（油气田开发工程专业论文）人工裂缝井单井数值模拟技术研究.pdf

英文摘要 s u b j e c t ：t h er e s e a r c ho nn u m e r i c a ls i m u l a t i o nt e c h n o l o g yo fs i n g l ew e l lw i t h a n i f i c i a lf r a c t u r e s p e c i a l i t y ：o i l & g a se x p l o r a t i o ne n g i n e e r i n g n a m e ： w a n gq i n g q i n s t r u c t o r ：c h e nm i n g q t h e r ea r em a n ys h o r t c o m i n g si nu s i n gc o n v e n t i o n a ln u m e r i c a ls i m u l a t i o nt e c h n o l o g y d e s c r i b e do i la n dg a sw e l l 、) r i t l la r t i f i c i a lf r a c t u r e ，b e c a u s et h ee f f e c t so fa r t i f i c i a lf r a c t u r e s g e o m e t r ya n dc o n d u c t i v i t yo np r o d u c t i o np e r f o r m a n c ea r ei g n o r e d 1 1 1 en u m e r i c a ls i m u l a t i o n t e c h n o l o g yo fs i n g l ew e l lw h i c hc o n s i d e ra r t i f i c i a lf r a c t u r ec a np r e d i c tw e l lp r o d u c t i o n p e r f o r m a n c ea c c u r a t e l ya n da n a l y z es e n s i t i v i t yo ff r a c t u r ep a r a m e t e r so np r o d u c t i o n i nt h i sp a p e r , s i n g l ew e l l 丽ma r t i f i c i a lf r a c t u r ei su s e df o rs t u d y i n go b j e c t ，a n di t s n u m e r i c a ls i m u l a t i o nt e c h n o l o g yi sr e s e a r c h e ds y s t e m i c f i r s t l y , t h et h r e ed i m e n s i o n a lt h r e e p h a s ep e r c o l a t i o nm a t h e m a t i c a lm o d e lo fs i n g l ew e l lw i t ha r t i f i c i a l f r a c t u r ei sb u i l ti n c y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e s ，a n di t i s s e p a r a t e d ，t h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n sa r eg o t s e c o n d l y , c o m p a r i n gs o l u t i o n so fm u l t i p h a s ef l o w , d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa l el i n e a l i z e du s i n gf u l l y i m p l i c i tm e t h o d ，a n dl i n e a re q u a t i o n sa l eo b t a i n e d ，t h eg a u s s - j o r d a ne l i m i n a t i o na l g o r i t h mf o r s o l v i n gl i n e a le q u a t i o n si sg i v e n a n dt h e n , t h es p e c i a lt r e a t m e n t so fa r t i f i c i a lf r a c t u r ei n n u m e r i c a ls i m u l a t i o na l ed i s c u s s e d