（基础数学专业论文）关于一类incidence代数的单连通性.pdf

摘要 从k b o n g a r t z 和p g a b r i e l 在1 9 8 1 8 2 年提出了有限维单连通代数的概念开始， 有限维单连通代数的重要性已经被广泛地注意到。事实上，覆盖技术使得我们可以 把很多问题简化到单连通代数的情形。然而，到目前为止，对于一个给定的代数来 说要判定它是不是单连通代数并没有一般方法。所以研究哪些代数是单连通的哪些 不是单连通的判别法是一个有意义的工作。本文主要研究一类特殊的代数，即 i n c i d e n c e 代数。这类代数的基本群不依赖于它的表现( p r e s e n t a t i o n ) 。本文给出了 q u a s i s u s p e n s i o n 的分解以及对一类i n c i d e n c e 代数提供了判别它不是单连通代数的 方法。我们大部分的证明采用的是组合方法。 背景资料和我们的主要结果由第一章给出。在第二章，我们把s u s p e n d 和 s u s p e n s i o n 的概念分别拓展到q u a s i s u s p e n d 和q u a s i s u s p e n s i o n 的情形。 同时我们 从不同的角度分析了冠( c r o w n ) 的本质，这使得我们更为方便地判定一个圈( c y c l e ) 到底是不是一个冠。由这个观点我们可以把冠看作是具有特殊性质的圈。在第三章， 我们证明了第一个主要结果：关于q u a s i s u s p e n s i o n 的分解。这个分解的意义在于 它把我们对冠r 的结构的研究降低到一个更为可行的情形( 见命题3 2 3 ( b ) ) 。因为 弱冠( w e a kc r o w n ) 的圆周( c i r c u m f e r e n c e ) 同伦于这个分解里的各个冠的圆周的 乘积的一个共轭。这些圆周在q u a s i s u s p e n d 点具有公共始点和终点。该分解也给出 了分解里的各个冠的长度和冠i 的长度的关系。为了更好地理解这个命题，我们在 证明之前给出了一个具体的例子。在第四章，引理4 1 3 给出了一个具体的操作过程 来检验一个给定的圈是否为一个冠。定理4 2 1 则提供了一个简便的办法来判断大 量的i n c i d e n c e 代数的非单连通性。此外，推论4 2 2 给出了一种q u a s i s u s p e n s i o n 是 非单连通的情况。 关键词：单连通代数，i n c i d e n c e 代数，冠 a b s t r a c t t h ei m p o r t a n c eo fr e p r e s e n t a t i o n - f i n i t es i m p l yc o n n e c t e da l g e b r a sh a sb e e nw i d e l y n o t i c e ds i n c ei tw a sf i r s t l yi n f f o d u c e db yk b o n g a r t za n dp g a b r i e li n1 9 8 1 8 2 ( s e e 【1 】) i n f a c t , c o v e r i n gt e c h n i q u e sa l l o wu st or e d u c em a n yp r o b l e m st ot h ep r o b l e m sa b o u t s i m p l yc o n n e c t e da l g e b r a s h o w e v e r , i ti sw e l lk n o wt h a tc u r r e n t l yt h e r ea r en og e n e r a l m e t h o d st od e c i d ew h e t h e ro rn o tag i v e na l g e b r ai ss i m p l yc o n n e c t e d s oi ti sam e a n i n g f l a i lw o r kt od e c i d ew h i c hk i n d so fa l g e b r a sa r es i m p l yc o n n e c t e da n dw h i c ha r en o t t h i s t h e s i sd e a l sm a i n l yw i t has p e c i a lc l a s so fa l g e b r a s ，t h a ti s ，t h ei n c i d e n c ea l g e b r a sw h o s e f u n d a m e n t a l g r o u p i s i n d e p e n d e n t o ft h ep r e s e n t a t i o n t h i st h e s i ss h o w st h e d e c o m p o s i t i o no fq u a s i s u s p e n s i o na n di tp r o v i d e s c o n v e n i e n tc r i t e r i a t od e c i d et h e s i m p l ec o n n e c t e d n e s so fak i n do fi n c i d e n c ea l g e b r a s m o s to fo u rr e s u l t sa r ep r o v e db y c o m b i n a t o r i a la p p r o a c h e s t h eb a c k g r o u n d sa n do u rm a i nr e s u l t sa r ep r e s e n t e di nt h ef i r s tc h a p t e r a tt h es e c o n d c h a p t e r ，w ee x t e n dt h ec o n c e p t i o n so fs u s p e n da n ds u s p e n s i o n t ot h ec a s e so f q u a s i s u s p e n da n dq u a s i s u s p e n s i o nr e s p e c t i v e l y i nt h i sc h a p t e r , w ea l s oe x p l o r et h e n a t u r eo fc r o w nf r o md i f f e r e n tp