（计算机应用技术专业论文）chirplet变换应用与推广.pdf

安徽大学碘t 学位论文 摘监 摘要 沉积旋州信号的时频变化关系反映了地层的变化趋势，由厚变薄或由薄变 厚。这对于寻找复杂的岩性、薄互层型等隐蔽陛油气藏具有现实的意义。为了 获取记录中的重要信息和信息的特征，传统上一直沿用傅立叶变换方法，这一 方法只是说明了信号中含有多少频率分量，不能反映频率随时间的变化情况。 近年柬，随着信息技术的发展，各种考察信号的频率和时间的变化关系的信号 处理技术应运而生，并得到了蓬勃发展。这些技术主要包括：短时傅立叶变换 ( s t f r ) ，小波变换( w a v e l e t t r a n s f o r m ) 、w i g n e r - v i l l e 分布本文对这 三种信号处理方法在瞬时频率计算方面的应用做了深入的探讨，研究其特点并 比较了三者在实际应用中的优缺点，并在此基础上对近年来出现的c h i r p l e t 变 换做了进一形的研究，并通过实验说明其在旋回信号分析方面的优势。 本文t 崾i f 1 简述如下： 。、 系统州述短时傅立叶变换( s t f t ) ，小波变换( w a v e l e t t r a n s f o r m ) 、w i g n e r - v i l l e 分布的理论体系包括基本理论及其建立的基 础，具有的基本特性等。通过对信号的时频分析，初步得出三者在表现内 容上的差别，同时分析其各自优点与不足。 二、 对时频分析从理论上做了详细的阐述，为后续工作打下基础。对信号瞬 时频率估计的常用的方法做了分析比较。 三、通过算例分析阐明各种变换应用范围及相互之间联系。 四、深入研究了c h i r p l e t 变换的基本内容及其在实际的旋回信号分析中的 应用。 五、 在线性调频c h i r p l e t 变换和二次调频c h i r p l e t 变换的基础上，我们做了 一定程度上的推广。具体来说就是修改了核函数，用最高次幂次为2 5 次的 多项式对信号的瞬时频率做近似，实验表明这种修改对提高相当一部分信 号的时频分辨率是有效果的 关键词：时频分析，瞬时频率，短时傅立叶变换，小波变换，c h i r p l e t 变换 安徽大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h e v a r y i n gt i m e f r e q u e n c yr e l a t i o no fs e d i m e n t a r yc y c l es i g n a l sr e f l e c t st h e t e n d e n c yf o rt h es u r f a c et oc h a n g ef r o mt h i c kt ot h i no rv i c ev e r s e i th a st h e p r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ei ns e a r c hf o rt h es u b t l er e s e r v o i r s ，s u c ha sc o m p l i c a t e d l i t h o l o g y , t h i ni n t e r b e d sa n ds oo n i no r d e rt oo b t a i nt h ei m p o r t a n ti n f o r m a t i o n a sw e l la si t sf e a t u r e si nt h er e c o r d s ，p e o p l et r a d i t i o n a l l yt e n dt oa d o p tf o u r i e r i r a n s f o r m ，w h i c ho n l yi n d i c a t e st h ea m o u n to ff r e q u e n c yi nt h es i g n a li n s t e a d o fr e f l e c t i n gt h et i m e - b a s e dv a r i a t i o n so ft h ef r e q u e n c y r e c e n t l y , w i t ht h e d e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y , v a r i o u ss i g n a lp r o c e s s i n gt e c h n o l o g i e s o fc h e c k i n gt h ev a r y i n gt i m e - f r e q u e n c yr e l a t i o ne m e r g e sa n df l o u r i s h e s t h e s e t e c h n o l o g i e sm a i n l yi n c l u d e ：s h o r t - t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m s ( s t f t ) ，w a v e l e t t r a n s f o r m s ( w a v e l e tt g a n s v o g m ) ，w i g n e r - v i l l ed i s t r i b u t i o n t h et h e s i s f u r t h e rp r o b e st h ea p p l i c a t i o no ft h et h r e em e t h o d so fs i g n a lp r o c e s s i n gt o t h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y c o m p u t a t i o n ，i d e n t i f i e s t h e i rf e a t u r e sa n d c o m p a r e st h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h e i rr e s p e c t i v ea p p l i c a t i o n s f u r t h e rs t u d y b a s e do nt h ea b o v ei s s u e s 。h a sb e e nc a r r i e do nc o n c e r n i n gt h e n e w l y - a p p e a r e dc h i r p l e tt r a n s f o r m i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h ee x p e r i m e n t a t t a c h e dt oe x p l a i nt h ea d v a n t a g e si na n a l y z i n gc y c l es i g n a l s t h em a i ne o n t r i b u t i o n so f t h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： ( 一) t h et h e o r e t i cs y s t e mo fs t g r , w a v e l e tt r a n s f o r m s ，a n dw i g n e r - v i l l ea r e t h o r o u g h l yd i s c u s s e d ，i n c l u d i n gt h eb a s i ct h e o r y , t h eb a s i sa n d t h ec o m m o n f e a t u r e s t h r o u g ht h et i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s o ft h e s i g n a l s ，w ec a n p r i m a r i l y i n f e rt h ed i v e r g e n c ei n p r e s e n t i n gc o n t e n t a sw e l la st h e i r r e s p e c t i v ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s ( 二) t h ed e t a i l e da n a l y s i so ft h et i m e f r e q u e n c yr e l a t i o nf r o mt h et h e o r e t i c a l p e r s p e c t i v ei sp r o v i d e d ，w h i c hl a y st h ef o u n d a t i o nf o r t h ef u r t h e rs t u d y , a n d t h ec o m m o nm e t h o d so f 鲻t i m a t i n gt h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c yo ft h e s i g n a l sa r ec o m p a r e d 嬲w e l l 窒堡查兰堡主兰堡垒奎 型：! 塑生 ( 三) t h ea p p l i c a t i o no ft h ev a r i o u st r a n s f o r m sa n dt h ec o n n e c t i o nb e t w e e n t h e ma r es t a t e da n da n a l y z e dw i t hs o i n et y p i c a le x a m p l e s ( 四) t h es t u d yf u r t h e rr e v e a l st h ek e yc o n c e p to fc h i r p l e c tt r a n s f o r ma n di t s a p p l i c a t i o ni nt h