（基础数学专业论文）具有性质Γ（x）≈3k3的距离正则图的一些结果.pdf

河北师范大学硕士学位论文 摘要 本文研究了具有性质r ( x ) = 3 k e x ) ，当d s r + 2 时的距离正则图，设 ，( c ，口，6 ) = m 以，q ，6 ) = ( c ，6 ) i ，记，= ，( r ) ；，( q ，q ，岛) ，则有如下结果： d r 4 - 1 如果( q + l 口，+ l b r + 1 ) = ( 1 ，3 ，5 ) ，则q + ：= 4 且，4 如果c r 。= 2 ，$ 1 j a , 。= 4 ，即r 是序为( 3 ，2 ) 的正则拟多边形 关键词：距离正则图，交叉表，团 1 河北师范大学硕士学位论文 s o m er e s u l t sa b o u td i s t a n c e - r e g u l a rg r a p h sw i t hf ( x ) = 3 墨 i nt h i sp a p e r , w c s t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h ed i s t a n c e r e g u l a rg r a p hi w i t h r ( x ) = 3 。墨f o ra l lx e f s u p p o s e ，( c ，口，6 ) = l j i ( c ，q ，龟) = ( c ，口，6 ) i a n dw r i t e ，= ，( r ) = z ( c l ，口i ，6 | ) 慨e nd r + 2 ，w e o b t a i n t h e f o l l o w i n gr e s u l t s d ，+ 1 * i f ( i ，口，+ l ，6 厶) = ( 1 ，3 ，5 ) ，t h e nq + 2 = 4a n d ，4 。 i f c r + 1 = 2 ，t h e na r + l = 4 a n df i s ar e g u l a r n e a r p o l y g o n o f o r d e r ( 3 ，2 ) k e y w o r d s ：d i s t a n c e - r e g u l a rg r a p h ，t h ei n t e r s e c t i o nd i a g r a m ，c l i q u e 1 1 河北师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题背景及其发展概况 距离正则图( d i s t a n c e - r e g u l a rg r a p h s ) 这一概念是上世纪七十年代初，由数学家 n l b i g g s 提出的，他和a d g a r d i n e r , a e b r o u w e r , e b a n n a i ，t i t o 等建立了距离正 则图的基本理论框架另一方面，为了解决码论中的问题，p h d e l s a r t 研究了p 多项 式方案( p - p o l y n o m i a la s s o c i a t i o ns c h e m e s ) 而p 一多项式方案实质上就是距离正则 图 近几十年，距离正则图的研究很活跃，它与有限群、设计、码论等数学分支有 着密切的联系，已成为代数组合论的一个重要分支由于一般性的讨论很难，所以 人们往往研究带有一定条件的距离j e s t 图，比如具有固定价的距离正则图【2 】，参 数具有某种性质的距离正则图等熟知，距离正则图的分类是距离正则图研究中的 一个重要研究内容在a e b r o u w e r , a m c o h e n , a n e u m a i e r 的 d i s t a n c e - r e g u l a r g r a p h s 一书中。