（基础数学专业论文）亚纯函数的增长性与代数体函数t方向的存在性.pdf

摘要 本文先后研究了亚纯函数的增长性和代数体函数一类新奇异方向一t 方向 的存在性全文共分五章： 第章介绍了亚纯殛数及代数体函数的一些常用记号、相关知识和基本定 理 第：章在对亚纯醢数的零点及其导数豹l 值点的分布绘予某些限制条件时， 讨论亚纯函数的辐角分布与增长性，得到了其增长级的一个较精确的估计 从第三章开始，我们将论证代数体函数在不同条件下一类新的奇异方向 ( 即r 方向) 的存在性这种方向以特征函数为比较函数其中第三章论证了零 级 值代数体函数w f z ) 在满足菜些条件下r 方向的存在性，同时给出了最大型 b o r e l 方向与r 方向之间韵关系第四章考虑无穷级”值代数体函数w f z ) r 方 向的存在性，同时给出了代数体函数的强b o r e l 方向与r 方向之闻的关系第 五章主要考虑单位圆内零级代数体函数z 方向的存在性 关键词 代数体函数，亚纯函数特征函数，增长性，r 方向 8 e 袅；- 2 0 0 6 崩硕十研究十。、忙论文 a b s t r a c t t h ea i mo ft h i st h e s i si st oc o n s j d e rs o m ep r o b l e m sr e l a t e dt ot h eg r o w t ho f m e r o m o r p h i cf u n c t j o n sa n dt h ee x i s t e n c eo fan e ws i n g u l a rd i r e c t i o n ( 丁d i r e c t i o n ) f o r a l g e b r o i d a lf u c t i o n s 0 u rm a i nw o r l ( sa r ea sf o l l o w s i n c h a p t e r1 ， w ei n t r o d u c e ds o m ec o m m o n s i g n s ， b a s i ck n o w l e d g ea n d f u n d a m e n t a l t h e o r e m sc o n c e m i n gt h ep m b l e m st h a tw ed i s c u s s e di nt h et h e s i s i n c h 印t e r2 ， w e i n v e s t i g a t e d t h ea r g u m e n td i s t m u t i o na n d 乒o w t h o f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n su n d e rt h er e s t r i c t i o no fs o m ec o n d i t i o n sf o fz e r o s0 ft h e m e r o m o r p h i cf i l c t i o na n d1 一p o i n t so fi t sd e r i v a t i v e ，a n do b t a i n e dam o r cp r e d s e e s t i m a t i o nt o w a r dg r a w t ho fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i l ll h eo t h e rc h a p t e r s ，w ep r o v e dt h ee x i s t e n c eo fan e w s i n g u l a rd i r c c i i o n ( r d i r e c t i o n ) f o ra l g e b m i d a lf i l n c i i o n su n d e rd i f e f e n tc o n d i t i o n s a sc o n c e m i n gt h e rd 主r e c t i o n ，t h ec h a r a c t e r i s t j cf u n c t i o nr ( r ，w ) i su s e da sac o m p 盯i s o nf u n c