（基础数学专业论文）一类渐近正齐次方程和带单侧限制方程解的存在性.pdf

果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： y - 6 4 2 4 s l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：盔鱼 日期： 迎z ：坚 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 作者签名：蕉鱼 日期： 塑女：生 摘要 本文主要利用f u z i k 谱的知识，采用连续同伦延拓的方法研究二阶微 分方程解的存在性问题全文分成两部分第一部分讨论渐近线性正齐 次方程d i l i c h l e t 边值问题，它属于函数两个方向增长均有限制的情形 我们分别给出了有解存在和有非平凡解存在的定理，并举例子加以证明 其有效性第二部分考虑更一般的s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题，并且仅对函 数的增长在一个方向上加以限制，属于极端情形作者提出并证明了存 在解的条件，从而推广了前人的一些具有单侧增长限制的结论 关键词：连续同伦延拓；f u n k 谱；单侧有限；非平凡解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rb a s e du p o nt h ek n o w l e d g eo ff u 6 i ks p e c t r u m ，w ed i s c u s st h e s o l u t i o n so f s e c o n do r d e r sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b ym e a n so f h o m o t o p y c o n t i n u a t i o n m e t h o d s i tc a nb ed i v i d e di n t ot w op a r t s i nt h ef i r s t p a x tw ei n v e s t i g a t et h e d i l i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ra s y m p t o t i c a l l yh o m o g e n e o u s e q u a t i o n s t h e n o n l i n e a rf u n c t i o n si nt h ee q u a t i o na l el i m i t e di nb o t hd i r e c t i o n s w ep u tf o r w a r d t h et h e o r e m sn o to n l yf o rs o l u t i o n sb u ta l s of o rn o n t r i v i a lo n e s s o m ee x a m p l e s a r ep r e s e n t e dt os h o wt h a to u rt h e o r e m sa l ee f f e c t i v e i nt h es e c o n dp a r t ，w et a k e m o r eg e n e r a l l ys t u r m - l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi n t oa c c o u n t w eo n l y g i v eal i m i tt ot h ef u n c t i o ni no n ed i r e c t i o n t h i sk i n do fc o n d i t i o n sb e l o n g st o t h ee x t r e m ec a s eo fa s y m p t o t i c a l l yh o m o g e n e o u sc o n d i t i o n s w ea l s od i s c u s st h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n de x t e n ds o m ek n o w