（计算数学专业论文）凹型区域上两类外问题的人工边界条件.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 ，坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 ，本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果 5 ，其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意 作者签名 日 期 学位论文使用授权声明 翰乳 越羔! 堕 本人完全了解南京师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于菲赢利目的的少量复制并允许论文进人学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编人有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题 和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：j 堑塑 日 期：盐孕互压 硕士学位论文 摘要 本文采用构造法，研究凹型区域上双曲型外问题和抛物型外问题的人工边 界条件及其数值计算 第一部分，研究凹型区域上双曲型初边值外问题的人工边界条件及其数值方 法利用构造法给出圆形人工边界上三类等价的精确的和近似的人工边界条件 先引入一条人工边界r r ，获得了人工边界上三个等价的人工边界条件；然后 借助人工边界条件，将原外问题归结为与之等价的有界区域上的计算问题，用有 限差分方法和有限元方法进行数值求解；最后给出数值例子，数值结果表明文中 所得的人工边界条件是十分有效的 第二部分，研究一类具有凹型区域抛物型初边值外问题的人工边界条件及 其数值方法同样引入一条人工边界r r ，获得h l 的人工边界条件；利用所获 得的人工边界条件将原外问题化为与之等价的有界区域l 的计算问题；最后给出 数值例子以示该方法的町行性与有效性 关键词：双i f f i 型外问题，抛物型外问题，人工边界条件，有限差分法，凹型 区域 摘要 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x o t e r i o rh y p c r b o l i cp r o b l e m sa n dt h cp a r a b o l i cp r o b l e m sw i t hc o n c a v ea n g l e sb ya c o n s t r u c t i v em e t h o da n dt h e i rn u m e r i c a lm e t h o d s p a r ti ，t h ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x t e r i o rh y p c r b o l i ep r o b - l c m sw i t hc o n c a v ea n g l e sa n di t sn u m e r i c a lm e t h o d sa r es t u d i e d t h r e ek i n d s o fe q u i v a l e n te x a c ta n d a p p r o x i m a t ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r co b t a i n e d o nc i r c u l a rb o u n d a r yb yac o n s t r u c t i v em c t h o d a na r t i f i c i a lb o u n d a r yf ni s f i r s ti n t r o d u c e d ，t h r e ek i n d so fe q u i v a l e n ta r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r co b - t a i n e d s e c o n d l y , t h eo r i g i n a lp r o b l e mi sr e d u c e dt oac o m p u t a t i o np r o b l c mi