（计算数学专业论文）非线性schrodinger方程的高精度守恒数值格式.pdf

非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的高精度守恒数值格式 摘要 首先，在第一毒中，分析了非线性s e h r 6 d i n g e r 方程数值解法的研究现状，回 颐了前人的研究成果，给出了一些本文所用的主要引理 其次，对三次非线性s d l r & l i u g e x 方程构造了两种高精度差分格式第二章构 造了一个非线性隐差分恪式，在每一个时闻层上需要迭代求解非线性方程组，该 格式可以保证离散电荷和离散能守恒对差分解进行了估计，并用能量方法证明 了差分格式的收敛性和稳定性，其收敛阶为0 ( r 2 + h t ) 通过数值算例与已有的 差分格式进行比较，结果表明，本章所提出的格式，相比以前的差分格式，计算 精度有了较大的提高第三章对非线眭s c h r s d i n g e r 方程提出了一个线性隐差分 格式，这样在每一个离散时问步长中只需要解线性代数方程组，从而第三章中的 差分格式的计算比第二章中的差分恪式的计算快速和简单。同样可以证明该恪式 保证离散电荷和离散能守恒，验证了差分搭式的收敛性和稳定性。而且不会出现 。数值爆炸”其收敛阶也为o ( r 2 + 4 ) 通过数值实验获得如下结论，该恪式 在提高计算精度的同时，极大地提高了计算速度 最后，在第四章中，考虑了带有耗散项的非线性s c h r 6 d i u g e r 方程，构造了两 种差分格式，其精度均为o ( r 2 + 舻) 证明两个差分格式所满足的守恒关系式， 进而对差分解进行了估计，由此证明了差分格式的收敛性和稳定性最后给出了 数值算例，表明了孤立波的振幅随着时间增加而衰减 关键词：差分格式，n l s 方程。高精度，守恒，稳定性，收敛性，耗散 t h eh i g ha c c u r t ea n dc o n s e r v a t i v en u m e r i c a ls c h e m e sf o r n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n a b s t r a c t f i r s t 1 v f i nc h a p t e ro n e w ed i s o l s st h r e em a i nm l m 喇r a l 加烈血o d sf o rt h en o n l i n e a i s c h r o d i n g e re q u a t i o n ，r e v i e wt h ep r e v i o u sr e s u l t sa n dp r e s e n tt h ep r i m a r yl e m m a s s e c o n d l y , w ep r e s e n tt w oh i g ha c c u r a t ea n dc o n s e r v a t i v ed i f f e r e n c es c h e m e sf o r c u b i cn o n l i n e a rs c h r o d i n g e rt y p ee q u a t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w ep r e s e n tag l o b a l l y n o n l i n e a ri m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e ，i e ，an o n l i n e a ri t e r a t i v ea l g o r i t k m ah a sg ob eu s e d t os o l v et h es y s t e mo ft h en o n l i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o na te a c hd i s c r e t et ：i i n es t e p t h e s c h e m ec a nc o l l s e r v et h ee n e r g ya n dc h a r g eo fs y s t e m s ，a n di t sc o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t y a r ep r o v e db yu s i n gt h ee n e r g ym e t h o d ，t h