（应用数学专业论文）球面三角形上的数值积分公式的构造.pdf

球面三角形上的数值积分公式的构造 中文摘要 本文主要研究定义在球面三角形上函数的数值积分，通过积分的插值多项式 函数构造具有多项式精度的插值型求积公式，以及给出精确计算球面三角形上多 项式函数方法通过把其定义域上的积分化为平面单纯形 h = ( “。，“：，鸭) ： “，+ “：+ “，= 1 ，u 1u 2 ，u 39 0 a 的积分，然后利用平面单纯形上数值积分公式给出 其在球面三角形上的对d 次齐次多项式精确成立的g a u s s 求积公式的构造方法 还给出了基于平面单纯形上g a u s s 型求积公式的一种近似求积公式，这种方法确 定求积结点与求积系数比较简单，从而更具有应用前景 关键词：球面三角形；插值型求积公式；g a u s s 求积公式 中图分类号：0 2 4 1 4 球面三角形上的数值积分公式的构造 a b s t r a c t t h em a i np u r p o s ei st oc o n s t r u c tc u b a t u r ef o r m u l a eo na na r b i t r a r ys p h e r i c a lt r i a n g l e f i r s t l yam e t h o df o ra c c u r a t e l yc o m p u t i n gt h ed e f i n i t ei n t e g r a lo fs p h e r i c a l p o l y n o m i a lf u n c t i o n so i las p h e r i c a lt r i a n g l ei sp r o p o s e d t h e ni n t e r p o l a t i n g c u b a t u r ef o r m u l a ei sg i v e nb a s e do nl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nf o r m u l a e s e c o n d l yi tm a k eu s eo ft h ec u b a t u r ef o r m u l ao nt h et r i a n g l et oc o n s t r u c tc u b a t u r e f o r m u l a eo nt h ec o r r e s p o n d e n ts p h e r i c a lt r i a n g l e f i n a l l ys o m et a b l e st os h o wt h e e x a c tp o i n t sa n dc o r r e s p o n d e n tc o e f f i c i e n t sa r eg i v e ni nt h e s ef o r m u l a e k e y w o r d s ：s p h e r i c a lt r i a n g l e ；i n t e r p o l a t i n gc u b a t u r ef o r m u l a e ；g a u s sq u a d r a t u r e f o r m u l a e 球面三角形上的数值积分公式的构造 绪论 本文研究定义在球面三角形上函数的数值积分及其应用数值积分的计算是一个有着 悠久历史的课题，由于大多数定积分无法准确计算，人们一直咀来都在关心有没有方法，可 以既准确，又快速的计算数值积分大约在一个多世纪以前 1 ，2 1 ，人们就发现了直交多项 式与数值积分精度之间的关系，并发展出一整套构造g a u s s 型求积公式的理论和方法随着 科学技术的发展，人们对于数值积分也有了越来越深入和广泛的研究上个世纪四，五十年 代起，人们开始研究高维空间上的数值积分随着r a d o n 3 的7 点5 次公式建立，高维空间 上的数值积分的求积节点和直交多项式的关系也渐渐被人们揭示上个世纪a ，七十年代 通过s t r o u d 4 - 6 】，m y s o v s k i k h 7 ，s o b o l e v 8 等人的卓越工作，多元直交多项式和高维空间上 积分公式的求积结点数与求积精度联系的理论逐渐成熟，尽管还有许多问题没有解决 近年来，在许多科学领域里，比如在研究天气预报，大气物理、地质地貌等关于地球的 许多学科中，人们发现传统上定义在二维平面上的函数无法很好地描述实际问题，所以有更 