（应用数学专业论文）几类非线性差分方程的稳定性.pdf

硬士学位论文 摘要 本文首先研究了非线性脉冲泛函差分方程 iz ( 礼+ 1 ) 一a x ( n ) = ，( n ，z 。) ，n ( o ) ，n 礼， ia x ( n j ) = z ( j ，z ( ) ) ，j n ( o ) 解的渐近性，获得了一系列新的结果，其中部分改进或推广了已有文献中相关的 结论其中为向前差分算子，定义为a x ( n ) = z ( n + 1 ) 一z ( n ) ，a 【o ，1 】，： ( o ) 一 ) s r ，：n ( 0 ) r r ，s 所有函数垂：( 一k ，0 ) 一r 的集合，其中 k n 且x 。es 定义为z 。( m ) = x ( n + m ) ，me ( 一k ，o ) 唧) 是一个严格单调递增 的非负整数序列且当j 一。时n ，一o 。 第一章介绍问题的研究背景，研究进展的状况，并给出了关于稳定性的基本 概念。 第二章研究不稳定型脉冲泛函差分方程的零解的稳定性，获得了方程的零解 稳定的充分条件推广了相关文献中的结论，并举例说明了这种稳定性是由于脉 冲引起的 第三章研究稳定型的脉冲泛函差分方程的零解的稳定性，我们获得了上述方 程零解一致稳定与一致渐近稳定的充分条件并且证明了结论的最佳性。所得结论 包含了文献中的主要结论作为特殊情况 最后，第四章研究了离散l o g i s t i c 方程 x ( n 十1 ) 一z ( n ) + p ) ( e 2 一) 一1 ) 一0 的渐近性态，获得了保证方程零解一致稳定和一致渐近稳定的充分条件并举例说 明了结论的最佳性 关键词：脉冲；稳定性；一致稳定；一致吸引；全局吸引；l o g i s t i c 方程 ! ! 耋斐堡垒茎坌童堡墼堡星竺 a b s t r a c t t h i sp a p e rf i r s t l ys t u d i e st h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ef o l l o w i n gi m p u l s i v en o n l i n e a r f u n c t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ： ， iz ( n 十1 ) a z ( n ) = ，( n ，z 。) ，n ( o ) ，咒7 b 1a z ( n j ) = i ( j ，z ( n ) ) ，j n ( 0 ) as e r i e so fn e w f i n d i n g sa r ea c q u i r e dw h i c hp a r t l yi m p r o v eo re x t e n dt h er e l a t e dr e s u l t si nt h e l i t e r a t u r e s ，w h e r e d e n o t e s f o r w a r dd i f f e r e n c e o p e r a t o rd e f i n e db y a z ( n ) = 。( n + 1 ) 一。( n ) ， a 0 ，1 】，：f ( o ) 一 吩 ) s r ，i ：n ( 0 ) xr ，月，si st h es e t o fa l lf u n c t i o n s 西：( 一七，0 ) _ r f o rs o y n ek na n dz 。s i sd e f i n e d a s x n ( m ) = 茁m + m ) ，m ( 一后，o ) 码) i sas t r i c t l yi n c r e a s i n gs e q u e n c eo fn o n - n e g a t i v ei n t e g e r sa n dn j o 。a sjq o ( 3 i nc h a p t e r1w em a i n l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e mw ei n v e s t i g a t ea n di t s r e c e n td e v e l o p m e n ta sw e l la ss o n l eb a s i cd e f i n i t i o n so ns t a b i l i t y i nc h a p t e r2 ，f o c u s i n go nt h es t a b i f i t yo ft h eg e r os o l u t i o no fu n s t a b l ei m p u l s i v en o n l i n e a