（电磁场与微波技术专业论文）二维和三维电磁波散射问题的mei方法研究.pdf

摘要 摘要 测度不变方程法( m e a s u r e de q u a t i o no f l n v a r i a n c e ，简称m e i 方法) 是一 种研究开域电磁场散射问题的数值方法。它利用一组测度不变方程来确定网格 截断边界处的边界条件，并结合有限差分或有限元方法，求解散射体在入射波 激励下的散射场分布。 婴得到f f 确得m e i 系数，需要选择难确的测度子。在本文中，我们选用了组 分柿在散射体表面的6 函数( 即点电流源) 作为测度子。和常用的谐波函数相比，采 用6 函数作为测度子能有效的缓解求解m e i 系数方程的病态性，进一步提高m e i 方 法的计算速度，使m e i 方法能够用来求解电大尺寸散射体的散射问题。 在本义中我们分析了m e i 方法的理论基础，然后给出了以6 函数作为测度子 的m e i 方法的具体形式，并分析了耦合节点数目和点源在散射体表面的分布对计算 精度的影响。最后，我们给出了数值计算的结果。利用本文提出的方法，我们成功地 解决了一维电大尺寸的柱状散射体对平面波的散射问题。 最后，我们把m e i 方法推“到三维问题，推导出三维情况f 的m e i 系数的求解 公式。并给出了使用该方法计算导体球静电问题、导体球和无限薄平板的散射问题的 计算结果。利用本文的方法，我们成功解决了小尺寸的三维散射体对平面波入射的散 射j 口j 题。 中冈科学挫术人学坝i 论史 a b s t r a c t a b s t r a c t m e a s u r e de q u a t i o no fi n v a r i a n c e ( m e i ) m e t l l o di san u m e r i c a la l g o r i t h mf o ro p e n r e g i o ne l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m s i tt r u n c a t e saf i n i t e d i f f e r e n c eo rf i n i t e e l e m e n t m e s hw i t has e to fe q u a t i o n s ，w h i c hc a nn u m e r i c a l l ym o d e lt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so nt h e t r u n c a t i o nb o u n d a r y t h ea c c u r a c yo fm e lc o e f f i c i e n t si sv e r ys e n s i t i v et ot h ec h o i c eo fm e t r o n s i nt h i s p a p e r , w eu s ea s e to fd e l t af u n c t i o n so nt h eo b j e c ts u r f a c ea sm e t r o n s c o m p a r e dw i t ht h e t r a d i t i o n a ls i n u s o i d a lm e t r o n s ，t h en e wm e t r o n sh a v em a n ya d v a n t a g e ss u c ha ss m a l l e r c o n d i t i o nn u m b e rf o r t h em a t r i xe q u a t i o n su s e df o rt h ed e t e r m i n a t i o no fm e ic o e f f i c i e n t s ， l e s sc o m p u t a t i o n a lt i m ea n dc a p a b i l i t yi nh a n d l i n gs c a t t e r i n gp r o b l e m sf o re l e c t r i c a l l yj a 唱e s c a t t e r e r s i nt h i st h e s i s ，w ef i r s ti n t r o d u c et h et h e o r yo fm e i t h e nw ea p p l yd e l t af u n c t i o n sa s m e t r o n si n t ot h em e is y s t e mt oo b t a i nas i m p l ef o r m u l a t i o nt oc o m p u t em e a s u r i n g f u n c t i o n s w ea l s oa n a l y z et h ed e p e n d e n c yo fn u m e r i c