多的学者转向研究定义在球面上的函数及其各种性质，自然在球面上数值积分公式也是人们 关注的重点之一 目前，对于定义在整个球面上的函数的数值积分公式的构造，人们已经取得很多成果， 例如s l o a n | g 在构造球面上的多项式逼近时，就运用了多种数值积分公式在f r e e d e n ， g e r v e n s 和s c h r e i n e r 的著作( c o n s t r u c t i v ea p p r o x i m a t i o no nt h es p h e ew i t ha p p l i c a t i o n st o g e o m a t h e m a t i c s ) ) 中也介绍了一些球面上的数值积分公式但是另一方面，例如在使用有限 元方法或研究对象局部球面时，人们还希望研究局部和分片的球面上的函数a l f e l d ， n e a m t u 和s c h u m a k e r ( 1 9 9 5 ) 年利用了定义在球面三角形上的球面b e z i e r 多项式函数 ( s s 8 p o l y n o m i a l ) 构造了球面样条函数( s p h e r i c a ls p l i n e s ) 1 0 ，但遗憾的是他们未能深入讨论 定义在球面三角形上多项式函数的积分公式， 而是通过梯形法( t r a p e z o i d a lr u l e ) 求积分 本文的目的就是想给出一个更加精确的计算积分的方法。本文所涉及的内容主要有：一维空 间上的g a u s s 型求积公式的构造，求积节点与直交多项式之间的关系。 高维空间上直交多 项式与求积公式之间的关系，将重点讨论球面三角形上函数的积分公式的构造。 文章的第一部分是对前人工作的介绍和总结。主要阐明了g a u s s 型求积公式由来，概 念也就是希望以最少的求积节点数，达到给定的求积精度；或者希望在给定求积节点数 球面三角形上的数值积分公式的构造 的情形下，达到最高的求积精度当然还有一些方法和例子。 文章的第二部分既是对前人工作的总结，也为第三部分所需要引j = | j 到的知识作了铺垫。 这部分系统介绍了直交多项式与求积公式之间的关系和理论，并且给出了一些实例。 文章的第三部分，主要是介绍我的工作，即通过积分的插值多项式函数构造具有多项式 精度的插值型求积公式，以及给h 精确计算球面三角形r 多项式函数方法。给出了基于平而 单纯形上g a u s s 型求积公式的一种近似求积公式，这种方法确定求积结点与求积系数比较简 单，并汇总了在低次情形下求积结点和求积系数的表格，以方便读者的使用。 球面三角形上的数值积分公式的构造 第一章基础知识 1 1 数值积分概述 数值积分一般讨论定积分的近似计算问题从微积分学中我们知道绝大部分定积分无 法利用n e w t o n l e i b n i t z 公式 f a x ) d x = 【r ，。) 出】二 来计算原因是，我们常常无法利用初等函数去表示原函数，f ( x ) d x 例如，对于概率积 分与椭圆积分 p ( f ) = 知e 。出( ? t c o 。) 和 e o ) = j ：瓜瓦蕊( ( o f 幼l 来说。我们就遇到上述困难，冈此不得不考虑定积分的近似计算问题 本文中我们主要研究具有如下形式的求积公式： j ：p ( x ) f ( x ) d x 一耋4 ，心) ( 1 1 ) 其中为求积公式的节点，a k 为求积系数通常称右端的和为求积和；又称 。2 fp ) f ( x ) d x 一羹4 ，) 为求积误差有时也将被积公式写成 f p 。) f ( x ) d x = 薹4 ，瓴) + e ， 在( 1 1 ) 中，【a , b 】是实直线上的有限或无限区间；函数p ( 茁) 是已知的固定函数且常常假 设p ( x ) o ，我们把它称之为权函数此外，我们还假定积分 p ( x ) f ( x ) d x ，f p ( x ) 矿d x ( 优= o ，坛) 总是存在的，并且函数f ( x ) 在点x a ，工2 ，矗处是有定义的 一般来说，求积公式( 1 1 ) 中的节点墨和求积系数4 可以按所希望的方式随意选取自 球面三角形上的数值积分公式的构造 然，我们希望通过h 和4 的选取使得在某种意义下求积误差尽可能的小 概括来说，数值积分问题需要解决三个主要问题：i ) 求积公式的具体构造；i i ) 精确度 的衡量标准；i i i ) 误差的估计为了解决问题i ) ，我们必须合理的选取节点墨，x 2 ，x n 和 求积系数4 ，4 ，4 ：为了解决问题i i ) ，我们将引进代数精度的概念；至于问题i i i ) 则将借助于插值多项式的余项估计公式来解决 由w e i e s t r a s s 多项式逼近定理可知，对于闭区间上的连续函数，都可以用多项式去 致的逼近它也就是说，可以用多项式函数作为它的最简单的近似函数一般说来，多项 式的次数越高，其近似连续函数的程度也就越高，因此我们联想到用多项式的次数作为衡 量求积公式精确性程度的标准 就形如( 1 1 ) 的求积公式来说，假设对f ( x ) 为次数小于m 多项式，( 1 1 ) 恒精确成立，而 当，o ) 为，l + 1 次多项式时，( 1 1 ) 不精确成立，则称公式( 1 1 ) 的代数精度为j ，1 容易看出 m 越大，对一般的连续函数f ( x ) 而言，用次数不高于m 的多项式p 0 ) 去近似f ( x ) 也就越 好，即：! 瑟i ， ) 一p ( x ) 1 2 屯就越小，因而( 1 1 ) 的误差也就越小实际上 色一i f p ) ， ) 出一薹4 ，( 坼) i 2 i f p 。) 【厂 ) 一p 。) 】如一耋4 【，( 屯) 一p ( k ) 】 f p o ) 以出+ a i d 。 由此可见，引进代数精度的概念作为衡量求积公式的精度是十分自然的 下面的定理说明了具有代数精度的求积公式的存在性 定理1 对于任意给定的n 个不同的节点节点墨，屯，有常数4 ，4 ，4 ， 使得 当，0 ) 是次数小于，l 一1 的多项式时求积公式( 1 1 ) 精确成立，即 f p ( x ) 厂 ) 血= 薹4 ，) 证设已给定点，并且n 一1 0 ) 是函数f ( x ) 在这些点上的l a g r a n g e 插值多 2 球面三角形上的数值积分公式的构造 项式，即 ，o ) = p 。0 ) + e ， 此处 见一- ) 2 荟o ) ，( ) o ) 2 。) 7 一x d , o a 工d ，o ) ； 一t ) o 一) 于是 定义 则( 1 2 ) 变为 j ：p ( x ) f ( x ) d x = f p ( x ) p 一。o ) 血+ f p ( x ) e ：d x ( 1 2 ) 4 = f p o ) o ) 出 仲；1 ，n ) ( 1 3 ) f p ( x ) i ( x ) d x = 荟n4 ，) + f p o ) t 出 ( 1 4 ) 但是，若厂0 ) = 吼。0 ) 是次数小于n 一1 的多项式，则， ) = 以一。o ) ，这意味着 e ，s 0 ，所以 证毕 f p ( x ) e ，d x o 注意，上述定理并没有要求x k 一定要属于区间【a ，b 】另外，定理1 只是断言了，当4 由 ( 1 3 ) 决定时，( 1 1 ) 对于一切次数小于n 一1 的多项式时精确成立的；对于较高次的多项式可 能是精确的，也可能是不精确的换而言之，定理1 说明( 1 1 ) 的代数精度d h 一1 我们称求积系数由( 1 3 ) 确定的求积公式为插值型求积公式由于对次数不超过n 一1 次 的任一多项式f ( x ) 来说，e ，一0 。所以n 个节点的插值型求积公式的代数精度d h 一1 反之，容易证明，代数精度d n 一1 的n 个节点的求积公式一定是插值型求积公式事实 上，因l a g r a n g e 插值多项式0 ) 是玎一1 次多项式，因求积公式的代数精度d n - 1 ，因 此该求积公式对 ) 必精确成立f p ( x ) ( x ) 血；砉爿，o ，) = 4 ，；1 ，1 特别 当茸( t = 1 ，n ) 属于【aa b 】时，我们称公式 3 球面三角形上的数值积分公式的构造 f p ( x ) ，o ) 血一荟n 4 厂瓴) 为内插值型公式，其中求积系数由下式决定： ( 1 5 ) 4 2 j ：揣a x c ta ，n ，c - a ， 1 2 直交多项式与一维g a u s s 型求积公式 本节讨论当求积节点的个数n 确定后。求积公式的代数精度最高能到多少( 这个问题也 可以倒过来提，至少需要多少个求积节点，才能达到给定的求积公式的代数精度由上一节 内容可知，只要n 点求积公式的代数精度不少丁n 一1 ，则它一定是插值型求积公式因此 具有最高代数精度的求积公式必然是插值型求积公式 设 f p ( x ) r ( x ) d x 一爿，f ( x ，)_ 4 ( 1 7 ) 毗一，x 2 ，矗为节点的节点插值型求积公式我们可以断言，上述求积公式对于2 n 次多项 式 f ( x ) = 0 一五) 2 一) 2 必定不能精确成立事实上，对任意给定的求积系数4 ，4 ，4 ，必有 另一方面，显然有 j 善a j ( x j ) = o j ：p o ) o 一) 2 x 一) 2 d x ，o 所以( 1 7 ) 的最高代数精度必不超过2 n 一1 那么是否存在2 n 一1 次代数精度的求积公式? 