r f u n e t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n w eo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h es t a b i l i t yo ft h ez e r o s o l u t i o na n dg i v ea ne x a m p l et os h o wt h a tt h es t a h i f i t yi sc a u s e db yi m p u l s e s ，w h i c he x t e n d s t h er e l a t e dr e s u l t si nr e c i t e dp a p e r s i nc h a p t e r3w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o no ft h es t a b l et y p eo fi m p u l s i v e n o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o na n do b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eu n i f o r ms t a b i l - i t ya n du n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o no ft h ea b o v ee q u a t i o nw h i c hi n c l u d e m a i nr e s u l t si nc i t e dp a p e aa ss p e c i a lc i l b e s f 协h e r m o r e ，w eg i v ea 5 2e x a m p i et ov e r i f yt h a t t h i si sas h a r pc o n d i t i o ni m p r o v i n gt h er e l a t e dr e s u l t s a tl a s t ，i nc h a p t e r4w es t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ed i s c r e t el o g i s t i ce q u a t i o n z ( 扎+ 1 ) 一茁m ) + 尸( n ) ( 矿m 一一1 ) = 0 a n do b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eu n i f o r ms t a b i l i t ya n du n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t h ea b o v ee q u a t i o n k e yw o r d s ：i m p u l s e ；s t a b i l i t y ；u n i f o r ms t a b i l i t y ；u n i f o r ma t t r a c t i v i t y ；g l o b a l a t t r a c t i v i t y ；l o g i s t i ce q u a t i o n 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 美多；氏 日期：珈盯年7 月，彦日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密曰。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名：关f ，般、日期：。叮年1 月，s 日 导师签名：序f 建i 美 魄删年? 月揩日 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 问题研究的背景及意义 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域中有着非常广泛 的应用，尤其在几何学、力学、天文学、物理学等学科中，如核物理、电子技术、自 动控制、星际航行等许多尖端科技领域内已成为强有力的杠杆，推动这些学科不 断发展在现代的生物学，人工神经网络动力学和经济学的领域中，微分方程的 理论和方法更是不可缺少的但是，从生产实际和科学研究中所遇到的微分方程 往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，为了得到近似解来研 