ep r e c i s i o no ft j ms c h e m ei sd ( 户十 4 ) b y m e s 2 so fn u m e r i c mc o m p u t i n g , w eg e tt h ec o n c l u s i o nt h a tt h es c h e m ei nt h i sc h a p t e r h a sh i g h e rp r e c i s i o nt h a nt h eo t h e rs c h e m e s i nc h a p t e rt h r e e w op r o p o s eac o n s e r v a t i v e s c h e m et h a ti s g l o b a l l yl i n e a r l yi m p l i c i t w h i c hm e a n s t h a ta te a c hd i s c r e t et i l l el e v e l w eo n l yn e e dg os o l v eas e to fl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s a sa 咖u e l l c eo i l rs c h e m e i sf a s t e ra n ds i m p l e rt h a nt h en o n l i n e a ri m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m e s t h ec o n s e r v a t i o n o ft h ee n e r g ya n dc h a r g ec a na l s ob ep r o v e d w es h o wr i g o r o u s l yt h a to u rs c h e m ei s s t a b l ea n dc o n v e r g e n ta n d 山a ti tw i l ln o ty i d d 。b l o w - u p 。，t h ep r e c i m o no ft h i 8 s c h e m ei sa l s od ( t 2 + h 4 ) t h en u m e r i c a lt e s t ss h o wt h a tt h en e ws c h e m ei sf a s t e ra n d m o r ea c c u r a t et h a nt h eo t h e rc o n s e r v a t i v es c h e 糟 a tl a s t ，w od i s c l h st h ed i a i p a t i v en o n l i n e 2 rs c h r s d l n g e rp ( i ：u a t i o ni nc h a p t e rf o u r ， p r o p o s e t w of i n i t ed i f f e r e n c ps c h w i t hp r e d * i o no ( 一+ 2 ) i ti sp r o v e dt h a tt h e t w o 解h e z n e ss a t i s f yt w oc n s e r v a t i o nl a w s t h e nw eg i v et h e 佟吨i n m t f ! o ft h ed i f f e r e n c e s o l u t i o n ，p r o v et h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h et w os c h e m e s a tl a s t ，s a t i s f a c t o r y n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sa r eo b t a i n e d i ts h o w 8t h a tt h e r ei 8as t r o n gd i s s i p a t i v e t e r mn m u h i n gi na m p l i t u d ed e c a yo fas o l i t o ni nt h er i m ep a r a m e t e k e yw o r d s ：d i f f e r e n c es c h e m e ，n l se q u a t i o n ，h i g hp