na b o u n d e dd o m a i n ，w h i c hi se q u i v a l e n tt ot h eo r i g i n a lp r o b l e m ，b ym e a n so fa r m f i c i a lb o u n d m yc o n d i t i o n s ，t h ec o m p u t a t i o np r o b l e mi ss o l v e dn u m e r i c a l l yb yt h e f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d f i n a l l y ，s o l n cn u m e r i c a le x - a m p l e sa r ep r c s e n t c d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a ta r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s a r ee f f i c i e n t p a r ti i ，t h ea r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x t e r i o rp a r a b o l i cp r o b l e m s w i t hc o n c a v ea n g l a sa n di t sn u m e r i c a lm e t h o d sa r es t u d i e d f i r s t l y ，a na r t i f i c i a l b o u n d a r yf ni si n t r o d u c e d ，a r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n so nf na r co b t a i n e d s e c o n d l nt h eo r i g i n a lp r o b l e mi sr e d u c e dt oac o m p u t a t i o np r o b l e mi nab o u n d e d d o m a i n ，w h i c hi se q n i v a l e n tt ot h eo r i g i n a lp r o b l e m ，b yn l e a n so fa r t i f i c i a lb o u n d - a r yc o n d i t i o n s f i n m l y ，s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r c e n t e dt od e m o n s t r a t e t h ep e r f o r m m w eo ft h em e t h o di nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：e x t e r i o rh y p e r b o l i cp r o b l e m ，e x t e r i o rp a r a b o l i cp r o b l e m ，a r - t i f i c i a lb o u n d a r ye o n d i t i o n ( a b c ) ，f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，c o n c a v ed o m a i n 硕士学位论文2 0 0 7 年4 月 前言 科学和工程计算中的许多问题都可归结为无界区域上的边值( 或初边值) 问题，其中依赖时间的发展型外问题更是有着极重要的应用例如，波的传播 和扩散问题可以归结为无界区域上的波动方程正是由于区域的无界性，给数 值计算或求解过程带来了一定的困难在过去的二十多年里，数值求解无界区 域上依赖时间问题的一种十分有效方法称之为“人工边界条件方法”，这一方 法的主要思想可归结为； ( i ) 引入一个人工边界8 ，将原无界区域分为两个不重叠的子区域，一个 有界区域1 。和一个具有典型内边界的无界区域f 2 。