nc o n c l u s i o n s k e y w o r d s ：h o m o t o p yc o n t i n u a t i o n ；f u 6 i ks p e c t r u m ；l i m i ti no n ed i r e c t i o n n o n t r i v i a ls o l u t i o n s 4 前言 常微分方程是一门古老的学科，它的历史可以追溯到发明微积分的年代 目前，常微分方程已经发展成为数学中一个庞大的分支讨论微分方程解的存在 性及解集结构的理论，方法和结果已经越来越受到人们的关注我们把求满足微 分方程和已给边界条件的特解的问题称为边值问题如今，许多数学和物理问题 都可归结为微分方程边值问题；在科学技术，生产实际中也提出了大量的微分方 程边值问题 微分方程各种边值问题解的存在性，多重性和有界性等性质的讨论是微分 方程领域内人们所关心的基本问题，其中和d u f f i n g 方程相关的研究工作主要集 中在两方面一种是讨论h a m i l t o n 系统的周期解问题( 满足周期边值条件的解) 它是当代数学前沿的重大课题之一，长期以来一直受到数学与物理界的很大关注 r a b i n o w i t z 最小周期解问题，紧凸超曲面上闭特征结构问题以及渐近线性h a m i l t o n 系统周期解的多重性问题吸引了大批优秀的数学家：p r a b i n o w i t z 2 1 1 等人发展了 求泛函临界点的极小极大方法，张恭庆 1 2 】将m o r s e 理论发展到无穷维空间上去， i e k e l a n d 2 5 对凸的h a m i l t o n 系统建立了m o r s e 型指标理论，龙以明【2 4 】建立了辛 道路的指标理论等等这些理论直接或间接的为h a m i l t o n 系统周期解问题做出了 巨大的贡献此外，j m o s e r ，a w e i n s t e i n ，r b o t t 等数学大师都从事过h a m i l t o n 系 统周期解问题的研究另一种是讨论椭圆方程d i l i c h l e t 边值问题其解各种性质 的研究是偏微分方程理论中的核心问题之一 同时，很多学者从事d u f f i n g 方程的研究d u f f i n g 方程是一种特殊的形式， 它可看作是h a m i l t o n 系统与椭圆方程的交叉点相较于后两者，d u f l i n g 方程的形 式比较简单，其结果也更精细更完整它既可以作为研究h a m i l t o n 系统和椭圆方 程的模型，又可以揭示出非线性问题的一些本质，所以d u f 丑n g 方程及一般的二阶 常微分方程各种边值问题解的存在性和多重性的研究很自然地就成了常微分方程 5 及动力系统领域内人们关一c , - 的热点问题j m a w h i n 4 ，2 6 】先后写了两本书，从研究 常微分方程各种边值问题解的存在性和多重性的角度出发，整理并发展了强有力 的非线性分析方面的理论和方法，主要是拓扑度延拓方法和临界点理论这两本 书已经成为了经典的文献和h a m i l t o n 系统类似，根据方程中函数的非线性项， d u m n g 方程聋+ ，( t ，z ) = 0 通常分成三种情况进行研究。即非线性项满足超线性， 次线性和渐近线性条件，不同的条件一般采用不同的方法 本文主要采用的方法是连续同伦延拓法，它是处理非线性微分方程解的存 在性问题的最常见，最重要的方法之一它的核心思想是通过证明某特定同伦方程 族的所有可能解有一个先验界，从而来保证原方程的可解性本文的安排主要是这 样t 第二章研究比d u f f i n g 方程更加广泛的二阶r 8 y l e i g h 方程d i l i c h l e t 边值问题， 在渐近正齐次条件下讨论了非平凡解的存在性第三章讨论d u f f i n g 方程s t u r m l i o u v i l l e 边值问题解的存在性我们假设非线性项满足单侧增长限制条件，这种条 件既不是渐近线性条件也不是超线性条件，而是这两种条件的某种混合第一章 给出本文所用到的基础知识，包括广义f u e i k 谱的分类知识，l e r a y s c h a u d e r 度的 一些性质及同伦延拓方法等 6 第一章基础知识及本文主要结果 在本章中主要给出文中所要涉及的定义。