（基础数学专业论文）项链李代数的结构与性质.pdf

d 中x 摘要 0 1中文摘要 最近，l eb , u y l - 和g m z b u r g 分别引入了项链李代数( ，它是定 义在箭图上的一种无限维李代数，在非交换几何研究中起了重要作 用。目前对项链李代数的结构还没有太多的研究。 本文探讨项链李代数的结构及性质。在li 节中，我们定义r 箭 图q 的重箭图q 循环上的映射5 r ，用它给出了项链李代数括号运算 的一个严格定义，并用此定义证明了这是一个李运算。在12 节 1 ) 我们对项链字引入左右指标数组，利用它们把项链李代数。的基 分成了a ，b ，c ，d ，e 5 类我们还讨沦了由重箭图自然自同构导出的李 代数的一。个自然的对合。在1 3 节中，应用指标数组我们讨论了各类 元素的性质，指出其第a ，b ，c 类元各自张成的子空间均是。的子代 数，特别是c 类中所有氏度为2 的元素张成了的a b e l 子代数h ， 且含于c 生成的子代数p 的中心z ( p ) 中。在2 1 节中，我们利用h 给 出了的中心元的一般形式，即对任意z z ( n q ) ，有。一b m 十。 其中b 。k ，叫c ，z7 e u 我们还对只有一个单循环和一个单循环及 若干单箭头的箭图，给出了其项链李代数的某些中心元素的具体形 式。在2 2 节中，我们对非平凡图，即当箭图中有箭头时，利用日中 的元素证明了不是半单纯李代数。当箭图中有长度大于1 的循 环，且无圈时，构造了o 的非可解子代数，从而征明rn q 是小町 解李代数。我们还利用指标数组讨论了项链字的运算，构造了( ，的 可解非幂零子代数，从而证明了当箭图中有长度大于1 的循环时， 项链李代数非幂零。在2 , 3 节中，我们给出了没有圈的箭图上项链李 代数的分解。 关键词箭图项链字项链李代数幂零李代数可解李代数 f ) 2 ab s t r a c t , i i u i j 1 1 m i l 川( ig i n z l u r gh a ( 、i n h ( 川1 w k h ：( 、l i ea l g e l m ，w j 1 1 8 ( 1 e f t t ”( 1 i v ( 、1 _ ( t 【) 1 j l l f 洲l c 1 i 1 吲0 u a l ，t i l ( 、( ：i ( 1 m ：cl i ea l e f 、i ) r ai ) l ：w 8 1 i n p o r i f l 、( ) 1 pi i l1 1 l t 、l l t m l u l i c a t i g e o l t w i i ? r l l l ( 、l r i hr t 、wl e n i l s m 1 s n l i ( 1 i l l eo fi l e c k a c ( 、1 j ( ；1 i g e l ) r nl i p1 1 l l o w u 0s t u d vt l i p 时i l “m i f l 一o p e l l j 、so ft 1 i l e tk l a ( 、( 、1 i e , d g e b t 札i l l 、n ； n l1 w 。j 1 、l kn m 冲沁gn t ) k l i n d m d d eq o i w n q ) f n q u i v e r 【2 、n l l d d s i c ( k t l t i ( 川( ) fb r a c ( t l l ( 舭州t i 0 1 li nl i em 弦b l 扎t h e n mi t i sal i eb r a t k e t 1 1 1 州“( ，l 】 l2 w u ”t 儿h l ”1 1 1 【、l e t l 川- 1l i g h ti n m x a y s “k h u ( w o i i l ”坶h 1 w e ( h v i ( h i h ( f i ( x 出l ( cw ( ) r i sh t ! ，( ，5 ( ：l a s s e s ，a , m e l y ：a d ，c da n d ev c ea l s o ( 1 i s t l l s s ，i i j h f 川。1 h m 炯fi n h l tk l 川、珠，剐m t i i j o l t1 3 ，l , a k i n g 帆i 洲岫冀 1 川 t l l c ( h u s s i l i c n t i ( ) 1 11 ) v “i ci n d c xa r r a y s ，p o i n t ，e do u t t h es p k cs p a n n e db yc l a s sa , b ，c 岬1 ) 【、1 1 i 讯，m r 州、h t i l l | 1 i g e b r n si ) fn q v ma l s os h o wi h a l h em d ) s p a ( c8 i m o 【1 w t ( 、l e t l l e n l s ，l - k u g l ，l l 2i n ( ? i s 川a b e l i a ns u j a l g , 【：i j ii “s ( ) f q ( ( j j ( 、i t b 3 。