d 3 的距离正则图被分成四类即：有典型参数的图；分部图： 正则拟多边形；其他距离正则图我们首先介绍一下序为( j ，f ) 的距离正则图的研 究情况： 1 9 8 5 年，b m o h a r 和j s h a w e 1 a y l o r 【1 3 】证明了序为( 占，1 ) 的距离正则图是线 图，并且对此类图进行了分类 1 9 8 2 - 1 9 8 8 年，t i t o 11 】，n l b i g g s ，a g b o s h i e r , j s h a w e t a y l o r 3 及e b a n n a i 和t i t o 2 把价为3 的距离正则图完全分类，而且证明出，在同构意义下，价为3 的距 离正则图只有1 3 个从而序为( 1 ，2 ) 的距离正则图也得到完全分类 1 9 9 5 年，n y a 吼a z a k i 【5 】证明出具有性质r ( x ) = 3 疋+ i 的距离正则图即序 为( s ，2 ) 的距离正则图( s = a + 1 ) 在d ( r ) ，( r ) + 3 的条件下是价为3 的距离双正 则图的距离一2 图 2 0 0 0 年，a h i r a k i ，k n o m u r a 和h s u z u k i 9 给, q 4 , 序为( 2 ，2 ) 的距离正则图即 k = 6 , a l = 1 的距离正则图的完全分类，并且证明出，在同构意义下，序为( 2 ，2 ) 的距 河北师范大学硕士学位论文 离正则图只有4 个 2 0 0 4 年a h i r a k i 和j k o o l e n 8 给p a , 了序为( 占，2 ) 的正则拟多边形的完全分 类 本文中我们研究满足下列性质的距离正则图 对于任意x e 玎，r ( x ) = 3 疋+ - ，对任意边( 口，卢) ，当口= l 纠( 口，a ) l = 2 时， r ( x ) = 3 局，这里墨是大小为3 的团，3 局表示3 个玛的不交并显然，价七= 9 ， 当d ( r ) ，( r ) + 3 时，r 是价为3 的距离双正则图的距离- 2 图本文对 d ( f ) ，( r ) + 2 的情形进行了讨论，得出了这类图在某些情形下的性质 1 2 本文综述 本文共分四章，第一章阐述了课题背景及其发展概况第二章为预备知识，着 重介绍了后面要用到的一些符号、概念和基本结论第三、四章分别讨论 c ，。= 1 和q + = 2 时的距离正则图，主要结果是： 设r ( x ) = 3 玛，令r = r ( r ) ，d r + 2 第三章的结论为： ( 1 ) d ，+ 1 ( 2 ) 如果( c r + l ，q + l ，茸+ 。) = ( 1 ，3 ，5 ) ，贝j j c r + 2 = 4 9 r 4 第四章的结论为： 如果q + i = 2 ，贝l j a , “= 4 ，, p r 是序为( 3 ，2 ) 的正则拟多边形 2 河北师范大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1距离i e 贝, l l 图的基本概念和性质 本节给出距离正则图的一些基本概念和性质，关于距离正则图更详尽的性质 见文献 1 1 和【4 】 定义2 1 一个图r 定义为一个偶对( x ，e ) ，记作i - = ( x ，e ) ，其中： ( 1 ) x 是一个集合，其元素称为顶点： ( 2 ) e 是无序积x & x 的一个子集合，其元素称为边 我们分别用玎和点l r 表示图r 的顶点集合x 和边集合e 如果玎和e r 都是 有限集合，则r 称为有限图；否则称为无限图 在本文中我们恒假定图r 为有限图 定义2 2 设r = ( x ，e ) 和r = ( x ，e ) 是两个图 ( 1 ) 一个双射盯：x x 称为从图r 到图r ，的一个同构，如果： x y e 当且仅当仃( x ) 盯( y ) e ( 2 ) 若r = r ，则从图r 到图r ，的同构称为r 的自同构 ( 3 ) 图r 的所有自同构构成的集合对于映射的合成运算构成一个群。