（基础数学专业论文）特征标维数与可解群的结构.pdf

特征标维数与可解群的结构 学科专业：基础数学研究方向r 代数学 指导教师：张广祥教授研究生z 梁登峰( 2 0 0 1 2 7 2 ) 摘要 利用特征标维数图刻画群的结构是受到广泛关注的群表示论中的重要研究课题1 9 8 5 年以来出现了一系列研究成果如文【5 】。1 9 j ，【1 4 1 ，【1 5 】，【1 6 】，【17 j ，【1 8 】，【2 4 在 文 1 0 】中m a r kl l e w i s 对于有两个连通分支的有限可解群的结构作了完整的分类研究 在文【1 1 】中m a r kl l e w h 研究得出了满足条件( ) 的一种拟连通的可解群的f i t t i n g 高 至多是4 条件( * ) 的定义t 群g 的特征标维数图r ( e ) 的顶点集p ( a ) = 丌lu z 2u ( p ) ，其中 1 7 r 1 i ，i 2 l 1 ，”l n 耽= 圣，且7 r 1 与t 2 中顶点不相邻 在文【1 1 】的基础上。我们进一步研究满足条件( + ) 的可解群我们得到如下定理： 定理3 1 若g 是有限可解群，且满足条件( ) 则2 n ( c ) 茎4 ，刎口，( g ) 6 且g 是例1 例2 0 中的群之一( 见第三节) 1 9 9 8 年i m i s a a c s 与g k n u t s o n 在文【7 l 中研究了非核特征标集合i r r ( g n ) = x i ”( c ) i n 不包含在k e r x 中) 对于正规子群的影响 因为n 璺g 时，我们有l r r ( c ) = l r r ( g n ) u l r r ( g t n ) 但显然特征标集合i r r ( c n ) 只能决定c n 的结构，因此正规予群的结构及| 对g 的扩张性质应该由i r r ( g i n ) 来决定已有不少关于i r r ( g i n ) 结果得出，如文献【18 l ，1 7 l ，【8 】等本文对其中部分 结果做了推广，考虑z b r ，( g i n ) 对正规子群的结构及对g 的扩张性质的影响得 到下列结果： 定理4 1 5 n q g ，c n 是p 7 群则对任意的非线性妒i b r p ( g i n ) ，素数 p 十妒( 1 ) = 有正规s 彬o wp - 子群 定理4 3 2g 是p - 可解群，e n 是 0 。，q 卜群，n q g 索效p q 若对所有 非线性_ p i b r p ( g n ) 有q ip ( 1 ) 则有一正规酽补 定理4 3 4g 是p - 可解群，g n 是一一群，n 日g 素数p q 若对所有非线性 妒i b r p ( g n ) 有qlp ( 1 ) 则有一正规哥补 早在1 9 5 7 年b h u p p e r t 就在文f 6 】6 中给出了可解群g 的导长d f ( g ) 的一个对数界 1 9 8 6 年j d i x o n 在文【2 1 2 中及1 9 9 3 年o m a n z ，t r w o l f 在书【18 】中都作了改进，我们在第 五节进一步”改进”( 除特殊情况外) 得到如下定理t 定理5 1设g 是可解群 ( a ) 若g 晶，则d f ( g ) 兰( t 3 ) l 0 9 3 ( 除非g 型g l ( 2 ，3 ) o ( ( z 3 z 3 ) ( 9 个文字上 的本原置换群) ，这时d f ( 回= 5 ( b ) 若v o 是任意域，上的n 维忠实完全可约y g l 模则d r ( g ) s8 + ( 7 3 ) 1 0 9 3 ( n s ) 关键询； 可解群；群表示；特征标；特征标维数图 2 c h a r a c t e rd e g r e e sa n dt h es t r u c t u r e so f s o l v a b l eg r o u p s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：a g e b r a t u t o r ：p r o f z h a n gg u a n g x i a n g a u t h o r ：l i a n gd e n g f e n g ( 2 0 0 1 2 7 2 ) a b s t r a c t i ti sa n i m p o r t a n tp r o b l e m t h a tr e 8 e 砌t h es t r u c t u r ef r o mc h a r a c t e rd e g r e eg r a p h s a f t e r 1 9 8 5t h e r ew e r em a n y o u t c o m e s ，s e ef 5 1 ， 9 1 ，【1 4 ，1 1 5 ，f 1 6 1 ，【1 7 】，f 1 8 1 ，【2 4 】m o r