（基础数学专业论文）非连续增算子的不动点定理及其应用.pdf

d ： + ， 0 ：。 a t h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s f i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rd i s c o n t i n u o u s i n c r e a s i n go p e r a t o r sa n d a p p l i c a t i o n s b yl ib i n g b i n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs u nt a o n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y m a y 2 0 0 8 i 一 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表 示谢意 学位论文作者签名： 癌对肆 日期： 抄g 、1 7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 差竺篓銮作者签名：李7 七琳 答字醐：妒少7 ：7 y | 一| 黼唿 一1 。一1 1 一 一 东北大学硕士学位论文 摘要 非连续增算子的不动点定理及其应用 摘要 本文给出了b a n a c h 空间的一个增算子不动点定理，并将这一定理应用到b a n a c h 空 间含间断项的二阶非线性脉冲积微分方程，得到了一类积微分方程的最大解与最小解 的存在性定理 本硕士论文共分为五章 第一章主要介绍了增算子及脉冲积微分方程理论的发展背景和最新动向，分析了 国内一些专家学者在增算子不动点问题的研究中所取得的相关成果 第二章在较弱的伪可分条件下证明了b a n a c h 空间上的非连续增算子的不动点定理 特别地，获得了最大不动点与最小不动点的存在性，改进了已有的某些结果 第三、四章的内容是作为对不动点定理的应用，给出了适用于一类积一微分方程的最 大解和最小解的存在性定理，并讨论了b a n a c h 空间含间断项的二阶非线性脉冲积一微分 方程的初值问题和周期边值问题通过建立比较定理，从讨论含间断项的二阶线性脉冲 积微分方程解的存在唯一性入手，应用不动点定理与上、下解方法证明了含间断项的二 阶非线性脉冲积微分方程的最大解与最小解的存在性，推广了某些文献中的相应结果 最后，在第五章部分总结了本文所做的工作，并对未来工作的研究方向作了展望 关键词：增算子；不动点；上下解方法；初值问题；周期边值问题 i i i 查! ! 垄堂塑主堂堡垒查 笪业 f i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rd i s c o n t i n u o u si n c r e a s i n g o p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n s a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，an e wf i x e dp o i n tt h e o r e mf o rd i s c o n t i n u o u si n c r e a s i n go p e r a t o r si nb a n a c - hs p a c e si so b t a i n e d a p p l y i n gi tt ot h es e c o n do r d e rd i s c o n t i n u o u sn o n l i n e a ri m p u l s i v e m g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s ，t h er e s u l ta b o u t t h ee x i s t e n c eo fi t sm 删 粕dm i n i m a ls o l u t i o n sf o rac l a s so fi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sg i v e n t h i sp a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e 。