t i o n i n c h a p t e r3 ，w es t u d i e dt h ee x i s t e n c eo f 丁d i r c c t i o nf o rz e r 0o r d c ra l g e b r o i d a l f u c t j o nw ( z )w i t l l v a l u e i na d d i t i o n ，t h e l a t i o nb e t w e e nm a x i m 啪b o r e l d i r e c t i o na n drd i r c c t i o nw a sg i v c n i nc h a p t c r4 ，w ea r g u e dt h ee x i s t e n c eo f 丁 d i r e c t i o nf o ri n f i n i t eo r d e ra l g e b r o i d a lf u n c t i o nw ( z ) w i t h v a l u e s y n c h m n o u s l y ， t h er e l a t i o nb e t w e e nm a x i m a l i t yb o r e ld i r e c t i o na n drd i r e c t i o nw a s 西v e n 1 n c h 印t e r5 ，w et e s t i f i e dt h ee x i s t e n c eo f 丁 d i r e c t i o nf o r t h ez e r oo r d e ra l g e b r o i d a l f u n c t i o n w ( z ) i nf h eu n i tc i r c l e k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t j o n ，c h a r a c t e “s t i cf u n c “o n ，g r o w t h ，a l g e b m i d a l f u n c t i o n 7 1d i r e c i i o n 2 第1 章引言与预备知识 1 1 引言 对于一个复函数，仁) 与任意复数口，方程，0 ) = n 是否有根，根的多少以 及分布情况怎样等问题，常常是函数理论研究与实际应用需要解决的阅题1 9 世纪末期，著名数学家p i c a r d 和b o r e l 对此获得了突出的成果到二十世纪二 十年代，弧纯函数的研究经历了一个突变，即著名的芬兰数学家r n e v a n l i n n a 创立了亚纯函数值分布理论1 9 2 5 年，他引进亚纯函数的特征函数，建立了距 纯函数的两个基本定理，被称为n e v a n l i n n a 定理，开始了值分布理论的近代研 究该定理后来一直成为值分布理论研究的奠基石，从而也被称为n e v a n li n n a 理论以往的p i c a r d 、 b o r e l 定理都成为它的简单推论国际上有一批数学家 如：w k h a y m a n ，g v a l i r o n ，a e d r e i ，w f u c h s 等己在亚纯函数值分布 领域内做出了许多优秀工作我国数学家熊庆来、张广厚、杨乐等以n e v a n l i n n a 理论为工具，在值分布方面进行了更深入的研究并获得了许多优秀成果，在国 际上走在前列 近半个世纪以来，n e v a n l i n n a 理论研究不断发展，而且在复微分方程振荡 理论、代数体函数等方面有着极为丰富的研究内容代数体函数的研究起源于 r n e v a n l i n n a 的一些研究工作，他不仅为代数体函数研究奠定了理论基础，并 为代数体函数的研究和发展注入了新的活力最近几十年，国内外许多数学家 如：a r a u c h ，g v a l i r o n ，n t o d a ，何育赞，吕以辇，仪洪勋，肖修治，孙 道椿等对代数体函数进行了不同方面的研究，他们在代数体函数的奇异方向及 奇异点的存在性、充满圆的存在性、唯一性定理、正规性定理等方面获得内容 深刻的结果，进一步推进了值分布论的发展随着对代数体函数研究的不断发 展和完善，一些问题得到了解决，新的研究问题又不断出现，如本文提到的r 方向是近几年值分布领域提出的一个新概念并成为学者们关注研究对象本文 将继续r 方向的研究，先后研究了亚纯函数的增长性和代数体函数在不同条件 下一类新奇异方向( r 方向) 的存在性 全文共分五章本章将介绍与本文研究内容有关的一些基础知识、基本定 理和相关记号 1 2n e v a n lin n a 特征函数。