（基础数学专业论文）剩余格中的几类fuzzy滤子和fuzzy同余关系.pdf

剩余格中的几类掣滤乎和f u z z y 同余关系 骂藕螂 摘簧t 9 6 5 年，l a z a d e h 教授箍出模糊集的概念，稀拣着模糊数学这门学科静 溅坐，也为摸糊逻辑的产生葵定了蕊端1 9 7 3 年，z a d e h 教授又蓠先将摸糊数学 懿器想和方法应用于模糊捺理，掇出了著名的合成推理方法该方法被广泛成用 于工渡控镧苟家电产品的制造中，并取得了随太的成功但逶模糊推瑷缺乏严稽 懿遴瓣基勰，瑟嚣经典逻爨是多骧逻鞲，模糊捺理及攒糊控翱等她理论基础。在 髂决模期推理的逻辑基旗同题中，楗糊逻辑桐应的代数系统是非缀典逻辑的一个 爨墼研究方向本文在舆有广泛殿用的一类模糊逻辑代数系统剩余格巾， 掰多镶逻辑代数秘方藩避一步璎突了滤子毒臻袅关系。 本文的皇要内容如下： 本文的第一章在剩余格中引入了f u z z y ( p ) 滤子的概念。得弼了它的一戆特 缀悭囊；绘瓣了强z z y ( p ) 滤子数结撼，涯鳃了测余接孛的f u z z y ( p ) 滤手之集搀 成爨餐的分配楱；裁慰f u z z y ( p ) 滤子的特有缡糖，在剩余牾中定义了f u z z y ( p ) 滤子问的两个运算“西”。“：”，井证明嵌们做成一个伴随对。随聪证明了剩 余格串满瑟一定条箨懿一獒z z y ( p ) 滤子帮上逡令律蘧对佟或弱余撼。 岑交酶第= 掌黄嬲定义了裁余揍上雏慰魏荚系，诞骥了剩余撂孛趋p ) 漶予 对应一个同佘美系，并由该同余关系确定的商代数仍燕剩余格；然后将同余篾系 巍然攘广，懋义了f u z z y 蠢余关系，谖疆了f u z z y 矮余荧系等f u z z y p ) 滤予愁一 一对蔽魏零章瓣第三带弓l 入了巍个裁余捺之勰瓣正毅浃越，讨谂了藏翘映射静 一些性质，证明了由正规映射诱导的z a d e h 氆函数是保f u z z y ( p ) 滤予的映射 本文酌第三章在一种强瘸余耩歪蠲藕余格审分鳐了霹静特殊懿f u z z y 滤予一素f u z z y ( p ) 滤予秘f u z z y 强蕴涵滤子讨论了它麓豹一藏淫菠，迁骥了 威则剩余格上的盒体索f a z z y ( p ) 滤子之集做成完备格；并证明了f u z z y 强蕴涵 滤子必然是f u z z y ( p ) 滤子，反之不然；露时给出了f u z z y 强蕴涵滤予魏蔻个特程 裁蘑 奖键词剩余格正则制余格f t l z z y ( p ) 滤子f h z z y 同余关系 s o m ef u z z yf i l t e r sa n df u z z yc o n g r u e n c er e l a t i o n so n r e s i d u a t e dl a t t i c e m al i - n a a b s t r a c tt h e c o n c e p to ff u z z ys e tw a sp r o p o s e db yp r o f e s s o rl a z a d e hi n 1 9 6 5 ，i ts e t sas o l i df o u n d a t i o nf o rt h ee m e r g e n c eo ff u z z yi o g i c i n1 9 7 3 ) p r o f e s - s o rz a d e hf i r s t l yi n t r o d u c e df a m o u sc r im e t h o do ff u z z yr e a s o n i n g i th a sb e e n w i l d l ya p p l i e di nt h ei n d u s t r yc o n t r o la n dt h ep r o d u c t i o no fe l e c t r i c a le q u i p m e n t s w i t he n o r m o u ss u c c e s s h o w e v e ri t sb a s i ct h e o r y f u z z yr e a s o n i n g ，s t i l lh a s n t ad e p e n d a b l el o g i c a lb a s e t h ef u z z yl o g i ca l g e r a l cs y s t e mp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nn o n - c l a s s i c a ll o g i cw h i c