（课程与教学论专业论文）非傍轴光束的光强及其能量传输的研究.pdf

非傍轴光束的光强及其能量传输的研究 摘要 光波是电磁波，其运动规律由麦克斯韦方程组描述，因此从本质上讲光场 是矢量场。随着近场光学的发展，以及小尺度大角度光源的使用逐渐增多，衍 射理论的标量近似已不再成立，必须采用矢量衍射理论【l 7 】。本课题研究了矢量 衍射场的级数解和非傍轴近似解的有效性1 4 0 】1 8 - 9 】。结果表明，平面波圆孔衍射 的级数解、非傍轴近似解的有效性与衍射孔孔径和传播距离密切相关。 光强有多种定义，在光的矢量理论中。光强被定义为单位时间单位面积内 所流过的能量的平均值，在垂直于光轴( z 轴) 横截面上的光强就等于平均坡 印廷矢量的z 分量 1 0 】，也有按照传统光强定义把光振动复振幅绝对值的 平方i 刊e 。 2 + l e 。1 2 + i e ：1 2 作为光强。本课题对光强的两种定义 和，进行 了详细地比较研究，分析了传统光强定义，的有效性。 在光束能量传输的研究中 1 1 1 2 ，光束的能量集中度 1 3 。1 4 是描述光束能量 传输性质的一个非常重要的物理量。本课题以平面波圆孔衍射为例，研究了光 束能量集中度随衍射孔径岛、传播距离z 和光斑半径，的变化规律，并指出如 何控制这三个因素来获得光束的最大能量集中度。 关键词：圆孔衍射矢量衍射理论光强比较研究有效性光束的能量集 中度 本课题得到合肥工业大学科研发展基金项目的资助。 项目编号：0 6 1 0 0 1 f t h es t u d yo f l i g h ti n t e n s i t ya n de n e r g yt r a n s m i s s i o no f n o n p a r a x i a lb e a m a b s t r a c t t h em o v e m e ml a wo fl i g h tw a v e ，e l e c t r o m a g n e t i cw a v e ，i sd e s c r i b e db yt h em a x w e l l e q u a t i o n s ，s ol i g h tf i e l di st h ev e c t o rf i e l di nn a t u r e a l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to f n e a r - f i e l do p t i c sa n dt h eg r a d u a l l yi n c r e a s e du s i n go fs m a l l s c a l eb u tl a r g ed i v e r g e n c ea n g l e l i g h t , t h es c a l a ra p p r o x i m a t i o no fd i f f r a c t i o nt h e o r yi sn ol o n g e rv a l i d i t ya n dv e c t o r d i f f r a c t i o nt h e o r ym u s tb ea p p l i e d t h i sr e s e a r c hh a ss t u d i e dt h ev a l i d i t yo fv e c t o r d i f f r a c t i o nf i e l ds e r i e ss o l u t i o na n dn o n p a r a x i a la p p r o x i m a t es o l u t i o n t h er e s u l t ss h o w e d t h a tt h ev a l i d i t yi sc l o s e l yr e l a t e dw i t ht h ed i a m e t e ro fd i f f r a c t i o nh o l ea n dt h ep r o p a g a t i o n d i s t a n c e l i g h ti n t e n s i t yh a sm a n yd e f i n i t i o n sa n di ti sd e f i n e da st h ea v e r a g ee n e r g yf