er e c e n t l ym a r k l l e w i si n 【1 0 】g a v ea c o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef o l l o w i n gs p e c i a le a s e ：t h eg r o u pg i ss o l v a b l e a n dr ( g ) h a s2c o n n e e t e dc o m p o n e n t s i nf 11jm a r kll e w i sp r o v et h ef i t t i n gh e i g h ti sa t m o s t4o fgw h m hh a st h ec o n d i t i o n ( ) ( ) ：p ( a ) = 丌1u 耽u 伽) i sad i s j o i n tu n i o nw h e r e 霄l i ，l 竹2 l 1 ，a s s u m et h a tn op r i m ei n 7 i 1 i sa d j a c e n ti nr ( g ) t oa n yp r i m ei n7 1 2 i nt h i sp a p e rw e i m p r o v e d i tb a s e d o n 【1 1 lt oc o n s i d e rt h e s o l v a b l eg r o u p sw i t ht h ec o n d i t i o n ( ) w eg e tt h ef o l l o w i n gt h et h e o r e m ： t h e o r e m3 1l e tgb eaf i n i t es o l v a b l eg r o u p ，a n di ts a t i s f a c t i o nt h ec o n d i t i o n ( * ) t h e n 2 n ( g ) 4 ，d f 口，( g ) 6 a n dg i so n eo f e x a m p i e1 - 2 0 ( s e et h et h i r ds e c t i o n ) i n1 9 9 8l m 1 s a a c sa n dg k n u t s o ns t u d i e dt h ee f f e c to ft h es e t 打r ( g i ) = 仅i r r ( g ) n d on o tb ei n c l u d e di nk e r x t ot h en o r m a ls u b g r o u pni n f 7 】 w h e nn 旦g ，w eh a v e r r ( g ) = r r ( g n ) u l r r ( g i n ) b u tt h ec h a r a c t e rs e tl r r ( g n ) c a no n l yd e c i d et h es t r u c t u r eo fo n ，s ot h es t r u c t u r eo ft h en o r m a ls u b g r u pna n dt h e e x p a n s i o no fn t ogs h o u l db ed e c i d e db yl r r ( g i n ) n o ww eh a v em a n yr e s u l t sb e e ng o t t e n a b o u t i r r ( g i n ) ，s u c h8 s i l8 1 ，【7 l ，1 8 1 e t c w ec o n s i d e r t h e e f f e c t o f i b r p ( g i n ) t o t h es t r u c t u r e o ft h en o r m a ls u b g r o u pna n dt h ee x t e n t i o no fnt og w eg e tt h ef o l l o w i n g ： 3 t h e o r e m4 1 5l e tn 司g 。