级与下级 设，( z ) 为c 上的亚纯函数，我们用”p ，厂) 表示，( z ) 在f z l 5r 内极点的个数 ( 按重数计算) ，而i ( r ，) 表示，( z ) 在h s ，内的不同极点个数( 重级极点仅计算 一次) 特别地，h ( o ，) 表示，( z ) 在z = 0 处极点的重数因此，对于复数口， n p ，了笔) 表示方程厂( z ) ；n 在h sr 内根的个数( 重根按重数计算) ， 五( r ，7 三) 表示方程厂。) = a 在h sr 内不同根的个数( 重根仅计算一次) 弧纯雨数的增艮性与代数体函数丁方向的俘住性 定义121 我们分别称 ( r ，厂) ：j ：! _ 【生掣r + n ( 。，) l 。g r 丽( ，) ：j ：i ! 掣r + 元( 。，) l 。g r 为，( z ) 的极点的密指量和精简密指量而称 ：j ：簟， 丙：掣。 m ( o ，击) l o g r + 一( 。亡) l o g r m 为，( z ) 的n 一值点的暂指量和，( z ) 的n 一值点的精简密指量 定义1 2 2 对于x 2 0 我们称 l o g _ - m a x ( 1 0 9 加) ； 1 警o ：， 为x 的正对数 。 定义1 2 3 我们称 m ( ，) 一去j ：1 0 9 + l 巾扩) k 脚( r ，击) - 扣g + l 赤 分别为i ，( z ) i 和b 瓦旨1 的正对数在i z l ；r 上的平均值有时，我们又记 m | ，寿) 为坍( 吖2 口) 或掰( m ) 有了这些定义，我们可给出n e v a n l i n n a 特征函数的定义如下： 定义1 2 4 ( 特征函数) 我们称 r ( r ，) = ( r ，) + m ( r ，) 为，0 ) 的n e v a n l i n n a 特征函数，简称为，乜) 的特征函数 定义12 5 ( 级与下级) 记 a ( ，) 娟m s u p 掣 t o g ， p ( ，) = l i m i n f 掣 我们称a ( ，) 和( ，) 分别为，( z ) 的级与下级 使用上述记号和定义，应用p o i s s o n j e n s e n 公式可以得到： 定理1 2 6 ”3 ( n e v a n i i n n a 第一基本定理) 设，( z ) 在开平面c r ( s 。o ) 内 亚纯若口为任意有穷复数，则对于o 。，。尺有 2 0 0 6 届硕 研究生学仿论文 丁( ， 击) 叫r ，) 巾削叫v ) ， 其中c r 为了 在原点的t a y l o r 展式中第一个非零系数，而 r i z l 一口 l ( 口，) i 墨l o g + l 口l + l 0 9 2 定理1 ，2 ，7 ( n e v a n i i n n a 第二基本定理) 设函数，( z ) 为开平面 hc r ( s * ) 内亚纯，不蜕化为常数又设( ”a 1 ，2 ，q ) 为g ( z2 ) 个有穷复数 并且。；密。i a 。一l 6 ，o 若，( o ) 一o ，o 。：，( o ) 一o ，则对于o t ，c r 有 m ( r ，) + m ( m 。) s 2 r ( ，) 一1 ( ，) + s ( r ，) 其中 1 ( r ) = 2 ( 吖) 一j v ( “) + f ，* 蹄川钏州幡去) + q l o g + 和g z + 妞南 1 3 对数导数基本引理 在估计第二基本定理的余项s ( r ，) 和实际应用中，下列定理十分重要 引理1 - 3 1 ( 对数导数基本引理) 设函f 数，( z ) 为开平面hc r ( 。) 内亚 纯若，i o ) - o ，m ，则o t rc pc r 有 m ( ，手) 1 0 州呵慨+ 南矧呵； + 3 l o g + 意+ 4 l o g + p + 4 l o g + 丁( p ，) d r 、。 熊庆来将此引理推广成： 引理1 - 3 2 ”3 设函数，( z ) 为开平面i z ic r ( s 。) 