l o w i n g t h r o u g ht h eu n i ta r e aw i t h i nu n i tt i m ei nl i g h tv e c t o rt h e o r y l i g h ti n t e n s i t yi nt h ec r o s s s e c t i o np e r p e n d i c u l a rt ot h eo p t i c a la x i s ( z a x i s ) i se q u i v a l e n tt ot h ez - c o m p o n e n to ft h e a v e r a g ep o y n t i n gv e c t o r a l s ol i g h ti n t e n s i t yi st r a d i t i o n a l l yd e f i n e da st h es q u a r eo ft h e a b s o l u t ev a l u eo ft h ec o m p l e xa m p l i t u d eo fl i g h tv i b r a t i o n t h i sr e s e a r c hc o m p a r e dt h et w o l i g h ti n t e n s i t yd e f i n i t i o n si nd e t a i la n da n a l y z e dt h ev a l i d i t yo ft h et r a d i t i o n a l l yd e f i n e d l i g h ti n t e n s i t yl i nt h es t u d yo fl i g h tb e a me n e r g yt r a n s m i s s i o n ，t h ee n e r g yc o n c e n t r a t i o nd e g r e e ，叩，o f l i g h tb e a mi sav e r yi m p o r t a n tp h y s i c a lu n i tt od e s c r i b et h ec h a r a c t e r i z a t i o no fe n e r g y t r a n s m i s s i o n u s i n gp l a n ew a v ec i r c u l a ra p e r t u r ed i f f r a c t i o na sa l le x a m p l e ，t h i sr e s e a r c h s t u d i e dt h ec h a n g e so fr w i t hd i a m e t e ro fd i f f r a c t i o nh o l e 岛，p r o p a g a t i o nd i s t a n c ez a n dl i g h ts p o tr a d i u s ，a n df o u n dh o wt oo b t a i nt h el a r g e s te n e r g yc o n c e n t r a t i o nd e g r e e b yc o n t r o l l i n gt h e s et h r e ef a c t o r s k e y w o r d s ：c i r c u l a ra p e r t u r ed i f f r a c t i o n ；v e c t o rd i f f r a c t i o nt h e o r y ；l i g h ti n t e n s i t y ； c o m p a r a t i v es t u d y ；v a l i d i t y ；l i g h te n e r g yc o n c e n t r a t i o nd e g r e e 插图清单 图1 1 点光源照明的平面屏幕衍射计算示意图4 图1 2 平面波角谱衍射理论角谱传递示意图7 图2 1 p o = 0 6 1 ，= 2 1 场振幅的轴向分布1 6 图2 2 p o = 2 t ，= o 8 t 场振幅的轴向分布1 6 图2 3 p o = 2 1 ，r - o o = o 6 2 场振幅的轴向分布1 7 图2 4 岛= 0 6 t ，= 2 2 , z = 兄场振幅的径向分布。