a la c c u r a c yo nm a n yf a c t o r ss u c ha s t h en u m b e ro f n o d e si nm e ie q u a t i o na n dt h ed i s t r i b u t i o no f t h es o u r c e so f d e l t af u n c t i o n s f i n a l l y , n u m e r i c a lr e s u l t sf o rs o m et w o d i m e n s i o n a lp r o b l e m sa r eg i v e nt od e m o n s t r a t et h e e f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d u s i n gt h i sm e t h o d ，w cc a ns u c c e s s f u l l ys o l v et h e t w o d i m e n s i o n a l s c a t t e r i n gp r o b l e m s f o re l e c t r i c a l l yl a r g es c a t t e r e r s ，i nw h i c ht h e s i n u s o i d a lm e t r o nf a i l st og i v es a t i s f a c t o r yr e s u l t s i nt h el a s tc h a p t e ro ft h i st h e s i s ，w ea p p l yt h em e is y s t e mi n t ot h r e e d i m e n s i o n a l p r o b l e m s ，a n do b t a i nt h ee q u a t i o n so f3 dw h i c hcanb es o l v e dt og e tt h ec o e f f i c i e n t so f m e i u s i n gt h e3 de q u a t i o n s ，w es u c c e e d e di ns o l v i n gt h ee l e c t r o s t a t i cf i e l do fp e c s p h e r e ，s c a t t e r i n gp r o b l e m so fp e cs p h e r ea n das q u a r ep l a t e 中国科学技术大学硕上论文 第一章绪论 绪论 第一章 【摘要】本章对电磁场散射问题进行论述，着重介绍了电磁场的数值方法和边界 条件，以及近年来提出的一种求解开域边值问题的方法一一测度不变方程( m e i ) 法。 电磁场散射问题研究自由空间中的某物体在电磁波照射下对入射波的散射特 性。电磁场的散射问题只有少数几种情况有解析解，而大部分情况下都必须借助计算 机进行数值模拟计算。 电磁散射问题的解决在目标探测、目标识别、遥感、地物勘探、隐身反隐身以及 电波传播特性等的研究方面具有广阔的应用前景。 1 1电磁场问题的数值解法 电磁场散射问题的数值计算方法大致可以分为两类：类是积分方程法，通常结 合矩量法( m o m e n tm e t h o d ) 来求解 1 。矩量法直接在物体表面划分细小计算单 元，并以每个单元上的表面电流为未知元，将电流积分方程离散化为一组代数方程， 然后进行求解。解方程时通常需要进行满矩阵的求逆运算，当矩阵维数较大时，需要 消耗大量的计算时间和存储空间，不适合电大尺寸物体的散射问题。另类方法是有 限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) 、有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 2 5 。 这类方法是在物体周围空间划分为细小网格，并以网格节点处的场强作为未知元，将 标量的h e l m h o l t z 方程离散化为代数方程的形式。虽然未知元的个数较多，但由于所 中国科学技术大学硕i ：论文 第一章绪论 得方程的局域性( 某一节点的场强只与其邻近节点的场强有关) ，因此只需求解稀疏 矩阵。稀疏矩阵的优点是可以运用专门的稀疏矩阵算法，实现快速求解。对于电大 尺寸物体的散射问题，有限差分或有限元法显然具有较大的优势。 使用有限差分法或有限元法求解开域电磁场问题需要考虑到一个重要问 题。即求解开域问题时，必须弓f 入一个“人为”的边界来包围物体，如何恰当 描述“人为”边界的边界条件并且使“人为”边界充分靠近物体成了人们研究 的重点。测度不变方程( m e a s u r e de q u a t i o no f i n v a r i a n c e ) 法或m e i 方法 6 】 就是近几年提出的确定。人为”边界及其边界条件的一种方法。