e r s p e c t i v e sw h i c hm a k el l sm o r ec o n v e n i e n tt 0c h e c k w h e t h e ro rn o tag i v e nc y c l ei sac r o w n t h i sv i e wh e l p su st oi d e n t i f yt h ec r o w na sa c y c l ew i t hs o m es p e c i a lp r o p e r t i e s i nt h et h i r dc h a p t e r , w eb e g i nt oa t t a c ko u rf i r s tm a i n r e s u l t ：t h ed e c o m p o s i t i o no ft h eq u a s i s u s p e n s i o n t h i sd e c o m p o s i t i o ni sm e a n i n g f u l s i n c ei tr e d u c e st h ee x p l o r a t i o no ft h es t r u c t u r eo fc r o w nri ni n c i d e n c ea l g e b r a st oa r e l a t i v em o r ea c c e s s i b l ec a s ed u et ot h ep r o p o s i t i o n3 2 3 ( b ) s i n c et h ec i r c u m f e r e n c eo f t h ew e a kc r o w ni sh o m o t o p i ct oac o n j u g a t eo ft h ep r o d u c t so fc i r c u m f e r e n c e s a 1 1 s t a r t i n ga n de n d i n ga t t h ec o m m o nq u a s i - s u s p e n dp o i n t ，o ft h ec r o w ni nt h e d e c o m p o s i t i o n t h i sp r o p o s i t i o na l s oi n d i c a t e st h er e l a t i o n s h i po f t h ew i d t h sb e t w e e nt h e c r o w n si nt h ed e c o m p o s i t i o na n dt h eo r i g i n a lc r o w n t o h e l pu n d e r s t a n dt h ep r o p o s i t i o n ， a l le x a m p l ew a sp r e s e n t e di na d v a n c e a tl a s t , i nc h a p t e r4 1 e m m a4 1 3p r o v i d e su sa p r o c e d u r et oc h e c kw h e t h e ro rn o tag i v e nc y c l ei sc r o w n f u r t h e r m o r e ，t h e o r e m4 2 1 g i v e su sac o n v e n i e n tc r i t e r i o nt oj u d g eal a r g ea m o u n to fi n c i d e n c ea l g e b r a st h a ta l en o t s i m p l y c o n n e c t e d i n a d d i t i o n , c o r o l l a r y 4 2 2 s h o w sac a s et h a tw h e nt h e q u a s i s u s p e n s i o ni sn o ts i m p l yc o n n e c t e d k e yw o r d s ：s i m p l yc o n n e c t e da l g e b r a s ，i n c i d e n c ea l g e b r a s ，c r o w n s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：望盘堡 关于论文使用授权的说明 日期：堡二 ：鱼：! ! 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：翌盔堕导师签名：型哑i 五i 杰日期：之坐2 ， 1 1b a c k g r o u n d s c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n t h er e p r e s e n t a t i o n f i n i t e s i m p l yc o n n e c t e da l g e b r a s w e r e f i r s t l y i n t r o d u c e db y k b o n g a r t za n dp g a b r i e l ( s 【l 】) f o ra na r b i t r a r yr e p r e s e n t a t i o n f i n i t ea l g e b r a a ，t h e i n d e c o m p o s a b l ea - m o d u l ec a nb el i f f e d t oi n d e c o m p o s a b l em o d u l e so v e rs i m p l y c o n n e c t e da l g e b r aa ，c o n t a i n e di n s i d eac e r t a i ng a l o i sc o v e r i n go ft h es t a n d a r df o r m ( s e e 【2 】) h e n c e ，c o v e d n gt e c h n i q u e sa l l o wu st or e d u c em a n yp r o b l e m st op r o b l e m s a b o u ts i m p l yc o n n e c t e da l g e b r a s l i a l ei sk n o wa b o u tc o v e r i n gt e c h n i q u e so rs i