c o m b i n e dw i t hv e r t i c a lf r a c t u r ea n dh o r i z o n t a lf r a c t u r e s p h y s i c a lm o d e l ，t h em e s hg e n e r a t i o nm e t h o dw h i c hc o n s i d e r e dt h ea r t i f i c i a lf r a c t u r eg e o m e t r y i sg i v e n a n dt h ec r o s sf l o wq u a n t i t yb e t w e e nf r a c t u r ea n dr e s e r v o i ri sc o n s i d e r e di n t o p e r c o l a t i o ne q u a t i o n f i n a l l y , b a s e do nt h e o r e t i c a lr e s e a r c hi nt h i sp a p e r , t h en u m e r i c a l s i m u l a t i o np r o g r a mf o rs i n g l ew e l l 、】l ，i n la r t i f i c i a lf r a c t u r ei sd e s i g n e d ，a n dt h es y s t e mo ft h r e e d i m e n s i o n a lt h r e ep h a s en u m e r i c a ls i m u l a t i o nf o rs i n g l ew e l l 、航t 1 1a r t i f i c i a lf r a c t u r ei s f i n i s h e d m o r e o v e r , u n d e rl o wp e r m e a b i l i t yr e s e r v o i r s i nn o r t h e ms h a a n x ib a c k g r o u n d ， r e s p e c t i v e l yt a k i n gav e r t i c a lf r a c t u r e dw e l la n dah o r i z o n t a lf r a c t u r e dw e l lf o re x a m p l e s ，t h e e f f e c t sw h i c hb r o u g h tt op r o d u c t i o np e r f o r m a n c eb yh a l f - l e n g t ha n dc o n d u c t i v i t yo fa r t i f i c i a l f r a c t u r ea l ea n a l y z e dt h r o u g hs i m u l a t e dc a l c u l a t i o n a tt h es a m et i m e , e f f e c t i v e n e s so ft h e p r o g r a mi sv a l i d a t e d k e yw o r d s ：a r t i f i c i a lf r a c t u r e ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，g r i dd i v i s i o n ，n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ， p r o g r a m m i n gd e s i g n t h e s i s ：a p p l i c a t i o nf u n d a m e n ts t u d y r l 学位论文创新性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安石油大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做 了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：j 直 一$ 幸 日期：d 肋岁砌 学位论文使用授权的说明 本人完全了解西安石油大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属西安石油大学。学校享有以任何方法发表、复制、 公开阅览、借阅以及申请专利等权利，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文收录 到中国学位论文全文数据库并通过网络向社会公众提供信息服务。本人离校后发表 或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为西安石油大 学。 