（基础数学专业论文）紧致黎曼流形第一特征值下界的估计.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文利用特征函数梯度估计的方法对紧致r i e m a n n 流形上的第一特征值的 下界进行了估计。本文共分为五个部分： 第一章介绍了第一特征值下界估计这一问题产生的背景和研究意义，同时介 绍了相关问题的研究进展情况。 第二章主要介绍有关第一特征值的一些基本概念和基本公式。 第三章叙述了问题的分类和待证的结果。 第四章给出了不带边情形下的一些第一特征值下界估计的证明。 第五章给出了带边情形下三种不同类型的一些第一特征值下界估计的证明。 关键词：黎曼流形；梯度估计；r i c c i f f 率；第一特征值 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eu s et h em e t h o do ft h ee s t i m a t e dc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o nt o e s t i m a t eal o w e rb o u n do ft h ef i r s te i g e n v a l u eo nc o m p a c tr i e m a n nm a n i f o l d t h i s p a p e ri sm a d eu po ff i v ep a r t s ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n di n v e s t i g a t i o nm e a n i n go fe s t i m a t eo ft h ef i r s te i g e n v a l u e s f u r t h e r m o r e ，w es h o wt h er e l e v a n tr e s e a r c hp r o g r e s s i nc h a p t e rt w o ，w eg i v et h eb a s i cc o n c e p t sa n db a s i cf o r m u l a sa b o u tt h ef i r s t e i g e n v a l u e s i nc h a p t e rt h r e e ，w e l ld e s c r i b et h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ep r o b l e ma n dt h er e s u l t s t ob ec e r t i f i e d i nc h a p t e rf o u r ，w eg i v et h ep r o o fo fs o m er e s u l t sa b o u tt h el o w e rb o u n df o rt h e f i r s te i g e n v a l u e sw i t hn o n b o u n d a r yc o n d i t i o n i nc h a p t e rf i v e ：w eg i v et h ep r o o fo fs o m er e s u l t sa b o u tt h el o w e rb o u n df o rt h e f i r s te i g e n v a l u e sw i t ht h r e ed i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s k e yw o r d s ：p d e m a ，n n i a nm a n i f o l d ；g r a d i e n te s t i m a t e d ；r i c c ic u r v a t u r e ；t h e f i r s te i g e n v a l u e i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：嘞标劲 陬1 年苦月孑日 学位论文版权使用授权书 = 耷= 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论义的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被畲阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华 中师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：唠标辛 日期：如0 7 年月；日 导师签名：l 狮秀 嘞撕7 年6 月；日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。