（计算数学专业论文）非线性有限差分反应扩散对流方程的混合单调迭代方法.pdf

摘要 本文对一类非线性反应扩散对流方程的有限差分方程组给出了一类数值计 算方法，包括时间依赖问题的有限差分方程组和相应的定常问题的有限差分方 程组通过运用上下解方法，我们建立了一类混合单调迭代方法，由该方法得到 的序列单调收敛于方程组在上下解之间的唯一解迭代序列的单调收敛性，使得 每一步的迭代给出了数值解的改进的上下界另外，我们给出了迭代收敛率的 无穷大范数估计，收敛率达到了p + 2 阶，这里p 1 是一个正整数，它依赖于迭 代方法的构造最后，我们将这种方法应用于一个酶反应模型，数值结果显示了 算法的有效性 关键词：单调迭代方法，有限差分方程组，非线性反应扩散对流方程，高阶收敛 性，上下解方法 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ec o m p u t a t i o n a la l g o r i t h m sf o rf i n i t ed i f f e r e i l c es y s t e m so fad a s so fn o n l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o n - c o n v e c t i o ne q u a t i o n s w i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ei n v e s t i g a t i o ni sd e v o t e dt ot h e f i n i t e d i f f e r e n c es y s t e m sf o rb o t ht h et i m e - d e p e n d e n tp r o b l e ma n di t sc o r r e s p o n d i n g 8 t e a d v s t a t ep r o b l e m ac o m b i n e dm o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o di sp r e s e n t e db y u s i n gt h em e t h o d o fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s i ti ss h o w nt h a tt h es e q u e n c eo f i t e r a t i o n sc o n v e r g e sm o n o t o n i c a l l yt oau n i q u es o l u t i o no ft h es y s t e mi na 8 e c t o r b e t w e e nap a i ro fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，a n dt h em o n o t o n ep r o p e r t y o lt h e i t e r a t i o n sg i v e si m p r o v e du p p e ra n dl o w e rb o u n d so ft h es o l u t i o ni ne a c hi t e r a - t i o n t h er a t eo fc o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i o n si se s t i m a t e de x p l i c i t l yb yi n f i n i t y n o r m a n dt h eo r d e ro fc o n v e r g e n c ea t t a i n sa tp + 2 w h e r ep 1i sap o s i t i v e i n t e g e rd e p e n d i n go nt h ec o n s t r u c t i o no ft h ei t e r a t i v em e t h o d a na p p l i c a t i o n i sg i v e nt oa ne n z y m es u b s t r a t er e a c t i o nm o d e l a n ds o m en u m e r i c a lr e s u l t s a r e p r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d k e y w o r d s ：m