（基础数学专业论文）测度空间上的拓扑序列熵.pdfVIP

摘要 在本文我们主要考察了动力系统( x ，d 和( m ) ，? ) 之间拓扑序列熵之间的联系 特别地，对拓扑一n u l l 的系统，( 咒t ) 和( m ( x ) ，t ) 之间是否存在什么联系对于给定的 一个伪度量空间以及其上的一个自映射( 不必连续) ，引入并研究沿着给定序列的拓扑熵， 包括由空间上连续实值函数所诱导的伪度量作为应用可以证明，给定一个序列一4 z + ， 如果x 为零维的，那么t 系统( x ，r ) 沿着一4 具有零拓扑熵当且仅当( m ( x ) ，t ) 沿着一4 具有零拓扑熵特别的，当x 为一个零维空间时，系统( x ，t ) 为拓扑n u l l 的当且仅当 ( 朋僻) ，t ) 为拓扑- n u l l 的。 文章是这样安排的，在第一章中，我们介绍了本文涉及到的一些拓扑动力系统的基本 概念和结论在第二章中，我们简单介绍了不变测度和熵的一些基本概念和性质在第三 章，我们开始考察系统( x ，印和( m ( x ) ，t ) 之间拓扑序列熵之间的联系首先我们给出 了存在自映射的伪度量空间上面的拓扑序列熵，再考虑一系列特殊的由连续实函数诱导 的伪度量所生成的拓扑序列熵，并且证明了对任意给定的拓扑动力系统及序列a z + ， 系统沿着4 的拓扑熵为零当且仅当由连续实函数诱导的伪度量沿着4 的拓扑熵为零作 为推论我们证明了如果x 是零维的，那么对任意给定的序列4 z + ，( x ，t ) 沿着a 的 熵为零当且仅当( m ( x ) ，即沿着一4 熵为零这说明了如果x 是零维的，那么( 置丁) 是 t o p o - n u l l 的当且仅当( m ( x ) ，r ) 是t o p o - n u l l 的 n a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l yd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft o p o l o g i c a le n t r o p ya n dt o p o l o g - i c a ls e q u e n c ee n t r o p yo ft d s p a r t i c u l a r l y , 8 sf o rt o p o - u u l ls y s t e m w h e t h e rt h e r ea r e a n yr e l a t i o n s h i pb e t w e e n ( x ，t ) a n d ( m ( x ) ，t ) w ei n t r o d u c et h et o p o l o g i c a ls e q u e n c e e n t r o p yo fag i v e np s e u d o - m e t r i cs p a c ee q u i p p e dw i t has e l f - m a pa n ds t u d y i tf o ras p e c i a l c l a s so fp s e u d o - m e t r i c si n d u c e db yc o n t i n u o u sr e a l - v a l u e df u n c t i o n so nt h es p a c e ，a sa l l a p p l i c a t i o n ，w ep r o v et h a ti fxi sz e r o - d i m e n s i o n a la n d4 z + i 8ag i v e ns e q u e n c et h e n 僻，t ) h a s z e r ot o p o l o g i c a le n t r o p ya l o n g4 i fa n do n l yi f ( m 僻) ，t ) h a sz e r ot o p o l o g i c a l e n t r o p ya l o n ga i np a r t i c u l a r ，i fx i 8z e m - d i r a e n s i o n a lt h e n ( x ，t ) i st o p o - n u ui fa n d o n l yi f ( 朋( x ) ，di 8t o p o - n u l l t h e p a p e ri 8o r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r p r e l i m i n a r i e so nt o p o l o g i c a ld y - n a m i c a ls y s t e ma r er e c o m m e n d e d i nt h es e c o n dc h a p t e r w ed i s c u s st h eb a s i cp r o p e r t i e s c o n c e r n i