以及一些已经熟知的结果以便在后文 中使用本章的最后列出了本文的主要结果 1 1f u 6 i k 谱理论及连续同伦延拓定理 1 9 8 0 年，f u e i k 考虑正齐次方程d i l i c h l e t 边值同题： ( t ) + 妒+ ( 幻一。一( t ) = 0 ( 1 。1 ) z ( 0 】= 0 = z ( 1 )【1 2 j 这里z + = m a x x ，o ) ，z 一= m a ) c 一。，o ) 定理i 1 边值问题( 1 1 ) - ( 1 2 ) 有非平凡解的充分必要条件是下列条件之一成立： ( 1 ) v = ”2 ，p 是任意的； ( 2 ) v 是任意的，p = 2 ； ( 3 ) p l ，v 1 ，筹。n ； ( a ) p ，” - ，兰：帮”n ； ( s ) 肛 - ，” ，型! ：拶”n 注：记 四= ( p ，p ) r 2 i ( p 一? r 2 ) ( p 一2 ) = o ) 瓯：f ( p ，) l ：t 2 ip k 2 7 r 2 ，p o ，p = 粤) “。一 h 瞑： ( p ，) r 。lp k z 。， o ，。 ：生毕 “z 一 ；w u ( p ，v ) r 2 ip ( + 1 ) 2 ”2 ，v 。，v 52 ：靠) 我们称四u 【u 釜1 ( o k uq ) 】为广义特征问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的f u i k 谱 f u b i k 谱中的这些点( “”) 的图形( 曲线) 将，j v 平面分成可数多个连通区 域，若记其中与直线p = ”相交的区域依次为岛，s 。， 3 2 ，( 见下页图) 7 f u 亡i k 证明了非线性边值问题： z ”( t ) + p z + ( t ) 一1 1 2 7 一( t ) = ( t )( 1 3 ) z ( 0 ) = 0 = z ( 1 )( 1 2 ) 至少有一个解，如果( p ，p ) 最，l 1 ( 0 ，1 ) 在 8 】中作者考虑了下列边值问题： z ”( t ) + q + 0 ) $ + ( t ) 一q - ( ) 。一( ) = 0( 1 4 ) z ( o ) = 0 = 。( 1 )( 1 2 ) 这里q + ，q 一l 1 ( o ，1 ) 我们把使上述边值问题存在非平凡解的( q + ，q 一) 的集合称 为广义f u b i k 谱为了对这种边值问题进行分类讨论，需要考虑下列初值问题t 妒= c 0 8 2 妒+ g + 0 ) s i n 2 妒+ + q - ( t ) s i n 2 妒一( 1 5 ) 妒( 0 ) = ，y( 1 6 ) ! 这里l p + = p ，| p 一= 0 当妒( m o d2 7 r ) ( 0 ，7 r ) ；p + = 0 ，妒一= i p 当| o ( m o d2 丌) ( 霄，2 丌) 记其唯一解为妒= 妒( t ，叮士，7 ) 定义1 2 记( q + ，q 一) 7 f ：如果妒( 1 ，g 士，0 ) ( n + 1 ) 7 r ，l p ( 1 ，q 土，f ) 一，r 之( n + 1 ) 7 r ， 并且这两个关系式中至少有一个等式成立；记( q + ，q 一) e 咒i 如果妒( 1 ，q 士，o ) 冬 ( n + 1 ) 丌妒( 1 ，q 士，”) 一7 rs ( n + 1 ) 7 r ，并且这两个关系式中至少有个等式成立 8 定义1 3 记( 矿，g 一) ，_ n 当且仅当矿，q 一l 1 ( o ，1 ) 且满足( n + 1 ) 7 r 妒( 1 ，口士，o ) ( n + 2 ) 霄，( 竹+ 1 ) 7 r 0 ，q l ( t ) 茎q 2 ( t ) ，t 0 ，l l - 又设。= 。( t ) ，= ( t ) 依次是方程： 0 l ( t ) t ，) ，+ q l ( t ) 。= 0 ( p 2 ( t ) ) + q 2 ( t ) y = 0 在区间【o ，l 】上的解若存在t l ，t 2 【0 ，1 ，使得： 。0 1 ) = z ( t 2 ) = 0 ，z ( t ) 0 ，t 0 l ，t 2 ) 则至少存在一点t o t 2 ，使得0 ( t o ) = 0 1 2 本文主要结果 首先把本文的主要定理列出如下 定理2 2 设n 是一正整数，如果 1 0 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 ) 存在函数a ，b ，c ，d ，p ，q ，r ，s 三1 0 ，1 】，使得下列不等式对于t f 0 ，1 】一致成立 。