hw ( l i n di l i st ”n t , a i 岬 i t h et - e n t ，c t o fs u b a l g e l n a1 o t ks l l b s p ；q c es p a i l l l ( 、i jb y h ( 、 c 】e l l l p l l t sm 【1 峭s c 1 1 1s o ( t i o t l21 w eg i v eag e n e r a lf b t o fe l e l t t p i t ( , s i n z ( q ) ， “l a fi s ：v i z ( u ) ，w ( 、1 l 。w ( 、i - 篡“u l + 】- ，p r o v i d e d t h a tb t k ，u 2 c - ，f e f o r ( n l i v c rw h i ( - 1 1 1 1 a s o n l y c , ：l ec i r c l e ( ) rac i r c l ew i t hs o l i l es i n g l e a l io w s t w ea l s o ( t e d s 削 ，ti t l s ( 、i t 川s i n z ( ( 办h is p ( 啪1 1 2 2 w p t ) j o v e t h a ti ft i n 、s e i ( ) fa r r u w si l la 1 i v c ri s n ) ten p t y ，t h e n n qi s 1 ：o ts e m i s i m p l e ，w ec o t l s t r l l e t ih e ( m s ( w 柚) 1 、引l h a l 甜，h m ( fn ( ? w h ( 、1 1 t i l e r ( 、i s1 1 ( ) l ( 、s h f l i a l lr ) t t e 【。i tl l ew h ( s ( h l g f hi s b i g 州t l ( m t 、川h 1 “h ， j sl ml o o i ) i nq u i v c rq ，t h u s l e a ( t s “) n ( ( h 1 1 【1 n 【) i sl l ( j il h ( ) v a i ) 【( 、u s i l l h ii l ( ，i n d c ，xh t 【a y st od i s ( i l s st l l c ( j i ( r a t i o n o fl i c ( k l j l ( ( w ( t 脚l l s t r u c t 扎v a b l 1 l b a l g e b r 州) f b ，w h k hj s 】1 【，f 川1 1 ) ) “、n t ，1 1 1 i s s h ”、v st h a t ( ? i 8 1 1 0 t l l i l p 0 1 e n tp r o v i d e dt h a i t h e r ei sac y c l i cw i t hl e n g t hb i g g e rt h a ”1 1 1 1s e c i , i o l l 8 f j 2a f “f h i ( ，t 20 ，w cg i v et h ed c c o i n t ) o s i t , i 6 no f _ u ，r h q u i v e rw i t l u ) t i tl ( j ( j p k e yw o ! d ：【l l r i v e r l m c k l a c ew o r dn e c k l a c el i ea l g e b r a s o l v a b k l i g e b ) h 第一章引言 李代数是当代数学研究的一个重要领域，其许多的问题不仅源 于数学研究的需要，而且源于物理学的研究( 李代数源j 二十九 世纪s l i c 对李群的研究，w k i l l i n g ，e c a r t a n 和h w e y l 等人对李代数经 典理论有重要贡献( 有关经典李代数理论的讨论见【：j 】。复半单李 代数的分类工作及其表示理论的研究( 见| 5 】) 不仅极大丰富了李代数 的理论，而且导出厂6 0 年代来k m o o d y 李代数的提出c g , 另个来 源是理论物理学的流代数) ( | ( ；】) 。同时，对非代数闭域上或特征有限 域上半单李代数的研究也一直吸引着不少数学家( n 【8 】- 。