同意论文提交后滞后：口半年；口一年；口二年发布。 导师签名： 叩6 月弓日 一绛弓标阳 嘞年 ：井( 名珈 签 ： 者期怍日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章绪论 1 1研究背景及研究意义 众所周知，谱理论在数学各分支和物理学中都占有极重要的地位在紧 致r i e m a n n 流形下谱是离散的，在非紧致r i e m a n n 流形下谱不一定离散本文 研究的是紧致r i e m a n n 流形的离散谱中的第一个非零值，即第一特征值因为第 一特征值正是谱的主阶，从而是一个传统的研究对象已有百年以上的积累和无数 文献从经典的投入产出法，到目前相当时尚的随机算法的有效性和相变现象的研 究，都要用到第一特征值估计这些背景正是我们研究的原始动机事实上，由于广 泛的需求，特征值计算早已成为计算数学专门的一支，有一批成熟的算法与此不 同的是：我们这里所关心的是解析估计而非近似计算 l a p l a c e 算子对应谱问题在物理一卜的应用尤为明显，此方面的内容可参看丘 成桐先生1 9 8 0 年儿月4 日在中j e 大学的演讲1 3 对紧致带边黎曼流形第一特征值的估计也是一个历史悠久的问题，其中代表 工作有f a b r k r a h n ，p o l y a s z e 9 5 ，p a g n e ：w e i n b c r g e r 等对于一般无边界紧 致r i e m a n n 流形，在一定的曲率假设条件下给出第一特征值的估计，这方面第一 个重要工作属于l i c h n e r o w i c z 于1 9 5 8 年首先建立了下述定理：如m 是紧致无边 的n 维r i e m a n n 流形，其r i c c ( m ) ( n 1 ) k 0 ，则第一特征值满足a l n k 1 9 6 2 年o b a t a 证明了，如果上式等号成立，则m 等距于常曲率七的球面伊 1 2本课题国内外研究现状 对于一般无边界紧致r i e m a n n 流形在一定的曲率假设条件下给出第一特征 值的估计，这方面已近取得了许多漂亮的结果： 1 9 7 0 年，c h e e g c r 给出了a 】的下界估计，其中涉及到他所定义的某些等周常 数，在此基础上，y a u 给出了更便于计算的几何度量，例如直径，体积，r i c c i 曲 率下界来估计a l 下界的方法。从1 9 7 9 年开始眈与y a u 发展了对第一特征函数 进行梯度估计来求a 。下界有效方法，其中一个著名的结果为：若m 为紧致无边 的r i e m a n n 流形，r i c c i ( m ) 0 ，d 为j 7 i 矿的直径，则a l ：嘉之后，钟家庆一杨 洪苍通过引入三角函数得到了更佳的估计其中一个著名的结果是将眈与y a u 的结果改进为a l 鍪，得到了在紧致无边、r i c c i 曲率非负的条件下的最佳估计 一 1 9 9 7 年陈木法一王风雨通过耦合的方法12 】，给出了紧致r i e m a n n 流形上 第一特征值下界估计的一般公式该公式不仅改进了许多已知的最优估计，包 1 括l i c h n e r o w i c z 估计和钟一杨估计，并被拓广到非紧流形上这项进展对谱理论带 来了巨大的影响，已获得普遍的称赞 2 0 0 4 年王培合一沈纯理通过对流形上测地球s o b o l e v 常数进行讨论，并利用它 采用m o s e r 迭代的方法得到了一个新的结果【1 6 】1 6 p e t e r l i 关于a 1 下界著名猜想：a 1 薯+ r ( r o ) ，不少学者利用梯度估计 和钟一杨的方法得到了一些近似的结果，但依然没有人证明这一猜想如在1 9 9 9 年 李红裔和赵迪得到入12o 9 8 ( 鍪+ o 5 r ) t 8 l ，在2 0 0 0 年，蔡开仁得到入l 霄d 。2 1 廿s r 4 1 等 对于紧致带边r i e m a n n 流形，在一定的曲率假设条件下给出第。特征值的估 计，这方面已经取得的一些成果如下： 对于n e u m a n n 边值条件情形，在利用极大值原理研究的过程中，我们发现极 大值点4 i 可能出现在边界，卜，因而在此条件下所取得的结果和无边情形下的结果 是一样的 对于d i r i c h l c t 边值条件情形，1 9 8 0 年i 和y a u 通过梯度估计的方法在 文【1 0 j 中得到如下结果：设j ) 1 ，为紧致带边的m 维r i c m a n n 流形，p 为其内接半 径，a l 为其d i r i c h l e t 边界条件的第一特征值 结果1 ：当m 的r i c c i 曲率非负，边界a 且矿的平均曲率非负，则 艟杀 结果2 ：当m 的r i c c i 曲率一r ，边界a m 的平均曲率一凰，其中r ，凰 为正常数则 入【虿石- 巧t - i r 】e x p ( 一a ) 其中a = m a x 【1 十 1 + 4 ( 仡一1 ) r p 2 】，2 ( 佗一1 ) h o p 接下来不少学者都努力着对这一结果进行改进，如1 9 9 1 年杨洪苍1 2 1j ，1 9 9 6 年何延京f 6 】，1 9 9 7 年m o r r i sk a l k a 等人【1 1 】等对上述的结果进行了一些改 进 对于r o b i n ( 混合) 边值条件情形，目前还没有得到很好的结果有一问题是： 能否在混合边值条件下找到一结果将d 一边值条件和r 一边值条件下所获的结果 同一起来? 2 ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 3本文安排 本文共分为五个部分： 第一章介绍了第一特征值下界估计这一问题产生的背景和研究意义，同时介 绍了相关问题的研究进展情况。 第二章主要介绍有关第一特征值的一些基本概念和基本公式。 第三章叙述了问题的分类和待证的结果。 第四章给出了不带边情形的一些第一特征值下界估计的证明。 第五章给出了带边情形下三种不同类型的一些第一特征值下界估计的证明。 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章准备知识 2 1 基本概念 设m 为n 维光滑紧致的r i e m a n n 流形，其上幺正标架场为 e i ) ，协标架场 为 0 i ) ，黎曼联络为 哆 ，m 的黎曼度量为d s 2 = 酽 定义2 1 协变微分：设，：m r 为可微函数，它在黎曼联络下的协变微 分五，如，厶七的定义如下： ld f = 耐= t t 伊 d 五= 矾一，乃醇三，厶 【d 南= 甄一惫勉够一惫a , o ；三岛老沪 定义2 。2 l a p l a c e 算子：设 ，设n 维光滑紧致的r i e m a n n 流形，具有 边界o m ( 可能a m = 仍) ，其度量在局部坐标( x 1 ：z n ) 下的表达式为d s 2 ： 如。d x ，其l a p l a c e 算子 ，= 丽1l 孬0 ( 户怕丽a f ) = 娄厶 其中( 9 玎) = ( 夕巧) 一1 定义2 3 l a p l a c e 算子的第一特征值和第一特征函数：满足 a u i = - - 入i u i ， g i 0 ；0 = a o 0 ，则第一 特征值满足a l n k 证明：设链是对应的第一特征函数，则 丢iv “闩v 2 7 , 1 2 + 眈( v 仳，v u ) + v u v ( a 让) 而札= 一a 1 乱，r i c ( v u ，v ) ( n 1 ) 知lv u1 2 l v 2 ”= 吗让磊熹( ) 2 = 去( 一入。u ) 2 = 等也2 。互1 lv 胛i 等+ ( 死一1 ) k v 胛i lv 训2 两边同时积分有 厶圭 v 姐j ：。 - - jv u1 2 = = v ( v u ，i t ) 一( a u ，牡) = v ( v u ，u ) + a l u 2 h2=0。-1vudmd l卜z 2 ， o 等+ ( n 一1 ) 七入l 一砖，入l 礼七 1 9 6 2 年o b a t a 证明，如果上式等号成立，则m 等距于常曲率庇的球面s n s t y a u 和p 眈引入了特征函数梯度估计的方法，用流形的直径，曲率等 几何度量来估计紧致r i e m a n n 流形的第一特征值，按照p l i ，把问题归结为以下 两类： 第一类：不带边情形，i pa ，= 仍，a 为m 上的l a p l a c e 算子考虑特征值问 题： 。 讹：一九地，0 ，札l ? ( m ) ，0 = a o 入1 a 2 6 第二类：带边情形 a n e u m a n n 边值条件的特征值问题： f 啦= 一i n , i u i ，t k 0 ，u i 研( m ) i 若f a m = 0 ，0 = a n ，o a n ，1 a n ，2 其中，y 为o m 的单位外法向向量。 b d i r i c h l e t 边值条件的特征值问题： f 饥= 一入d j 姒，乱i 0 ，讹田( m ) l 啦i a m = 0 ，0 a d ，l 入d ，2s c r o b i 扎( 混合) 边值条件的特征值问题： f “严一h i u i ，让t 0 ，u i 日 ( m ) i 为札i + o i o m - - 一0 ，0 a 置1 a r ，2 。 其中，y 为a m 的单位外法向向量。 