r e c i s i o n ，c o n s e r v a t i o n ， c o n v e r g e n c e ，s t a b i l l t y , d i s s i p a t i v e 2 第一章绪论 众所周知，非线性s c h r d d i n g e r 方程( n l s ) 是现代科学中具有普遍意义的重 要方程之一，在非线性光学，量子力学，等离子物理，流体力学中有着广泛的应 用 i - - 5 文猷【6 一1 0 j 研究了下面的广义非线性s c h r s d m g c r 方程( g n l s ) ： l 笔十瓦0 ( a ( z ) 塞) + l + b 【训u l p - - l 叩2 _ 1 p l ， ( 1 1 ) 其中u ( z t ) 是复值函数，u ( x ，0 ) = 毋( 。) ，p 为实常数，a ( z ) ，b ( x ) 均为实函数，且 a ( x ) 0 当p = 0 时，方程( 1 1 ) 为一般的n l s 方程；当p 0 时，方程( 1 j 1 ) 为 带有耗散项的n l s 方程由于菲线性s c h r s d i n g e r 方程是非线性偏微分方程，可 以用逆散射方法得到其精确解 n - 1 2 1 但是直到目前，这些分析锯还只能对少量 的有孤立子解的情形得出，对于大量具有实际意义的物理问题，数值计算的方法 越来越广泛地得到应用 1 1 问题的研究现状 方程( 1 1 ) 中p = 0 ，同时令a ( ，) = 1 ，b ( z ) = 口，p = 3 即可得三次n l s 方程： 祟+ 祟+ q l “1 2 t ：0 ( 1 2 ) 4 面+ 否+ “i 。t = u ， t 1 纠 u ( x ，0 ) = 毋( z ) ，( 1 3 ) 近几十年来，许多作者对上述n l 5 方程( 1 2 ) 一( 1 3 ) 在理论和数值方法上进行 了广泛的研究p s - 1 4 ，发展出了多种数值方法，主要有三类t 有限差分法( t h ef i n i t e d l 丘；c r c n c c ) 1 1 5 一冽，有限元法( z h cf i m t cc l c m c n t ) “一冽谱方法( s p c c t r a lm c t h o d s ) ”一叫 有限差分方法以其筒单，直观而得到广泛应用在d c l f o u r 等人n 1 9 8 1 年提出的有 限差分格式的基础之上，t a h a 等人【1 6 l 总结和提出了五种有限差分格式，s a n z - s c r n a 州提出了。蛙跳格式。和修改的c r a n k - n i c o l s o n 格式，常谦顺 1 8 1 在1 9 8 1 年 提出了一个守恒c r a n k - n i c o l s o n 格式，并于1 9 9 9 年总结了广义非线性s c h r 6 d n g c r 方程的各种有限差分解法j i g z h a n g f e ! i 等人1 2 0 l 在1 9 9 5 年提出了一种三层七点差 分恪式，张鲁明等人在z h a n g f e j 等人的基础上提出了几个新的带参数的守恒差 分格式【2 1 - 嚣1 问题( 1 2 ) 一( 1 3 ) 有蓍如下的电荷与能量守恒关系： q ：2 ：厂+ 。i “【墨t ) 1 2 出：厂+ o 。i 庐( 刮2 如：q 0 ， ( 1 4 ) e = e ( i 爱1 2 一；4 ) 出= e ( i 号字1 2 一；圳4 ) d z = 岛， ( 15 ) 其中0 0 ，e o 为常数，并且弥公式( 1 4 ) ，( 1 5 ) 分别为电荷和能量守恒大量的数值 实验表明，满足电荷与能量守恒的差分恪式可以避免“数值爆炸。( b l o w - u p ) n 一“ 方程( 1 1 ) 中p 0 ，即可得带有耗散项的n l s 方程对于这种方程，有许多 作者在原有差分格式的基础上提出了各种形式差分恪式 6 - s l ，但是需要注意的 是，电荷与能量不再满足守恒关系【8 l ，但是可以类似于能量守恒的思想来构造 差分格式，如第四章中的差分格式。 。 