5 本文的主要工作 本文主要针对传统a r t 算法计算速度慢的缺点，通过改进重建过程中占大 部分重建时间的投影系数计算，提出一种改进的快速投影系数的a r t 算法。其 中快速投影系数主要思想是从射线出发，通过计算射线与网格线交点求褥与射 线相交网格编号，并由相邻网格位置关系计算投影系数。利用对称性避免重复 计算，加快计算速度。 在应用方面，本文在分析燃煤锅炉内辐射传递模型的基础上，结合改进 a r t 算法、辐射投影线对称结构和改进的投影序列迭代顺序，实现快速截面温 度场重建。 通过计算机模拟、l d a t l a b 仿真试验对算法有效性进行了验证。 1 6 本文的结构安排 本文各章内容安排如下；第一章绪论介绍本文主要内容和工作。第三章介 绍c t 的理论知识和一些主要的c t 重建算法。第三章讨论影响a r t 算法重建 速度的主要因素并给出改进a r t 算法的具体过程，附仿真试验与分析。第四章 讨论燃煤锅炉内辐射传递模型。第五章利用改进的a r t 算法结合辐射投影线对 称结构和改进的投影序列迭代顺序重建截面温度场，附仿真试验与分析。第六 章对全文总结并提出对文章尚可改进之处，对图像重建的发展方向和a r t 算法 的应用做出展望。 戴数莺枣舞法改避与应震爵究 第= 耄0 理论与重建算法 2 。 e t 的理论基础 图像作为描述物体特性的一种手段，通常是由可见光被反射或透射后经光 学搜器采集形成酶。x 射线被发现蜃，其对嚣穗物体都有不闻程度穿透麓力煞 特性实现了对无法直接探测物体的间接测量。其蒸本思想如下玎1 ： 取一个理想的x 射线源，可发掰摄缨静x 射线。测量得x 射线源发感射 线强度为厶。在射线源对瑟设置一个检测器，设穿透榜体蜃裰吸收或散射等襄 减到达检测器的x 射线强度为，如图2 。1 。假设物体是均匀的，物体对于x 射线麴线性衰减系数为，射线穿过物体静距离为x ，壶b e e r 定理瓣，有 i 黑z 。x e x p ( - 燃)( 2 1 ) _ j 盘 渡 雕篇l n ( 厶厂，( 2 + 2 ) k 一一 x 图2 1 射线穿避单个均匀物体衰减示意图 燕罨 黾 豳2 。2 射线穿过物体衰减岽意燃 疆j 艺大学嫒士攀德毕鼗谂文 警物体燕分段均匀，备段线性囊减系数分鬟必熊，魏，鹃，穗寝透射长度 楚蕞，x 2 ，墨，巍麴2 2 ，剩有下式 越鼍+ f 1 2 x 2 + a 3 x 3 专拳i n ( i o z ) 对非均匀物质，衰减系数被定义为坐标x 和y 的函数( x ，y ) ，衰减后得 到的强度；沿吸收路径进行积分，如图2 。3 ，其中是射线穿过介质煦路径。 1 = 1 0 e x p ( 一至瓯罗逑) 芝一 墨气 量名j蛙f _ ，矗 ” 0 ，3 ) 图2 3 射线投影示意图 u ( x ，弗是被测物体某断面的线性衰减分布函数，与物质的种类及x 射线的 能谱有关，密度大的物质对射线的吸收率大。 上的方程为 可将( 2 3 ) 记为 x e o s 0 + y s i n 0 = p g ( p ，彩鬻羔( 毒，夕冲 q 。碡) 其中g 热国为投影数据。l 霹以唯一确定p 、拶，改变p ，穆就可鞋褥裂各 个霞置不露方两上熬g 积奶的建，舔姥过程秀菱褥慧。c t 褥题是避知不嚣穷 向的投影值g ( p ，挣) 求解u ( x ，y ) ，为上述问题的反问题。 代鼗重建算法改进与毫耀磺究 2 。2r a d o n 变换与r a d o n 逆变换 2 2 1r a d o n 变换 由( 2 4 ) 式，投影数据g ( p ，国是射线关予被测物体线性衰减系数u ( x ，力的 积分，图像重建实质就是出已知投影数据来 砉算被测物体密度。