1 7 图2 5 p o = 0 6 1 ，= 2 2 ，z = 3 t 场振幅的径向分布1 8 图2 6 岛= 2 2 , ，= 0 8 1 ，z = 2 2 场振幅的径向分布1 8 图2 7 p o = 2 ，c o o = 0 8 t ，z = 1 0 2 场振幅的径向分布1 9 图2 8 风= 2 2 ，c o o = 0 6 t ，z = 1 2 场振幅的径向分布1 9 图2 9 p o = 2 2 ，c o o = 0 6 1 ，z = 3 1 场振幅的径向分布2 0 图2 1 0 风= 0 6 t ，z = 4 t 光强的径向分布2 3 图2 1 l p o = 0 6 t ，z = 8 t 光强的径向分布一2 3 图2 1 2 p o = 2 2 ，z = 0 8 t 光强的径向分布2 4 图2 1 3 p o = 5 2 , ，z = 0 8 t 光强的径向分布2 4 图2 ，1 4 风= 5 2 ，z = 3 0 a 光强的径向分布2 5 图2 1 5 p o = 0 8 1 ，z = 0 6 2 , 光强的径向分布2 5 图2 1 6 p o = 1 2 ，z = l 五光强的径向分布2 6 图2 1 7 岛= 1 l ，z = 5 0 1 光强的径向分布一2 6 图2 1 8 p o = 5 2 ，z = 1 0 0 1 光强的径向分布2 7 图3 1 在z = 1 2 面上，三种光强的径向分布( 岛= 0 6 t ) 3 0 图3 ，2 在z = 5 1 面上，三种光强的径向分布( 岛= o 6 2 ) 3 0 图3 3 在z = l a 面上，三种光强的径向分布( 风= 4 t ) 3 1 图3 4 在z = l o a 面上，三种光强的径向分布( 岛= 4 t ) 一3 l 图3 5 轴上三种光强的轴向分布( p o = 0 7 1 ) 3 2 图3 6 轴上三种光强的轴向分布( p o = 2 5 a 1 一3 2 图3 7 在z = 2 2 面上，两种定义的光强的径向分布( ，= 0 1 6 ，占= 0 3 ) 3 5 图3 8 在z = 2 2 面上，两种定义的光强的径向分布( 厂= 0 1 6 ，j = 1 ) 3 6 图3 9 在z = 2 2 面上，两种定义的光强的径向分布( 厂= o 1 6 ，万= 2 4 ) 。3 6 图3 1 0 在z = 2 2 面上，两种定义的光强的径向分布( 厂= o 0 8 ，万= 0 3 ) 一3 7 图3 1 1 在z = 2 2 面上，两种定义的光强的径向分布( 厂= 0 0 8 ，占= 1 ) 3 7 图3 1 2 在z = 2 2 面上，两种定义的光强的径向分布( 厂= 0 0 8 ，占= 2 4 ) 3 8 图3 1 3 在z = 0 5 2 面上，两种定义的光强的径向分布( f = 0 1 6 ，6 = 1 ) 3 8 图3 1 4 在z = 6 2 面上，两种定义的光强的径向分布( 厂= 0 1 6 ，j = 1 ) 3 9 图4 1 平面波垂直照射带有圆孔的无限大不透明平面屏的示意图4 0 图4 2 圆孔半径p o = 3 2 ，光斑半径r = 3 2 ，r 随着z 的变化4 3 图4 3 圆孔半径p o = 2 2 ，光斑半径r = 2 t ，r 随着z 的变化4 3 图4 4 圆孔半径岛= 1 2 ，光斑半径，= 1 t ，r 随着z 的变化4 4 图4 5 圆孔半径p o = 1 2 ，光斑半径r = 2 2 ，r 随着z 的变化4 4 图4 6 圆孔半径岛= 3 1 ，光斑半径，= 1 1 ，r 随着z 的变化4 5 图4 7 圆孔半径p o = 3 1 ，光斑半径r = 2 t ，r 随着z 的变化4 5 图4 8 圆孑l 半径p o = 2 a ，光斑半径，= 1 3 , ，r 随着z 的变化一4 6 图4 9 圆孔半径p o = 1 3 , ，z = 2 3 , ，玎随着光斑半径r 的变化4 7 图4 1 0 圆孔半径风= 1 3 , ，z = 2 3 , ，r 随着光斑半径r 的变化4 8 图4 1 1 圆孔半径成= 2 3 , ，z = 2 3 , ，r 随着光斑半径r 的变化一4 8 图4 1 2 圆孔半径p o = 2 3 , ，z = 2 3 , ，r 随着光斑半径r 的变化4 9 图4 1 3 z = 2 3 , ，= 1 3 , 光斑面上能量随着孔径大小的变化5 0 图4 1 4 z = 2 3 , ，r = 1 3 , 光斑面上能量集中度随着孔径大小的变化5 0 图4 1 5 z = 5 3 , ，= 1 z 光斑面上能量随着孔径大小的变化5 1 图4 1 6 z = 5 3 , ，= 1 五光斑面上能量集中度随着孔径大小的变化5 1 图4 1 7 z = 1 0 3 , ，= 1 3 , 光斑面上能量随着孔径大小的变化5 2 图4 1 8 z = 1 0 见，r = 1 2 光斑面上能量集中度随着孔径大小的变化5 2 图4 1 9 光斑面上能量随着z 和岛同时变化的变化规律5 3 图4 2 0 光斑上能量集中度随着z 和风同时变化的变化规律5 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导f 进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金目b 王些盍堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：易五、 签字日期：。7 年m i 。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金魍王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定。有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金g b 王些盘堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 曼盔， 签字日期：曰年7 二月f a 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：甏丫i j 签字日期：穸铂朋 日 电话： 邮编： 致谢 本论文是在导师邓小玖教授的悉心指导下完成的。邓老师不仅学识渊博， 治学严谨，而且待人诚恳，平易近人。邓老师严谨认真的科学态度，精益求精 的治学作风，以及高尚的品德，都是我学习的楷模，并将使我终身受益。近两 年半来，邓老师在我的学习和科研方面给予了精心的指导，在生活方面给予了 充分的关心和爱护。忠心感谢导师的培养、支持和教诲! 感谢理学院许多老师对我的关心和帮助，特别感谢何晓雄教授、邓铁如教 授、高峰副教授、罗乐副教授、梅忠义副教授和马力平副教授，吴本科副教授 等多位老师给予我学业上的指导和生活上的关心! 由衷感谢课题组刘彩霞老师在论文期间对我的热情帮助和大力支持! 感谢合肥工业大学2 0 0 5 级课程教学论专业的研究生朱辉、王超群、王勇、 王钰、王星烁、万宝礼、符小四、李珊珊、赵永礼，徐均、李怀龙、张云丽、 袁润等同学对我的帮助。 特别感谢我的家人给予我学业上的支持、生活上的关心! 前言 在近场光学及非傍轴光束的研究领域中，光场的标量近似己不再成立，而 必须采用严格的矢量衍射理论 1 7 1 。吕百达等人给出了矢量衍射理论非傍轴近 似积分解阻9 1 ，c h e n 、c i a t t o n i 和段开椋研究了在自由空间传播的非傍轴光束的 级数解，并对解的有效适用范围进行了讨论【4 0 】【”j 。本课题以矢量衍射理论角 谱表示的精确解为基础，比较了平面波圆孔衍射的非傍轴近似积分解和级数解 的有效性。数值计算表明，除衍射孔附近的近场区域外，衍射场的非傍轴近似 解与精确积分解非常好地吻合；由于受硬边光阑的限制，高频分量对衍射场的 贡献增加，当传播距离：较大或衍射孔孔径较小时，衍射场的级数解对精确解 的收敛性不好，甚至失效。级数展开法一般适用于处理自由空间中平面波的传 播或衍射孔附近的近场区域非傍轴光束的传播( 当衍射孔径p o a ，传播距离 z 旯时，有k 1 r ，利 用索莫菲辐射条件【2 卜2 2 1 ，再结合基+ 尔霍夫的边界条件假设： 2 0 2 1 1 ( 1 ) 在上各点，“及其对法线方向的偏导数与没有屏幕时相同。 ( 2 ) 在外的不透明屏后表面上的各点，砜及其对法线方向的偏导数均等于 零( 1 1 4 ) 式可简化为 坼( t 弘z ) = 去j ( g 警一据 ( 1 1 5 ) 图1 1 点光源照明的平面屏幕衍射计算示意图 只点光振动的复振幅为u o ：! e x p ( f k r o ) ， ，0 ( i 1 5 ) 得到 把格林函数g ：e x p ( i k r ) n 和砜带入式 r u j ( x ，y ，z ) = z l i f 掣! ! ! ! 