hi st h et h e o r e t i c a lb a s i so fm a n y - v a l u e dl o g i c ，f u z z yr e a - s o n i n ga n df u z z yc o n t r 0 1 a so n eo ft h ei m p o r t a n tf u z z yl o g i ca l g e b r a i cs y s t e m s l r e s i d u a t e dl a t t i c e sh a v eb r o a da p p l i c a t i o n s f i l t e r sa n dc o n g r u e n c et e l a t i o n so ft h e r e s i d u a t e dl a t t i c e sa r es t u d i e db ye m p l o y i n gm u t i - v a l u e dl o g i ca l g e b r a sm e t h o d si n t h i sp a p e r t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r eg i v e n8 sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ec o n c e p to ff u z z y ( p ) f i l t e ri si n t r o d u c e ds o m eo fi t s p r o p e r t i e sa r ei n v e s t i g a t e d t h es t r u c t u r eo ff u z z y ( p 1f i l t e r si sd i s c u s s e da n di t i s p r o v e dt h a tt h es e to fa l lf u z z y ( p ) f i l t e r so far e s i d u a t e dl a t t i c ei sad i s t r i b u t i v ea n d c o m p l e t el a t t i c e i nv i e wo ft h es t r u c t u r eo ft h ef u z z y ( p ) f i l t e r s ，an e wk i n do f a d j o i n tc o u p i e ( 西，习i sd e f i n e di nr e s i d u a t e dl a t t i c e s ag r o u po fs p e c i a lf u z z y ( p ) f i l t e r sw i t ht h ea d j o i n tc o n p l e ( ，：) i sp r o v e dt ob ear e s i d u a t e dl a t t i c e i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ec o n c e p to fc o n g r u e n c er e l a t i o no nar e s i d u a t e d l a t t i c ei si n t r o d u c e di ti sp r o v e dt h a tt h eq u o t i e n ta l g e b r ao far e s i d u a t e dl a t t i c e a b o u tt h ec o n g r u e n c er e l a t i o ni ss t i l lar e s i d u a t e dl a t t i c e t h e na sag e n e r a l i z a t i o n o ft h ec o n g r u e n c er e l a t i o n it h ec o n c e p to ff u z z yc o n g r u e n c er e l a t i o ni sb r o u g h ti n i ti sp r o v e dt h a tt h e r ei sab i j e c t i o nb e t w e e nt h es e to ff u z z y ( p ) f i l t e r sa n dt h es e t o ff u z z yc o n g r u e n