我们把这 个群称为图r 的自同构群 本文对同构的图不加以区别 定义2 3 令r = ( x ，e ) 是一个图对于图r 的两个顶点x ：乖l l y ，如果砂e 则称 瘌y 为邻接的，记为x j ，如果x j ，则在瘌y 之间有一条边p ，记作g = x ，j ，) ，或 简记作e = 拶设“和 ，是图的两个顶点，我们有： ( 1 ) 图r 中从顶点到顶点 ，的长为，的一条途径是r 中“1 个顶点序列 ( “= w o ，w l ，晰= 1 ，) 使得： “= w o w l 一m 2 ， ( 2 ) 图r 的一条途径0 = w o ，w l ，啊= v ) 称为路，如果对所有的 3 河北师范大学硕士学位论文 i ，( f ，j = 1 , - - - , ，) ，都有一条路0 = w o ，w t = 1 ，) 称为约简的，如果对任 意i ( i = l ，一1 ) ，都有- i 、，f + l 不邻接 ( 3 ) 图r 中顶点越和顶点，的距离是r 中连接u 和1 ，的最短路的长，记为 o r ( u ，v ) 如果在r 中不存在连接和v 的路，那么规定砟( “，v ) = 。 ( 4 ) 图r 称为连通的如果对图r 中任意两点x 和y ，在r 中都存在连接卿y 的 路 ( 5 ) 连通图f 的直径是r 中任意两点间距离的最大值，记为d = d ( r ) ( 6 ) 设x 矿r ，点x 的价或度七( x ) ：= 睇( z ) 是图r 中与x 邻接的顶点数若对于 任意一点x v f ，砝= k ( x ) 是一个常数，则图f 称为k 度正则的 设r 是一个图，r u ，x ，y 盯，令： r 。( 甜) = v r l a ，( 甜，v ) = f ) r r ( u ) = r ，( “) p 。t ( x ，y ) = r 。( x ) n r ，( j ，) ，其中，= o r ( x ，y ) 本文中记o ( x ，j ，) = 钟( 墨j ，) ，其中x , y v f 定义2 4 一个直径为d 的连通图f = ( x ，e ) 称为距离正则的如果对r 中任 意两个距离为，的点瘌y ，旧0 “蚓只与f ，j ，有关，而与x ，j ，x 的选取无关，其 中0 5 f ，j ，d 设r 为直径为d 的距离正则图，记吒_ l p 。t ( z ，y ) 1 称吒为f 的交叉数，其中 0 i , j ，s d 特别地，i g c , = v ；- 。j ，q = ，包= 以。j ( 扛o ，1 ，d ) 令r 是直径为d 的距离正则图对r 中任意两个距离为i 的点“和v ( o i s d ) ， 定义： c ( “，v ) = c ：( “，v ) = f ，一。( “) n r ( v ) 彳( “，v ) = 4 ( 甜，) = r ( “) n r ( v ) 4 河北师范大学硕士学位论文 b ( 材，v ) = 置( “，v ) = r 。( z ，) n r ( v ) g = lc ，( ”，v ) lq = j 4 ( ”，v ) i包= i e ( ，v ) i l e l q c d l白i l ( r ) 2 口o q q 乃一l 【6 0 6 l 岛 一-j z c r ，= 。三。，s 二1 ； ；s 三一c s 一：丞：+ - ， 则称r 为序为( j ，f ) 的广义2 d - 边形 ，( c ，口，6 ) = i f i ( q ，4 l ，岛) = ( f ，口，6 ) i r = r ( r ) = ，( q ，q ，6 1 ) 定义2 7 图r 中顶点x 的邻域是指r 在子集r ( x ) c 矿( r ) 上的诱导子图 定义2 8 距离正则图r 称为序为( j ，r ) 的图，如果对r 中任意顶点x 都满足 r ( x ) = ( f + 1 ) 磁 由文献 4 】知，如果距离正则图r 不包含同构于疋 l ，；的诱导子图，那么对于某 个正整数卿r ，r 是序为( s , t ) 的图，特别地，当t = o 时，r 是完全图 定义2 9 图r 称为团( 或完全图) ，如果图r 中的任意两点都邻接并把有刀个 顶点的完全图记作k 命题2 1 0 1 4 f 是一个直径为d 的距离正则图令毛= p o ，那么我们有下述结 河北师范大学硕士学位论文 ( 1 ) p ：，= z ，( o f ，j ，s d ) ( 2 ) 以l j = e ，l = a t ，p 0 1 j = 岛( f = o ，1 ，d ) ( 3 ) p f = o ，如果， j + 歹，j i + l 或i l + j ( 4 ) 毛，= k j 硝= k t p ：j 命题2 1 1 4 】r 是一个直径为d 的距离正则图我们有以下结果： ( 1 ) j = q + q + 觑( i = 0 , 1 ，d ) ( 2 ) c o ；a o = = o , q = l 且b o = k ( 3 ) 令向：= g o ，= l r 。