m p l y c o n n e c t e da l g e b r a si nt h er e p r e s e n t a t i o n - i n f i n i t ec a s e m o r e o v e r , a ne f f e c t i v ee r i t e r i o n a l l o w i n gt od e c i d ew h e t h e ro rag i v e na l g e b r ai ss i m p l yc o n n e c t e do rn o td o e sn o te x i s t h o w e v e r ，s o m ep a r t i a lr e s u l t sa r ek n o w n ( s e e 【1 8 ，1 9 1 ) a n dt h ep u r p o s eo f t h e s en o t e si s e x a c t l yt op r e s e n tt h ee x i s t i n gc h a r a c t e r i z a t i o n ，c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e s ，a n de x a m p l e so f c l a s s e so fs i m p l yc o n n e c t e da l g e b r a s i nf a c t ，c e r t a i nk i n d so f s i m p l yc o n n e c t e da l g e b r a s s u c ha st h es t r o n g l ys i m p l yc o n n e c t e da l g e b r a , i n t r o d u c e db ya s k o w r o f i g s k i ，a n ds i m p l y c o n n e c t e di n c i d e n c ea l g e b r a sh a v eb e e ne x t e n s i v e l yr e s e a r c h e d ( s e e 【3 ，4 ，5 ，1 3 1 ) i n1 9 8 9 ( s e e 3 4 】) ，d h a p p e ls h o w e dt h a tar e p r e s e n t a t i o n f i n i t ea l g e b r aai ss i m p l y c o n n e c t e di fa n do n l yi fai s r e p r e s e n t a t i o n - d i r e c t e da n dt h ef a s th o c h s c h i l d c o h o m o l o g y h 1 ( 一) = h 1 ( 一，爿) v a n i s h e s m o r e o v e r , f o r r e p r e s e n t a t i o n - d i r e c t e d a l g e b r a sa ，t h eh i g h e rh o c h s c h i l dc o h o m o l o g i e sh ”( 4 ) = h ”( 4 ，a ) ，n 2 ，a l w a y s v a n i s h i n 1 9 9 3 ( s e e 【1 3 】) ，a s k o w r o f i g s k i c h a r a c t e r i z e dt h ec l a s so fs t r o n g l y s i m p l y c o n n e c t e da l g e b r a s ，t h a ti s ，a l g e b r a sf o rw h i c he v e r yf u l lc o n v e xs u b c a t e g o r yi sa l s o s i m p l yc o n n e c t e d h ep r o v e dt h a te v e r ya l g e b r aw i t ht h es e p a r a t i o np r o p e r t yi ss i m p l y c o n n e c t e d h ea l s op r o v e dt h a tat r i a n g u l a ra l g e b r aai ss t r o n g l ys i m p l yc o n n e c t e di f a n do n l yi fh 1 ( c ) = 0f o re v e r yf u l lc o n v e xs u b c a t e g o r yco fa i ti se q u i v a l e n tt o t h ef a c tt h a te v e r yf u l lc o n v e xs u b c a t g o r yo fah a st h es e p a r a t i o np r o p e r t y c o n s e q u e n t l y ，i n1 9 9 7 ( s e e 【4 】) ，1 a s s e ma n ds l i up r o v i d e dc h a r a c t e r i z a t i o n sa n d c o n s t r u c t i o n st e c h n i q u e sf o rs t r o n g l ys i m p l yc o n n e c t e da l g e b r a s t h e yg a v ea na l t e r n a t i v e d e f i n i t i o nf o rt h es t r o n gs i m p l ec o n n e c t e d n e s so fal o c a l l yb o u n d e dc a t e g o r ya n dp r o v e d t h ee q u i v a l e n c eo f t h e s et w od e f i n i t i o n s 1 1 1 e ya l s oo b t a i n e da h a n d yc r i t e r i o na l l o w i n gu s t ov e r i f yw h e t h e ral o c a l l yb o u n d e dc a t e g o r yi ss t r o n g l ys i m p l yc o n n e c t e d i na d d