er e a lc y c l es i g n a l sa n a l y s i s ( 五) t h ek e r n e lf u n c t i o ni s m o d i f i e do nt h eb a s i so fl i n e a rf mc h i r p l e t t r a n s f o r ma n dq u a d r a t i cf mc h i r p l e tt r a n s f o r mt om a k et h es i g n a l s i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c ya p p r o x i m a t et ot h ep o l y n o m i a lt h a tt h eh i g h e s t p o w e r i s2 5 t h ee x p e r i m e n ts h o w st h a tt h em o d i f i c a t i o n ，t os o m ee x t e n t ， c a nh e l pe n h a n c et h et i m e - f r e q u e n c yd i s t i n g u i s h i n gp o w e ro fq u i t e 盈 n u m b e ro fs i g n a l s k e y w o r d s ：t i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y s h o r tt i m e f o u r i e rt r a n s f o r mw a v e l e tt r a n s f o r m c h i r p l e tt r a n s f o r m i i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下遗行的研究工作及取得的 研究成果。据我所参，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获碗催耿孚或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中俸了胡确涟说明并表示谢意。 学位论文作槲：野刽绎签字慨加年夕月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完金了怒妻髹乏太莩有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向固家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权量镁k 砖葑以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：聊钧锋锄签名：奠盘l 一 签字日期：2 口p 年乡月7 匿 签字日期： - e 。f 年r 月7 曰 学位论文作者毕、妾向： 工作单位 通讯地垃 电话 鲻编 宜敲大学颂士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 随着油气勘探与开发程度的不断深入，易于寻找的构造型油气藏日益减少， 油气勘探已趋于更为复杂的岩性、薄互层型等隐蔽性油气藏方向。在我国的陆 相地层中，岩性油气藏的最显著特征是薄互层结构。作为薄互层主要研究之一 的沉积旋回性分析是对薄互层的整体进行研究，主要确定薄互层的变化趋势， 由厚变薄或由薄变厚，薄层的定位等。 对于沉积旋回性分析，目前主要的方法是在时频域中进行根据在时频域 所得待分析地层信号的频率与时间的变化来确定薄层厚度的变化走势：频率随 时问的逐渐增加与减小代表地层厚度的变薄和变厚。 在传统的信号处理中，人们分析和处理信号的最常用也是最直接的方法是 傅立叶变换傅立叶变换及其逆变换建立了信号时域与频域之间变换的桥梁 是信号时域与频域分析的基础，但以傅立叶变换为基础的经典分析方法，只能 得到信号时域或频域信息这对于平稳信号分析来说，是足够的，但是对于非 平稳信号的沉积旋回信号来讲，由于其频谱是时间的函数，单纯得到其时域或 频域信息是不够的，还必须了解信号的频谱是如何随时间而变化，信号的能量 在时间一频率平面上是如何分布的。以傅立叶变换为基础的经典分析方法对此 已经无能为力了，分析非平稳信号需要研究和发展新的理论和方法由于非平 稳信号不仅蕴藏着时域和频域信息，还蕴藏着信号频谱随时同变化规律的信息， 因此研究时频分析方法在工程上有十分重要的意义。 时频分析作为一种新兴的信号处理方法，近年来受到越来越广泛的重视t 4 | e 时频分析的基本思想是设计时间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不同 时间和频率的能量密度或强度时间和频率的这种联合函数简称为时频分布 利用这种时频分布来分析沉积旋回信号，能够在每一时刻指示出信号在瞬时频 率附近的能量聚集情况，清楚地刻画频率随时间的变化情况 r 立擞大学硕士学位论史 c h i r p l c 变换应用与推广 1 2 课题当前研究概况 时频分布主要分为两类。