( ) sl i r a i n f 地掣冬l i r a s u p 刿 6 ( t ) y - - 。+ o o ，_ + y 一 c ( t ) 5l i r a i n f 盟型 y p ( t ) sl i 。i f 韭苎坐 r ( t ) l i r a i n f 捌 sl i r a s u 。p 掣洲 卜一f 5l i r a s u p 啦掣茎口( t ) z 斗+ l i m ，s u p 啦掣s s ( ) $ - 一o o 山 ( 2 ) 对于v t 【0 ，1 ，o ( ) 6 ( t ) s0 ，c ( t ) d ( t ) 0 ，r ) ，( 口，s ) ， ( 3 ) ( a ，b c d ，p ，口，r 5 ) 是非共振的 那么以下方程有解存在： z ”+ ( t ，。，茹) + g ( t ，。，。7 ) + h ( t ，g ，z ) = 0 x ( o ) = 0 = z ( 1 ) 足埋2 8 设n ，m 是正整效，如果定理2 2 的条件全部成立，同时还满足： ( 1 ) 存在函数o o ，b o ，c o ，勘，p o ，q o ，功，5 。l 1 ( o ，1 ) ，使得下列不等式对于几乎处处的 t o ，1 】一致成立； 州雌t 卅i m i n 。f 掣 0 ，。一( t ) 一p x o ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) 是边值问 题( p ( t ) z ( ) ) + 口0 ( t ) z ( t ) = 0 和z ( o ) e o s f 2 一p ( 0 ) 。( 0 ) s i n a = 0 ，。( 1 ) c 0 8 卢一 p ( 1 ) z ) s i n 3 = 0 的非零解 那么，方程： ( p ( t ) z ( t ) ) + 的( t ) 。( t ) + h ( t ，z ( ) ) = 0 x ( o ) c 0 8 0 p ( 0 ) z ( 0 ) s i n 口= 0 。( 1 ) c 0 8 卢一p ( 1 ) 。( 1 ) s i n f l = 0 至少有一个解存在 定理3 3 假设以下三个条件满足： ( 1 ) 当l 。l2r ，a e t ( 0 ，1 ) 时，h ( t ，z ) z o ； ( 2 ) 当z r ，8 - e t ( 0 ，1 ) 时，存在某一函数f ( t ) l 1 ( o ，1 ) ，使得i ( ，。) l f ( t ) ； ( 3 ) z 1 坤，叫啪州删t 0 ，存在五，蟊，矗l 1 ( o ，1 ) ，使得： f ( t ，z ，y ) l 二( t ) ，对于所有的ly sr ，z r ，a , e t ( o ，1 ) 成立； 9 ( t ，。，9 ) i s 蟊( t ) ，对于所有的izl r ，y r ，o e - t ( o ，1 ) 成立； h ( t ，z ，) l ( t ) ，对于所有的。，v r ，o t e t ( o ，1 ) 成立 很多人讨论过这个方程或是它的简化形式，如【2 中( 1 4 ) ，倒甲( 1 1 ) ，寺，昔征 3 j 中，a f o n d a 和p h a b e t s 讨论了r a y l e i g h 方程( 2 1 ) 的特殊形式：茁+ ，( ，) + 9 ( ，z ) = e ( t ) 本章主要是考察在渐近正齐次条件( 记为假设a ) 下的方程。 假设a ：存在函数a ，b 矗d ，p ，q l r l s l 1 0 ，1 ，使得下列不等式对于t 0 ，1 一致 成立， n l 州i r a i n 。f 掣 l 卅i m s u 。p 掣 6 c ( t ) l i r a i n 。t 掣sl i r as u 。p 掣 d ( d p ( t ) sj 蜊掣l i r a s u 。p 业掣矧) r ( 约l h n i n f 亟竺盟冬l i r as u p 巫孥盟s ( t ) # _ + 一o z - + 一o o z 本章的二至四节主要是围绕方程( 2 1 ) ( 2 2 ) 解的存在性来讨论其中，第二节 作者给出在假设a 条件下方程( 2 1 ) ( 2 2 ) 有解的定理2 2 并为证明定理2 2 做些 准备工作；第三节主要是讲定理2 2 的证明过程，在第四节中给出了具体的例子用 1 3 以说明定理2 2 的有效性更进一步地，在第五节中，作者适当增强条件后，提出 了使方程( 2 1 ) 一( 2 2 ) 存在非零解的定理2 5 并通过几个引理对其证明 文章将会碰到的一些记号首先列出to + ：= m n 。