我们在研究中 发现，利用有限差分和m e i 方法相结合可以比较方便地解决开域电磁场问题， 这也是本文要阐述的主要工作。 1 2 边界条件 由于散射问题为开域问题，用有限差分法或有限元法求解物体的开域问题 时，必须将外部边界截断以使节点数目为有限。由最外层节点连接起来形成的 边界称为截断边界，为保证该边值问题有唯一解且比较靠近物体，在截断边界 上必须引入适当的边界条件。早期使用有限差分法在解决开域问题时，是把截 断边界取在充分远处，即截断边界远离目标，再稂据无限远处的场必须满足的 辐射条件来近似截断边界上的边界条件，此边界条件称为辐射边界条件 ( r a d i a t i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ) ，这样做带来的最大问题是未知数的数目太 多，计算效率极低。因此辐射边界条件在一般情况下并不实用。后来人们把截 断边界取得比较靠近物体边界，并在截断边界强加一些条件来模拟无界情况， 并且这个边界条件的引入不能或很少影响原来的问题，即强加此边界条件的边 界不会向所考虑的区域反射电磁波，此边界条件一般称为吸收边界条件 ( a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ) 。 长期以来，国内外的许多学者在吸收边界条件上作出了不懈的努力 中国科学技术大学碗l ：论文 第一章绪论 【7 _ 1 6 ，取得了不少进展。一般来说，吸收边界条件可以分为全域和局域两大 类。全局边界条件可以用本征值展开法得到，一般来说是精确的；但就截断边 界而言，边界上的每一节点都和边界上所有的节点相关，其所产生的是满矩阵， 破坏了矩阵的稀疏性。与之相反，在局部边界条件中，边界节点只与其邻近的 节点相关，使得矩阵的稀疏性得以保持。但它们的缺点在于这些边界条件只是 近似成立，因此会对求解的问题引入一定的误差，截断边界越靠近散射体，误 差越大。也就是说在强加边界条件下，向外层边界传播的波不会完全被吸收。 但各种吸收边界条件一般都不能保证截断边界离散射体很近，比如说单矩 法 1 0 1 ，其截断边界是一个假想的数学圆，对于形状规则( 如圆形、正方形等) 的散射体，其横截面域数学圆的形状大小差不多，但对于形状奇异( 如长条形、 凹形等) 的散射体，其横截面与数学圆的形状大小差别较大，用有限差分和有 限元网格填充到数学圆中产生的未知数的个数比较多，在这种情况下单矩法等 方法受到了限制。 为了使截断边界充分靠近物体，1 9 9 4 年k k m e i ( 梅冠香) 等提出了测 度不变方程( m e i ) 法【6 】。m e i 方法的主要思想是假定截断边界上任一点的节 点的场值与相邻节点的场值之间存在线性关系，此线性关系确定了截断边界上 的边界条件。m e i 方法截断边界可以离散射体很近，往往只需要离物体一层或 两层的网格间距。实际应用中，m e i 方法被用来和有限差分法或有限元法相结 合，求解散射体表面( 等效) 电流、磁流或雷达散射截面( r c s ) 。 m e i 方法的优点比较明显： ( 一) 、无论散射体形状怎么变化，可以始终让截断边界离散射体很近， 往往只需要离物体一层或两层的网格问距。 ( 二) 、m e i 方程的形式简明，不需要复杂的推导过程，很容易和有限差 分或有限元方法相结合。 ( 三) 、无论与有限差分法或有限元法相结合产生的矩阵都具有很高的稀 中国科学技术大学颁l ：论文 第童绪论 疏性。m e i 方程作为一种边界条件，它使截断边界上的节点满足的方程同样保 持很高的稀疏性，这在求解电大尺寸物体的开域问题时尤为重要。 但由于将m e i 方程作为边界条件只是一种经验性的方法，并无严格的理 论基础，该方法提出后同时也引起了很大的争议 1 7 一 2 2 】，争议的焦点在于m e i 方法的基本假定是否正确，特别是m e i 方程是否与入射场无关以及m e i 测度 方程是否是一种精确的边界条件等。有的学者认为m e i 方法不是一种完善的 吸收边界条件，在计算电大尺寸的散射问题时，m e i 边界会产生很强的反射， 带来较大的计算误差，并且这误差不能通过无限细分网格的方法来消除 2 0 。最近，文献 2 3 从理论上证明了m e i 方法的有效性，并指出可以通过 耦合更多的边界节点来减小m e i 边界条件产生的误差。但是另一方面，如果 采用传统的谐波函数作为测度子，电大尺寸条件下的m e i 系数方程是一个病 态的方程系统，并且方程的病态性会随着耦合节点数的增大而变得十分严重 2 3 ，这实际上限制了的取值范围。e 因如此，目前对m e i 方法进行研究 时，通常采用四点或六点的m e i 方程。为了解决这一问题，就需要选择其它 形式的测度子。在本文中，我们选用一组6 函数，即分布在物体表面的点源作 为测度子。这样选择的好处是能够大大缓解m e i 系数方程的病态性，使我们 能够在计算中耦合较多的节点，提高计算精度。同时，采用这种测度子后，测 度函数可以不用积分而直接生成，大大缩短了计算m e i 系数的时间。 文献 2 4 、2 5 详细阐述了m e i 方法在二维电大尺寸散射问题上的应用， 以6 函数作为测度子，结合有限差分方法和理想导体表面的边界条件。