内亚纯若，( o ) 一o ，。， 则对于0 r p r 有 卅( ，竽h 川o s + 崦+ 南札g 号 “o g + 古+ 1 0 9 + p + 1 0 9 + r ( p ，) 口一， 。l 为了处理引理1 3 1 中的j 0 9 + 丁( p ，) 这一项，我们常常需要下面的b o r e l 引理 引理1 3 3 ( b o r e i 引理) ( 1 ) 设丁( r ) 在s ，c 。足连续、非减函数， ，( ) = 1 ，则除去，的一个集合矗后恒有 ! 丝笪垫盟望垦些! ! ! ! 垫笪堕墼三互旦塑壁鱼旦- 一 且毛的线性测度刁、超过2 ( 2 ) 设r ( ，) 在r 05rc rc m 是连续、非减函数，丁( ) 1 ，则除去r 的一个 集合后恒有 r l + 赫p ，) ， 且l 菁5 2 特别地若c pc p 7 c r 与r p c 字，则在区间( p ，l 。7 ) 内必 有，使上式成立 用引理1 3 1 和1 3 3 ，可以证明第二基本定理的余项l s ( r ，) 具有如下性 质： 定理1 3 4 设，0 ) 为开平面hc r ( s 。) 内亚纯，不蜕化为常数， s ( ，) 为第二基本定理的余项则当，( z ) 为有穷级时有 s ( r ，) = o ( 1 0 9 ，) ，( r 一。) ： 当，0 ) 为无穷级时有 s ( ，) = o ( 1 0 9 ( ，丁( r ，) ) ) ，( r 一。) ： 可能须除去一个集合，其线性测度为有穷 1 4 亏值理论的相关知识 我们简单介绍亏值理论的基本概念和基本结果 定义1 4 1 ( 亏量) 设，( z ) 为开平面上的超越亚纯函数，n 为任意复数记 m 川母，蜊小卿捌 则称6 口，) 为口对于，( z ) 的亏量 容易看出o s 6 ( 口，) s 1 定义1 4 2 ( 亏值) 若口对于，( z ) 的亏量6 ( 口，) 大于o ，则称复数日为亚 纯函数厂( z ) 的亏值也称之为n e v a n l i n n a 例外值 关于亏值与亏量，他们具有如下基本性质 定理1 4 3 ( 亏量关系式) 设，( z ) 为开平面上的超越亚纯函数，则，0 ) 的亏值至多为可数集，且 f 6 k ，) 52 1 5 测度知识 我们还要介绍测度方面的一些定义 2 0 0 6 届硕十研究生学位论文 定义1 5 1 设hc ( o ，。) 为司测集用f 办表不h 的测厦( 即 h 研( h ) ：r 毋) 用r 尘定义h 的对数测度，且汜为竹( 日) ，即m ，( h ) = 降 ，jr ， r 定义1 5 2 对于上述对数测度还可记为m ，( h ) ；f 兰字如，其中集合 奢 hc ( 1 ，* ) ，肠( f ) 是集合的特征函数另记 坠垒! ! 翌( h ) ；! 塾i n f m ，( hn “， ) l o g r ， 面甄石( h ) 。! 鲤s u p 竹( 日n ( 1 ，r ) 1 0 9 ，) ， 1 6 代数体函数的相关知识 设w ；w ( z ) 是由方程 4 ( z ) + a 一，( z ) 。1 + + 4 ( z ) = o 所定义的”值代数体函数，其中系数4 ( z ) ( f = o ，1 ，”) 是定义于l z t * 内的整 函数，且没有公共零点+ w ( z ) 的单值定义域是一个黎曼曲面爱：，蠢：是z 平面 的口叶覆盖曲面蠢：的点用；表示，；在z 平面上的投影是z ，葡；在圆cr 上 的部分记为hc ，令 跏川= 剥崧卜卟“j ：掣 s ( r ，w ) 是阁s ，覆盖w 球面的面积平均值，丁( r ，w ) 为w ( z ) 的特征函数，它与 n e v a n l i n n a 特征函数仅相差一个有界变量用n ( r ，a ) 表示w ( z ) 一口在h s r 内 的零点个数，若不计重数则记为i ( r ，n ) 用n ( r ，觅) 表示蠢：在同sr 内的分支 点个数，分支点的级计在内，令 岫：) ；知坐掣吼+ 掣咿 现在，定义平面上的角域 ( 岛，6 ) 一纠f 盯g z 一i cd ， ( 岛，6 ) = z i l a 唱z 一岛ls 6 其中o s 靠c 舫，o c 6c 詈用五( 岛，6 ) 和五( 岛，6 ) 分别表示五：在( 岛，6 ) 和 ( 岛，上的部分 用一( ，( 吼，n ) 和n ( ，( 嚷，五z ) 分别表示在 五( 吼，6 ) n 怍sr 内w ( z ) 一。