o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d ，f i n i t e d i f f e r e n c es y s t e m ，n o n l i n e a r r e a c t i o n d j f f _ u s i o n c o n v e c t i o ne q u a t i o n ，h i g h o r d e rc o n v e r g e n c e ，u p p e ra n dl o w e r s o l u t i o n s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示 谢意 作者签名： 篓旦龙丝 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保 密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：彭踮袜导师签名：上丞一固 第一章引言 许多实际问题中的物理过程都可以用非线性反应扩散对流方程来描述对 这种方程的定性分析和数值求解算法已经有了很多工作( 参阅【3 ，4 ，6 ，7 ，1 4 ，1 6 ， 1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 2 ，2 4 ，2 7 ，3 0 1 ) 本文，我们对一类非线性反应扩散对流方程提出 一种新的数值计算技巧本文所考虑的方程如下： o q u 抛o t a - + v p u ( d ：v 夕u ( z ) ，+ t ，v 钍) - ，v u = ，z ，厶“l 【乱( z ，o ) = 矽( z ) ， z q ，t 0 ， z o f f ，t 0 ，( 1 1 ) z q 其中q 是r p 中的连通有界区域= 1 ，2 ) ，其边界为勰，v 是q 内的梯度 算子，v v u = v l ( z ，t ) o u o z l + + 铷( z ，t ) o u l o z p ，o u o v 是u 在a q 上的外法 向导数系数d 三d ( x ，t ) ，a 三q ( z ，亡) ，p 兰卢( z ，) ，v 三( v l ( x ，) ，v p ( x ，) ) 是 关于( z ，t ) 的连续函数假设在豆【0 ，卅上，d ( x ，t ) 0 ，其中豆= q u a q ，t 0 为任意的常数在勰【0 ，列上q ( z ，t ) 0 ，p ( z ，t ) 0 ，a ( z ，t ) 4 - p ( z ，t ) 0 一般而言，( z ，t ，札) 和g ( x ，t ，札) 是关于u 的非线性的函数，并且关于牡连续可 微，关于( z ，t ) 连续 本文我们也考虑( 1 1 ) 相应的定常问题： 薹e 抑f l , ( 1 2 ) 这里，d 三d ( z ) ，q 三q ( z ) ，p 兰卢( z ) ，v 兰( v l ) ，( z ) ) ，它们都与t 无关 设h “( p = 1 ，2 ，p ) 和k = t n t n 一1 分别是时间和空间方向的步长对 抛物性方程运用e u l e r 向后隐式差分格式，对v ( d v u ) 和v u 利用标准的中心 差商近似，再对o u o v 采用适当的有限差分近似可以得到如下向量形式的有限 差分方程组 j ( j + k ) = 巩一1 + r ( 巩) ， n = 1 ，2 。， ( 1 3 ) 【v o = 皿， 、。 其中i 是单位矩阵，= ( u l 朋，t m ，n ) t 表示由每个网格点q 上的近似解组成 的解向量a n 是一个m m 的矩阵，它和( 1 1 ) 中的差分算子和边界算子有 曲八 吼吣高 p 渺坷c 莩 第一章引言 2 关( 参看【1 8 ，1 9 ，2 0 1 ) 有限差分方程组( 1 3 ) 中其它向量的定义如下 r ( ) = ( 咒nu l ，n ) ，岛，n ( m n ) ) t ，矗nu i ，n ) = 广( 甄，t n ，让咖) ， ，( 现，t n ，u i ，n ) = ，( 露，t n ，让i ，n ) + o i ，。夕( 兢，t 仃， a i ，n ) ，皿= ( 矽( z 1 ) ，妒( z m ) ) t ， ( 1 4 ) 其中，在尤n 的定义中的系数o i ，n 是非负实数，仅当网格点在边界锄上，或者 和边界相邻时才有可能为非零，这取决于对o u l o v 的离散方法因为我们主要 关心的是有限差分逼近的数学结构，有关方程组( 1 3 ) 构造的具体细节参看文 献【2 ，6 ，8 ，1 8 ，1 9 ，2 0 1 利用( 1 3 ) 和( 1 4 ) 中相同的符号表示方法( 没有了下标n ) ，我们可以得到 定常问题( 1 2 ) 的差分逼近的向量形式，如下 a u = f ( u ) ， 其中a 具有( 1 3 ) 中的a 。