三l 产d s ( 1 l 6 ) 这个结果只能用于单个点光源照明的情形，通常称为菲涅耳一一基尔霍夫衍射 积分公式。 由于平行于z 轴入射的平面波也可以视为点光源在z 轴负向无限远处的球 面波，这种情况下c o s ( 而，焉) = - 1 ，于是( 1 1 6 ) 式可以进一步简化为 啪力= 击妒c a ，华警笋勰 虽然基尔霍夫衍射积分公式对于一般的衍射问题可以给出与实际符合的非常好 的结果，但是，基尔霍夫理论本身存在明显的不自洽性，这种不白洽性主要来 源于基尔霍夫的边界条件。其一，提出基尔霍夫的边界条件没有任何的理论依 据，而衍射问题本质上不能忽略光波与物质边界的相互作用，并且，从数学上 讲当z 剐时，衍射公式不能恢复基尔霍夫边界条件；其二，基尔霍夫边界条件 与经典电动力学中的唯一性定理相矛盾。基尔霍夫边界条件明确指出，在外 的不透明屏后表面上的各点光场的复振幅及其法向导数均为零，但由电动力学 中场论的基本原理可以证明，如果波动方程的一个解在任意非无限小的面元上 光场的复振幅和它的法向导数都为零，则这个解在整个空间都为零【2 3 1 ，这个结 论与实际情况相矛盾。 1 1 2 平面屏幕衍射的瑞利一索莫菲衍射理论 通过前面的讨论，虽然基尔霍夫衍射理论能够给出与实验符合较好的结果， 但理论本身存在严重的不自洽性。而基尔霍夫衍射理论的困难主要来自于同时 4 1只 对边界上光场的复振幅及其法向导数施加边界条件。为了克服基尔霍夫衍射理 论的不自洽性【2 “，索莫菲通过选取适当的格林函数，使得不必同时对边界上 光场的复振幅及其法向导数施加边界条件，从而克服了基尔霍夫衍射理论本身 的不自洽性。 在基尔霍夫衍射理论中，之所以能由( 1 1 4 ) 式导出基尔霍夫衍射积分公 式，关键在于同时对砜和o u o 锄施加了边界条件，令u 0 和a u 。锄在衍射屏后 表面不透光的部分恒为零，从而使得其积分贡献为零，进而简化积分公式。如 果能够重新选择格林函数g ，使得g 或o g o n 在整个衍射面上为零，则可以消 除同时对( ，。和o u o o n 施加边界条件的必要性，但仍可导出( 1 1 5 ) 式。 为此，索英菲选择了两种新的格林函数，其表达式为 o e x p ( i k r ) e x p ( i k r )( 1 1 8 ) g ：。x p c i k r ) + e x p ( _ i t r ) ， ( 1 1 9 ) 在选定格林函数g 一后，积分只需对u 施加边界条件即可，于是对砜应用基尔 霍夫边界条件，即第一类瑞利一一索莫菲边界条件： ( 1 ) 在孔面上，光场【，的分布与没有屏幕时完全相同。 ( 2 ) 在外的不透明屏后表面上的各点，光场u 的分布恒为零。 当r 旯时，有k l l r ，于是可得 哪) = 瓦1m e 圳掣s ( 妒) 嬲 “去胪。竿s c 妒，嬲 上式被称为第一类瑞利一一索莫菲衍射公式。 同样，在选定格林函数g 后，积分只需对a u o n 施加边界条件即可，于是 对o u o n 应用基尔霍夫边界条件，得到第二类瑞利一一索莫菲边界条件： ( 1 ) 在孔面上，光场a u o n 的分布与没有屏幕时完全相同。 ( 2 ) 在z 外的不透明屏后表面上的各点，光场o u i o n 的分布恒为零。 当r 旯时，有k 1 i r ，于是可得 叫) = 去e x p ，( _ k r ) o 锄u a s 上式被称为第二类瑞利一索莫菲衍射公式。 论 下面对基尔霍夫衍射积分公式与瑞利一索莫菲衍射积分公式进行比较和讨 ( 1 ) 从形式上看，基尔霍夫衍射积分公式与第一类瑞利一一索莫菲衍射积分公 式的区别在其倾斜因子k ( 臼) 不同，分别为 k ( 臼) = 掣 ( 基尔霍夫衍射积分公式) k ( 曰) = c o s ( 亓，尹)( 瑞利一索莫菲衍射积分公式) 但( 1 1 7 ) 式和( 1 1 1 0 ) 式可以统一的写成 【，( p ) ：去f 鼽e x p ( i k r ) k ( o ) d s l i t ， 上式与波动光学中的惠更斯一一菲涅耳原理相对应，即波前方一点p 的光振动 是由各子波源对该点光振动贡献之和来决定，并且给出了倾斜因子k ( p ) 的具体 形式。由此可见，两种理论都深刻的揭示了衍射现象的物理本质，都是对物理 本质的真实描写。 ( 2 ) 瑞利一一索莫菲衍射公式从理论上讲应优于基尔霍夫衍射理论，因为它克 服了基尔霍夫边界条件与唯一性定理的矛盾。但对于研究光波在开孔足够大的 不透明屏上的衍射情况( 特别是远场、近轴的情况) ，基尔霍夫边界条件却是一 个对实际情况很好的近似。诚然，就严格的理论意义而言，作为边界因素，屏 的存在肯定会对面上的光场产生影响，小孔的衍射屏后的光场也不可能为零。 实际上，屏上开孔边沿的物质将与光波发生极其复杂的相互作用，但其影响 只有当孔很小且观察点很靠近衍射孔( 在波长量级以内的近场区) 时才明显的 表现出来，这时标量衍射理论将不再适用，应该用矢量衍射理论来讨论近场衍 射问题；当观察点p 距离屏足够远，且衍射孔径的线度远大于波长的情况下， 实验表明屏上开孔边沿的物质与光波相互作用可以完全忽略。因此，基尔霍 夫边界条件的近似性在非近场区、标量衍射的前提下是完全允许的、甚至是精 确的1 2 4 。 1 1 3 平面波角谱衍射理论【2 0 】 2 h 以上在空域中讨论了标量光波的衍射理论，其物理意义比较直观，即观察 6 面上一点光振动的复振幅由衍射面上各点光场的复振幅对该点光振动贡献之和 来决定。如果将衍射问题放在频域中去研究则计算将更为简便。 由傅里叶变换的基本概念可知，对一随时间变化的信号作傅里叶变换，可 求得该信号的频谱分布，同样，若对任意平面上的复光场分布作二维傅里叶变 换，则可求得光信号的“空间频谱”分布。各个空间频率的傅里叶分量，可以 看作是沿不同方向传播的平面波。因此，把“空间频谱”称为平面波的角谱。 设一单色光波沿着z 方向投射到x o y 平面上，z = 0 处的光场为u ( x ，y ，0 ) ， 频谱函数为a o ( 六， ) ，则函数u ( x ，y ，0 ) 在x o y 平面上的二维傅里叶变换为 ， a o ( 正，) = i | u ( x ，y ，o ) e x p 一i 2 z ( x f , , + y f ，) d x a y ( 1 1 1 3 ) 其傅里叶逆变换为 u ( x , y ，o ) = fn ( 正，) e x p 【f 2 万( 识+ 蛎) 】矾吼 ( 1 1 1 4 ) 式是把频域函数4 。傅立叶变换为空域函数u ，也可理解成空域函数 u 可以展开成以空间频率为变量的系列基元函数e x p i 2 z ( x f x + j 矾) 】之和。 a ( z ，) 称为光场u ( x ，y ，o ) 的角谱，或称为平面波的角谱。 如图1 2 所示，设z = 0 和z 处的光场和角谱分别为u ( x ，_ y ，o ) 、u ( x ，y ，z ) 和 么( 六，) 、4 ：( 六，l ) ，其中u ( x ，y ，z ) 和彳：( 六，l ) 亦满足傅里叶变换和傅里叶逆 变换关系 4 ：( 六，) = fp ( x ，y ，z ) e x p - i 2 z ( x f , , + 坊) 】凼砂 u ( x , y ，z ) = jn ( 六，f ，) e x p i 2 ； r ( x f x + 蛎) 】识识 显然，只要知道z 处的角谱a z ( 正，工) 就可以确定衍射屏后任意点的光场，下面 来讨论a o ( 六，) 与爿：( 六，乃) 之间的函数关系。 u ( x ，y ，o ) t t ( x ，y ，z ) x j ，n ：、j，j y ， ， _ + 、 ：= 0 图1 2 平面波角谱衍射理论角谱传递示意图 将式( 1 1 1 6 ) 带入亥姆霍兹方程( v 2 十k 2 ) u ( x ，y ，z ) = o ，得到 a ：( 六，l ，z ) = a o ( 正，y ，o ) e x p ( i 兰箸) z 1 一( 织) 2 一( 机) 21 ( 1 1 1 7 ) 上式被称为角谱传递关系式。由式( 1 1 1 7 ) 通过傅里叶逆变换得到 u ( t y ，z ) = 4 ( 六，o ) 【e x p ( f 等) z 小二i 瓦于= 丽】 一 ，p e x p i 2 n ( x f x + ) 玑) 】矾d l ( 1 1 1 8 ) 为了进一步了解上述结论的物理意义，下面将对角谱传递关系( 1 1 1 7 ) 式和( 1 1 1 8 ) 式进行具体分析 ( 1 ) 当七十 i 2 2 时，1 一( 犹) 2 一( 机) 2 为虚数，则( 1 1 1 7 ) 式变为 4 ：( ，l ，z ) = 4 ( 六，删e x p 一可2 n - ) z 厕再彳万了巧】 上式表示对于满足1 一( 矾) 2 一( 矾，) 2 五的区域内) ，只有满足t 2 + f ，2 0 的区域的光场分布，其形式如下【2 9 1 ： e x ( x 肌z ) - - 去嗄e x ( x o , y o , 0 ) 旦生字氐砒 e y ( 矾护一上2 7 rf 彳e y ( x o , y o , 0 ) 丝字氐砒 e z ( x ，y ，z ) 2 瓦1j q o 皿；( x o , y o , 0 ) 曼g 磐+ e y ( x o , y o , 0 ) 曼堡笋】氐砒 ( 1 2 1 a ) 其中；。