的零点个数和五。的分支点个数，重级计算在内 咂纯函数帕增k 性与代数体雨数丁方l i l 】的存n ：性 p 向埏坝给出的一些定义 定义161 代数体函数w ( z ) 的级定义为 p ；l i m s u p 堕里型 i o g r 当p = o 时称为零级：当p = o 。时称为无穷级：当oc pc m 时称为有穷级 定义1 6 2 设w ( z ) 为零级”值代数体函数，如果对于v e ( o ) ，在 角域( 氏，s ) 内，有 卿掣北 对任意复数口成立，至多除去2 ”个例外值n ，称半直线工：a r g z = 吼为w ( z ) 的 一条最大型b o r e l 方向其中u ( r ) 称为丁( ，w ) 的型函数 定义1 6 3 半直线l ：a r g z = 8 称为 值代数体函数w ( 2 ) 的r 方向，如果 对于任意的o cs c 薹，有! 缈- 掣地 成立，最多除去关于n 的2 ”个例外值 定义1 6 - 4 一个方向( ) ，如果对于任意的s f o c c 罢) 及任意复数口 有 、j 黔u - 业躲型地 ，* 1 u i ，i 成立，最多除去关于口的扫个例外值，称方向( ) 为代数体函数w ( z ) 的强 b o r e l 方向其中( ) 表示一条从原点引出的半直线：a r g z = 吼 9 第2 章亚纯函数的辐角分布与增长性 2 1 引言及主要结果 根据v a n l i n n a 理论，亚纯函数及其导数取某些值的点的分布对亚纯函数 本身具有一定的确定性因此亚纯函数的许多值分布性质很大程度上可以由这 些点的分布来决定如果给予这些点的分布一些适当的限制，则可以得到函数 增长性更精确的估计本文考虑有穷下级亚纯函数，k ) 的增长性，推广与改进 了文 4 ，5 的结果 1 9 9 3 年，伍胜健在文 4 中考虑用函数的零点和极点来估计函数的增长性， 得到如下的定理： 定理a 设，g ) 为下级“c 。的平面内的亚纯函数， a 唱z b ( 七一1 ，2 ，- - ，z ；1 s f o 。；o s q 岛 o 若对满足： 一万墨a 1 岛s 口2 芦2s 口q 卢gs 石， 的q 对实数仁f ，芦， 和整数七，o ，存在 孝( ，一岛) t 吾a 心n 拄。；撕坞， ( 2 1 1 ) 使得 ，。1 0 9 h ( r ，y ，暑o ) + 五( ，y ，扯= 1 ) m n s u p l osp i o g r 其中，p 为任意给定的非负实数，l ，= u ：。，s a 唱zs 声jj ， - 1 吡一x 焘，矗 ，脚a x k 刚) ，o ) 的级 【，) m a x 屿，p 设a 唱z = 口，( 1 s ，s 日，1 q o 。) 为复平面q 条射线，满足 一玎s 只 目2 ” o ，其中k 为一仅依赖于 ，尼：和6 k ，j 而与r 无关的常数 引理2 2 4 踟设r ( ，) 是( o ，m ) 内的一个连续递增趋于。的正值函数， 1 是 一个单调趋于。的序列，使得l i m 竺掣； 。，对任意取定的数 l o g ( o c c 。) 和h ( o ) ，记女。= 矿，t ：；p ”和e = ，；r 为阮，七：) 正规 ，则 嫩南m 和寺 引理2 2 5 。1 若，( z ) 在角域五白，卢) 上亚纯，不蜕化为常数，则 ( f ) s 印 ，7 笔) 2 s 舻( r ，) + s ( 厂，n ) ，对于任意复数n 成立，其中s ( ，n ) 当， 趋于。时为有界量 坼升卟钟小f o l o 黜纠蔗篙纂 当，( z ) 为无穷级时，后一估计式的成立可能要除去一个测度为有穷的点集e 引理2 2 6 “1 若，仁) 为角域五白，卢) ( o c 芦一口s 扛) 上的亚纯函数， e ，o ，d ) 1 为任意给定的数，记咄= p 一口，则至多除去一个r 值的集合e ， 忑恐cs ，有 m 叩( r ，) s 曲”随口( ，) + 1 ) 。 其中k 为仅依赖于和d 而与r 无关的常数 引理2 2 7 嘲若，0 ) 在复平面上亚纯，则对任意的正整数口，有 嘶，) l 为实数_ ! j 1 0 存在一个 集合e ( m ) ，其上对数密度至多为哦( m ) z ( 2 e ”一1 ) _ 1 ，使得对任意诈整数p ， 1 l 口 l ； 厂 口 r 、j “ 、j r 州 口 ) ，l f f d ， 一4 扣 6 一圳一4 一 一 一、j i ，一矿 矿 一， 厂 g g o o 垩丝堕塑塑堕鉴丝兰垡墼堡堕塑三塑塑堕堡垒堡 ：豁，揣 fi t l r 社l m j一、oj 上述引理中的e 小一定都相同 2 3 定理的证明 由m 。