计算电 大尺寸的无限长理想导体圆柱、无限长理想导体矩形柱和三角柱的表面电流分 奄j ，并将结果与解析解或矩量法( m o m ) 的计算结果相比较。 本文正是在文献 2 5 的基础上，改进了其中的一些不足之处，重新计算了 圆柱和矩形柱的表面电流分布，新增了三角导体柱的内容，并将m e i 方法推 广到了三维散射体的电磁场散射问题而完成的。利用m e i 方法，我们成功的 解决了三维导体球和无限薄导体平板的散射问题。 中陶辫学技术- 人学醐1 ：论文第一章绪论 本文将通过一些二维和三维电磁场散射问题的计算实例证明：以6 函数作 为测度子的m e i 方法确实是一种快速而有效的数值计算方法。下一章我们将 会详细介绍测度不变方程法。 中国科学技术人学坝f + 论殳第一章绪论 参考文献 【1 r f h a r r i n g t o n ，“f i e l dc o m p u t a t i o nb ym o m e n tm e t h o d ，”n e wy o r k ： m a c m i l l a n ，19 6 8 2 】j n r e d d y , “a ni n t r o d u c t i o nt ot h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，”n e wy o r k ： m c g r a w h i l l 19 8 4 3 】r b w ua n dc ，h c h e n ，“v a r i a t i o n a lr e a c t i o nf o r m u l a t i o no fs c a t t e r i n g p r o b l e m f o r a n i s o t r o p i c d i e l e c t r i c c y l i n d e r s ，”i e e e t r a n s a n t e n n a s p r o p a g a t ，v 0 1 3 4 ，p p 6 4 0 6 4 5 ，m a y1 9 8 6 4 a f p e t e r s o na n ds pc a s t i l o ，“d if f e r e n t i a le q u a t i o n m e t h o df o r e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gf r o mi n h o m o g e n e o u sc y l i n d e r s ，i nr a d a rc r o s s s e c t i o n so f c o m p l e x0 西e c t s ，e d w r s t o n e ，n e wy o r k ：i e e ep r e s s ，1 9 9 0 5 】j j i n ，“t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di ne l e c t r o m a g n e t i c s ，”n e wy o r k ：w i l e y ， 1 9 9 3 6 】k k m e i ，r p o u s ，z c h e n ，yw l i u ，a n dm d p r o u t y ，“t h em e a s u r e d e q u a t i o no fi n v a r i a n c e ：an e wc o n c e p ti nf i e l dc o m p u t a t i o n ，”i e e et r a n s a n t e n n a sp r o p a g a t ，v 0 1 4 2 ，n o 3 ，p p 3 2 0 3 2 8 ，m a r ，19 9 4 7 b h m c d o n a l da n da w e x l e r ，“f i n i t e e l e m e n ts o l u t i o no fu n b o u n d e df i e l d p r o b l e m s ，”1 e e et r a n s m i c r o w a v et h e o r ya n dt e c h n i q u e s ，v 0 1 m t t - 2 0 ，n o 1 2 ，p p 8 4 1 8 4 7 ，d e c 1 9 7 2 8 】b e n g q u i s ta n da m a j d a ，“a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o no fw a v e s ，”m a t hc o m p u t ，v 0 1 3 1 ，n o 13 9 ，p p 6 2 9 6 5 1 ，j u l y 1 9 7 7 【9 】a b a y l i s sa n de t u r k e l ，“r a d i a t i o