关于第一特征值估计，本文的主要结果是： 不带边情形的结果： 定理3 1 设m 为一乱维紧致r i e m a n n 流形，其r i c c i 有下界r ，即r i c ( m ) r 记d 为m 的直径，则对任意实数r ，都有第一特征值 艟篆+ 三r 定理3 2 设m 为一佗维紧致r i e m a n n 流形，其r i c c i 有下界r ，即t 宅i c ( m ) 见记d 为m 的直径，则对任意常数0 s 1 ，都有第一特征值 一2 a l 4 ( s s 2 ) 彖+ s 冗 带边情形的结果： an e u m a n n 边值条件 定理3 3 设m 为一n 维带有凸边界的紧致r i e m a n n 流形，其r i c c i 有下 界r ，即n i c ( m ) r ，记d 为m 的直径，则对任意实数r ，都有第一( n e u m a n n ) 特征值 枷万7 ( 2 + 三2 r 7， 定理3 4 设m 为一珏维带有凸边界的紧致r i e m a n n 流形，其威颤有下 界r ，即r i c ( m ) r ，记d 为j i 彳的直径，则对任意常数0 o 时，a 1 万, i t 2 + 譬 命题4 2 当r 0 ：乱是对应于a l 的第一特征函数规范化： u ；n f ：一尼一。，。 1 得v l v l j = 0 ，而v l 0 ， 在z o 处，由a f ( z o ) 0 得： ”u = o ( j 2 ) 0 a f ( z 。) = v j f ( 。) = v v1 4 ( 2 ) + iv v 2 j 吗+ 2 v i v i d 1 一t j 2 2 ( - 2 v ) z s v f 1 一v 2 ) 2 将( 1 ) 代入( 3 ) 中，在x o 点： 0 2 吗+ 2 忱呦一 i j 由r i c c i 恒等式： + v , v1 4 ( 1 4 v j v j i v i ( 1 一u 2 ) 2 ( 一2 u ) 2 v u1 4 ( 一2 ) + v v1 2 ( 一2 u ) a v ( 1 一移2 ) v i v i j j = 咙巧= ( 吩豇+ 嗡雠) = v i ( a v ) , + r i c ( v v ，v v ) 2 一a 1iv v1 2 + r v u1 2 = 一( a 1 一r ) iv u1 2 将( 5 ) ，( 6 ) 代入( 4 ) 中： fv v1 2 l u 2 2lv v1 4v 2 ( 1 一u 2 ) 2 v v 。2v 2 1 一u 2 嵋 碡耐。= 器 2 ( a 1 一r ) iv v1 2 一2jv v1 4 2 r a ylv v1 2 l u 2 一( 入l r ) ( 1 2 ，2 ) 一iv t ，1 2 + a 1 u ( u + a e ) ( 一2 u ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( ) h - r ) ( 1 一 2 ) + 入l v ( v + a 。) = 入l r + r v 2 + a 1 口。口a l + a 1 u a l o + a 。) 1 0 口 令秽= s i n9 ，则一耳1 ；s i n0 = v s 蕊1 ，则罂警= v o1 2 定义函数 f ( p ) = ：m m ，口a ( x z ) ：口t 肘口i zj = fv 卵一x e m 黼：。筹1 妯”叫，口( z ) = 口一 、 显然f ( o ) 是【一+ 正三一刎_ r 的连续函数：其中6 满足s i n ( j 一6 ) = 去 引理4 5 设z ( 口) 是定义在f - 詈， 满足： 詈】上的c 2 函数，存在某一个o o ( 一号，詈) 则在0 = o o 处有z ( o ) a l + , x l a 。s i n0 一r c o s 20 一z t c o s0s i n0 + ；z c 0 8 20 证明：令掣( z ) = ( 1v 0 ( z ) 1 2 一z ( 口( z ) ) ) c o s 2 ( 口( z ) ) s ( f ( o ) 一z ( 口) ) c 0 8 20 0 由题设知存在z o m ，使得口( z o ) 一如，iv 0 ( z o ) 2 = f ( o o ) ，y ( z o ) = 0 c 2 函数v ( x ) 在z o 处达到极大值o ，由极大值原理，在z = t o 处有： 由y = 0 有： 由v y = 0 有： 由a y 0 有： y = 0 ，v y = 0 ，0 2 饥一( z 7 c o s 0 2 z s i n 0 ) c o s 0 0 j = 0 ， t 2 ( 忱j + 磅) 一( z c o s 0 2 z s i n 0 ) c o s 0 a 0 i j 一矽c o s 20 - - 4 z c o s o s i n 0 - 2 z ( c o s 20 一s i n 2o ) 1 鳄0 由于a v = - a l ( v + a e ) ，t ，= s i n0 ，有蚴= c o s0 吩，v v = c o s 0 v o o j = c o s 一1p ，岛i = v i ic o s - 10 + c o s 0 s i n0 良 1 1 ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 攻z 0 0 ，即t1 宁= z ( f j o ) c o s 2o o 