第一类是线性时频表示，这种时频表示由傅氏谱 转化而来【2 “其典型形式为短时傅立叶变换及小波分析。第二类是二次型时频 表示，这是一类应用广泛的时频分布，这种时频分布的二次型具有独特的优点， 因为信号的二次型就是信号能量的表示，故这种能量化的时频表示与能量的相 关概念有密切联系。 2 0 世纪4 0 年代，k o e n i n g 等人和p o t t e r 等人提出了声谱图( ( s p e c t r o g r a m ) 方法，定义为信号的短时傅立叶变换( ( s t e t ) 的模平方，也称为s n 呵方法或 s 耵叮谱图。其基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数的一个很短的时间间 隔内是平稳的，然后沿时间轴移动窗函数，计算出各个不同时刻的功率谱。 1 9 3 2 年物理学家e p w i g n e r 在量子力学中提出了著名的w i g n e r 分布，1 9 4 7 年v i l l e 将其引入到信号处理领域中，从而发展成为后来最具有代表性的一种时 频表示技术w i g n e r - v i l l e 分布( w v d ) 。w v d 是一种二次型时频表示方法它满 足大部分所希翅的数学性质，如实值性，能量守恒，时频边缘特性，时频移位 等特性，是描述信号时频分布的一个有力工具虽然w v d 的时频聚集度较高， 但对于多分量信号会产生所谓“交叉项干扰”，从而限制了它的应用 小波变换最早是由法国地球物理学家m o d e t 于8 0 年代提出的。它是在时 间和尺度平面上来描述的，是一种多分辨率的分析方法，从信号频率的角度来 看，低的频率( 大尺度) 对应信号的整体信息，而高频率分量则对应于信号细节 信息，被誉为分析信号的显微镜。最大的优点是在时域和频域同时具有很好的 局部化性质对信号的频率成分在时域采样的疏密自动调节，可观察信号的任意 细节并加以分析。同时小波变换方法又是一种线性变换，对于多信号而言不会 产生交叉项干扰。但其主要缺点是计算量太大，要在二维( 尺度和时间) 上进行 搜索计算，会需要很长时间，不便进行实时计算。 沉积旋回信号的时频域分析方法经历了短时傅立叶变换，小波变换及2 0 0 4 年西安交通大学的高静怀教授提出的三参数小波变化【1 9 】这些方法的提出都是 为了寻找一种合适的时频分析方法，使得待分析信号经过此种变换得到的时频 域结果能显著刻画旋回信号频率与时问的交化关系，以准确判断地层的厚度走 向。 2 安徽大学硕士学位论文第一章绪论 我们已经知道，短时傅立叶变换( s n 呵) 在窗函数选定的情况下，由于矩 形时频原子的固定不变性，采用此种变换得到的信号的时频域存在分辨率很低 的问题；连续小波变换( c w t ) 则存在高频部分频率分辨率低下的问题，研究 正旋回信号会出现时频域末端发散的情况：三参数小波是根据地震信号的特点 提出的一种新的小波，由于参数的调节使得小波函数与地震信号的尽可能匹配， 在分析旋回信号时提高了时频域的分辨率，但存在着与c w t 同样的问题。 考虑到沉积旋回信号的频率随时间的变化反映在时频域上为一条上升或下 降的曲线，变化的趋势类似于c h i r p 信号，因此本文尝试用c h i r p l e t 变换来分析 旋回信号p j c h i r p l e t 变换是一种新的时频分析方法，可以看作是短时傅立叶交换和小波 变换的推广相似之处在于三种变换都是将待分析信号与核函数进行褶积，不 同之处在于c h i r p l e t 变换的核函数包含伸缩，时移，调制，时间上的线性调频， 频率上的线性调频五种变换，最后得到核函数的时频分布大致为菱形。通过对 参数的调节可以使的待分析信号在时频域有较好的分辨率。 由于c h i r p l e t 变换在信号的时频分析中存在可调节性，因此本文重点讨论了 c h i r p l e t 变换核函数的选择问题，使其在信号分析中获得很好的时频分辨率，从 而清晰地刻画频率随时间的变化关系。 1 3 本文所做的工作 本文以研究c h i r p l e t 变换为重点，主要研究内容包括以下几个方面： ( 一)时频分析的基本概念包括几种常用的时频分布：短时傅立叶变换、 小波变换、w i g n e r - v i l l e 分布，并通过仿真试验说明它们在时频分析中的应 用 ( 二)瞬时频率的概念及常用的瞬时频率的估计方法包括相位建模法、相 位差分法和时频分析法，并给出相应的数值模拟试验。 ( 三) ( 四) 为了更好地理解c h i r p l e t 变换，我们在介绍傅立叶变换和小波变换的基 础上详细介绍了c h i r p l e t 变换 在线性调频c h i r p l e t 变换和二次调频c h i r p l e t 变换的基础上，我们对 c h i r p l e t 变换的核函数做了一定程度上的推广，也就是用最高次幂次为1 5 次的多项式对信号的瞬时频率做近似，实验表明这种修改对提高相当一部 分信号的时频分辨率是有效果的。 安徽大学硕士学位论文第= 章傅立叶变换 2 1 引言 第二章傅立叶变换 1 8 2 2 年，f o u r i e r 正式发表了热的解析理论( t h ea n a l y t i ct h e o r y o f h e a t ) 。