其数学基础是 r a d o n 交换和逆变换f 羽，r a d o n 在1 9 1 7 年给出了证明。 翔圈2 。4 ，直线三方程失： p = x c o s + y c o s # 其中p 药鲞线五与原点躐离，妒为篮线韵法线与x 轴正半轴的夹麓，则：p ，痧) 譬 o x y 平面上的直线三一一对应。在式( 2 。4 ) 中令 则有 u ( x ，y ) = f ( x ，j ，) ( 2 5 ) g ( 苁彩= f ( p ，) ；乇p ，辨等l 红，灏 厶 ? i 一k ： 、 d x 7 v 簟 ( 2 。6 ) ( 2 7 ) 薰2 4r a d o n 交换示意耀 称( 2 7 ) 式中夕( p ，痧) 为f ( x ，y ) 的r a d o n 变换。它相当于一个算子，记为r 。 因为r f ，妒) 是，沿的积分，可鞋认为，扔空阉中的一个点相应与善，必空闻 中条奁线毒，该宣线离原点距离麓p ，帮芷x 祧夹焦为。 1 4 嚣| ：大学硬士擎链睾篷论文 夕( 热妨依赖子直线l = l ( p ，) ，如图2 。4 ，若记零= ( c o s 多，s i n ) ， 上= ( - s i n 4 ，c o s 4 ) ，则l 可表示为 x 勘= p 其中x = ( x ，y ) ，且爿可进表示为 则 x 訾p o + t o 上 夕( 热奶= 少( x ，y ) a s x 啦；p = i f ( p o + t o 上) a t = i f ( p c o s 4 - t s i n ，t c o s 4 + p s i n 4 ) a t ( 2 。8 ) ( 2 。9 ) ( 2 。1 0 ) ( 2 1 1 ) 利愚广义鲻数性质，( 2 。1 0 ) 式可以写为 火p ，辨= p 并矽( x 零一箩) 蕊 ( 2 。1 2 ) r 2 2 。2 。2r a d o n 变换的性质 以下是r a d o n 变换的一些生要性质， i ) 线性性设a , b 为常数，则 r ( a - f + b g ) = 疗- r f + 办霞g 2 ) 齐次性设a 0 ，则 夕( 印，a o ) 茹| 露| 一1 夕( 夕，零) 3 ) 线性变换a 是2 阶非奇异方阵则 r f ( a x ) arf “( p ，翟一1 ) r ) 国 上式中，z 表示转置。 4 ) 平移c z ( q ，c 2 ) 是常向量，刘 代数_ 霪交鼙滚滚逡与麓用骚突 冀 灭菇一o = f ( p - c + 辔，嘞 5 ) 导数的变换 震导夕( 髫) 竺，兰夕热辔 c 警；印 式中，蛰= ( 碜l ，辔2 ) ，x 芸瓴，x 2 ) 。 6 ) 变换的导数 7 ) 卷积性质 要于渤嘞絮一昙霆撬。苁菇) ； 盍，渤嘞絮一参霆撬苁鄹； r f 臻g - - i f ( q ，嘞- 毒( p - q , o ) d q 2 。2 + 3r a d o n 逆变换 r a d o n 逆变换麓摹来说就是式 e 0 时f ( x ) 蕊o ，其中e 为常壁， 或者霹记骛 旭，鉴嘉芤磬卜 经渤 苁爿 黧发“( 夕c ，彤】) ) ( 2 1 4 ) 霆q 表示r a d o n 逆变换算予。 r a d o n 求遂公式熬意义魏下，若记 p 的偏导数艿p ：u ( p ，) 一“尹( p ，辔) h i l b e 蠖变换：掰国，零) 一三 嗡= 三拳籍国，国) 嚣纛q p礅 1 6 嚣j 乏大学硬学最毕业论文 反投影变换霹：豁( 戈- 辔，零一去( 菇蛾参) 翻 则 夕( p ，中) 生一( a p 夕( 易彤) ) ( np ，妒的函数) 与昙骅xp ( 勰辔和的 万! 