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哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 o r l i c z 空间中的太阳集 摘要 非线性逼近问题的最初的研究可以追溯到十八世纪末的数学家 p l c h e b y s h e v 他提出并讨论了有理函数的一致逼近问题，但在问题的处 理方法上，仍趋同于多项式逼近。真正在本质上不同于线性逼近的非线性逼 近问题的研究，几乎到上个世纪6 0 年代才有所突破。逼近论的研究由来已 久，它的发展方式遵循着“由具体到一般的认识规律。而本文将对“由一 般到具体 的问题有所讨论。 本文主要对o r l i c z 空间内的太阳集及其逼近性质进行讨论，给出它们 简明判据及其间的内在联系。进而，整个空间的几何性质作为简单的推论一 并给出。全文共分三章，主要工作总结如下： 第一章绪论：回顾了o r l i c z 空间理论六十多年的发展历程和前人的主 要研究成果，评价和总结了前人的主要研究成果，并展示了本文所讨论内容 的背景和意义。 第二章o r l i c z 序列空间中的太阳集：研究了o r l i c z 序列空间中的太 阳集，给出了几个关于赋o r l i c z 范数在o r l i c z 序列空间中一个集合是太阳 集的充分必要条件的定理。这种讨论在一般的b a n a c h 空间已得到验证，并 且已经给出了赋l u x e m b u r g 范数在o r l i c z 序列空间中的集合是太阳集的充 分必要条件。本章在此基础上做了进一步的探讨。 第三章o r l i c z 函数空间内太阳集的逼近性质：在已有的p ( 丁，x ) 中的 一般子集g 和三，( r ，聊( y cx ) 型子集为太阳集的特征定理的讨论结果之 上，本章主要证明厶，的子集为太阳集的特征定理。b a n a c h 空间中的结果得 以扩充，类似结果也可用于其它空间。 关键词o r l i c z 序列空间：太阳集：c h e b y s h e v 太阳集 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 t h es u ns e ti no r l i c zs p a c e s a b s t r a c t t h ep r o p l e mo f n o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o nh a v eb e e ns t u d i e ds i n c et h ee n do f t h ee i g h t e e n t hc e n t u r y ，t h em a t h e m a t i c i a np l c h e b y s h e vp o s e da n d d i s c u s s e du n i f o r ma p p r o x i m a t i o no ft h er a t i o n a lf u n c t i o n s ，b u tw h e nd e a l i n g w i t ht h ep r o b l e m s ，t h e ya l w a y sp u tt h ef o c u so np o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o n ，t h e e s s e n t i a ls t u d i e sa b o u tt h ep r o b l e m so fn o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o nh a v eb e e n b r o k e ns i n c et h el a s tc e n t u r y t h ei n v e s t i g a t i o n so fa p p r o x i m a t i o nt h e o r yh a v e l a s tf o ral o n gt i m e ，t h et y p eo fi t sd e v e l o p m e n to b e yt h er e g u l a rf r o m c o n c r e t i o nt o g e n e r a l i z a t i o n ，t h i s t h e s i sw i l ld i s c u s st h e p r o b l e m s f r o m g e n e r a l i z a t i o nt oc o n c r e t i o n t h es u ns e ti no r l i c zs p a c e sa n di t sa