扛，o ) ，r ：= m o o 一z ，o ) 对 任意的o ，b l 1 ( 0 ，1 ) ，a b 表示a ( t ) b ( t ) 对于t ( 0 ，1 ) 几乎处处成立；a b 表示 a b ，并且a ( t ) b ( t ) 在( o ，1 ) 的某个非零测度子集上成立任给u ，a ，b l 1 ( 0 ，1 ) ，u ，6 表示a “b 成立r u e s a 表示集合a 的测度本章中的范数是指c 1 范数， 即：忪| | ：= m a x ，7 1 a xl z ( t ) i ，m i 一( t ) | ：t e o ，l 】 b ( 0 ，r ) 表示c 1 空间中以0 为球 心，r 为半径的球；可丽是它的闭包w 2 ，x ( 0 ，1 ) ：= 扣：【o ，1 】_ + r 矽l i ( 0 ，1 ) ) ， w 0 2 , 1 ( o ，1 ) ：= x w 2 , 1 ( o ，1 ) ix 满足边值条件( 2 2 ) ) 2 2 一些重要的结论 为了下文叙述的方便，我们首先给出一个定义 定义2 1 设连续的函数o ，b ，c ，d ，p ，q ，n8 ： o ，1j _ r 满足假设a 若： v u l o o ( o ，1 ) ，f = 1 ，2 ，3 ，4 且t l 【a ，6 ，u 2e c ，d 】，u 3eb ，训，u 4 r ，s l ， 方程 。”+ u 1 ( t ) c x ) + 一u 2 ( ) ( 一) 一+ u 3 ( ) 。+ 一u 4 ( f ) z 一= 0( 2 3 ) z ( 0 ) = 0 = z ( 1 )( 2 2 ) 只有平凡解，则称( a ，b ，c ，d ，p ，q ，ns ) 是非共振的 注：此定义的合理性我们将会在本节的最后给出，即指出存在a b ，c d ，p q ，r s ，使得( a , b ，c ，d ，p ，q ，即) 是非共振的 本节的主要定理叙述如下： 定理2 2 设n 是一正整数，如果， ( 1 ) 假设a 成立； ( 2 ) 对于vt 【0 ，l 】，d ( t ) 6 ( t ) s0 ，c ( 0 d ( t ) s0 ，( p ，r ) ，( q ，8 ) j ( 3 ) ( b ，b ，c ，d ，p ，q r s ) 是非共振的 那么方程( 2 1 ) - ( 2 2 ) 有解存在 注：定理2 2 条件( 2 ) 中的凡是有关于广义f u a i k 谱的知识 1 4 考虑初值问题； ；高竺雩? + 州”“n 2 矿+ “幻豇舻妒一 这里妒+ = p ，p 一= 0 ，当妒( m o d2 7 r ) ( 0 ，7 r ) 时； p + = 0 ，妒一= 妒，当 p ( m o d2 丌) ( ”，2 r ) 时记妒= 妒( t ，p ，g ，7 ) 为其唯一解由【8 ，定义3 】，0 ，口) ，的充分必要条件 为：当n = 0 时，l p ( 1 ，p ，q ，0 ) r ，p ( 1 ，p ，q ，丌) 2 7 r ；当竹n 时，n 丌 妒( 1 ，p ，q ，0 ) ( n + 1 ) 丌，n 7 r 0 ，j5 0 ，当i t l 一缸i 刍时，有i “( t i ) 一以( t 2 ) j 0 令，= 叠：鑫1 】 所以露，小t 。一( 0 一；) 】d t = 厶n 一( 。一丢) 】出。 令n - + 。，有t 厶阻l 一4 】d t 0 ，即得u l ( t ) n ( t ) 同理可得u l ( t ) 6 ( t ) ，即有zt 1 ( t ) 【口( t ) ，6 ( t ) 】 1 6 同理，我们得到t u 2 ( t ) 【c ( t ) ，d ( t ) 】u 3 ( t ) 扫( t ) ，q c t ) ，u 4 ( 0 【r ( ) ，s ( 吼 由已知条件可得方程( 2 8 ) - ( 2 9 ) 只有零解，即y = 0 ，与i l y l l = 1 矛盾所以，方程 ( 2 3 ) 一( 2 2 ) 只有平凡解，即t ( o e ，6 + e ，c s ，d + s ，p s ，q + e ，r e ，8 + e ) 非共振 引理证毕 下面说明定义的合理性 若。