论文作者签名： 导师签名： 注：如本论文涉密，请在使用授权的说明中指出( 含解密年限等) 。 第一章绪论 第一章绪论 1 1 论文研究目的与意义 近年来，我国低渗透油气产能建设规模占到总产能建设的7 0 以上，已经成为油气 开发建设的主战场。仅2 0 0 8 年，低渗透原油产量就占总产量的3 7 6 ，低渗透天然气产 量占总产量的4 2 1 。其次，在新增原油探明储量中，低渗透油藏储量的比例很高，约 占全国储量的2 3 以上，开发潜力巨大。2 0 0 8 年，中国石油提交的探明储量中8 2 为低 渗透【1 1 。 在低渗透油气藏的开发中，由于其低丰度、低压、天然能量不足的特点，大多数油 气井都进行了压裂增产。人工压裂可在地层中形成较高导流能力的人工裂缝，改善油流 通道，提高单井产能，所以在研究这类经过压裂改造后的油气井渗流规律和生产动态特 征时，就需要考虑人工裂缝的半长、宽度和导流能力。传统的研究方法，如试井分析法， 这种方法直接、简单，但常常只能用于单相渗流问题的求解。对于很多人工裂缝井，实 际情况却是相当复杂，解析法不能解决。再者，常规数值模拟技术在描述这类油气井时 也存在许多不足，很少考虑裂缝的几何形态以及裂缝导流能力对油气井生产动态的影响。 因而研究人工裂缝井单井数值模拟技术，对于有效评价和分析人工裂缝井单井生产动态 特征与规律，对于低渗透油气田的有效开发都具有重要意义。 油藏数值模拟技术是用数值的方法求解控制油气水运动的数学模型以达到研究油气 水在油气藏中的运动规律，为提高采收率和经济效益服务。它利用计算机模型模拟仿真 油气藏复杂开发过程，实现再现油田生产历史，预测未来开发动态，可在计算机上多次 模拟开发过程，进行开发方案优选、产量和地层压力动态预报、寻找开发中后期剩余油 分布和采收率预测，解决油田开发中出现的实际问题1 2 j 。 人工裂缝井单井数值模拟技术可用于预测人工裂缝井生产动态，该方法具有诸多优 点，尤其在计算多相流体的不稳定渗流问题上，可以考虑油藏的平面和垂向非均质性； 可以系统地描述产油量、产水量、产气量、累积产油量、累积产水量、累积产气量及地 层压力等参数随时间的动态变化；可以计算不同裂缝半长、不同裂缝导流能力对生产动 态的影响。 本论文对人工裂缝井单井数值模拟技术进行系统的研究，建立单井三维三相渗流数 学模型，包括辅助方程以及定解条件；对建立的数学模型进行离散化处理，对人工裂缝 进行特殊处理；求解数值模型并编制相应的计算机程序。通过本文的研究，可以全面分 析影响人工裂缝井开发动态的参数，以便更好地模拟人工裂缝井生产开发动态。 1 2 国内外技术现状 1 2 1 油藏数值模拟技术国内外发展现状 油藏数值模拟是随着电子计算机的出现和发展而成长的- - i - j 新学科，从5 0 年代开始 西安石油大学硕士学位论文 研究至今，已发展成为一项较为成熟的技术。在油田开发方案的编制和确定，油田开采 中生产措施的调整和优化，以及提高油藏采收率方面，已逐渐成为一种不可欠缺的主要 研究手段。油藏数值模拟技术经过几十年的研究有了很大的改进，越来越接近油田开发 和生产的实际情况，油藏数值模拟技术随着在油田开发和生产中的不断应用，并根据油 藏工程研究和油藏工程师的需求，不断向高层次和多学科结合发展，在国内外都取得了 迅速的发展和广泛的应用。 。 ( 1 ) 国外发展现状 油藏模拟在国际上发展，基本上是从2 0 世纪三十年代开始在石油工程方面得到实际 应用，当时仅用于预测油藏动态计算，预测采收率和对比选择开采方法，经济评价。 在2 0 世纪四十年代主要以解析解为主，研究液体驱替机理、理论物理学中的松弛法、 孔隙介质液体流动、油层流动问题中的拉普拉斯转换等零维物质平衡法。 1 9 5 3 年布鲁斯、皮斯曼等四人发展了将数值方法演变为相对高级的计算机程序，导 出了非匀质介质中二维和三维瞬间多相流的有限差分方程。在五十年代期间开始数值模 型。 2 0 世纪六十年代以g o a t s 等人为代表致力于对气、水两相和三相黑油油藏问题的求 解，其代表著为气顶或溶解气驱油藏分析、油藏和气藏中三维二相流动模拟。模拟 方法基本上限于递减或压力保持，也考虑了重力、粘度和毛管压力的流体流动规律。此 阶段主要以黑油模型为主。这一进步取得主要由于大规模高速计算机迅速发展和解大型 有限差分工程系统的数值数学方法的发展。 到2 0 世纪七十年代，情况显著改变，主要是模拟常规递减和保持压力以外的采油方 法。例如，锥进模型、组分模型、拟函数技术。此阶段代表著数值锥进模型、油层 中组分现象的数值模拟、控制数学离差的新拟函数，在数学差分方程中以i m p e s 和 半隐式为主，在解法上以点松弛迭代法、d 4 直接解法为主。在这期间黑油模型理论和方 法趋于成熟。 到2 0 世纪八十年代，油藏数值模拟技术发展很快。由于高速大容量计算机进入商品 阶段，硬件系统突飞猛进发展，油藏模拟已经发展为一门成熟的技术，油藏模拟进入商 品阶段，用于衡量油田开发好坏、预测投资效应、提高采收率、对比开发方案等。在模 型上形成了一系列可以处理各种各样复杂问题的模拟模型，如常规油气田的黑油模型、 天然裂缝模型、凝析气田的组分模型、稠油油藏的热采注蒸汽模型，还有各种三次采油 用的化学驱模型、注c 0 2 模型等。 