p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e sa l ei n v e s t i g a t e di nt h i st h e s i s m o r e o v e r ，t h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e si nt h ew h o l es p a c e s s e r v e da ss i m p l ec o r o l l a r i e sw i l lb eg i v e n t h ep a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ： t h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w i n g ： c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n ：i ti s r e v i e w e dt h a t d e v e l o p i n gc o u r s e o ft h e t h e o r y a n d g e o m e t r i ct h e o r y o fo r l i c zs p a c e sd u r i n gm o r et h a n6 0y e a r s s t u d i e s m o r e o v e r ，i ti se v a l u a t i n g a n ds u m m a r i z i n gt h e p i o n e e r s m a i n r e s e a r c hr e s u l t s ，a n ds h o w i n gt h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h ec o n t e n to f e a c hp a r ti nt h i st h e s i s c h a p t e r2 t h es t i l ls e ti no r l i c zs e q u e n c es p a c e s ：d i s c u s st h es u n s e ti n o r l i c zs e q u e n c es p a c e sa n dg i v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fs e v e r a l t h e o r e m sf o rt h a tas e te q u i p p e dw i t ho r l i c zn o r mi sas u n s e ti no r l i c zs e q u e n c e s p a c e s t h ek i n do fd i s s c u s s m e n th a sb e e nv e r i f i e di ng e n e r a lb a n a c hs p a c e s ， m o r e o v e r ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a tas e te n d o w e d w i t h l u x e m b u r gn o r mi sa s u ns e ti no r l i c zs e q u e n c es p a c e sh a v eb e e ng i v e n t h e c h a p t e rw i l lg os t e pf u r t h e ro nt h i sb a s e c h a p t e r3 t h ea p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e so ft h es u ns e ti no r l i c zf u n c t i o n s p a c e s ：o nt h eb a s eo ft h er e s u l t st h a tt h ec h a r a c t e r i s t i ct h e o r e m st h a tg e n e r a l s u b s e tga n ds u b s e t 三p ( t ，功( y 仁x ) o fp a r t i c u l a rt y p ei n 三j p ( 丁，x ) a r es u n i i 哈尔滨理工大学理学硕卜学位论文 = = e ! ! = ! ! ! ! ! ! ! ! = = e = = = ! = = = = = ! 霉12,i 1 1 i ! = = = ! = = ! ! = = = = = = ! 