李代数 的理论和方法对数学其他领域如量子群，代数表示论也产生了十分 重大的影响( ) 。 李代数的研究通常有着很强的几何和物理背景。在菲交换几何 的研究中，当探讨+ w e y l 代数a ，( c ) 的c 一代数自同构群肌t a - ( ( ； j 在 轨道w e y l ，。上的作用时，得到一个a u t a ，( c ) 在t t n 矩阵轨道空间 c “i o ，。( ) 上的可迁作用，但是此作用是不可微的从而是非代数的。 b e t 。s t 和w i l s o t 提出是否可将c a l o 。等同于某种无限维李代数的余伴 随轨道。利用新构造的项链李代数，g i n z b u r g 和l eb r u y n 解决r 这一 问题( f l l 】，1 1 2 1 ) 。 m l o t l a i r e 和c r e u t e n a u e r 都曾用项链刻画自由李代数的基( 1 3 1 ，| 1 4 】) 。 最近，l eb n 和g i n z b u r g 分别引入了项链李代数( 【1 l 2 】) ，它是定 义在以一个箭图q 的重箭图国中所有的循环等价类为基的向量空间 e 的无限维李代数。箭图应用于代数已经越来越广泛( f 1 5 1 ，t 1 6 1 ) 。 现在项链李代数在非交换几何及奇点理论，量子群等领域有着重要 的应用。目前对项链李代数的结构还没有太多的研究。 李代数的结构研究一直是李代数研究的重要基础，如其可解性， 幂零性及重要的子代数( 1 1 7 1 ，1 1 8 】，1 1 9 ，【2 l 2 】) 。本文探讨项链李代数 第一章引言 的结构及性质。文咔r 用z 表示整数集合，zr 表示正整数集合。- f 址f i l 酋先讨论项链李代数的定义，引入循环上的映射n ，在l l l 】巾图示定 义的基础上，用它给出项链李代数括号运算的一个严格定义，并用 此定义证明r 向鲢空间c ? 足个李代数。我们讨论了由重箭图的 自然自同构导的李代数的对合咖。为研究项链李代数结构，我们 还引入了指标数组的概念。应用这一概念，我们对q 的基进行了分 类，并用它讨论了单个分类元集合的性质，构造了项链李代数的一 些有趣的子代数；给出了项链李代数的中心元素的一般形式，并 对两类箭图给出了其项链李代数的某些中心元素的具体形式。我们 还汪明了箭图中有箭头时， 白非半单；当箭图含有长度大于1 的循 环时，其项链李代数是非可解非幂零的；当箭图中无圈时，其项链 李代数是可分解的。 在1 1 节中，我们利用箭图q 的箭定义了其重箭图国循环上的映 射一并将一自然的定义到循环等价类即现链字上，从而用o - 给出了 项链李代数括号运算一个严格的代数定义，并用此定义严格证明了 向量空间u 是。个李代数。在1 2 节中，我们还对项链字引入左彳t 指标数组，利用它们把的基分成了5 类，这种分类对后面讨论s o ! 链李代数起了重要作用。我们还讨论了由重箭图自然自同构导出的 孪代数的对合。在1 3 节中，应用指标数组我们讨论了分类元素集合 的性质，其第a , b ，c 类元各自张成的子空间均是。的子代数，特别 是c 类中所有长度为2 的元素张成了的a b e l 子代数h ，h 含于c 生成的子代数p 的中心z ( p ) 中。在2 1 节中，我们利用厅给出r _ u 的中心元的一般形式，且对只有一个单重循环和只有一个单循环及 若二二单箭头的箭图，给出了其项链李代数的某些中心元素的具体形 式。在将2 2 节中，我们对非平凡图，即当箭图中有箭头时，利用盯 中的元素证明了不是半单纯李代数。当箭图中有长度大于1 的循 环，且无圈时，构造了q 的非可解子代数，证明了是不可篇李 代数。我们利用指标数组讨论了项链字的运剪，构造了n 。，的町解非 幂零子代数，从而证明了当箭图中有长度大于l 的循环时，项链李 代数非幂零。在2 3 节中，我们还给出r 没有圈的箭图上项链李代数 的分解。应用这些结构，我们可以构造一些有趣的李代数的例予。 第二章关于项链李代数的结构 2 1项链李代数的定义 令q = ( q 。、q ，t ) 是一个连通的有向图，其中q n = hn 0 是 q 的顶点集合，q 中的有向边称之为箭头，则q - 是q 中箭头的集 合，q 】：h 叫。) 一f 是从q l 到的映射，使对n q = f ，是 n 的起点，t ( “) = ，是“的终点，记作n ：”一7 。称q 是一个箭图。 q 中有箭头序列：m “、 f 三l ，这里i 。 l ，一、m 如果满 足t ( a ，) = 一( 。) ，则称c 、= 啦为q 中的路，若还有f ( r h ，) = ，s ( “，) 则称c 是一一个循环，“称为循环的长度。当“= 1 时，r 称为圈( 1 m ) ( 【4 1 ) 。特别，我们称q 中任何一个顶点仇是长度为( 1 的循环，记 为e ；。