( 材) i ，贝q 包墨= q + 毛。( i = 0 ，1 ，a - 1 ) ( 4 ) 设和1 ，是r 的两个点，w c ( v ，”) ，则c ( w v ) c c ( u ，1 ，) ，b ( w , v ) 3 曰( “，v ) ( 5 ) q c j ，如果f + 歹d 2 2 交叉表及性质 本节我们介绍距离正则图的交叉表，它是研究距离正则图结构的主要工具( 参 见文献【6 】) 令甜和，是图r 中邻接的两个点，并记彰= r ，( 甜) n r ，( 0 ( o 1 ( 2 ) 彰和研间无边，如果l f s i l 或i j 一，i 1 定义2 1 2 对顶点集合彳和曰，用e ( a ，b 1 表示集合爿和b 之间的边数如果 a = 甜 ，贝u 记e ( 甜) ，口) = p ( 甜，占) ， 6 河北师范大学硕士学位论文 命题2 1 3 【5 ，6 ，7 】在关于边【”，) 的交叉表中，如果工研且y 纠“，这里 ( o f d 一1 ) ，那么我们有如下结果 ( 1 ) 口( z ，d _ 。) + p ( x ，d 搿) = 6 f ( 2 ) p ( x ，p ，+ 1 ) + e ( x ，叫) + e ( x ，d f _ 。) = q ( 3 ) e ( x ，d l ，) + e ( 毛d 片) = q ( 4 ) p ( y ， ) 鬈+ 。2 ) 一- - 岛。 ( 5 ) e ( y ，叫“) + p ( y ，以+ 。1 ) 一- - 口，+ ( 6 ) 口( 只刁_ ，) + p ( y ，科) + 口( y ，d l ) = q + ( 7 ) p ( n d 并) + 口( y ，d 搿) + p ( ) ，p f + 1 ) = 包 ( 8 ) p ( 弘“) + p 似巧) = q ( 9 ) 口( y ，啦。) = q 0 0 ) e ( x ，d l 。) = p ( x ，q “) o d e ( x ，壤。) ；e ( 叫。) 6 f = 6 ，“当且仅当p ( 研“，以。) = p ( q “，喇) = o 0 3 ) c , = q + 。当且仅当f ( 研“，叫) = e ( 以。，研“) = o 叫= a 当且仅当q = 0 2 3 若干符号及性质 为了介绍本文的主要结果，我们给出一些新的概念和符号，以及在证明过程中 用到的结论因为本文考虑具有性质r ( x ) = 3 玛的距离正则图，即对于任意边 ( 口，) ，科( 口，) 是大小为2 的团，故给出如下定义 定义2 1 4 任意x v l ，f ( x ) - - 3 * k ，对于任意边( 口，) ， ( 1 ) 设纠( 口，) = 乃，托 ，对任意万r ，我们记： 否= ( a ( j ，a ) - r ，a ( a ， ) 一，- ，a ( 占，托) 一，a ( 占，p ) - r ) 7 河北师范大学硕士学位论文 并称否为点万关于( 口，) 的类型，简称艿的点型 ( 2 ) 设a = 占，r ，目是图r 中的团，我们称： ( a ( 万，x ) - r ，a ( ，7 ，x ) 一，a ( 善，x ) - r ) 为团= 艿，r ，孝j 关于顶点x 的团型，并用图形表示 ( 3 ) 称r ( x ) 中三个团关于顶点口的团型以及其中的邻接关系为r ( x ) 关于顶 点口的团型并用图形表示 比如任意x r 。