如果存在，如何确定其求积节点和求积系 数? 答案是肯定的，而且与定义域上的直交多项式有着密切的关系我们先米介绍一些关于 直交多项式的知识 定义1 若给定识( z ) 是x 的n 次多项式，n = 吼1 ，且o ) 的n 次项系数非0 ，则全体 4 球面三角形上的数值积分公式的构造 蛾 称为一个多项式的单集 定义2 若在区间a ，6 ) 上，存在函数p ，满足p o ) 0 ，对于一个简单的多项式的单 集 吼) f p ( x ) 吼o ) o ) 出= o m 竹，聊，胛= o ，1 ，2 ， 则称 是区间0 ，6 ) 上对p 的直交多项式集p 称为权函数 定义3 设( 口，6 ) 上，g 为使以下积分有意义的函数，权函数p o ，则 ( ，g ) = r p ( x ) f ( x ) g ( x ) d x j 4 称为厂，g 对权函数p 的内积 根据定义1 和定义2 ，若 是直交多项式集，则 同时，因为p o ，所以 ( ) 2 0 ，m n ，m ，n = 0 12 ( ) # 0 ，h = o 12 若 ) 是直交多项式集，对任意次数低于n 次多项式函数p 有 而且 ( p ) = 0 ， n = 0 ，1 ，2 ， x k ) = f p o 扛( x ) 血= o 女= 0 1 1 ，2 ，n 一1 引理l 若 ) 是a ，6 ) 上对权函数p 的直交多项式集，则每个o ) 的所有根都是单 实根，并且都在开区间0 ，6 ) 内，共有，1 个 证假如吼 ) 在( n ，6 ) 内的根都是偶重根( 即根的重数为偶数) ，则蛾o ) 在0 ，6 ) 上保 持定号，这与( x ) 和常数( x ) 的直交性条件f p o ) 蛾o ) 出= o 相矛盾由此，o ，6 ) 内 必有奇重根，设奇重根的个数为k ，而，x 2 ，雄( 七 0 ，存在，使得当n n 时有 i f p o ) ，o ) 血一毫4 ，o ，) l cz 定义c 2 f p o ) 血= 砉4 ，以及g ，。f ( 3 c ) 依据w e i e s t r a s s 理，对给定的s - 有n 使得 l ，o ) 一q l ，o ) l c 。( x 【，b 】) 若n n ，则( 1 1 0 ) 中的，l 点公式对是精确的，从而当n n 时有 f p 。) ，。) 如一n 爿m ，。j ，) i f p 。) ，。) 如一j ：p 。) 口g ) 出+ 骞一，孙 ，) 一薹爿，。，) i f p ( x ) f ( x ) a x f p ( x ) q u ( x ) d x i + l 嘉爿，卧。，) 一骞4 ，。，。加) f 删) 一q u ( x ) d x + 羹a j , n q 。v ( x j 鹏，) s ，f p o ) 出+ s 。善n4 ，2 c s = 詈s t s s j ：p ( x 冲托钆s2 专s t s 1 3 一维g a u s s 型求积公式的构造 由定理2 ，我们知道构造g a u s s 型求积公式的关键问题是：给定了p ( 茁) 与，l ，如何构 造多项式o j ( x ) = o - x 1 ) ( x z 2 ) 0 - - x n ) ，使( x ) 与任意次数小于等于n - 1 的多项式 g ) 关于权p ( x ) 直交，其中n x 2 xs b 对于特殊的权函数p o ) ，( x ) 很容易确定 8 球面三角形上的数值积分公式的构造 ng a u s s l e g e n d r e 求积公式 当p o ) = 1 时，6 】= 【一1 ，1 】，l e g e n d r e 多项式 删= 去参睁玑 只 恰好是以p o ) = 1 为权【- 1 , 1 上的直交多项式集容易看出只( x ) 与我们所要求的 甜o ) 差一个常数因子，只o ) 2 器，+ i 因此m o ) 可以表示为 肿器p a x ) 所以g a u s s - l e g e n d r e 求积公式的求积节点就是l e g e n d r e 多项式只0 ) = o 的零点，又根据( 1 6 ) 得到它的求积系数 4 2 f ，石竺鲁嚣芸万幽2 j ，- 1 盟( x - x k ) p n ( x ) 出 ii ) g a u s s - c h e b y s h e v 求积公式 当p ) 2 了专时【n ，卅= 【一1 ，1 】，c h e b y s h e v 多项式 t a x ) 2 。