在q 的前提循环集合上定义关系一如下，设c ，是q 巾的一个 循环，若c 是依次轮换c 中的箭头而得到的循环，定义r - ，。_ 显然 一是等价关系q 中的一个按上述定义得到的循环等价类称为q 的 个项链字。若c ，= 、n u 是循环，则相应的项链字用图表示为： 丑一 n 。一也 ( 图2 - 1 ) n t ， 用。= “。哪。表示，这时c 是u 循环等价类中的一个代表。将 q 上所有的项链字的集合用h 白表示显然，循环等价类巾每个循 环具有相同的长度，这一长度，称为项链字的长度，用表示 对于q 中的每个箭头n ：”+ ”7 ，添加8 关于”，的对称箭头矿，即 n + ：口7 + 口，得到q 的重箭图国记q i = ：t 。一n t o 一峨q 】) 则= ( 知而印。= q u q ；我们将国中所有的循环等价类即所有的 项链字作成集合n p j ，以此集合中所有的元素为基在k 上构造一个 向量空间n o 第二章关于项链李代数的结佝 没在_ vl uj f _ l 每等价类任意选取一个代表作成集合，( i l 。jj ， 定义映射m 7 ：t ( 1 畅) ，( n ) ，( n u 0 ) ，对v7 ( u 1 ) ，【u 2 ) ，( 口) 设7 ( u i ) = r y l f b ，7 ，( “2 ) = ，1 风，中o 。，7 a i 对v i f 1 ，7 - ) ，7 h _ ) ，给定n q 1 我们定义 吲“曲( ) = ”m - l 吼l 脚l 叩坼l 薹1 嚣趴。 称a 0 ( r ( “- ) ，r ( w 。) ) 是，( u t ) ，r ( u 。) 关于n 的连接。对给定的代表集 r ( n w q ) ，用o i j ( w ，u t ) 表示。，j p ( w ，) ，r ( u 2 ) ) 所在的等价类，定义 口嚣( n 嘴b h w h ) = a k b h 吩( w k ，u ) ， khh 其中a k , “i f ，则。巧在口上是一个双线性运算对任意u z n w 白 定义： p ，u 。1 o ；( u 2 ) 一一0 ( w 1 ) ( 2 1 ) 可将上述括号运箅线性地扩展到口，对于v z ，令r - = 亡n 肭，y = 妻b j w j ，由( 1 ) 式，我们定义 t ；l ，= l r3rs k 】_ 匹a m ，6 j 叶 - n t 吩，哟】， l = 1 j = ti - 1 j = 1 易见它是双线性的。因为【u z m 】：亡壹。品( u 。m ) 一壹妻略( “。) 所以h ，曲) ：一m ，u t 】、且向量空间o 对括号运算具有封闭性 根据( 2 i ) 式与字的图示，我们可以形象的定义括号积r v w ，u 。 。 净埘 旦酊 |专| 有 ， ，叮 m 吒 5 2 1项链李代数的定义 即对出现于u 。中的任意箭头n 吼，找寻n + 是否出现于。中， 若是，则同时删去a 和o + ，以打开w ，和u 。这两个项链，将打开后 的i l j _ 条路的舀尾对应相接( 同一顶点接在一起) ，构成一个新的项链 字，若n + 不在u 。中，则将新的项链字看作0 。然后在。中找寻 二述 的n ，在“，中找寻n + ，重复上述操作，得到又一个新的项链字，用 先得到的新的字减去后得到的，最后把相减后得到的所有的项链字 加起来，和式即p ，t j j 2 命题2 1 1 是李代数，称为箭图? 的项链李代数。 证明：由上面的定义，已知双线性成立。下面需证明： v x n q ，k 叫= o ；对| 】1j a c o b i 等式成立 v u n ，设“= n 。其中。，o 。是电中的箭头。由( 1 ) i -r 0r0 。 r 式，u 】= t t i j ( o j ，u ) 一a i j ( w ，u ) = 0 对v x ，令z = o 。， ，2 鼍。1 8 l j 一 ， 8 则，】= ：壹妻n ，j 当i = 7h 寸j 有胁】= 0 ，当i 7 时，f f 于 a i a j w ；，u 7 】与a j n 。m 】成对出现，而a i a j w i ，屿】+ q 啦h 卜a ic l j c n ，u ) 卜 a 1 a j ，卜0 ，故k x 】_ 0 我们证明j a c o b i 等式成立，即证当v x ，y ，。舶，峪引，= 】+ 。b 】+ z 】，y 】- 0 由于括号运算是双线性的，故这里只需取v z = ”= u 2 。= w 3 n 即可。设u 1 = q l o r ，叫2 = 口1 阮r w 3 = 1 1 弧其中 扎 ，t 一均是o 中的箭头。则 乩u z 】，u 。】= 如( 一0 ( u z ) ，w 。) 一a 2 ( a 0 ( 咄。，) ，。) n ，b 口1 七，hi , jd ，6 e 0 lk , hi , j 一一2 n ，d 舀( u 。) ) + 一k ( a 舀( 吨u ) ) n 6 0 l 七hi , in ，6 0 jn hi , j = ( n ) + ( b ) 一( c ) 一( d ) 比u 。】