nb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rw a v e l i k e e q u a t i o n s ，”c o m m u n i c a t i o n so np u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ，v 0 1 3 3 ，p p 7 0 7 7 2 5 ，n o v 19 8 0 10 】r l h i g d o n ，“a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rd i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o n s t ot h em u l t i d i m e n s i o n a lw a v ee q u a t i o n ，”m a t h c o m p u t ，v 0 1 4 7 ，n o 17 6 ，p p 6 中田科学技术人学彤。论殳第一节绪论 4 3 7 - 4 5 9 o c t 19 8 6 【11 】o m r a m a h i ，a k o u k i ，a n dr m i t t r a ，“n u m e r i c a l l yd e r i v e da b s o r b i n g b o u n d a r yc o n d i t i o nf o rt h es o l u t i o no fo p e nr e g i o ns c a t t e r i n gp r o b l e m s ，”i e e e t r a n s a n t e r n n a s p r o p a g a t ，v 0 1 3 9 ，n o 3 ，p p 3 5 0 3 5 3 ，m a r 1 9 9 1 1 2 】d ，g i v o l i ，“n o n r e f l e c t i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ，”j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n p h y s i c s ，v 0 1 9 4 ，p p 1 2 9 ，1 9 9 1 1 3 】d s ，j o n e s ，“a ni m p r o v e ds u r f a c er a d i a t i o nc o n d i t i o n ，”s i m aza p p l ，m a t h ， v 0 1 4 8 ，p p 1 6 3 1 9 3 ，1 9 9 2 1 4 k ，k m e i ，“u n i m 6 m e n tm e t h o do fs o l v i n ga n t e n n aa n ds c a t t e r i n gp r o b l e m s ，” 1 e e et r a n sa n t e n n a s p r o p a g a t ，v 0 1 a p 一2 2 ，p p 7 6 0 7 6 6 ，n o v 1 9 7 4 15 】d f a na n dvw a n g ，“g l o b a ln u m e r i c a lb o u n d a r yc o n d i t i o nb a s e dp d e s o l u t i o nt e c h n i q u e st ot h eo p e n r e g i o ne l e c t r o m a g n e t i cf i e l dp r o b l e m s ，1 e e e t r a n s a n t e n n a s p r o p a g a t ，v o l ，4 1 ，p p 2 5 3 2 6 0 ，m a r 1 9 9 3 ( 16 】yw a n ga n dd f a n ，“a c c u r a t eg l o b a ls o l u t i o no fe mb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mf o rc o a x i a lr a d i a t o r s ，”i e e et r a n sa n t e n n a s p r o p a g a t ，v 0 1 4 2 ，n o 5 ，p p7 6 7 7 7 0 ，m a y1 9 9 4 ， 17 j o j e v t i ca n dr l e e ，“at h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a la n a l y s i so ft h em e a s u r e d e q u a t i o n o fi n v a r i a n c e ，”i e e et r a n s a n t e n n a