1 2 本文主要研究内容 对非线性s c l u o d i n g e x 方程构造的差分格式中，无论是两层格式还是三层格 式，无论是非线性显格式还是非线性隐格式，其精度都不高，截断误差的阶均为 d ( r 2 + h 2 ) 在第二章和第三章，本文基于不同的思想对方程( 1 2 ) 一( 1 4 ) 构造 了两个新的高精度差分格式 在第二章中，为了进一步提高恪式的精度，本文在c r a n k - n i c o l s o n 格式的基 础之上构造了一个两层四阶高精度差分格式，证明了该格式保证离散电荷和离 散能守恒，对差分解进行了估计，并用能量方法证明了差分恪式的收敛性和稳定 性，其收敛阶为o ( r 2 + h 4 ) 由于该守恒差分格式为非线性隐式的，这就需要在 每一步时间内用迭代方法解一组非线性隐式方程组通过数值实验与已有的差分 格式进行比较，结果表明，本章所提出的格式，相比以往的格式，计算精度提高 了一个数量级 第三章里，在文献【2 0 l 的基础上对非线性s c h r 6 0 ，得( 1 一e ) 0 叼1 1 2 i e o i + c ，从而有ij 叼0 e 成立，进 而由( 2 1 3 ) 式知：i u “j | 。c ，即证 2 3 收敛性与稳定性 现在证明差分搭式( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的收敛性和稳定性，首先看差分格式的截断 误差 定理2 ，3 ：若u ? = 0 ， ) 是定解问题( 1 2 ) 一( 1 3 ) 的解，则在定理2 2 的条 件下。差分格式( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的截断误差吁= o ( r 2 + 4 ) 证明：设“? = 吡盹m ) 是方程( 1 2 ) 一( 1 3 ) 的解，则差分格式( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的截断误差为： 哆= l ( q ) t + 击卜( 呼 ) 4 + 1 4 ( 哼“) 一( u ，n ，+ ) t 】+ 去卜( t 曩1 ) t + 1 4 ( 哼) t 一( 略1 ) t 】 + ：( f 矿11 2 十时1 2 ) ( 哼+ 1 十哼) ， ( 2 _ 1 4 ) 将( 2 1 4 ) 式右端各项在( 而，t 。；) 作t g y l o r 展开，第一项。 ，( 哼) t = ；( 矿1 一哼) = t 窑( 叫。+ ! + d ( ( 2 z 5 ) 第二项赤【一( 掣+ 1 4 ( u 了“) t 一( 略阻 ；嚣1 ，u ，n j 。1 + l f f o ，n r f 一3 0 ? “十1 6 “并一嵋4 j 】 = ；磐( ，k + 1 ) + o ( h 4 ) ， 同理，第三项： 击【- ( t 0 1 ) 一十1 4 ( q ) 一一( t 盘1 ) r 王】= 磬 ( z ，t 。) + oc h 4 ) 应用公式 貉( 勺，t 。；) = ：密( 巧，k + ，) + 籍 ( 勺t 。) 】一譬爰( 勺勺。) ，白。( k ，i n + ，) ， 可得， 西1 、u ，n + 1 ) d + 1 4 ( 哼+ 1 ) d 一( t 蒜 ) i 十击【- ( t 乒i ) # + 1 4 ( 弩) 女一( t 鼻1 ) h = 象( q ，) + 。( ，2 - f 胪) 第四项： ( 2 1 6 ) ：( 1 哼+ 1 i 2 + 哼n ( 哼+ 1 + 哼) = q l t ( 巧，。+ ) 1 2 u ( 巧，f 。+ ) + o ( r 2 ) ，( z x t ) 综合公式( 2 1 5 ) 一( 2 1 7 ) ，又u ( , r 3 ，o ；) 满足方程( 1 2 ) ，即； t 赛( q ，“扩象。水( 州。圳h ( 州肿| ) 扎 可得定理结论，碍= o ( r 2 + 4 ) 定理2 4 ：在定理2 2 的条件下，差分格式( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的解收敛到定解问题 ( 1 2 ) 一( 1 3 ) 的解，且收敛阶为0 ( 一十 4 ) 证明：由定理2 3 可知吁= d ( 产+ h 4 ) 设叼是差分格式( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的 解，令哆= 吁一叼则( 2 1 4 ) ，( 2 1 ) 两式相减得： 哼= ( 学) t + 击 一( 学；) d + 1 4 ( 譬“) 口一( 群1 1 ，n j t 瓦1r 勺n 1 ) t + 1 4 ( 哆) t 一( 咯1 ) d 】 + ：! ( 1 吁十1 1 2 + i 吁n ( 吁“+ 哼) 一( 1 旷1 1 2 + i 吁j 2 ) ( c j ：l “十叼) 】， ( 2 1 8 ) 将( 2 1 8 ) 式与e ，”1 + e “做内积，取虚部，左端为：i m ( r “，e ”1 + 矿) ， 右端各项计算如下 第一项，伽l ( e ? ，矿+ 1 + e “) = ；( 1 妒+ 1j | 2 一i l e 1 1 2 ) ， 如同定理2 1 的证明，第二项与第三项的和为0 第四项，萼f m 壹【( 1 哼+ 1 1 2 + 旧1 2 ) ( 哼+ 1 + 嵋) 一( i 叼+ 1 1 2 + i 叼n ( 旷1 + 叼) l i 虿；7 可) 7 1 9 = 和m 重( f “r j 2 + f 叼f 2 ) ( 譬+ 1 + 譬) ( 虿：r 动 ，= + i m 砉( 哼“1 2 + i 哼2 ) 一( j 矿1 f 2 + f 叼| 2 ) f 叼+ 1 + 叼) ( 孑巧) ；i 。 