； f i i ) 通过分析无界区域上的问题，获得人工边界b 上精确的或近似的人工 边界条件； ( i j i ) 数值方法求解有界区域n “上的问题 在上述求解过程中，最关键的就是( 吼为了保证方法的可行性和有效 性，在人工边界b 上得到的边界条件必须足精确的或是足够精确的，且简单 易实现我们称此边界条件为人工边界条件( 或无反射人工边界条件) 此类边 界条件可表示为如f 形式 舟口- = 尼i , - 4 - h f f l ， d n 。+ 其中舞是函数“在舀上的外法向导数，瓦足自然积分算子( 或称为d i r c h l e t - t o - n c m n a n n ( d t n ) 映射) 上式称之为自然积分方程( 或是d t n 边界条件) 对于无界区域上的椭圆型外问题，人工边界条件的研究已取得了丰富 成果，如文献f 1 - 5 ，1 0 ，2 5 ，3 1 ，4 2 1 等等近二十年来，依赖时间无界区域问题的 人工边界条件方法的研究已成为热点问题，并取得了显著的进展，可参阅 f 7 , 8 ，1 i ，1 2 ，2 3 ，2 4 ，2 6 ，2 9 ，3 5 ，3 8 ，3 9 1 及文后的一些参考文献因为涉及到时间变量， 所以有的研究者先是对时间进行离散化，得到半离散化问题，然后获得人工 3 前言 4 边界条件，再利用有限元或有限差分法或其他方法来求解，如 7 】另一途径就 是保持时间变量的连续性，直接获得人工边界条件d g i v o l i 7 对二维线性波 动问题获得一个精确的人工边界条件如 2 3 ，2 4 ，2 6 】，并用有限元方法数值求解 此问题，d g i v o l i 和i p a t l a s h c n k o i s 将此方法应用于二维非线性波动问题 文f 2 6 1 中g r o t e 和k e l l e r 通过把函数分解为一系列球谐函数的和，并对每个 球谐函数在人工边界上取得精确的人工边界条件，给出了三维空间中波动问 题的无反射边界条件l l t h o m p s o n 和rh u a n 2 3 , 2 4 , 2 9 1 对二维波动问题，采 用算子分解方法在连续方程的情况下给出了一些精确的人工边界条件，并研 究基于所给出的人工边界条件的数值方法h a r t 和z h e n g 在文【3 6 】中采用了 不同于g r o t e 和k e l l e r 的方法，而是利用球谐函数的正交傅立叶分解法，获得 了波动问题的三类等价的人工边界条件h a n 和h u a n g 在文 1 8 】中给出了一 维热传导问题无反射人工边界条件，接着h a n 和h u a n g 又在文【2 0 1 中给出了 二维热传导问题无反射人工边界条件文3 4 1 中d u 和t a n g 利用构造法，获 得了二维双曲外问题的精确和近似的人工边界条件本文采用构造法，研究凹 型区域上双曲型外问题和抛物型外问胚的人工边界条件及其数值计算 本文主要分为两个部分，具体是 第一部分是针对凹型区域上双曲型外问题，采用构造法给出了圆形人工 边界上三类等价的精确的和近似的人工边界条件先引入一条人工边界，获 得了三个等价的精确的和近似的人工边界条件利用所得的人工边界条件， 将原外问题归结为与之等价的有界区域上的问题，用有限差分方法和有限元 方法进行数值求解最后给出数值例子，数值结果表明文中所得的人工边界条 件屉有效的 第二部分针对凹型区域上抛物型外问题，采用构造法给出了圆形人工边 界条件上等价的精确的和近似的人工边界条件先引入一条人工边界，获得了 人工边界条件利用所得的人工边界条件，将原外问题归结为与之等价的有 界区域上的计算问题，用有限差分方法和有限元方法对其进行数值求解最后 给出数值例子，数值结果表明文中所得的人工边界条件是有效的 硕士学位论文 第一章凹型区域上双曲外问题 的人工边界条件 1 1 问题的描述 本章借助于 6 , 3 6 1 中的方法，研究如下问题的人工边界条件及其数值解 设q 为r 2 上具有角度n 的凹角型区域，0 r 时，有 ，( ，t ) = 0 ，9 ( 。) = 0 ， ( z ) = 0 ( 1 1 5 ) 采用构造法给出了圆形人工边界上三类等价的精确的和近似的人工边界 条件先引入一条人工边界，获得了三个等价的人工边界条件利用所得的人 工边界条件，将原外问题归化为有界区域上的等价性问题，用有限差分方法和 有限元方法进行数值求解最后给出数值例子，数值结果表明文中所得的人工 边界条件是有效的 5 第一章凹型区域上双曲型外问韪的人工边界条件 1 2 人工边界条件 首先，引入一条中心在坐标原点半径为r 的圆弧n 为人工边界，h 将n 分成一个有界区域n 。和一个无界区域q 一，q 。