c er e l a t i o n s a f t e r w a r d s ，t h en o t i o no fn o r m a lm a p p i n gf r o ma r e s i d u a t e dl a t t i c et oa n o t h e ri sd e f i n e d t h ez a d e h - f u n c t i o ni n d u c e db yt h en o r r a m m a p p i n gi ss h o w nt ob eam a p p i n go fk e e p i n gf i l z z y ( p ) f i l t e r s i nt h et h i r dc h a p t e r jt h ec o n c e p t so fs e v e r a ls p e c i a lf u z z yf i l t e r sa r ei n t r o d u c e d i nak i n do fn e wf u z z yl o g i ca l g e b r as t r u c t u r p r e g u l a rr e s i d u a t e dl a t t i c e s ，s u c ha s p r i m ef u z z y ( p ) f i l t e r s 、f u z z ys t r o n gi m p l i c a t i v ef i l t e r sa n ds oo n t h ep r o p e r t i e so f i i t h e ma r ed i s c u s s e d i ti sp r o v e dt h a tf u z z ys t r o n gi m p l i c a t i v ef i l t e r sm u s tb ef u z z y ( p ) f i l t e r s b u tt h ec o n v e r s em a yn o tb et r u e f u r t h e r m o r es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so f f u z z ys t r o n gi m p l i c a t i v ef i l t e r s8 o b t a i n e d 。 k e y w o r d s r e s i d u a t e dl a t t i c e ；r e g u l a rr e s i d u a t e dl a t t i c e ；f u z z y ( p ) f i l t e r ； f u z z yc o n g r u e n c e i i i 学位论文独创性声明 y 9 0 0 2 9 8 本人声骥艇聚交鲍学挝论文最我嶷静师麴攒母下进褥的研究王作及取镘囊勺研 究藏暴。尽凌聪知，豫文书嚣经淡我碍l 鼹骑内容辨，论文审不包含其俄个人醴经 发表躐撰写进翁掰究或聚， 魏不骰禽鸯获餐簸嚣簿范大学袋蒸宅教弯巍橼豹攀证 或谶蕊褥镁搦建瓣毒| 辩。砖本交煎疆究敲窭黧要烫漱豹令入秘集搏，均愁在文母 律了鲷确诞骥辩亵示谢意。 挎卷签名，芬辫鲫隅l 吐 学链论文使用授权声明 本人f 两崽研究生程校攻读学位期间论文工作的知识产粳单位禳陕西师范穴 学。本太辍谖挚娩离技麓，发表零浓交蘸按鼹奉论文藏聚游署名攀髓掇隽莰嚣褥 范大学。学授宙投傈麓学位论文势肉国家主管铘n 或其它指定机构遴交论文的电 子敝耩纸袋黢# 有权将孥健论交阁予 # 赢利霹魏的少蘸复制并允濞论文进入学梭 墅啦键、酝系瓷辩室被套弱；鸯投搀攀位论文鹃砖窭缡入商关数螺麾进行梭索 富投将学证论文戆标题翻撼要扳缡出版。 终案签名；基i l 翅! 日瓤! 型， 饕壹 经典数理逻辑已有3 0 0 多年的历史了，到如今数理逻辑已经发展成为- - 1 7 枝 繁峙茂抟学褥然蠢，魏罄人类踺绻观世薨认瑷翁不瑟扩疑与深入，入弱莲滋试识 剿基于确窝健的经典= 值逻辑虽然是处理确寇性信息的有效工具，但当面对日靛 复杂的非线性的、时藏的系统时却有很大的脚限性为了解决这一矛盾，美国的 控裁论专家毛a z a d e h 教授予1 9 6 5 年提出了模糍集理论l “，拜钱了壤凝数学逡 门学科的崭新研究领域，也为模糊逻辑的诞生髓定了基础1 9 7 3 年，z a d e h 教授 叉首先将模糊数学的思想和方法腹用于模糊推理，提出了著名的合成推理方法， 嚣c r i 算法。