二三c o s oa r c c o s ( x ) ) ， 1 瓦 恰好是以p ) = 1 = 兰号为权，卜1 ，1 】上的直交多项式集这时( z ) = l o ) ，所以 、，1 一z 2 g a u s s - c h e b y s h e v 求积公式的求积节点就是c h e b y s h e v 多项式l o ) = 0 的零点，又根据( 1 6 ) 并作代数变换石一c o s o ，可以得到其求积系数 4 2 知署2 詈 iii ) g a u s s - l a g u e e 求积公式 当p ( x ) = e “时，【n ，6 】2 【0 ，m ) ，l a g u e r r e 多项式 圳= 景参) 9 球面三角形上的数值积分公式的构造 f 乙 恰好是以p ( x ) = e “为权， 0 ，0 0 ) 上的直交多项式集这时 ) = t g ) ，所以 g a u s s l a g u e r r e 求积公式的求积节点就是l a g u e r r e 多项式0 ) = 0 的零点 i v ) g a u s s h e r m i t e 求积公式 当p ( x ) = e 一，时，【，6 】= ( 一o 。，+ ) ，h e r m i t e 多项式 h ) = ( 一1 ) n e x z 出d 2 。e 。 巩 恰好是以p ( x ) = e 一。2 为权，( 一o 。，+ 。) 上的直交多项式集这时o ) = 以o ) ，所以 g a u s s h e r m i t e 求积公式的求积节点就是h e r m i t e 多项式以 ) = 0 的零点 对于一般的权函数p ( x ) 构造g a u s s 型求积公式( 1 7 ) ，可以用下述方法构造 ) 。a j ) 。；( c i ) 。 ( 1 1 1 ) 卜2 f p 州小“， h = f _ p 。k ”- 1 血 记以( z ) = f p ( x ) x “血为权函数p ( x ) 的矩量，解方程组( 1 1 1 ) 得到 其中 ( x ) 1 a 一1 。- 1 ( x ) 胁地以一l 1 hp 2 x 以以+ l 肛2 。一1 矿 肌 地心 - 声一1 声 所以( x ) = 0 的零点就是( 1 7 ) 的求积常点又通过( 1 6 ) 计算得到它的求积系数 1 1 1 0 2 球面三角形上的数值积分公式的构造 第二章高维g a u s s 型求积公式的构造 2 1 记号与预备知识 我们用小写的黑体字母表示向量，例如 x 罱( ，x 2 ，) ， u i = 以，1 ，f ，2 ，“。) 等等大写的黑体字母表示矩阵，例如x ，a ，i 等x t 表示矩阵x 的转置矩阵，x - i 表示矩 阵x 的逆矩阵e 表示实的n 维欧氏空间；咒，e 等表示e 中的区域( nb i ) 为简单计，常使用记号 7 ( ，) = 7 ( ，“，z z ，- ，矗) ) 2 厶m “，x 2 ，) ，“，z ：，x , ) d x l d x 2 d x 。 特别 7 ( i ) 2 丘珊瓴，x 2 ，x , ) c t k d x z d x 。 7 ，z 一：) 2 厶m 心x 2 ”，弦卜“x m c b q d x ：d x 。 其中口。，口：，a n 为非负整数为简单起见，一般我们总是假定这些积分是存在的 令已“，也，) 和己，；“，z ：，) 表示变量墨，z ：，的次数为m 的多项式； 绒“，x 2 ，) 和轨j “，x 2 ，) 表示变量墨，x 2 ，的次数不超过珊的多项式 次数m 线性独立的多项式数目m o ，埘) 2 c ：+ 。，m 次单项式的数目为m ( n 一1 所) 次数，l 单项式全体可以表示为 竹( x ) ) 譬，当， 后时，d e g ( 竹( x ) ) 0 和集 x q ：最+ 1 0j 和集 ( x q ：u 1 0 因为f ( x ) 是 l ( x ) 墨。( a ，x ) 的实因子，所以与定理8 ( 5 ) 矛盾虽后，由引理2 知d e g ( k 。( a ，x ) ) = m 所以a 不是p 的公共零点，否则d e g ( k 。( a ，x ) ) 2 d e 甙k 。一。( a ，x ) ) 。