詈= = = = = = = = = = = 暑 s e t s ，t h ec h a p t e rm a i n l yp r o v et h ec h a r a c t e r i s t i ct h e o r e m st h a tt h es u b s e to f l m i sas u ns e t t h ec o n c l u s i o n si nb a n a c hs p a c e sh a v eb e e ne x p a n d e d t h e r e s e m b l er e s u l t sc a nb eu s e do nt h eo t h e rs p a c e s k e y w o r d s o r l i c zs e q u e n c es p a c e s ；t h es u ns e t ；c h e b y s h e vs u ns e t i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文( ( o r l i c z 空间中的太阳集，是 本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所 取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过 的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 旁 毒 日期：2 0 0 6 年3 月9 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 o r l i c z 空间中的太阳集系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导 师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本 论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关 于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版 本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或 其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密 j在年解密后适用授权书。 不保密吖 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 导师签名： 纠礞 轻易 日期：2 0 0 6 年3 月9 日 日期：2 0 0 6 年3 月9 日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 本研究课题的学术背景及其理论与实际意义 泛函分析是在上个世纪三十年代才初步形成的一个数学分支。它是应用广 泛，生气勃勃的新兴学科。目前，在近代数学的许多分支以及物理，化学的某 些分支的研究中它已成为重要的工具。泛函分析不仅吸取了古典数学分析的许 多重要方法，而且综合了几何和代数的观点和方法。又在此基础上提炼出了许 多新的分析方法。 b a n a c h 空间集合理论乃是泛函分析最基础，最重要的组成部分。从上个世 纪三十年代起，它就以对一些问题的巧妙处理而吸引着许多学者。用这个理论 的奠基人，杰出的波兰数学家s b a n a c h 的话来说，就是在此理论中，我们看 到古典数学的方法统一成为近代的方法，而这种统一的方式是十分协调而且非 常有效的。目前，就b a n a c h 空间理论而言，也已经派生出不少新方向，内容 十分丰富。对b a n a c h 空间太阳集的研究不但可以丰富b a n a c h 空间的理论，同 时也可以解决许多非线性问题。 1 2 国内外文献综述 1 9 3 1 年波兰数学家w o r l i c z 联系积分方程的需要，首先引进了以他的名 字命名的o r l i c z 空间，o r l i c z 空间是三空间的推广，作为一类具体的 b a n a c h 空间，它几乎涵盖所有的b a n a c h 空间类，为其研究准备了巨大丰富的 模型库，使一般的b a n a c h 空间研究得以启迪和借鉴，而且也成功地应用到积 分方程、控制理论和预报算子等许多领域。 自1 9 3 2 年波兰著名数学家s b a n a c h 的著作t h e o r i eo fo p e r a t i o n l i n e a i r e s ) ) 出版以后，人们开始了b a n a c h 空间理论的系统研究。1 9 3 6 年j a c l a r k s o n 首先引入了一致凸b a n a c h 空间的概念，开创了从b a n a c h 空间单位球 的几何结构出发来研究b a n a c h 空间性质的方法。 