。 = 和m 主f ( j 矿1 j 2 一j 叼+ 1 | 2 ) + ( | 叼 2 一j 叼| 2 ) j ( 叼+ 1 + 叼) ( 孑了干动 由此即得： ，m ( p ，矿+ 1 十e “) = ( 1 l e “+ 1 1 1 2 一i l e 1 1 2 ) + 警，m 薹 【( r 1 卜l 叮1 n + a 吁：2 一l 叼n j ( 叮1 + 叼) ( 虿；r 巧) ) ，( 2 1 9 ) 由定理2 2 及引理1 1 知 i 哼f 2 一 叼f 2 = ( f 哆f 一悼7 i ) f l u “b + f 吁f ) c l e ；r ( 2 2 0 ) 由引理1 1 ，( 2 渤) 式，定理( 2 2 ) 以及h 6 1 d e r 不等式，( 2 1 9 ) 式变为： ；( 1 l e ”+ 10 2 一l l e “1 1 2 ) l l r “j 1 2 十2 0 e “+ 1 1 2 + 2 l l e “| j 24 - c ( 1 l e “+ 1j | 2 + l l e ”| j 2 ) ，( 2 2 1 ) 在( 2 2 1 ) 式两边同乘以r ，对7 l 求和有 nt+l i | e f + 1 1 1 2sl l e o0 2 + r i l ，0 2 + r c f i e n 。 ( 2 2 2 ) 取r 足够小，使得1 一c r = a 0 ，由( 2 2 2 ) 式可得 l i e 0 2s 去( | i e o n r 量。l l r m + 譬壹r l e m 悒 由引理1 3 ，即g r o n w a l f 不等式，立即得 i i 扩1 0 2 去( 1 l e o l l 2 + r 塞i i r = 1 1 2 ) e 印( 处岳业) ， 由于e 0 = o ，r 0 r m 胪= d ( 产+ h 4 ) 2 ，所以i l e - + 1 = d ( 一+ 酽) ，即证 下面证明差分格式( 2 1 ) 一【2 3 ) 的稳定性 定理2 5 ：在定理2 2 的条件下 守恒差分格式( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的解对初值依平 方模稳定 证明：设叼是差分格式( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的解 ( 2 1 ) 一( 2 2 ) 和初值条件 峭= 西d 埘+ 旬 。 1 0 口= v o h ，一) 满足差分格式 ( 2 2 3 ) 其中印为初疽的微小扰动，令哆= 弩一叼则学满足： i ( 哼) t = 一瓦1l 弋勺n 一- i - l i ) n + 1 4 ( 矿1 ) d 一( e 茹 ) 口1 一击【一( ? 1 ) + 1 4 ( 哆) ；i ( 叮t ) 。爿一扣旷1 1 2 + 口1 2 ) ( 吁+ 1 + 口) 一( j 叼+ 1 1 2 + i 叼瞅叼+ 1 + 叼) 】，( 2 2 4 ) 将( 2 2 4 ) 式与矿“+ e “做内积，如同定理2 3 的证明，取虚部得： 扣e ”10 2 一咿 = 一譬，m 壹【( 1 口+ - l z i 叼+ t l 。) + ( 【哆1 2i 吁同( 叼+ t 十l m ) ( 可巧) ，( 2 2 5 ) j l 由于j l y “0 。c 以及定理2 2 可知 i 口 2 一l 叼1 2 = ( i 口l - 1 叼洲伊b + l 叼1 ) c l e ；i ， ( 2 2 6 ) 由引理1 1 ，( 2 2 5 ) 式，( 2 2 6 ) 式，定理( 2 2 ) 以及h d l d e r 不等式知： 圭( 】l e 4 + 1 | | 2 一j | e 4 2 ) 2 0 e “+ 1 1 1 2 + 2 i | e “| j 2 十c ( f | ，+ 1 2 + o c 4 1 1 2 ) ， ( 2 2 7 ) 在( 2 2 7 ) 式两边同乘以f ，对n 求和有 n + l l l 矿+ 1 2 l l e o l l 2 + r e 舱“j | ： ( 2 2 8 ) m0 取f 足够小，使得1 一e r a 0 ，由( 2 2 8 ) 式可得 l i e “+ 1 俨s 剐圳2 + 譬喜忙”俨， 。 