s p r o p a g a t ，v 0 1 4 2 ，p p 10 9 7 1 1 0 5 ，a u g 19 9 4 18 j o j e v t i ca n dr l e e ，“h o wi n v a r i a n ti st h em e a s u r e de q u a t i o no f i n v a r i a n c e ，”1 e e em i c r o w a v ea n dg u i d e dw a v el e t t e r s ，v 0 1 5 ，p p 4 5 4 7 ， f e b 1 9 9 5 1 9 】k k m e i ，j o ，j e v t i ca n dr l e e ，“c o m m e n t so n h o wi n v a r i a n ti st h e m e a s u r e de q u a t i o no fi n v a r i a n c e ? ，i e e em i c r o w a v ea n dg u i d e dw a v e l e t t e r s ，v 0 1 5 ，n o 1 1 ，p p 4 17 ，n o v 1 9 9 5 2 0 j o j e v t i ca n dr l e e ，“a na n a l y t i c a lc h a r a c t e r i z a t i o n o ft h ee r r o ri nt h e m e a s u r e de q u a t i o no fi n v a r i a n c e ，”i e e et r a n s a n t e n n a s p r o p a g a t ，v 0 1 4 3 ， p p 1 1 0 9 一t 1 1 5 ，o c t ，1 9 9 5 【2 1 】k k m e i ，yl i u ，j o j e v t i ca n dr l e e ，“c o m m e n t so n at h e o r e t i c a la n d n u m e r i c a la n a l y s i so ft h em e a s u r e de q u a t i o no fi n v a r i a n c e ，”i e e et r a n s 7 中田科学投术人学顿i ：论文 第一章绪论 a n t e n n a s p r o p a g a t ，v 0 1 4 3 n o 1 0 ，p p 1 1 6 8 1 1 7 1 ，o c t 1 9 9 5 2 2 】k m l u k ，e k n y u n g ，k w l e u n g ，a n dy w - l i u ，“o nt h em e a s u r e d e q u a t i o no fi n v a r i a n c ef o ra l le l e c t r i c a l l yl a r g ec y l i n d e r ，1 e e em i c r o w a v ea n d g u i d e dw a v el e t t e r s ，v 0 1 5 ，n o 1 2 ，p p 4 4 5 4 4 7 ，d e c 1 9 9 5 【2 3 】y s x ua n dh m c h e n ，”v a l i d i t yo ft h em e a s u r e de q u a t i o no fi n v a r i a n c e ” i e e et r a n s a n t e n n a s p r o p a g a t ，v 0 1 4 7 ，n o 1 2 ，d e e 1 9 9 9 2 4 】z l o u ，m g u ，yx u ，“m e a s u r e de q u a t i o no fi n v a r i a n c es o l u t i o no f2 - d s c a t t e r i n gp r o b l e m su s i n gl i n es o u r c e sa sm e t r o n s ，”i e e ea p si n t s y m p d g ，c o l u m b u s ，o h i o ，j u n e2 0 0 3 2 5 】娄铮，“以6 函数作为测度子的测度不变方程法，”中国科学技术大学本 科毕业论文，2 0 0 1 年 8 第二章 测度不变方程( m e i ) 法及二维电大尺寸散 射问题 【摘要】 本章对测度不变方科( m e i ) 的理论进行论述，着重介纠m e i 方法的几 个假设及其理论上的解释：使_ l i 5 函数作为测度子。最后将m e i 方法应用与二维电大尺 寸的散射问题。 典型的二维散射问题是：无限长理想导体对平砥入射波的散射问题。考虑如图( 2 一1 ) 所示的封闭理想导体柱面s ，由于入射的横磁波( 即t m 波) 或横电波( 即t e 波) 的存在，s 面上会激发出感应电流止或以，：或正又会产生向外传播的散射场， 散射场和入射场迭加后的总场应该在s 面上满足总的切向电场恒为0 。 