相似的结构，并且 ( 1 5 ) u = ( u ”让m ) t ，f ( u ) = ( 片( u - ) ，伤( 乱m ) ) r ， ( 1 6 ) 片( u i ) = ，+ ( z t ，讹) ，+ ( z i ，u i ) = ，( z ，u t ) + o i g ( x i ，u i ) ， 、7 其中0 i 的定义类似于( 1 4 ) 中的0 i 加 对于方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) ，已有很广泛的研究( 参看【7 ，9 ，1 3 ，1 6 ，1 8 ，1 9 ， 2 0 ，2 2 ，2 4 ，2 7 ，2 8 1 ) 从计算的观点来看，一个主要的问题是如何得到一个可 靠而高效的求解算法对于这样的问题，一个行之有效的方法是单调迭代 方法和与之相关的上下解方法，这种方法已经应用于不同的非线性问题( 参 看f 1 ，1 0 ，1 1 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 2 ，2 3 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，2 1 1 ) 其基本思想是以上解或 下解为初始迭代，我们可以通过一个线性迭代过程构造迭代序列，迭代序列或者 从上单调递减收敛于方程组位于上解和下解之间的精确解，或者从下单调递增 收敛于方程组位于上解和下解之间的精确解，它取决于初始迭代的选择单调收 敛性给出了数值解的改进的上下界以及存在比较定理另一方而，由于初始迭 代是上解或者下解，而上解和下解可以从方程组直接构造，并不需要精确解的任 何信息，这就为初始迭代的选择提供了相当的灵活性求解方程组( 1 3 ) 和( 1 5 ) 的单调迭代方法主要有三种：p i e a r d 方法，j a c o b i 方法，g a u s s - s e i d e l 方法但 是，这些方法的迭代收敛阶仅仅是线性的，特别对于一些实际问题收敛速度会很 慢( 参看【1 6 ，1 9 】) 为了提高迭代的收敛速度并且保持迭代序列的单调性，一些 第一章引言3 文献中提出了一些加速迭代技巧在文献f 1 9 1 中对问题( 1 3 ) ，提出了种加速 单调迭代方法，这个方法的一个很重要的特点是，在仅要求r ( ) ( 或厂( ，牡) 和 夕( ，让) ) 可导的条件下，迭代序列以二阶收敛速度单调收敛于方程组( 1 3 ) 的唯一 解这种方法把p i c a r d ，j a c o b i ，g a u s s - s e i d e l 单调迭代方法的收敛速度提高了一 阶在文献【2 2 1 中，类似的加速迭代方法被应用于定常问题的方程组( 1 5 ) ，对于 某一类非线性函数f ( u ) ，这种方法产生的迭代序列以二阶的速度单调收敛于 ( 1 5 ) 的唯一解最近，在文章【2 8 】中，文章f 2 2 】中的方法被改进，使得对于很广 泛的一类的非线性函数f ( u ) ，迭代序列都有二阶收敛速度 在本文中，我们提出一种新的具有高阶收敛率的单调加速迭代技巧，用于求 解方程( 1 3 ) 和( 1 5 ) 我们的方法是基于文章【1 9 ，2 2 ，2 8 1 中的加速单调迭代方 法和p i c a r d 迭代方法的一种组合简而言之，在我们的新方法中，每两步加速迭 代之间进行p 步p i c a r d 迭代增加的p 步p i c a r d 迭代将使得这个混合单调迭代 方法至少具有p + 2 阶的收敛速度，而且仍保持迭代序列的单调收敛性因此， 我们的混合单调迭代方法把加速单调迭代的收敛速度提高了p 阶，把p i c a r d ， j a c o b i ，g a u s s s e i d e l 单调迭代方法的收敛速度提高了p + 1 阶所以，这种方法 有明显的理论和实际意义 本文的结构如下：下一章给出时间依赖问题( 1 3 ) 的一种混合迭代方法，初 始迭代是上解或下解证明迭代序列单调收敛于在上解和下解之间的唯一解， 并且利用无穷大范数给出迭代收敛率估计，证明迭代序列的收敛阶为p + 2 第 三章，将对方程组( 1 5 ) 给出类似的混合单调迭代解法，包括了单调收敛性的证 明和收敛速度的估计第四章，我们给出一些数值结果，数值结果显示了迭代序 列的单调性和高阶收敛速度，同时也将我们的方法和文献f 1 9 ，2 2 ，2 8 1 中的加速 迭单调代方法进行比较 第二章时间依赖问题的混合单调迭代方法 本章我们将对方程组( 1 3 ) 提出一种具有p4 - 2 阶收敛速度的混合单调 迭代方法整篇文章中，我们将假设方程组( 1 3 ) 满足下面的基本条件( 参看 【1 6 ，1 8 ，1 9 ，2 0 】) ： ( 日) 矩阵a n 三( n ：) 是不可约的并且 m o 咎 0 ，n 兽0 ( i 歹) ，q 学0 ，i ，j = 1 2 m ( 2 1 ) j = l 我们知道，如果v 三0 ，利用标准的有限差分来逼近微分算子和边界算子， 条件( 2 1 ) 将总是满足的如果v 0 ，取空间步长h “足够小，或者不对h 肚作任 何限制而对v v u 采用迎风格式，假设2 1 也总是满足的( 参看【8 ，2 0 】) q 的连 通性保证了a 。