这一理论成功的求解了困扰科学家1 5 0 年的牛顿二体问题微分方 程，因此f o u r i e r 的思想和方法是基础科学和应用科学研究开发的系统平台， 从本质上改变了科学家对函数的看法，为机算机等数字技术的实现铺平了道路。 傅立叶分析将待研究的内容从一个空间变换到另一个空间研究的思想和方法是 彻底重大的创新，随着后来量子力学的发现，其理所当然成为描述和求解自然 科学的语言，可以说傅立叶分析是首伟大的科学史诗。 2 2 傅里叶变换的基本内容 数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易，初等数学中利用对数 将较繁难的乘、除法化为较简易的加、减法就是很典型的一个例子。f o u r i e r 变换( f t ) 利用积分将一个函数f ( t ) ( 一 ， t - m ) 变为另一个函数厂 ) 设函数厂( ，) 满足，( ，) 弦 佃，定义其f t 如下： ：f ( t ) i - f ( w ) = l 。f ( t ) e - 。d t 当( ，) 满足适当条件时，具有逆变换( f i r 一) ； ( 2 一1 ) 刀一：，_ ) 卜，( f ) = f i t w ) 口“讲 ( 2 2 ) ( 叫做，( f ) 的傅立叶交换以，) 叫做，【) 的傅立时逆变换。这是傅立叶变 换的积分形式。信号作傅立叶交换需要满足狄里赫利条件： 1 ) 信号，( ，) 需要绝对可积，即 j i 朋粉 佃 ( 2 3 ) 5 2 )在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。 3 )在任意有限区间内，信号有且仅有有限个不连续点，而且这些点都必须 是有限值。只有满足这三个条件，所作的傅立叶变换才是有意义的。 如果在计算机上对信号进行频谱分析，则信号在时域和频域都应该是离散 的。则离散傅立叶变换( d f t ) 如下： n - i 一，! o t o - ! 。，! 三 f ( 七) = ，( h k ”= 厂。雕 = 口1 i( 2 4 ) 胆on - o 式中厂( 功为时域离散信号，n 为采样点时间序号，k 为拟和频率序号。，( 七) 为第k 次谐波频率的傅立叶频谱值，表现为蹩个信号离散域与调和函数的内积 形式在有限序列情况下，d v r 是周期性的序列，周期值是n 。 因此傅立叶变换是用无穷区间上的复正弦基函数和信号的内积描述了信号 中总的频率分布，它将原时域信号的研究转换为频域上的傅立时分析系数的研 究这对于确定性的平稳信号比较有效，特别适合处理长时间内较稳定的信号。 对这种信号通过作傅立叶变换，可以分开观察他们的频域和时域信息，完整的 得到信号所具有的信息。 从傅立叶变换的公式我们可以看出频谱的在任一频点的值由时间函数，( r ) 在整个时域上的贡献决定，反之，某点时域信息也需要整个频域信息来获得。 傅立叶分析的变换是线性变换，具有对称性和伸缩性，但不具有局部化性质， 即我们无法说出频轴上某部分频率代表时间轴上什么信息，所以不能作局部分 析。变换时用的基e 。的傅立叶变换不是紧支的( 所谓紧支即定义域有限范围) ， 所以e “不是严格带限的，这直接使我们处理非平稳信号时，能量往往稀释到 整个频率轴上离散傅立叶变换( d f t ) 和快速傅立叶变换( f v r ) 算法，算法 成熟，能较好的解决工程中遇到的大多数问题1 。 2 3 傅立叶变换存在的问题 以上我们讨论了傅立叶变换的形式及一些特点，下面我们将指出由于傅立 叶变换数学上的一些特点导致其在处理一部分信号方面存在的不足之处 1 )f o u r i e r 变换是一种线性变换，适合处理线性问题，丽对非线性问题 6 安徽大学硕士学位论文 第二章傅立叶变换 感到力不从心。这是因为非线性系统具有高度不可预测性，输入端微小的 变化会对系统的输出端产生重大影响。处理非线性信息时，直接导致傅立 时变换结果是不存在的，即不满足傅立叶变换需要的条件，积分不存在。 而在实际中我们接触到的大多是非线性问题，从而限制了f t 的使用。 2 )f o u r i e r 变换公式( 2 - - 1 ) 处理的是平稳信号，没有反映出随时间变 化的频率，实际上对于一些信号，具有类似于正弦性质的振动，但是幅值 与频率是随时间作变化的，也就是非平稳信号。如果把这些非平稳信号硬 性的理解为周期性的函数的叠加，在数学上是可行的，但这样就很难理解 这样的信号做了傅立叶分析后为什么会有很高或很低的振型存在信号中 3 ) 为了用公式( 2 1 ) 从信号函数f ( t ) 中提取频谱信息， ) ，就要用 从一0 0 到+ a o 的时间量做积分。事实上，我们不能够得到无穷区间上的信 息值，这导致我们必须在时问轴上截断，得到的变换结果是近似的，产生 了所谓的能量泄漏现象。 4 )我们知道信号的频率与它的周期长度成反比，因此，对于高频率的信 息，时问间隔要相对的小，以给出比较好的精度：而对于低频率的信息， 时间间隔要相对的宽，以给出完全的信息。也就是说需要一个灵活可变的 时间一频率窗，使得在研究高频信息的时候时间窗开的小一些，而在研究 低频信息的时候时间窗开的大一些。这就是时一频局部化分析，而f o u r i e r 变换无法做到这一点。 5 )傅立叶分析所用的基e “不是( 1 p 0 0 ，p 2 ) 空间的无条件基， 在r 以外空间，变换系数不能刻画出f ( t ) 所在的空问由于作内积采用的 基p “。