0 由r i c c i 恒等式： 吗三z t c o s 口- - 2 z s i n o ) 2 t ，j v i v 泐= 饥巧= 地( i + 磁u 七) = 耽( u ) t + r i c ( v u ，v v ) 一a 1 v uj 2 + r iv 1 2 = 一( a l 只) lv u1 2 = 一( a l r ) z c o s 20 将( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) 代入( 8 ) 中并整理得： 0 一( a l 一z ) z c o s 2 桫+ 三z t c o s 0 2 z s i n f ： ) 2 丢z tc o s0 2 z s i no ) ( z s i n0 一a l s i n0 一a l & ) 去z z t tc o s 20 4 z c o s o s i n0 2 z ( c o s 20 一s i n 2 口) 】 z k a l a l a es i n 0 + r c o s 2 口+ z t s i n0 c o s0 + a 2 1 z z ( ( s i n 口+ a 。) c o s 0 + 瓦z r 2c o s 2 口一三c o s 2 刎 f ( o o ) = z ( 如) 0 ，在处有： ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) z 久l + a l a ：s i n 移一r c o s 2 毋一丢九i n 胁s 毋一型2 z ( s i n 移+ 叫c 刚+ 三z ，c o s 2 毋 嘉南( s i np 刊禹( s i n 0 + s i n o - a 。) = t s i n 0 7 1 2 0 八i n 0 卜 n “ 口 入 n 0 ，则u ( o ) = f ( o ) 一z ( o ) b ，f ( o ) 4 0 ) + b 在如处，f ( o o ) = z ( o o ) + b ? 又 絮yi 獬咄，( 彩 吡( 晰6 ) ，o ( 目) 0 ，夕即) 0 l 令 ( 毋) = z ( 毋) + b ，由弓l 理4 5 _ ；f 日( 1 5 ) ( 1 8 ) ： ( 口) = a i + 6 + a l a e s i n p r c o s 2 一s i n 口c 。s f ： - ( 桫) + 丢( 口) c o s 2 口 a 1 + a 1 n 。s i n d 一冗c 。s 2 一s i n 口c 。s 桫 7 ( c j ) + 互1 7 ( 口) c 。s 20 b 0 ，矛盾f ( o ) z ( 口) 命题4 1 的证明： 由于妒( 口) 是奇函数，厍6 ( 口) 硼= 0 ， 由于g ( o ) 是偶函数，压g ( o ) d o = 2 岔g ( o ) d o 而 厂9 ( 口) 础= 三【萼t a n 0 - 0 2t a n0 - 纠+ c = 掣1 , ( 百7 1 2 一口2 ) t a n 0 - 0 】+ g 小啪= 三( 筹卅) t a n pi 芋一如= 互1 恻i 7 1 2 卅) t a n 口一争三 1 4 口 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 上耄9 c 口，瑚= 2z 暑夕c p ，d 拶= 对于， 0 ， l d z1 2 由引理4 6 ：f ( o ) z ( 移) ，即 在 彳上取x 1 ，z 2 ： 和z 2 ，有 隽) ( 怕d z ，如) ( 厂吾。 j - 等+ 6 l d x ) ； 啦矗f d x ) lv o1 2 天1 + a l a 。痧( 兮) 一r g ( 口) ， 雨i 两( a -一lv 秽f v 1 使o ( x 1 ) = ；一坑 d 一l ( ，y ) = d s ( 7 r 一 ( 丌一 1 如) + a 1 n 。妒( c j ) 一r 9 ( ( j ) ) 一i 1 o ( x 2 ) = 一吾+ 坑用极小测地线 ( a l + a 1 0 。( 9 ) 一z 匆( 口) ) 一；d o 令6 _ 0 有，d 7 r ；( a 1 7 r 一譬7 r ) 一 入l 客+ 晏 4 1 2 命题4 2 的证明 ，y 连接z l ( 2 0 ) 设m 是他维紧致不带边的r i e m a n n 流形r i c ( m ) r ，r vi n f u ：一七一1 ，。 0 ，b 1 为一任意固定常数 证明：令p ( z ) = iv v1 2 + a v 2 ，其中4 = 入l r + ( 0 非常小) 若p ( x ) 在x o m 处达到极大值则有猜想：v v ( z o ) = 0 事实上， 如果v v ( z o ) 0 那么在x o 处选择合适的局部标架：lv v l ( x o ) l = iv v ( z o ) i 0 ，仇= 0 ，i 2 p ( x ) 在z o m 处达到极大值，v p ( x o ) = 0 ，a p ( x o ) 0 在z o ，处： 尸( z ) = lv ? ，1 2 + a u 2 = 亏+ a u 2 vp(xo，)=：0。