模糍推瑗一经提出，立刻引起了工程技术赛躲关注，e + 鞋m a m d a n i 很快将z a d e h 的这一榷理方法虚筒于控制壤域，形成了模糊控翩理论，此后叉被 应用于工业控制和家电产品的控制中，并取得了巨大的成功但是横糊推理在理 谂上并 # 竞荣，并没番魍入严捂鳇逻辑系统中，越畦关于“摸期逻辑4 轻“摸期逻 辑”的文章鞠书籍已寄不少，但似乎均未能缭模糊推理奠定坚实的瑷论基础蒜 于对经典逻辑在模糊环境中的不谶应性，1 9 9 6 年王国俊教授建立了模糊命题演 算形式系统扩| 1 5 l 。随詹在形式系缀驴盼框架中，扶语义上冀f m p 搴鞋f m t 建立 了逻辑基确 1 4 “，程风算予基础上建立了修正静k l e e n e 逻辑系统及其广义黧 裔式理论f ，并提出模糊推理的垒蕴涵三r 簿法，将模糊推理重新引入了逻辑 语义蕴涵姆正确轨道上，文献f 9 1 总结了已有的研究成果，这些研究成果使得蠛 槠推理缺乏避辑墓确静状况得到了穰夫翁改变。 捷克学者j p a v e l k a 于1 9 7 9 年以“o nf u z z yl o g i c ”为题发袭了三篇有影 响的文章愀，为模糊命题演算提供7 一种比较完整的瑗论框架，他利用伴随对 豹概念建立了一个丰甯静裁余格绻梅，我鞠熟知静一婆代数系统，魏逻辑掌象 c c c h a n g 教授提出的m v 一代数，王国俊教授提出的r o 一代数以及b o o l e 代 数，d e - m o r g a n 代数( 软代数) ，h e y t i n g 代数都含有一个剩余格的代数结构 在琨戎模糊逻辑理论中，裂余穗麓公浚酶最蘩簧雏代数缝稳，嚣滤予与嚣余燕辑 究代数结构的一个重要工具为了用模糊数学的方法进一步研究剩余格的滤子与 同余，本文酋先引入了f a z z y ( p ) 滤子的概念，比较深入的研究了r u z z y ( p ) 滤予 豹佳囊，褥戮了它熬一毽等餐瑟瑟，在魏基镶主褥甍了溺余箍秘( p ) 滤子麓嚣条 性质定理给出了f u z z y ( p ) 滤子的结构，证明了剩余格中的f u z z y ( p ) 滤子之寨 构成完备的分配格利用f u z z y ( p ) 滤子的特有结构，在剩余格中先定义了一个 转缱对( 瓴写j ，夔磊谖疑了裂衾掇孛潢是一是条箨戆一类f u z z y ( p ) 穗子带上这 个伴随对作成剩余格然后定义了剩余格上的同余关系，证明了剩余格中的一个 ( p ) 滤子对应一个同余关系，并由该同余关系确定的商代数仍是剩余格；接着将 同余关系自然推广，定义了剩余格中的f u z z y 同余关系，证明了f u z z y 同余关系 与f u z z y ( p ) 滤子是一一对应的在第二章第三节中引入了两个剩余格之间的正规 映射，初步讨论了正规映射的一些性质，证明了由正规映射诱导的z a d e h 型函数 是保f u z z y ( p ) 滤子的映射本文的最后一章在正则剩余格中介绍了两种特殊的 f u z z y 滤子一素f u z z y ( p ) 滤子和f u z z y 强蕴涵滤子讨论了它们的一些性质， 证明了正则剩余格上的全体素f u z z y ( p ) 滤子之集做成完备格；并证明了f u z z y 强 蕴涵滤子必然是f u z z y ( p ) 滤子，反之不然；同时给出了f u z z y 强蕴涵滤子的几个 特征刻画 2 第一章剩余格中的f u z z y ( p ) 滤子 1 9 7 9 年捷克学者j p a v e l k a 利用伴随对的概念建立了一个丰富的代数结构一 剩余格我们熟知的一些代数系统，如逻辑学家c c c h a n g 教授提出的m v 一代 数，王国俊教授提出的风一代数以及b o o l e 代数，d e - m o r g a n 代数( 软代数) ， h e y t i a g 代数都含有一个剩余格的代数结构而滤子是研究代数结构的一个重要 工具，对于这些特殊的剩余格中滤子的研究目前已有很多相关的结果，但如何用 模糊数学的方法研究一般剩余格中的滤子，是一个尚待解决的问题本章就这一 问题进行了初步的研究 l 1 预备知识 本节介绍阅读本文所需的一些预备知识。 定义1 1 1 【2 q设p 是非空子集， 是p 上的二元关系，y ，z p ， 如果 ( i ) x x ( 自反性) ； ( i i ) 若z y 且y o ，则z = y ( 反对称性) ； ( i ) 若x - y 且y z ，则。 