( a ) ，当( q + ，q + ，k ，) - - ( 1 ，3 ，5 ) 时，设r ( x ) 的三个团分别为 五，而，而 、 m ，m ，弘 、 “，w ，他们关于顶点口的团型分别为( o ，1 ，1 ) 、( 1 ，2 ，2 ) 和 ( 2 ，2 ，2 ) ，r ( x ) 关于顶点睇的团型用图形表示为图2 1 ： ，- + l ，+ 2 ) 图2 1 致 乃 “ ( 4 ) 称r ( z ) 中点的点型以及其中的邻接关系为顶点x 的团模式并用图形表示 在图形表示中用相应的列向量的形式表示点的点型如图2 2 为x 的一种团模式 图2 2 定义2 1 5 图r 中任意两个不同的顶点j 枷，8 ( x ，j ，) = f ，其中l i 2 ，则任意y d 搿n r ( x ) r 2 ，则对于任意j ，列n r o ) r ( _ ) ，以下成立： 若；= ( 1 ，0 ，1 ，1 ) ，则歹= ( 1 121 ) 若；= ( 1 ，1 ，0 ，1 ) ，则歹= ( 1 ，2 ，1 ，1 ) 证明：不妨假设a ( x ，乃) = ，即x 一= ( 1 ，0 ，1 ，1 ) o t 求y 的点型由引理3 7 知 y e 彳，因此e ( j ，硪，) = e ( j ，p ，) = 1 设 而 = 取，o r ( y ) ， m = 矽1 n r ( y ) ，显然 a ( y ，乃) = ，+ l ，a ( y ，托) = ，+ l 或者，+ 2 ，断言a ( y ，儿) = ，+ 2 。若否，假设 a ( y ，托) = ，+ 1 ，因为c ，+ 。( 托，y ) = r ，( 托) n r ( y ) c 础，但a ( 而乃) = ，+ l ，所以必 有异于x 的一点 乃 = c ( 乃，y ) ，显然乃b ，由引理3 5 知a ( 乃， ) = r + 1 所以 j p 0 似，屁) ，y se 珥“，圪) ，由命题2 1 9 ( 4 ) 知x 和y s 不邻接但另一方面，因为 乃b 知 而，以，乃) 是余团，又因为石b 知 x ，而，乃) 是余团，但r ( x ) = 3 玛，五砒 不邻接，所以必有x 与乃邻接，矛盾断言成立因此歹= ( 1 ，1 ，2 ，1 ) 同理可证，若 7 v = ( 1 ，1 ，0 ，1 ) ，贝u 歹= ( 1 ，2 ，1 ，1 ) 口 显然，取y e a ，若e ( y ，b ) 0 ，则歹= ( 1 ，1 ，2 ，1 ) 或( 1 ，2 ，i ，i ) ；若e ( y ，b ) = o ，则 歹= ( 1 ，2 ，2 ，1 ) 因此彳中点又可分为两类； 4 = 歹= ( 1 ，1 ，2 j ) 筋= ( 1 ，2 ，1 j ) ) 4 = j ，i 歹= ( 1 ，2 ，2 j ) 综上所述，a i u 4 = 彳，且任意x e 由p ( 而喇) 的取值知： ( 1 ) 若口( 墨以r + d l 一- - 2 ，由x 的任意性知，e ( a ，召) = o ，4 = d ，4 = 彳，任意 y e a ，歹= ( 1 ，2 ，2 ，1 ) ( 2 ) 若p ( x ，o 爿) 2 ，贝1 j e ( a ，口) o , 摅y e d 搿n r ( z ) 、r ( ) ，有y e 4 引理3 9 r ( x ) = 3 局，嘉i e ( a ，b ) = o ，任意“d 7 ， j ，z cd 爿n 1 1 ( 甜) ，贝u 1 5 河北师范大学硕士学位论文 y - z 不邻接进而4 证明：由题设知 y ，z 亡4 ，任意4 型点的点型为( 1 ，2 ，2 ，1 ) 若y - 2 邻接，则在 关于( 甜，j ，) 的交叉表中，z 叫( , y ) ，口明( ，y ) ，卢贩。( 甜，y ) ，口，即 口a ，而0 ( z ，口) = ，+ 1 ，这与此时彳型点的点型为( 1 ，2 ，2 ，1 ) 矛盾所以弘z 不邻接 因为 j ，z c4 + 。( 口，“) ，r ( x ) = 3 + k 3 ，所以有明n r ( u ) 2 ，即g i r + 。4 口 下面考察j = r + 2 ，( q 。口，+ ，6 ，+ 。) = ( 1 ，3 ，5 ) 时q + ：的取值，以下约定： 任意y a k = n r ( y ) 儿 = d n r ( y ) 任意工b _ = 群n r )科( ，x ) = 而+ ，只+ ) c b 对于4 型点、曰型点，其关于任意边( 口，) 的交叉表分别如图3 2 和3 3 所示： 工 p 卜了声 p 卜了声 研“簖 图3 2 乃 研“蜡 图3 3 现在讨论当( + ，口，+ ，6 ，+ 。) = ( 1 ，3 ，5 ) 时，任意彳型点y 的点型设 m = 研“n r ( y ) ，因为q + = 3 ，则p ( 咒，础) = l ，即 y = 蜊n r ( m ) 引理3 。