n gi n v a r i a n ta n de n t r o p y i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t a r tt os t u d yt h er e l a t i o n - s h i pb e t w e e n ( x ，t ) a n d ( m 僻) ，研f i r s tw ei n t r o d u c et h et o p o l o g i c a ls e q u e n c ee n t r o p y o fag i v e np s e u d o - m e t r i cs p a c ee q u i p p e dw i t has e l f - m a p ，t h e nc o n s i d e rt h et o p o l o g i c a l s e q u e n c ee n t r o p yf o ras p e c i a lc l a s so fp s e u d o - m e t r i c si n d u c e db yc o n t i n u o u sr e a l - v a l u e d f u n c t i o n so i lt h es p a c e w ep r o v et h a tf o ra n yt d sa n dag i v e ns e q u e n c ea z + ，( x ，t ) h a sz e r ot o p o l o g i c a le n t r o p ya l o n g 一4i fa n do n l yi fp s e u d o - m e t r i c si n d u c e db yc o n t i n u o u s r e a l - v a l u e df u n c t i o n so nt h es p a c eh a v ez e r ot o p o l o g i c a le n t r o p ya l o n g4 i na d d i t i o n w e p r o v et h a tf o ra n yg i v e ns e q u e n c ea z + ，( x ，刃h a sz e r ot o p o l o g i c a le n t r o p ya l o n g - 4 i fa n do n l yi f ( m ( x ) ，t ) h a sz e r ot o p o l o g i c a le n t r o p ya l o n ga ，w h i c hi n d i c a t e st h a ti fx i sz e r o - d i m e n s i o n a lt h e n ( x ，t ) j 8t o p o - n u l li fa n do n l yi f ( m ( x ) ，t ) i 8t o p o - n u l l 中国科学技术大学学问论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行 研究工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。 与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已经在论文中 作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用 权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位 论文编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：堕丝 z 叩年夕月，。日 致谢 借此论文完成之际，我要衷心感谢导师叶向东教授的悉b 指 导自从2 0 0 4 年开始对拓扑动力系统和遍历论的学习，叶老师在 学习和生活上均给予我极大的关怀和帮助在这三年的学习中，叶 老师渊博的知识，谦逊的为人，敏锐的洞察力和严谨的治学态度， 都给我留下了j e 常深刻的印象，并将会始终激励着我谨向他致以 崇高的敬意和衷心的感谢l 在此，还要感谢黄文和邵松副教授几年来传授了我系统的专业 知识，使我受益匪浅；感谢张国华师兄在论文写作期间给予的大量 的指导和帮助；感谢匡瑞，窦斗，张瑞丰和张玉成师兄在学习中的 指点和生活上的照顾；感谢数学系各位老师从我来到科大以来的教 导和帮助；感谢陪伴多年的同学一直以来对我的关心和鼓励 最后，我要深深感谢我的父母，感谢他们多年来对我细致入微 的关怀和教育他们为我的成长付出了极大的心血，没有他们无私 的爱与默默的支持，我是不能顺利完成学业的 2 0 0 7 年5 月 引言 动力系统是诸如空气动力学，澎体力学，电气动力学等物理研究的理想化模型。