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种群及传染病模型的稳定性与斑图研究 摘要 本文分别研究了疾病在捕食者中流行的捕食与被捕食模型的稳定性、具有移民和扩 散的传染病模型及具有比率依赖的捕食与被捕食模型的斑图问题 首先，考虑一类食饵受密度制约，疾病在捕食者中流行的捕食与被捕食模型讨论了 解的有界性和各平衡点的存在性；利用r o u t h h u r w i t z 判据证明了各平衡点的局部渐近 稳定性；进一步，通过构造适当的l y a p u n o v 函数分析了边界平衡点和正平衡点的全局渐 近稳定性，即给出了疾病是否流行的条件通过数值模拟，我们发现传染病会引起种群人 口动荡，或使捕食者趋于灭绝，疾病消除，或者疾病成为地方病 其次，考虑了一类具有扩散和移民的传染病模型通过数学分析和数值模拟得到模 型的移动斑图，也就是说，当模型同时具有扩散和移民时，就会出现时间和空间上的周期 解；进一步，通过色散关系公式，讨论了波长的变化以及产生空间斑图的条件这些结果 对理解时空传染病的传播机制非常有用，对传染病的预防控制具有深远的意义 最后，考虑了类具有比率依赖的捕食与被捕食模型通过线性稳定性和分支分析 得到了模型发生h o p f 和t u r i n g 分支的临界表达式以及t u r i n g 斑图发生的精确区域通 过数值模拟，得到了不同参数空间中的斑图结构，分别有点状斑图、迷宫斑图以及点状 和条状共存的斑图结构这些结果说明利用反应扩散方程建模是揭示空间动力学复杂性 机理的一个有效工具 关键词：传染病，捕食与被捕食模型，稳定性，斑图，分支 s t u d yo nt h es t a b i l i t ya n dp a t t e r nf o r m a t i o no fp o p u l a t i o na n d e p i d e m i o l o g i c a lm o d e l s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t et h es t a b i l i t yo fap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t ht h ed i s e a s ei nt h e p r e d a t o ra n dt h ep a t t e r nf o r m a t i o no fas p a t i a le p i d e m i cm o d e lw i t hm i g r a t i o na sw e l l 懿a r a t i o - d e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e ym o d e l ，r e s p e c t i v e l y f i r s t l y , w ep r e s e n tap r e d a t o r - p r e ym o d e l 谢t l lt h ed i s e a s ei nt h ep r e d a t o r t h eb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sa n dt h ee x i s t e n c eo ft h e e q u i l i b r i aa les t u d i e d ，a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fl o c a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo ft h e e q u i l i b r i aa r ea l s oo b t a i n e db yt h er o u t h h u r w i t zc r i t e r i o n f u r t h e r m o r e , w ea n a l y z et h e 舀o b a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i ab yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n s ，i e ，t h ec o n d i t i o n so ft h e d i s e a s ee x t i n c t i o no rp e r s i s t e n c e f r o mt h en u m e r i c a lr e s u l t s ，w ek n o wt h ee p