1 0 r ( 工) = 3 为，d = ，- + 2 ，若( o 。砟。6 r + 。) = ( 1 ，3 ，5 ) ，则4 = 囝即 4 = 彳，并且任意j ，彳，e ( y ，r + + ：1 ) 一- - p ( j ，纠r “+ 2 ) 一- - 2 ，p ( y ，p 髫) = 3 1 6 河北师范大学硕士学位论文 证明： 若4 a ，取y 4 ，则存在一点苫b ，且满足x y ，设 4 + 缸，y ) = 乃，x ，“) ，因为 而) = c ，+ 。( 口，j ，) ，又纠( 五，y ) c a r + ，( 口，y ) ，即与 m ，x ，材 中两个点邻接但而与舅、x 均不邻接，矛盾，所以4 = o ，又由a = 4 u 4 得 4 = a 设科“，y ) = x ，科，j ，) = 】，由而、y l 不邻接知x 、y 为两个不同的团，且 由a r 。= 3 知e ( 而，喇) = e ( m ，制) = l ，因此： x c p 之n r ( y )y c p 彳n r ( y ) 显然有p ( 乃彰r + + ：1 ) 一- - ( ，。r 。+ 2 ) 一- - 2 ，f ( 乃p 器) = 3 口 因此当( c r + l ，q + - ，6 ，+ ) = ( 1 ，3 ，5 ) 时，由引理3 1 0 知4 = a ，e ( a ，曰) = 0 ，对任意 善b ，口( 墨d 墨r + 1 ) 一m 2 ，又由。= 3 知e ( x ，础) = e ( 而赠) = 1 对任意j ，a 可约定 如下： 而 = 以，a t ( y ) x 2 ，x j = 础r i c o , ) 乃 = 研”n r ( y ) 肋，乃) = 叫并n f ( y ) “，w = 研等g r ( y ) 当 钆，a t + 。，印+ 1 ) = l ，3 ，5 时，任意甜r 。( 口) ，r ( u ) 关于口的团型如图3 4 所 不。 ， ，+ 1，+ 2 图3 4 显然致。一图= 墨u 局，且c 乙一图不含玛 引理3 1 1 f ( x ) = 3 玛，d = ，+ 2 ，( 钆。，q r + ，6 r + 。) = ( 1 ，3 ，5 ) ，则在关于任意边 ( 口，) 的交叉表中，d 爱中点型为( 2 ，l ，l ，2 ) 的点存在，且在它的邻域中有两个不 邻接的b 型点，点型分别为( 1 ，0 , 1 ，1 ) j g l ( 1 ，1 ，0 ，1 ) 1 7 河北师范大学硕士学位论文 证明：由引理3 1 0 知4 = 彳f 2 j ，则在关于边( 乃，以) 的交叉表中，( 1 ，2 ，2 ，1 ) 型 点存在， 口， = 叫( 乃，托) ，设这样一点品- - ( 1 ，2 ，2 ，i ) ，相应的，在关于( 口，) 的交 叉表中，二= ( 2 1 i2 ) 即u 碟 ，) ，a ( “，乃) = o ( u ，欣) = r + l ，它的邻域中有两 个b 型点，因为q “= 1 ，设： x = c + ，( n ，“) x 7 = c ，( 托，“) 显然；- - ( 1 ，0 ，1 ，1 ) ，孑= ( 1 ，1 ，0 ，1 ) ，即x 贩( 乃，局) ，x 珥“( 乃，乃) ，由命题 2 1 9 ( 4 ) 知p ( 域。，研“) = o ，因此棚x 不邻接 引理3 1 2 r ( x ) = 3 局，d = ，+ 2 ，( q + 。，q “，6 ，“) = ( 1 ，3 ，5 ) ，贝uc ，+ 2 2 3 证明：根据引理3 1 1 ，设u 一- - ( 2 ，i ，l ，2 ) ， ， = r ( “) n 丑，瘌x 不邻接，仍设 ；= ( 1 ，0 ，1 ，1 ) ，= ( 1 ，1 ，0 ，1 ) ，由引理3 1 0 知ex ，叫r + + ：! ) 一- - p ( x ，p 彳) = 1 ，设： “。) = d 簋n r ( x ) v 1 = d 爱n r ( x ) 若与h 邻接，则 x ，m cc ，+ ：( 口，h ) ，又p ( v l ，研“) = l ，则o + ：3 ：若与h 不 邻接，因为r ( x ) = 3 玛，则 ，l f i ，v 1 ) 中必有两点邻接，不妨设m 与”邻接，则 x ，x ， c c 0 ：( 口，甜) ，所以钆2 3 综上所述，c r + 2 3 成立- 引理3 1 3 r ( 石) = 3 墨，d = ，+ 2 ，若( c ，+ ，q 。