2 0 世纪9 0 年代，随着计算机技术日新月异的发展，油藏模拟方法和技术向全隐式、 向量化发展。在差分求解上，发展了s e q 和自适应隐式等方法。在模型数值解法方面， 发展了不完全分解预处理共轭梯度法等。在模拟技术上，局部网格加密、自动拟合、工 作站一体化、并行化等技术一一出现。 近2 0 年来，高速度大容量电子计算机设备的出现及其迅速发展，使复杂的大量的计 2 第一章绪论 算成为可能；计算数学理论和方法的迅速发展，不断地为渗流问题的计算提供新思想， 新理论和新技术；软件科学的发展，各种高级计算机语言的出现，使渗流力学的理论和 方法变成了功能齐全的应用软件。许多大的石油公司迅速地发展了一套油藏数值模拟模 型，并具有商品化的程度【3 5 】。 ( 2 ) 国内发展现状 我国油藏数值模拟研究自1 9 6 4 年开始，由大庆电模拟到发展二维二相数值模拟，2 0 世纪7 0 年代发展为简化三相黑油模型，2 0 世纪8 0 年代初期引进了岩心公司半隐式 i m p e s 黑油和组分模型，2 0 世纪8 0 年代中期北京研究院研制闪蒸黑油模型，2 0 世纪8 0 年代后期，又吸收了国外先进模型经验又研制了多功能隐式矢量模型、组分模型、热采 模型、裂缝模型等。 近几年我国数值模拟主要研究成果，如下： 在四种主要油藏模型，大、中、小三种主要机型上形成了配套的数值模拟软件系 列； 数值软件研制水平上了一个大台阶，专项关键技术研究获得了一大批具有水准的 研究成果，这其中包括：全隐式差分离散化技术、隐式井底压力处理技术、可变隐式程 度处理技术、d 4 排序直接解法、预处理共扼梯度类迭代解法、模型前处理及后处理技术、 向量化技术、自由格式输入、动态存储分配技术、多模型一体化技术； 油藏数值模拟在实际油田得到广泛应用，也创造了较高水平的应用技术。如多功 能模型、矢量全隐式黑油模型、多层二维三相模型及进口软件在我国注水砂岩油田得到 了广泛的应用。这些软件适合我国陆相生油油田的特点和计算机机型的特点，为我国油 田开发做出了较大贡献。 上世纪8 0 年代初，油藏数值模拟工作在我国大力发展，上世纪8 0 年代中后期至9 0 年代是我国数值模拟研究工作最兴旺的发展时期，为我国油藏数值模拟技术总体赶上世 界水平打下了坚实的基础睁7 。 由此可见，从五十年代初发展起来的油藏数值模拟技术，随着计算机和计算技术的 进步及石油科学技术的发展，目前已渗透到石油工业油气田开采的各个领域。这项技术 已经成为油藏工程师不可缺少的一个重要工具。 1 2 2 人工裂缝井数值模拟国内外发展现状 国内外在人工裂缝井渗流及生产动态预测等方面做了大量的研究，本文在文献调研 的基础上对人工裂缝井研究工作进行了总结。 人工裂缝井动态模拟，从方法上可分为物理模拟和数学模拟，随着计算机技术的不 断发展，数学模拟方法在实际中得到了更多的应用。数学模拟又分为解析法，半解析法 和数值法，其中数值法得到了广泛的应用。 1 9 6 1 年起p r a t s 【s 】，t m s l e y t 9 】等人开始尝试用数学解析方法来确定压裂井的生产动态， 采用单井模型以图版的形式给出了稳定流或拟稳定流假设下的研究结果。由于压裂多为 西安石油大学硕士学位论文 低渗透储层，在压后初期相当长一段时间内气渗流形式多为不稳定渗流，上述的假设对 压后效果的预测带来了较大影响，但标志着对压裂井的动态预测由物理模拟转为数学模 拟。 1 9 7 4 年g r i n g a r t e n 1 0 】提出了不同边界条件下的储层介质中含有线源、汇时的不稳态 压力解，在此基础上结合裂缝中流动模型，c i n e o l e y 1 1 】、m e n g 1 2 j 等人提出了有限导流垂 直裂缝井的压后动态预测模型。 19 7 7 年，a g a r w a l 1 3 】等用两维单相模型研究了低渗透气井中大型水力压裂的生产动 态和经济评价方法。模型假定油层无限大，裂缝导流能力恒定，不考虑非达西效应，没 有井筒储存和伤害。 1 9 7 8 年，h o l d i t c h 1 4 】等利用二维单相油藏模拟器研究了低渗透透气藏中井间距及裂 缝长度的优化选择，建立了不同油藏条件下2 0 0 多条压裂井的典型曲线。油藏假定为方 型封闭的水平、均质和各向同性介质。油藏流体压缩系数恒定，粘度恒定。忽略重力影 响。垂向裂缝关于井筒对称分布，导流能力为无限大。提出水力压裂的裂缝长度和支撑 裂缝导流能力是二个可以人为控制的参数，确定与最优支撑裂缝长度和支撑裂缝导流能 力有关的二个最主要的因素是地层渗透率和含油气饱和度，地层渗透率越低要求支撑裂 缝长度越长。 1 9 8 2 年，c u r t i sb e n n e t t 等研究了单层油藏中有限导流垂直裂缝井的生产动态。着重 考虑了支撑剂沉降( 裂缝高度小于生产层厚度) 和裂缝高度超过生产层厚度情况对压裂 井产量动态的影响。模型假定为三维单相流动，裂缝具有有限导流能力。同年，k h g u p p y 研究了有限导流垂直裂缝井中的非达西流效应对生产动态的影响。