i d e m i cc a r l i n d u c et h eo s c i l l a t i o no ft h ep o p u l a t i o nd e n s i t y i tc a ni n d u c et h ed i s e a s ee l i m i n a t eo rb e c o m e a l le n d e m i c s e c o n d l y , w ep r e s e n ta ne p i d e m i cm o d e lw i t h b o t hd i f f u s i o na n dm i g r a t i o n f r o m t h em a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，w er e v e a lt h a tt r a v e l i n gp a t t e r n 咖b e o b t a i n e di nt h em o d e l t h a ti st os a yt h a t ，s p a c e - a n dt i m e - p e r i o d i cs o l u t i o nc a ne m e r g ew h e n c o m b i n e dd i f f u s i o na n dm i g r a t i o n f u r t h e r m o r e ，a c c o r d i n gt ot h ed i s p e r s i o nr e l a t i o nf o r m u l a , w ed i s c u s st h ec h a n g e so ft h ew a v e l e n g t h ，笛w e l l 邪t h ec o n d i t i o n so ft h es p a t i a lp a t t e r n f o r m a t i o n o u ro b t a i n e dr e s u l t sm a yb eh e l p f u lt ou n d e r s t a n dt h em e c h a n i s mo ft h e s p a t i a l - t e m p o r a le p i d e m i c sa n dh a v ep o t e n t i a la p p l i c a t i o no fc o n t r o lo ft h ee p i d e m i c s f i n a l l y , w ep r e s e n tar a t i o d e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e ym o d e l b a s e do nb o t hm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，w eg e tt h ec r i t i c a ll i n eo fh o p fa n dt u r i n gb i f u r c a t i o ni nas p a t i a l d o m a i n i np a r t i c u l a r , t h ee x a c tt u r i n gd o m a i ni sg i v e n a n dw eh a v ef o u n dt h a ti t ss p a t i a l p a t t e r ni n c l u d e ss p o t t e dp a t t e r n ，l a b y r i n t hp a t t e r n , s p o t t e da n ds t r i p ec o e x i s t e dp a t t e r n ， w h i c h s h o w st h a ti ti su s e f u lt ou s er e a c t i o n - d i f f u s i o nm o d e lt or e v e a lt h es p a t i a ld y n a m i c s k e y w o r d s ：e p i d e m i c ，p r e d a t o r - p r e ym o d e l ，s t a b i l i t y , p a t t e r nf o r m a t i o n ，b i f u r c a t i o n 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在指导教师的指导下独立 