i t i o n ， t h e yp r o v e dt h a tac o n n e c t e dt r i a n g u l a rl o c a l l yb o u n d e dc a t e g o r yi ss c h u r i a na n ds t r o n g l y s i m p l yc o n n e c t e di f a n do n l yi f i th a sap r e s e n t a t i o ns u c ht h a ta l lc y c l e sa r ec o m m u t a t i v e a tl a s t , t h e ya l s op r o v e dt h a ta na l g e b r ai ss t r o n g l yc o n n e c t e di fa n do n l yi fi ti st h e o n e - p o i n te x t e n s i o n ( o rc o e x t e n s i o n ) o fas t r o n g l ys i m p l yc o n n e c t e da l g e b r ab ya c o m p l e t e l yc o s e p a r a t e dm o d u l e ( o rac o m p l e t e l ys e p a r a t e dm o d u l e ，r e s p e c t i v e l y ) t h ei n c i d e n c ea l g e b r ao ff i n i t ep a r t i a l l yo r d e r e ds e t ( p o s e 0h a sb e e nr e s e a r c h e d e x t e n s i v e l y 髂w e l l a l t h o u g hi ti sa nu n d e c i d a b l ep r o b l e m t ow h e t h e ro rn o ta ni n c i d e n c e a l g e b r ai ss i m p l yc o n n e c t e d t h i sk i n do fa l g e b r a ss e e m st ob em o r ea c c e s s i b l es i n c ei t e n j o y ss o m ea t t r a c t i v ec h a r a c t e r i s t i c s i nf a c t ，i fai sa ni n c i d e n c ea l g e b r a t h e na l l i t s p r e s e n t a t i o n sy i e l di s o m o r p h i cf u n d a m e n t a lg r o u p s ( s e e 【6 ) f u r t h e r m o r e ，i tw a ss h o w n b yp d r a x l e ri n 【7 】t h a ta l li n c i d e n c ea l g e b r aai ss t r o n g l ys i m p l yc o n n e c t e di f a n do n l y i ft h eq u i v e ro fac o n t a i n sn oc r o w n s t h u s i ty i e l d sa n o t h e rs u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r 4t ob es i m p l yc o n n e c t e d i tw a ss e e ni n 5 】t h a te m p l o y i n gac o m b i n a t o r i a lc o n d i t i o n o nc r o w nw i l lf o r c et h ei n c i d e n c ea l g e b r at ob es i m p l yc o n n e c t e d i ts h o w e dt h a tas i m p l y c o n n e c t e di n c i d e n c ea l g e b r aw h i c hi sn o ts t r o n g l ys i m p l yc o n n e c t e da l w a y sc o n t a i n sa c r o w ns a t i s f y i n gt h i sc o m b i n a t o r i a lc o n d i t i o n 1 2m a i nr e s u l t s d e f i n i t i o n s ( s e e 【5 】) l e t b eap o s e t , a n d rb eaf u l ls u b c a t e g o r yo fag e n e r a t e db y n 2 、a n d o f t h e f o r m 咄 a = a ( x ) b ei t si n c i d e n c ea l g e b r a l e t 2 np o i n t s x l ，x n ，y l ，儿 ( w i t h g r a p h2 - 2 ( 1 ) w es a y t h a tri s a w e a k c r o w n ，i f ( a ) f o re a c hi ，t h ec o n v e xh u l lo f “，y i nzi n t e r s e c t st h o s eo f x i _ ，y i ) a n d x t ，y j + 1 ) ，a n do fn oo t h e r ，y a ( h e r e ，a n di n t h es e q u e l ，w ea g r e et os e t y “= y 1a n dx o2 x n ) 2 矗i i 小n ( b ) t h ec o n v e xh u l l so f t h r e ed i s t i n c t ，乃) d on o ti n t e r s e c t ( 2 ) aw e a kc r o w nfi ss a i dt ob eac r o w ni f , f o re a c hi ，t h ei n t e r s e c t i o no f t h ec o n v e x h u l l so f x t , y ，) a n do f j ，y + 1 ) i s ，a n dt h ei n t e r s e c t i o no f t h ec o n v e xh u l l so f t x l - 1 ) y 。