( r ，) 的定义可知对任意的a ，卢( o c 芦一a 墨h ) 有 叶赤卜( ，南)【 可二j + i 可j 嘶( ，茄卜( r ，茄) + 抑华( ，等卜( r ，南卜， 嘶( r 匙) 砌郇( ，等) 饥( r 等卜卜专) 枷， ( r i 南) 吼卜茄一p ) ) 有叶忐卜印( ，笳p 川) ， ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 墨( r ，( p ) 为n e v a n l i n n a 理论中对，( ，g ) 而言通常的余项 由p ( ，) ；肛( ，) c * ，则存在( t + 。) 一* ，( 尼一o 。) ，使得 l i m ! ! 竖啦! 坐。“ ”一 l o g 设e + = ，：r 为慨，2 ) 正规) ，其中女。= 矿，2 = p ”，这里h ( o t c * ) 和 日( 2 口) 为任意给定的数，由引理2 2 4 得 牌矗眠，孚小号 ( 2 3 7 ) 当口为，扣( z ) 的有穷亏值时，由引理2 2 3 知存在不依赖于r 的正数叩( 为仅 依赖于，：和6 ( 口，) 的常数) ，使得对每个充分大的r e ，存在相应的 辐角口的集合e 僻) ，当日e 伍) 时有 l o g 赢丢a 地产) l ( 2 3 8 ， 且m 觚c r ) 芑叩， ( 2 3 9 ) ( 当n 。时，将以l o g ，( ，( r e 8 卜吾6 g ，厂，) p k ，厂( ，) 代替( 2 3 8 ) 式) 取町( oc ，7 c 苦) ，得到口个角域孬p ，+ 叩7 ，日m 一”) ( ，= l ，2 ，g ) 由( 2 3 一t 9 ) 式对每个充分大的r e + 至d 存在一个角域 1 3 2 0 0 1 旦塑塑至尘! ：! 至鱼壅一一 孬如。+ 叩，8 。+ ，一叩) 兰五( 8 。，。一”) 使得有 m e s 忙( r ) n q ( 畦，e 胁茜， 对丢嘉及每个q 婶，+ 7 7 ，8 一叩) ( j - 1 ，2 ，日) 应用g l 理2 2 6 对于每个 6 ：陋：c 舻删，至多除去一个r 值的集合蕊砌7 詈当 r 童e 删时看 。 州叫卜筘) s 觑南卜“一一卜筘h 忆3 这里k 为仅依赖于堕和d 而不依赖于r 的常数 盯 由( 2 3 6 ) ，；2 3 8 ) ，( 2 3 1 0 ) 和( 2 3 1 1 ) 式，有 去茜a 一地严) 一“冉( r 赤) 一。k 茄1 + 马时)5 加，0 l r ，季而i + 马忸，佃j j 一袁卜卜笳) + 1 ) + 叩p ) ) ，( 2 3 - 1 2 ) 对一切尺e 亟e 肼成立由引理2 2 5 得 s 西卜筘h 小等) + o 嘞小芳一。( r 等) _ 衍卜等) 加( 1 ， “靠。式k 南h _ 。时一) 十r 时一) “靠_ f r ，南卜+ l k ( r ，) + c “一( 町) + r 1 时一) 一“一卜南1 + o + 2 k 唧陋，) + r 泌，产1 ) 蚰，c r ，产) ) ：( p + 2 k 慨，) + r ，伍，f p ) + o ( 1 ) s ( 2 p + 3 弦如一，略一( r ，) + r - k ，产( 尺，厂) 2 3 1 3 由( 2 1 4 ) 式对任意，o ，当r ，0 时有 。( ，；i ) ) + n ( r ，z ，产；1 ) t r “一 1 4 弧纯函数的增k - | 生o j 代数体函数7 方向的存在性 注意到 w 九1 ) 獾毒 其中b 。为，( “一1 在q 幽- 上的零点，k r = 玎 ” e r e r 又 ，。赢毒：f 掣 ：掣+ 硝丝辫也+ o ( 1 )尺b 一吖1 “ 。、7 s r ”岛”+ j ：l 去了砂+ o ( 1 ) = o ( r ”即) 所以c 靠。( r ，严。一1 ) 一o ( 胪即) 同理得到 c 一一( r ，= o ) 一o ( r 屿+ 。) 