进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外本论文不包含其他 个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究作出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名：二悻 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定其中包括： 学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以 采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位 论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的复制赠送和交换学位论 文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后 遵守此规定) 日期：捌：! ：竺 日期：趋z ：竺 中北大学学位论文 1 1 研究意义 第一章绪论 数学模型是描述现实系统或其性质的一个抽象的、简化的数学结构人们用数学模 型来揭示系统的内在机制以及对系统发展态势进行预测众所周知，许多生命现象可以 用动力学的方法来建立描述这种现象的数学模型，通过数学模型研究生命科学的问题以 便人们对生命过程有更深入的了解，以期达到对某些生物现象进行优化控制的目的n 1 种群生态学模型是理论生态学的主要研究内容，它包括对给定种群本身的动力学特 征和结构的研究，以及给定种群和相关种群相互作用下演变规律的研究自然界中复杂 的生态关系使得数学的方法和结果被越来越多的应用于生态学；生物物理学的发展又促 进了数学向生态学的进一步渗透迄今数学在生态学中应用最为广泛深入，发展最为系 统、成熟，其中所涉及的数学内容包括线性代数、微分方程、积分方程、差分方程、泛 函微分方程、动力系统、随机过程、统计方法等而利用微分方程模型研究种群动力学 已经成为微分方程研究领域中的一个重要研究方向，通过对这些方程解的性质的研究而 得到的一些数学结果可以用来说明生态学上的有趣现象，如共存、灭绝以及持续生存等 在种群动力学被广泛研究的同时，传染病动力学的研究进展也很迅速由于传染病 历来就是危害人类健康的大敌，长期以来一直就受到世界各国的高度关注虽然人类在 控制和消灭某些疾病方面取得了辉煌的成果，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病 已经得到有效地控制，但随着全球气候变暖、环境恶化、生态平衡的破坏、病原体和传 播媒介抗药性的加强，原来已经灭绝或控制的诸多传染病如性病、结核病等再次不断蔓 延一些新出现的传染病也来势凶猛，特别是艾滋病、s a r s 和禽流感等新发恶性传染病的 出现，使传染病的预防和控制问题日益突出，对传染病传播的研究也越来越重要和迫切 传染病动力学是对传染病进行理论性定量研究的一种非常重要的方法它是根据种 群生长的特性，疾病的发生以及在种群内的传播、发展规律等建立能反映传染病动力学 特性的数学模型，并在此基础进行定性、定量分析，例如提供一些阀值、基本再生数和接 触数等重要概念外，在与计算机模拟相结合分析疾病的流行原因和关键因素，寻求对控 制和防治的最优策略，为人们防治决策提供理论基础和数量依据 中北大学学位论文 但是，大量的传染病动力学模型只是涉及单个种群的疾病传染流行，然而自然界的 种群并非单独存在，譬如，它会传播疾病、会被其他种群捕食、为了获得生存空间或充足 的食物会与其他种群竞争比如，2 0 0 2 年底s a r s 的传播，最初的感染就是人类食用了野 生的果子狸所致，且患病者能在人群中传播疾病；2 0 0 6 年的因食用福寿螺致病事件，也是 捕食者因食用被捕食者而致病，因此有必要在传染病动力学模型的基础上考虑种群之问 相互作用的影响，即必须把传染病动力学与种群动力学结合起来，这样使得所建立起来 的模型比单独的传染病模型或单独的种群动力学模型更加符合实际，把种群动力学和传 染病结合起来是一个新的方向，而且在这方面的工作已经很多 另外，在经典的生物动力系统学中，许多模型是忽略空间因素建立常微分方程或差 分方程模型来研究生物动力系统的进化过程但是，现实中的所有植物、动物等种群生物 都生存在空间环境中为了更加接近现实，在研究某些生物系统时，必须进一步考虑其在 空间中的演化问题现代计算机技术的发展，结合一些数学理论分析为探索空间物理作 用下的生物系统提供了一个强有力的工具近年来提出许多理论和方法来解决空间中的 生物动力系统，例如细胞自动机( 或格子机) 口1 、小世界网络口1 、反应扩散方程n 1 、利维飞 行( l e v y f