是不可约的因此，假设( h ) 总是可以满足的这里需要说明的 是，方程组( 1 3 ) 也可以利用有限元法采用适当的基函数而得到( 参看【1 0 ，2 5 】) ， 因此我们提出的方法也可以直接应用于这类形式的方程组 假设( 日) 的一个直接的结论就是，对于任何的非负的对角阵d 。0 ，逆 矩阵( a n4 - 队) _ 1 总是存在的，并且是正的( 参看【5 ，2 6 】) 而且，a n 的最小特 征值k ( 这里最小特征值k 的意思是，对于a n 的任意一个特征值砖满足不 等式i k l i k l ) 是非负实数如果( 2 1 ) 中的最后一个不等式中至少有一个 不等式严格成立( 比如在d i r i c h l e t 和r o b i n 边界条件下时) ，a 的最小特征值 k 是正的( 参看【5 ，2 6 】) ，并且对任意的对角矩阵d n = d i a g ( d ( n ，d 料) ，其中 m 吨越哪 一a n ，矩阵( a n + 仇) - 1 总是存在并且是非负( 参看【2 8 】) 相反，如果 ( 2 1 ) 最后的一个不等式中等号全部成立( 比如在n e u m a n 边界条件下) ，这时矩 阵a n 是奇异的，它的最小特征值k = 0 ( 参看 5 ，2 6 】) 上述结果总结如下： 引理2 1 设条件( h ) 满足，则a n 的最小特征值a n 是非负实数而且，对任意 的对角矩阵d n = d i a g ( d i n ) ，d 譬) ，如果满足如下条件 面m i 啦a i4 趣：；三0 一且m a x , d l n ， 0 ，耋羹之三三： ( 2 2 ) l n 并且 n ) ，如果k = o ， - 。7 第二章时间依赖问题的混合单调迭代方法 5 则矩阵( a n + d n ) 一1 存在并且非负 为了获得单调收敛于方程组( 1 3 ) 的解的迭代序列，我们用上下解方法上 解和下解的定义如下： 定义2 1 向量玩i ：t m ，如果满足 g 忽a ) 一- + r ( 巩) ， n = l ，2 。， ( 2 3 ) iu o 皿， 、 我们称玩为( 1 3 ) 的上解类似的，如果瓯r m 满足与上面不等式方向相反 的不等式，则称玩为下解如果一对上解和下解玩，玩满足玩玩，则称这 对上解和下解为有序的 在上面的的定义中，向量之间的不等式意味着向量的对应分量之间满足这 样的不等式显然，( 1 3 ) 的每个解都既是上解又是下解对每一对有序的上解和 下解，我们定义如下的区间 ( 瓯，瓯) 三 r m ；玩玩) ，( 砬朋砚，n ) 兰 地，n r ；砬，n u i ，竹磁，n ) ( 2 4 ) 2 1混合单调迭代方法 设，玩是( 1 3 ) 的一对有序的上解和下解可以知道，在假设条件( 日) 满足的情况下，再给k 一个适当的条件限制( 比如文章【1 9 】中的条件( 2 1 9 ) 或下面的条件( 2 7 ) ) ，方程组( 1 3 ) 在区间( 玩，巩) 之间存在一个唯一的精确 解蝶( 参看f 1 9 9 而且，城可以用具有二阶收敛速度的加速单调迭代算法 计算得到( 参看f 1 9 1 ) 为了得到具有高阶收敛速度的迭代算法，下面我们提出 一种新的加速迭代技巧具体的说：利用璎= 玩，西) = 玩作为初始迭 代，我们采用如下的迭代算法构造迭代序列 残n ) = 【( 础，- - 。- ( m m n ，) r ) 和 砑) = 【( 丝蹦，蝴：) t ) ： 算法a i ： 1 办咖删= 叱一l + k 毋咖+ r ( 咖) ( n = 1 ，2 ) ， “m + 1 1 ) = 皿； 第二章时间依赖问题的混合单调迭代方法6 2 毋咖帅1 = 一。+ k 毋咖删+ r ( 咖圳) ( n = l ，2 ) ， 吮m + 1 m ) = 皿， f - 1 ，2 ，p ； 3 咖+ 1 ) = 咖+ 1 升1 = 0 ，1 ，2 ) ， 其中 警：篇蓉：瑟蚓曼矗-diavg(。c，)max m ，鲥，繇) ，c 2 蠢：三 一( 允) 咖( 让础叠碧u 协v 。 ￥砌7 上面的算法的第一步本质上就是加速单调迭代( 参看【1 9 】) 上面的算法的新 特点在于第二步，在这一步执行了p 次p i c a r d 迭代额外的p 次p i c a r d 迭代导 致了一个混合单调迭代方法，正如我们将看到的，该混合迭代方法改进了迭代的 收敛速度 为了证明由算法a 1 得到的迭代序列 宵) 和 叻 是良定的，关键是保 证对每一个m ，有帮毋) 为了保证这一性质和迭代序列的收敛性，我们 假设 o r n 三m a x1 1 8 0 ( 咒) 枷( u 伽) ；玩， u 伽磁，。) ， ( 2 6 ) 并且对k 作如下限制( 参看【1 9 】) k ( 一入n ) 一k a n ( 2 9 ) 由这个不等式和引理2 1 可知矩阵( 硝) 一是存在并且非负因此，碟，鳏，1 ) 是唯一存在的，并且满足如下的关系式 砰( 醒m 一竣m ) = k 蹬( 碟一鳄) + r ( 碟) 一f ( 鳏) ( 2 1 0 ) 由凹的定义可知 钾( 一k ) + r ( ) 一f ( v n ) 之0如果碟2 砜k 鳄) ( 2 1 1 ) 由此保证了群。( 碟1 1 一鳄，l ) 20 ，又因为( 硝) 一1 0 ，所以碟1 鲤， 另一方面，由上解和下解的定义我们知道 砰( 玩一碟1 ) 玩一。一嵋一。0 ，蹬( 竣，) 一瓯) 职一。一玩一。0 又因为( 一o ) 一1 0 ，可以知道玩残，鲤，玩因此，我们有玩 竣，l 碟1 玩知道了碟1 和竣，) 的存在性，从迭代算法的第二步我 们可以知道迭代中间值碟2 和鲤，2 ) 是唯一存在的，并且满足 硝( 碟2 一鲤渤) ：k 硝( 旌1 一碟2 ) ： 硝( 鳄，2 ) 一鳄，1 ) = k 凹( 醒1 1 一竣，1 ) + r ( 碟1 ) 一f ( 西，- 钟( 碟一嚣1 ) + r ( 碟) 一f ( 碟1 ) 1 劣( 鲤，1 ) 一竣) + r ( 鲤，1 ) 一f ( 竣) i 因为竣) = 玩鳏，1 碟1 玩= 碟，由关系式( 2 1 1 ) 可得 ，) ， ( 2 1 2 ) 蹬( 碟2 一鲤渤) 0 ，p 0 ( 碟一露2 ) 0 ，砰( 鳄2 ) 竣m ) 0 因为( 帮) 一1 0 ，所以鲤，1 鲤，2 旌2 碟继续上述过程，可 以得到迭代中间值碟和鲤，l ( 2 ：1 ，2 ，p + 1 ) 唯一存在，并且满足 鳏，l 鳃，l + l 碟+ 1 嚣。( ：1 ，2 ，p ) 这样证明了m ：i 时引理的 结论 假设对于某个m 1 引理的结论是成立的条件( 2 7 ) 保证了，毋的对 角元素c 5 ：满足关系式( 2 9 ) ( 这里c 5 ：用c ：代替) 再由引理( 2 1 ) 可知逆矩阵 第二章时间依赖问题的混合单调迭代方法 8 ( 毋) 一1 存在并且是非负的这说明礤“n ，砑+ 1 ，( z = 1 ，2 ，p ) ，裙+ 1 和 毋+ 1 ) 存在由算法中第一步和第二步的方程可得 毋( 砖“1 一酚圳) ：陟( 力一酚) + r ( 礤) 一f ( 西) 1 ， p n , ( t 1 ) r 、。t - t n ( rm 一毋“1 ) ：f 毋1 ( 靠1 ) 一韶) + r ( 堙1 ) 一f ( 力0 ， 毋( 酚+ 1 ，1 ) 一砑) = ki 毋- 1 ) ( 凹) 一缈，1 ) + r ( 酚) 一f ( 砑l ) | lj ( 2 1 3 ) 因为对于尼= m 一1 ，m ， 嘴( 一k ) + r ( ) 一f ( k ) 0如果碟k2 竣) ，( 2 1 4 ) 从( 2 1 3 ) 和( 毋) 一1 的非负性可知，酚缈圳露“ 1 砖利 用和前面类似的方法，可以证明对于每一个l = 1 ，2 ，p ，都有砑+ 1 ， 西+ 1 , 1 + 1 露+ 1 件1 裙+ 1 n 这说明引理的结论对于m + 1 也成立最后， 根据数学归纳法，引理的结论对于所有的m 1 都成立 口 由单调性( 2 8 ) j 知极限 l i m 卵= l i m 露j = 玩，l i r a 凹) = l i m 毋，2 ) = 缘， f - 1 ，2 ，p ( 2 1 5 ) 存在，而且对每一个m ，扎满足毋缘瓦卵令 n 三m a ) 【 一( ) 伽( 让枷) ；u _ i ，n u 枷瓦，n ) ， ( 2 1 6 ) 其中丝。和瓦，n 分别表示纵和玩的分量这时对于每一个i ，n ，m ，q ( 1 1 t n l - 1 c i m 嚏n ，所以当仇_ o o 时序列 帮) 是收敛的在算法的方程中令,n a 1 m _ o o ，我们知道极限瓦和纵满足 ( + k ) = 嵋一l + r ( ) ，n = 1 ，2 ，( 2 1 7 ) 【u o = 皿， 。 其中= 一u n 或缘利用和文章【1 9 】中类似的证明，我们可以证明- n = 纵且 它们的公共值就是( 1 3 ) 在( 巩，以) 中的唯一解w 定理2 1 设玩，瓯是方程组仃圳的一对有序的上解和下解，并且假设条件 ( h ) 和不等式偿砂满足，则口矽在( 瓯，巩) 中存在着唯一解而且，算法 a 1 所产生的序列 站) 和 砑) 收敛于嵋，并且满足 玩酚一1 鳃“露露。