z ( 传递性) ； 那么 是p 上的偏序称( p ， ) 是偏序集 以下我们把尸上的偏序 记为 定义1 1 2 设( l ，) 是偏序集，如果对于l 中任意一对元a 与b ， s u p a ，计与i n ， o ，6 ) 恒存在，则称( l ，) 是格，记avb = s u p a ，时，a ab = i n f ( a ，6 ) 如果格l 有最大元和最小元，则称格( l ，) 是有界格如果对于l 的任意子集x ，s u p x 与i n f x 都存在，则称( l ，) 是完备格完备格有最大元 s u p l ，记为1 ，完备格也有最小元s u p o ，记为0 命题1 1 3 在任意格( l ， 。l 则( 厶圆o ，一o ) 是正则剩余格 定义1 1 1 4 s l设( l ，o ，一) 是剩余格，f l ，我们称f 为l 的一个( p ) 滤子，如果以下条件成立： ( i ) 1 f ； ( i i ) 如果a f 且a b ，那么b f ； ( i i i )如果a ，b f 那么a o b f 定义1 1 1 5i s l 设( l ，o ，一) 是剩余格，f l ，我们称f 为工的一个蕴 涵滤子，如果以下条件成立； ( i ) 1 f ； ( i i ) c a ，b l ，如果a ，口一b f 那么b f 命题1 1 1 6 【8 】 在剩余格( l ，o ，一) 中，f l ，f 是工的蕴涵滤子当且仅 当f 是l 的( p ) 滤子 命题1 1 1 7 【q在剩余格( l ，o ，一) 中，如果f 是蕴涵滤子。那么f 是l 的格滤子，但其逆并不成立 例1 1 1 8 取例1 1 _ 1 3 ( i i ) 中的剩余格，令f = 【o 5 ，1 ，易证f 是l 的格滤 子，但f 不是蕴涵滤子事实上，取n = 0 5 ，b = 0 3 ，则a f a b = 0 5 f 但b f 定义1 1 1 9 设( l ，o ，一) 是剩余格，a ：l 一【o ，1 是二到正则剩余格 ( 【o ，1 】， o ，一o ) 的映射，则称a 为剩余格l 上的f u z z y 集 以下用，( l ) 表示剩余格工上的全体f u z z y 集之集 定义1 1 2 0 设( l ，o ，一) 是剩余格，a ，( l ) ，a 0 ，1 ，称a = o 五a ( a ) 兰a ，为a 的a 截集 定义1 1 2 1 【1 1 1 设x ，】，是非空分明集，：x y 是映射，则，可诱导 一个从，伍) 到，( y ) 的映射( 仍记为，) 如下： ，) ( ) = s “p a ( x ) e ，( z ) = g ) ，y k a ，( x ) 称此，：，( x ) 一y ( y ) 为由，：x y 诱导的z a d e h 型函数 l _ 2 剩余格中的f u z z y ( p ) 滤子的特征性质 由于在客观世界中，事物往往带有不确定性，并且人对事物进行推理、判断、 决策时同样带有不确定性因此将模糊集合论应用于剩余格具有重要的意义这 一节在剩余格中引入f u z z y ( p ) 滤子的概念，得到了一些特征性质，从而证明了剩 余格的( p ) 滤子的两条性质 定义1 2 1设( l ，o ，一) 是剩余格，a ，( l ) ，a 0 ，称a 是l 上的 f u z z y ( p ) 滤子，如果以下条件成立： ( f 1 )a 是单调不减的； ( f 2 ) c a ，b l ，a ( b ) a ( a b ) o o a ( o ) 6 铡1 2 。2蔹五= o ，8 ，b ，i ，0 a i 1 ，所以a ( a ) o o a ( b ) a o a = a ，又a 是f u z z y ( p ) 滤子，故由命题1 2 4 知 a ( a b ) a ( a ) o a ( 6 ) ，从而a ob ) ，即。ob 九又因为a 单调不减， 所以山为上集，因此如是( p ) 滤子 命题1 2 9 ( 特征性质6 )设( l ，o ，一) 是剩余格，a ，( l ) ，姒【o ，1 l 若a d 且凡为( p ) 滤子，则a 为p u z z y ( p ) 滤子 证明v a l ，令a = a ( a ) 0 ，1 1 ，则a 凡，故也0 若。曼b ，则 由凡为( p ) 滤子知b a ，从而a ( b ) = a ( 口) 所以a 是单调不减的 其次，v a ，b l ，令a = a ( a ) o oa ( a 一6 ) ，则a ( a ) a ，a 一b ) a ，即 a a ，a b a x ，由凡为( p ) 滤子，即如为蕴涵滤子知b a ，因此， a ( 6 ) a = a ( a ) o o a ( a 一6 ) 综上知a 是f u z z y ( p ) 滤子 命题1 2 1 0 ( 特征性质7 )设( l ，圆，一) 是剩余格，f ，f l 皿，卢 0 ，1 1 ，口 j ，o 卢，令 ) = 旧：嚣_ _ f 则f 为( p ) 滤子当且仅当a 是p a z z y ( p ) 滤子 证明设f 为( p ) 滤子，显然a 单调不减故只需证明v a l ， a ( a ) o o a ( b ) 兰a ( a o6 ) ( 1 1 ) 若a ( a ) ；a ( b ) = ，则，b f ，从而口ob f ，这时4 ( ob ) = d ，故( 1 1 ) 式 成立若a ( a ) ，a ( b ) 至少有一个等于卢，( 1 1 ) 式的左边p ，从而( 1 1 ) 式仍成 立因此a 是f u z z y ( p ) 滤子 反之，设a 是f u z z y ( p ) 滤子，需证f 为( p ) 滤子设a ，b f ，则a ( a ) = a ( b ) = o i 1 ，由a ( a ) 固o a ( b ) a ( a b ) 知a ( a ob ) o ，从而o ob f ，又f 显然是上集且f 0 ，则有1 f ，因此f 是( p ) 滤子 推论1 2 1 1 设( l ， ，一) 是剩余格，f 0 ，f l ，x f 为f 的特征函 数，则f 为( p ) 滤子当且仅当x f 为p u z z y ( p ) 滤子 证明取d = 1 ，卢= 0 ，由命题1 2 1 0 即得 利用上述关于p u z z y ( p ) 滤子的特征性质，一可以证明剩余格中( p ) 滤子的下 列性质 命题1 2 1 2 ( 性质1 )设( l ，o ，一) 是剩余格，f d ，f l ，则f 为 ( p ) 滤子当且仅当以下条件成立： ( i ) l f ； ( i i ) v a ，b ，c l ，若a _ b f ) b _ c f ，则o _ c f 9 证明 设f 为( p ) 滤子，只需证明( i i ) 成立由推论1 2 1 1 知珩为b s a z z y ( p ) 滤子，又由命题1 2 3 知v a ，6 ，c l ，肿( 。一c ) x f ( 口一b ) o 胎( 6 一c ) ，所以 当8 _ b 只b _ c f ，即x f ( a b ) = 1 ，舯( 6 一c ) = 1 时，有x f ( c l 一c ) = l ， 即_ c f 反过来，由命题1 1 1 6 知，只需证f 为蕴涵滤子首先，1 f ，其次v a ，b f ， 当o f ，o - b f ，即1 _ a f ，a - b f 时，由( i i ) 知1 _ b = b f ，因此 f 为蕴涵滤子 命题1 2 1 3 ( 性质2 )设( l ， ，一) 是剩余格，f 0 ，f l ，则 f 为( p ) 滤子当且仅当，b f 时，t ( a ob ) f 这里t ( n ob ) = c l la ob sc ) 证明设f 为( p ) 滤子，则由推论1 2 1 1 知为p u z z y ( p ) 滤子从而， v a ，b l ，由命题1 24 知x f ( a ob ) 2x f ( a ) o o x f ( b ) 若t ( a b ) f 不成立， 则存在a ，b f 及c f ，使得a bsc 此时，x f ( a ) = 凇( 6 ) = 1 ，x f ( c ) = 0 ， 又耵单调不减，所以x f ( a b ) sx f ( c ) = 0 ，即缸ob ) = 0 这与耵( 口 b ) x f ( a ) o o x r ( b ) = 1 矛盾因此t ( n ob ) 至f 成立 反之，设t ( o ob ) f 成立，下证f 为蕴涵滤子首先，当n ，b f 时， 由a ob a o1 1 ，知1 t ( a o6 ) ，从而l f 其次，设o q 盘_ b f ，因为 ( 1 7 , 一b ) oa b ，所以b t ( a o6 ) ，从而b f 因此f 是蕴涵滤子 5 1 3 剩余格中的f u z z y ( p ) 滤子的应用 本节讨论了在剩余格中由模糊集生成f u z z y ( p ) 滤子的问题，弄清了f u z z y ( p ) 滤子的结构，并证明了剩余格中的f u z z y ( p ) 滤子之集构成完备的分配格；利用 f u z 奄c ( p ) 滤子的特有结构，在剩余格中定义了p u z z y ( p ) 滤子间的两个运算“卤”， “= ”，并证明它们做成一个伴随对，随后证明了剩余格中满足一定条件的一类 f u z z y ( p ) 滤子带上这个伴随对作成剩余格；同时介绍了一种特殊的f u z z y ( p ) 滤 子，得到了一些结论 定义1 3 1 设a ，( l ) 0 n 规定 ( i ) ( 昌a ) ( z ) - ：吕a = ( z ) ； ( 1 1 ) ( 凸a ) ( 。) _ 。