li g h t ) 巧1 、随机游走等等 生物斑图( p a t t e r n ) 是在空间或时间上具有某种规律性的非均匀宏观结构，普遍存 在于自然界动物身上的斑纹( 如东北虎，美洲豹，鱼，蛇等) 都属于生物斑图生物斑图 动力学的研究非常广泛和丰富，它是非线性科学的主要分支之一1 9 5 2 年，被后人称为计 算机科学之父的英国著名数学家图灵( t u r i n ga m ) ，在他论文“形态形成的化学基础h 用一个反应扩散模型成功地解释了某些生物体表面所显示的图纹，并从数学理论上提出 空间斑图的t u r i n g 原理，之后在化学和物理中进一步得到了发展，但在实验中一直未得 到证实我国理论生物学家欧阳颀1 9 9 1 年在实验中首次发现二维图灵斑图与图灵分岔口 耵，给理论研究结果提供了实验上的证据，空间斑图的研究又引起了国内外学者重视和 研究 生物斑图研究的范围很广，包括化学，物理，生物医学，种群生态，传染病等各个领域， 并且已有大量文献对其做了详细的分析在化学方面，对c i m a 反应，b z 反应，f i s 反 应，g r a y s c o t t 模型等已做了理论分析及数值模拟，模拟结果与实验结果几乎一致在化 学中建立反应扩散系统从理论上能够预测化学反应的空间斑图，常见的典型空间斑图有 2 中北大学学位论文 c i m a 反应中表现出来的点状斑图，条状斑图，以及b z 反应中表现出来的螺旋波h 1 在生物 系统中，1 9 9 1 年b a r r i or a 研究了一个耦合系统，模拟其二维斑图，并与真实的鱼纹 作比较除此之外，还得到了蝴蝶斑图和动物的体面斑图d 1 特别是近年来生物斑图研究 受到众多生态学家和生命科学者等的广泛关注和研究n 0 ，也是非线性种群动力系统中 的研究热点之一 研究生物系统中的空间斑图可以使进一步认识生态及传染病等复杂系统中种群的 入侵，增长和持续等问题 1 2 1 3 1 4 , 1 5 在空间均匀态和非均匀态中，种群之间的相互作用( 如 增长，移动等) 可以用反应扩散方程来描述n 氐 1 2 国内外研究现状 关于传染病传播的数学模型研究是从e n k o ( 1 8 8 9 ) 开始的，作为奠基性的工作是 1 9 2 7 年k e r m a r k 和w e k e n d r i c k 的工作他们将总人口分为易感者( s ) ，染病者( i ) 和恢复者( r ) 三类，利用动力学的方法建立了s i r 传染病模型，并对其传播规律和流行 趋势进行了研究，对传染病传播与否提出了阈值理论：若种群中易感者的数量高于阈值， 传染病将维持；低于阈值，传染病将趋向绝灭近二十年来。国际上传染病动力学的研究 进展十分迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题，从而构成丰富多彩 的传染病动力学模型主要运用的方法有构造l a y p u n o v 函数法，极限方程理论，矩阵理论。 分支理论，k 序单调系统理论，中心流行理论等文献n 8 埔1 中研究了微分方程的稳定性理 论和方法，文献啪2 1 、嘲中研究了一些s i s 、s i r s 、s e i 、s e i s 模型的平衡点的稳定性与 全局稳定性，文献崩潘1 研究了一些s i s 、s e i r 、s e i s 模型的周期解的存在性问题 自上世纪八十年代以来，数学生态学又成为一个非常活跃的研究领域，而在这一领 域中对非线性种群生态系统持续性、稳定性的研究最为引人注目h a l l a m , t g 、 b u t l e r ，g 和马知恩等人在对非线性生态系统种群持续性的研究中，又提出了关于种群 持续生存的各种概念，为研究生态系统的持续性奠定了一定的理论基础同时许多学者 借助于动力系统、非线性分析、泛函微分方程和脉冲微分方程等已有的成果对种群生态 模型解的稳定性等问题进行了研究，到目前为止，国内外这一领域的研究主要集中在下 列两个方面：( 1 ) 低维v o l t e r r a 种群系统的持续生存、稳定性、极限环等问题( 2 ) 在大 容量的环境污染中低维种群系统的持续生存和绝灭的阈值问题将种群和传染病两方面 中北大学学位论文 结合，从种群生态学来说是相互竞争或捕食的类型；从疾病的传染机理来说又是传染病 模型 在国内，1 9 9 7 年马知恩教授提出传染病和种群相结合，对疾病在多个相互作用种群 间传播的情况进行了研究，这是国际最早提出的研究方向，对如何控制疾病在多种群中 流行提出了策略上的建议在此基础上，最近国内的其他工作研究者也开始这方面的工 作：2 0 0 1 年，文献协1 研究了疾病在食饵与捕食同时传播的四种模型它们分别是具有双 线性发生率和标准发生率的s i s 模型和s i r 模型，其传染机理是食饵通过种内接触传染， 