令。i0=，；vlp=1i+au哦)净vll=-av01 01 ) i2 ：2 ，= o ( i ) l ) 又 。知训= 三喜 v i v t 尸= ( v j i v j t + v j v j i f + a v i v i + a v v ) i , j = i u ；l + v v v ( a v ) + rl v u1 2 + a lv 1 2 + a v a v ( - a v ) 2 一a 1iv 1 2 + 冗iv 1 2 + alv t ，1 2 一a l a 2 ( a 一入1 + r ) iv 1 2 + a ( a a 1 ) u 2 ( a a l + r ) iv u1 2 + a ( a a 1 ) 2 0 ，而a = 入1 一r + 代入得： iv v1 2 + ( 一r + ) ( 入l r + e ) v 2 0 ， 而r 0 v v ( z o ) = 0 ，与假设矛盾 故猜想v v ( x o ) = 0 成立 p ( x o ) = lv v ( z o ) 1 2 + a v ( x o ) = a v ( x o ) a ，v - k 口1 ，0 克1 ) 1 6 叭4+a+ 七! 兰i r u t 、 叩 心 + 砒 ” + 饥 2 + v 磊 扣 a 壹蚪卅 | i v 0 m v a 纪 + 冗 孝 + a + 协 v 1 j 叩 跏斗l p 何 乏” 嗉 。渊住归 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 而z o 为p ( x ) 的极大值点， iv f 2 + a v 2 = p ( x ) p ( x o ) a ，iv v1 2 a ( 1 一u 2 ) 即 v 1 2 1 ) 1a 1 令e _ 0 ，则有 嬲妯( 1 删 为了得到更精确的估计，我们采用钟一杨的方法 令华= s i n t ( 辛， 】 - 1 ，1 】在 - s i n - 1 ( ) ，s i n - 1 ( ) 上定义函数： z ( t )= = m a x x e m ，s i n t = 掣 引理4 7 的结果变成了 2 f 护一d 2 ) a lx e m ，婴i n ，掣芒熹) a 1 ，= s 。1 学一1 产 z ( t ) 1 + p ，t 【一s i n i 。否k ) ，s i n 一1 ( 丢) 】 令a = ；r 0 将( 3 0 ) 式两端同时除以2 入 z 得 o 一c o s 2 十去( 开c o s 2 t + c o s t ( s i n t + 了s i n t ) o 一n z t t c o s 2t + z c o s 于s i nt + z 一1 + 2 6c o s 2t + 丢z ， 么z 一2 l - z c o s 2 t + z c o s ts i n + z - l + 2 6c 。s 2 + z 一1 + 2 5c o s 2t c 。s f s i n t ( 三一1 ) + 去( 2 c 。幽 口 引理4 9 令f ( t ) ：c o s _ 2 t + 2 t 瓦s i n 趸t c o s t - t - t 2 j 2 ，z 一三，孙则函数满足下列各性质： 三2 c o s 2t 一7 c o sts i n t 一= 2 c o s 2t 1 t ( 一詈，詈) 7 c o s t 一2 s i n t = 4 t c o s t 詹( ) d = 一三；l 一簪= ( o ) f ( ) f ( 三) = 0 ，t f 一三，三】 7 在【一三，兰】上单调增且7 ( 土三) = 土掣2 ，o 当t ( 一号，0 ) 时，( ) o ；1 1 l 工i z ) = 2 ，f 7 7 ( o ) = 2 ( 3 一譬) ，f ( ) 0 证明：( ) 为偶函数，f ( 士詈) = 令 g ( t ) = ( ) = 0 ，( o ) = 1 一百a - 2 2 ( 2 t c o s t + t 2s i nt + c o s 2 t s i n t 一* 2s i n t ) 引理4 9 中的可由上式直接算出 c o s 3 t f ，( 三) = 趣= 士和( 。) = 。 由号= 垄型坠笔篙蚓专毒7 ( o ) = 2 ( 3 一譬) ，7 7 ( 土三) = 2 由c o s 2t 荆) 4 t c o s 2 t c 。s 2 。荆= 疋4 s c o s 2s d s 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 鹰( ) 出= 2 膏( t ) 如= 一8 岔( 矗舻s e o s 2s d s ) d t ：一霄o o ( ) 为偶函数) 岔f ( ) 班= 一争 将式两端同时求导得： c 。