1 9 3 2 年和1 9 3 6 年o r l i c z 给出了砖空间及o r l i c z 范数的定义n ，日本数 学家n a k a n o z a i 在1 9 5 0 年引进了模范数，并对模空间的一般理论进行了深入 的研究，发展了以o r l i c z 空间为特例的模半序空间理论，其成果集中收集在他 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 写的模半序线性空间一书中嘲。1 9 5 5 年，w a l u x e m b u r g 在他的博士论 文中为o r l i c z 空间引入等价的l u x e m b u r g 范数h 1 ，并对o r l i c z 空间性质进行了 深入的讨论，极大地推进了空间理论的研究。与此同时，m a k r a s n o s e l s e i 和y b r u t i c k i i 为了求解非线性分析若干问题，系统地研究了由不满足反条件 的o r l i c z 函数生成的o f l i c z 空间，并于1 9 5 8 年出版了第一本关于o f l i c z 空间 理论的专著凸函数与o f l i c z 空间嘲，并总结了以前特别是他们本人的工 作，这一专著的出版标志着o f l i c z 空间理论已基本形成。 自六十年代以来，o f l i c z 空间理论又有了重要的发展，1 9 6 0 年，t a n d o 和m m r a o 分别给出了o d i c z 空间上有界线性泛函表达式一引，1 9 6 2 年， 郭大钧给出了u r y s o n 算子全连续的充分必要条件p 】，1 9 6 6 年王廷辅得到了 o r l i c z 空间列紧集的充分必要条件n 们，丁夏畦，n s t r u d i n g e r n 列则从不同方 面推广了s o b o l e v 嵌入定理，o f l i c z 空间理论应用于偏微分方程理论。1 9 6 7 年 v f g a p o s k i n n 3 1 钔证明o f l i c z 空间有无条件基的充分必要条件是空间自反。 七十年代初，j l i n d e n s t r a u s s 和l t z a f r i f i 用空间引入常数的方法对o f l i c z 序列空间的基和同构问题进行了一系列的讨论，得到了许多重要的结果。之 后，波兰的数学工作者进一步研究了模空间的一般理论和o f l i c z 空间的几何结 构。 进入八十年代以来，以吴丛烁王廷辅、陈述涛和王玉文等为代表的哈尔 滨数学工作者对o r l i c z 空间的许多几何性质进行了系统的研究，并取得了一大 批成果。吴丛忻、王廷辅的 o f l i c z 空间及应用n 引，吴丛烁王廷辅、陈述涛 和王玉文的o f l i c z 空间几何理论u 引，及陈述涛的g e o m e t r yo fo r l i c z s p a c e s n 力这三部专著的问世，极大的丰富了空间理论特别是几何理论，使之 更加完善系统化，也使中国哈尔滨成为o r l i c z 空间的研究中心之一u 乳1 9 1 。 自二十世纪三十年代至二十一世纪的今天，在几代数学工作者的不懈努力 下，o r l i c z 空间理论取得了长足的发展，其内容日益完善，同时不断开拓新方 向，进行各种推广和深化，应用范围逐渐扩大，渗透到数学的许多分支啪一u 。 鉴于r e i s z 空间类三。( 1 p ) 在解决非线形问题中的局限，w 0 r l i c z 于 3 0 年代初引进了后来以他的名字命名的空间类m l i c z 空间。0 r l i c z 空间是 三。空间的推广，作为一类具体的b a n a c h 空间，它几乎涵盖了所有的b a n a c h 空间，为其研究准备了巨大丰富的模型库，使一般的b a n a c h 空间研究得以启 迪和借鉴，而且也成功的应用到积分方程，偏微分方程，控制论，非线性问 题，算子理论等众多领域，为应用学科展示出了广阔的前景。 非线性逼近问题的最初的研究可以追溯到上一世纪末的数学家 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 p l c h e b y s h e v 他提出并讨论了有理函数的一致逼近问题，但在问题的处理方 法上，仍趋同于多项式逼近。真正在本质上不同于线性逼近的非线性逼近问题 的研究，几乎到上个世纪6 0 年代才有所突破。逼近论的研究由来已久，它的 发展方式仍然遵循着“由具体到一般”的认识规律。开始，在具体的函数空间 中，用具体的线性集来逼近特定的函数。后来又发展到用非线性集进行逼近。 随着b a n a c h 空间理论，非线性分析和现代拓扑学等近代数学的发展和在逼近 论上的应用，一般b a n a c h 空间中逼近问题的研究势在必行。