而捕食者不仅通过种内传染而且还通过吞食染病食饵传染2 0 0 3 年，文献乜力研究了具有 双线性发生率和标准发生率且有交叉传染的两种群的s i s 和s i r s 四类模型，得到了比较 完整的结论2 0 0 5 年，文献汹3 建立并分析了捕食者具有疾病的生态流行病s i s 模型，讨 论解的有界性，得到了平衡点局部渐近稳定的充分条件对所有平衡点的吸引域进行了 全面而完整的分析，得到了保证各个平衡点在相应区域中稳定与否的阈值2 0 0 6 年，文献 随1 研究了疾病在捕食者中流行的捕食与被捕食模型，随着传染率的不断增加，正平衡点 的稳定性也随之变化，从稳定到不稳定再到稳定 近些年来，空间斑图在种群动力学方面已有了大量的研究，捕食一被捕食模型是主要 研究的模型之一通过对其进行线性分析，推导其图灵不稳定的条件，并进行计算机模拟， 可以得到捕食者和被捕食者经扩散之后所形成的分布结构在生态系统中，假设空间物 理因素可以用扩散项来描述在捕食一被捕食( p r e d a t o r p r e y ) 模型中考虑了空间对种 群的生存的影响，那么就可以用反应扩散方程来描述具有空间结构的捕食一被捕食模型 例如，在一维空间中考虑食饵具有l o g i s t i c 出生的非线性功能反应系统 瓦o p 吲1 一p p 一嚣警 ( 1 1 ) 丝：旦 一所h + d 塑 a t c 2 七p 耐 这里厂，k ，m 和二分别表示食饵的内禀出生率、环境容纳量、死亡率和捕食者能量转化 系数；q 和c 2 为功能性反应的饱和参数在此模型中，非常小的扩散系数就可以导致一个 周期系统变为拟周期、混沌和锁频等现象发生，并且系统对初始值的敏感性更加强烈 1 9 9 8 年，g u r n e y 等n 3 1 对一维，二维空间系统只考虑捕食者扩散的条件下进行了研究 4 中北大学学位论文 研究结果表明在预测种群空间入侵动力学方面，这样类似反应扩散的空间模型对现实问 题的预测比非空间模型( 这里非空间模型是指常微分方程模型) 预测结果更准确例如， 他们报道在局部引进捕食者的情况下所得到的研究结果，初始条件对种群的空间分布结 构有着重要的作用不同的初始条件下，他们发现了两种群系统共存的3 种典型空间斑图 结构n 3 1 ：靶波状空间斑图，螺旋波状空间斑图和时空混沌状空间斑图2 0 0 2 年，a l o n s o 等啪1 对捕食一被捕食系统存在的两类功能反应捕食者依赖和比率依赖进行了分析，结果 表明只有比率依赖的捕食被捕食模型空间斑图结构可以用t u r i n g 理论来解释，并且进一 步在比率依赖的捕食一被捕食模型中发现了条纹空间斑图的存在最近，在文献口嵋中，对 一比率依赖的捕食一被捕食系统在空间的复杂性动力学行为进行了研究，发现了点状斑 图，条纹斑图以及条纹和点状共存的空间斑图 在传染病方面，g u b l e r c 3 2 j 对d h f 在1 9 3 0 年，1 9 7 0 年和2 0 0 1 年美洲的空间模式传播进 行了研究，发现d h f 在空间传播呈现出一定空间斑图结构在文献口3 1 中，g r a s s l y 研究了 印度脊髓灰质炎病毒的患病者的空间分布，从1 9 9 8 ，1 9 9 9 ，2 0 0 2 ，2 0 0 5 年印度脊髓灰质炎 病毒的患病者的空间分布的图来看呈现出点壮斑图其它的一些传染病的传播也呈现出 一定的空间斑图结构，例如，h i v 的传播m 1 通过研究一般的空间直观传染病模型( 空间直观模型指反应扩散模型) ，从理论上通 常可以找到时空行波解的存在性条件，利用空间行波解来解释传染病的传播在实际中已 经得到很多的应用，例如d h f 滔淄1 ，麻疹n 刀等然而，只有很少的文献来研究疾病在空间传 播的重复波，以及说明疾病的时空地理因素等对疾病传播的影响，即传染病传播中的空 间斑图大多数疾病的传播是通过局部之间的相互作用而扩散传播的，在文献n 中，作者 研究了一类带扩散项的s e i r 模型，利用细胞自动机算法，在二维空间得到该模型在空 间传播的可重复波和拟螺旋波空间斑图；在维空间中得到空间周期二结构的斑图对 比该空间模型和它的非空间模型，作者发现空间模型中疾病的传播更加稳定和持续最 近，在文献啪1 中，作者用t u r i n g 原理研究了感染率为双线性的空间直观s i r 模型的空间 斑图结构利用计算机模拟预测条纹斑图和条纹与斑点共存的斑图，这个结果能很好解 释文献滔1 中对d h f 空间传播斑图观测结果但是在此模型中没有出现点状斑图，不能解释 目前对一些疾病流行的点状斑图例如，g r a s s l y 在文献b 3 中，对印度脊髓灰质炎病毒的 传播研究发现，点状斑图也是存在的在文献1 中，作者研究了一类具有非线性传染率 5 中北大学学位论文 的空间直观口模型，通过数值模拟得到了二维空间点状斑图结构，此结果很好的解释了 