模型假定油藏为圆形 封闭介质，且均质和各向同性，上下隔层不渗透。裂缝中流动呈现非达西流特征。 1 9 9 0 年，何艳青【15 】等用数值模拟方法研究了裂缝井的生产动态。油藏模型为二维单 相，考虑了裂缝导流能力随时间的变化。油藏模型为二维单相，并可以考虑无限大地层 和五点法注采井网等边界条件。 1 9 9 5 年，赵金洲和郭建春建立了二维二相流动模型，油藏和裂缝内流动符合达西线 性定律，且按非径向流计算了压裂井压裂前后的产能及含水变化，并考虑了井壁污染、 裂缝壁面污染、裂缝导流能力随位置和时间的变化、地层的非均质性和各向异性及流体 的弹性膨胀能等因素对压裂井生产动态的影响【l 6 1 。 2 0 0 2 年，李勇明和郭建春在考虑气体非达西流动的情况下，建立了气、水两相平面 二维压裂气井数值求解模型，分析了非达西效应对压裂气井产能的影响，得到了压裂气 井产能随时间的变化规律【1 7 】。 2 0 0 6 年，任岚和胡永全在考虑重复压裂初裂缝没有完全失效的情况下，建立了重复 压裂气井动态模拟数值求解模型，模型考虑气、水平面两相流，对初裂缝的失效度进行 了评价，然后考虑重复压裂新裂缝和初裂缝共同作用，对压裂井进行了产能模拟【l n 。 2 0 0 9 年，陈民锋等利用油藏一裂缝耦合技术，采用对水力压裂裂缝进行矩形网格剖 4 第一章绪论 分、与油藏连接处进行p e b i 网格剖分相结合的方法，建立油、水两相三维油藏裂缝数 值模拟器。利用此数值模拟器，模拟研究了不同条件下水井压裂对注采井组整体开发效 果的影响，并利用正交方差分析方法对水井压裂增注效果的主要影响因素进行了显著性 评价，提出了适合进行水井压裂增注的油藏条件l l 引。 总的来说，以往绝大多数模型都是针对垂直裂缝的研究，而水平裂缝的研究较少。 此外，这些模型都假设人工裂缝是关于压裂井对称的，而没有考虑任意方位的裂缝。并 且，以单井为研究对象的较少，大多数模型都是二维两相，很少有三维三相的模型。因 此，本文对人工裂缝井单井数值模拟技术的研究就显得更加迫切。 1 3 主要研究内容和技术路线 1 3 1 主要研究内容 本文从渗流力学基本理论出发，以单井作为研究对象，在总结继承前人成果的基础 上，对人工裂缝井数值模拟技术进行了深入研究，主要研究内容如下： ( 1 ) 基于假设条件，采用油气渗流数学模型建立思路，建立柱坐标系下单井三维三 相渗流方程，并结合辅助方程和定解条件，形成了完整的单井渗流数学模型。该模型即 可以用于三相渗流也可以用于两相渗流，可以求解原始地层压力大于饱和压力和原始地 层压力低于饱和压力的流体渗流动态，对人工裂缝井单井流体渗流描述具有广泛的适应 性； ( 2 ) 采用有限差分法对建立的数学模型离散化得到差分方程，分析数学模型的几种 数值求解方法，优选全隐式方法求解数学模型； ( 3 ) 分别讨论了具有垂直裂缝和水平裂缝单井的网格划分方法，以及由于人工裂缝 引起的特殊处理，即：人工裂缝和油藏之间的窜流问题； ( 4 ) 在v c + + 环境下，编写计算机程序； ( 5 ) 通过垂直裂缝井和水平裂缝井实例模拟计算，验证模拟程序的正确性。 1 3 2 技术路线 参阅文献，结合已有的研究成果，建立单井三维三相渗流数学模型，采用有限差分 法对求解区域和数学模型进行离散化得到数学模型的差分方程，差分方程的求解采用全 隐式方法，利用c 语言编写相应的软件。具体技术路线图如下图所示： 西安石油大学硕士学位论文 单井渗流数学模型建立 山 差分方程建立 山 全隐式处理 山 人工裂缝特殊处理 山 软件实现 _ 、j ， 实际应用 图1 1 技术路线 1 4 本文创新点 ( 1 ) 人工裂缝井单井数值模拟网格系统划分方法； ( 2 ) 人工裂缝井单井数值模拟程序。 6 第二章单井三维三相渗流数学模型及其差分方程 第二章单井三维三相渗流数学模型及其差分方程 人工裂缝井单井数值模拟，首先要将单井渗流物理模型转换为渗流数学模型，用数 学方程来描述其渗流过程，建立描述单井流体渗流的数学模型。本章中，将所研究的复 杂三维三相渗流问题简化，相应的提出了人工裂缝单井渗流模型建立的假设条件。基于 假设条件，由达西渗流定律和质量守恒定律，建立了柱坐标系下单井三维三相流体渗流 基本偏微分方程组，加之相应的饱和度方程和毛管压力方程，得到一个封闭的方程组， 这样是可以求解的。在求解过程中，基本微分方程组中系数还需要由一些辅助方程来确 定，同时方程求解还需要包括油藏的初始条件和内、外边界条件。因此，得到了由基本 渗流方程组、辅助方程、初始条件和边界条件，组成的一个完整的人工裂缝井三维油、 气、水三相渗流数学模型。为了求解该数学模型，对求解区域和数学模型进行离散化处 理，得到数学模型的差分方程。 2 1 单井三维三相渗流数学模型 在建立数学模型时，把人工裂缝和油藏看作一个统一的渗流系统，对其建立渗流数 学模型。 