内容的不断积累 和丰富促成了i s i n g e 一2 2 j 的专著“b e s ta p p r o x i m a t i o nb ye l e m e n t s o f l i n e a rs u b s p a c e si nl i n e a rs p a c e s 的问世，该书系统的总结和讨论了一 般空间中的线性逼近理论。尔后，s p r i n g e r v e r l a g 出版社在1 9 8 6 年出版的 d b r a e s s 的专著“n o n l i n e ra p p r o x i m a t i o nt h e o r y ”又总结了具体函数类的 非线性逼近的研究成果【2 3 j ，而一般的b a n a c h 空间中的非线性逼近问题的研究 成果只稍加涉及。近2 0 年来，一般b a n a c h 空间非线性逼近问题的研究得到迅 猛发展【2 4 q 引，无论在内容上还是问题的处理上同线性逼近都有着本质的区别。 1 9 9 3 年，由徐世英，李冲，杨文善著的“b a n a c h 空间中的非线性逼近理论” 一书1 3 7 j 总结了近2 0 年来散见于各种重要期刊上的研究成果，其中包括了作者 自己的许多研究工作，包括c h e b y s h e v 集的凸性，几乎c h e b y s h e v 子集和非线 性优化问题。 近几年非线性逼近问题的研究得到了长足的发展：1 9 9 4 年李冲对b a n a c h 空间中一类非凸集给出最佳同时逼近的特征和唯一性定理，从而推广和加强了 他人近几年来的结果。还给出了最佳同时逼近的强唯一性定理。1 9 9 5 年李冲刻 划有界线性算子空间中的太阳集的特征，从而给出了有界线性算子空间中非线 性最佳逼近的特征定理。1 9 9 5 年崔云安证明了彳是可逼近紧的c h e b y s h e v 集 的充分必要条件是a 是太阳集；同时，也讨论了o r l i c z 序列空间的太阳集。 1 9 9 6 年徐士英举例说明了弱拟凸集的最佳逼近未必具有广义强唯一性，进而讨 论两类共同逼近的强唯一性，在空间是一致凸，逼近集是共同太阳集的条件 下，证明了最佳共同逼近具有广义强唯一性。1 9 9 6 年刘瑞珍证明了p ( ，x ) 中的一般子集g 和三，( ，y ) ( ycx ) 型子集为太阳集的特征定理；对实 h i l b e r t 空间x ，得到了子集三，( ，y ) 为工p ( ，x ) 的半c h e b y s h e v 太阳集的特 征，同时给出了子集三，( ，】，) 是三，( ，x ) 的强c h e b y s h e v 子空间的条件。何国 龙证明了h i l b e r t 空间中s 太阳集的一个提升性质，然后揭示h i l b e r t 空间 中的c h e b y s h e v 集具有弱太阳性质。1 9 9 7 年徐士英讨论了三p ( 1 p o o ) 中非 线性最佳逼近的广义强唯一性，证明了定理：设g 是p ( 1 0 ，有p ( f ) 0 ； 3 p ( 0 ) = 0i j _ l i m p o ) = 定义1 4 3 3 8 j令m 是一函数，p 是m 的右导数，q 是p 的右反函数，则 称 ( 1 ，) = q ( s ) d s 为m 的余函数。 定义1 4 4 1 3 8 】用( g ，) 为l e b e s g u e 可侧空间，0 o ，p u ( a x ) 2 和0 ， m ( 2 x ) k m ( x ) o x 0 ) 定义1 4 7 3 3 1 称函数m 满足磊条件是指存在后 2 和 0 ， m ( 2 x ) k m ( x ) q 卅) 使得： 使得： 哈尔滨理工大学理学硕 ：学位论文 第2 章o r l i c z 序列空间中的太阳集 2 1 本章引言 设x 是b a n a c h 空间，s ( x ) 表示x 的单位球面，彳是x 的非空子集。对 于任意的x x ，以d ( x ，么) 记x 到彳的距离。称x 。a 是x 到a 的最佳逼近 元，若肛一0 = d 似彳) ，x 到a 的所有最佳逼近元记为艺( 力。若对于任意的 x x ，e ( x ) ，则4 称为存在集；若只( z ) 是单点集，则称彳为 c h e b ，r s h e v 集。 定义2 1 1 1 3 9 j称b a n a c h 空间x 的存在集彳为太阳集，如果vx x a ， 存在只o ) ，满足巴 ，) ，其中x t = u 。+ r 一) ( 1 ) 定义2 1 2 1 3 9 j 设 彳。 = 是b a n a c h 空间x 的子集列。记 w l i m 。s u p 4 = p x ；x = w l 宰n x h ，x a j， 膏 s l i m i n f 以= 扛置x = s l i m x ，i n 4 一 月 称a 。依k u r a t o s k i m o s c o 意义收敛于ac x ，若 w _ l h s u p a 。