由引理2 2 7 及上两式有 5 ，如- ( r ，) s o ( r ”) + 墨( 尺，) ( 2 3 1 4 ) 由( 2 3 1 2 ) ，( 2 3 1 3 ) ，( 2 3 1 4 ) 去吾a g ， p ) s k r o ( r ”“) + r ( 足，p ) + 奄( r ，) 。+ r ( r ，( p ) ( 2 3 1 5 ) 又至多除去一个具有有限线测度的r 的集合e 。外，有 r 。陋，) - o ( 1 0 9 r ( r ，) + l o g r ) ， 下面进一步估计r 伍，) ，取充分大的j j l f ，1 ，使得 哦) ”一1 ) 1c 6 ： 由引理2 2 8 ，除去一个上对数密度至多为6 。( m ) 的集合e ：外，对一切尺有 丁( 町) s 去棚( 列旧) 如果r 隹e 。u e ：，则有 。 蜀伍，) = o ( 1 0 9 丁亿，) + l o g 尺) = 0 0 0 9 丁忙，b ) + l o g r ) ；o ( r l 恢，( ，) ) 因此，对尺fe4 一岜e 纠一毛一e ：1 n ，。) ，由( 2 3 1 5 ) 式有 ik 。1 月j ， 。 丁( r ，扣) s r 唧 o ( 尺”) + r ( r ，h ) + r ( r ，) ) 4 + o ( r l ( r ，c 一，) ) s 巧r h 月”“”+ r ( r ，p ) 。 = k r 岛p “”+ l o g 丁( ) + 1 0 9 r 4 1 5 2 0 0 6 脯颁十研究q i 学位论文 s k 。舻“+ 1 0 9 只m 。g 丁( 町) + 1 ) 。 s k 。r 粕 r ”k ”+ l 。g 尺) 4 ( 丁( r ，b ，) ) 5 ， 从而 r ( r ，产) s 墨胄鲁p 却。g r 击 ( 2 3 1 6 ) 由( 2 3 1 6 ) 式，当r 五；f e4 一q & 一e l e ：1 n r o ，* ) 有 f ( 矿，) s p 竺- 。“ 啪， 【墨r “，略 p 从而得到 鉴掣叫两两+ 警，掣1 记 舒( s ，巩d ) ( 2 3 + 1 7 ) 嘶( 嘞) c 吲峨，卜 由局，占：的定义有i i 磊碹；o ，菌函丽_ e 2s 岛( 肘) c6 ： 从( 2 3 7 ) ( 2 3 1 8 ) ( 2 3 1 9 ) 推知 ! 鲤i 去正m 川孚= 一号一2 a ：，o l o g j 5 ” 1 ，1f 日。2 。 由( 2 3 2 0 ) 式可知e 非空，应用引理2 2 4 有 笋南m 川孚小掣 和 ( 2 3 1 8 ) ( 2 3 1 9 ) ( 2 3 2 0 ) ( 2 3 2 1 ) 字去机知罗毒，】知爹击啦粤 s 芈笋+ 丽f 慨1 + 面蕊，+ 面盈： ；坐! 型! + 2 6 一 o 假设f 和叩充分小和d 充分接近1 ，使得 b ( ，叩，d ) sb l = z m a x ( 三，p ) 如果事先选雌c 鲁s 芈掣，则有 6 些垫螋堂型咝堕堂丝一 ，1r 坐；型盟型 ( 2 3 - 2 2 ) 鍪9 面n ”了一h。昧。训 裟黑竽繁鬻 如嚣r 蠹丢翼嚣r 蒜 舯譬篓z ：篙誊篡翼：举_ 磊篡t 【r r n 掣】c i l r 1 + 掣卜现卿r ”彳，啪2 2 j - 拟蚴椴 舞哪r 和芋5 掣k g r c 堡矗l o g r ：一1 0 9 r 和j ：5 。l u “l 栅哦一：挚峨剐则= ( t 一掣) 蝣路 姚矗+ 掣，有( t + 哗掣卜娟哦 从脯 蹦i ：j 芝羚黧慧弋篱甓麓 得至i h 5 1 0 口( ，7 ，d ) 尹盾，即断言成立凼此羽仕恧甜5 u 3 “。一 骱州叭州州叭捌一卜义掣卜”_ 卜“ z k 严1 r 民，严) 娲州q “础、“。 紫。蜂掣s ( 1 + 掣卜刎“) ( 2 ，+ 6 ，。警。翻f 31 7 ) 妄，令h 一鸭f t o ，f o ，7 一o d _ 1 ， 豁( 2 3 2 3 冲他= 釜勃誓并旷蚺一 舰呻警螂戤债 。 黔p 等掣一a x 黟 7 3 2 3 ) 得到 第3 章关于零级代数体函数的r 方向 3 1引言及主要结果 亚纯函数的值分布理论可分为模分布和幅角分布两个方面在幅角分布方 面，具有代表性的定理是j u l i a 方向和b o r e l 方向的存在性定理g j u l i a 根 据p m o n t e l 的正规族理论首先证实了j u l i a 方向的存在性，后来又找到其它 的证明方法g v a l i r o n 借助于r v a n l i n n a 的亚纯函数理论并且应用关于 多项式的模的b o u t r o u x c a r t o n 定理而首先完成了b o r e l 方向存在性的证明。 