存在空问局限性，因此一些函数，例如非平稳非线性函数不存在于 这种空问中，直接导致他们作内积的结果是不能准确代表这一类函数所具 有的特性，即他们的频率是不准确的 6 )f o u r i e r 变换是广义积分，而不是定积分，它们的积分区间为 ( ，+ 叻，当采用数值积分公式来计算f o u r i e r 变换，实际上是用定积分 来计算积分区间为无限的广义积分，这无疑要引起误差的，甚至会引起很 7 大误差。这种积分区间由无限变为有限相当于将信号f ( o 作了截断，这样 作是不可避免的。在离散f o u r i e r 变换及快速f o u r i e r 变换中，f ( t ) 也要 做截断，这是汁算f o u r i e r 变换的共同问题。原因在于计算机的只能计算 有限量，而不是无限量。实际纪录的有限长时间造成频谱的畸变通常叫做 泄漏效应。 8 安徽大学硕士学位论文 第三章小波变换 第三章小波变换弟二早1 、议父挟 3 1 小波变换的基本内容 小波分析是当| j 订数学中个迅速发展的新领域，它同时具有深刻的理论背 景和十分广泛的应用两个明显的特点。与f o u r i e r 变换、短时傅立叶变换相比， 这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，、通过伸缩 和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度分析，解决了f o u r i e r 变换不能解 决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史 上里程碑式的进展“1 。 小波变换在许多领域都己取得了具有科学意义和应用价值的重要成果原 则上能用f o u r i e r 分析的地方均可用小波分析，甚至能获得更好的结果现在 小波与其他技术互相融合，形成了小波神经网络、小波模糊神经网络、小波模 糊聚类神经网络、小波分形等方法，各有特色，是处理非平稳问题的较理想手 段。 本章中我们将对小波变换的相关知识作详细介绍，为后面的研究工作奠定 基础 3 1 1 小波( w a v e l e t ) 变换的定义 在f 。u r i e r 变换厂渤= e f ( t ) e - , x d tq u ，如果将基函数矿的伸缩函数e “用 小波基函数妙( d 的平移和伸缩函数y ( 三兰) 来取代，所得的变换就是连续小波 变换。定义如下； 设x ( t ) 是平方可积函数，y ( 功是被称为基本小波或母小波的函数，则 呢( = 去胁y ( 等) 出= ( 埘，v o f ( f ) ) ( 3 1 ) 称为x ( t ) 的小波变换 逆变换为： 9 安徽大学硕士学位论文c i i i r p m 变换应用与推广 川，= 古蟹c 胛如d r c s 式中，：下l ( 尘三) 是基本小波的位移与尺度伸缩。口是尺度参数，r 是平移 参数不同的a 使小波函数对应着不同的频带，连续小波变换的小波系数是信 号与小波基作内积的结果，反映了信号与小波基的相似程度。理论上，信号中 属于这部分频带的信息将得到保留成为小波变换系数，不属于变换中4 对应频 带的信息将在作内积过程中正交得零，信息得不到显示。1 。 妒o ) 作为基本小波或母小波的函数必须满足： 1 ) c ，( 力为一平方可积函数，即y ( 力l 2c r ) 2 ) 其傅立叶变换( 满足条件：f j ! 二! ! 监d 印 。( 可容许性条件) 五 埘 从小波定义可知，小波一般具有如下特点： 1 )b - - 小波在时域都具有紧支集( 函数定义域有限) 或近似紧支集。 2 ) 波动性一由- t - d , 波满足“可容许性条件”，则必有妒 ) l 。= 0 ，即 直流分量为零。由此可断定小波具有正负交替的波动性。 小波交换的系数幅值平方i 聊：( 口，f m 2 称为小波谱 小波变换分为连续小波变换和离散小波变换。对连续小波变换，通常计算 较烦杂，为建茳仃效算法，可对尺度参数和平移参数离散抽样，从而得到离散 小波变换常见形式如下； y 小( ，) = 22 缈( 2 叫t - k ) ( 3 3 ) 相应的小波变换系数为： l u ，七) = p ( ，) 以( o a t ( 3 4 ) 3 1 2 多分辨分析与g a l l a t 算法 多分辨分析( m u l t i r e s 0 1 u t i o na n a l y s i s ) 是1 9 8 8 年由s g a l l a t 引入的， 他从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨特性，将在此之前所有小波变换 i o 安徽大学硕士学位论文第三章小波变换 理论统一起来，并由此给出了小波的构造方法与小波变换快速算法，即著名的 m a l l a t 算法。多分辨分析的一个最大特点是只对低频空间进行进一步分解，从 而使频率的分辨率交得越来越高。 当尺度口较大时，小破函敛与信号作内积，视野宽而分辨率低；可以作信 号的概貌观察；当尺度口较小时，信号作小波变换，视野窄而分辨率高，可以 作信号细节的观察。但在不同a 值下，分析的品质因数( 指中心频率与带宽的比 值) 却保持不变。