t 垒( ( r ，10 r 如果能获得f r 上的边界条件，我们可以将问题( 1 1 _ 1 ) 一( 1 1 4 ) 转化为有界区 域绣。上的问题为此，我们先考虑如下的初边值问题： 豢= a u ， ( z ，t ) q 。z( 1 2 1 ) u = 0 ，( 茁，t ) ( f o u f a ) ，r r u = 扎( z ，0 1 r ， ( 茁，t ) f rx 正 瓦o u ( 。，o ) = o ，u ( z ，o ) = o ，z n e m u 一0 当i i = l l 一+ o o 或者在极坐标的形式下，问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 5 ) 可表示为 祟02u+兰瓦ou+与尝，r即日则teo否万= r 2 十瓦十万万， 7 ，“u 口 r ，0 t e = 仳( r ，曰，) ，0 0 ( z ，0 r ，o 日 r , 0 则 r ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) 对任意的u 0 ，若函数s i n ( w t ) w ( r ) 是方程( 1 2 1 2 ) 的解，则w ( r ) 应满足下 面的方程 器+ ；警+ ( 以等) w = o萨+ ；刁f + l u 。一i 磊了j = o ( 1 2 1 5 ) 方程( 121 5 ) 是一个警阶的b c s s e l 方程，有两个线性无关的解嘻( “，r ) 与 y 警r ) 因此，对任意u 0 ， s i n ( w t )哼( u r ) y 害( u r ) 。，警( “冗) y 癸( r ) 匿砑矿万蟊瓦r 一 是方程( 1 2 1 2 ) 的解令 吼铲搿。丁s i n ( w t ) 坐絮器蔫学山 ( 1 2 1 6 ) 如果g ：( r ，t ) 已知，可以验证它一定足( 1 2 1 2 ) 的解为了分析g ：t ) 的性 质，应用b e s s c l 函数的一些结论当h 一十o 。时， 山( 。) k ( 。) 涯c o s ( z 一；vv 磊c 0 8 p i ” y r * v 磊“p 一互” ；) + 。( 。一；) ；) + p ( z 毫) ( 1 2 1 7 ) ( 12 1 8 ) 第一章凹型区域上双曲型外问题的人工边界条件 8 再南”等+ ( 1 。2 1 9 ) 注1 2 1 ( 1 ) g ：( r ，t ) 在区域 r ，+ o 。) 0 ，司上绝对可积； ( 2 ) 经计算，我们可以得到 掣：珂”一s i n ( w t ) j o 垫型甓杀蒜掣如， 0 r o u 2 j 盏( w r ) 十y 互( “兄) 叫 “ ( 1 2 2 0 ) 掣一厂掣坐絮器高掣幽(12210t o l j ) j o“j 盘e 【u “j 十y 立l 儿) ( 3 ) 在( 1 2 ，2 0 ) 式取r = r ，并注意到咒( 。) k ( 。) 一厶( z ) 圪( 。) = 一磊2 ，可得 1 0 a f ( _ n , t ) = 一志，”丁s i n ( w t ) j ot 面高山， a r丌q ru 2 j 盏( 叫r ) + y 益( u r ) 由文献 3 7 的p 6 7 9 页内容可知 厂击坐甏箫铲如= 卫2 ( 黔r 足厶 u 躬( u r ) + 增( u r ) r 1 从而可得 下o g r e ( r , o ) 一。厂三坐絮榴毳掣w r 山 挑 。厶 u 盛r ) + y 墨( ) 7 r ，r 、警 2 一五1 7 j r r ( 4 ) g ：( _ t ) 是方程( 1 2 1 2 ) 的弱解 令 g 。( r ，t ) = ：( 譬) 詈t + g ：( _ 嘎 ( t 2 z z ) 可以验证，g i ( r ，t ) 足方程( 12 1 2 ) 一( 1 2 1 4 ) 的解 第一章凹型l 五城上取曲型外问题的人工边界条件9 由d u h a m c 原理知，“。( _ t ) 是方程( 1 2 9 ) 一( 1 2 1 1 ) 的解 州叫，= z 掣掣打 j o 刿o r 盟掣+ ：( 酮打 ，1 2 2 3 、 【 优 。r 厂f 1 = ：( 芋) 警t h c r ，t ，+ z 挈g ：c l t r ，a 礼= 1 2 因此，有 掣= 一孺? t r 2 0 9 螂，f ) + z 卯o h，n 令 则有 a 2 。