玩，m ，n = 1 2 ( 2 1 8 ) 第二章时问依赖问题的混合单调迭代方法 9 i 硼f l ：这里只需要证明瓦= 鳊= 这个结论可用( 2 7 ) 及【1 9 】中定理2 1 的 证明方法得到 口 如果，( z ，t ，u ) 是一个关于u 的c 2 的函数，根据单调性( 2 8 ) 显然有 r ( m ) 一j 一( 庀) 伽( 型2 ) 如果u ( 叠：，) 时，( 危) 枷( 钍) 0 r 91 9 ) 丹一1 一( 咒) 伽( 碧)如果u ( 叠：，m ) ) 时，( 危) 饥( 让) 0 卜7 因此，对任意的i ，n ，如果( 咒) 伽，在u ( 诧，n ，磁，n ) 是单调非增或单调非减的函 数，这时算法a 1 就可以简化为下面的算法： 算法a 1 7 ： 1 群( m ) 咖+ 1 ，1 ) = 一l ki ( 凡) n ( 咖) 咖) 一r ( 咖) l ( 礼= 1 2 ) ， “m + 1 ，1 ) ：皿； 2 群( m ) u n ( m + 1 , 1 1 ) = 一。一k ( r ) 。( 涝) 咖圳一r ( 咖删) ( 礼= 1 ，2 ) ， 吨m + 1 k + 1 ) = 皿，l = 1 ，2 ，p ； 3 咖+ 1 ) = 咖+ 1 升1 ( 扎= 0 ，i ，2 ) ， 其中 磁m = ，+ k 一k ( 兄) n ( 涝) ，( 2 2 0 、 ( 凡) n ( ) 兰d i a g ( ( 尼) ，n ( u t ，n ) ，( 亢) m ，n ( u m ，n ) ) 7 因为( r ) ( ) 是方程组( 1 3 ) 的j a c o b i 矩阵，所以上面的算法可以看作是 n e w t o n 迭代算法和p i c a r d 迭代算法的组合这个算法的一个很大的优点在于 序列 毋) 和 蜉) 是独立的作为定理2 1 的直接推论，我们有如下算法 a 1 的结论 推论2 1 设玩和是方程组以圳的一对有序的上解和下解，设条件( 日) 和不等式俚刀满足对于所有的i , r t ，广( 墨，t n ，u ) 在u ( 魂，。，玩，。) 上是c 2 的 函数则方程组以圳在区间( 阢朋阢，n ) 内有唯一的解如果对所有的i 和 礼，在u ( 鼠玩，n ) 上，( 氘) 协u ) 0 ，以残= 玩为初始迭代，由算法a 1 得到的迭代序列f ”) 单调递减收敛于睨反之，如果对所有的i 和n ，在 缸( 鼠朋磁，n ) 上，( 危) 协( u ) 0 ，以鳄) = 玩为初始迭代，由算法a 1 7 得到的 迭代序列f u ，) l 单调递增收敛于睨 第二章 时间依赖问题的混合单调迭代方法 1 0 2 2收敛率 从前面的讨论中我们可以看到，算法a 1 保持了迭代序列的单调性这个算 法的另一个非常重要的优点就是它具有p + 2 阶的收敛速度假设对于所有的i ， 佗，广( 戤，k ，u ) 关于乱( 砒，n ，魂，n ) 是俨函数设o n 由( 2 6 ) 定义，再定义 畦兰m a x m a x i ( 咒u ) 抽 a i ，。) i ；瓴，。乱伽玩，n ) ( 2 2 1 ) 由条件( 2 7 ) 和引理2 1 可知，( ( 1 一k ) j + k a n ) - 1 是存在的，并且是非负的 下面的定理给出了一个算法a 1 收敛速度的估计 定理2 2 设玩，玩是方程组n 圳的一对有序的上解和下解，并且条件( h ) 和 不等式俚刀满足设睨是方程组n 砂在区间( 瓯，瓯) 上的唯一解则算法 a i 所产生的序列( 露) 和 殍) 满足： “露! 器掣藩) i 慧阱圳邮，仁2 2 ，( 盯：肌) 升1 “裙一o + l i 卿) 一o 。) 。， r 7 其中p n = l i ( ( 1 一k , a 。) + a 。) 一1i l 。 证明：首先考虑序列 裙) 由方程组( 1 3 ) 和算法a 1 可知 毋( 毋删一) ：k 毋( 毋一) + r ( 露) 一r ( ) 1 ， 毋) 防似一) ：芝毋( 砖删一) + r ( 露“朋) r ( ) 1 ( 1 = 1 ，2 ，p ) ( 2 2 3 ) 应用中值定理可得 t o ( v 7 ) 一f n ( 睨) = r 驴( 礤一w ) ， 窑冀嗡嚣茹茹踹j 2 4 ， r ( 露+ 1 j ) 一r ( 嵋) = r 妒“力( 霄+ 1 j ) 一职) ， 、7 r 驴删= d i a g ( ( 咒n ) 。( 簖) ，( 髓刖r e 跏( m + ) ) ， 其中 ( 倒，蹴) t ( ，砖) ，( 粥删，奶拶) 丁( ，砖“) ( 2 2 5 ) 第二章 时间依赖问题的混合单调迭代方法 1 l 把( 2 2 4 ) 代入( 2 2 3 ) 司得 窭器等等型落+ f 篙捌j 斟仁2 6 ， 咖( 四“j “一) ：乏f ( 毋) + r 孵) ( 礤+ 1 1 ) 一) 1 _ 。