= b = c = d = 0 ，方程( 2 3 ) ( 2 2 ) 即化为： + t a 3 x + 一u 4 x 一= 0 z ( o ) = 0 = x ( 1 ) 当b 3 咖，g ，u 4 r ，3 ，且0 ，r ) ，( q ，s ) 只；时，( 0 ，0 ，0 ，o ，p ，q ，r ，3 ) 具有非共振 性根据引理2 3 ，可知存在一个很小的正数s ，使得： ( 一，一，p e ，q + e ，r e ，s + e ) 也具有非共振性 2 3 定理2 2 的证明 主要是通过l e r a y s c h a u d e r 延拓原理和拓扑度理论来对定理2 2 进行证明 定理2 2 的证明由引理知，存在某一正数使得t u ：【a e ，b + 】，u ；【c e ，d + e 】，u ；陋一，q + l ，u ：【r e ，s 十e 且： ”+ “i ( 茹) + 一珏；( z 7 ) 一+ ；z + 一u i z 一= 0 x ( 0 ) = 0 = 。( 1 ) 只有平凡解x - - - - - - 0 定义算子： l ：d o m l 叶l 1 ( o ，1 ) ，l x ：= ：l 1 ( 0 ，1 ) l 1 ( 0 ，1 ) ，n z ( t ) ：= i ( t ，z ，一) + g ( t ，。，。) + h ( t ，z ，z ) g ：l 1 ( o ，1 ) 斗l 1 ( o ，1 ) ， g z ：= u ；( 一) + 一“；( 。) 一+ “；。+ 一t ；z 一 其中d o t a l ：= 。w 2 ，1 ( 0 ，1 ) j ( o ) = 0 = 。( 1 ) ) 方程( 2 1 ) 可表示为l z + n x = 0 1 7 考虑同伦问题。 l z + r n z + 1 一f ) g z = 0 x ( o ) = 0 = x ( t ) ( 2 。l o ) ( 2 2 ) 应用l e r a y - s c h a u d e r 延拓原理，下面首先证明( 2 1 0 ) - ( 2 2 ) 的解在c 1 范数i 的意 义下是有界的否则，假设存在 $ 。 c ：”， ) c ( o ，1 ) ，i l 。”- + m _ + o 。) ， 且满足t l x n + r n n x 。+ ( 1 一r ) g x 。= 0 # n ( o ) = 0 = z 。( 1 ) 令y n = ：r n l l x nj | ，则| | | | = 1 在( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 两边均除以l i z 。 可得t l y n + i l z n 旷1 。+ ( 1 一) g = 0 ( o ) = 0 = y n ( 1 ) 由假设a ，存在一个正整数r ，使得； a ( t ) 一e 冬f ( t ，z ，) 口b ( t ) + - cy r c ( t ) 一sf ( t ，z ，y ) d c t ) + ey 一r p ( t ) 一e g ( t ，。，y ) xsq ( t ) + 。r c ( t ) 一e 兰g ( t ，z ，u ) xss ( t ) + e一r 定义： ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 。1 3 ) ( 2 1 4 ) u 。：= ：；屯。n ，z ：7 z ：! i ：u 。：= 錾岛。n ，。：7 z ： ； 一- - ，r 一j g ( t ，研。，矗) z nz 。r jg ( t ，。，z ：) l z 。研；一r 奶“2 i u ；z 。 一r 由于u 。( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是有界的，所以t 讯一蛳在工2 ( o ，1 ) 中 0 ，使得( 2 1 0 ) 一( 2 2 ) 的解 满足i i x l i r 则( 2 1 0 ) - ( 2 2 ) 的解在b ( 0 ，r ) 内所以将原方程写成算子方程； l x + n x = 0 ，即。+ l 一1 n x = 0 记d ( - ，) 为l e r a y s c h a u d e r 度，所以可得： d ( i + l 一1 n ，b ( o ，兄) ，0 ) = d ( z + l - 1 g ，b ( o ，r ) ，0 ) 最后由拓扑度理论，只需证明d ( i + l g ，b ( o ，r ) ，0 ) 0 由于同伦不变性，我们可 设u ：= 鹕= 0 ，则0 。