m 一1 2 3 高维g a u s s 型求积公式 为方便起见，我们设ln ，m ，) 表示n 维空间上具有( 2 1 ) 形式，有个求积节点，达 到m 次代数精度的求积公式在这一节，我们试图将定理2 的结论推广到高维的情形，假 如已知一正交多项式集及其公共零点，并且假定这些零点( 或他们的子集) 可以作为求积节 点的话，则这样的推广是可能的，将由定理1 0 1 3 给出结论另一方面。若已知一个求积 节点数n m ( ，l ，m ) 的求积公式具有m 次代数精度，则可以找出一具有一定正交性的多项 式集。它们以求积公式的求积节点为其公共零点，这个结论将由定理1 1 1 3 3 给出本文仅 针对n = 2 的情形证明这些定理，但实际上，它们对任意弹都对 下面是一些证明中所需要的记号： 1 ) 譬= ( a ，卢) ：o 口+ 卢m ) 2 ) x 。，是m x n 的矩阵，它的行是( 砰_ ) ，? ，碟_ ) ，：) ， ，卢) 譬，m = c ：+ ： 3 ) k 是噬的含有个元索的子集 1 4 球面三角形上的数值积分公式的构造 4 ) x 。是的矩阵，它的行是( y ? ，y 导) ， ，卢) 霹 假定己知多项式集最。 ，y ) ，最。 ，y ) f 2 满足下列条件 1 ) 上述多项式集是线性无关的，且每一个均与所有的多项式q 0 ，y ) ( 0 e k m ) 正 交 2 ) 最。“，y f ) 一。_ 最， ，y i ) 2 0 ，i = 1 ，2 ，n 3 ) 矩阵x 。的秩为n ，即对某“，矩阵x ，是满秩的 4 ) 对于使得x 。v 的秩为n 的某“成立，对每个 ，卢) 霹l x 有多项式 4 0 ，y ) ( 卢1 ，2 ，z ) 和实数吃，6 ( ( ，6 ) k ) 使得 吖己，1 + + q 犯j = x y a + 莓吃 定理1 0 若最， ，y i ) ，最f “，y i ) 满足上述条件1 ) ，2 ) ，3 ) ，4 ) 则有常数4 i = 1 ，2 ，n 使得l ( 2 ，卅，) 成立 证首先选取l u 满足条件4 ) ，然后解下列线性方程组计算出求积系数4 群1 y p 1 ) ，：1 坪y l “x 。a n n l ，f i n n卧 ，o “y 4 1 ) l ( x 。”y 4 ”、 以p 让明，具具有m 及代毅精发 令q ：一是符合条件4 ) 的多项式，由4 ) 中等式的左端知，( q ：4 ) = o ，得到q ：4 ，咒) = 0 i = 1 ，2 ，n 从而得到求积公式对q ：4 是准确的由上述线性方程组知，求积公式对 莓屯 r y 6 也是准确的因此对扩y 4 仍然是准确的， 定理1 1 设求积公式l ( 2 ，m ，n ) 成立，若以( 砰订，砖y 品) o 口+ 3 k 一1 ，为 行向量的矩阵的秩为丢七 + 1 ) ；而以( 芹宵，y ；) 。a + 卢t 为行向量的矩阵的 秩为丢( + 1 ) ( 七+ 2 ) 一z ( z 。) ，则有f 个线性无关的多项式 球面三角形上的数值积分公式的构造 最： ，咒) ，f l ，2 ，l 满足条件： 1 ) 最。( 置，y 1 ) 忙1 ，2 ，f ) 与全体q 。一t 正交 2 ) 最。“，y ；) 一_ 只“，y j ) 2 0 ，i = 1 ，2 ，n 证线性无关并有公共零点( x i ，y j ) i = 1 ，2 ，n 的存在性可以从第一个的z 行是由其 他行的线性组合这一事实得到又因为求积公式有m 次代数精度，所以 f o p ( x ，y ) 最，s g ，y ) q t o ，) ，) 【k 吵。善e 最，s “，y i ) q 用一t ，y t ) = o f 1 ，2 ，7 这说明最， ，y i ) 与全体绒一t 正交 下面我们将研究什么样的多项式集能够满足条件1 ) 4 ) 设x = f x ”，产1 ，2 ，n c r “是一个有限的点集；定义一个子空间= ( p p ： 尸( x ) = 0v x x ) c p “s o b o l e v 8 证明了 定理1 2 点集盖可以作为求积公式l ( n ，m ，) 的求积节点集当且仅当p 矽时 f qp ( x ) e ( x ) d x = 0 m y s o v s k i k h 1 4 ，1 5 和s t r o u d 4 - 6 在研究求积公式和正交多项式的联系时，引进了 一些代数几何的概念m 5 1 1 e r 1 6 发现可以借助于理想理论更加清晰描述这种联系，这套理 论可以帮助确定正交多项式集的公共零点给定l ( n ，m ，n ) 和z = x ”， j = l ，2 ，n ) c r 4 ，我们可以定义理想i = f p p ：p ( x ) = 0v x e x ) p “对任意 p q p ：，都有( p ，a ) = 