叫 再对上式使用一次中值定理，存在( 7 7 ：碧，7 7 蹴) r ( 砖，砑) ，使得 c 驴) = d i a g ( 一( 咒n ) u ( 7 7 碧) ，一( 伤，n ) u ( 7 7 蹴) ) ， ( 2 2 7 ) 并且，在f i , n 和瘀：之间存在o v ! m 。) ，在韶+ 1 和搬之间存在嗽+ 1 ，n ，使得对 角矩阵凹+ r 驴) 和毋+ r 驴+ 1 ，。的元素满足 ( e n ) u ( 絮) 一( 咒n ) u ( 叼 ) = ( 矗n ) 伽( ) ( f 器一搬) ， ，、。0 、t z ( 矗。) 。( 絮+ 1 棚) 一( e 。) 。( 搬) = ( 兵n ) 。u ( 臼黯+ 1 ，2 ) ( 韶+ l ，n 一：) z o ) 因为j 韶一搬i l ；一叠：i 并且i 靠+ 1 d 一搬i i “i , n ) 一叠：j ，所以对角 矩阵即+ r 妒和毋+ r 驴+ 1 1 的对角元素的绝对值小于盯驯靠一砑l | o o 根据这个估计，以及矩阵( 毋) 一1 的非负性，式( 2 2 6 ) 可以变为 兰嚣r-7(rr e + l , 。1 一) i 等曼k _ 鉴, i i i - - ( tl n 了 黑_ u c t ) l l 嚣嚣协2 9 ， o 砖“一一。一 。( 毋) 一( 露“m 一) p 叫 因为( ( 1 一) ，+ k a n ) 一1 是存在的并且是非负的，又因为即一a n l ，所 以0 ( 毋) 一1 ( ( 1 一k n a , , ) i + k a n ) ，因此有如下的估计 。砖“一吲咖n0 露一砑毋一吲， | | 毋+ 1 m 一怯k 砌| | 堙一k ( p l l | | 毋+ 1 n 一怯“：1 ，2 ，p ) ( 2 3 0 ) 用同样的方法我们可以证明 凹+ 1 ，1 ) 一吲咖n0 碟一缈凹) 一吲， 0 凹+ 1 m ) 一怯k 虻肪i l 毋一砑l 咖+ 1 1 ) “怯( f _ 1 ，2 ，p ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 0 ) 式和( 2 3 1 ) 式两端分别相加可得 帮：麓：品) l i 鬈甚器一酬。+ i | 砑，一矗c 2 抛，k 吒耽l i 可? 一丝驴i i ( 1 l 可一i l 。o + i i 型) 一i l o 。) ， 、“。纠 第二章时间依赖问题的混合单调迭代方法1 2 和 8 型磐+ 1 + 1 ) 一u ；l l + 0 型妒+ 1 ，。+ 1 ) 一i l k 仃：砌l l 可一型妒i j ( j f 型妒+ 1 ，2 ) 一j | + | j 型+ 1 ，) 一j i ) ( 2 3 3 ) ( z = i ，2 ，p ) 再由( 2 3 3 ) 可得 i | 型参+ 1 ) 一畋i i + i l 丝+ 1 ) 一l l ( k 砌) p | | 可，一型9 l | 蝥( | | 型驴+ 1 ，1 ) 一碥i | + i | 翌+ 1 ，1 ) 一| f o o ) ( 2 3 4 ) 把( 2 3 2 ) 代入( 2 3 4 ) 我们得到 i i 型+ 1 ) 一0 + l l 型驴+ 1 ) 一i i ( k 吒肪) 舛10 硭一缈0 酎1 ( 1 1 毋) 一+ 0 西) 一) ( 2 3 5 ) 由上式可知估计式( 2 2 2 ) 成立口 估计式( 2 2 2 ) 说明序列 毋) ， 酚) 与解的差的无穷大范数的和具 有- p + 2 次的收敛速度如果对所有的i 和n ，当钆( 镜，n ，玩，n ) 时，( 允) 饥( u ) 0 或( 危) 伽( “) 0 ，序列【露) 或 凹) 都会有p + 2 阶的收敛速度这个结论 由如下的定理给出 定理2 3 设定理2 2 的条件满足设是以别在( 氟，矾) 之间唯一的解， _ 【力) 和 酚 分别是算法a 1 ，采用碟：玩和鳄) ：玩为初始迭代产生 的迭代序列则如果当札( 玩朋玩，n ) 时( 危) 枷( 乱) 0 ，有 力+ 一嵋0 ( k 肌) 计1 | i 力一晖0 苗2 ，m ，n ：0 ，1 ，2 ，( 2 3 6 ) 如果当u ( 玩，n ，磁，n ) 时( 咒ui ，n ( 乱) 0 ，有 j i 鲤+ 1 ) 一嵋l j ( m ) 卅1j j 西) 一j | 碧2 ，m ，n = 0 ，1 ，2 ，( 2 3 7 ) 其中如和定理2 2 中的相同 证明：这里先考虑，当t | ( 侥，n ，玩，n ) 时( 咒u ) 咖( u ) 0 的情况在这种情况下， 瘀：= ：，其中枢是( 2 2 7 ) 中出现的中间值可以看出，式( 2 2 6 ) 中的对角 第二章时间依赖问题的混合单调迭代方法 1 3 矩阵毋) + 咖和c + f ( m + x , o 的对角元素的绝对值小于虻| | 卯一f i 因此，关系式( 2 3 0 ) 可以简化为如下的关系式 l i 可，+ 1 1 1 一i i k 仃：j d n l i 可，一l i 乙， i i 可? + 1 h n 一“l i k 盯：风l i 移? 