由引理1 3 ，即g r o n w a l l 不等式，立即得 0 驴+ 1 i f 2 剐e o 怖印( 嗡业) ， 由于e 0 = e 0 ，所以e “+ 10 2 硎o 庐即证守恒差分格式( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的解对初值 依平方模稳定 2 4 数值实验分析 考虑如下算例，取q = 2 ，x r = 一司= 2 0 ，得： t 象+ 鲁+ z 1 1 - 2 1 u - 0 ，- 2 0 z 2 0 , 0 0 ，由( 3 1 8 ) 式可得： l i e 1 4 2 去( i l i j 2 + ij e l0 2 + 2 1 妻。i l r ”j | 2 ) + 譬妻。l f e “1 1 2 ， 由引理1 3 ，即g r o n w a l l 不等式，立即得： f i ，。0 2 去( o e 0 0 2 + i i e l i l 2 + 2 r 量1 i t m 0 2 ) 唧( ! ：哆； 生) ， 由于p o = o ，r 妻1 l r “| 1 2 = f ) ( 一十驴) 2 ，选择第二章中的格式，使舻1 0 = d ( 一十舻) 2 就有i f e ”1 = d ( 一+ h 4 ) 即证 如同定理2 5 的证明，可以证明差分恪式( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的稳定性 定理3 4 在定理3 2 的条件下，守恒差分格式( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的解对初值依平 方模稳定 3 4 数值实验分析 同洋考虑算例( 2 2 9 ) 一( 2 3 1 ) ，差分格式( 3 1 ) 一( 3 3 ) 可以改写为： a u ，n 一, 。1 + b l r j n l l + 譬 j ；+ b 叼￥1 1 + a u j , 1 1 i 。t = 一a u 二一b 口z i l + 只? 叼一1 一b 己j 晶1 一a 【r j n 十- - 2 i ， 嘴= u y ，t l = o ，1 ，2 田= u 0 ( 岛) j = l ，2 j 一1 由于周期性边界条件，可以把方程组( 3 1 9 ) 改写为如下形式： r “u “+ l = s 4 u ”1 其中， r n = s 4 = 曰b a b 毋b ab 曰 a 口 a 矸一b a b 臻一b a b 礤 一a b a ab 0a 。 + b ab 日 一a b 0 一 。 一 。 一口 一日刀 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 在这里，a = 一击，b = 孰譬= 一；a + r i 叼n 譬= + a 一引叼h 以上方程 组为准五对角方程组，易于求解值得注意的是，该方法不是自启动的，在程序 中首先采用第二章的差分洛式求得u ( j h ，孟) ，以孟为时间步长反复月( 3 2 2 ) 式 求得1 ，然后以r 为时间步长用( 3 2 2 ) 式往下求 按范数e * ( ，r ) 2l 。，。j m “a x l 。 0 ，且1 ，称为带有耗散项的n l s ，此类方程描述 了很多物理现象，例如在非线性光学中，它描述了光脉冲在吸收性的非线性光学 介质中的传播在本章中。令a ( ) = 1 ，b ( z ) = 2 ，p = 3 ，得到如下方程： t 害+ 嘉+ i v u + 2 1 u 1 2 u ：0 ( 4 1 ) 。面十否十 “2o ， 【4 1 ) 其中( z ，0 ) = 毋( z ) ，很多作者从精确解和数值解的角度上对方程( 4 1 ) 进行了研 究 0 - 8 l | 月 现在考虑令“= ”一”，那么就可以去掉i v u 这一项。方程( 4 1 ) 可以等价地 变为： t 等+ 骞+ 2 e 一z ”= 0 ， ( t _ 2 ) ( z ，0 ) = 毋( z ) ，( 4 3 ) 方程( 4 2 ) 满足的守恒关系式例： 酽= 1 2 = c o n s t ， ( 4 4 ) e m j r 4 出一j ，r i ”。