g i n i sa g r o u p t h e nt h ep r i m ept 妒( 1 ) t oa r b i t r a r y n o n - l i n e a r 妒，b r p ( g i ) = 号h a v et h en o r m a ls y l o wp - s u b g r o u p t h e o r e m4 3 2l e tgi sap - s o l v a b l eg r o u p ，a ni sa ，q ) 一g r o u p ，nqg t h ep r i m e p q ，i fqi 妒( 1 ) t oa l ln o n - l i n e a r 妒i b r p ( g i n ) t h e nn h a v ean o r m a lq - c o m p l e m e n t t h e o r e m4 3 4l e tgi sp - s o l v a b l eg r o u p ，g ni sap g r o u p ，t h es u b g r o u pn 司g t h e p r i m e p 口i f q i 妒( 1 ) t o a l ln o n - l i n e a r 妒i b r p ( a l n ) t h e n h a v e a n o r m a lq - c o m p l e m e n t i n1 9 5 7b h u p p e r t 【6 】w a st h ef i r s tt og i v eal o g a r i t h m i cb o u n df o rd l ( g ) j d i x o nf 2 】2i n 1 9 8 6a n d0 m a n z ，t r w o l fi l z li n1 9 9 3h a di m p r o v e di t ，w ew i l l ”i m p r o v e ”i ti nt h i sp a p e r e x c l u d es o m ec a s e ： t h e o r e m5 1l e tgb es o l v a b l e ( a ) i fgs 晶，t h e nd 2 ( g ) ( 7 3 ) l 0 9 3 ( n ) u n l e s sg 型g l ( 2 ，3 ) o c ( z a 历) ( p r i m i t i v e p e r m u t a t i o ng r o u po nt h ef i n i t es e tn ，i n i = 9 ) ，w h e r e 班( g ) = 5 ( h ) l e tv 0 b eaf a i t h f u la n dc o m p l e t e l yr e d u c i b l e ， a l - m o d u l eo v e ra na r b i t r a r yf i e l d ，s e t 礼= d i r n j ：( v ) ，t h e nd f ( g ) 8 + ( z 3 ) l 0 9 3 ( n 8 ) k e y w o r d s ：s o l v a b l eg r o u p s ；g r o u pr e p r e s e n t a t i o n ；c h a r a c t e r ；c h a r a c t e rd e g r e e sg r a p h 4 第一节引言 通过一系列的研究。i m i s a a c s 证明了可解群g 的导长d f ( g ) 3 1 c d ( a ) i 一2 ( 参见文 【1 8 】中定理1 6 5 ) ，其中c 烈g ) 是g 的不可约特征标维数的集合著名的j a c s s e i t z 猜 想断言：对可解群g 有d f ( g ) f c d ( g ) 1 1 9 7 6 年t r b e r g e r 在文【1 】1 中对于奇阶群证明 了这一猜想成立这些研究结果表明仅仅求助于不可约特征标维数这样的数量性质就可 能刻画可解群导长这类复杂的群论性质 1 9 8 5 年之后，b h u p p e r t ，o m e n t z ，t r w o l f 等人提出应用特征标维数图r ( a ) 来研究可解群的结构特征标维数图r ( c ) 的顶点集是g 的不可约特征标维数的索因子 集，两个顶点p 与q 决定r ( c ) 的一条边当且仅当存在g 的不可约特征标x 使m i x ( 1 ) 1 9 8 9 年o m a j l t z ，w w i l l e m s 及t r w o l f 等三人在文1 19 】中共同证明可解群g 的 特征标维数图r ( g ) 每三个顶点至少存在一条边，由此可以推论可解群特征标维数图最多 有两个连通分支，每个连通分支直径不超过3 文f 1 9 】利用有限单群分类定理进一步证 明了任何有限群的特征标维数图最多含三个连通分支若g 可解。则至多含两个连通分 支文【1 8 】中推论1 8 8 又说明了有两个连通分支的可解群的每个连通分支是完全图所 有以上的结果都显示了特征标维数集与群的结构之间的互相决定关系 文【1 8 l 中定理1 9 6 ( 觅本文引理2 , 5 ) 证明：如果可解群g 的特征标维数圈f ( c 1 不 连通。