0 m 5 1 1 e r 引进了m 阶一正交性( m o t h r o g o n a l i t y ) 的概念，即 一个多项式集具有坍阶一正交性，若该多项式集的每个元素p ，对p q 聪，都有( p ，q ) = 0 因此m 次正交多项式集就具有( 抽一1 ) 阶一正交性；r n 次半正交多项式集就具有 ( 2 m 一2 1 阶一正交性 那么该如何选择一个合适的基呢? m 5 1 e r 4 7 提出hb a s i s 是最合适的基每个q i 1 6 球面三角形上的数值积分公式的构造 可以记为q 置善q f 只d e g q f 只 0 ，即可确定a ，卢，7 ，然后确定k ，k 2 ，玛 由b e z o u t 定理可以得到，墨，k 2 ，蚝共有7 个公共零点，且由定理9 知这些求积节 点均在求积区域内，所以可以作为求积节点 例l 当求积区域为单纯形 “= ( “1 ，u 2 ，u 3 ) ：u 1 + “24 - u 3 = 1 ，h 1 ，u 2 ，屿0 ) 时，求积节点及其 求积系数用以下表格表示 表1 七点五次公式的求积结点和求积系数 t a b l t h en o d e sa n dc o e f f i c i e n t s o f a7 p o i n t f o r m u l a eo f d e g r e e5 ( u 1 ，u 2 ，u 3 )4 r _ 6 + 4 1 3 9 - 2 4 i - 5 堕巫、t r 2 1 l i 一五一j ，9 2 插6 + 瓜6 + 插、， 面一嚣一五一， 1 5 5 + 4 1 5 2 4 0 0 1 5 5 + , 1 5 2 4 0 0 1 9 球面三角形上的数值积分公式的构造 ，6 + 西6 + , f i g9 2 雁、， 、 2 l 2 1 2 1 ，6 一面9 + 2 西6 一伍、t 【_ 五一五一五一j r 9+2西6一面、，6-4百 、2 1 五一五一】 ，6 一压9 + 2 伍6 一伍、， 、 2 1 2 1 2 l f ! 三旦、t 、3 3 3 1 5 5 + 4 1 5 2 4 0 0 1 5 5 4 1 5 2 4 0 0 1 5 5 4 1 5 2 4 0 0 1 5 5 1 5 2 4 0 0 9 8 0 球面三角形上的数值积分公式的构造 第三章球面三角形上的数值积分公式 3 1 预备知识 首先我们先简单回顾关于球面三角形和定义在单位球面上齐次多项式与多项式函数的 一些基本知识以及本文所需要的一些其他知识 1 ) 球面三角形的基础知识 定义4 连接球面上两点的大圆劣弧是球面上的线段，此线段的长度是两点之间的球面 最短距离 定义5 设彳，b ，c 是以。为球心的单位球面s 2 上不在同一条大圆弧上的三点，且两两 不是对径点，则它们唯一确定的三线段a b ，b c ，c a 组成以a ，b ，c 为顶点的球面三角形， 记为五。- 顶点a ，b ，c n 对应n n n o a ，o b ，o c 用屹，v c 表示，线段船，b c ，c a 的长度 分别用它们之间的夹角口，卢，y 表示这时匕，v b ，咋与c t ，卢，y 满足f 列关系式： c o s y2 ，c o s f l 2 匕k ，c o s 0 15 k ( 3 1 ) 本文研究的球面三角形的三条边长均小于2 ，即o 口，声，y 0 的条件，可以得到 。4 s i n 2 苎“一2 + 4 s i n 2 f l “3 + 4 s m 2 罢“一3 2 一：+ n 一，+ “。) 詈c ， f 3 1 4 ) 因此，由函数项级数展开式的知识以及( 8 ) 式可以得到i l 爿“l | _ 卅的展开式，从而构造出( 1 3 ) 式左边被积函数的逼近公式 设m 。= 4 s i n 2 吾“一：+ 4s i n 2 鲁“一，+ 4 s i n 2 号“：“，则 球面三角形上的数值积分公式的构造 i i a ui i - ( d + 3 ) = 荟c ： i ia ui i - ( d + 2 ) = 夏c ：+ z 卅 小d 2 + 3 m 。+ 紫蚺 ：1 + d 1 + 2 m 。+ 由( 1 5 ) f r l l ( 1 6 ) 式得到展开式 p a u ) l i a u 旷3 + n 一。0 ) l i a u 旷2 ( d + 2 ) ( d + 4 ) 4 2 m ：+ f 3 1 5 ) r 3 1 6 ) = p a ( u ) ( 1 + d 2 + 3 m 。+ 警m ：+ 一+ p 。一，q ) ( 1 + d2 + 2 m 。+ ! 