1 2 + 2 j l r o ( ”e m j r 4 如) 幽 = 上圳4 如一上| 如一 ( 4 | 5 ) 在这一章首先对方程( 4 2 ) ，( 4 3 ) 提出两个差分格式，并且给出对应( 4 4 ) ，( 4 5 ) 离散守恒关系式，给出差分解的估计，然后证明两个差分格式的收敛性和稳定 性，最后给出数值实验 4 1差分格式的构造和守恒性 取空问步长为h 时间方向步长为r 设h 7 为”( 巧，k ) 的差分近似值，其中 而= j h ，t n = 在这里考虑整个空间，j z ，z 为整数集引进如下记号： ( 町) z 2 ( 睇- 一町) 九2 3 ( 岬) ；5 ( 岬一哗。) “， ( 町) 产( 町“一町) r ( 町) 尸( 叼“一町。1 ) ( 2 - r ) 离散内积与范数定义如下： ( w - ，矿) = h 町可，( 暇，叼) = i w ) 。砑t 3 e z，e z i i w “0 2 = ( “，w 4 ) ，i i “l 睦= ( w 2 ，w 2 ) ， 对方程( 4 2 ) ，( 4 3 ) 构造如下差分格式： 格式4 1 t ( 町) c + ； ( 叼+ 1 ) 蜡+ ( 町) 一】十；e 4 胂j ( 1 町+ h 町n ( 町“t 町) = o ，( 4 6 ) 叼= ( 岛) ， ( 4 7 ) 格式4 2 f ( 町) f + 扣町+ 1 泣十( 町一1 ) n j + e h k ，町2 ( 阡尹1 + 町3 = o ，“8 ) 叼= 毋( 勺) ( 4 9 ) 差分恪式4 1 和4 2 满足下面的定理： 定理4 1 ：差分洛式4 1 满足如下关系式： i i w “胪一一i i w 0 0 2 = c a n s t ， ( 4 1 0 ) h e 。2 i 町1 4 一 i ( 叼) ；f 2 + h f | 时1 4 c 。2 “t ( ，一1 ) jj = 1 1 e z + l 时一1 1 4 e 一2 ”一( 1 一e 一”) 】= j 奶1 4 一_ i l j ( 奶) 。1 2 ( 4 1 1 ) jj 其中奶= 咖( ) ，( 如k = 丛丑吐；二幽，注意到e ”一1 = 坩+ o ( 2 ) ，1 一e 一一= p r + o ( f 2 ) ，可以看出( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 式为( 4 4 ) ，“5 ) 式的离散形式 证明：将( 4 6 ) 式与h m “+ w - 做内积，取虚部，左端各项为t 第一项，i mi ( 卵，胪+ 1 + 胪) = ；( 1 l w 州肛1 胪| | 2 ) ， 第二项，由g r e e n 公式得， ，m 【( 凹“k + 【凹) n 1 ( 叼十町) = 一m ( 町“) z + ( 叼) ，h 吁“十町b = 一胁j ( 叼+ 1 ) ：+ ( 叼) z 1 2 _ 0 ， j 第三项， e 。一j j m ( 1 町+ 1 ：+ l 叼陬叮1 + 町) ( 霹玎i 可) j = 2 c 也。，女，m ( 。町+ 1 队町吲叼+ + 町i “0 ， j 这洋，就可以得到i l 胪”酽= 1 1 w ”n 以此类推，有( 4 1 0 ) 式成立 将( 4 6 ) 式与w ”1 一w “做内积，取实部。左端各项为： 第一项，r e ( 胛，胪“一w 4 ) = r e ( 坐二= 竖，w n + 1 一旷) - 0 ， 第二项，2 冗e ( 叼“) ：，+ ( 町) 一】( 町“一叼) = - , r e e ( 町“) ：+ ( 叼) z 】( 町“一叼k = 一0 ( 矸r 1 ) ；1 2 一i ( 町) 。闩， 第三项，e 一“k r c ( i 町+ 1 1 2 + i 岬陬咿1 十町) ( 可可珂) = 知一“t 叶j ( i 晖+ 1 1 4 一i 叼1 4 ) = e ( e 一“一i 町“1 4 一e - 2 v h i 叼f 4 ) + ( e 。“4 jj 町+ 1 f 4 一e - - 2 v t n + x i 凹+ 1 1 4 ) + ( e 。kj 叼卜e _ 2 “”jf 町h j 左端各项相加可得 e ( e 一砜+ 1i 町“卜e 。2 i 岬1 4 ) 一【l ( w “) z 1 2 一i ( 町) 垌 + i 矸7 + 1 1 4 ( e - 2 t 件量一e z “t ) + el 叼 f 4 ( e 一缸k e 一2 以叶j ) = 0 ， 从而有e 一2 + z f 凹+ 1 1 4 2 i ( 叼“) ，1 2 + i 町“p + 1 垆一1 ) + g i 叼p ( 1 一e 一) = c 一姚l 町1 4 一i ( w ) z 1 2 ， jj 递推之有f 4 1 1 ) 式成立 关于差分格式4 2 的守恒关系，与定理4 1 相似有下面的定理成立， 定理4 2 ：差分格式4 2 满足如下关系式： ；( ij w + 1 no 矿= 一i ( f l w l | 1 2 + | 旧= c o n s 。