则g 的f i t t i n g 高2 冬”( g ) 4 ，导长d f ( g f ( g ) ) 冬4 2 0 0 1 年m l l e w i s 在文 【1o l 中进一步对f ( g ) 不连通的可解群结构作了完整的分类研究，证明满足这一条件的可 解群具有6 类，l e w i s 给出丁这6 类群详细的群论结构( 见本文引理2 6 ) 2 0 0 1 年m l l e w i s 在另篇文1 1 1 】中进一步研究了一类维数图连通的更为困难的情 形，我们把这一情形简记为条件( ) ：假设群g 可解。且特征标维数图r ( e ) 的顶点集 p ( c ) = ”l u 2 u p ) ，其中1 7 r l f ，m i21 ，7 r l n 1 2 = 圣，且”l 与丌2 中顶点不相邻 l e w i s 证明这时g 的f i t t i n g 高不超过4 ( 见本文引理2 1 2 ) 我们将在本文第三节中进一步研究满足条件( * ) 的可解群，证明这样的群共有2 0 类 并且g 存在长最多为6 的正规子群列g = g o g 1p p g 。使商群岛q + 1 或者是交换 群或者是p 一群，称具有上面性质的最小正整数8 为g 的一一导长，记为d j 。一( g ) 因此 满足条件( ) 的可解群d l o , ( g ) 6 1 9 9 8 年i m i s a a c s 与g k n u t s o n 在文【7 j 中研究了非核特征标集合i r r ( g i n ) = x i r r ( c ) l g 不包含在k e r x 中) 对于正规子群的结构的影响由于i r r ( g ) = i r r ( g n ) u l r r ( g f ) 5 j r r ( g i n ) ni r r ( g g ) = 壬且显然i r r ( g n ) 决定商群g t n 的结构，因此的结构以及 对g n 的扩张性质应由特征标集合i r r ( g i n ) 来决定例如在文【7 】中e s a 8 c s 与k n u t s o n 证明t 若n 司g ，且c d ( g i n ) l = f x ( 1 ) l x i r r ( g i n ) j 2 ，则n 可解且d l ( n ) 2 孙 光洪在文【2 2 】中进步研究特征标维数集c d ( g i n ) 与的结构关系，推广了一系列特征 标维数集方面的结果孙光洪又证明了：若n 日g ，对每a 甜( g i n ) ，素数p t a 。则 有交换正规s y l o wp 一予群 设p 是一个素效，有下列重要定理。 i t o - m i c h l e r 定理对每a c a ( c ) 。计n 当且仅当g 有正规交换s 们p 一子群 关于p 一模特征标有下面的平行结果。 i t o - o k u y a m a 定理每咖，口r p ( g ) ，p i e ( 1 ) 当且仅当g 有正规勖l o wp 一子群 我们在第四节将上面的结果推广到非核特征标的情形例如，我们证明了：若g n 是p 一群且每曲i b r p ( c l n ) ，p f 妒( 1 ) 当且仅当有正规s y l o wp 一子群此外我们还 对其它有关结果作了相应推广 早在1 9 5 7 年b h u p p e r t 就在文1 6 l 中给出了可解群g 的导长础( g ) 的一个对数界 1 9 8 6 年j d i x o n 在文f 2 】2 中。改进”了它，即给出了个更强的界1 9 9 3 年o m a n z ，t r w o l f 在书【1 8 1 中给出了下面的定理： 定理令g 是可解群 ( a ) 若g 是对称群s n 的一子群，则d l ( g ) 墨( 5 2 ) l 0 9 3 ( n ) ( b ) 令v 0 是一个任意域，上的忠实完全可约，【g 卜模令n = d i m f ( ：y ) 则 d l ( g ) s8 + ( 5 2 ) l o g a ( n 8 ) 本文第五节进一步。改进。为下面的定理t 定理5 1设g 是可解群 ( a ) 若g & ，贝qd f ( g ) ( 7 1 3 ) l 0 9 3 ( 竹) 除非g 掣g l ( 2 ，3 ) o c ( 忍历) ( 9 个文字上 的本原置换群) ，这时d l ( g ) = 5 ( b ) 若v 0 是任意域，上的n 维忠实完全可约，- i g i 模则d f ( g ) 8 + ( 7 3 ) l 0 9 3 ( n 1 8 ) 我们先对一些符号和术语作下面的说明 所有群都是有限群 特征标总指复特征标 字母g 总表示一个有限群 6 若n 是一个正整数”( n ) 表示n 的全体素因子所构成的集合。”