( r ，r ) 0 g ：( r ，f r ) 8 t 2o r 嗨= 熹z “丁s i n ( w t ) 蕊寺酾幽 鼍掣一嗨( = t 1 - i ) ( ，r n 、， 矛叮用积分 警如= ；，函数h z ：擎( ) 可以改写为 h z 。f 乱：一4n 、 7 f o l 日z 缸( ) ：一4 h z 垒( ) = 4 _ _ _ 丌 d t ( 12 2 4 ) 学 可卉丽2 斗。+ ： u 2 l 【，盈( u ) + y 益( u )j a 掣 1 厕y 2 一兰2 ”u 卜 u ( u )j 厂s i n ) 面南骊一划山上8 i 咄句l 匿两南一扣j 山 h z 警( 0 + ) 2 ：， 口z 辱( o 十) = 豪一享 ( 1 2 2 5 ) ( 1 2 2 6 ) ( 1 2 2 7 ) ( 1 22 8 ) ( 1 2 2 9 ) ( 1 2 3 0 ) ( 1 2 3 1 ) 这里的( 1 23 1 ) 式仍是一个猜测，但我们可以用数值结果加以验证下面给出 函数z 詈( ) ，h z 每( ) ，h z 警( ) ，n = 1 ，2 ，3 ，“= 鲁，孕的图像，分别为 广几 第一章凹型区域上双曲型外问题的人工边界条件 1 0 。= 警， n = 警 4 ! 。ir 一- - y 1 j 1 一i i h 扬，5 ( 口= 导，h z 6 5 c t ) h 五v ( t - o r n 一1 一。；r j “= 孕，u z a p ( t ) n = 孥蜀，5 ( )n = 警，瑶5 ( c ) d = 譬h z ：7 0 a = 孕，h z i l 7 ( c 】 _ - 。 一 m ? f 苜一一j i 一，一i + f j 口= 譬， z g 5 ( o “i 1 ri 二一? i fj = 孕，h z l 2 ，7 ( “r 一 * ： ，7 _ j 0 。 h 。 “ 叫 一 1 一警，h 2 j 5 ( c ) 口= 孕，h 叫2 ，7 ( ) 第一章凹型区域上双曲型外问题的人工边界条件 1 1 口= 警，h z ： 1 5 hn = 譬，日z ( )a = 譬，h z ( ) 。l t f 二t 一6 一了“中“ n = 孕，z 毋7 ( t )。= 孥，h 哟7 ( t )。= 孚，h z 如7 ( t ) 将( 1 2 2 6 ) 代入( 1 2 2 4 ) ，可得 0 “，。( r ，t ) 泖 一磊( 础卜( 笋h 码( 鲁) 打 一篇姒酬一：掣一新掣h z 每( 警) 打 一去“础) 一三掣一去卜( 川z 每( 等) 机 ( 1 2 3 2 ) 由上式( 1 23 2 ) ，我们得到( 1 2 1 ) 一( 1 25 ) 的边界r r 的人工边界条件 掣= 一磊霎n 小州”跗，踟曲 昙戮z “驾掣 跚刚) h z 晋( 鲁) 删r = 曼( t z ( 曰，p ，t ) ) ， ( 1 2 3 3 ) 一，。 第一章凹型区域上双曲型外问疆的 工边界条件 掣= 一磊薹n 小蜊”跗，州砂 一警霎z 。掣硎，州西 zs a ， 一矗鄞z “掣 = 瓦b ( “( r ，日，t ) ) 跚圳) h z 每( 导) d d 丁o u ( r , 6 , t ) 一壶薹广o u ( 脚”刚脚 踟 a 2 r 鲁 ”一”“ 一警薹：。掣 n 一，n ( m 一去薹肼螂 = _ i c 毛( “( r ，疗，t ) ) ， 其中s s ( ，日) 垒s i n 警毋s i n 等口 s s ( ，占) d 妒 r ) 郴( 刚) 馏z 警( 警) 州r ( 1 2 3 5 ) 若记_ i c 。( “( r ，目，t ) ) 为( u ( r ，口， ) ) 取有限部分而舍去无穷部分得 聊”= 一磊篓n o 。“( 洲刚 一兰o ：笋n = lj ，o o 掣郴( 姗日弛( 等) 蛐， ( 1 23 6 ) 同理日了得赶k d ( “( r ，口，t ) ) 为赶b ( u ( r ，p ，t ) ) ，i = 0 ，1 ，2 取有限部分的表达式 所以，我们得到人工边界p r 上的近似人工边界条件 掣= 咒n 。扣( r ，目，t ) ) ，t = 。，1 ，2 ；n d = 1 ，2 ，一( 1 2 3 7 ) 利用( 1 2 3 7 ) ，凹角型区域上问题( 1 1 1 ) ( 1 1 4 ) 可以当结为如下问题 象= c 2 “堋叫) ，( 州) 以“z u = 0 ，( 霉，t ) ( p o u f 。) xj ( 1 23 8 ) ( 1 2 3 9 ) 第一章凹型区域上双曲型外问题的人工边界条件 1 3 寡( 叫) = 吼( 叫) ， ( 叫) r 正 象( 删) = 咖) ， 啦，o ) = 堆) ，z 望型o n = 瓦k 。