究解的性质，这时需要把方程加以离散化，研究相应的差分方程长期以来，从 事计算数学研究的工作者，他们对差分方程的研究，其着眼点是各种各样的计算 方法和误差的分析，而对差分方程本身解序列的全局定性结构很少考虑；从事常 微分方程定性分析理论的工作者亦很少去考虑这个问题，原因是常微分方程解的 全局定性结构弄清楚了，那么剩下的问题就是具体计算了因此常微分方程要在 实际中应用，首先要把它转化为差分方程，然后才能进行计算，至于差分方程解 序列的全局定性结构不必过多考虑了认为差分方程解序列的定性分析，可以用 相应的常微分方程解的定性分析来代替，这实质上是一种错觉事实上，差分方 程与其对应的微分方程有时有相似的性质，而有时则有本质的区别所以系统的 研究差分方程非常有必要同时，人们对各类方程解的规律性的探索，应当是差 分方程一常微分方程一微分差分方程一泛函微分方程。但是实际情况并不是这 样人们从微积分被发明后，首先研究探索的是微分方程，而不是差分方程正 是由于h p o i n c a r d 于1 8 8 1 ，1 8 8 2 ，1 8 8 5 ，1 8 8 6 这四年间先后发表了微分方程所定义的积 分曲线四篇论文，才奠定了今天常微分方程平面定性理论基础1 8 9 2 年俄国数学 力学家a m l i a p u n o v 博士论文运动稳定性的一般问题奠定了今天常微分方 程稳定性理论基础1 9 2 7 年由美国数学会出版，g d b i r k k o 所著的d y n a m i c a l s y s t e m s 一书从点集拓扑的观点把p o i n c a r 的工作更深刻、更系统、更理论化。 因此三位大数学家所提供的研究方法，构成了今天非线性常微分方程定性分析的 理论基础同时它也发展成为研究非线性差分方程的有力的工具。非线性差分方 程已被广泛应用于研究计算机科学、经济学、神经网络、生态学及控制论等学科 出现的离散模型中而对于差分方程模型，目前为止有很多工作主要是从围绕研 究它的所有解的最终性态出发的在最近三十年中，差分方程理论有了迅速的发 展，国际文献中也相继发表了许多论文，如差分方程的振动性 1 】一 4 ，周期性和 稳定性1 5 】5 一f 1 2 】等，并陆续出版了一系列专著，广泛的应用背景促使这一理论迅 速而深入地发展 同时，我们也很容易注意到，在自然界许多进化过程中，往往有这样的现象： 几类非线性差分方程的稳定性 进化过程中各参数在经历了长时间的连续变化后，会有一个突变。于是，在对这 种进化过程建立数学模型时，脉冲方程就非常适应同时，在科学技术各种领域 中也经常研究这种类型的过程对这种有突变发生的数学理论的研究，主要在以 下两方面发展一方面的工作主要由h a l a n a y 和w e x l e r ，p a n d i t 和d e o ，z a v a l i 9 6 i n 进 行在这些文献中，主要是利用了一般函数( g e n e r a l i z e df u n c t i o n s ) ，对带固定脉冲影 响的微分方程作了深入研究，但未考虑到时空对脉冲时刻的影响。另一方面的研 究由m i l m a n 和m y s h k i s 1 3 开始，他们给出了带脉冲影响的一般概念且获得亍稳 定性的结果，其中主要是利用了大量的一般微分方程的理论近年来，一般脉冲微 分方程的定性分析已经吸引了大量学者的研究，且已得到了许多有趣的结论1 4 1 一 3 0 ，而且这种系统的稳定性也被广泛的研究了。但是，相应于脉冲微分方程的 离散形式的脉冲差分方程研究成果却很少而脉冲差分方程在实际应用中也经常 出现例如，在经济上进行动态分析时，各种突发的因素对经济发展的影响，其 数学模型就是带有脉冲的差分方程同时，脉冲差分系统在经济金融保险领域、 生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等 许许多多的方面都有着非常重要的作用因此，研究脉冲对差分系统的平稳性的 影响不仅对实际问题很有必要，而且也丰富了差分方程理论本身 1 2 问题研究的进展 令z 为所有整数集合，对任意n ，b 互a b ，定义 n ( a ) = n ，a + l ， ，n ( a ，b ) 一 n ，n + 1 ，味 考虑非线性脉冲泛函差分方程 。( ”+ 1 ) 一1 。( ”) 一，( ”，。n ) ，”( o ) ，”n j ( 1 2 1 ) i z ( 吩) = i ( j ，。( q ) ) ，j ( o ) ， 、 其中为向前差分算子，定义为a x ( n ) = z m + 1 ) z ( n ) ，a ( 0 ，1 ，： n ( 0 ) 一 ) s r ，：n ( 0 ) r r s 为所有函数壬：( 一k ，0 ) 一r 的集合，其中 n 且z 。