( g ) = ”( i g i ) i r r ( g ) 表示g 的所有复不可约特征标构成的集合 i r r ( g o ) = x t ( g ) j 【x _ ，0 】o 其中n 翼g ，0 打r ( ) 1 r r ( g n ) = i r r ( g ) i r r ( g g ) 也即对所有1 1 , 0 l r r ( n ) ，i r r ( g 1 0 ) 的并其中 n 旦g 以( g ) = z ( 1 ) l x j r r ( g ) e 丑( g i n ) = x o ) l x i r r ( g i n ) c d ( c 1 8 ) = x ( 1 ) l x l r r ( g i o ) p ( a ) = 伽扣是x ( 1 ) 的素因子，x ( 1 ) 础( g ) ) r ( g ) 表示群g 的特征标维数图，其顶点即p ( g ) 中的元素，若存在x l r r ( a ) ，使 m i x ( 1 ) ，则p 和g 之间有边相连 f ( c ) 表示g 的f i 托i n g 子群，即g 的极大幂零正规子群令f o ( a ) = 1 ，最( g ) 定 义为r ( g ) r l ( g ) = f ( g f t l ( g ) ) n ( g ) 表示上面归纳定义中使r ( g ) = g 的最小的数 g g ，则有9 = 蛳，此处如是9 的p 一数。昂，叫p 一硼0 的( 即p 不整除靠，的 阶) g 的不可约b r a u e r 特征g 的每个不可约，一特征标限制在g 的p 一正则元素上， 能得到一复值函数妒此时将妒叫g 的不可约b r a u e r 特征 b r p ( g ) 表示g 的不可约b r a u e r 特征的集合 i b r v ( g i n ) = i b r p ( g ) 、i b r v ( g n ) 其中n 璺g d f 。，( g ) 的定义在正文第三节 r ( 扩) 表示y 上的半线性群，其中i y i = 口m 在本文中。我们使用的群论的术语和符号参照d j s r o b i n s o n 的著作即文【3 l ，群表 示论的术语和符号一般参照i m i s s a c s 著作f s l 和o m a n z ，t r w o l f 的著作，f 1 8 】 7 第二节预备定理 本节中我们列出一些重要结果作为后面三节证明的预备定理 引理2 1若g f ( g ) 是幂零的。则存在x i r r ( g ) 使l r ( x ( 1 ) ) = 7 r ( i g ：f ( g ) i ) 证明参见文1 1 8 l 中定理1 9 6 前的一段注释 口 引理2 2 ( 文【8 】8 中推论1 1 2 9 )若nq g ，x i r r ( g ) 口j ”( ) 是x n 的一 不可约成分则x ( 1 ) 0 ( 1 ) 整除i g ：n i 引理2 3( 文1 1 8 】中定理1 2 9 )n 里g ，口打r ( ) ，且对所有的x i r r ( g l e ) ， x ( 1 ) e ( 1 ) 是。一数若g ，可解，则g n 有一交换h a l lw 一子群特别地g 的7 r 一 长至多是1 引理2 4( 文 1 8 】中定理1 9 3 )假设日非平凡地作用在| 上，且固定的每个 非线性不可约特征标令m = 【n ，h 】，若( i n i ，j h i ) = 1 且h 可解，则 ( a ) n = m ( b ) 下列之一成立： ( i ) 是交换群； ( i i ) m 是类2 的p 一群，且n ! z ( 日) ； ( i i i ) m 是f r o b e n i u s 群，其核为 所有这些情况下都是幂零群 引理2 5 ( 文【1 8 l 中定理1 9 6 )若g 可解，且r c g ) 恰好有两个分支则 ( 1 ) 2 n ( g ) 茎4 ， ( 2 ) d i ( g f ( g ) ) 4 引理2 , 6 ( 文1 1 0 中m a i nt h e o r e m )g 可解，则r ( c ) 有两个连通分支的充分必要 条件是g 为下列6 种群之一： 例( 1 ) 对于某素数p ，g 有一非交换的正规s y l o w p 一子群p 和一交换p 一补耳 令c = c p ( k ) p c ，且p 的每个非线性不可约特征标关于p c 是金分歧的 例( 2 ) g 是其子群作用在子群p 上的半直积其中p 是9 阶初等交换群，c d ( h ) = 1 ，2 ，3 ) 令z = c h ( p ) z z ( h ) h z 兰s 岛( 3 ) 。此时日在p 上的作用就相当于 s l 2 ( 3 ) 在p 上的自然作用 例( 3 ) g 是其子群日作用在子群p 上的半直积其中p 是9 阶初等交换群，c d ( g ) ： 1 ，2 ，3 ，4 令z = ( p ) z 冬z ( h ) 且h z 皇g l 2 ( 3 ) 此时日在p 上的作用就相 8 当于g l 2 ( 3 ) 在p 上的自然作用 例( 4 ) g 是其子群日作用在一初等交换p 一群y 上的半直积其中p 是素数令 z = g h ( y ) ，k 是日的f i t t i n g 子群记m = i h ：k i 1 1 v l = q ”，其中q 是p 的方幂z z ( h ) ，k z 是交换的，耳不可约的作用在y 上，( m ，l k ：z 1 ) = 1 且 ( q ”一1 ) ( q 一1 ) 整除i k ：z i 例( 5 ) g 有一非交换正规2 一子群q 和一交换2 一补k ，恰好使得i g ：k q i = 2 且 c q 是非交换的令z = c k ( q ) 。