( u ( z ，t ) ) ，( 霉，t ) r 一，- 1 3 数值例子 为了验证文中的人工边界条件的有效性，本节我们给出一些数值例子 现在我们来解问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 4 ) 为简单起见，假定，( z ，t ) i0 ，c = 1 且r 。为中心在原点半径为1 的圆弧，即f 。= ( r ，0 ) ir = 1 ，0 0 。 ，引入 人工边界条件r r 后，我们仅需要求解如下问题； 坠= 丝+ 三祟1 1 丽0 2 u ， 1 r r ，0 日n ，0 t z (131)ot 2 = o r 2 + i 面4 - 否万， 1 7 ，0 冬f 冬n 冬1 l 1 6 1j u ( r ，0 ，t ) = u ( r ，o ，t ) = 0 ， 1 r r ，0 t t ，( 1 3 2 ) 掣：9 ( 口，t ) ，0 目a ，o t t ，( 1 3 3 ) u ( r ，0 ，0 ) = ( n 口) ，蔷( r ，口，0 ) = v o ( r ，日) ， 1 r r ，0 0 o ( 1 3 4 ) 翌兰掣= 瓦k 。( ( z ，t ) ) ，( z ，t ) f r ，0 3 5 ) 其中r = 4 ，t = 0 5 我们应用标准的二阶中心差分格式求解问题( 1 31 ) 一 ( 1 3 5 ) 我们先将区间 0 ，t 】等分等份 0 = 1 t 2 + 1 = t 然后，我们将沿r 轴方向将区间【1 ，r 】和区间( 0 ，o 分别分成m 和j 等份 1 = 7 l f 2 m + 1 = r ，0 = 0 l 0 2 - 0 , i + l = 血 设r ；a t = 霄t ，h a r = 等，及口ia 0 = ；在本文中，取r = i h 由中心 差分格式，可得如下的计算公式 2 u ，j + l 袅一l j 1 “：h l ，j 一“袅一l ，j 1 r 一十磊砑- 。三堕! 韭 ! 生! 兰趋二! ( 13 6 ) 嘿 口2 2 仃l m ，1 七，2 j 以 删 蛳 蚴 2 2 2 q n 旺 墨二兰 竺翌垦堕兰翌些兰塑：璺望塑查三望墨墨堡 一二生 u 景1 = o ，廿袅，j + 1 = 0 ， 1 m m + 1 ，1 七k + 1 1 ( 1 3 7 ) 兰塾 鱼= 一口( 岛，“) ，1 k + l ，1 j j + l ， 畦j = u 0 ( r l ，如) ， 1 m m + l ，1 j j + 1 ， 鱼摹鱼= ”。( n ，o j ) ，1 m m + 1 ，1 j j t l 虹堕云虹= ( 时扣。) ， 1 k + 1 ，2 j 正i = 0 ，1 ，2 对于算子瓦，i = 0 ，1 ，2 ，在每一时间步需要计算积分m = 1 ，2 ，。“( r ，以如) ，0 ，“( r ，t ) 1 0 面一 般 暇 s s ( 庐，口) d 咖 s s ( 曲，p ) 汀咖 o u ( r ，r ) a 下 铲“( r ，r ) 0 r 2 跚刚) h z 每( 字) d 批 s s ( 咖，目) h z 警( 丁k - - t ) d 砂打 z z 。u 酗小跚咿h z 每( 字) 州- r 容易计算( 1 31 2 ) 式中的积分为 ，n 7u ( r ，咖，t k ) s s ( 4 , ，o j ) a j 0 ( 1 3 ，8 ) ( 1 3 9 ) ( 1 3 1 0 ) ，d ) ： ( 1 3 1 2 ) ( 1 3 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 5 ) ( 1 3 1 6 ) = 喜川噍e + 堕掣鹕脚 s 肌， = 篙妻噍e2 咖等巩一s i n - - s i n 詈吼 ( 1 3 1 4 ) 式中的积分可由如下近似计算： 所驾掣郴咿日z 冬( 字) 删r = 嚣“豺“ 盟粤 巳 蒌j ns tj 第一章凹型区域上双曲型外问题的人工边界条件 1 5 。! ! 笪；! ! 二兰i ! ：壁! 二竺蔓；! i ! ： 生d 堡r 、 心s 2 擘( 寻渺打 5 lt2譬7r2ctt=1p = 2 u m p 监霉“趴s ，一s i n 等一t 蛆n 詈岛r “1r 日z 每( 警) 打 p “ = 翥筹喜塞( u 赫一咄p ) 2 s i n 等一s i n 等， 痂等1 卜警( 学) 一h z 警( 譬) | g ( 1 ，p ，t ) = u o ( r ，口) 啦妒，。