动力 系统理论处理的是系统的长期行为一个系统所有可能的状态全体构成空间x ，而系统 的演化则由变换t ：x x 表示，其中7 k 表示当系统在零时刻为状态z 时在时刻1 时 的状态如果时间是连续变化时，可以考虑x 到自身的一族单参数映射 正：t 醒 当 控制系统行为的法则不随时间变化时，自然的可以假定d “= e 丑，于是 正：t r 为 一个流，或者是x 上的r 作用单个的( 可逆) 变换t ：x x 也决定了个群作用， 称为z 作用也可以考虑更广泛的情形：任意的群作用，或者是变换不全可逆时的半群作 用但在本文中，我们只考虑z 作用和r 作用 动力系统的研究起源于牛顿的经典力学，牛顿的运动三大定律以及万有引力定律给 予了系统动力学研究最初的动力在牛顿的理论中一个系统的运动规律完全由一簇以 时间为参数的微分方程所决定在牛顿的”p r i n c i p i a 出版后的两个世纪里，系统动力学 的研究是作为微分方程理论的一部分去发展的其中，最具挑战性的问题是将牛顿的理 论应用到行星运动，或决定付个质点在相互万有引力作用下运动规律的n 体问题中对 十八，十九世纪的分析学家，从e u l e r 到j o c o b i 而言，解决这一问题最为自然的方法是 通过对特定的微分方程做分析处理以获取尽可能多的信息人们甚至希望能够像牛顿处 理两体问题一样显示地求出这些微分方程的积分然而，这一希望完全破灭了，所有分析 工具对行星运动中的许多基本问题都束手无策 在十九世纪八十年代，胤佗o d 打破这一僵局开创了微分方程定性理论的研究，使 人们在系统动力学研究观念上发生了根本性的转变这一转变的关键点在于将系统的 参数向量所有“可能的值。收集起来形成一个状态空间。着重对状态空阊豹几何结构进行 分析人们的注意力就从单个解曲线转移到所有可能的解曲线构成的集合以及它们的相 互关系上微分方程定性理论不借助于对微分方程求解，而是通过对状态空间的分析来 推断解的性质或具有某种属性解的存在性及稳定性为了从数学上分析个系统，状态空 间x 需要有某种结构，变换t 也要有某些限制主要有以下三种情形 ( 1 ) x 为微分流形，t 为微分冠瞻 ( 2 ) x 为拓扑空间，r 为同胚映射； 1 潮度空间上的拓扑序列熵 2 o ) x 为测度空间，r 为保测变换 即动力系统的三个子领域一微分动力系统，拓扑动力系统和遍历论在本文中，我们 关注的是拒扑动力系统和遍历论特别的，在拓於动力系统中我们取x 为紧致度量空同， 用( x ，r ) 表示拓扑动力系统：在遍历论中我们取x 为概率空间，用( x ，b ，“t ) 表示保 测系统，其中召为x 上的口代数，p 为其上的概率测度 早期拓扑动力系统的最著名的工作是p o i n c a r 郴b e n d i x s o n 的有关微分方程解的稳 定性的研究从1 9 1 2 年起，g d b i r k h o f f 开始系统的研究拓扑动力系统，首次定义了极小 集并研究了它的性质，这是拓扑动力系统中最基本也是最重要的概念之一，拓扑动力系统 中相当部分的研究就是在极小系统框架下进行的b i r k h o f f 关于拓扑动力系统的工作收 集在他于1 9 2 7 年出版的著作d y n a m i c a ls y s t e m s 中之后g t w h y b u r n ，n e m y c k i i 与 s t e p a n o v 等人的著作中也涉及了一些拓扑动力系统的工作1 9 5 5 年，w h g o t t s c h a l k 与 g a h e d l u n d 出版了著作 t o p o l o g i c a ld y n a j n i c s $ 他们将动力系统的定义放在了最一 般的框架下，宣接考虑拓扑群在拓扑空问( 通常是紧致度量空间) 上的作甩，并且充分研 究了从微分方程定性理论中提炼出来的概念，使得拓扑动力系统真正成为动力系统研究 的一个重要分支 遍历理论的起点是p o i n c a r 6 回复定理以及1 9 3 1 年v o nn e u m a n n 和b i r k o f f 分别证 明的平均遍历定理和逐点遍历定理从1 9 3 2 年起，对这些结果的推广与改进不断涌现 f 1 3 ，1 4 ，1 5 。1 6 ，1 8 ，玎，1 9 l ，使得遍历理论迅速发展现在，遍历理论已经成为个独立而 又有着旺盛生命力的领域，并且对许多其它学科有着深刻的影响 拓扑动力系统与遍历论两套理论有着惊人的平行性一方面，拓扑动力系统可以自然 的看为个保测系统；另一方面任何遍历系统有着它的拓扑表示在两套理论中有着许多 相对应的概念，例如，遍历一援小，离散谱一等度连续，浏度熵一拓 p 熵，等笨这些医素 导致了在两套理论中，许多结论有着极为相似的表述，有时需要借助另一套理论中的方法 来证明，但有时证明的方法完全不同，而且大都没有互通的地方于是，从横向看，探求两 套理论中的异同，寻找套理论中的概念和结论在另一套理论中的对应，就成为拓扑动力 系统和遍历理论研究的重要内容从纵向看，拓扑动力系统和遍历理论研究包括动力学属 性( 尤其是与圆复性相关的属性) ，系统结构，系统分类以及缡的相关理论等内容，这些内 容彼此之间有着密切的联系，我们的工作主要集中在熵的相关理论的研究上，既包括拓扑 甜度空甸上的拓扑序列熵3 