= x o i 十y o j ；= 薪+ y 了+ z 无；g ( r , r o ) = e x p 百_ ( i k r ) ；r = ：r ；两； r = i 尹一焉i = 舨i j 孓乏i 了两是场点到源点的距离。 1 2 1 2 瑞利一索莫菲衍射积分的近似形式 1 2 1 2 1 矢量非傍轴近似 精确形式的瑞利一索莫菲衍射积分由于其数学与数值计算上的困难，在实际中 极为不便，需要寻找有效的近似形似。对于非傍轴近似 3 0 3 1 l ，把式( 1 2 1 ) 的 指数因子项中r 近似表示为 r=p一昂l：4(x-xo)2+(y-yo)2+z2。，+五2+y02_=2xx。一_2yy。 z r 其它项中取r “，则 e x p ( i i k r 一) 。三e x p 腩( r + x 2 0 + y 2 _ 2 ，x x o _ 2 y y o ) 1 ( 1 2 2 ) e ( 置舻) 一昙掣嗄e ( x o , y o , 0 ) e x p ( 请笠生正挚) 出。砒 “2 3 a ) 易( t y ，z ) = 一砉掣垣b ( x o , y o , o ) e x p ( 墙益坐正竽) 氐砒 “2 3 b ) 她舻) 。万i 墅字他删( _ ) + 岛( 砌埘煳 ( 1 2 3 c ) 。e x p ( 派垒篮尝坚0 二迅) 氐砒 在远场近似下r 可以进一步写成【9 】 r “r 一堡竽 则 t c x p ( i k r ) al re x p 暇卜笪竽) 】 ( 1 2 圳 于是( 1 2 3 ) 可进一步表示为 e ( 墨y 力一杀! 鼍盟! e ( x o , y o , o ) e x p ( 讯兰鼍半) 砒 e o 幽z ) 一万i z e x p _ ( i k r ) 玉b ( ， o ) e x p ( - 请苎堑产) 哦砒 驰拂力= 万i _ c x p ( _ i k r ) i ! i t e ：，o ) ( p ) + e y ( 孙y o ，吣一) 】 e x p ( 一琥塑竽) d x o d y o 上式为光场的非傍轴远场近似公式。需要指出研究高度非傍轴光束传输时，可 以根据需要将r 的展开式中适当的多保留几项，例如r 可近似成3 1 r 一鼍竽+ ( y 2 + z 2 ) x ；+ 1 ( x 2 + 广z 2 ) y 一2 0 - 2 x x o y y o 。 1 2 1 2 2 标量傍轴近似 著将( 1 2 2 ) 和( 1 2 4 ) 式中右边项的r 变为z 9 1 ，分别得到 e x p ( - i k r ) 。! “p 【腩( z + 垒篮等竖也) 】 kz z e x p i ( i k r ) 。三e x p f 七0 一x x o + y y o ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) 于是( 1 2 3 a ) 和，( i 2 5 a ) 写成 e x ( x , y , z 卜丢掣j j e ( x o , y o , o ) e x p ( 琥生肇挚) 哦砒( 1 2 8 )m 一一 e ( x , y , z ) = 一号! 兰旦笋塑门e ( ，o ) e x p ( 一腩旦雹丛) d x o & o m 1 0 式( 1 2 8 ) 、( 1 2 9 ) 分别是标量傍轴近似和远场标量傍轴近似即菲涅耳近似 和夫朗和费近似。 1 2 2 角谱分析法 以上是在空域中谈论矢量衍射问题，下面从频域的角度考查这个问题，就 是用角谱法去描述，角谱法的写法也有多种形式【4 。】。 在自由空间中，单色电磁波的传输由波动方程及各分量的祸合关系共同决 定，即 v 2 e ( r ) + k 2 e ( r ) = 0 v 秀( r ) = 0 式中k = _ 2 f 为波矢，；：牙+ y 了+ z j 5 ，雷为电场强度矢量。 