2 1 1 假设条件 ( 1 ) 油藏中的渗流是等温渗流； ( 2 ) 油藏中存在油、气、水三相流体，每一相流体的渗流遵守达西定律； ( 3 ) 油藏具有非均质性和各向异性，地层岩石及流体具有微可压缩性； ( 4 ) 渗流过程中考虑重力和毛管力的影响； ( 5 ) 油藏烃类只含有油、气两个组分，在油藏状况下，油、气两种组分可能形成油 气两相，油组分完全存在于油相中，气组分则可以以自由气的方式存在于气相中，也可 以以溶解气的方式存在于油相中，所以地层中的油相应为油组分和气组分的组合，不考 虑油组分向气相的挥发现象； ( 6 ) 油藏中气体的溶解和逸出是瞬间完成的，即认为油藏中的油、气两相瞬间达到 相平衡状态： ( 7 ) 油水两相，气水两相互不相溶； ( 8 ) 油藏为圆柱形油藏，井筒位于油藏几何中心位置，裂缝与井眼对称分布。 2 1 2 基本微分方程 根据人工裂缝井的物理模型以及假设条件，建立油气水三维三相渗流模型。将单相 渗流达西定律推广到多相渗流中，可以得到油气水三相流体渗流速度2 0 1 。 油相： 圪= 一争 v 一( y o + ) 叫 ( 2 - 1 ) 7 西安石油大学硕士学位论文 气相： p 鲁( r y g v d ) 协2 ) 乓一菅( r q 乏 水相： 圪= 一鲁( 耽一y w v d ) ( 2 _ 3 ) 心。 式( 2 1 ) 至式( 2 3 ) 中： 形一f 相流速，m s ； k 一地层渗透率，m 2 ； 以一f 相相对渗透率，小数； 从一f 相粘度，p a j ； 乃一f 相重度，辟g ； 肛一f 相密度，磁m 3 ； g 一重力加速度，m s 2 ； 物一溶解气重度，g ； 一溶解气密度，k g m 3 ； 只一f 相压力，p a ； d 一由某一基准面算起的深度，向下为正，m 。 其中，江d ，g ，w 分别表示油相，气相，水相。 考虑到气组分可以溶入油中而成为溶解气，所以在式( 2 1 ) 中，地层油的相对密度 应为油组分相对密度与溶解气相对密度之和。 为了根据物质守恒原理导出油藏中三相渗流基本微分方程组，要对油藏中的物质守 恒关系作分析。由上面的假设条件，气组分可以溶于油相而成为溶解气，或者从油相中 分离出来而成为气相。显然，如果按“相 来考虑质量守恒关系，则地层中油相和气相 的质量都不是守恒的。但是，如果按“组分 来考虑物质守恒关系，则气组分无论是作 为溶解气溶于油相之中，还是作为自由气形成的气相，其总质量是不变的，应该满足物 质守恒关系。而对于油组分和水组分，由于模型中认为其只存在于一个相中，即油组分 只存在于油相，水组分只存在于水相，所以其组分当然满足物质守恒关系。 第二章单井三维三相渗流数学模型及其差分方程 综上所述，根据物质守恒关系，得到油组分、气组分和水组分的物质平衡方程【2 1 1 。 油组分： 坷- ( p o v o ) = 下 p o s o ) ( 2 - 4 ) 对于气组分，e h 于它既存在于油相又存在于气相内，所以质量守恒关系应该考虑两 部分之和。 气组分： 可( 彬名) ：一 ( 2 - 5 ) 水组分： 一v ( 风圪) = 掣 ( 2 6 ) 式( 2 - 4 ) 至式( 2 6 ) 中， 矽一孔隙度，小数； s , - - i 相饱和度，小数，i = d ，g ，w 分别表示油相，气相，水相； r 一时间，j 。 将式( 2 1 ) 至式( 2 3 ) 分别代人式( 2 - 4 ) 至式( 2 6 ) ，可以推导出油气水三相的 基本微分方程。 v l k k 心, 口p o - ( 睨一劝) 掣 协7 ， v 警( 睨一叻) + 警( 踺一劝) _ 坐坚! 剑c 2 射 其中，= 九+ v 警c 巩一删 - 掣 协9 ， 当考虑注入采出时，方程( 2 7 ) 至( 2 9 ) 可改写成： v l k k 心, 口p o - ( v 圪一劝) 卜= 掣 协 v 等( 睨一畔警( v “劝) 卜一协 9 西安石油大学硕士学位论文 v 警c 巩- y , v d ，卜掣 协 其中，g f ( i = d ，g ，w ) 表示注入项或者采出项，注入为正，采出为负。它指地层 条件下单位岩石体积中注入或采出流体的质量流量。 方程( 2 1 0 ) 至( 2 1 2 ) 就是- - g e _ - 相渗流，以质量计的物质守恒方程。 根据流体体积系数的定义，有： 见2 鲁 q - 1 3 ) & = 等 ( 2 - = 等 ( 2 - 1 5 ) 几2 等 协1 6 ) 其中，纵( i = d ，g ，w ) 表示标准状况下f 相密度，置为f 相的体积系数，b 为溶 解油气比。 将式( 2 1 3 ) 代人方程( 2 1 0 ) ，式( 2 1 4 ) 和式( 2 1 5 ) 代人方程( 2 - 1 1 ) ，式( 2 1 6 ) 代人方程( 2 1 2 ) ，再分别除以，得到标准状况下体积计的物质守恒方 程，如下t v 器( 吧一劝) 卜= 旦o t kb o 协 v 筹等( 咒一劝) + 麓( 咒一以劝) + = 昙i ( - 愿- u + 毒 c 2 m ， v 瓮c v e , - r v d ) = 氧等) 协 其中，q w = 旦( f ：d ，g ，w ) ，表示地面条件下单位岩石体积中注入或采出流体的 体积流量。 由于本文所研究的是单井径向渗流问题，故选取柱坐标系下的数学模型，让上述方 ； 旱存杆牮标系下展开圈。