动力系统方面的，也包扩遍历论方面的，同时涉及了与动力学属性，系统结构和系统分类 等内容之间的联系 让我们再次回到前面提到的w h g o t t s c h 8 l k 与g a h e d l u n d 的著作 【t o p o o g i c a l d y n a m i c s b 在这本书中，他们首次利用回复时间集来研究系统的动力学性质一用回复时 问集刻画了极小点随后在【2 0 】中，h a r r yf u r s t e n b e r g 证明了弱混合系统的回复时间集 具有滤子性质，进而刻画了弱混合系统的回复时间集这使得用回复时间集来研究系统动 力学性质的思想得到了进一步的发展在他和w e i s s 等人七十年代后期的工作中，这种思 想得到了发扬光大f u r s t e n b e r g 先是在【2 1 j 中通过证明遍历论中的多重回复定理给出了 组合数论中的s z e m e r d d i 定理的个简洁证叽将动力系统与组合数论联系在一起之后 他和w e i s s 在 5 0 】中通过拓扑动力系统中的多重b i r k h o f f 回复定理证明了组合数论中著 名的v a i ld e rw a e r d e n 定理的r a d o 推广和h i n d m a n 的有限和定理，极大的促进了动力 系统理论在其它数学分支的应用继而他和k a t z n e i s o n 在【5 1 l 中证明了s z e m e r g d i 定理 的多重版本p a r s t e n b e r g 将这些结果总结在他1 9 8 1 出版的堪称经典的著作r e c u r r e n c e i ne r g o d i ct h e o r ya n dc o m b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y b 中在这本书中，f u r s t e n b e r g 还给出 了一般回复点的回复时间集的刻画并指出了与i p 集的关系，仔细研究了几种典型的集族 的性质并刻画了d i s t a l 点和几乎自守点的回复时间集，提出了族意义下的收敛并以之刻 画了保测系统的混合性状自此，从回复时间集的研究中发展出来的族的观点开始进入动 力系统的研究中a k i n 2 3 1 对此又进行了进一步的发展和总结现在，族已经成为动力系 统研究中的重要工具之一 系统分类是动力系统研究的永恒主题之一分类的方法可以有很多，因为当人们从不 同的角度去理解动力系统时，自然的会有不同的分类方法比如，动力系统可以分为极小 的和非极小的，传递的和非传递的，遍历的和非遍历的，混合的和非混合的等等但遗憾的 是并没有一种统一的完全的分类方法人们更加关注的是各种类别之间的相互关系，进 而将各种类别的系统进行细分早期人们提出了个猜想，认为极小的紧度量d i s t a l 流必 为等度连续的为了证明这个猜想，在1 9 6 0 年前后的几年，e 岫提出了包络半群的定义 【2 5 】( 也被称为e l l i s 半韵，他定义系统僻，t ) 的包络半群e ( x ，t ) 为 一：t t 在乘 积空阉x x 中的闭包，并详细研究了e 僻，? ) 的结构与性质以及对它进行了富有成效的 应用，比如给出了p r o x i m a l 关系为等价关系的刻画等；证明了( x ，丁) 为d i s t a l 的当且仅 澍度空间上的拓扑序列埔 4 当( x xx ，即每个点都是极小的当且仅当e ( x ，t ) 为群f 2 4 】；而( x ，t ) 为等度连续的 当且仅当e ( x ，t ) 为群且其元均为同胚；证明了万有点传递系统与万有极小流的存在性 1 2 6 1 ；缝也证鲠了对相当多的拓扑群t ，当空阕为零维紧空闻时，d i s t a l 与等度连续的硗是 等价的【2 4 】通过这些工作，他确立了他的包络半群理论，并开始逐渐将代数的工具引入 动力系统，他的工作的意义已经远远超出了问题本身1 9 6 7 年，f u r s t e n b e r g 类比于数论 中互索的概念，在遍历论与拓扑动力系统中同时引入了不交性的概念【2 0 1 这个观点现在 不论在遍历论还是在拓扑动力系统中都占有举足轻重的地位在这里我们不对遍历理论 的情况进行详细的讨论，最近g l a s n e r 有专著论述此点，参见1 2 9 】称两个系统( x ，t ) 与 丁) 为不交的是指它们的乘积( x vt ) 没有真的子系统同时为它们的扩充两个系 统不交意味着他们没有公共的因子，但反之不然两个系统不交体现了两个系统的动力 学性状有很少的共性，例如任何d i s t a l 系统就与任何弱混合系统是不交的这也颇合我们 的直观理解而e l l i s 发展的工具在不交性研究上也起了重要作用早在1 9 6 9 年的时候， e l l i s 就给了不交性一个代数的刻画f 2 7 ，2 8 】不交性的概念提出后，r ，p e l e g 在1 9 7 2 年提 出了稍弱的概念一弱不交性【3 l 】两系统称为弱不交是指它们的乘积系统为拓扑传递的 由于极小流必为拓扑传递的，所以两系统不交必为弱不交的，但反之不然研究不交与弱 