6 ，+ ，) = ( 1 ，3 ，5 ) ，则4 型点y 的 如图3 5 一所示的团模式不存在 图3 5 1 8 河北师范大学硕士学位论文 证明：反证法假设4 型点y 的团模式如图3 5 ( 一) 所示，考虑m 的团模式已 知 y ，奶，y 3 为r ( m ) 的一个大小为3 的团，设p 等n r ( m ) r ( y ) = m ，搿：，蚝 ，显 然 j ，y 2 ，y 3 既属于耳+ ，( 万，m ) 又属于毋+ ( y 2 ，m ) 因为耳+ 广图= k 2 u 玛，则 u i ，z ：， 3 中有且仅有一点属于4 + 。( 乃，咒) ，不妨设u t 厶( 一，咒) ，因为 口耳。( 坼，) ，门4 + ( 毡，) ，所以 2 e + ( ，) ，即i - - ( 2 ，1 ，2 ，1 ) ，贝u 耳+ ( 以，m ) ，因此 ，鸭 有且仅有一点属于厶。( 儿，m ) ，不妨设 却：以( 7 2 ，m ) ，同样的分析可知一u 1 - - ( 2 ，2 ，1 ，1 ) ，则虿= ( 2 ，2 ，2 ，1 ) ，因此在关于 ( 乃，) 的交叉表中 口，九 c 纠( 托，夕) 且： 两= ( 1 ，1 ，1 ，0 )罚- - ( 2 ，2 ，1 ，1 ) 一u 2 - - 0 ，2 ，2 ，1 ) 一u 3 - - ( 2 ，2 ，2 ，1 ) 显然屹4 ，且具有如图3 5 所示团模式，矛盾 引理3 1 4 r ( x ) = 3 局，d = ，+ 2 ，若( o r + i ，口。，6 _ ) = ( 1 ，3 ，5 ) ，则任意4 型点 y 的团模式如图3 6 ( _ ) 所示，上矿1 中任一点的团模式如图3 6 ( 7 - ) 所示 h 图3 6 ( j 证明：显然 而，m 既属于c + ：( ，j ，) 又属于c 0 ：( 乃，j ，) 因为c ，+ ：一图不含玛， 由引理3 1 3 知任意j ，e4 = a ， x 2 ，而 、 乃，乃 中必各有一点属于c ，+ ：( 一，j ，) ， 也必各有一点属于c o z ( 托，y ) 不妨设 而，儿 cc r + ：( 乃，y ) = r ，+ ( r , ) r l r ( y ) ，因 1 9 、l_riij 2 2 2 i 、_llj、ljj 2 2 2 2 2 i、llilllj、ii_i_jnn心k 河北师范大学硕士学位论文 为e 。( 而，口) ，一4 + ，( 而，口) ，而毋。一图= k 2 u 玛，所以7 2 耳+ ( 而，口) ，即 x 一2 = ( 1 122 ) ，同理瓦= ( 2 ，1 ，2 ，1 ) ，即 x 2 ，y 2 cr ，+ ：( r 2 ) n f ( y ) = 4 + ：( 托，y ) ，则 x 3 ，乃 c c 0 ：( 7 2 ，y ) ，又由 屯，y 2 ) c c ：以，j ，) 知 而，乃 c 4 + ：“，y ) ，所以 一x 3 = ( 1 ，2 ，1 ，2 ) ，霹- - ( 2 ，2 ，1 ，1 ) ，则r ( y ) 的团模式如图3 6 ( 一) 所示，因此 珥“中任一籼的团模式如图3 6 所示因为 而，x 2 ，m ，y 2 cc ，+ ：( 乃，) ，) ，所以 o r + 2 4 引理3 1 5 r ( x ) = 3 玛，d = r + 2 ，( q 。a r + 。，印+ 1 ) = ( 1 ，3 ，5 ) ，任意x b ，若 = 喇n r ( x ) ， v l = 呀n r ( x ) ，则v 1 进一步，若；= ( 1 ，0 ，1 ，1 ) ，则x 的 团模式如图3 7 所示 图3 7 证明；不妨设；= ( 1 ，0 ，1 ，1 ) ，显然 l ，h c f 。( 乃) ，因为耳+ 一图= k 2 u 玛， 而力4 + 。( u l ，口) ，e 耳+ 。( u 1 ，口) ，则7 2 耳+ 。