，u 】= 一( 0 5 肭) ) 一一( 0 0 ( ，u 。) ，“t ) o ，6 e 日i 女，hi jn ，6 q 1 t ， 一a 2 ( 唠( u 。) ) 十。k ( 乩噶( 叱。z ) ) o 6 0 l 七，hi , jo ，6 0 1k ，hi , j = ( e ) + ( ，) 一( g ) 一( h ) 8 第二章关于项链李代数的结构 一k ( a 0 ( 吣，u ，) ) 一。一：( u n ，6 口lk ，ht ，jd ，6 0 i ，ht ，j 上面的 ，i k ，h 均取遍大于等于1 小于等于r + s + ，的整数。我们需 汪明 我们来看一个引理 弓i 理21 2 对v 一2 h ( 0 0 ( 。l ，“，z ) ，u 3 ) 0 ，存在o i ，( 一2 。f ，( u 1 。) 、u z ) 或 仃0 ，( u l ，盯2j l ( u 2 ，u ： ) ) ，使得盯2 ( 仃0 ( u 1 u 2 ) ，u 3 ) = 仃矗j ( 盯2 i h ( u l “3 ) u 。) 或 口2 ( 口；! f ( u l ，w 2 ) ，“3 ) = 口0 t ( w l ，o - 。b l h ( w 2 ，w 3 ) ) 讧e 【碉： 仃嚣( u 1 ，u 2 ) = n l ，( t i l 弓+ 】风p i 岛i o 。+ 1 n ，其叶lo 。= “f ，7 = n ，令( t l = 占i n ，= 辞+ s2 ，贝0 o , j ( u l ，u 2 ) = 6 1 6 r + s - 2 ；一2 ( u 1 ，u j ) = “l n i 一】i + 1 ，7 1，h l n k l + 1 ( 1 r = f 1 f r + t 一2 ，其中n * l = n ， = “，f i = m ，靠十s 一2 = ( b ； 盯2 。 ( “2 ，u ) = i i i 1 体l j l f + i7 1 - 7 hi ，k i + l 伉= 7 1 7 ，一2 ，其中仇= b 1 h = b ，7 7 l = 卜，风= 7 b + _ 2 因为若f = n ，卢，= 且q 1 = 靠= d 、1 = b + ，则 r ，2 b ( 盯0 ( 。i 。2 ) 妒 ) = n l o l 】屿+ 1 成胁岛一i t y t + 1 0 k l 1 1 h 十l m 1 t h 一1 0 女l + i n r ，若f h = “ ，j = r j 且j 。 = “ = b ， h = b + ，贝0 以 ( 盯舀( l 、“2 ) ，u 、 ) = n ( v 卜l 传+ h 仇1 1 7 h + i m 1 7 一l 风l + 风卢l 岛一l 啦+ ( h 对于 其他情形， 硝。( o 嚣( “- ，u 。) ，u 3 ) = 0 所以有鸸。( a 0 ( 叭“2 ) ，) = 盯：j j ( 盯2 巾( u i ，w 3 ) ，u 2 ) ，若f ￥。= 矗，= 叱伤= “且f l k 。= “= b ，1 h = = b 碟 ( 唱( “l ，叻) ，呲；) = 喵，( 以。 ，均) ) | 若啦= n ，岛= w 。= n 且凤，= b ，1 h = 舻；口女b f 。( 口i ( u i ，u 2 ) ，u 1 ) = 0 ，其他情形 由引理2 12 知，对于( a ) 式中的所有非零加项，总能被( 1 1 ) 或( k ) 式中的某些项抵消；同样的讨论知道，( b ) 式被( g ) 或 “盯 咙以 哪 u 唠 沁 ， o 挑 0 仃 一 甜 鼬一 触州一。 = 2 2项链李代数的一些基本性质 9 ( 1 ) 式样中的某些项抵消。( t 、) 式对应( c ) 或( 1 ) 式，( 1 ) 式对应( d ) 或( k ) 式，( i ) 式对应( d ) 或( g ) 式，( i ) 式 对应( c ) 或( 1 一) 式。这样( 2 2 ) 中系数为正的项全部被抵消掉。 反之，对( 22 ) 左边系数为负的加项，用同样的方法得到( t ) 式 中的所有非零加项被( e ) 式或( j ) 中的某些项抵消；( c f ) 式对应 ( f ) 或( i ) 式，( g ) 式对应( b ) 或( i ) 式，( h ) 式对应( n ) 或( j ) 式，( k ) 式对应( a ) 或( f ) 式，( 1 ) 式对应( h ) 或 ( c 、) 式，于是( 2 2 ) 左边系数为负的项全部被抵消掉，从而( 22 ) 成 立，即。l a c o b i 等式成立。我们证明了是李代数。由帕的基的定 义知道，它足无限维李代数。 