不交的关系一度是研究的一个热点m c m a h o n 用不变测度的方法证明了两个极小流弱不 交当且仅当它们的极大等度连续因子为不交的，进而可以给出许多弱不交与不交等价的 条件【4 3 ，3 3 ，3 4 ，3 5 】近年来利用弱不交性，黄文和叶向东将系统的传递属性进行了精细 的分类阻，3 7 ，3 8 】，他们证明了以下包含关系： 强混合妄m i l d - 混合主弱混合妄极端扩散妄强扩散 ( = ? ) 扩散悖2 一扩散( = ? ) 弱扩散三完全传递传递 由于动力系统是将系统的所有可能状态放在一起进行研究的，那么弄清状态空间的 结构就显得十分必要人们首先是对极小流进行研究的1 9 6 3 年，f u r s t e n b e r g 建立了极小 d i s t a l 流的结构定理这是历史上第一个关于极小流的结构定理他证明了，如果( x ，t ) 为紧度量极小d i s t a l 流，则( x ，t ) 可以从平凡系统出发经过若干次等度连续扩充得到 【3 9 j f t t r a t e n b e r g 建立的这个结论以及在此过程中创立约思想与技巧对后来结构定理的 研究产生了深远的影响f u r s t e n b e r g 结构定理的出现极大刺激了拓扑动力系统的发展 稠度空间上的拓扑序列琦 5 1 9 0 年，w a v e e e h 在一个多余的前提下证明了有一点为d i s t a l 的极小系统的结构定 理( 即p o i b 豳t m 结构定理) 【4 0 i ；之后不久e f l i s 将v e e c h 所附加的多余条件舍弃并且对 结沦进行了推广 3 0 ，予是便碍裂了一般镌极，j 、滋缒终稳定理，僵递离所凝待鲍结果仍差 一步，之后几年，d c m c m a h o n 等人【4 l ，4 3 ，4 2 ，4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 】缝续对此进行深入 细致的研究，到七十年代末，极小流的结构定理理论的大致框架已经建立起来几乎在同 一时飙遍历论中也建立了类似的一个结构定理一f u r s t e n b e r g - z i m m e r 定理由于遍历 论的工具与背景比拓扑动力系统要更为广博，它的结构定理显得更具一般性与简洁性这 个结挎定理是及两条线独立发餍起来的t 一条是f u r s t e n b e r g 为证明s z e m e r f i d i 而发展 起来的( 2 1 ，4 研；另一条是z i m m e r 从遍历论的角度独立发展得到的 5 3 5 4 】不同的是， f u r s t e n b e r g 得到是z 8 作用下保测系统的结构定理，而z i m m e r 得到的是更为一般的群作 用下遍历系统的结构定理n t r s t e n b e r g - z i m m e r 定理指出，对任意遍历系统( x ，b ，“t ) 都可从平凡系统出发经过若干次紧扩充再加上一次弱混合扩充得到【2 1 4 9 ，5 1 5 2 ，5 3 ，5 4 】 从这里霰们也看到遍历论与极小流理论中绪论的相似性最近人们运用这条定理成功地 证明了正熵蕴含l i - y o r k e 混沌这一重要问题【5 5 】， 嫡一直是动力系统研究的重要内容之一，它是反映系统复杂性的个重要概念同时， 熵的相关理论在研究动力系统的动力学属性( 尤其是与回复性相关的属性) ，动力系统内在 结构和动力系统分类等方面的研究中发挥着巨大的作用熵是由著名数学家k o l m o g o r o v 在1 9 5 8 年首先引入的，同时x o l m o g o r o v 还引入了测度k o l m o g o r o v 系统k o l m o g o r o v 系 统具有非常好的回复属性和潜属性：k o l m o g o r o v 系统是一致强混合系统；l e b e s g u e 空间上 的k o l m o g o r o v 系统具有可数l e s e s g u e 谱，从而所有l e b e s g u e 空间上的k o l m o g o r o v 系统 是谱同构的( k o l m o g o r o v 和a o h l i n 5 0 ，5 7 】) ；k o l m o g o r o v 系统不交于遍历的零熵系统，从 丙由此可见k o l m o g o r o v 系统是完全不同予零熵系绕1 9 6 7 年，f a r s t e n b e r g 【2 0 ) 关于它 的研究多年来一直是遍历理论的主要课题之一，f u r s t e n b e r g ，k a t o k 、o r p _ s t e i n 。