一 1 一 一一 山f ( x 、 以上给蕊的r a d o n 逆变换公式的意义也可视为公式( 2 。1 3 ) 进季亍墅像重建 的算法流程。 实际操作中，由予微分算子8 尹对信号的蔫频噪声有放大侔雳，虽h i l b e r t 算子又具有奇异焘，用r a d o n 逆变换进 亍图像重建实现趋来缀鼹难。在实际运 算中常采焉的是滤波反投影算法和代数重建算法。 2 。3 滤波反投影算法 滤波反投影算法是霹蓠c t 图像重建领域使用蹴较广泛静种算法，它是 塞中心切片定理和r a d o n 变换及逆交换褥劐的。 孛心切片定理 某图像，( 墨y ) 在裰焦为爹时投影魏瓴) 酶一维f o u r i e r 变换给毒厂缸，y ) 酶二 维f o u r i e r 变换f ( w 1 ，嘞) = 户( p ，) 的一个切片。切片与轴相交成角，且通过 坐标原点，即 e 魄( ) 】= f ( p ，) ( 2 1 5 ) 式中曩表示一维f o u r i e r 变换。 有了中心切片定理襄r a d o n 变换及逆变换的结论，裁哥得滤渡爱投影算法。 代数重建算法改遴与应溺硬究 因其是一种不食微分算予的算法，避免了对噪声的放大。 设待建图像为a ( x ，y ) ，它的二维f o u r i e r 变换为么( 璩，) = 量( 弘) 。根据中 心切片定理，量( p ，) 可通过掰( x ，y ) 在不同视熊妒下的投影岛( 一) 的一维f o u r i e r 变换求得，酃 待建图像 ( w l ，w 2 ) = a ( p ，妒) 2 互f 鳓( _ ) 】2 0 ( p ) = 乞( p ，) a ( r ，臼) = a ( x ，j ，) = 最。m ( ，w 2 ) 】 = p f lp p ( p ，) # 堙石州弘妒印 ( 2 1 6 ) 0 由于t = r c o s ( o - ) ，有 j lp p ( p ，矽2 掣酬毋_ 和= f ipi p ( p ，) 8 珐鹕k ：，c o s ( 如妒) 审 = 办( ) 木p ( t ，) l ：，喇护一) = g ( 0 ，彩k ：，咧掌一辩 = g ( r c o s ( o 一矿) ，彩 ( 2 1 7 ) 式中，g ( 一，) = p ( 一，q k ) * h ( x d ，h ( x ，) = 互。【( p ) 】，p ( _ ，) = 厩。【尸( p ，矽) 】 将( 2 1 7 ) 式代入式( 2 1 6 ) ，得 鑫( 尹，移) = f g r o o s ( 毋一) ，】d ( 2 1 8 ) 0 其意义是，经过给定点的所有滤波后的投影射线在给定范围内累加反投影重建 得出点的像素值，这是滤波反投影算法的数学原理。 在实际计算时，选择适当的滤波函数，常见的有r l 滤波、s l 滤波，进 行卷积运算和反投影f 弼。根据具体的数据采集对( 2 1 7 ) 式进行离散化运算。 l 采 嚣憩大学硬攀麓肇选论文 窆。4a r t 代数重建算法 窆。4 。 a r t 算法概述 a r t 摄迭代求解的典型算法，是根据求解线性方程组酶愚想，戳解决离散 纯数字圈像重建为露盼赡。其实现方法可漩分为以下步骤： 1 ) 用网格离散化重建图像，并给整幅图像赋初值； 2 ) 建立重建模型，并樱据此模型计算出初值情况下的銎像在备受度下酶投影； 3 ) 将计算出的投影值与真实投影值进行比较，并采用某种方法修正图像的离散 网格灰度值； 毒) 检验是否满足收敛标准，否则耀现有耋建嚣像计算下一次投影迭代。 2 。