t h ed e v e l o p m e n t so fi n c r e a s i n go p e r a t o r s a n di m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a lt h e o n ra n dt h el a t e s tr e s u l t sa r ei n t r o d u c e d ，t h e ns o m er e s u l t so fm a x i m a la n dm i n i m a l f i x e dp o i n t sp r o b l e m sa r es t u d i e d w h i c ha r eg i v e nb ys o m ee x p e r t si nt h ei 瑚1 e rc o 哪 i nc h a p t e rt w o ，t h em a x i m a la n dm i n i m a lf i x e dp o i n t st h e o r e m sf o ra c l a s so fd i s e o n t i n u - o u si n c r e a s i n go p e r a t o r si nb a n a c hs p a c e sa r ep r o v e du n d e rw e a k e rp s e u d o 。s e p a r a b l ec o n d i t i - o i l s ，a n ds o m ew e l l - k n o w n r e s u l t sa r ei m p r o v e d i i lc h a p t e rt h r e ea n df o u r , a sa p p l i c a t i o n s ，t h er e s u l ta b o u tt h ee x i s t e n c eo fi t sm a x i m a l a i l dm i i l i m a ls o l u t i o n sf o rac l a s so fi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sg i v e n , t h ei n i t i a l v a l u e p r o b l e m sa n dp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n do r d e rd i s c o n t i n u o u s n o i l l i n e 盯 i n l p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nb a n a c hs p a c e sa r ei n v e s t i g a t e d b ye s t a b l i s h i n g c o m p a r i s o nt h e o r e m s ，i n v e s t i g a t i n gt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s o l u t i o n so ft h es e c o n d o r d e rd i s c o m i n u o u sl i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e s ，u s i n ga f i x e dp o i n tt l l e o r e ma n du p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o d ，t h ee x i s t e n c eo fm a x i m a l a n dm i n i m a ls o l u t i o i l so ft h es e c o n do r d e rd i s c o n t i n u o u sn o n l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r o 。d i f f e r e n t i a l i l l a b s t r a c t 东北大学硕士学位论文 e q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e si sp r o v e d t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si ns o m ew e l l - k n o w np a p e r s a r eg e n e r a l i z e da n di m p r o v e d f i n a l l y ，i nc h a p t e rf i v e ，t h ew o r ko ft h ep a p e ri sa g g r e g a t e da n dt h ef u t u r ew o r ko ft h er e s e a r c hi sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：i n c r e a s i n go p e r a t o r s ；m a x i m a la n dm i n i m a lf i x e dp o i n t s ；u p p e ra n dl o w e rs o l u t e - o i l sm e t h o d ；i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ；p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i v 查i ! 