，一差n = l 詈鬻幽等a 对不同的 m ，l ，k ，图1 3 1 至图1 36 分别 给出利用不同的 人工边界条件时 数值结果的绝对 误差图和相对误 差图 啜1 3 1 使用第0 粪人工边界条件时的绝对误差zl n n 日，f ) 一u ( r ，d ，t ) i 口 旦8 s 芋 e 黝一书 盘i 警 k k星1 。 l 争 里型嗨 d 第一章凹型区域上双曲型外舸题的人工边界条件1 6 囝l - 3 2 使用第。类人工边界条件时的相对误差，坚堡鲁等；崔采；掣竺 囝1 3 3 使用第1 类 工边界条件时的绝对误差， m n 口，) 一“h ( r ，日t 圈 臣1 3 4 使用第1 婪人工边肆蠹件时的相列供差：坠生鲁等；等瓮：掣业 第一章凹型区域上双曲型外问题的人工边界条件 1 7 其中 国1 , 3 5 使用第2 粪 工边界条件时的绝对误差zl u ( r ，8 ，) 一u h ( r ，d ， 翼 圆， f 。 4 i f 警喘= 毫瓮：苫；，；：二： 囝l 矗6 使用第2 凳人工边界条件时的相对误差t 每器岛i 寰坚也 另外，我们应用有限元方法数值求解问题( 1 3 1 ) 一( 1 3 5 ) ： 求“u 使得丽d 2 ( u ，口) 听+ n ( 赳， ) = 。， v 矿 ( 1 3 1 9 ) 听：= ( r ，毋) i1 r r ，0 口) ， 此= 脱，删删， n ( u ，”) ：= 脱， 警窑一i 1 万0 u ”+ ；1 。0 u 。册o v j l 出枷 一z 。 瓦知。( “c r ，一，t ，) ” ，：。d 一 ( 1 3 2 0 ) ( 1 3 2 1 ) 第一章凹型区域上双曲型外问题的人工边界条件1 8 y ：= u ( r ，目) 日1 ( s 2 t ) 口( 1 ，日) = o ，口( r ，o ) = ”( 州r ) = o ) ， ( 1 32 2 ) 矿：= 钍( 毋，) 1 缸( 毋，t ) ，瓦o u ( t 秽，) ，器艿，t ) 日1 ( 听) ，牡( t 毋，。) = 筹( _ 0 ，0 ) = 0 ，u ( r ，0 ，t ) = ( t n ，t ) = 0 ，u ( 1 ，0 ，t ) = 吼( 日，) ， 对固定的t o ，2 ”j ( 1 3 2 3 ) 现将圆弧r r 等分为m 份并在n t 中进行有限元剖分，使其在r r 上的节点 与f r 的等分点重合设 忱r ，日) ；n i 。+ n 2ch 1 ( f 2 r ) 为基函数，例如分片线性函 数此时他们在上的限制也可近似看作线性的令 叼：= ( r 0 ) iv h ( 1 ，0 ) = o ， n n ：= 卜( r 目， ) ui = n 。( t ) ( 删) ，且( t ) 嘲( ( o ，t i = 0 其中下标i = 0 ，1 ，l 相应于r r 上的节点于是我们可以得到问题( 1 3 ，1 9 ) 的近似问题： 求“n 巩，使得丢( ) 。，+ nu h , z j i t ) ：。， vt 佛孵 ( 13 2 4 ) 若记q ( t ) = ( 舶( ) ，a - ( t ) ，0 r n i + n 2 ( t ) ) 7 ，容易将( 1 3 2 3 ) 写成如下的常微分 方程初边值问题； a n ”( 力+ b a ( t ) + c ( 0 4 t ) ，n 7 p ) ，n ”0 ) ) = 0 a ( o ) = 蛳， q 7 ( o ) = 咖 其中矩阵a ：= ( ) ( 1 + 托+ i ) 。( i + 2 + 1 ) 和b 下列式子所确定的两个常数矩阵 f i 3 ，2 5 ) f 1 3 2 6 ) ( 1 32 7 ) ( ) ( l + 2 + 1 ) 。( 1 + 奶+ 1 ) 足由 旷脱，m ( r j ( r ，刚删， 。甜= 以， r 警c 删，警r 删+ ；等p ，等c 删p 棚 ( 1 32 8 ) ( 132 9 ) 第一章凹型区域上双曲型外问魃的人工边界条件 1 9 且 e ( n ，a ，n ，) = 一z 。瓦( 叩，岫，州7 ，岫7 州) 掘f 1 3 删 i = 0 1 2 m ( ，口) = f 妒1 ( r ，0 7 ) 妒- 。+ 2 + - ( r ，目7 ) ) 7 ( 妒z ( r ，日) ，一，妒。