霹2a r t 的数学模型 栈数燕建算法和滤波殷投影算法艉区别在于【3 】：代数重建算法一开始就把 连续的图像f ( x ，y ) 离散化。a r t 算法首先将以胛个的正方形网格覆盖在未知图 像f ( r ，秽 上，网播宽为万，每一个网格孛鲢灰度值是均一鲍，如图2 5 。图像表 示必维数组菇嚣融，毪，勘】n = n x r ，秘是歹号瓣播酶灰度毽。 p = 魄，2 ，鳓】为蠢材条射线投影褥捌麴投影数嚣，热称为，号射线的射线 和。 黟2 5a r t 葵法孛靛潮格与射线 黉拦 岛揪秀掰帮维投影系数矩阵，其学麓投影系数，表示第歹个网格 代数重建舞法改进与藏瘸磁究 1 9 对第i 条射线投影熬贡献。 通常射线投影的对鼷格的贡献可按以下三种方式求解： 1 ) 把射线看成宽为r ，间隔为0 的平行射柬。表示第歹个网格对第f 条射线 褶交酶瑟积。 2 ) 把射线看成宽为f ，闻隔为0 的平行射寨。厶表示第，个网格对第i 条射线 是否福交，相交= l ，不相交蠢= 0 。 f 1 射线i 与嘲格i 相交 2 o 射线i 与鼹橇i 呆相交 3 ) 把射线看成宽为0 ，间隔为r 的平行射束。投影系数麓定义力射线与霹格歹 交线长度。 本文选用方法3 ，芬定义力射线f 与网格，交线长度。 a r t 可表示为一个线性方程组的求解： f o x j = 尹f i = 1 ，, - - - , m ( 2 1 9 ) ；l 用解析方法直接求解( 2 1 9 ) 相当困难，主要原因有以下几点： 量) 方程组鲍未知数和方程个数在般情况下不相等，导致方程组一般为欠定 成超定； 2 ) 投影系数矩阵建一般是超大型稀疏矩阵，传统的解析求解方法在重建中难 以适雳； 3 ) 解析求解会导致噪声等干扰因素严重影晌方程的稳定性。 在实际计算中般采焉k a c z m a r z 捡荛迭代法求勰。 2 。4 3a r t 的实现过程 将 2 。1 9 ) 中的每个方程看作一个超平西，若方程组存在瞧解，翼| i 所有 超平面存在睢一麴共同的交点，即重建结果。 2 0 瑟j 敦大学硕士学技毕业论文 以两个像素的重建图像为例，设灰度僮失鼍、x ：，满足以下方程缝 扣蕞+ r | 2 x 22 鼹( 2 2 0 ) l r 2 1 x l + 嘞恐2 p 2 如图2 6 ，( 2 。2 0 ) 相当于二维平厦上的嚣条直线，求解过程就是求察这两条盏 线的交点。求解方程组设定的初始值即图中的点s 。从s 堪发淘第一个方程表 示的直线作垂线，再由此垂足出发向另一条直线作垂线，如此重复。壹到相邻 两个垂足距离小于规定误差，则认为解收敛至这一点，方程组有此唯一解。 对n 个未知数的情况，类似的，设置一个襁僮羔( o = 鎏 ，磁，+ ，h o 】，然 后进行如下迭代： + 1 ) “寄 隰2 。 在实际计算时，( 2 2 1 ) 式中会在右端第二项上乘以一个松弛爨子磊，以加速收 敛，得 矗寄魄 豫2 2 ) 对上式进行一次迭代表示对一条射线进行了投影反计算操作，对m 条射线 迭代完成后着没有收敛可再次开始迭代，直到满足所定的收敛条件。 2 4 4a r t 的收敛情况 根据线性方程组理论， 弋数霪建算法改遂与纛爱磅究 1 ) 翔果方程缀( 2 。1 9 ) 存在唯解，迭代过程最终将收敛于此唯一解向量： 2 ) 如果方程数大予未知数个数，( 2 1 9 ) 属予超定方程组，不存在唯解，且 迭代过程会在各个超平面包含的区域内来回摆动； 3 ) 若方程数小于未知数个数，( 2 。1 9 ) 为不定方程组，融无穷多缓解，迭代最 终得到的是最小范数解。 通常在进行a r t 运算时很少出现唯一解的情况，一般采用有限的迭代次 数。