= s l i m i n f a = a 疗矗 记为么。型。么 定义2 1 3 【4 0 】称点x s ( x ) 为日点，如果s ( x ) 中的子列 i n ) 有 当z ，则：现慨一x 1 1 = o 定义2 1 4 【3 引x ( x ) - - k ：，j ，其中 = i 1 1 f 七 0 ：肌( p ( h ) ) 1 ) 是：= s u p k 0 ：尹 ，( p ( 奴) ) 1 ) 特别的，如果o r l i e z 序列空间碍由o r l i e z 函数生成，贝j jk ( x )能为空。如果 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 m 是二_ 函数，则对任意不为0 的x 吃，有敝功 定义2 1 5 【3 7 jkcx ，对v x x ，& 。 cx ，当忙一g 。8 专d k ( x ) 时，有 k 。 在k 中紧，则称k 为逼近紧集。 引理2 1 1 【3 8 】 当m 为n 一函数时，吃是严凸的营m 在 0 ，( 1 ) 】上严格 凸，其中 , r m ( 口) = i n f t 0 ：( p p ) 口 定义2 1 6 称b a n a c h 空间x 的子集g 为几乎凸集，是指任意与g 有正距离的球b ( x ，) 及， ，必存在球b ( x ，r 。) ，使 b ( x ，。) 3b ( x ，)且 b ( x ，) n g = 定义2 1 7 称x s ( x ) 为w m 点，若对于任意扛。 cs ( x ) ， l i x 。+ x l l - 2 ，存在厂杪s ( x 。) ：八功= j 以及kj cx b ) ，满足 f ( x 儿) 一1 定义2 1 8 称x s ( x ) 为强u 一点，若对于任意y s ( x ) ，并且 l i x + 川l = 2 ，有x = y 2 2o r l i e z 序列空间中的太阳集 定理2 2 1 若m ( “) a ：， 历= s u p tk 为自然数z ( g ) 1 2 ；且 m ( “) 在 0 ，7 m ( 1 ) 】上是严格凸函数，a 是砖的依坐标收敛完备集，则彳是可逼 近紧的c h e b y s h e v 集的充分必要条件是a 是太阳集。其中 ( 1 ) = m f t 0 ：( p ( f ) ) 1 j ，。l i mp ( 七) = q 证明：首先证明充分性。只须证明彳是可逼近紧集 v x 吃认，3 x 。a ，使得 ! l m l l x 一x i | 0 = d ( x ，彳) 表明扛。 ：。是吧中的有界集，因而存在缸。浇。的子列每垃。及吧满足： 哈尔滨理1 二大学理学硕学位论文 因为- 收敛蕴涵x n , ( ，) 一x 。( f ) ( i = 1 ，2 ，) ，a 是依坐标收敛完备集，故 x o a 由 x nw 卵哪倭( 加h ( f ) m ；y 砘( 1 ) 朐，) s ( 1 ) ) 知：对v g 0 ，砂。s ( ) ) ，满足： l x 。- 4 。 0 ，满足： ( x ( i ) - x o ( i ) ) y 。( f ) g 于是 慨一坩 0 ，因为k ( x 。一x ) = ，所以可取足够大的研，使 ( x o x ) ( f ) = 0( f 聊) 由l i m x ( i ) = x o ( i ) ，得到 打 i 善l t lm ( 吒( h ( j ) 一坤) ) ) 一彳善l ( j ) 一川) | = 1 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 因此了 0 ，使 所以 得到 所以 m ( 后。( h ( f ) - 工( f ) ) ) 1 一占( 刀 刀。) ，h i = l = i i x , 一币 。寺( 1 + 几( 屯叫) ) ) = ( 1 + m ( 吒( 矗。( f ) 一x ( 功) + m ( 吒( x ( f ) 一x ( f ) ) ) h j = ll = m + l = ( 1 + m ( 七。( ( j ) 一x ( f ) ) ) + m ( 屯( ( f ) 一x ( f ) ) ) “厅 i = m + l hi = i m 姜：( x c 。一x c z ，q0 。+ t s 罾h 伊摊，卜 l i m k 砘| 0 = 0 即x m 专秭 ( 2 ) 当k ( x o x ) 矽时 ( 1 ) k ( x 一x ) 矽 因m a 2 ，对v 万 0 ，j 占 0 ，使砌o ) 0 ，3 i o n ，使 取七。 i ，使得 瞽羽一k 卜 则0 y l l 。 - 1 1 ( 叫( 1 ) ，( 叫( 2 ) ( x r 坝诎o 0 卜宝誓( ( f ) 叫啪 l - e + m ( ( f ) 一z ( 力) i = i o + 1 即m ( x 仇( f ) - x ( 啪 占 i = i o + l 因此 l i ( o ，o ，( x 吣一x ) ( 乇+ 1 ) ，( 矗。