文献滔1 中作者对印度脊髓灰质炎病毒的患病者的空间点状斑图结构传染病传播中的空 间斑图研究是一个较为复杂的问题，这里只介绍了利用反应扩散方程来研究斑图的一些 结果有许多学者提出利用更为有效方法如细胞自动机，无尺度网络，随机游走等来研 究传染病在空间大尺度上传播的结构和斑图 1 3 本文主要工作 本文分别研究了几类种群及传染病模型的稳定性和斑图结构在第二章中研究了一 类疾病在捕食者中流行的捕食与被捕食模型的稳定性第三章对一类具有移民和扩散的 传染病模型做了斑图分析第四章对一类具有比率依赖的捕食与被捕食模型做了斑图分 析主要内容如下： 在第二章中，主要考虑了食饵受密度制约，疾病在捕食者中流行的捕食与被捕食模 型，讨论了解的有界性和各平衡点的存在性，利用r o u t h - h u r w i t z 判据证明了个平衡点的 局部渐近稳定性；进一步通过构造适当的l y a p u n o v 函数分析了边界平衡点和正平衡点 是全局渐近稳定性给出了疾病是否流行的条件，同时对其结果进行了数值模拟 在第三章中，讨论了一个具有扩散和移民的传染病模型的时空复杂性，通过分析和 数值模拟得到模型的移动斑图，也就是说，当模型同时具有扩散和移民时，就会出现时间 和空间上的周期解进一步，通过色散关系公式，讨论了波长的变化以及产生空间斑图的 条件 在第四章中，研究了一带比率依赖的捕食被捕食模型的空间斑图得到模型发生 h o p f 和t u r i n g 分支的临界表达式以及发生t u r i n g 斑图发生的精确区域，并给出数值模 拟结果发现该模型具有丰富的动力学行为，包括点状斑图、迷宫斑图以及点状和条状共 存的斑图结构 6 中北大学学位论文 第二章疾病在捕食者中流行的捕食与被捕食模型的稳定性分析 本章主要考虑了食饵受密度制约，疾病在捕食者中流行的捕食与被捕食模型，给出 了各平衡点的存在性，并分析了各平衡点的局部渐近稳定性以及边界平衡点和正平衡点 的全局渐近稳定性 2 1 模型的建立 经典的捕食与被捕食模型h 们，如下： 妾：x ( 一毛x - c y ) ， 享爿“一 儿 ( 2 1 ) 老叫吒刎 旧一。 足条件，i 如- 5 c 0 时，正平衡点( ，j ，) 也是全局渐近稳定的，其中工+ = 丢等老， ，= - + e x ) ，27 。d x = x ( 口一b x ) 一e x s ， d t i d s ：e x s 一4 s 一盯， ( 2 2 ) 班 。 7 一dl：8sidj。dt 7 中北大学学位论文 其中x 表示食饵的密度，s ，分别表示易感捕食者和染病捕食者的密度，所有系数均为 正常数，a 为食饵内禀增长率，b 为密度制约系数，c 为捕食数，k 为转化系数， e - - - k c ( o b d i 时，则边界平衡点易存在； ( 2 ) 当口印一c d 2 e - b d l 0 ，则正平衡点乜存在由a e , 6 b dl + c d2 e ，可得 a e 6 d i ，所以a e b d l 是a e p c d 2 e b d l 0 的必要条件，即b 的存在暗含了b 的存在； ( 3 ) 当a e b d l 时，系统( 2 1 ) 只有玩- ( o ，0 ，0 ) 和巨之( ：a ，0 ，o ) 两个平衡点 中北大学学位论文 由此得如下定理： 定理2 1 当q e 6 盔时，系统( 2 2 ) 只有晶和巨两个平衡点；一 当b d ， o p d ：，( 兄) ：牙+ 堕兄+ ( a e - b d , ) d i 显然，f ( 2 ) = 0 必有两个负实部的特征根由此得： ，由易的存在性 当刀 c a r 2 e + b d 。成立，则易不稳定，而此时正平衡点e ，存在 由以上讨论可知： 当a e b d 时，易感捕食者存在； 当口已罗 e e l z 8 + w 时，易不稳定，但正平衡点毛存在，即出现地方病 ( 4 ) 对于正平衡点岛= ，岛，) ，特征方程( 2 3 ) 变为： 允3 + 4 见2 + 4 五+ 4 = o ，( 2 7 ) 其= 孚 = c e d 2 ( a f t - c d 2 ) + d 2 f 1 ( a e f 1 - c d 2 e - b d t f 1 ) b p 2 4 = ( a f t - c d 2 ) d 2 ( i a e 甭f l - c d 2 e - b d , f 1 ) 由毛的存在性知：4 o ，( 江l ，2 ，3 ) 。 6 。 一3 。一。1 ”v 。， 由于= 彳t 。，：= i 置1i=ata2-以=下cd2e(a-cd2)2。，：呜4。 1 0 中北大学学位论文 根据h u r w i t z 判据知，特征方程( 2 7 ) 的所有特征根均具负实部，故平衡点易局部 渐近稳定因此，正平衡点马只要存在，就必定是局部渐近稳定平衡点，从而e 为地方病 平衡点 故有如下定理： 定理2 2 凰总是“鞍点：当a e b d 。