、a n d 缸t ，y t i sy i r e m a r k s ：( a ) fi sac r o w ni f a n do n l yi f e a c hp o i n ti ne i t h e rt h es o u r c eo rt h es i n ko f e x a c t l yt w op a t h s f u r t h e r m o r e , ac r o w ni sac y c l ew h i c hh a st i l ef o r m ： 夕卜_ 过_ 一专 ， g r a p h2 。3 ( b ) f ”( r e v e r s et h ed i r e c t i o no fe a c ha t o wi nr ) i sac r o w ni fa n do n l yi ffi sa c r 0 w n ( 3 ) g i v e naw e a kc r o w nfo f t h ef o r mi ng r a p h2 - 2 ，w ed e f i n ei t sw i d t h t ob eb t h u s ， f o r a n y w e a kc r o w nf ，w e h a v ew 0 - 3 2 ( 4 ) l e tfb e a w e a k c r o w n ( a ) ap o i n tjn o ti nfi ss a i dt os u s p e n dfi f 工i sap r o p e rp r e d e c e s s o ro f 砒 l e a s tt w on o n - c o m p a r a b l ep o i n t so ff ，a n dn op r o p e rs u c c e s s o ro fxi sa p r e d e c e s s o ro f t h es a m ep o i n t so ff as u s p e n d i n gxp o i mi ss a i dt ob eat o p o f1 1i fxi sad i r e c tp r e d e c e s s o ro fa l lt h em a x i m a lp o i n t so ff w ed e f i n e d u a l l yp o i n t sw h i c hs u s t a i nf ，o rw h i c h l i ea tb o t t o m ap o i n txn o ti n fi ss a i dt oq u a s i - s u s p e n dri f 工i sap r o p e rs u c c e s s o ro f a tl e a s tt w on o n - c o m p a r a b l ep o i n t so ff ，a n dn op r o p e rp r e d e c e s s o ro f 石i sa s u c c e s s o ro f t h es a m ep o i n t so ff w ed e f i n es i m i l a r l yt h ec o n c e p t so f q u a s i - t o p a n d q u a s i s u s t a i n ( 5 ) l e trb ea w e a k c r o w n ( a ) l e tx s u s p e n df 1 1 1 es u s p e n s i o nf 。o ffi s t h e f u l ls u b e a t e g o r y o fa g e n e r a t e db y 工，a l lt h em i n i m a lp o i n t so ffa n dt h o s eo fi t sm a x i m a lp o i n t s w h i c ha l en o tc o m p a r a b l et o 茗w ed e f i n ed u a l l yt h es u s t e n s i o nlo ffa ta p o i n tw h i c h s u s t a i n si t ( b ) l e tx zq u a s i s u s p e n df t h eq u a s i - s u s p e n s i o nf 。o ffi s t h ef o i l s u b e a t e g o r yo fag e n e r a t e db yx ，a l lm a x i m a lp o i n t so ffa n dt h o s eo fi t s m i n i m a lp o i n t sw h i c ha r en o tc o m p a r a b l et o 石w ed e f i n ed u a l l yt h e q u a s i s u s t e n i s i o nf j o ffa tap o i n tw h i c hq u a s i - s u s t a i n si t ( 6 ) ac i r c u m f e r e n c eo f a w e a kc r o w nfo f t h ef o r mi ng r a p h2 - 2a b o v ei sac y c l i cw a l k 3 w = w ，w w h t 2 xw h e r e ，f o fe a c h iw i t h i i 2 n ，w e h a v e t h a t 占 1 ，一1 ) a n d i s ap a t hp a r a l l e lt oo n eo f t h ep a t h s l ，甜。