2 2项链李代数的一些基本性质 对于给定的箭图q ，记( ? = ，n 。) ，则q j = n ：，“甜n ； 称为n 的星化任取u n w o ，设c 是w 所代表的循环等价类中 的一个循环，从顶点出发，c 依次经过q 中的箭头为、m 。 经过的( ? | f p 的箭头为n ；，“令出现于u 中的箭头序列为l ：= = h ，a 。) ，凡= 描，n ；，) ，现将“中所有元素的下标全部取出，记 为：、即珑= ( 忆，i t ) ，同样得端= ( 扎 ) ，分别称为。的左指标 数组与右指标数组我们规定这样的指标数组是无序的由于t 一中 箭头可以重复，故指标数组中的元素是可以重复的。若以，表示一 个指标数组，则当i - 是f 中的元素时，记i 。，f 中元素的个数，用 l ，i 表示。若中没有元素，则记，= o 。 设，t = ( 忆，z f ) 如= ( j 。 ) 是任意两个指标数组，我们如下定 义指标数组间的关系与运算： ( i ) ，t = ，。，当且仅当v 砝亿i 自在，1 中出现的次数等于它在儿中出现的 次数，功n 屯加。在，2 中出现的次数等于它在，中出现的次数否 则，l 与如不相等，记作，l ，2 。 1 d 第二章关于项链李代数的结构 ( t i ) i j k 当且仪当v 强，l ，必有。，且在，i 中出现的次数不 大于它在，：中出现的次数。 ( i i i ) 1 1 1 2 当且仅当，1c ，2 且至少存在某个i 1 2 ，z 1 i 在，l 巾f f ； 现或在，。中出现的次数大于它在，中出现的次数。 ( i v ) ，lu 1 2 = t k l t 女 ，l 或t k 如，且t 出现的次数等于靠在，1 中出现的次数加上在，中出现的次数1 。 ( v ) l ln ，2 = * k l t k ，l ，且t k 1 2 ，t k 出现的次数等于t k 在，i 中出现的次数与在，2 中出现的次数的较小值) 当，与1 2 中无公共元 素时，定义，- n 1 2 = 0 ，0 表示无任何元素的指标数组。 ( v i ) t 一屯= 几且i 出现的次数等于i 女在，中出现的次数减去“ 在1 2 中出现的次数 。 由定义知道，两指标数组与集合是有区别的。例如： 若，l = ( 1 ，2 ，3 ，1 ) ，2 = ( 2 ，l ，3 ，1 ) ，贝4 ，l = 疋； 若，1 = ( 1 ，1 ) ，如= ( 1 ) ，则1 1 1 2 ，2c ，1 ，ln 1 2 = ( 1 ) ，1u 1 2 = ( 1 ，1 ，1 ) ， ，j 一1 2 = ( 1 ) ，如一，l = o 。 例1 设q 为： n i n 1 ( 图2 - 3 ) 在臼中，取u = o l o 阳0 2 。；n 2 口3 ，则u n w o ，l ：= ( 1 ，1 ，2 ，2 ，3 ) ，础= ( 1 ，2 ) ，有础cl ：，圯n l ：= ( 1 ，2 ) 对讪n w o ，其指标数组间的关系有如下五类： a ：垲cl ：，包含础= ( j 例l 中，取u = n l n n l 。2 n 0 2 叼，则飕= ( 1 ，2 ) ，珑= ( 1 ，1 ，2 ，2 ，3 ) ，有或cl ：， b ：l 。o cr 。0 ，包含l o = 0 。例1 中，取u = 口l n ；n ；2 + 印n 2 o ；则l o = ( 1 2 ) l ! = ( i ，1 3 22 ) 有l 2 , c 惑 c ：l ：= 础，例l 中，取u = o ln 4 。；n 1 a 3 * a 3 ，则l o = ( 1 ，4 ，3 ) ，l o = ( 4 ，l ，3 ) ，有 l o ：= = = 厅o 1 22项链李代数的一些基本性质 d ：l ! j ，f ：o ，且：n n o = 口如图 恤隧卜 ( 图2 - 4 ) 取= a , i n 5 a 6 n ；n ；“i ，贝l 。9 = ( 4 ，5 ，6 ) ，耽= ( 1 ，2 ，3 ) ，l 。on 础= l j i ：n ，吧比，叱n 恐r 。o ，且您n 垲o 如图： ( 图2 - 5 ) 取u = 唧n 3 n j 0 5 n ；，则比= ( 2 ，3 ，4 ，5 ) ，础= ( 1 ，2 ，3 ) ，l ：n 础= ( 2 ，3 ) 由：与r ：的定义知道，对任何一个取定的u j v p 其础与 ，呓都是确定的，又因为上面的分类a e 已经包含任意两个指标数 组间的所有关系，故中的元就可以分为以上5 类。 由前面的( 1 )式知，v w l ，u 2 ，h ，。2 l = e d 弓( 。f ，“，2 ) 一辜e 口舀( “恐，i ) 若仃0 ( l ，u 2 ) 0 ，记盯舀( 叫l ，2 ) = u 。，相 f ，t ， n t 7 应记一j ( w z ，w - ) = u 0 利用指标数组碍与飕的定义，可知3 “一、使 得 l ：。= ( 屹。一t k ) ) u 圪：，r 2 。，= ( 盛一( ) ) u r ：。