掣m ：+ = g ) + r ， ( 3 1 7 ) 其中 g ( “) = 岛( “) ( 1 + 竿帆) + p a 撕) ( 1 + d2 + 2 m 小 ( 3 1 8 ) g 以) 是标准的三角片j 2 d + 2 次多项式，咒是余项 州删掣) _ ( ) 2 + p 。一。o t ) ! ! - ：! ：；： ! ! ； ：! 旦( 1 6 ) 一 d + 6 ) ，2 ) m ： ( 3 1 9 ) 其中6 s ( o ，1 ) ，这时由( 1 3 ) 式得到，定义在毛。上的任意多项式吼e p o l d ( z o ) 的积分 可表示为 e 。吼o ) 出 d e t a l f 。p , ( u ) l l a hi i “3 + 胁一( u ) l l a “i f + 2 d u d e t a l f u ( g ( u ) + p 、l i ) d u ( 3 2 0 ) 定理1 9 对于三边长分别为d ，卢，y 的球面三角形毛。，设 - - = l l l a x ( 口，卢，y ) ，定义在 z o 上的任意多项式吼p o l d ( 墨。) 的积分可由( 2 0 ) 式表示，则误差e ( ，) ；d 4 ) ，其 中e ( ，) = i d e t a l f , i li d u 证。m 。= 4 s i 2 羔2 “2 + 4 s i n 2 譬u l u 3 + 4 s i n z 詈“：“，y 2 “一：+ 卢2 “心+ 。 h 2m a x u 1 u 2 + “1 “3 + “2 u 3 ：0 1 ，“2 ，u 3 ) u ) 球面三角形上的数值积分公式的构造 因此当h 一0 时，m 。一0 ，又由( 1 3 ) 式， 咒地 ) 紫讹p d ) 紫埘， 对两边积分 o l d c t 4 l 正i rl 血i d e t a i m 2 h 4 j = ，西( “) 血= o ( h 4 ) ， 其中m = m a x u l r 2 + u l u 3 + u 2 u 3 ：0 1 ，u 2 ，叱) u ，西( u ) e p o l d ( u ) 因此根据定理2 ，球面三角形上d 次多项式可以用u 上d + 2 次多项式逼近，其精度可以 达到0 仰4 ) ，当然如果需要也可以用u 上更高阶的多项式逼近 球面三角片上的一般连续函数，o ) 在其定义域上的积分的计算，可以先构造在其定义 域e 的多项式逼近式，再决定利用具有恰当的多项式精度标准三角片上数值积分公式计算 3 5 结论 本文主要研究定义在球面三角形上的函数的数值积分，通过l a g r a n g e 插值多项式函数构 造具有多项式精度的插值型求积公式以及给出精确计算球面三角形上多项式函数方法( 第2 部分) 然后通过把其定义域上的积分化为平面单纯形 u = ( h 1 ，u 2 ，) ：u 1 + “2 + 嵋= 1 ， u 。，u 2 ，u 3 o 上的积分，然后利用平面单纯形上数值积分公式给出其在球面三角形上的对d 次齐次多项式精确成立的g a u s s 求积公式的构造方法( 第3 部分) 文章的最后一部分给出了 基于平面单纯形上g a u s s 型求积公式的一种近似求积公式，这种方法比较简单下面表2 ，表 3 分别给出球面三角形上基于四点三次和七点五次法得到的求积公式中的求积结点和求积系 数：u 。，q 分别表示标准三角片上的求积结点和求积系数，町，v f 分别表示球面三角形毛。 上的求积结点和求积系数 矩阵4 由球面三角形毛。的三个定点向量屹，k ，匕构成a = ( v o ，v b ，k ) ， 由( 1 4 ) 式知l i 爿“l l = ：+ 球；+ u 2 + 2 u 1 “2 c o s y + 2 u 1 如c o s f l - i - 2 u 2 鸭c o s a ) _ 1 胆，s 枷c 表示 球面三角形毛。的三个定点构成的平面三角形a b c 的面积四点三次公式和七点五次公式 的求积结点和求积系数分别皑表2 和表3 球面三角形上的数值积分公式的构造 2 5 9 6 2 5 9 6 2 5 9 6 9 3 2 2 c 赢浠 2 赢浠 2 c 赢浠 之s 枷c 面南 ( 6 + 4 1 5 9 - 2 , j i 5 6 + x i 5 、t 、2 1 2 1 2 1 7 ，9 2 西6 + 4 i - g6 + 西、t 卜丁五一，五一j ( 6 + z l t i - g ，1 6 + 、r i 5 ，9 - z 2 l , 4 t i 5 ) tz l 2 1 z l ，6 一届9 + 2 瓜6 一届、， 【_ 面一