可得： 1 0 第二章单井三维三相渗流数学模型及其差分方程 其中， 爿，堕盟挎旦( 堕盟心( 等盟卜一ol(吃soorm b oo r c 3 0 m s o0 0 o zo z o t - ， l，2l l 心包一l 吃 三旦卜型坠亟+ ，k k , 莒o ( p g1 + 占旦f 型坠盟+ 一k k , g o 哝1 ro r p o b oa r p g b go r ) r 28 9 p o b o0 0 弘g b g0 0 ) + 氧等骘k k r go 唿1 0 z o z o z 嘎o t ( 等+ 训l 心玩 硼 l i 包jl 吾旦o r ( ，簧盟o r ) + 专旦0 0 ( 麓监0 0 + 旦o z ( 瓮监o z ) = 旦o t ( 等 ， i 心见 ，2i 以玩l 以优”l 色 = e o 一d = 忍一r g d = 己一y w d ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 2 1 3 辅助方程 以上就是油气水三相渗流基本微分方程。求解时，除基本方程组外，还需要一些辅 助方程。 饱和度方程： 毛管压力方程： s o + s g 七s w = 1 只= e o 一 名= + ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 冥中， 一油水毛管压力； 一油气毛管压力。 求解变量为p o ，r ，名，s o ，s w ，& 共6 个，方程组的方程数也是6 个，所以这个方程组 是封闭的。当然，这个方程组中的各项参数还需要由另外一些辅助方程来确定。 见= 见( ，忍) ( 2 2 9 ) & = 岛( 名) ( 2 3 0 ) 西安石油大学硕士学位论文 = ( ，圪) 岛= 成( 己) 如= 氏( 是，& ) k = k ( ) k ，= k ( & ) g o = k t o ( p o ，忍) 心= 心( 足) 以= 心( 只) = 乙( & ) = ( & ) 2 1 4 定解条件 ( 1 ) 初始条件 初始条件就是给定在某一选定的初始时刻t = o ，油藏内的压力和饱和度分布，可表 示为： p ( ，口，z ，f ) i 。：。= 只( 厂，0 ，z ) ( 2 4 1 ) & ( ，秒，z ，圳，卸= ( ，o ，z ) ( 2 - 4 2 ) s gp , 口，z ，f ) i ，：。= ( ，0 ，z ) ( 2 4 3 ) ( 2 ) 外边界条件 定压边界 边界上每一点在每一时刻的压力分布都是己知的，则这种边界就叫做定压边界，也 叫第一类边界条件。表示为： p i 心= 厂( 厂，o ，z ，) ( 2 4 4 ) 式中p i 吼表示边界上的点在t 时刻的压力，f ( r ，0 ，z ，f ) 是确定在边界上的已知函数。 定流量边界 边界上有流量流过，而且每一点在每一时刻的值都是已知的，则这段边界就叫做定 流量边界，也叫第二类边界条件，表示为： 1 2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) l 2 3 4 5 6 7 8 9 o 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 第二章单井三维三相渗流数学模型及其差分方程 厂i 0 1 k = 厂( 厂，秒，z ，f ) ( 2 4 5 ) 厂i i ，。丘2 ，厂，z ，f j k z 。 防 式中，兰l _ 表示边界上压力关于边晃的外法线方向导数，厂( ，p ，z ，f ) 是确定在边 界上的已知函数。 实际上，最简单，最常见的定流量边界是封闭边界，也叫不渗透边界，即在此边界 上无流量通过【2 3 1 。此时： ，娑k = 厂7 ，口，z ，f ) = 0-46)tr t , 24 0 ，_ l r ：匕2 ，z ，r j 2 。 o r ( 3 ) 内边界条件 定井底流压边界 p ( r ，0 ，z ，f ) k = 岛 ( 2 4 7 ) 定产量边界 r 兰k = q ( 2 - 4 8 ) r l _ 一2u k z - q 5 ， 由基本渗流偏微分方程组、辅助方程和定解条件，构成了一个完整的人工裂缝井单 井三维油、气、水三相渗流数学模型，在建立这样的模型后，下面章节将介绍如何采用 一种有效的方法来求解该渗流数学模型。 2 2 单井三维三相渗流数学模型差分方程 在上一节中，已经得到了描述人工裂缝井流体流动规律的数学模型，模型中的偏微 分方程组包括六个未知求解变量，将毛管压力方程和饱和度方程代入该方程组中，这时 候就只有三个求解变量了，加上初始条件和内、外边界条件，该偏微分方程组是封闭的。 对数学模型的求解也就是对偏微分方程组中的未知量的求解。这些偏微分方程一般都是 非线性的，不能用解析方法求解。只能通过将这些方程离散化，得到相应的差分方程， 然后采用数值解法求解。下面在网格划分的基础上对数学模型中的偏微分方程组进行空 间和时间离散化处理，将方程系数和压力全部取为隐式，得到偏微分方程组在网格节点 的差分方程。 2 2 1 油藏网格划分 网格剖分是油藏数值模拟的一个重要环节，它以某种方式将油藏区域离散化，是油 藏数值模拟的基础。