， 咒j2 ( 如一( ) ) u 圪。，碜，= ( 兕，一( ) ) u 砣。 ( 23 ) 铀n ，设u = o m 是q 中的箭头，i = 1 ，r 、有f ( ) = _ ( n 2 ) ，2 ) = s ( o 计，t ( o h ) = 3 ( ( h ) ，( f h j _ s ( 0 1 ) ，若v 国，定义 f 矿，若a = o q l 一1 。，若。：。q ； 则在上述u 中，有5 ( 鑫1 ) = ( a 2 ) ，s ( & 2 ) = t ( a 3 ) ，s ( 5 ，) = ( 五1 ) ，故 矗，鼠小a 。五t 仍是一个项链字，我们将此项链字记为o ，即 一一 第二章关于项链李代数的结构 o ：矗，矗，五。矗。，又因为对国中的任何箭头f y t 、由矗，的定义，有蚕，= m 故石= 磊而- 氤：= n t 嘶= “由。的定义，易知圪= 吃耽= l ： v7 眠”r - ( 1 ，没7 = 壹 阳、“且h 不全为0 ， 札，j 7 定 义j ：壹 m ：壹 ，沅易见定义的合理性。由定义我们得： ，= i1 = l 命题2 2 1 对v r n q ，毒= r l = z 2 当且仅当而= 西，v n 、，2 批? 弓l 理2 22v “1 u 2 n w ，。，贝1p l ，“2 1 = f 而，西1 证明：设u ，= n m ，u 。= 阮f l s , r ( “t ) 是循环n 。r ( “z ) 是循 环4 j 九，o ，则i = r 1 0 0 2 = 一t 有，u 。| ：主喜( “- “z ) 。 【。，)，则卜。j：立。(i，。)一a。(五,v01)，凼hot3 由 乙【。2 “1 ) ，则卜i ，u 2j = 盯u l ，u 2 ) 一ee 盯v ( 一2 ) ，凼 出 忙17 = i拄lj 2 1l _ i ，= i a , j ( ，、( u 1 ) 、7 ( u 2 ) ) 及。的定义有 m ( 西( ) = 面帅肛码+ l 而拿姜0 盯，2 、，下，( f ( 、。? ) ，一“1 1 ) ) 其中。q 。同样有a 。( t 五t ，( u 。) ) 一( y i j ( r 而) ，r 而) ) 所以，u 。】= a u ( 西，西) 一a t f ( 西，西) = i 西，西l 。 一 rs rs t 掌i ，2 l l = lj = i 域j 二的代数e 的一个阶为2 的反自同构，即是e 的一个对 合。 命题2 2 3 定义映射护：一心，对v 。n o ，咖( z ) = 窑，则驴是李 代数的对合 征明：由量的定义及命题2 2 1 得，廿是重箭图的自然自同构，即 n 。作为向量空间的自同构且因为v r q ，有；= z 下面只需证 满足x , t 合公理( 4 ) 。v r 卜心设q = 童n m ，r 2 = 窭b ，吩其中 ，= ij 。：i m ，幻，i ，q n ，i = 1 ，7 ，j = l ，s 则 rsrs 一一 卜矗2 】= i 。，6 j 屿】= n i b j “ i ，屿】 23几个重要子代数 证完。 n ：b j 皈。i 】- m 晒，i i = lj = 】t = ij = i sr 【吩西啦蕊】= f 筑，奔】 j = i t = i 2 3几个重要子代数 我们用心，n b ，n c ，n d ，n e 分别表示由a ，b ，c ，d ，e 类元为基张成的 向量空间，下面讨论这些空间的性质。 引理2 3 1n a 和j l v 日是的子代数。定义l p ：n q 。+ q 。，对 v r n q ，妒( c ) = l 。则妒是，到：的李代数反同构。 证明：任取分类4 中的元素0 3 1 , 0 3 2 ，则r 。o ，cl ：，r 。o 。cl o 。，h ，。】是若 干项链字的线性组合，从这些字中任取一个，设为某个或u ：，则 必存在n k q 。，有l o 。= ( l o ，一( ) ) u l ，或。= ( 耽。一( 女) ) u r ! ，或毋= ( ! 。( k ) ) u l ! ，r o ，r = ( r ! ，一( 女) ) u 月! ：，此时有r ：，cl ! 且r o ，cl o ， 由此知，u z l 是m 中的元素的线性组合，故以分类 中的7 i 素为 基张成的k 一子空间一是n q 的一个子代数。由于分类b 中的任意 元素w ，均有l ocr 。o ，故用刚才对a 中元素进行同样的分析，可得子 空间n 也是的一个子代数 钆n a n n b ，由。的定义，已有l 。o = r 2 ，咤= l o ，由耽 l ：，得 l ：c ，呓，即o n ，显然妒定义了一个从分类a 到b 的双射，从而诱 导出n a 到n b 的向量空间同构，又由命题2 2 3 知，妒是李代数帕 到q 。的反同构。 