c = c b ( ) c ，z 在g 中中心化q 的每 个非线性不可约特征标关于q l c 是全分歧的对某个正整数a ，q c 是2 2 0 阶的一初 等交换2 一群q c 在k 的作用下不可约，k z 是铲+ 1 阶交换群 例( 6 ) g 是一交换群d 互索地作用在一群t 上的半直积md 】是一f r o b e n i u s 群 其f r o b e n i u 8 核a = ，= i t ，d i ，其中a 是一非交换p 群，p 是素数令其f r o b e n i u s 补为b ，旧，d j b ，竹( 丁) 中的每个特征标在d 的作用下不变a 肛在b 的作 用下不可约令m = i d ：c d ( a ) j ，q 是p 的方幂，i a ：a l = 俨( q ”一1 ) ( q 一1 ) 整除 i b i 引理2 7( i t o - m i c h l e r 定理)g 有一正规交换s 讲洲p 一子群车 c d ( g ) 中每个元素 都和p 互索 引理2 8( 文【8 】中定理6 1 7 )令n 司g ，且x i r r ( g ) 使得x = 口i r r ( n ) 则对于卢i ”( c n ) ，触是不可约的不同的卢得出的不同的段是萨的所有不可约 成分 引理2 , 9 ( 文【1 8 1 中命题0 2 )假设y 是一不可约，【g 卜模，n 曼g ，且非齐 次则 ( a ) 若c 璺g 是极大地使场非齐次的g 的子群，则c c 忠实本原地置换的齐 次成分 ( b ) 存在n d 司g 使得v d = m0 o 巩，8 1 其中c d 忠实本原地作用在 毗上，暇是d 一不变的而且当l 璺g ，n l s d 时，v l 非齐次且每个眦是圪 的齐次成分的和 引理2 1 0 ( 文【l8 】中定理1 9 5 ) g = o ”( g ) ，m 是g 的一正规h a l l ，r 一子群， c m 是交换的假设m 是一f r o b e n i u s 群，其核为若y 是一有限忠实不可约g 一 模，使得对每个 v ，( ) 包含g 的一h a l l7 r 一子群，则存在0 v 使得c 台( ) 无正规h a l l ，r 一子群 9 引理2 1 1( 文 4 】，i x 中引理1 3 )若g 是，r 一可分群，则c c ( o 。，( g ) 仉( g ) ) q 。，( g ) 引理2 1 2 ( 文【1 1 l 中定理a )若g 可解，且特征标维数图r ( a ) 满足条件( ) t 群g 的特征标维数图r ( g ) 的顶点集p ( a ) = ”1 u 丌2 u p ，其中i ”lj ，i 耽i 1 ，1 n 以= 垂， 且w i 与7 。2 中顶点不相邻则g 的f i 托i n 9 高至多是4 引理2 1 3 ( 文【i s 中命题o 7 )若g n 是一一群，妒i b r p ( n ) 。0 i b r p ( a ) 则妒在踟中的重数与0 在萨中的重数相同 引理2 1 4 ( 交f 1 8 j 中定理1 3 1 2 )令p ，q 是不同的素数，o q ( g ) 可解。且对所有 的卢i b r p ( g ) 有q t p ( 1 ) 若叮t 扫一1 ) 。且d ，q ) ( 2 ，3 ) ，则g d p ( g ) 有一正规交换的 s y l o wq - 子群 引理2 1 5 ( 文f 1 8 l 中推论2 1 3 )令g 是g l ( p ，q ) 的一可解不可约子群，其中p ，q 是素数 ( a ) 若q = 2 ，贝0 g r ( 2 9 ) ( b ) 若q = p ，则g r ( 矿) 或g 蜀一1 w r s 此时磊s s 磊弘1 昂 引理2 1 6 ( 文【1 8 j 中推论2 1 5 )令g 是g l ( 2 n ，2 ) 的一可解不可约子群，其中n 是素数则下列之一成立： ( a ) gsr ( 2 “) r 毛，或g 岛 rs 此时磊ss 晶玩一l ； ( b ) g sr ( 2 孙) ； ( c ) n = 3 ，f ( a ) 是3 3 阶的超特殊群， f ( g ) z ( f ( g ) ) 是一忠实不可约g f ( g ) 一 模，且i g i f ( g ) i 是偶数，整除4 8 引理21 7 ( 文【1 8 】中定理2 1 1 ) 令g 是g l ( 2 ，口) 的一可解不可约予群，其中口是 素数方幂则d l ( c ) 4 ，且下列之一成立t ( a ) g 舀一l z 2 ； ( b ) g s r ( q 2 ) ； ( c ) f ( g ) = q t 。此时仉竺口粤g ，t = z ( f ( g ) ) = z ( g ) 是循环的，t z ( a l ( 2 ，口) ) ， t n q = z ( q ) 。