以种收敛准则判定迭代何时结束。常雳的收敛标准是： 班莩( 切z 当痒叫o 的迭代运算。 目前有从不同角度提出的提高a r t 算法重建速度的方法，包括改进投影序列迭 代顺序、松魏因子的选择、提高求解投影系数矩阵的速度和并行计算等【钺。 无论是改进投影序列迭代顺序还是选择适当的松弛因子，都是力求加速 ( 2 。2 2 ) 式的迭代求解速度。相对而言，a r t 算法迭代过程中投影系数的计算 消耗大部分重建时问，是真正制约英恢速重建的瓶颈。下面具体分析这些提高 a r t 重建速度的方法。 3 。1 。1 投影序列迭代顺序 方程组( 2 1 9 ) 中一个方程表示一个辐射投影的形成过程。由于相邻角度 下投影射线经过嬲格编号和各交线长度很接近，使得相应方程闯的褶关性较强， 引起计算误差的同时可能会使解偏向菜角度下的信息导致收敛速度降低。其原 因用( 2 2 2 ) 式的几何意义可解释隽：方程组( 2 1 9 ) 中一个方程表示一个超 平面，方程组翡睦一解秀所畜超平面的交点。( 2 。2 2 ) 式孛豹初氆在迭代过程孛 会由于菜些超平面间夹角很小出溉反复校正的情况，导致收敛速度降低。以二 维情况戈倒，如图3 1 ，显然投影射线阌夹焦越大校正次数越少。 在实际计算孛，投影序列迭代顺序要考虑如何安排超平面酶次痔，使褥在投 影迭代过程中彼此楣邻的超平面尽可能的正交，从焉加快收敛速度。即尽可麓 代数重建箨法改进与应髑雾 究 使超平面的夹角a 满足： w 。 c o s a = - 二- 一= 0 w1 1w ji ( 3 。1 ) 式中和为第f 个和第个方程所在超平面的法向量。文献【l5 】给出投影序列 排序所遵循的原则：投影角度应均匀分布；投影角度不能在某些角度出现聚集。 v 呵 | - 图3 1 二维情况下两个超平面迭代示意图 f 畏多学者提出了不同的投影数据访问方式，如g u a n 和g o r d o n 提出的m l s 方式：h e r m a n 和m e y e r 提出的p n d 方式；v a nd i j k e 提出的r a s 方式；另外 还有s a s 方式和f a s 方式等f 引。这些投影数据访问方式并没有给出严密的理论 证明，其有效性证明主要是通过实验的办法来验证的。 3 。1 。2 松弛因子的选择 如上章所述，a r t 算法最初的形式为式( 2 。2 1 ) ，直接计算时不仅重建速 度慢，重建图像往往有盐椒噪声。因此在实际图像重建中采用带有松弛因子的 阻尼a r t 算法，即( 2 2 2 ) 式。式中z 的大小通常为0 丑 2 。选择适当的松 弛因子不但可以提高重建速度，两且可以提高重建质量。实验表明，选用 0 0 5 0 2 5 的力值往往能获得较好的重建结果【4 】。特殊场合，如噪声较大可选择 较小的五；投影数据较多时可选择较大的五值。 3 2 改进的投影系数计算 2 4 鼹j e 大学硕士学位毕她论文 重建区域如图2 。s ，以左下角为坐标原点，水平和竖直方向为坐标轴建立二 维鲞角坐标系。射线方程雳斜截式表示趋y 徽k x + b ，其中斜率奄徽t a n o ，0 为 射线寨鲶投影螽，b 楚截距。必方嫂讨论，考虑射线斜攀0 计算射线与网格线交点坐标； 2 ) 计算与射线相交网楱熊编号； 3 ) 根据楣邻嬲格缆置关系分情况求解射线与网格酶交线长度作巍投影系数。 3 。2 。1 射线与鼹格线交点坐标的求解与存储 先计算一射线与网燎线交点坐标，根据射线截距b 取值不同分3 种情况； 1 ) 藩b ，j 。 u ”7 。 g 7 d 一，! 