，v l ，v a n ds u c ht h a t ，m o r e o v e r , e a c h ，o rv f i sp a r a l l e lt oe x a c t l yo n eo f t h e 一 p r o p o s i t i o n3 3 l e t rb eac r o w ni na l li n c i d e n c ea l g e b r aa ，a n dl e tz q u a s i s u s p e n df ，t h e n ( a ) t h eq u a s i s u s p e n s i o nr 7o fra t 石c a nb ew r i t t e nu n i q u e l ya sau n i o no f c r o w n s ， s t i c k sh a v i n gt h es a m ep o i n t 善 c o ) t h ew i d t ho f e a c hc r o w ni nt h ed e c o m p o s i t i o no f ( a ) i ss m a l l e rt h a nt h ew i d t ho ff ， u n l e s s 工s u c c e e d sn om i n i m a lp o i n to ffa n dxs u c c e e d se x a c t l yt w om a x i m a l p o i n t sw h i c h a l ec o n s e c u t i v e ( c ) t h ep r o d u c t so fc i r c u m f e r e n c e s ，a l ls t a r t i n ga n de n d i n ga tx ，o f t h ec r o w ni nt h e a b o v ed e c o m p o s i t i o no ff i sh o m o t o p i ct oac o n j u g a t eo f ac i r c u m f e r e n c eo ff l e m m a3 1 3 l e tab ea na c y c l i cc y c l et h a ti sn o tac o n t o u r , t h e nai sac r o w n t h e o r e m3 2 1 l e tab eat r i a n g u l a ri n c i d e n c ea l g e b r a a s s u m eah a sa tl e a s to n e c y c l ea n dh a sn oc o n t o u r t h e n i s n o ts i m p l yc o n n e c t e d c o r o l l a r y3 2 2 l e tab ea ni n c i d e n c ea l g e b r aa n dfb eac r o w ni n a a s s u m e ji sap r o p e rs u c c e s s o r ( o rp r e d e c e s s o rr e s p e c t i v e l y ) o fa tl e a s tt w om a x i m a l ( o r m i n i m a lr e s p e c t i v e l y ) p o i n t so fr ，t h a nf 。h a sn e i t h e ra c y c l i cc y c l e sn o rc o n t o u r s t h u s r 7i sn o ts i m p l yc o n n e c t e d 4 c h a p t e r 2p r e l i m i n a r i e s 2 1a l g e b r a sa n dq u i v e r s t h r o u g h o u tt h i st h e s i s ，kw i l ld e n o t eaf i x e da l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d b ya l g e b r ai s m e a n ta na s s o c i a t i v e ，f i n i t ed i m e n s i o n a l k - a l g e b r aw i t ha ni d e n t i t yw h i c hw em o r e o v e r a s s u m et ob eb a s i c ( t h a ti s ，a r a d ai sad i r e c tp r o d u c to fc o p i e so f 七) s i n c ew ea r e i n t e r e s t e di nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fa ，t h u si nt h ec a t e g o r ym o dao ff i n i t e l y g e n e r a t e dr i g h ta - m o d u l e s ，t h el a t t e rh y p o t h e s i se n t a i l sn ol o s so f g e n e r a l i t y af i n i t eq u i v e rqi saq u a d r u p l e ( q 0 ，q l ，j ，) c o n s i s t i n go f t w of i n i t es e t s ：q o ( t h e s e to fp o i n t s ) a n dq 1 ( t h es e to fa r r o w s ) a n dt w om a p sj ，t ：q 1 专磊w h i c ha s s o c i a t e t oe a c ha r r o w 口q 1i t ss o u r c es ( a ) q oa n di t st a r g e tt ( a ) q o t h u s ，o n em a y t h i n ko faq u i v e ra sb e i n gad i r e c t e dg r a p h ap a t hi nt h eq u i v e rai se i t h e ra no r d e r e d s e q u e n c eo f a r r o w sp 2 1 2 。口1 w i t he ( a i ) = s ( a ，+ 1 ) f o r1 t n ，o rt h es y m b o l e ， f o ri e o ( s e e 8 】) ar e l a t i o ni naq u i v e rqf r o map o i n t 善t oap o i myi sal i n e a rc o m b i n a t i o n p = 二 川w h e r e ，f o r e a c hiw i t h1 ，所 i sa n o n z e r os c a l a r a n d 嵋i sa p a t ho fl e n g t ha tl e a s tt w of r o mxt oy as e to fr e l a t i o ni nqg e n e r a t e sa l li d e