垄芏塑主堂堡垒查 旦查 - _ _ - - _ _ - _ 二- _ - _ i _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ - - 。o 。1 。o 。o 。1 。一一一 目录 独创性声明一i 摘要。i i a bs t r a c t 。i ii 第1 章引言1 第2 章非连续增算子的不动点定理3 2 1 预备知识3 2 2 增算子不动点定理3 第3 章脉冲积一微分方程的初值问题7 3 1 预备知识7 3 2 比较定理8 3 3 初值问题1 2 第4 章脉冲积一微分方程的周期边值问题1 9 4 1 预备知识。1 9 4 2 比较定理一2 0 4 3 周期边值问题2 4 第5 章总结3 7 参考文献- 3 9 致谢二4 1 v 东北大学硕士学位论丈第1 章引言 第1 章引言 增算子的不动点定理在数学的许多领域，特别是在非线性微分方程和积分方程中有 着广泛的应用【l _ 3 】但是，对于近几年迅速发展起来的微分方程的新分支一脉冲积微分 方程理论能直接加以应用的增算子不动点定理并不多，而非连续增算子的不动点定理 在数学的许多领域，特别是在含间断项的非线性脉冲积分和微分方程中有着极为广泛的 应用4 q 在已有文献中，对含间断项脉冲积微分方程的研究并不多，因而能用来直接 讨论此类方程的增算子不动点定理自然也不多 在许多渐变过程中，由于某种原因，在极短的时间内会遭受突然的改变和干扰，从 而改变原来的运动轨迹，这种现象称为脉冲现象( 由于变化时间段往往可以忽略不计， 其突变或跳跃过程可看作在某时刻瞬时完成，该时刻称为脉冲时刻) 这种脉冲现象在 自然界中广泛存在，例如：药剂学中的定时的给药的过程；电路系统中开关的闭合；种 群生态系统中的定时捕捞或补给；通信中的调频系统；机械运动过程中或其他振动过程 突然遭受的外加强迫力( 如打击或碰撞) ；经济学中的一些最优控制模型等等都可能导致 脉冲现象的发生 含间断项的非线性脉冲积微分方程是近年来发展起来的非线性脉冲积微分方程的 一个重要分支，主要来源于生物学、医学、现代物理学和经济学的一些数学模型由于 它的条件比非线性脉冲积微分方程的条件减弱了，不对算子及脉冲项有连续性要求， 所呈现的结构有其深刻的物理背景，其数学模型与自然界中的许多现象基本吻合，如通 信中的调频系统，因此研究含间断项的非线性脉冲积微分方程具有重要意义 近年来，关于b a n a c h 空间上非线性脉冲积微分方程的研究已有许多结果【7 。1 例 如：一阶、二阶或刀阶非线性脉冲积微分方程的初值问题和边值问题的解的存在性、整 体解、极解等等国内外学者做了大量的工作，取得了很大的发展郭大钧，孙经先等利 用连续算子或弱连续算子的不动点理论的获得了这类脉冲积微分方程解的存在性定理 n 5 1 关于b a n a c h 空间2 ：- - 阶脉冲积微分方程初值问题和边值问题的研究，为保证解 第1 章引言东北大学硕士学位论文 的存在性，所加条件较为严格，即通常需要紧型条件或耗散型条件众所周知，紧型条 件在b a n a c h 空间中一般是不容易验证的因此，考虑能否在对脉冲项不加紧型条件，在 比较弱的条件下研究其解的存在性，即对含间断项的非线性脉冲积微分方程的研究 文献 2 和 5 中研究了一阶方程，本文对其进行推广，讨论了二阶方程 人们在研究这类不动点定理时，通常对算子使用两类基本条件：连续性条件和紧 性条件设e 是b a i l a c h 空间，p 是e 中的锥，d = u o ，v o 】是e 中的序区间，a ：d 专e 是 增算子，满足u o a u o ，a v o 吒，关于增算子的不动点的三个代表性的结论是： 定理1 【4 】若彳连续，彳( d ) 在e 中相对紧，则彳在d 中必有不动点 定理2 4 1 若彳连续，p 是正则锥，则a 在d 中必有不动点 定理31 4 1 若尸是强极小锥，则彳在d 中必有不动点 在上述三个定理中，定理2 和定理3 对锥的要求较强，定理1 对算子加了较强的连 续性条件和紧性条件但是应用问题中出现的大量问题是不满足连续性条件和紧性条件 的，对锥的要求也不能太强因此研究去掉或减弱连续性条件和紧性条件的非线性问题 是一个具有很大理论意义和应用背景的重要问题 孙经先在 4 中对算子没有做连续性方面的假设，用拟可分的拟紧削弱了紧性条件 刘笑颖，吴从圻在 3 】中建立了满足一定的弱紧性条件的非连续增算子的不动点定理，去 掉了算子连续或加强锥性质的限制 本文正是在这一方面进行了一系列的讨论，对锥、连续性和紧性条件方面作了相应 的减弱，得到了新的增算子的不动点定理以含间断项的非线性脉冲积微分方程为背 景，用非常弱的伪可分条件替代了【3 】中的弱紧性条件，并且在无限区间上给出了一个新 的非连续增算子的不动点定理然后以此为工具，研究- j b a n a c h 空间中含间断项的脉冲 积- 微分方程初值问题和周期边值问题的最大解和最小解的存在性，并在应用定理时仅 用锥正规减弱了【2 】中的锥正则条件 2 。 