r o h l i n ，r u d o l p h s i n a i 和w e i s s 等著名数学家在该领域做出了许多杰出的贡献1 9 9 2 年法国数学家b l a n c h a r d 成功地乱入了测度k o l m o g o r o v 系统的拓扑对应：完全正熵系统和一致正熵系统随后他 又引入熵对这一局部化概念，证明了致正嫡系统与极小零熵系统不交，极大的刺激了熵 的研究，扶勉局部化理论成为媾的研究中酶热赢，之后g l a s n e r ，i l g s t ，r u d o l p h 稚泌 等众多知名学者投入到这方面的研究中，建立了炳的局部变分原理和熵对变分关系等一 澍度空闰上的拓扑序列墒6 系列重要成果叶向东和黄文最近又使用测度p i n s k e r 代数刻画了n - 一致正熵的局部化 概念测度n 熵串，证明了测度k o l m o g o r o v 系统的拓扑实现为完全一致正熵系统，使得什 么是烈度k o l m o g o r o v 系统的格扑对应这一回题碍裂了圆满的冒答， 对于零熵系统，1 9 6 7 年k u s h n i r e n k o 1 2 l 扩展保测系统熵的定义给出了一个新的同构 不变量：序列熵，这一不变量是区分具有相同熵和谱属性系统( 特别是零熵系统) 的重要 不变量利用序列熵k u s h n i r e n k o 找到两个具有可数l e b e s g u e 谱的彼此不同构的零熵系 统h u l s e 、n e w t o n ，p a r r y ，s a l e s k i 和w a i t e r s 等人f 5 8 ，5 9 ，6 0 ，6 l ，6 2 ，6 4 6 剐对有关测 度序歹矗熵的问题进行了深入酶研究，取得了一系列的成果相对于任意自然数窿列其序列 熵均为零的保测系统，称为n u l l 系统k u s h n i t e n k o 1 2 1 证明了个保测系统为n u l l 系统 当且仅当它具有离散谱，从而遍历的n u l l 系统相当于紧致a b e l i a n 群上的旋转g o o d m a n 在1 9 7 4 年【7 】引入测度n u l l 系统的拓扑对应一拓扑n u l l 系统，但是根据【7 】，序列熵的 不变原理不成立很自然地我们会想到这样一个问题一对任意给定的序列z + ，如果 ( x ，刃沿着a 的拓扑熵为零。那么( 朋( x ) ，即沿着a 的拓扑熵是不是也要为零? 进一 步，如果( x ，t ) 是拓扑一n u l l 的，那么( m ) ，即是否也一定是拓扑- n u l l 的? 在这篇文 章中我们将尝试回答这个问题事实上，根据这篇文章的结论，我们通过研究拓扑动力系 统上的一些特殊的伪测度有可能得到这个空问上的一些动力学性质 首先，给定一个伪测度空间和自映射，我们可以定义拓扑序列熵并对它给出系统的 描述，包括一系列特殊的由连续实函数诱导的伪度量我们证明了对给定的拓扑动力系 统和序列z 牛，系统沿着一4 的拓扑熵为零当切且仅当所有由连续实函数诱导的伪度 量沿着一4 的拓扑熵为零根据在【3 】中几何意义的启发，作为应用我们证明了对任何给 定的z + ，如果x 是零维的，那么( x ，t ) 沿着的拓扑熵为零当且仅当( 朋( x ) ，t ) 沿着4 的拓扑嫡为零。因此，如果x 是零维的，那么( x ，t ) 是拓| 卜n u l l 的当且仅当 ( m ( x ) ，t ) 也是拓扑一n u l l 的这对我们的问题在零维空间的情况作出了肯定的回答 在一般的情况下。对任意给定的序列a 巩，如果( x ，t ) 沿着一4 的拓扑熵为 零，( 州( x ) ，t ) 沿着4 的拓扑熵是不是也为零? 这仍然是一个问题在我们即将结束这 篇文章的时候，黄文在【8 t h e o r e m5 1 0 中用完全不同的方法证明了( x ，t ) 是拓扑- n u l l 的当且仅当( m ( x ) ，t ) 是拓扑- n u l l 的 翻度空间上的拓扑序列熵 7 符号约定，我们记n ( z ，r ，c ) 为自然数( 整数，实数，。复数) 集合而记z + ( z 一) 为 非负整数全体( 非正整数全体) 类似定义r + 及r 一 我们以0 记空集设a ，b 为集合x 子集，定义差集b a 为扛x ：。b ，岔管m 。 而定义对称差集a a b ；( a b ) u a ) 记 的补集为，闭包为a ( 或a ( a ) ) ，内 点集为p a ( 或i n t ( a ) ) 对拓扑空闻x ，其n 次乘积空间记为x ”= 墨兰茎! ：兰兰，设t ：x x 为映 ，妖 射，我们记t ( “) = t x tx t 。1 ，一 n 次 “j 。表示“存在”l 。v ”表示。对任意的”“s t 。表示“使得。；“辛。表示“推出。 第一章动力系统基础 1 1 拓扑动力系统 设x 为拓扑空间，t ：x x 为连续映射，我们一般将偶对( x ，t ) 称为离散拓扑 动力系统( t d s ) ，或直接简称为动力系统对于空问x ，在本文中我们一般假设为紧致度 量空间，否则我们将会特别注明如果t 为双射且t - 1 为连续的，我们就说t 为同胚或 是可逆的此时( x ，t 。) 也为动力系统，张它为( 置t ) 鲍适向系统当x 为独点集时， 我们称系统( x ，为平凡系统 对自然数礼，我们定义t 的仃次迭代为p = z ! 三：! 