一x ) ( 毛+ 2 ) ，8 。 0 ，j 乇n ，使 m 未! 石。c 。一x c ，q8 。 ，一 q li i ( ( f ) - x ( ；) ) p ，0 l 一 f ；l q 艺h ( f ) 一刮 l g ( 以 刀。) i l j 未( c 。一x c ，p ，0 。 疗， i x - x o l l 。l i 喜c kc 。一x 。c ，色l 。+ l i j 姜j c 。一x c ，p ，i l o + x o o - x x o 综上所述：x m - - x o ，因而扛。 二是列紧的故a 是可逼近紧集 m ( “) 严格凸，下面证明，在假设的条件下：吃是严格凸空间 v x = o ( f ) ) ；s ( t o ) 由文1 3 8 j 定理2 8 ：当工仅有一个单点坐标，则工戥t b ( t o ) 当x 不是单点集时，由已知，k ( x ) 矽 设y ，z s ( ，吕) ，若2 x = y + z ，则往证：y = z k ( y ) = k ( z ) = 矽 设z = 扛( 1 ) ，x ( 2 ) ，0 ，) y = l y ( 1 ) ，0 ， z = o ，z ( 2 ) ，0 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 由2 x = y + z 司得 2 x ( 1 ) = y ( i )2 x ( 2 ) = z ( 2 ) 设v k k ( x ) ，则 1 _ i l x l l 。= ( 1 + m ( h ( 伪 = 妻( 1 + m ( 缸( 1 ”+ m ( 缸( 2 ) ) ) = 2 + 2 m ( 缸( 1 ) ) + 2 m ( 缸( 2 ) ) ) 壶( 1 + 膨( 2 h ( 1 ) ) ) + 1 + 吖( 2 缸( 2 ) ) ) =土(1+m(硼)+去(1+m(kz(2k 2 ) ) )、 “ 2 后、 ”7 吾 l l 。强 对于v n ，选择z 嘶厶，满足 于是 由文【4 2 】： i i x o - z n , i i o 鲥( 孙钏+ 丢 l 。s n l 。+ d ( 蚝，彳吩) = m 。+ d ( ，厶) 一d ( x o , a n , ) + d ( x o , 彳啊) j | x 吩1 1 0 + i l z 吩 一x 。+ 击+ d ( x o ，a n ) d ( x ，彳) 垤1 0 及砖。) 是收敛序列，知：k 拄。是有界序列 因而存在侈仇建。的子列( 仍用原记号) 及儿碍，满足 由h 厶，知：y 。a ，显然又有 于是有 一x n h _ y o x o d ( x 。，a ) i l y o x o l l 。 = l i m d ( x o ，a l l 呼d ( ，以，) 1 ) 由上段证明知 u n 专u o 故 尸( u 。+ t ( x o u n ) ) 专只( 甜o + ，( x o u o ) ) 即u o 只 o + ，( 一“o ) ) ，故a 是太阳集 定理2 2 2 设m ( u ) 岛，且m 为n - 函数，p ( u ) 在 o ，万肼( 1 ) 】上连续，存 在集么是太阳集的充分必要条件是：对于任意的彩a ，u 砖、a ， k ( u u o ) 矽，有： 驰沪删醴鼍裟产加 其中“。只( z ，) ；七满足：瞄( j | ( 以( f ) 一( f ) ) ) 】_ 1 证明：充分性：往证：支撑泛函是 记 s 。一= p ( k ( u - u o ) ) s i g n ( u - u o ) i p ( k ( u - u o ) 8 y s f g n ( u - - l l o ) y = ( y ( 1 ) ，y ( 2 ) ，) ， 其中，们= 瓦c o 而( o ：缈= ( 卿彩( 2 ) ，。) m i n ( s o ；g ( s ) p 一( k ( u ( i ) - u o ( f ) ) ) c o ( i ) p + ( 七( 甜( f ) 一l d o ( z ) ) ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 则s u 嘞中的每个元素都是“一的支撑泛函，反之，设厂= y s i g n ( u - u 。) 是 甜一甜。的支撑泛函因为，m ( u ) 为n 一函数，故 ) 也为n - 函数。 从而存在满足 l = 。= 丢o o ( 1 + p u ( k o y ) ) 因此可设k l l u 一“。1 1 0 = 1 ，则 k o = k o f ( k ( u - u o ) ) = k o y ( i ) k ( u - u 。) ( f ) i = l m ( k ( u ( i ) - u 。