图( 2 1 ) 二维电磁散射问题 应用有限差分或有限元法求解电磁散射问题，需要寻找合适的边界条件。近年来 受到广泛重视的种边界条件是由k k m e i 教授提出的测度不变方程( m e a s u r e d e q u a t i o no fi n v a r i a n c e ，简称m e i 方程) 1 。将m e i 方程作为边界条件，结合有 冷 g 中国科学技术人学例i 论史第二章测度不变方程法 限差分方程即得到了f d m e i 方程。这种方法能将网格的边界截取在物体边界的附近 ( 通常只需2 3 层网格的距离) ，同时保持了差分方程的稀疏性，从而大大节省了计 算所需的时间和存储空间，作为一种简单而实用的快速算法受到了学术界的广泛关 注。 2 1 测度不变方程基本理论 m e i 方程描述的是网格截断边界上任一节点处的场量与周围节点处的场量之间 的线性组合关系印对于网格边界上的每一个节点，都存在如下类似于差分方程的局 部代数方程： d，o，=0(2-1) i = 0 、， 01 45 ( a ) n = 7 r 4i 。!367 1 ( b ) n = 9 图( 2 2 ) 网格截断边界处的节点结构 中周科学技术大学硕i 。论文 第二章测度不变方程法 其中j 7 v 是方程中所包含的节点数日，i = 0 代表所研究的节点，i = 1 , 2 ，n 代表其周 围的节点，巾，是各点处的场值，口i 是一组待定系数，称为m e i 系数。图( 2 2 ) 是 = 7 和n = 9 时各节点的位置结构。i ( - l ( m e i 对上述方程作了如下假设： 1 ) 与节点所在的位置有关； 2 ) 与散射体的几何形状有关：， 3 ) 与入射场( 激励) 无关； 并因此而把该方程称为测度不变方程，即m e i 方程。 如果把m e i 方程看成是网格截断边界上散射场所要满足的边界条件，并结合网 格的差分方程，就能求解整个网格区域内的散射场问题。由于m e i 方程只考虑了边 界节点与其周围节点之间的关系，仍是局部代数方程，因此f d m e i 方程仍保持了很 好的稀疏性。 为了求解m e i 系数，需要在物体表面选择一些可能的电流分布 ( i ) ( k = 1 ，2 ，m ) ，即测度子( m e t r o n ) 。通过这些测度子的积分可以得到出它们所产 生的散射场，称为测度函数： t m 波： 奄：( i 。) = 一j u nl g ( i 。? i t j k ( ) d 1 1 t 2 2 1 l t e 波： ：r 只j = 一业。，导g r 只，i7 j 正r i ) a t 7 ( 2 2 2 ) i 【，n 其中i 为边界节点的位置矢量，i 为散射体表面位置矢量，s 代表散射场，a 表示散 射体表面的单位法向，r 是环绕散射体表面的曲线。g ( ，i ) = 一j 4 h o 2 ( i i i ) 为二 维空间格林函数。根据假设( 3 ) ，将这m 个m e t r o n 得到的测度函数分别代入( 2 1 ) 式中，就能得到个关于m e i 系数的方程： 芝d f o ；r ij = 0 k = l ，m m ( 2 3 ) 在卜1 个m e i 系数中只有个系数是独立的，剩下的一个可任意取值，不妨令 = 一1 ，( 2 - - 3 ) 式就能写成一个关于m e i 系数的线性方程组，可以表示为矩阵的 中周科学救术人学倾f 论文 讹章测度不变方程往 形式 仍i妒i 2 妒2 - j妒22 p m l p ，2 p i 妒2n a - a 2 ： a = 臣 ( 2 4 ) 应用奇异值分解( s v d ) 法【2 来求解上述矩阵，可以得到该节点对应的一组m e i 系数。 在式( 2 - - 3 ) 中，测度子的数目可以大于m e i 系数的数目( 即m n ) ，此时可 以用常规的最d , - - - 乘法确定一组最佳的m e i 系数。在实际的计算过程中，通常取 m n 。2 进行计算。确定m e i 系数之后，对于网格最外层上的节点就可以列出m e l 方程。 m e i 方程一旦建立，截断边界上的边界条件就已经确立，我们在截断边界和物 体表面边界之间填充有限差分网格，可以建立一个求解散射场的编疏矩阵方程，称之 为f d - - m e i 方程。 对于网格内部的节点列出经典的差分方程，而对于物体表面 二的节点则运用理想 导体表面边界条件，即切向电场为零或法向磁场为零( 以二维散射体为例) ： t m 波： f+e=0(2-51) t e 波： a ( ，。十h ：) 锄= 0 ( 2 5 2 ) 其中，e 。、? 。是入射场，e 、h ；是散射场。 这样就可以建立所有网格节点散射场的f d - - m e i 方程组： m 扣5j = 【6 】 ( 2 6 ) 其中卜j 为网格节点上的散射场组成的未知向量，阻】为m e i 系数组成的稀疏矩阵， 【6 j 为常数项组成的列向量。上式可以用特定的稀疏算法实现快速求解。 