不同的口值对应不同的子空间，不同的子空间对应着不同的频 带范围，信号通过作小破变换将其内部不同频带的信息通过小波变换系数表现 出来，此时小波变换系数所具有的特点就是信号对应频带的特点。这种由粗及 精对事物的分析就是多分辨分析“1 空间r ( 月) 中的多分辨分析m r a ( m u f t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 是指 f ( r ) 中满足如下条件的一个递增空间序列：一致单调性；渐进完全性；伸缩 规则性；平移不变性；r i e s e 基的存在性 m r a 明确了空问的结构，将傅立叶频域分成子频带的直和。它是构造小波 的统一框架它的频率空间剖分可以这样理解： 把原始信号占据的总频带( o 万) 定义为空间，经第一级划分后被划分 成两个子空间：低频的k ( 频带。一要) 高频的( 频带要石) 。经第二级分 解后巧又被剖分成低频的巧( 频带o “三) 和高频的( 频带三41 考) 这种子空间剖分过程可以记做： = k o 暇，k = o ，= 巧o ( 符号。表示直和) 这些子空间具有以下特性： 逐级包含：3 k 3 吒- 3 逐级替换：= k e w , = 彤0 o = 并且各带通窀f h j 具有恒定的品质因子，即中心频率除以带宽是常数此带通 宅间直接对应着不同口值作的小波变换结果。 m a l f a t 算法：函数( 信号) 按正交小波展开的分解算法和回复算法统称为 安徽大学硕士学位论文c h i m l n 盘换应用与推广 m a l l a t 算法，它是一种纯数字的快速递推算法啪“。 3 2 小波变换存在的问题 小波变换本质上是种窗口可调的傅立叶变换，其小波窗内的信号必须是 平稳的，因而仍然存在傅立叶变换的局限性。如果窗内的信号是不平稳的，则 其作小波变换，区域上积分会使频带上产生误差，这是小波理论不能摆脱傅立 叶分析的根本所在。 从以上分析我们可以看出对信号做小波变换就实际上就是求信号序列在各 个小波函数上的投影值。即在此函数窗内作它们的内积，求出小波变换系数， 系数越大则说明此函数窗内信号与所选择的小波函数波形越相似窗内可以看 作类似傅立叶变换，对于统计量( 相关函数、功率谱等) 随时间变化的非平稳信 号来说，非局部的分析必然导致不准确结果出现，这是小波分析不可回避的问 题 另外，在小波变换中，小波基一旦选定，在整个信号分析过程中就只能使 用这一个小波基，那么这种基的性质就完全决定分析的结果，而它的选取在很 大程度上是凭借经验性的。 在实际的信号处理中，通常只进行正向小波变换，使小波变换存在着三个 局限性： 1 )小波变换的滤波器特性与理想带通滤波器的特性相差较远，所以各频 带间可能存在严重的频率混叠现象； 2 )小波变换能较准确的检测出信号的奇异点，这是小波变换的优点之 一。但在实际采样得到的地震信号中，由于干扰信号导致奇异点过多，使 小波变换存在困难。 3 )怎样选取合适的时域与频域分辨率的问题仍未很好解决，小波分析中 的频域分辨率很粗糙，远不能达到傅立叶变换的程度。 正是小波变换在地震信号处理中存在一些难以克服的问题，所以我们在傅 立叶变换和小波变换的基础上去寻找一种新的变换 安徽大学硕士学位论文 第四章时频分析概述 第四章时频分析概述 4 1 信号的描述 在传统的信号分析中，一般认为信号是平稳的，因而采用时问描述或者对 信号作傅立叶变换后进行频域描述。但在实际应用中，我们所遇到的大多数为 时变的非平稳信号，针对这类信号需要引入新的描述方法一时频域的联合描述。 4 1 1 信号时间、频率描述 工程应用得到的大部分信号都是时间的函数，描述信号幅度随时间变化的 情况如常见的冲激信号，阶跃信号和正弦信号 艿( r t o ) ，( t - t o ) ，s i n ( o f ) 同时我们也可以把信号表示为频率的函数，反映了信号幅度变化的快慢 在实际中，频域表达式，如功率谱，通常比时域波形更简单明了，例如复正弦 函数对应频域内的脉冲函数 1 2 3 。 通过傅立叶变换建立起了信号时域与频域之间的联系。信号的傅立叶变换 及反交换为： s ：一( f ) p 州印d t ( 4 一1 ) s ( f ) = d p 脚 ( 4 2 ) j ( f ) 和s ( 介构成傅立叶变换对 信号的总能量为： e = c l s u h 2 a f = 口j ( ，) 1 2 d t ( 4 3 ) 4 1 2 信号的时一频联合描述 在确定性信号和平稳信号的分析中，时间和频率是两个重要的参数，傅立 叶变换及其反变换建立了信号频域与时域的映射关系。而在实际工程应用中所 遇到的大多都是时交非平稳信号，其统计特性是随时间变化的，例如语音信号、 1 3 安徽大学硕士学位论文 c h i r p l c t 变抉应用与推广 雷达信号和地震反射信号等。对这些信号而言，傅立叶变换并不是最佳工具， 傅立叶变换无法对它们进行全面的分析，根据信号的频谱，可以了解信号中包 含了哪些频率成份，但是不知道这些频率出现在何时及随时间变化的关系。为 了更好地研究这些时变信号，了解它们的频率变化，囚此引入信弓的时间频 率联合描述。 下面通过一个例子，我们从直观上了解并比较这三种不同的描述方法脚1 。 