sz 一2 q j ；n t - 2 q c o s t = - 4 s i n t 再次求导整理得： 羔(97)一1蓟+n。cco。ss2。t(。q7)72(口，)=一i上+cos2t互五- = f 丽【gj 一 。j 一2 【叮) 2 一 上式表明g ，= 在( 一詈，考) 内没有非负的极小值点，而( 士詈) = g ，( 士三) = 2 在 一三，至】上c ( t ) 0 f 协) 在 一詈，考】内单调增 7 ( o ) = 0 ，( ) 在【一；，三 内单调增， 当t ( 一三，0 ) 时，f ) 7 ( o ) = o ； 1 一百7 1 2 = f ( 土三) = o ，一百7 】 口 命题4 2 的i i e n ：令z ( ) = 1 + 西( t ) ，其中j = 暑= 舞 0 ，( ) 如引理4 9 中的定 义猜想 ， 刃( z ) z ( ) ，f - s i 忍一1 ( 軎) ，s i 咒一1 ( 吉) j 由引理4 9 中的兮 z t t c o s 2t z 7c o st s i n t z = 一1 2 5c o s 2t 而 t 【一号，o l ，f 讹) o ，s i n t 0 6 一 、-j(1【 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 。z ( o ) + p = z ( t o ) 三( z + p ) ( 。) c o s 2 t o - ( z + p ) 7 ( 幻) c o s s i n t o + 1 2 6 c 。s 2 。 = 三z 叩。) e 。8 2t o - z ( t 。) c o s t o s i n + l 一2 5 c o s 2 t 。 = z ( o ) p 0 与假设p 0 矛盾 p 0 ，z ( t ) z ( t ) + p z ( ) 故猜想成立 。z ( = 芒z ( ) ， 而 又s i n t = ；兮lv v1 2 = ( b 2 一 2 ) iv t1 2 艟等令佤器 ( 3 1 ) 一 令 d + = zju ( z ) o ) ，d 一= zlu ( z ) o ，i ) - 1 ( o ) = zju ( z ) = 0 ) q l m 使v ( q 1 ) = 1 = s u p 吖u ，驰v - i ( o ) 使d ( q l ，q 2 ) = d i s t d ( q l ，v - 1 ( o ) ) ；l 是连 接q l 与q 2 的一极小测地线 定义： r + 5 。m 。a x + d i s ( z ，口一1 ( o ) ) ，d + 22 ，+ ；r 一= 。m 。a x d i s ( z ，”一1 ( o ) ) ，d 一= 2 r 一 那么m 的直径d = m a x d 十，d 一) 将( 3 1 ) 两端沿积分，且令b 叶l ( 即s i n t _ 钉( 石) ) 得 佤譬z 佤扰 今 怦一啦 旦删 力 0 i l “ = 一p f 0 “ 豹 八|l 1、 ， 0 时，有d 以7 r 令 丁= ，浅嚣r ，黧嚣耋 引理4 1 1 设天，( r ) ( 0 ) 为以下s t u r m l i o u v i l l e 方程第一( 非平凡) 混合 特征值和对应的特征函数： ，( r ) + 丁( r ) ，( r ) = 一- x f ( r ) ，r o ，罢】 在左端点r = 0 处取d i r i c h l e t 条件，右端点r = 2 处取n e u m a n n 条件，即，( o ) = 0 ，q ) = 0 ，则有入1 x ( 证明见文 1 】中定理l 的注4 ) 引理4 1 2 设a ，( z ) ( o t 1 ) 满足如下微分方程： ，( r ) + f ( r ) f 7r ) = - - a f ( r ) ，r 【0 ，? 】 硕士学位论文 m a s t e r st t t e s i s 这里f ( r ) 是一个在闭区间【o ，l 】上可微函数且f ( o ) = o ；f ( r ) 满足1 ( o ) = o ，( f ) = 0 及，( ) o ( t o ) 记昂= m a x f 似) ：0 t f ) 则关于a 有如下 转电 ， a 一s 2 ( 等) 2 + s ( ( 等) 2 一f o ) ( 3 3 ) 厶 对任意常数0 o ) o 2 ( ，7 ) 口打( 3 7 ) 由于函数尸( r ) 满足条件，( o ) = 0 ，印) = 0 据w i r t i n g e r 不等式知 z 2 ( ，号) 忍( f ，( 三) 2 2 ( 厂7 ) 。d ， 由( 3 7 ) 式可得 掣( 三) 2 州1 一三o ) rn z z 最后令s = 1 一吾即得 a 一s ；( 芋) 2 + s ( ( 芋) 2 一t o ) ，( o s 0 时，p e t e r l i 猜想入