s 定义为。( m ) = x ( n + m ) ，m ( 一k ，0 ) 。h ) 是一个严格单调递增的非 负整数序列且嘶一。( j o 。) 令f ( n ，0 ) ；0 ，i ( j ，0 ) ；0 以保证x ( n ) i0 是方程 ( 1 2 1 ) 的一个解 当j 瓴。) ；0 时，方程( 1 2 1 ) 变为零脉冲差分方程： 。( ”+ 1 ) 一1 。( ”) = ，( “，。n ) ，”( o ) “n j 。( 1 2 ，2 ) l a z ( n j ) = 0 j ( o ) ， 方程( 1 2 2 ) 的稳定性与下列方程： x ( n + 1 ) 一a x ( n ) = ，( n ，z 。) ，n n ( 0 )( 1 2 3 ) 硕士学位论文 的稳定性是相同的 其中： 歹( 礼，嚣) = ，( 他，) ，n 礼， 10 ， n = n j 当a = 1 时，方程( 1 23 ) 变为： a x ( n ) = f ( n ，) ，n n ( o )( 1 2 4 ) 而对方程( 1 2 4 ) 的许多特殊形式，已有许多文献研究了，见 1 卜1 1 2 】文献f 5 】 研究了方程： a x ( n ) 十p ( n ) z ( n 一( n ) ) = 0 ，n n ( o )( 1 25 ) 其中 p ( n ) 与 ( n ) 都是非负实数序列，且存在非负整数k ，使得女( n ) k ，n n 得出了如下结论： 定理1 2 1 假设： n o1 p ( ) ；+ 丽与，ng i=n-k(n) ( 女) ，( 1 2 6 ) “。、1 则方程( 1 2 5 ) 的零解是稳定的 定理1 2 2 假设： no1 i 纛p ( 雌n 0 ，：n ( o ) r _ r ，g ( p o ，0 0 ) r ，r ) 且有t o t l t k 0 与一正整数序列 6 ( 女) ，且有b ( k ) 1 与一连续函数p ：( t o ，o o ) 一 ( 0 ，o o ) 使得： 0 茎x f ( t z ) p ( t ) z 2 ，t t o ，i z i h( 1 2 ：1 1 ) 且 - b ( k ) x 2 z ( + i ( k ，。) ) so ， k ( o ) ，l x i h( 1 2 1 2 ) 对每一个t t o ，令m ) 表示在p 一_ t ) 中的t k 的个数定义s ( t ) 如下： s ( t ) b k 一1 + 成一1p ( s ) d s ， 正，p ( s ) i ib ( k ) d s 5 “ i ( t ) = 0 ，i t l t ) c ( t k “t k l ( t ) = l ， nb ( k ) + f l ，p ( s ) n6 ( ) 幽，z ( t ) 2 ， 一f “ t s _ t k 0 有g ( t ) st 用p c ( t ) 表示所有有界左连续定 义在 9 ( t ) ，t 上的函数定义： p e 口0 ) = 咖p c ( t ) ：l i * l lc = s u pl 妒( s ) 1 卢) 文中得出了如下结论： 定理1 2 4 假定 p ( ) f ( 咖) j 一，0 ，曲) 一p ( ) w ( 一妒) ，t 0 ，庐p c ( t ) 以及 b c k ) z 2 主z ( 茁+ f ( 砖，1 ) 芏2 ，砖2 f c o ) ，i z i h 成立，且 z ：。) p ( s ) ，。，i ；i “。6 1 ( ) i ，t t + 2 m i n t 。：，( t ) 。) ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) 堡圭兰堡丝苎，：，。，。，。，：。：= = = 一 ! 一- = ! _ ! 自# e # 一一 其中：m ( = m a x o ) 。黑，q 毋( s ) ) - 则方程( 1 - 2 t 1 。) 的零解稳定 定理1 25 假定4 1 2 1 4 ) 与0 21 5 ) 成立且 f ，p ( s ) n bi ( ) n 有： 厂巾，z ( ) ) m ：一。( ”m z ( - ) ) d 扛o e 4 1 2 1 8 ) 则絮嚣：东嚣嚣篆勤棋毕业黻1 3 1 中牡述琳耥愀性受到上述结果的启发，张勤勤在其毕业论文 甲糈上恐带术尚默刘。镉怫 脉冲差分方程： f z ( n ) + 尸( ”) 3 ( n 一) = 0 ：n ( ( ) ) 码( 12 1 9 ) la a ：( n ，) = 6 ( j ) z ( 啦) ， j r e ( o ) ， 得到了有关脉冲差分方程的稳定性的开创性结果其主要结论如下：。 