且a f ( a ) 些曷或岛q 2 若g 是拟本原则( b ) 和( c ) 一定成立 引理2 1 8 ( 文f l8 l 中定理2 6 ) 假设日= e u ，其中u = z ( 日) 是循环的，u n e ： z ( 司，e 是幂零的，且e 的却f 子群或是超特殊的或是索数阶的令y 是一忠 实不可约珂h i - 模，w 是的一不可约子模若曲n r ( 刁= 0 。，是代数闭的则 1 0 d i m ，( y ) = e d i m t ( w ) ，其中e 2 = f 日：u i 引理2 1 9( 文1 18 】中推论2 5 )令y 是一忠实不可约y i a - 模，若c h a r ( 乃= o ，且 ，是代数闭的p 粤g ，且p 是一非突换p 一群则pj d i m y ( v ) 引理2 2 0( 文【1 8 】中命题0 2 0 )若y 是一完全可约且忠实的，【g 卜模，且c h a r ( t ) = p 则q ( g ) = 1 引理2 2 1设g 满足条件( * ) ，则对每个 2 , f d v ) f t 一1 ( c ) 或者是”1u 佃) 一群或 者是他u p 卜群或者是p 一群 证明对i 2 ，由引理2 1 知存在屈，r r 假( g ) ) 使屈( 1 ) 被l r ( g ) 最一1 ( g ) 的每个 素因子整除又由于g 满足条件( ) ，所以i e ( g ) r l ( g ) i 是”1 u p 或者? r 2 u 仞) 或者 是p 一群口 引理2 2 2设g 满足条件( ) ，令q l i f 2 ( g ) f ( g ) i ，q 7 1 1 若m 是极大地使f m ( g ) i f ( g ) 是”1u p 卜群的正整数，则f ，+ i ( g ) f m ( g ) 有两种情况： ( 1 ) ：f m + i ( g ) f m ( g ) 是啦u p - 群g f m + 1 ( g ) 是 1u p - 群 特别地若p 不整除i f m 十t ( g ) f r n ( g ) i 时，+ 1 ( g ) f m ( g ) 是g 的交换h a l l ”2 一子 群若p 不整除i g f m + l ( g ) i 时，g 聩+ i ( g ) 是一交换7 i - - 群； ( 2 ) ：如十1 ( a ) f k ( g ) 是p 一群g 如+ l ( g ) 是i r 2u p ) 一群 特别地若p 不整除i g f k + 1 ( g ) i 时，g f m + 1 ( g ) 是一交换”2 一群 证明由引理2 2 1 知f 2 ( g ) i f ( g ) 是”1u 扣) 一群由假设易知m 2 ，取一个非线性 特征标rel r r ( ( g ) ) 使r ( 1 ) n ”1 圣，则对l r r ( g i v ) ，f ( 1 ) 定是 k 1u p - 数由引 理2 3 有g j m ( g ) 有一交换日扰砘一子群由m 的极大性及引理2 2 1 知f m + l ( g ) j m ( g ) 或者是丌2 u 扫卜群或者是p 一群 ( 1 ) 若昂叶1 ( g ) f m ( g ) 是砘u 力一群，此时o l u = 十l ( a ) 是吒一群即7 r 1u m 一群 特别地若p 不整除i f m + 1 ( g ) 矗( g ) i ，由引理2 1 1 知c b ( f m + l ( g ) 晶。( g ) ) f m + 1 ( g ) 所以f m + 1 ( o ) 1 f m ( g ) 是g 的交换h a l ll r 2 一予群若p 不整除f g f m + l ( g ) i ，由引理2 1 知存在一非线性不可约特征标q ，r r ( 如+ 1 ) 使q ( 1 ) 是，r ：一数，则每个x i r r ( a l v ) ，一 定有x ( 1 ) 是”i 一数由引理2 3 知g l ( a ) 是一交换”l 一群 ( 2 ) 若昂i + 1 ( g ) f m ( g ) 是p 一群。此时o f = + i ( g ) 不能是p 一群( 否则a f 。( g ) 幂 零) ，若丌2 n p ( f ( g ) ) 圣，则取0 l r r ( f ( g ) ) 使口( 1 ) n r 2 圣，则每个xei r r ( o l o ) 都有 x ( 1 ) 是7 r ：一数。由引理2 3 知a l f ( a ) 有一正规h a l l7 ( 1 - - 子群又因为f m ( g ) i f ( g ) 是 ”i u 伽卜群。所以g f m + l ( g ) 是霄2 u ( 升一群若f 2 n p ( f ( g ) ) = 圣，则g j m 十1 ( g ) 必须 是, r 2 u 佃) _ 群( 否则”2 不包含在r ( g ) 中，矛盾于g 满足条件( ) ) 特别地，着p 不整 除l g f 。