1 幅度o i o l 2 3 时阐cm s 信号的时间波形 信号的j 8 4 率越 ￥o z ) 战性调频僵号自o y l t v - 1 图4 - 1 信号的三种描述方式 图4 一l 给出一个持续时间为o - - 3 m s 频率调制范围为2 0 3 0 k h z 的线性调 频信号的三种表示形式：波形、频谱、时频分布( 1 i d ) 从信号的时间波形上， 我们得出其持续时间及信号幅度随时间的变化关系：从信号的频谱上，可以知 道它的频率成分，但是失去了时间的信息；信号的时频分布弥补了时间、频率 描述的缺点，不仅为我们提供了信号时间与频率的信息，而且清楚地表示出了 信号频率与时间的线性变化关系，给出了一个二维的时间一频率关系的直观描 述 4 2 信号的时频分布 时频分布的基本任务是建立一个函数，要求这个函数能够同时用时间和频 率来描述信号的能量密度即寻找一个联合密度函数，使p ( f ，力，使 1 4 安徽人学硕士学位论文 第四章时颍分析概述 p ( r ，f ) = 在时间t 和频率厂的强度，或者 p ( t ，f ) ，z l f = 在时间，和频率厂，在时频单元a t a f 内的部分能量 在理想的情况f ，时间和频率的联合密度应该满足： 肌，y ) a i = l 酬2 ( 4 4 ) p ( f ，f ) d t = i s ( i ) 1 2 ( 4 5 ) 上述两个方程定义为时间和频率的边界条件。 总能量为； e = p ( r ，f ) d f d t = j l s ( r ) | 2 d t = 肛u ) 1 2 a f ( 4 6 ) 因为时频分布有对时交非平稳信号分析的独特优势，越来越引起人们广泛 的关注，许多时频分布形式被提了出来，这些分布有各自的特点，在不同的领 域有着广泛的应用嚣下面我们主要讨论其中的两种形式：短时傅立叶变换、 w i g n e r v i l l e 分布。 4 2 1 短时傅立叶变换( s t f t ) 1 9 4 6 年g a b o r 引进窗口傅立叶原子来测量声音的“频率变换”。取出信号 在所关心时剡附近的- - , j , 段，而忽略信号的其它部分，对其作傅立叶变换，也 就是将傅立叶积分局限在某一时刻的领域内，即可得到这一特定时刻的频率分 量。因为所取的时间长度与整个信号相比很短，所以将这种方法称为短时傅立 叶变换( s t f t ) ，它是时频分析中最简单的形式n 。脚。 短时傅立叶变换的基本思想是：用窗函数来截取信号，假定信号在窗内是 平稳的，采用傅立叶交换来分析窗内信号，以便确定在那个时间段存在的频率， 然后沿着信号移动窗函数，得到信号频率随时间的变化关系，这就得到了我们 所需要的时频分布。 短时傅立叶变换的定义为： 设g ( t ) = g ( - 0 是一个实的对称窗函数，对它做平移并做频率调制可得 ( ，) ；p 田g ( t - u ) ( 4 7 ) 霞徽大学硕上学位论盘 c h i r p l c t 变换应用与推广 将g 规范化为恻i = l 使得对任意( f ) r 2 有恬。1 1 = 1 。f 2 ( r ) 的窗口傅立叶 变换定义为 s f ( u ，f ) = ( ，g 。r ) = f ( t ) g ( t - 咖哪d t ( 4 8 ) 乘上g ( t - u ) 后，傅立叶积分局限在，= 的领域内，称之为短时傅立叶变换。其 频谱图为： p d ( u ，f ) = i s f ( u ， 对实部和虚部分别实现光滑拟合 在对拟合后的函数求导，得到数值导数，最后带入瞬时频率计算公式( 4 - 4 5 ) 2 4 主塑生兰塑主兰些兰兰一 墨堕塞盟塑坌堑丝堡 3 ) 利用h i | i c n 变换计算信号瞬时频率的数值模拟实验 给定一信号x = s i i l ( 2 + p i * 2 0 0 * t 一2 ) ，频率与时间的关系满足f = 4 0 0 + t ( a ) 时域波形( b ) 时频关系 图4 - - 1 利用h i l b e r t 变换求瞬时频率 4 ) 对利用h i l b e r t 变换计算瞬时频率的几点分析 基于希尔伯特变换计算信号的瞬时频率是通过计算该信号对应的解析信号 的瞬时相位的导数获得的。在无噪声存在的情况下该方法有很好的性能适合于分 析多分量信号( 多种成分的信号组合而成的，每种信号都由其自身的瞬时频率描 述1 从上图中我f f 看到，h i l b e r t 变换较好的展示了频率与时问的交化关系，但我 们注意到在信号的两端会出现严重的端点效应。这是由于提取某些信号的瞬时特 征所得的瞬时频率在局部出现了负数，端点效应是造成负频率的原因之一。 ( 三) 时频分析法 上面介绍的相位差分法和相位建模法都只适合单分量信号，在实际应用中必 须先把信号分解为若干单分量信号，否则这两个方法无效。而对于时频分析法， 只要各个分量在时频平面上能明显分开，就可以用隔离法将它们分开，而作为单 分量来处理但上面两个基于解析信号的瞬时频率估计方法却无法这样做。高斯 白噪声中的复信号频率的极大似然估计就是周期图或频谱的峰值估计，由于信号 的时频分析是专门用来分析非平稳信号的，这给人们提供了一个很好的非平稳信 号瞬时频率估计的方法一时频分析峰值估计法。常用的时频分析方法有s 呵， w v d 1 短时傅立叶变换( s t f 砷 短时傅立叶变换是时频分析中最简单的一种方法： s p e c ( t ，厂) = k 乙- , 2 4 r 5 ( ，+ f ) ( r ) d