是理l2 6 当_ ) ( n ) 曼o ，假设l l + b ( j ) o ，并以c ( j ) = 一( 1 + 6 ( j ) ) 代替， 定义判别式s y ( n ) 如下： f c ( 卜1 ) + 量，i p o ) i m ) = o ，”k ，”一1 ) f ( ”一+ 1 、”j ) s ( n ) = 。塞。i 删 i 。_ 1 ) c o ) “哪_ 1 i 。；。嬲一。1 ( ? o ) + 量。i p ( z ) i 。，。i n l ，。) c ( j ) i = n - - 7 ( ”2 l ，( ，；一女，n ) “ “j e l “” 其中j ( 。) 表示m 一，n 一1 ) 中脉冲点的个数- 则当 s ( n 1 l 、n ( ) 方程( 1 2 1 9 ) 的零解稳定。 定理1 2 7 当p ( n ) 0 ，e ( j ) 一一( 1 + 6 ( j ) ) ( o ，1 1 ，且： 妻邓) 1 7 ic - l s ；，”r e ( k ) ( 1 2 2 0 ) t = n 一 n j e n ( i * 。i 一1 ) 则4 1 21 9 ) 的零解稳定。 定理1 2 8 假设( 1 22 0 ) 成立并且： o op i i g 一1 ( j ) = o 。 ( 1 2 2 1 ) n = o n 2 n ( n k ，n 一1 1 5 几类非线性差分方程的稳定性 则( 1 2 1 9 ) 的零解全局吸引的 在文献f 3 2 】中，作者研究了下列线性脉冲差分方程： j 。( “+ 1 ) 一。( ”) + 三p ( 拥蜘咄) 一0 ，“( o ) ，”f 1 22 9 1 ， 2 = l 171 【z ( r o ) = 6 ( j ) z ( ，q ) ，j ( o ) 得到了下列结论。 定理1 2 9 假定 多( i ，n ) i i ( 1 + 吣) ) = 。 且 黔一。塞。弘p “。曲i i 。( ，删) - l i + 志 s 2 n t 2 l 8 一k i 0 ，使得当 o | | = m a x 1 0 0 ) f ：je ( 一k ，o ) ) 6 时，方程的解满足 f z ( 札) l 0 ，使当f | 口f i o ( 0 与一非负实数序列 p ( ，。) ) 一正数序列f b ( j ) ， b ( j ) 1 ，使得 p ( n ) f ( 圣) s ，( 礼，m ) 茎p ( n ) m ( 壬) ，礼( o ) ，| | 中j h b ( j ) x 2 ( z + z ( j ，z ) ) ( 】，j ( 1 ) ，i i z i 【 h 其中：m ( 西) 2 m h o i 。e _ v n l ( a 咄n - x 。) 科i ) 。对n ( o ) ，让j ( n ) 表示( n 中含脉冲点 ) 的个数，定义s ( n ) 如下： s ( n ) ： f 14 1 1 ( 1 4 2 ) k ，n 一1 ) a 6 0 1 ) + p ( i ) j ，l ( n ) = 0 ，x ( nk ，“一1 ) c i ( j = i + 1 n j ) n 一0 1 十1 一1 尸( z ) 兀6 ( j ) ，( n ) = 1 ， 4 一r n j ( i ，r ) 2 0 l ( ”( nb ( j ) + 量p ( i ) a n 一i i 6 ( j ) 1 ，j ( n ) 2 定理1 41 假若( 1 4 1 ) 与( 1 4 2 ) 成立且 s ( n ) 5 1 ，n ( e ) 则( 121 ) 的零解稳定。 定理1 4 2 假若( 1 4 1 ) 与( 142 ) 成立且存在o z ( o ，1 ) ，使得 s ( n ) s 0 使得 p ( ? t ) a “圣) 一，( ? j ，西) 三三一尸( ) ，( 一中) ，f ( o ) 、【i 虫i i ， ( 1 ：4 3 ) 其中心( - m a x o ，。臻冀、币( 。) ) ， 尸( n ) ) 是非负实数序列，而且存奄正整数序 列f 6 ( j ) ) ，b ( j ) l ，使得 b ( j ) x 2 ? 1 z + t l j ，工) 】sz 2 ，j n ( o ) j g 0 使得： 妻胪一即) l l 、b - j 。 0 由定理1 4 5 我 们得出定理1 2 2 。所以我们得出的定理包含了不带脉冲的差分方程稳定性的最好 结果作为推论。 当a = l ，f ( n ) = f ( n ，z ( n 一) ) 时，定理1 4 1 的直接结果为 推论1 41假若( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) 成立，且： ，三。尸( ，疆，、b - i ( j ) ；+ 赤) 、旺( ) (1肌oji 删一 n ，e f 卜, - 、? 1 1 “、“。4 则方程： 。