：= ；z + 一t ；z 一，并且( “；，u ；) 咒由【4 ，p a g e1 5 - 1 6 】或 8 l e m m a 1 9 ，可知td ( z + l - t q ，b ( o ，r ) ，o ) 0 所以d ( i + l 一1 8 ( o ，r ) ，o ) 0 ， 所以方程( 2 1 ) - ( 2 2 ) 至少有一个解存在 2 4 定理2 2 的应用举例 下面，文章给出分段函数的例子，说明非共振性 命题2 4 假设协) 罂oc 0 ，l 】，协 任2 n o + 2c 0 1 】，0 = t o t l 2 。= 1 ， 0 = 8 0 8 1 ( s j 一勺一1 ) ( 一碍) 1 2 d r c c d s ( 岛、，百) 其中i = i ，2 ，2 n j = 1 ，2 ，2 n + 2 如果v “1 ，u 2 ，b 3 ，b 4 l 。( o ，1 ) ，满足i m i n u s ，u 4 九，m n z iu 1 ，lu 2f ) s2 a i t ( t i 一1 ，t 1 ) m i n u 3 ，“4 ) ， 1 8 $ iu li ，l “2l s2 岛t ( s j l ，勺) 其中i = 1 ，2 ，2 n = 1 ，2 ，2 n + 2 则方程t 嚣”+ “l ( t ) ( z 7 ) + 一u 2 ( t ) ( 互) 一+ 钍3 ( t ) 。+ 一u 4 ( t ) x 一= 0( 2 3 ) z ( 0 ) = 0 = x ( 1 )( 2 2 ) 只有平凡解 证明t f l ：x = x ( t ) 是( 2 3 ) 的满足 ： ；) ：j 的非零僻，只需证明。( 1 ) 。即 可 令r ( t ) = 正币再- i 砜可f ，。( t ) = r ( t ) s i n 妒( t ) ，z 协) = r ( t ) c o s t p ( t ) 令妒( o ) = 0 ，所以我们只需要证明妒( 1 ) ( n ”，( n + 1 ) ”) 通过简单计算，求得： r c o s 2 l p + u l s i n w c o a q p + u 3 s i n 2 妒， 妒( 仃l d d 2 丌) ( o ，暑) 巾，= = ：寒= 篇黧描主嬲 【c 0 8 2 妒+ t l l s 打l 妒渊p + u 4 s i n 2 妒， 妒( r n d c 恐丌) ( 挚，2 7 r ) 所以，妒( t ) s 2 妒+ a i s i n 2 妒一2 a i3 f l ”d s 妒i 两边积分t 孤丽而普打面丽出独吨一- 厂妒( h )1 上m 1 ) 丽万两面万与百陌顽丽瑚副t - - t i - 1 当i = l 时。 ，妒( 1 )1 上丽万万面两三酉再丽硼到r 幻 因为， 厂一棚= 丽a r c c o s c - ；舞7 ) c o s 2 0 + a l s i n 。o - 2 a 1 is i n o c o s o 0 棚2 弋丙可 所以妒( t 1 ) 7 r 2 同理可反复推导妒( 如) i , r 2 ，i = i ，2 ，2 n 当i = 2 n 时，妒( 1 ) n 7 r 同理从另一个方向可证i p ( 1 ) m + 1 ) 7 r 命题证毕 注t 此命题参考了【5 中命题3 的证法 最后将命题2 4 进一步推广，由推广后的命题2 5 可以导出 5 】中的命题3 命题2 5 假设札 c 0 ，1 ，h ) 搿c o ，1 ，满足：0 = t o l t 。= 1 0 = q o 3 1 7 r 反复推导后得l p ( t 。) 一o ( t o ) n 7 r ，即；妒( t 。) n ” 2 5 非平凡解的存在性 经过前面的讨论，我们已经证明了在渐近线性条件下方程( 2 1 ) - ( 2 2 ) 有解存在 的情况接下来我们适当增强条件，考虑存在非平凡解的情况 假慢b ：仔征盥双a o ，6 0 ，c o ，d o ，p o ，q o ，r o ，8 0 山1 【0 ，i 】，使得r 岁u 小等式盯十儿半处处 的 o ，i 】一致成立： 础) 1 ，所以寺 1 ， j 口( 耳) d ( x + l - 1 n ，s ( o ，r ) ，0 ) = a ( 1 + l - 1 0 0 ，b ( 0 ，r ) ，o ) = ( 一1 ) “ 同理，当r 0 充分小时，可得td ( j +