引理2 3 2 讪1 ，c - 0 2 n w o ，若l o ，n r o ：= o ，且他，n l 2 ：= o 则 p l ，u 2 】：0 证明：若比n 础：= o ，即对v n 骗暑3 n 。是虮中出现的箭头，：。 则对任意u z 中出现的叭q 中的箭头岛，必有国n + 。由( ，( u ，) ，( u 。) ) 1 4 第二章关于项链李代数的结构 的定义知道，此时v c r i j ( ，( uz ) ，( 眈) ) = 0 同榉，由础，n 础。：= ( 6 ，得 v c r i j ( 7 ( u 2 ) ，r ( u 1 ) ) = 0 ，所以【u 1 ，“j 2 1 = 0 命题2 33 令p = m 则p 是的予代数， p 中所有长度为2 的项链字为基张成的子宅间h 是n q 的a b f 子代数h 包含在 p 的中心z ( _ ) ) 中。 证明：对任意分类 c 中的元素 u ，u 。，“ = e o 。( u 。) 一a 。，( 比w ，) ，若，“2 ) ，则任取其组合中的某 个系数非0 的字u ，一定有“等于某个t l i j ( 乩“2 ) 或等于某个( t 。2 2 ，o j l ) 。 若w = m j ( “2 1 “2 ) 则必存在一 l r ) ，使得l ：= ( l ，一( i k ) ) u ! ，r 2 , = ( 础。一) ) u j 吧。若u = o i j ( w 2 ，“1 ) ，则必存在i k l ，s j ，使得上：= ( 比一( z ) ) u l o , 。，p = ( 飕，一( 1 ) ) uj 吧。因为如= 吧：n ! 。故以，t 两种情形都有：= 磁，即ue 尸，由于u 是任意取的，所以，) 是的 予代数。 v “，。，n n j ? ，且i 。i = i u ，i = 2 ，若u ，= n n ：“o = “j 。；，贝4 由弓| 望 2 32 及( 1 ) 式，有 1f 0 ，i j u 1 u 2 = 。；a i n ；t = o ，i ：j 故p 中所有长度为2 的项链字为基张成的子空间h 是q 的a b e l 了 代数。 弓i 理2 34 v u 。= + h ，u n w a ，n q 1 ，贝0i u 。，u l = ( c 矿( u ) 一c 。( u ) ) u ， 其中岛是。在u 中出现的次数，c 。是。+ 在u 中出现的次数 证明：没w = 崩仇，p h 风是国中的箭头。令r ( u ) 是循环t ：r ，设 n 矿= n l 其中= n ，n 2 = n + ，r ( u ) 是循环卢i 风，若3 夙= n ：m ， 就有口? ，( r ( u ) ，r ( u ) ) = n + 岛+ j 风 阴 吩l = 岛岛+ l 风伪口，1 ，而 呜传“ 风口 岛，与玩风是属于同一个等价类，即u 。所以 a 如( u ，u ) = w 而对任意岛，有a 岛( r ( w ) ，r ( u ) ) = o ，所以所有。刍( w ，叫= 0 。 同理得，o ? 。( u ，“) = o ，o 知，u ) = w ，对v 岛故当u 中存在c 个岛，使得 2 3几个重要子代数 伉= n ，存在个岛，使得国= 矿时，u 】= c 。w7 一( 、0 0 3 ：( 。j ) 。 命题2 35 h 包含在p 的中心z ( 尸) 中。 证明：由于v “”a ，有l ：一，= 吃。此时q = 叶，所以，叫：= = f j 进而有 v 。只k u j = 0 ，即日包含在p 的中心z ( p ) 中。 命题2 36 设。1 则k 。】r 证明：由。的定义，有l ：= 月：，噶= l ! ，易知p ，。l p 。 反之，设u n ，。，若如7 ，使得w7 1 p 1 则w 不一定等于p 如利 用图( 3 ) 的q ，取u = 。1 0 2 n ；n 2 n 3 ，“= n l n ：o 主n ；o ，则l o = ( 1 ，2 ，2 ，3 ) ，础： ( 2 ) ，毋2 ( 1 ) ，r 。o r = ( 1 ，1 ，2 ，3 ) 因为比r 。o ，璃l 。o ，所以“7 o ， 但是f u ，u 】= w 1 + w 2 + u 3 十“j d + u 5 ，喜# 中u l = 0 1 n i n ；n ；n 2 n ；n 2 n ： ，。2 = r i i f l 2 f ，；n 2r j 川 j f ；“i 。： = n j n i f l j n ；n 2 “3 0 l n i ，。l ： n i “2 n ；n j nj “ic j 。 = “lr i , 2 r t 沁n 双n ；l 。o = 础，= ( 2 ，2 ，3 ，1 ) ；l ：。= 皑：= ( 2 ，2 ，3 ，1 ) ；l ：，= 酝= ( 1 ，1 ，3 ，2 ) ；l o 。= 硪亍( 1 ，1 ，3 ，2 ) ；l o = 础。= ( 1 ，1 ，2 ，2 ) 所以：= 磷” i ，2 ，3 ，4 ，5 即u