+ 2 + ( r ，8 ) ) ( 1 3 3 1 ) 其中矩阵a ，b 由通常的有限元方法得到，对于g 陋，q 7 ，a ”) 我们需要计算 2 所郴，删徊n 秘n 詈伽媳 ( 1 3 舶) i ，j = 1 ，2 ，l 1 现记f r 上的分点为0 ，i = 1 ，2 ，- 一，l 一1 即0 = 0 0 0 1 - r 时，有 f ( w ，t ) = 0 ，9 ) = 0 采用构造法给出了圆形人工边界上的精确的和近似的人工边界条件先 引入一条人工边界，获得了人工边界条件利用所得的人工边界条件，将原外 问翘归结为有界区域上的等价计算问题，用有限差分方法和有限元方法进行 数值求解最后给出数值例子，数值结果表明文中所得的人工边界条件是有效 的 第二章凹型区域上抛物型外问题的人工边界条件 2 2 人工边界条件 首先引入一条人工边界n ，将2 分成一个有界区域n 。和一个羌界区域 n t 如果能获得f n 上的边界条件，我们可以将问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 4 ) 转化为有 界区域上的问题为此，我们先考虑如下的初边值问题 窑= 她( 州) 以“z = 0 ， ( ，t ) ( f o u f 。) 正 “( z ，0 ) = 0 ，z 2 。n 一0 ，当忙8 一+ o 。 或者在极坐标的形式下，问题( 2 2 1 ) 一( 2 2 4 ) 可表示为 一ou一坠+；寨+三坠，r即日刚 r ，0 r ，0 0 r , 0 2 舢 r 令 当忙| i 一+ o o ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) g 。( r ，t ) = g - 。2 t w ( r ) ( 2 2 1 5 ) 代入是方程( 2 2 1 1 ) 的解，则w ( r ) 应满足下面的方程 警+ ；警+ ( 扎鍪) w = o丽+ ；一百f + l “一丽j 2o ( 2 2 1 6 ) 方程( 2 21 6 ) 是一个警阶的b e s s e l 方程，有两个线。陀无关的解，7 警r ) 与 嗨 r ) 因此，对任意u 0 ，口知 j詈r)m了r)一吩r)，每(ur)o-u，2t ” j k ( r ) + y 盏( u r ) 是方程( 22 1 1 ) 的解令 嘶铲搿”字铿蒜掣幽 如果瓯( r ，t ) 已知，可以验证它一定是( 2 2 1 1 ) 的解并且有 俄( r ，t ) = 0 ， 瓯( no ) = l i r a + 嘭( ”，。) = z j o ”三坐絮器蔫掣幽 ou 趋“j 十y 血凡j ：一旦f ，墨1 等， r ， f ( 22 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) 第二章凹型区域上抛物型外问题的人工边界条件 最后一个式子可由文献【3 7 的p 6 7 9 得到令 g ：( r ，归鞘等坞t ) ( 2 2 1 9 ) 可以验证，g 。( r ，t ) 是方程( 2 2 1 1 ) 一( 2 2 1 3 ) 的解由d u h a m e l 原理知，方程 ( 2 28 ) - ( 22 1 0 ) 的解满足 o g ，。( r ，t r ) 况 a g ：( r j t r ) o t d r d v = ：( 譬) 詈 u n ( 兄t ) + z 鱼垫軎 立g ：c r , t - 7 - ，一r n = 1 2 因此，有 砒。( r ，t ) d ， 令一方面 则 4 以 7 r n _ r a 嚷( r ，t ) o r 所以，有 a “。( r ，t ) o r 篙州础) + z 。 孔，。( r ，r ) a g ：( r ，f o r = 日警( 去) h v ( b ) 、t 罴“肥t ) 尘打 ( 22 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) 雅 ( 2 2 - 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) ( 2 22 4 ) r r u m z z | l = 曲0 窖 亿 第二章凹塑鹾域上抛物型外同题韵人工边界条件 嘴掣= 一磊差n 小驯”驯脚 一；甄z 8 驾掣硼，即鬻蛐 见少一磊篓n 知力小跚 。 一：孰z “篙掣郴”鬻撕、 掣：_ c 9 ( “( r ，8 ，t ) ) ，n d ：l ，2 ，一 ( 2 22 7 ) 客= “十，( 。，) ， ( 留，q 。 札= 0 ，( 茗，) ( r o u f 。) ， 笔( 引) = 姒列) ， ( 霉，t ) r z “( z ，0 ) = 9 ( 茁) ，z 噙。t 望兰警= 。