台a ；( z ) 称( i ) ，( i i ) 中的运算结果u r a ；和口a ，为 a ；i j 的并和交 1 0 注1 3 2 定义1 3 1 中，当，中只有两个标号时，将 a ；i j ) 写为 似，b ，相应的并和交写为a u b 与a n b 定义1 3 3 1 2 】设a ，b ，( l ) ，按点式定义5 r ( l ) 上的偏序如下：as b 当且仅当 c a l ，a ( a ) sb ( d ) 命题1 - 3 4 设( l ，o ，一) 是剩余格， a ；li ，i 0 ) 是上的一族 f u z z y ( p ) 滤子，则n a ；也是l 上的f u z z y ( p ) 滤子 证明 n a 显然是单调不减的，所以由命题1 2 4 知只需证 v a ，b l 。9 a - ) ( ) o ( i 凸a ) ( 6 ) ( 凸a t ) 托。6 ) ( 1 2 ) 若( 旦，j 4 。) ( a ) + ( 9 ，a ) ( b ) 1 ，则( 1 2 ) 式左边等于0 ，从而( 1 2 ) 式成立 若( 。n ，且；) ( 口) + ( 9 ，a ) ( 6 ) 1 ，则v i i ，a i ( a ) + a i ( b ) 1 ，从而由a i 是三上的f u z z y ( p ) 滤子得a ；a ) aa i ( b ) = a i ( a ) o oa ( 6 ) a ( oob ) ，因此 会( a ( o ) aa ( 6 ) ) 曼。盆a ( 口。6 ) ，即。各a i ( o ) 。台a i ( 6 ) 台a i ( 。 6 ) ，从而 ( i 粤r a ) ( 0 ) ( ；已a ) ( 6 ) s ( 0 a ) 。6 ) ，即( i o e _ f a t ) ) o ( 凸a t ) ( 6 ) ( i o e l a ) 圆6 ) 综上知n a ；f i i ，j 0 ) 是厶上的f u z z y ( p ) 滤子 下面的推论在后文中经常用到； 推论1 3 5 设( l ，o ，一) 是剩余格，a ，b 是三上的两个f u z z y ( p ) 滤子，则 a n b 也是三上的f u z z y ( p ) 滤子 注1 3 6 如果4 ，b 是l 上的两个f u z z y ( p ) 滤子，则a u b 未必是l 上的 f u z z y ( p ) 滤子 例1 3 7 设l = f o ，a ，b ，c ，d ，1 ) ，定义l 上的偏序如下图 6 在工上定义二元运算“o ”和。一”如下表 0abcd1 0l1111l 口c1bcb1 bda1bai c口n11口1 db11b1l 1 0nbcd1 0nb cd1 0 o 0 0 000 a0ad0 do b0 dcc0b co 0cc0c d 0 d 0 0 0d 10obcd1 易证l 是剩余格 在l 上定义两个f u z z y 集a 、b 分别如下 锥) = 0 8 z e 1 ，b ，c ) ： 。 o ，a ，田 趵) = 饕震裘，d ) 则a 、b 都是l 上的p u z z y ( p ) 滤子但是a u b 不是l 上的f u z z y ( p ) 滤子因 为( a u b ) ( 口0 6 ) = 4 0 6 ) v b ( a o b ) = 以( d ) v b ( d ) = o 5 ，( a u b ) 0 ) o o ( a u b ) ( b ) = o 9 0 0 0 8 = 0 8 ，即( a u 口) ( o b ) 兰( a u b ) ( a ) o 。( a u b ) ( 6 ) 由命题1 ：2 4 知a u b 不是l 上的f u z z y ( p ) 滤子 定义1 3 8 设( l ，o ，一) 是剩余格，a 芦( l ) ，p u z z y ( p ) 滤子b 称为由a 生成的，是指当a b 且对l 的任一个f u z z y ( p ) 滤子g ，由a s c 得出b c 由a 生成的p u z z y ( p ) 滤子记为 命题1 3 9 设( l ， ，一) 是剩余格，a ，( l ) ，则v x l ， ( 3 7 ) = v a ( a 1 ) a a ( a 。) i 。2a l o a 2 0 o ；。1 ，a 2 ，- 。l ，n n ) 证明 令s ( x ) = v a ( a 1 ) a ( n 。) 1z 0 , 1 固a 2 0 d n i ( l 1 ，。2 ，。n 厶n n 下面证明b 是工上的一个p u z z y ( p ) 滤子 首先，比，y l ，若。