时，e l 不稳定而此时最存在从而，当a e p c d ：p + b d 。时，平衡点易是不稳定的而此时正平 衡点最存在，而且是局部渐近稳定平衡点，从而出现地方病 2 3 全局稳定性分析 2 3 1 预备知识 定义2 1 考虑自治系统： 去叫曲， ( 2 8 ) 其中f c ( dc 尺“，r ”) 设qcd 是一开子集，v c ( q ，r ) 若( 2 8 ) 的轨线全导数 现。，= 刚川吖( 邮。艇刚f j 称v 是系统( 2 8 ) 的l i a p u n 。v 函数 引理2 1 憎1 ( 不变集原理) 设v 是系统( 2 8 ) 的定义在开子集qcd 内的一个l i a p u n o v 函数，v 在q 上连续， 令e = 扛q 妒( x ) = 0 ) ，m 是系统( 2 8 ) 在e 中的最大不变子集，从q 内出发的任一个i f _ 半轨f + ( x o ) ( x o q ) ，恒在q 中且有界，则轨线k ( x 。) 的彩极限集缈( r + ( ) ) cm ，且有 l i r ad i s t ( x ( t ，) ，m ) = 0 1 推论2 1 在引理2 1 的条件下，若m = x ) ，这里厂 ) = 0 ，则系统( 2 8 ) 的平衡 中北大学学位论文 点戈在内q 是全局吸引的 下面进一步讨论日，e 3 的全局稳定性 2 3 2 互的全局稳定性 为讨论全局稳定性，先对系统( 2 2 ) 进行无量纲变化 令x = 詈工，s = j ，= f ，则得： 妄= 州刮， 塑=竺淞一d芦一ps，d 一= 一淞一口l j 一j z tb 1 ( 2 9 ) 罢= 肛m l 由于系统( 2 2 ) 满足初始条件( z ( o ) ，s ( o ) ，( o ) ) 疋的所有解最终有界，即都进入q 并停留其中，故只需说明e 在q 内渐近稳定即可 令尺乏= ( 石，s ，f ) 尺：o 石l , s o ，f o ) ，取l i a p u n o v 函数v ：r 3 x 专r ， 矿( f ) = x 一1 1 l l x + s 沿系统( 2 9 ) 对v ( t ) 求导得： 少( f ) = 主一三+ ； = ( 一三) 州叫刮+ 詈船却堆i 纠叫m - 一d 刮+ ( 詈州。) s 显然，上式右端第一项在q 内必定非正，否则有a ( 1 - x ) - - c $ 0 ，这与e o 是“鞍点 矛盾 在呐睁q h 詈叫卜 1 2 中北大学学位论文 故：当a e 0 ，( f = 1 , 2 ，3 ) 待 定 显然z ( x ，s ，i ) 0 ，而v ( x ，j ，i ) = 0 当且仅当石= s = i = 0 时才成立 沿系统( 2 9 ) 对y ( f ) 求全导数得： l ：r ：里。竺4 竺； = q ( e 。一1 ) 妻+ a ：s 3 ( 矿一1 ) s + a 3 1 3 ( e 一1 ) ； = 口1 6 【五( 8 - d 2 + ( 口2 e - c 6 c ) x 3 ( e 。一1 ) 岛( 一1 ) + ( 吃- - 口2 ) p s 3 ( - 1 ) 1 3 ( e 。- 1 ) 一一6 奸+ ( 呸e - c 6 c ) o ：0 2 + ( ( 岛一吗) 如q ， 这里q = 五( p 。- 1 ) ，吐= 墨( 矿- 1 ) ，q = 厶( - i ) 令口l = l ，o f 2 = m ，口3 = n ，则有 警= 一比缈? + 一吐) 叩：+ ( 一m ) f l o ： 选取正整数厶m ，n ，使得m e c l = o ，n m = 0 ， 中北大学学位论文 可得：些d t = - b l 缈警o 显然华：o 时，只有国。：x 3o ，一1 ) ：0 ，即石：o 或x = x ， a t 考察点集 ( x ，s ，) ：x = 五，s 0 ， 0 ) 的不变子集，事实上， x=x 3 j x = 0 ，a b x 一心= 0 ja b x 3 一c s = 0 j s = s 3 js = 0 ：令一dl + e x 一9 l = 0 j d l + e x 3 一= 0 j i = j 3 因此，这个不变子集只有一个平衡点e 3 = ( x ，s ，3 ) ，所以毛在内全局渐近稳定 可得如下定理： 定理2 4 当a e f l c d2 e + b d l 时，正平衡点e 全局渐近稳定，疾病最终成为地 方病 2 4 本章小结 本章主要讨论了食饵受密度制约，疾病在捕食者中流行的捕食与被捕食模型，得到 了平衡点存在以及局部渐近稳定的条件；通过构造适当的l y a p u n o v 函数证明了边界平 衡点巨和正平衡点毛是全局渐近稳定的由此可见，系统在参数空间的某些区域内边界 平衡点是全局渐近稳定的，在参数空间的另外一些区域内正平衡点是全局渐近稳定的 为了进一步验证结论的正确性，对模型( 2 1 ) 进行了数值模拟 在图2 1 中，假设初始值x ( o ) = 2 0 ，s ( o ) = 1 0 ，i ( o ) = 5 ，取参数a = 0 2 ，b = 0 0 6 ， c = 0 0 2 ，e = 0 0 0 4 ，夕= 0 0 3 ，d i = 0 0 2 ，d 2 = 0 0 4 ，贝i ja e = 0 0 0 0 8 ，b d i = 0 0 0 1 2 ，满足 条件a e b d 。