( 啪) + ( j ，( 啪 f 耳lf = l o ；q ( s ) p 一( 七( 列( f ) 一”o ( f ) ) ) k o y ( i ) p + ( 七( “( f ) 一u o ( f ) ) ) 令缈( f ) = k o y ( i ) ，得到 州) = 等= 缈( f )c a ( i ) 1 + p ( k o y ) 1 + p ，( 国) 即s u 一表示甜一甜。的支撑泛函全体当p ( “) 连续时，s 。一只含有一个元素： p ( k ( u - u o ) ) s i g n ( u - u o ) p ( k ( u - u o ) 0 于是，对于任意的缈a ，有 i l u - u o l l 。= 和一o ( f ) ) 醴裟筹地 和m ，堂裟产 l u - - 国i | 0 因此，u 。是u 到a 的最佳逼近元 = 陋一缈j l o 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 根据腼砌唧，_ d v 判断准则【4 3 】知：a 为太阳集。 必要性：因m ( “) a 2 ，p ( 甜) 连续时，t o 是光滑的b a n a c h 空间，因此，a 是 凸集对于任意的缈a ，令 厅u ) = ( 1 一t ) u o + f 缈，f 【0 ，1 】 由4 的凸性，h ( t ) a ，令 i f ，( ，) = ) 一u l l 。= 一u ) + t ( r o 一“0 ) i i o 则 g t ( t ) ( 0 ) ，t ( 0 ，1 ) 故g ( t ) 为凸函数，应用g a t e a u x 口- t 微得： o 州m 随二尘竺二剑! 二蝗二鲨 = ( c o ( i ) - u o ( f ) ) p ( 尼( “( 沪( i ) ) ) s i g n ( u ( i ) - u o ( 劝 于是定理的必要性得证。 定理2 2 3设x 是自反的，且gcx 是几乎闭凸集，若对于 帆x g ，有p o ( x ) s ( 柳是聊点，日点为强u 一点，则g 为太阳 集。 证明：对于v x x g ，不失一般性，可设 x = 0 ，d s ( x ) = 1 ，j ，o = 尼( x ) 由g 几乎d 圾b ( o ，1 一l ) n g = ，知：存在工。x ，b ( x 。，2 ) ，使得 b ( x 。，2 ) 3b ( 0 ，1 一二) b ( x 。，2 ) n g = ( n = l ，2 ，) 由于 邓一 南蝴一 故 l l - ( 1 一褊x n 飞降吣墟， 哈尔滨理工大学理学硕上学位论文 而 故 “庐南，则 因此 l i - ( 1 一南一l i = ( 1 爿k i i i i x u 1 + 去( 尼= 1 ，2 ，人) 如( ；。) 比( 矗) 一卜引2 一i 1 l f 。0 = i | y 。9 = ，i f - y o0 2 1 甩 即。l i m 忏x 一一y 。8 = 2 - y 0 为形m 点，存在每。 的子列( 仍记为每。 ) , g t f s ( x ) ， 满足厂( 叫。) = 1 ，使得 f c x 。) j 1 又由x 自反，存在每。 的子列( 仍记为每。 ) 及；满足 ；。一q ； 由f ( x 。) 专1 ，知 ( ；) = 1 利用范数的弱下半连续性得 一2 由假设一蜘为强u - a ，；= - y o 利用一为强u 一点，知 再由吒o 一) 的连续性，得 d e ( x 一) 专2 = d e ( 一y o ) 故 y o = 圪( 一y o ) = 圪 o + 2 ( x y o ) ) 因此结论成立。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 2 3 本章小结 研究了o r l i c z 序列空间中的太阳集，给出了关于赋o r l i c z 范数在o r l i c z 序列空间中一个集合是太阳集的充分必要条件。赋l u x e m b u r g 范数的o r l i c z 序列空间中太阳集的一些性质的研究已经在十年前给出，文 2 2 1 。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第3 章o r l i c z 函数空间内太阳集的逼近性质 3 1 本章引言 为方便起见，我们定义符号： 砖= ( 匕，) ，k = ( k ，i i i ) ，砖= ( ，i i 1 i 。) ，匕= ( ，| 1 | i ) 一并给出如下定义和引理【3 8 】： 引理3 1 i ( 砖) = l ，瓦= l o 对任意f ( 砖) ，( 或 f ( ) ) ，存在唯一v “，使得 f ( u ) = ( ，“) = l u ( t ) v ( o a t 0 ) 定义3 1 1 矽，称矽f ，如果伊( ) = 0 ) 引理3 1 2 对任意的厂乓有唯一一个分解： 厂= 1 ，+ 缈 ，伊f ) 对夥，我们定义： i i ：1 1 。= 1 ：1 1 。= s u p 扩( 材) ：n