之后又有不少学者对亚纯函数的j u l i a 方向和b o r e l 方向进行了很多研究，他 们发现当级p 一喊* 时，用级不能更好的来衡量函数的增长性于是郑建华在 2 0 0 3 年的文 9 中改用以特征函数为比较函数首次提出了亚纯函数r 方向的概 念2 0 0 4 年，郭辉在文 1 0 中证实了亚纯函数丁方向的存在性作为亚纯函数 推广的代数体函数( 代数体函数不再是单个变数的亚纯函数而是类多值解析 函数) 是否也存在这类新的奇异方向呢? 接下来的几章我们将考虑代数体函数 在不同条件下丁方向的存在性 设w ；w f z ) 是由方程 4 ( z ) w ”+ 4 1 ( z ) 。1 + + 4 ( z ) ；o ( 3 1 1 ) 所定义的 值代数体函数，其中系数4 ( z ) ( f ；o ，1 ，- 一，u ) 是定义于to 。内的整 函数，且没有公共零点 方青在文 1 2 中论证了零级代数体函数最大型b o r e l 方向的存在性本章 则将考虑零级代数体函数丁方向( 见定义1 6 3 ) 的存在性，同时给出最大型 b o r e l 方向与丁方向的关系 定理3 1 1设w ( z ) 是复平面上由( 3 1 1 ) 式确定的零级 值代数体函数， 满足： 1 i i l l s u p 掣叱1 i m s u p 等掣k ( 2 s k o ， ( 3 3 9 ) 成立，至多除去扫个例外值经选取子序列后，可以假定，当州一。时 皖一日这时方向工：a r g z = 疗则为所求的丁方向事实上，对任何给定的 d f o c dc 詈1 ，车角域( p ，6 ) 内，如果存在2 ”+ 1 个例外值口，使得 ，觚。，业坐：坐2 。1 i m s u p ，、_ _ 二2 = o r ，w j 我们总可以取充分大的m ，使( 皎) c ( 目+ ，6 ) ，因而有 黔u 一等一。煦锄p 群卸 这便与( 3 3 9 ) 式矛盾定理3 1 】祷j 正： ，一a ，、 w m 茄 2 0 0 6 届硕十研究生学化论文 定理3 1 2 的证明 并l ：a 唱z = 口为。条最大掣b o r e l 方向，则对 v s ( o ，么) 有 n ( r ，( 日，s ) ，n ) = 警f 号! s f 面虿 ( r ，( 口，s ) ，a ) 具甲f 为大于l 阳正整数 由最大型b o r e l 方向的定义及上式，显然有 0 l 卿p 错s 南黔u n 掣 1 u ( r ) l o g r( f 一1 ) r 一：一u ( r ) l 0 9 2r c 南缈p 帮帮粥慨s 丽罂如p 币罚一亩才耐 3 1 0 由型函数的性质和利用引理3 2 3 中的f f f l ，有 卿制d 晚唧粥 由( 3 3 1 0 ) 式得 l i m 。p 竺立掣掣：12 ，o m s u p i l t 二2 0 一 l ，”j 由( 3 2 4 ) 式可知，l ：a r g z 口也是一条z 方向，定理3 1 2 得证 第4 章无穷级代数体函数的丁方向 4 1引言及主要结果 1 9 9 4 年，陈特为在文 1 6 中论证了无穷级代数体函数强b o r e l 方向的存在 性，得到如下定理： 定理c 设w f z l 是复平面上由( 3 1 1 ) 式所定义的u 值代数体函数，且 p ；m ，则w ( z ) 至少存在一条强b o r e l 方向( 强b o r e l 方向的定义见定义 1 6 4 ) 本章将证明无穷级代数体函数r 方向的存在性，同时给出r 方向与代数体 函数强b o r e l 方向之间的关系 定理4 1 1 设h ，f z ) 是复平面上由( 3 i 1 ) 式所确定的无穷级 值代数体 函数，且p - * ，则w ( z ) 至少存在一条丁方向 推论4 1 2 定理c 中的强b o r e l 方向一定为定理4 1 1 所述的z 方向 4 2 引理 引理4 2 1 ”设w ( z ) 是复平面上由( 3 i 1 ) 式所定义的 值代数体函数， 且p = 。，则存在连续可微函数尸( r ) 及( ，( r ) ，满足以下条件： f ) p ( r ) 单调下降趋于零，p7 ( r ) 单调上升 “) ! 鲤s