，由图2 1 看出：经过一段时间后，被捕食者数量趋于常数，捕食者趋于灭 绝，疾病消除 1 4 中北大学学位论文 在图2 2 中，取参数a = 0 5 ，6 = 0 0 2 ，c = o 0 4 ，e = 0 0 0 4 ，= 0 0 3 ，d i = o 0 2 ， 畋= o 0 4 ，贝j ja e f l = o 0 0 0 0 6 ，b d l + c d 2 e = 0 0 0 0 0 1 8 4 ，满足条件a e f l b d i + c d 2 e 设 初始值x ( o ) = 3 0 ，s ( o ) = 1 0 ，( o ) - - - 5 由图2 2 看出：经过一段时间后，被捕食者、易感 捕食者和染病捕食者的数量均趋于常数，三者共存，疾病最终成为地方病 图2 1 模型( 2 1 ) 满足定理2 3 条件 a e b d 。的解轨线 图2 2 模型( 2 1 ) 满足定理2 4 条件 a e f l b d i + c d 2 e 的解轨线 中北大学学位论文 第三章具有扩散和移民的传染病模型的空间复杂性研究 本章讨论了一个具有扩散和移民的空间传染病模型，通过分析和数值模拟得到模 型的移动斑图，也就是说，当模型同时具有扩散和移民时，就会出现时间和空间上的周期 解进一步，通过色散关系公式，讨论了波长的变化以及产生空间斑图的条件所得到的 结果对于理解时空传染病的传播机制非常有用，对传染病的预防控制具有深远的意义 3 1 引言 近些年来，人们越来越关注那些新出现的并且具有高致病率的传染病，比如 s a r s 眦北1 ，h 5 n 1 型禽流感伽，h i v 嘶删，轮状病毒感染m ，e b o l a 陬例传染病模型的预测已 经广泛的应用在这些高危疾病中嘞5 出血性登革热( 简称d h f ) 这种传染病是由蚊子传播的疾病，每年大约有五千万到一 亿人感染据报道，泰国7 2 个省都存在着这种疾病并且这种传染病以行波形式来传播n 司 从泰国最大的城市一曼谷开始，以每月1 4 8 公里的速度放射状向周围的其他地方传播 c u m m i n g s 等嘶1 证明d h f 的入侵存在一种时空模式传播的行波但是他们并没有得到这种 波的传播机理 为了预防和控制传染病，研究病菌入侵的机理是非常重要的脚1 因此，空间流行病学 已经成为研究传染病空间相异性的原因及结果的一种基本学科它是用来研究疾病的发 生及种群的空间斑图的空间变异的1 用许多生态方法来研究病毒入侵会引起强烈的空 间斑图陬眠鹄5 7 鲫为了更好的理解这种周期震荡后的传染病( 如d h f ) 的传播机理，因此 有必要研究具有扩散和移民的传染病的空间斑图 本章组织如下，在3 2 节，给出一个具有扩散和移民的简单模型在3 3 节，分析这个 模型，得到这些参数的扩散关系在3 4 节，通过数值模拟，验证出现了行波斑图，并且计 算出了波长和斑图速度，最后，给出本章小结 3 2 模型的建立 描述传染病最简单的模型是s i r 模型模型中包括三类群体：易感者( s ) ，感染者 ( i ) ，移出者( r ) 1 6 中北大学学位论文 先引入下面的s i r 模型： 鼍i a - d s _ f l s 叩， 署钢叩叫小训， ( 3 1 ) 警叫哦 这里s ，j ，尺分别代表易感者、感染者和移出者的密度a 是投放率，d 是自然死亡率， 是因病死亡率，y 是恢复率非线性发生率s ，p 是l i uw m 等嘲川给出的在本章中，取 p = l ，q = 2 由于传播的自然局限性或感染的其它形式使得许多重要的传染病学和生态现象都 受到空间异质的影响m l 眈瑚1 ，进一步，许多研究者发现空间不均一性就像营养在空间范围 内的分配和交叉的不均一一样，这种不均一性主要是基于特定种群的移动是随机的，它 能对传染病扩散的动力学行为产生重要的影响旧，眠删因此，得到下面的反应扩散方程： 誊靠豳一# s z 2 + 妒最 塑a t = 口2 一( d + 7 + ) j + 皿v 2 j ， ( 3 2 ) 警叫一积+ 妒尺 这里v 2 = a 2 a 妒+ a 2 a y 2 是2 维空间中的拉普拉斯算子，d i ，破，d 3 分别代表易感者、感 染者和移出者的扩散系数 然而，在