口 矗 l ： ，一一 ， ， k 圈3 2 射线与网格相交关系示意图 将射线与垂直网格线交点横坐标，与水平网格线交点横坐标，按从d , n 大 的顺序合并排列，以数组形式保存，设为数组x 。同样将射线与垂直、水平网 格线交点纵坐标按从d , n 大合并为数组y 。显然射线与网格线最多有2 n + 1 个交 点，即数组x 、y 只需开辟2 鼢+ 1 的空间。 3 2 2 与射线相交网格编号的求解与存储 1 圭i ( 3 2 ) ( 3 7 ) 式，与射线相交网格编号的表达式为： 歹= 【x 】+ 嚣【y 】 ( 3 。8 ) 将，从d , n 大排列，若存在相同编号只保留其中一个。编号歹以数组形式保存。 显然射线至多和2 疗个网格相交。只需开辟一2 拧空间数组，设为数组，。 3 2 。3 射线与网格交线长度的求解与存储 己知射线与网格相交编号数组，根据网格编号不同分3 种情况： 1 ) 相邻编号差为1 ，酃4 f + l 】一j e i 】= i 。此时如图3 2 中射线段a b a ，网格左 右相邻，编号较小网格内交线长度表达式为 z i 】_ 6 s e e 0 ( 3 9 ) 其中上是保存射线与网格交线长度的数组，占2 门的空间。 2 ) 相邻编号差为刀，即j i + 1 卜j 【f 】= n 。如图3 2 中b a c 段，网格上下相邻， 遴毡大学硕士攀位毕娥论文 编号较小网格内交线长度表达式为 l i 】鲞6 ( x i + 1 - x i ) s e c 0 编号较大网格蠹交线长度表达式戈 l i 专l 】= 8 ( x i + 2 卜x i + 1 ) s e c o ( 3 。1 0 ) 3 1 1 ) 3 ) 相邻编号差为n + l ，即疆牛l 卜一j i j 嚣n + l 。如图3 2 中c d e 段，网格斜角相 邻，网格内交线长度表达式为 l i 】然l i + 1 】= 6 s e c o ( 3 1 2 ) 另外，数组三的第一个元素l 1 】= 8 ( x 2 1 - x 1 ) s e e o 。当相邻编号差为负数 时，帮j i + 1 - j i 】 0 ，说明嘲是与射线糍交瓣格的最瑶一个，交线长度隽 三【司= a ( x i + l 卜x i ) s e e o 。 综上，将数组，与数组上元素一一对应，得与射线f 经过网格编号相应的交 线长度，即射线f 的投影系数吩。 3 2 4 算法实现中的优化与技巧 1 ) 平行射线柬绕正方形区域中心旋转，且射线经过中心点，如图2 5 。则平 行射线束关于中心点对称，只需计算经过中心点射线一侧的射线束的投影系 数，即可由对称性推出相同投影角矽下另一侧射线的投影系数，进而推出投 影角0 + 9 0 。下射线的投影系数。这样只需求解斜率0 k 1 的情况，即可求 得所需投影系数矩阵露。 2 ) 当斜率0 k 1 时，射线与垂直网格线交点显然多子与水平网格线的交点。 因此当0 k l 时，用交点横坐标计算交线长度效率更高，如式( 3 1 0 ) 。而 当射线垂煎、水平时可直接得到名的值。 3 ) 计算间一投影角度下的射线束时，6 s e e o 的值只需计算次便可反复利用， 避免了大量重复计算。 代数重建算法改进与臆用研究 3 3 仿真实验与分析 根据以上结论，在c e l e r o n ( r ) c p u1 6 0g h z ，5 1 2 m ，w i n d o w sx ps p 2 平 台，用m a t l a b7 0r 1 4 实现进行仿真数值实验，分别选择以下重建对象。 1 ) 笑脸图像； 主要由若干的线条圆组成。 2 ) s h e p p l o g a n 头模型【1 7 】 图3 4s