( “+ 1 ) 一。( ”) 2f ( t $ 1 x n - - k ) ，”( o ) ，”n j ，( 1 ，4 1 1 ) i z ( 码) = i ( j ，z ( 7 u ) ) ，j n ( 0 ) 。 的零解一致稳定。 注此结论把定理1 27 和定理1 2 8 推广到了非线性情形，并且把结论改进到 了；+ 赤 当f ( n ，z 。) = 妻p ( n j ) z ( n 十( n ，j ) ) ，其中p ( n ，j ) 0 ，k ( n ，j ) ( 一k ，o ) ，n a r ，j ( 1 ，m ) ，则对v a 0 ，则当p ( n ) ：曼l p ( n ，刮时( 1 4 3 ) 成立因此由定理14 3 与定 理144 直接有f 面的推论。 推论1 42 若( 1 4 4 ) 成立，且： 妻妻r 懈j ) 1 j 。，娶，、b - i ( j ) 0 当p ( n ) = _ p ， 4 1 1 4 2 】对( 1 4 1 5 ) 的零解的渐 近性作j ，研究。本文主要得出r 如下结论： 定理1 46 若存在正数n 使得 n o1 ，p ( i ) 如 0 与一非负实数序列 p ( n ) ) ，一正数序列如( ，) ) j ( j ) 1 ，使得 p ( r b a l ( 一巾) ：三，( m 巾) p ( n ) 且彳( 山) n ( o ) i i 壬i 【 h 1 21 1 ) 一b ( j ) z 2 兰z ( z + ，( j z ) ) o ，je _ ( 1 ) ，| | z | | 2 2 2 主要结果及证明 定理2 2 1 假若( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 成立且 s ( n ) 1 ，n - ( ) 则( 12 1 ) 的零解稳定。 证明：要证明对比e ( o ，l 与n oe ( 【】) ，孙，当 壬【i = m a x l 壬( j ) l ：j ( 一 ，o ) 1 0 与一非负实数序列 p 0 4 ，一正数序列p l 7 ) j ( j ) l ，使得 p ( ”) m ( 一m ) ，( ? 。，巾) 尸( n ) ，( 心) ，n ( 【) ) i i 圣i i h ( 2 1 1 ) 一b ( j ) z 2 茎z ( z + i ( j ，。) ) 0 ，j ( 1 ) ，l i x l l h ( 212 ) 其中：m ( m ) = r t t a x 0 1 ；。臻鼍。) 中( i ) ) 对n ( 。) ，让。( n ) 表示m 。，”1 ) 中 含脉冲点 n 7 ) 的个数，定义s ( n ) 如下： 2 2 主要结果及证明 定理2 2 1假若( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 成立且 s ( n ) 1 ，n j v ( k ) 则( 1 2 1 ) 的零解稳定 证明：要证明对垤( o ，日) ，与n o ( o ) ，j j ，当 忡| | = m a x i q ，( j ) i ：j ( 一k ，o ) 6 时，则( 1 2 1 ) 满足初始条件( 1 31 ) 的解 z ( n ) ) 满足 i z ( 札) i e ， 为此，我们先来证明对n n ( n o + 1 ，n o + 2 k + 1 ) ，有 l 。( n ) l ( 2 2 1 ) ( 2 22 ) 为此，令：6 = b 2 k + l ，：。e ( j ) ，其中：b = 。，。1 1 。+ 。) b - ( j ) ，g ( t ) = m “ 1 ，a + p ( n o + i ) ) ，i n ( 0 2 k + 1 ) 1 2 m 卫 引 眨 一：一 尸 兀m 妇 + ” 、i和麓 # p 门忡“荫勰 ) 一 “ 一 a 耐妒釜篙 峨；扩 = ，。：圭兰堡丝兰 若n 。 n j ) ，贝0i z ( n o + i ) isd ( o ) i z ( n 。) l b ( o ) d 6 j 若n og ，。 ，贝4 i x ( 。十1 ) 1 a 。( ) f 十f ，( m ，z m ) i a i m ( n u ) l + p 0 z o ) l l x 。 i 5 ( i + p ( n o ) ) f ( 【) ) 因此无论哪种情况 均有f r ( n o + 1 ) f 6 g ( n ) f 类似的，若，。o + l f ， 有【。( n o + 2 ) 【( ，。+ 1 ) i b 2 c ( o ) 5 若 7 沁+ 1 名 7 0 ) ，贝0k ( 砣t ，+ 2 ) j a ，( 7 岫+ 1 ) j + f ( n o + l 、z 。+ 1 ) a f r ( n u + i ) l + g 。