互，并约定t o = d ( 其中i d n 次 表示恒同映射) 对z x ，称o r b ( x ，研= z ，t x ，铲士，) 为z 的轨道如t 为同胚，则 可定义负向轨道及双向轨道为o r b - 0 ，t ) = 如，t 4 z ，t 句， 及o r b + ( z ，t ) = p 。： n z ，( 在t 为同胚时，我们也经常把 p z ：nez ) 称为轨道，而仁，t x ，t 2 x ，) 称为正向轨道) 设a 为x 的子集，如果t ( a ) a ，则称a 为正不变集；如果r 一1 a a ，则称 a 为负不变集；如果t ( a ) ；a ，则称a 为不变集一个子集为正不变的当且仅当它的 朴集为负不变的l 一个不变集为正不变的，但不一定为负不变的，除罪? 为单射；一个 既是正不变又是负不变的子集( 例如x ) 不一定为不变的，除非t 为满射；当t 为同胚 时 集a 为不变集当且仅当它既为正不变集又为负不变集如果a x 为闭的正不变 集，则( a ，t i a ) 也成为一个动力系统，称之为( x ，t ) 的子系统，有时我们就直接将它记为 ( a ，t ) 对任意z x ，易见西：i 丽为闭的正不变集，进而( - 而丽，刁是( x ，d 的一个子系统 定义1 1 1 设( x ，t ) 为动力系统，z x 1 如栗t x = z ，那么点z x 称为不动点； 2 如果存在某个佗n 使得t x = o 成立，那么点z x 称为周期点。而n 称为卫 的周期i 我们用f i x ( x , t ) 或f ( x ，t ) 表示系统( x ，t ) 的不动点全体，用p e r ( x ，妁表示 8 测度空间上的拓扑序列埔 9 系统( x ，刃的周期点全体 对x 。我们定义z 的u 极限集u 【，t ) 为o r b ( = ，t ) 的全体极限点集。郾 u ( z ，t ) = x ：3 m o 。s 土r z 一，) = nu ( ”z n 0 女2 n 有时也记之为咐( ) 或们1 ( z ) 而对系统( x ，t ) ，定义它的wg d g - 集c 为w ( t ) = w r = u ；x u ( z ，t ) 对同胚t 定义( x ，t ) 的。极限集d ( ，t ) 为t - 1 的u 极限集 定义1 1 2 对系统( x ，丁) ，点z x 称为回复点是指对耋的每个鄂域儿存在住1 使 得t x v 记全体回复点的集合为r e c ( x ，t ) 或r ( x ， 不难看出，为回复点当且仅当存在巩一o 。使得z z z 当且仅当z “，( t ) 对动力系统，回复点总是存在的 定理1 1 3 ( b l r k h o g 回复定理j 俐设( x ，t ) 为动力系统，则r e c ( x ，t ) 口 在上述定理中，空间x 为紧致h a u s d o f f 即可定理的证明有许多方法，一种是用z o r n 引理直接证，另一个方法是用极小集存在来证，但也要用z o r n 引理对于紧度量空间的 情形，我们可以给出构造性证吼参见【4 9 ，6 3 】 命题l 1 4 对系统t ) ，p e r ( t ) 与置( 研为逸代不变的，即有p e r ( 了“) = p e r ( t ) 与 露( 7 坼) = 矗( t ) 定义1 1 5 设( x ，砷为动力系统 如果对x 中任二非空开集配y ，存在n n 使得矿n t n v 改那么就称系 统( x ，或映射? 称为拓扑传递的 例如果存在点x 使得否磊丽= x ，那么系统( x ，d 或映射t 称为拓扑点 传递的称点$ 为传递点，我们用t r a n s t 表示传递系统( x ，t ) 的全体传递点 注记1 i 6 俐传递与点传递是不同的概念反例如下- 设x = o ) u j ：仃= 1 ，2 ，( 取r 的遗传拓扑) ，而t ：x x 定义为t ( 0 ) = 0 ， t ( ；) = 南，于是t r a n s r ( x ) = 1 ) ，但( x ，t ) 不是拓扑传递的 设g ：j ：+ i ，英中1 = i o ，q ，g ( = i 1 2 z 一1 l 为枨篷映射，曩1 jp e r ( 们= j f 子艰 令x = p e r ( g ) 及，= g l _ p 。b ) 于是( x ，) 为传递但是不为点传递的， 潮度空间上的拓扑序列熵1 0 f 圳易证：如x 没有孤立点，则点传递推出传递；而如果x 为可分的g - ：纲集，则 传递推出点传递以下我们均假设x 为紧度量的，于是总有传递推出点传递，而如再加 上没有孤立点，则两概念等价 命题1 1 7 设( x ，研为动力系统，则 “j 如果r 为传递的，则它为满射； 例如t 为满射，则传递性等价于，氮传递性i f 彰如( x ，为传递的，则x 无孤立点当2 - 0 , 当它为无限集， 定理1 - 1 8 硇6 刀设( x ，研为动力系统，则以下俐到例等价 一j t 为拓扑传递的； 俐对x 任二非空开集阢v ，存在n z + 使得p 矿n v 0 i t 3 ) t r a n s t 雨x 讷撼密g 5 于巢i “，存在使得o r b ( t x ，t ) 在x 中稠密； 1 1 ) ( 毒) 椎出( 5 ) 。