( m ，口) ，即一u i = ( 1 122 ) ，同理 i = ( 2 121 ) 在关于( 口， ) 的交叉表中： 儿，) = d ? ( 口，一) x = ( 1 ，1 ，1 ，0 )一u l = ( 1 ，2 ，2 ，1 )百= ( 2 ，2 ，1 ，1 ) 显然m 为4 型点，由引理3 1 4 4 型点的团模式以及d ，中任意点的团模式可 知，地一v i 进一步可知，叫( u i ，x ) 中的另一点在关于( 口，力) 的交叉表中的点型为 ( 2 , 1 ，2 ，1 ) ，即在关于( 口，) 的交叉表中的点型为( 2 , 1 ，1 ，2 ) ，因此任意b 中点型为 ( 1 ，0 ，1 ，1 ) 的x 的团模式如图3 7 所示 河北师范大学硕士学位论文 弓i 理3 1 6 r ( x ) = 3 * k s ，d = r + 2 ，( o r + l ，a r + i ，b r + 1 ) = ( 1 ，3 ，5 ) ，则q + 2 = 4 证明：由引理3 1 5 知b 中点型为( 1 , 0 ，1 ，1 ) 的x 的邻域r ( x ) 中有三个点型为 ( 2 , 1 ，2 ，2 ) 的点设 甜，v ，w c 磷n r ( x ) ，k u 一= ；= 品= ( 2 ，1 ，2 ，2 ) ，显然u 只与一个 b 型点即x 邻接考虑r ( “) 的情况。由k = 9 且o r + 2 4 知d r + ：5 ，又因为 q + ：= e ( ”，研2 ) + e ( “，明) ，由4 型点的团模式知r ( 甜) 中至多有一个以型点，断 言r ( “) 中没有4 型点若否，i 发r ( u ) 中有一个4 型点y ，此时口( “，明) = 2 ，由 钆：4 知pu ，明) = p ( 甜，簖) 2 ，则k - 1 0 ，这与k = 9 矛盾断言成立因此 f ( 甜，础) = 1 ，又因为o + ：= e ( 却，喇u 喇) ，所以e ( u ，碟) 3 但另一方面，由 k = 9 且 五砖， c r ) 知e ( u ，明) + e ( 甜，簖) s 6 ，而e ( u ，q r + + ：1 ) 一- - e ( “，簖) ，所 以p ( “，d 嬲) s 3 ，因此p ( 甜，蟛r + + ：1 ) 一- - 3 ，即q ：= 4 口 引理3 1 7 r ( x ) = 3 局，当( q 。q 。6 ，+ ，) = ( 1 ，3 ，5 ) 时，r 4 证明：由引理3 1 6 知当( q + l ，q + ，6 ，+ 。) = ( 1 ，3 ，5 ) 时，c + ：= 4 由引理3 3 知 i z r l 小9 ( 竿+ 兰+ ：b r + l 一6 r t ；r + i 。r + l c r + 2 j 因此删小9 ( 孚柑+ 5 ) ；。( m o d 4 ) 丝6一兰=o(mod4)205 4 1 6 a 1 6 ( m o d 8 0 ) 令x = 6 7 ，解得x = 1 6 + 8 0 t ，因为x = 6 7 是正整数，则t = 0 , 1 ，2 ，即6 7 = 1 6 + 8 0 t ， 因此r 4 口 定理3 1 的证明：由引理3 2 3 1 6 3 1 7 可直接得定理3 1 口 2 1 河北师范人学硕士学位论文 第四章d = r + 2 。q + 。= 2 时的情形 当d = r + 2 c ，+ i = 2 时，r 关于任意边( 口，) 的交叉表如图4 1 所示： p 卜了f 由命题2 2 2 知若c ，“= 2 ，则龟l 4 ，又当d = r + 2 。( l ，q + i ，6 ，+ ) = ( 2 ，4 ，3 ) 1 一蚓 的交叉阵列，因为a s = q ( 3 一1 ) ，这里s = 3 ，1 i d - 1 ，这时f 是序为( 3 ，2 ) 的正则 拟多边形，a h i r a m 和j k o o l c n 已在【8 】中给出了1 1 的分类 定理4 1 r ( x ) = 3 玛，d = ，+ 2 ，q “= 2 ，则a r + i = 4 ，即r 是序为( 3 ，2 ) 的正则 因为6 ，+ i 0 ，所以4 q “6 为证明定理4 1 ，只需证明口，“5 ，6