中国科学技术人学钡1 论盅=第二章测度1 ；变方程 上 所以，用m e i 方法解决电磁场散射问题的完整过程就是先求解m e i 系数，再求 解f d m e i 方程。 2 2 测度不变方程理论的证明 在kkm e i 最开始提出这一理论时，m e i 方程对入射场的不变性只是作为一种 假设被提出来，因此也有学者对此表示怀疑。但是最近这一假设得到了理论上的证明 3 】，即m e i 方程对于入射场确实具有不变性，但m e i 方程精确成立的条件是方程中 的节点数目须趋向于无穷大。证明过程简述如下( 以下讨论的是m = n 的情况； 对于m n 的情况，也有类似的结论) 。 对于任意激励场所产生的表面电流，可以用一套测度子来展丌： n ，：( i ) = c 。以( p ) ( 2 7 ) h = 1 其中e 是展开系数，j 。即相当于m e i 方法中的m e t r o u 。将( 2 - - 7 ) 式代入( 2 2 1 ) 式得到： nw 圣；= 一弘c 。j g ( i ，i ) ，。( i ) 胡= z c b 。 f _ 1 ，2 ，j v ( 2 8 ) 其中b = 一j c o p 。f g ( 弓，i ) ，。 i ) d l 。将( 2 8 ) 式写为矩阵的形式，即： r b s _ 口 c ( 2 9 ) 其中陋f 是以b i 。为元素的矩阵， q 是由e 组成的列向量。由( 2 9 ) 式可得 c 】： 陋】一陋s 】，代入节点0 的散射场中：的展开式中，有： 中：k c 】_ 口】_ 】k ”b ，】 ( 2 1 0 ) 由于不同的入射场只影响到不同的展开系数集e 的不同，而( 2 - - 1 0 ) 式所表示 中囝科学技术人学硕l 论义 第一幸 测度小变方程法 的圣。与母币。的线性关系是与e 无关的，因此可以证明m e i 方程确实是对入射场 具有不变性。同时，由( 2 - - 7 ) 式可以看出：只有当n = o o 时，等式才精确成立；当 为任何有限值时，都存在残留误差。然而，只要足够大，就能保证m e i 方程在 近似意义上成立，从而得到满足精度要求的解。以往的研究多数是采用六点的m e i 方程( 对应于n = 5 ) ，然而当需要求解电大尺寸或不规则形状物体的散射问题时， 仅用= 5 是不能达到精度要求的。本文将通过实例证明：采用增大和肘的方法， 可以提高m e i 方法的计算精度。 2 3 测度子的选取 按照m e i 方法的理论，m e i 系数的确定与测度子的选取无关，即任意函数形式 的表面电流分布都可以作为测度子。一种常用的测度子是具有不同阶数的谐波函数的 组合。m 取奇数： 以o ) = e 1 2 “。k i 掣( 2 - - 1 1 ) 其中上是散射体的周长，0 5 是围绕散射体表面一周的变量，k 代表不同的阶数。 采用这种测度子，相当于将( 2 7 ) 式中的进行傅立叶级数展丌，并只保留阶数较低 的级数项。当散射体表面电流的频谱分量主要集中在低频区时，采用谐波函数作为测 度予计算能够得到精度较高的m e i 系数 4 。这种方法的缺点是需要进行环绕物体表 面的积分运算( 见( 2 2 ) ) 。而这些积分显然要耗用大量的时间，对于大尺寸的散射 问题尤为严重，降低了m e i 方法作为一种快速算法的性能。 为了避免积分运算，我们很自然想到用6 函数，即分靠在物体表面的点源作为测 度子，从而有： ，i 仁) = d ( 一一五) 拓1 ，m ( 2 1 2 ) 其中i ( k = 1 , 2 ，m ) 为任意选定的一组物体表面位黄矢量。将( 2 1 2 ) 代入( 2 - - 2 ) ，即得到 中周科学技术人学坝i 论文 箝一章 测度一i 变方程法 t m 波：= 一, t km 。2 ( 忙一i ) 4 ” t e 波：= 譬c 。s f 2 ( 尼k 一五i ) i = 1 , 2 ，n k = 1 , 2 ，m( 2 - - 1 3 1 ) i = 1 , 2 ，一，nk = 1 , 2 ，一，m ( 2 1 3 2 ) 由此可见，每一个测度子在边界节点建立的散射场可以不用积分而直接求得，大 大节省了生成m e i 系数所用的时间。 为了验证6 函数作为测度子的有效性，我们分别计算了具有圆形和矩形截面的柱 状理想导体在平面电磁波中的散射问题。图( 2 3 ) 是半径为1 o ) 、的圆形截面柱状 理想导体在t m 入射波中激励的表面电流分布。作为比较，我们让从5 增大到1 5 ， 并保证m nz2 。从图中可以看出，随着j 值的增大，计算结果逐渐逼近精确的解析 解，当= 1 5 时，两种方法的结果已经基本吻合。图( 2 4 ) 是2 0 k xo 5 入的长方形 截面柱状理想导体在t e 入射波中激发的表面电流分布。从图中可以看到与图( 2 3 ) 类似的收敛趋势。 00 0 6 0 0 0 5 0 0 0 4 00 0 3 i u 一0 0 0 2 00 0 1 0 0 0 0 + m e in - - - 5 图( 2 3 )半径为1 o 入的圆形截面柱状理想导体在t m 入射波中激励的 表面电流分布，a o = k 2 0 ，a 0 = a p n 中固科学技术学坝i 论业 筘二章测