方程的解可表示为( 4 1 e a x ，y ，z ) = “，( b q ) e x p i k ( p x + q y + m z ) l d p d q 在z o 半空间中，波动 e a x , y ，幻= ll 氐y ( p ，q ) e x p i k ( p x + q y + m z ) d p d q e a x ，y ，z ) 一ff 阵4 ，( p ，q ) + q a o ，( p ，q ) e x p i k ( p x + q y + m z ) l d p d q 。二m m ( 1 2 1 0 b ) 式中，( 弘q ，m ) 为波矢k 的方向余弦，p 2 a 正，q 2 织，六和分别为x ，y 方向的 空间频率， f ( 1 - p 2 - q 2 ) 2 m2 if ( p 2 + 9 2 一1 ) 舵 p 2 + 9 2 1 p 2 + q 2 1 当p 2 + 矿1 时，表示传播波，当p 2 + 9 2 1 时，对应于随传输距离z 的增加迅速 衰减的倏逝波，一般传播距离为几个波长时，倏逝波可以忽略。 4 ，( b g ) ，4 ，( p ，口) 可由z = o 处电场的边界条件百( x ，y ，o ) = e 。( x ，y ，o 万+ e ，( x ，y ，o ) _ 确定，即 4 ，( 弘g ) = 4 。( p ，q ) = 去 2 鹱驰烘蝴一酝训，姗 笥睫弘删e x p 【_ 坳训】妫 对于矢量衍射理论的角谱表示，另一种常见的形式为( 5 1 e ( x , y ，z ) = 小x p i ( 9 + 抽：) 】 一学十 其中芦= 厩+ 哆，t = _ | 。e x + _ j ，己k ：= 、，j f 二弼，七= 2 z a 为波数， 罾( t ) 为衍射孑l 内衍射场横向分量雷( x ，y ，o ) 的二维傅立叶变换 豇( t ) 2 两1f 舾( 一驴t ) 酏弘。廊 无论是( 1 2 1 0 ) 式还是( 1 2 1 3 ) 式，直接进行积分一般都很困难， 通常用级数展开法可求得积分解的各级近似级数解。级数展开的思想也不完全 一样3 2 1 ，如忽略倏逝波1 6 17 1 ，可将e x p ( 以z ) 作展开，有 唧c i k ：z ) = e x p i k z ，一j 1l _ k p ) 2 - ；c 争4 + 将式( 1 2 1 5 ) 保留至第三项，代入式( 1 2 1 3 ) 中，衍射场的横向分量可近 似表示为 豆力扩i i e x p 砸砖一篆列e x p ( 一谨k 4 力q = ( - ) d 2 ( 1 2 1 6 ) 采扇近似e x p ( 一f 箬z ) “1 一f 参z ，便可求得衍射场横向分量的二级近似级数解 豆c 2 b ，儿z ) = 扩盯e x p f ( 乃一芸瑚( 1 一f 参z ) 豆( t ) d z t 若将式( 1 2 1 5 ) 保留至更高阶项，便可求得衍射场横向分量的高级近似级数 解。 将( 1 2 1 5 ) 式保留至第二项，代入角谱公式( 1 2 1 3 ) 中，且近似取t = | j ， 便可求得衍射场纵向分量级数解的一级近似 霹1 ) ( x ，弘力= 一昙严j e x p 【f ( 乃不一关列t 盂( t ) d z ( 1 2 1 8 ) 1 2 3 角谱分析法和矢量瑞利一索莫菲衍射积分方法的等价性 无论是角谱分析法和矢量瑞利一索莫菲衍射积分方法，其中的光场 面( x ，弘z ) 均是矢量波动方程的解，二者本质是等价的，证明如下1 2 8 】： 在z o 半空间中，光场的平面波角谱解在形式上可写成 日 ) - j 4 ，g ) e x p 砘( 彤+ 缈+ m z ) d p a q 其中上。而y e ( x ，y ，z ) = 一【旦4 ( p ，口) + 旦4 ( 弘q ) e x p i k ( p x + q y + m z ) 】印由 。二m m 。 一 f0 - p 2 _ q 2 ) 1 2 p 2 + q 2 _ l 4 ( 姗) 2 唾) 2 jj 日( ，o ) e x p 【一腩( p x o + q y o ) d x o d y o 把( 1 2 2 0 ) 式带入( 1 2 1 9 ) 可得 ( 1 2 1 9 a ) 驰删= 去) 2 也q ( 砌，0 ) g d ( x - x o , y - 胪) d x o d y o t ( x