一0 i l 可磐+ 1 n 一i i ( f = 1 ，2 ，p ) ( 2 3 8 ) 由上式就可以证明( 2 3 6 ) 式( 2 3 7 ) 式的证明是类似的 口 这一章的最后我们给出两个注记： 注2 1 在算法a 1 中，我们在每两步加速迭代中插入了p 步p i c a r d 迭代，尽管 p i c a r d 迭代只有线性的收敛速度，但混合单调迭代却有p + 2 阶的收敛速度 注2 2 算法a 1 的另一个优点是第二步中的对角矩阵劈) 和第一步的对角矩 阵是相同的换一句话说，这个算法的每一步只需要计算一次一丘的最大值和 文章【1 9 】中的加速单调迭代算法相比，不会增加更多的运算量，但仍达到了比较 高的收敛速度另一方面，尽管算法a 1 和加速单调迭代方法相比每一步增加了 运算量，但是高阶收敛速度使得算法a 1 的运算时间不会增加( 参看第四章数值 结果) 第三章定常问题的混合单调迭代方法 本章主要讨论定常问题的有限差分方程组( 1 5 ) 的混合单调迭代方法这里 假设条件( 日) 简化为 ( 日) 矩阵a 三( n j ) 是不可约的并且 m o 印 0 ，n j 0 ( j ) ， a i d 0 ， i , j = l 2 m ( 3 1 ) j = l 在条件( 日) 满足的情况下，( 1 5 ) 中的矩阵a 拥有( 1 3 ) 中的矩阵a 他相同的性 质特别地，引理2 1 的结果对于矩阵a 也同样成立为了方便，在下面的引理 中我们给出矩阵a 的这些性质 引理3 1 设条件( 日) 满足，则a 的最小特征值a o 是非负实数而且，对任意 的对角矩阵d = d i a g ( d l ，d m ) ，如果它满足如下条件 mm；ir珥ad也i-x并。且,0m a x i d i 0 ，耋妻乏三三： c 3 2 ， im i 珥也 并且 ，如果= o ， r 一7 矩阵( a + d ) - 1 存在并且非负 对于定常问题的方程组( 1 5 ) ，上解和下解的定义如下： 定义3 1 如果两个向量厅和痧满足矽痧，并且 a u f ( ) ，a u f ( ) ( 3 3 ) 则称这对向量为方程组( 1 5 ) 的一对有序的上解和下解 对于一对有序的上解和下解矽兰( 云l ，西i m ) t ，痧兰( 砬1 ，? - i m ) t ，我们定 义下面的区间： ( 痧，矽) 三 u r 吖；d u 矽) ，( 佤，磁) 兰 u r ；碗玩( 3 4 ) 第三章 定常问题的混合单调迭代方法 1 5 在条件( 日) 成立下，应用上下解方法容易证明在区间( u ，u ) 之间至少存 在一个( 1 5 ) 的解u ( 参看 2 2 ，2 8 1 ) 为了计算( 1 5 ) 的解，文章【2 2 ，2 8 】中给出 了一种具有二阶收敛速度的加速单调迭代方法为了给出具有高阶收敛速度而 且保持单调性的迭代方法，我们把第二章中的应用于时间依赖问题( 1 3 ) 的加 速迭代技巧应用于定常问题的方程组( 1 5 ) 从初始迭代伊叭= 矽和型( o ) = 痧 开始，我们用如下迭代来计算两个迭代序列伊= ( 妒，毋，西譬) ) 和 u ( m ) = | ( “：，乱妒) ，让嚣) 1 ： 算法a 2 ： 1 ( a + f ( m ) u ( m + 1 ，1 ) = r ( ) u ( m ) + f ( u ( m ) ； 2 ( a + r ( m ) ) u ( m + 1 ，f + 1 ) = r ( m ) u ( m + 1 ，) + f ( 【厂( r e + l , ) ) ( 1 = 1 ，2 ，p ) ； 3 ( m + 1 ) = ( m + 1 卅， 其中 巾咖聃7 艄，三 其中6 是任何的正常数，并且c 叫= m a x ( 一( 亢) ( 仳 ) ；垡叫u t 型叫) 上面算法的第一步是文章【2 8 】中提到的加速迭代算法，而第二步是p i c a r d 迭代算法和算法a 1 一样，这样的一个组合产生的混合单调迭代算法改进了加 速单调迭代算法和p i c a r d 单调迭代算法的收敛速度 在算法a 2 中，如果伊0 1 = 厅，我们记 u ( m ，l ) 为 可( m 。) ，如果堑( o ) = 痧， 则相应的序列记为 型m ，1 ) ) 我们有和引理2 2 类似的结论 引理3 2 设厅，痧是方程组门剀的一对有序的上解和下解设条件( 日) 7 成立 对于所有的m 1 ，由算法a 2 采用护0 1 ：厅和盟( o ) ：疗为初始迭代，得到的 迭代序歹4 露，鲆) ，毋n ，缈，( f = 1 ，2 ，p ) ，和r ( m ) 是良定的，而且有如 下的单调性 d u ( m 一1 盟( m ，z 里( m ，l + l 型( m 萨m 萨m 2 + 1 伊m 伊m 一1 矽， l = l