要把一个偏微分方程完全离散化，首先必须把连续求解区域按一定 的网格系统剖分为有限个求解节点或网格，然后再写成这些网格节点的差分方程，以求 得每个网格节点上偏微分方程的近似解。 在使用三维柱坐标时，本文对油藏区域的划分采用径向网格，网格划分示意图如图 2 1 所示。其中，虬，y ，z 分别表示，0 ，z 方向的网格数。 西安石油大学硕士学位论文 下面详细说明，秒，z 三个方向网格划分的具体方法。 ( 1 ) 径向，方向 在沿半径方向的网格划分时，愈靠近井底，网格尺寸应该愈小。这是因为在井的附 近，压力和渗流速度变化非常大，在离井较远的地方，变化比较缓慢，最常用的办法是 采用径向等对数划分的方法，如果使用沿半径的等距网格，势必造成在近井地区两节点 压差过大而远处节点间的压差又非常小，这样在计算时难以保证相同的计算精度。为了 避免这种情况，使得各处的节点间压差保持大致相同的计算精度，距井近处的网格步长 必须小于远处的网格步长。 设网格系统中沿径向有个网格存在，可按照下式计算网格边界的坐标： l i l r 。+ i i - l r l r ，一；= ! ! 些- a r ( 2 4 9 ) + j一j l z -j = 常数 即 筹= 击 协5 。， 件j 1 名pr ， n 、 r1l 0 其中， 匕泄油区域半径，m ； 0 井筒半径，m 。 1 4 第二章单井三维三相渗流数学模型及其差分方程 网格节点的坐标可根据网格边界的坐标，按照等面积法进行计算，计算公式如下： ( 2 5 1 ) ( 2 ) 周向0 方向 沿周向p 方向的网格可采用等间距网格划分，用g 表示该方向网格坐标，网格块在口 方向的边界坐标为： 巴弓2 三( 9 卅+ e ) ( 2 - 5 2 ) 0 - = 喜( g 一。+ 嘭) (2-53)z 0 1 、。 网格块沿该方向的大小用e 表示，有： 巴2 0 + ；一0 一； 2 搿 ( 3 ) 垂向z 方向 沿垂向的网格可以完全按直角坐标系的确定方法，例如采用等步长网格。用缸表示 该方向网格的坐标。 网格块在轴向的边界坐标为： 气+ 三= l ( z k + i + z k ) ( 2 - 5 5 ) 2 气= l ( z k _ l + z k ) ( 2 - 5 6 ) 2 大小用瓴表示，有： a z k = z 。l 。l ( 2 - 5 7 ) t 4 - - - 一 这样一个圆柱形的油藏就被划分成一个个网格节点，用( ，g ，气) 表示一个网格节 点，下面简记为( f ，k ) 。 若考虑到地层中存在不同形态的人工裂缝，网格划分上需对人工裂缝进行特殊的处 理，这将在第四章中给出。 2 2 2 柱坐标系下三维三相渗流差分方程建立 ( 1 ) 柱坐标系下油相差分方程的建立 西安石油大学硕士学位论文 利用有限差分法，对三维三相渗流数学模型的油相渗流方程式( 2 2 0 ) 进行空间和 时间的离散化处理，z 。，i 。油 相方程在网格节点( f ，七) 处的隐式差分方程为： ( = 非厂 将上式两边同乘以k j = 娥一簖1 0 1 一r t n + + l l 一碟1 z k + 1 一z k 倒 ，：驴q 瓴 2 a _ j ( 9 0 + + 1 l 一够1 ) + o l - i - - - 、 2 丽-r2,lazk乞n遵rs(矗一)+五玎瓦：_ 万乞哇i + 1 一j + g 2 ( z k + l - z k ) 矿。 一。，j 乒 a t 2 r , irl l 件一2 匕各) 二 0 0 + 一1 1 一簖1 一一i + 吲三符 + 协5 8 ， + ( 剐二 碟，一簖1 z k z k 一1 ，并令乃= 鬲k k r o ， ( 一，；一。) 嘿( 蟛一蟛1 ) + l + g = k j 旧一t 。i q 东；( 矧t 一簖1 ) + 芝瑟三 毯( 础一碟1 ) + n + l j 嘲+ 1俐 其中，蟛乒= 杉泓g 毗n + l ，乒 再令： 1 6 ( 2 5 9 ) 州 1 2 坠鹏 厂件 l 一2 一r ， 一 1 2 +厂， 1 一 + 笪鸣啭瓦 一i j 伊 坠鹏 一一l 一2 一 秒 一 l 一2 + 口j 一f r h ： 坠鹏 l 一2 z i 一 卜2 z f l 一2 一“ ，、 l 一2 一k l 一2 ，件 ， 1 2 ，卜 1 2 户“ ，l l 一2 r 一 觑 、 l 一2 2 一 r ， 一 l 一2 2 +， ，i 1 2 ，卜 l 一2 ，件 ，l 第二章单井三维三相渗流数学模型及其差分方程 丁”j 1 1 = w - i - - - 2 丁”? 1 l = t o j - 一一 2 睦；卜瓴q 一刮色咄，：一； 2 ，；h1 卜) 强：褊r , - r 2 , 1 a z 嚆 五? j 0 1 + - - 2 五一 0 l 一一 2 丁”量(碟一簖1)+墨(础一簖1)+r：三(蟛一蟛1-i-roiu 0 3卜、 m 一、 。 + ： 甓( 塌一疗1 ) + 乏；( 以- 一碟1 ) + 爱三( 碟- 一碟1 ) + j 2 n + l = 警槲+ 1 一删 为了更简化的表达方程，引入线性差分算子： ，聪1 ，醒“= 东三( 皑一簖1 ) + 砭：三( 斌一簖1 ) a p