+ d g ) i ，取口j r r ( 如+ l ( g ) ) 使e ( 1 ) c l ”l 西，贝对每个x i r r ( g l e ) 都有x ( 1 ) 是 7 r ；一数由引理2 3 知g i v 。+ l ( g ) 是交换丌2 一群口 注释：为书写方便，当g 满足条件( + ) 时，我们说g 的正规因子m n 是仉佃卜群 是指_ ，r ( m n ) n 仉西，至于是否有p ij m i n i ，对于我们所讨论的问题没实质的区别 1 2 第三节具有一类连通特征标维数圉的可解群 在进行讨论之前，我们先引入一个概念t 定义设g 可解。若g 有正规列g = g i 兰g 2 g a = 1 ，使得每个戗里g ， 且正规因子暖c 什1 或者是交换群或者是p 一群其中t = 1 ，8 1 我们就把满足此 条件的g 的最短的正规列的长度8 叫做g 的一一导长，记作删一( g ) 定理3 1 设g 可解，若g 满足条件( ) ：群g 的特征标维数图r ( g ) 的顶点集 p ( g ) = 7 ：1u7 r 2 u 计，其中l i f l l ，i 啦i 1 ，7 1 1 n 丌2 = 西，且i f l 与7 r 2 中顶点不相邻则 2 n ( v ) s4 。d i p , ( g ) 6 且g 是下列例1 例2 0 中的群之一 例1 g 有一正规子群k 使得g k 是p 一群p = 岛( g ) ，q a psk ，且 q x a x p 宴g 其中q s y l q ( g ) ，p s y 0 ( k ) ，令7 r 1 = 7 r ( g ) p ，口) ，丌2 = q ，a 是一交 换h a l l - 子群，令g a 是h a 作用在q p a a 上的半直积，其中i - 1 a h a l l , ，( g a ) ， 日作用在q 上的半直积如引理2 6 例( 1 ) 中的g 例2g 存在一正规子群使g n 些m n x h n ，其中m n 垡o p ( g n ) ，h n 是交换的，的结构如例1 中的g 例3 g 存在一正规子群使g n 型m nx h n 其中m n 型d p ( g n ) ，h n 是 交换的，的结构如引理2 6 中例( 1 ) 中的g 设f ( n ) = q a ，其中a 是交换群，q 是的非交换8 y l o wq 一子群r ( h n ) n 佃 = 西 例4 g 存在一正规子群使g n 是p 一群的结构如引理2 6 中例( 1 ) 中的g 例5 g 有一正规子群耳，及交换正规子群a ，使g k 掣m k h k 其中 h k 掣o p ( c k ) ，m k 是g k 的交换h a l l 一子群k 是纠 作用在 上的半赢 积且k a 是交换的 例6 g 有一正规子群k ，及交换正规子群a ，使c g 掣m k 点叫k 其中 h k 型0 1 , ( v g ) ，m k 是g k 的交换日删p ，一子群k 是k a 作用在 上的半直 积其中a 为k 的交换正规p ( 耳) 一子群，k a 是p ( 耳) 一子群【m k ，k a 】是类2 的q 一 群。素数q p 且q 不是, k m k ) 中的元( k a ) z ( k a n a ) 其中a 型m k p ( k ) n ( m k ) = 壬 例7g 有一正规子群k ，使c g 竺m k o ( 驯耳其中驯嚣是p 一群，m k 是 c g 的交换h a l l p 一子群与0 p ( g k ) 的直积的结构如例1 中的g 所示。则f ( k ) 中有非交换口一群，此时q 与, k m k ) 仞) 中的元必相邻 1 3 例8g 有一正规子群耳，使g i k 垒m ，ko c h k 其中m k 型g h 是p 一群， h k 是6 k 的交换h a l l 一一子群与o p ( m k ) 的直积耳的结构如例1 中的g 所示， 则f ( k ) 中有非交换g 一群，此时q 与f ( h k ) ( p ) 中的元必相邻 例9g 有一正规子群k ，使v k 兰m k h k 其中h k 是p 一群，m i k 是 g k 的交换h a l l 一一子群与。p ( m k ) 的直积耳的结构如引理2 6 中倒( 1 ) 中的g 所 示，则f ( k ) 中有非交换q 一群，此时q 与r ( m k ) 扫) 中的元必相邻 例1 0g 有一正规子群k 。使g k 竺m k h k 其中m k 竺c h 是p 一群， h i k 是g k 的交换h a l l 矿一子群与o p ( o k ) 的直积k 的结构如引理2 6 中例( 1 ) 中 的g 所示则f ( k ) 中有非交换q 一群，此时q 与, k h k ) 佃) 中的元必相邻 例1 l g 有一正规子群蜀，使的结构如例5 中的g 所示，且c k 幂零 例1 2g 有一正规子群k ，使的结构如例5 中的g 所示，且g 是p 一群，素 数p 最多与p ( g ) 中的一个元不相