如果x 没亳孤i 、妯( i ) ( 5 ) 等愉、 f 5 ) t r a n s t q 注记1 1 9 取 阢，墨l 为x 的可敷基，则 t r a r t s t = 缸x ：而i 丽= x ) = nu t 以 0 0 伽x ：u 0 ，t ) = x ) = n nu t - ”阢 i = 1 w 鳓n = ，n 注意到这两个式子，要给出上定理的证明就不那么困难了 定义1 1 1 0 如果t r a n s r = x ，那么称系统( x ，t ) 为极小系统 易见( x ，t ) 为极小系统当且仅当( x ，t ) 没有真子系统设y 为x 的非空闭的正不 变集，如果系统t i y ) 为极小系统，则称y 为极小集利用z o r n 引理不难说明任意 闭的正不变集一定包含了个极小集如果点z x 它包含于某个极小集中，则称之为 极小点，这等价于z 的轨道闭包历i 丽为极小集全体极小点集记为a p ( x ，? ) 一 般也称极小点为几乎周期点 测度空间上的拓扑序列熵 设( x ，t ) 为动力系统对嚣x 和矿x ，令( ，u ) = n z + ：f z 哪我 们称( z ，u ) 为。进入u 的回复时间桌对于极小点毛可以用回复时间集n ( x ，u ) 来 刻画，这是w g o t t s c h 出k 和g h e d l u n d 的一个经典结果设a c z + ，如果存在l n 使得任意长为z 的连续自然数中一定含有a 中的点。那么我们称a 为s y n d e t i c 集( 我们 把这样的l 称为a 的间距( g a p ) ) 命题1 1 1 1 ，7 ，7 搿设( x ，t ) 为动力系统，茹x 则z 为极小点当且仅当对z 的每个 邻域，( z ，为s y n d e t i c 集 般系统是不能分解为若干极小系统的并集的我们( x ，称为丰单的，是指其中 每个点为极小点大部分系统都不是半单的 定理1 1 1 2 8 可设( x ，q 为传递系统，则? 没有非常敷的连续不变函敷，即不存在x 上连续函数，使得，o t = ， 定理1 - 1 1 3 a a , 刎设( x ，t ) 为以m 为其满支撑不变洲度的动力系统，且m 斗t 为 遍历的则我们有m ( t r a n s t ( x ) ) = 1 特别的，此时( x ，t ) 为拓扑传递的 对于系统( x ，t ) ，如果空间上赋有某测度m 。虽然在拓扑意义下t r a n s r 很大( 稠密 的g j 集) ，但在测度意义下它可以很甚至为零测集【6 7 】 下面我们看看对于一个系统它的非传递点集到底是怎样的+ 我们记全体非传递点集 为i n t r t ( x ) ，即i n t r r ( x ) = x t r a n s r ( x ) l 理1 1 1 4 设( x ，? ) 为动力系统且x 没有孤立点则i n t r t ( x ) 或为空集，真为x 的 稠密子集等价的，如果i n t ( t r a n s r ( x ) ) 0 ，那么( x ，t ) 为极小系统。 定理1 1 1 5f 碱艿可设( x ，t ) 为动力系统且x 没有孤立点，则必有以下情况之一 例t r a n s t ( x ) = 口，此时i n t r t ( x ) = x j f 纠t r a n s t ( x ) 为稠密g 5 集，此时有两种情况t 以，机印( x ) = o 即有x 为极小 的；俐i n t r t ( x ) 为稠密的 对传递系统( 墨研，一般系统( x ，? ”) 协n ) 不再为传递的我们将满足对任意 竹n 系统( x ，2 m ) 均传递的系统( x ，丁) 称为完全传递的对传递而非完全传递的系统 有一个分解定理，参见f 7 0 以下我们罗列一些经常出现的特定的传递系统 f 系统，完全传递且周期点稠密的系统； 测度空问上的拓扑序列熵1 2 p 系统，传递且周期点稠密的系统； m 系统t 传递且极小点稠密的系统； e 系统t 传递且存在有全支撵不变泓度酌系统 下面我们将分析具有更强传递属性的系统，即混合系统 设( x ，丁) 为动力系统，矾矿为x 的非空开集我们定义u 碰撞y 的回复时间集为 ( 以”= 扎z + ：p 矿n v 0 ) = n z + ：u n r ”y o ) 不难看出，动力系统( x ，丁) 为传递系统当且仅当对x 的每对非空开集矾v ，( 以v ) 为 无限集 定义1 1 1 6 设( x ，t ) 为动力系统如果乘积系统( xxx ，t t ) 为传递系统，则称 ( 五t ) 为弱混合的 上面提到的f 系统为弱混合的( 2 0 ，7 0 1 由定义。弱混合系统必为为传递的，实际上 我们能说明弱混合系统为完全传递的【2 0 f a r s t e n b e r g 说明了对弱混合系统非空开集的 回复时闻集具有滤子性质t 命题1 1 1 7 c o , 命题h s 设( x ，为弱混合系统，则对任意非空开集巩，k ；阮，存 在非空开集玩，k 使得( 现，) c ( 矾，k ) n ( u 2 ，) 设a c z + 如果a 包含了任意长的正整数序列，则称a 为t h i c k 集易见a 为t