， ( 4 i 2 ) k 一l 岬1 2 l 吁+ 1 1 2 一：u ( 岬+ 1 ) 。1 2 + l ( 叼) ；m 五 注意到1 一e - 2 ”= 2 m r + d ( r 2 ) ，可以看出( 4 1 2 ) ，c 4 1 3 ) 式为( 4 ，4 ) ，c 4 5 ) 式的离散形 式 证明：将( 4 8 ) 式与”1 - d - 胪1 敢内积，取虚部，与( 4 1 0 ) 式的证明相似，可 以得到| i 胪+ 1 旷= 0 驴一1 忾从而有扪胪+ 1 n | j 胪j j ： ) = ( 1 l w 1 1 2 训驴一1 旧 成立，以此类推，有( 4 1 2 ) 式成立 将( 4 8 ) 式与阡”一w 4 - 1 做内积，取实部，左端各项为 第一项，r et ( 矸? ，”1 一矸”一1 ) = 0 ， 第二项，扣e f ( 旷1 k + ( 町“) “l ( 町“一町- 1 ) = 一r e 【( i 吁+ 1 k - i - c w ；1 k lo w ； + 1 一 吁一1 k 砖e ic 町+ 1 ) ，1 2 一i ( 叼1 ) 。h 第三项，h e 一“r e ei t l 2 ( 町+ 1 + 町一1 ) ( 砑f 面习) = h e 一l 叼阳叼“卜i 叼- 1 h ， 左端各项相加可得 h e 一砜e l 町。1 1 2 1 w ；i 2 一e ic 町“) ：h ( 凹) 。1 2 】 jj + h e 一一1 ( 1 一e - 研) f 凹f 2 町。1 f 2 = k 。手i 町1 2 i 町。1 f 2 一到( 凹) t 1 2 + ( 吁。1 ) 垌 递推之有( 4 1 3 ) 式成立 q 4 2 差分解的先验估计 下面由定理4 1 对差分铬式4 1 的解进行估嫩 定理4 3 ：设方程( 4 1 ) 的解满足u ( 。t ) c 4 3 ，妒( z ) c 2 ，从而在方程( 4 2 ) 中 有： ”( z ，) 0 4 ”，那么差分格式( 4 6 ) 一( 4 7 ) 的解t 有估计式： 0 旷雌钏吩峪刚胪g ，26 吼删 q 时 ， n 一2 2 一 时时 ， i i 嘭时 折 卜 h 知 脚 。h 0 = 刁k 一 町 一 2 k + 町 j 一2 2一 町 一 2十 町 2 町 ， 吨 k 有而从 证明：由( 4 1 0 ) 式易得l l w ”| | c ，因为e - 2 v k 曼l ，由( 4 1 1 ) 式得 n l l w = “1 1 2 i e or + 1 1 w m i ：+ i i w j j ：( 一肝一1 ) + ij w 一1 1 1 j ( 1 一p 一竹) 】， ( 4 1 4 ) = l 其中l 岛i = 1 l 如| 4 一 i ( 如) 。1 2 l ，因为y 1 ，取r 足够小，可以使e 一一1 jj 2 v r , l c - ”2 u - r 那么( 4 1 4 ) 式就变为： n i i w t ：1 1 2 i e o l + i f 驴艏+ 4 v r l l w ：| ：， ( 4 1 5 ) io 如同定理2 2 的证明。当= 0 ，1 n 时，有下式成立： l l w ：j j i | 嘭1 1 2 + c lr w n( 4 1 6 ) 把( 4 1 6 ) 式代入( 4 1 5 ) 式可得： i i w ； 1 2 1 5 d l + ( e i i w = 1 1 2 + c | i “i i 2 ) + 4 y r ( 1 1 w jj 2 + c l l w 1 1 2 ) ( 4 1 7 ) b o 取；足够小，使得1 一一4 y r e i o ，( 4 1 7 ) 式变为： n l ( 1 一e 一4 e ) l l v , , ? 1 1 2 0 ，由( 4 2 5 ) 式及g r o n w a l l 不等式可得 l i 一一t | | 2 去( | | ，0 1 1 2 + 1 - 曼 胁印( 垮 业) ， 鳃“ 由于c o = 0 ，r l i r “i 2 = d ( 一+ 胪) 2 ，所以j | c 一10 = d ( r 2 + 胪) 即证 如同定理4 5 的证明，可以证明差分格式( 4 6 ) 一( 4 7 ) 的稳定性 定理4 6 ：在定理4 3 的条件下，守恒差分洛式( 4 6 ) 一( 4 7 ) 的解对初值是依 平方模稳定 如同定理3 3 和定理3 4 的证明，可以给出差分格式( 4 8 ) 一( 4 9 ) 的收敛性 和德定性，证明略 定理4 7 ：在定理4 3 的条件下，差分格式( 4 8 ) 一( 4 9 ) 的解收敛，收敛阶为