+ l f f 3 。m ，+ l f f ( 1 + 只”1 ) 6 g ( ( e b c ( 1 ) c ( o ) 6 因此总有：i z ( o + 2 ) j 6 2 ( j ( o ) ( 1 ( 1 m 由归纳法易知： l z ( + 2 ) l 护，卫，f ( j ) 再，i ( o ，2 七+ 1 ) ，因此i z ( ? 2 0 + 2 + 1 ) b 2 k + 1 首c o ) = e 至此已证得( 2 ，2 2 ) 成立。若( 2 2 1 ) 不成立，则一定存在两( n 。+ 。2 k 阜2 ) ，使得 开一1 码 ，l z ( 而) i e ，且对n ( ，m ，元一1 ) 有i x ( n ) l e 。下面分三种情况来进行 讨论。 情况l ： ，( 开) ：- 0 设( i k ，i 1 ) cn ( n ) _ 1 + 1 ，n ，) ，则 5sl z ( 元) j2l a i 一1 x ( n j l + 1 ) + k o + 1 ) a t ( i ) a nt i = n j 一1 + l n 1 茎舻“一b ( j 1 ) o - ) i + p ( o i i z ，i i a ， i = n j f4 - 1 f n 一1 o ，则z ( 矗一1 ) 0 ，由( 巾) 的定义，知一定存在n 。( i 一 ，死) z 一1 ) 0 且对n n ( n 1 ，而) ，有z ( 7 。) 0 又对n ( ，o + 1 ，元) ，有z ( n ) ( ) ，则 。鸭) f j 所以z 溉) ( 码) 0 因此存在币n ( n i 一1 ，nj 1 ) ，使得 z ( 历) 0 且g ( 嘲+ 1 ) 0 ，取f f 而，7 孔+ 1 ) 使得 z ( m + 1 ) + 沁( m + 1 ) 一a z ( m ) j ( f 一而1 ) = 0f 22 3 1 从而 i z ( ) l = i a “一1 茁( 而+ 1 ) + 陋( i + 1 ) 一a z o ) 】a n 7 一t 一一j 1 3 一 一 p l 码 z j 一 一 a 0 卫一 + z 咐 + z 叶 p 入 = 又 砖 z 几类非线性差分方程的稳定性 因此 a n j - m - 1 ( m + 1 一) i z ( 而+ 1 ) 一 z ( 廓) i 十ei 协o + 1 ) l = t r l + 1 n j l e p ( 开z ) a q 一1 ( f 孔+ l f ) + p ( z ) a 唧一1 7 = 而+ 1 一】 e p ( 2 ) a 一1 c ( 行) l a 1 ，一1 b 0 ) p ( 。) a 一1 + eej d a ) _ 1 i = r n j 4 - 1 一1r1 曲( j ) p ( ) 舻一24 - p ( i ) a _ 1 i = r n i ：n j + l i 一1 s ( p ( i ) 妒一2i i6 ( j ) ) mk1tl e n ( i ，i 一1 】 = s f 佩一1 ) e 0 取 口，口+ 1 ) ，使得 从而 x ( n ) l = 弦z 国f 1 ) 十十1 ) a z ( z ) p 一1 i ；= q + 1 n1 = i a “一4 一( 口+ 1 一”) 卜( i 十1 ) 一a z ( i ) + 【z o + 1 ) t = q + 1 i 一1 一l e p ( i ) 一1 e p ( z ) 舻一1i i b ( ，) 滢口 忙i k 一1 n 7 ( in 一1 ) i 一1 se _ p ( ) ”一2 i i 6 ( j ) 一女一l n j ( 1 ，n 1 ) = s 旧一1 ) e ( 2 2 4 ) 这也是不町能的。 情况3 ：j ( 而) 2 ，为简单起见，令：，( 而) = 眠让码+ 1 扎j + 2 ，吩。是 何一，元一1 ) 中的m 个脉冲点因为而一1g 扎，) 所以死一l n ，+ 。，且n j + m 佩一1 从而 i 一1 1 z ( + m + 1 ) + 陆+ 1 ) i = n i + + 1 1 4 ，=堡圭兰堡丝塞 = ) a - n ，扣t _ 1 6 ( j + m ) | a + m - n l + m1 - i x ( n j + ，卜1 + 1 ) + t l ，4 。一1 i 一1 + 1 ) 一a z ( z ) 卜1 l + e p ( i ) a ”1 i = n j + m l + l 4 = ，h 一+ l a “一”，一一2 叫，+ ) o ( j + 1 ) i x ( n j + 。一1 ) + 嵋十m in 一1 ( 6 ( j 十m )尸( z ) a 一2 +p ( i ) a 。1 ) i = n j + m 一1 + lj + 一十1 i 1