y ，则 b ( z ) = v a ( 0 1 ) a 一a a ( a 。) fz a l a 2 0 r o a n ；0 1 ，a 2 ，一a n l ，n n ) v ( a ( a 1 ) - - a ( ) iy o l o a 2 0 oa n ；o l ，a 2 ，l ，n n ) = b ( 掣) 即，曰是单调不减的 其次，v z ，y l ，b ) o o b ( y ) = v a ( a 1 ) a ( 。) 1 。a lo a 2o pn 。；a 1 ，a 2 ，a 。l ，礼n ) o o v ( a ( b 1 ) a a ( 6 m ) iy 兰b lo6 2o o k ；b l ，6 2 ，el ，m n 】2 当b ( 嚣) + b 0 ) 1 时，b ( 茹) 圆o b ( 翦) = 0 b o 掣) 当曰( 。) + 丑( 功 l 对，曰0 ) o 。b ( y ) = 廖( ) a b ( y ) 一v a ( a i ) a * + a a ( b 。) l 茗口1 0 姚o - o a n ；8 l ，啦，- t l ，霸n a v a p i ) a a ( ) | y 乏蚤1 b o o b m ；b l ，k l ，m n ) = v a ( a 1 ) a a a ( a 。) a a ( b 1 ) a a ( b m ) i 菩。蓼三8 t 婶0 2 0 0 o 魄o6 2 s 固k ；啦，8 2 ，6 l ，6 2 ，一- k l ，珏，m n ) = b ( x 岱y ) 嚣我，比，y l ，b 固8 0 嚣( 功! 口( 。8 劝由会趣1 2 4 籍嚣 摄l 上的一个弛z y ( p ) 滤子 另外。魄l ，虫$ z 喾茹可得b ( z ) 乏a 白) a a 扛) = a ( # ) ，丑p a b 谩g 怒主静任一个& z z y ( p ) 滤子量囊s c ，稍魄l ， b ( x ) = v a ( 口1 ) a a a ( a 。) i 茹a 1 0 蛳固oa n ；m ，2 ，- 苣l ，n n ) v g ( n 1 ) a a g ( 。) iz n l oa 2 0 圆；吼，a 2 ，t - l ，n n sv 0 扛) = g o ) 。 所以b c 由定义1 3 8 知b 一a 倒1 3 1 0 接倒1 2 2 ，在五上定义一个f u z z y 集君如下；b ( a ) 一0 9 ，b ( 口) 一 b ( o ) ：0 8 ，b ( b ) = 0 7 ，猁由曰生成翁弛z y ( p ) 滤子 为：b ( 1 ) 一 0 9 ， ( 0 ) = ) = ( b ) = 0 8 命题1 3 1 1 设( l ，敏一) 是测余格，a ，( 助，b 摄l 盼一个f u a z y ( p ) 滤 予且满足v a l ，b ( a ) ( ；，1 1 ，剜警a 兰b 时 s b 证明l ，设z a l 固a 2 0 。；a 1 ，a 2 ，a 。l ，扎n ，则由b 是f u z z y ( p ) 滤子知 嚣( z ) b ( a l9 。2 0 o ) b ( a t ) a 口( n 2 ) a a 口( ) a ( a 1 ) 4 ( a 2 ) a a a ( 口。) ， 藐蔼 ( 芷) = v a 轴1 ) a 盖( 现； a a ( l 嚣8 l 谯2 0 o 拄# ；钡，8 2 ， l ，”n 篓b ( 茁) 即， b 。 定理1 3 1 2 设( l ， ，一) 是剩余格，j = p ( l ) 是剩余格l 上的全体p u z z y ( p ) 滤子之集，荽莲( ，p ( 五) ，v ，a ) 穆蔽完备懿分藏裕其孛a a b = a n b ，a v 暑= 。 证明由命题1 3 4 知，( ，p ( 三) ，曼) 对下确界运算封闭咖l 令 a 江) = 1 ，粼爨迂a 怒三主翡p a z z y ( p ) 滤子，显然囊楚( 昂( 国，) 中鳃簸大 j 己所以，( ，p ( l ) ，) 构成完备格 下面诞明( ，p ( l ) ) 是分配格由定义1 1 - 4 知，需证v a ，b ，c ，p ( l ) ， 蠢a a b v c ) = ( a a b ) v a a g ) + 曩迁 b ；v ( a a c j 墨a ( b v 回。疆 1 3 诚a ( b v c ) ( a 嚣) v ( a a g ) v z 芝8 1 0 8 2 0 o ；啦，啦，三，有 嚣v ( 8 l a 2 0 t 0 8 。) 三扛v 毡i ) 9 扛v 如) o o 妇v ) ，令z v 0 4 = 魂，i 警 1 ，2 ，n 从而 ( a a ( b v g ) ) ( 嚣) 竺a ( 。) a ( b v g ) ( 砖 蠢( 。) ( v ，蠢( 君u o ) ( 哦) | 。8 l o 9 8