东北大学硕士学位论文 第2 章非连续增算子的不动点定理 第2 章非连续增算子的不动点定理 2 1 预备知识 本章讨论了非连续增算子的不动点定理，特别地，获得了最大不动点与最小不动点 的存在性 引理2 1 网设( y ，尸) 为半序b a n a c h 空间，z 是r 的非空子集，y r ，若觇z ，有 z y ( 或y z ) ，贝u v z c o ( z ) ，有z y ( 相应地，y z ) 定义2 1 f 1 2 1 设x 是半序集，如果对彳中任何全序子集，都存在可数集 吒 cn ， 使得只要x ，x c s u p n ，就存在氐 _ ，满足x ，则称j 是伪可分的 定义2 2 【1 3 】 设算子彳：d e ，其中d 是e 的某子集，如果五，而d ，而而，能 推出如 a x 2 ，则称4 是d 上的增算子 2 2 增算子不动点定理 定理2 1 设z 是半序集，d 为x 的非空子集，( r ，p ) 是半序b a n a c h 空间，存在增算 子垦：d 寸r 与增算子q ：鬈- - + d ，使得彳= e 忍，若 f = l ( i ) 3 u o d ，使u o a u o ； ( i i ) e ( d ) 的任一全序子集都是有界的且是伪可分的， 则彳在d 中至少有一个不动点 证明易知彳：d d 是增算子令m - - x ed ix a x ，由( i ) 知m ，故m 彩 设是m 的任一全序子集，下证在m 中必有上界 由于e 是增算子，故忍( m ) 是忍( d ) 中的一个全序子集，由( i i ) 知尽( m ) 是伪可分 的，即对忍( m ) 的任一全序子集e ( 矿) ，都存在可数集 ce ( 矿) ，对任意 w e ( ) ，w s u p j 9 i ( 形) ，存在k ，使得w 令焉= 川，= m 觚 嵋中) 3 第2 章非连续增算子的不动点定理东北大学硕士学位论文 ( 刀= 2 ，3 ，) 知 ) c 忍( ) ，且 s n ) 为e ( 形) 中单调递增序列由e ( m ) 有界，故 e ( 形) 也有界存在i 垦( m ) n 历( 骂( ) ) ，令；= m a x i ) ，f = 1 ，2 ，所，使 s ，r l = 1 ，2 令；：me ；任意x ，有尽x e ( ) ，由( 1 ) 知，骂x ；由于c j 是增算子，且 ，= l z 血，故x 血：羔e e x 芝e ；：一x 即；是的一个上界 t = li = l 再证；m 因任意x m ，x 一x ，由于e 是增算子，故e x e ；而；历( j 9 i ( ) ) ， 由引理2 1 知；忍；于是；：兰c ；羔c ：f 忍；：4 ；，故；m 这表明m 的任一全序 i = if = l 子集都在m 中有上界，从而根据z o r n 引理【1 4 1 知m 必有极大元，记为， 最后证明x = a x ，否则x a x 。由彳是增算子，有血+ 4 ( 血+ ) 易知a x d ， 故a x m 这与x 是m 的极大元矛盾，从而定理得证 若将定理2 1 中的集d 加强为序区间，则可以获得更强的结果 定理2 2 设x 是半序集，d = u 0 ，】_ x xn o x v o ) 是彳中的序区间，( i ，尸) 为半序b a n a c h 空间如果存在增算子局：d 专r 与增算子e ： e ，e 卜争x ，( i = l ，2 ， ，聊) ，使得4 = c f e ：d j x ，若 t = l ( i ) u o a u o ，a v o v o ； ( i i ) 忍( d ) 的任一全序子集都是有界的且伪可分的， 则彳在d 中必有最大不动点和最小不动点 证明 易知a 是增算子，由( i ) 知比d ：f l u o a u o a x a v o ，故彳：d _ d 定理2 1 的条件全部满足，于是根据定理2 1 知彳在d 中必有不动点令不动点的集合 ，( 彳) = x d ia x = x ，则，( 4 ) a 又令 d - - u ，v l u ，v c d ，u a u ，a v v ，j ( 彳) c 州】 4 一 东北大学硕士学位论文 第2 章非连续增算子的不动点定理 因为d d ，故d 彩在d 中取集合的包含关系”c ”作为半序，则d 是一个半序集 下证d 中必有极小元 设矿= q = 【，v 口】i 口人) ，m - - u 口i 口人 ，m = 亿i 口人) 则m ，m 是d 的 全序子集在定理2 1 的证明中取：m ，则令歹：一sh y 历( e ( m ) ) ，使得云：羔c f 歹 有定义，且石d 及 u a - ，v 口人， ( 2 2 ) “a u ( 2 3 ) 4 m = z d i x - - - , 缸 ，又令= v ，则存在 乏垦( m ) n e ( ，) ， 令三：m m 刁) ，f f z _ 毛，聆：1 ，2 ，三历( 笆( ，) ) ，使得；= 羔c j ；有定义，且 ；d 及 ；屹，v ae a ， ( 2 4 ) a v ， ( 2 5 ) x f fv xe ，( 么) ，v u 口虬，虬，有x 屹，由垦是增算子得e “。置x e 屹由 于歹历( b ( 虬) ) ，：石( e ( ，) ) ，t h e j l 理2 1 知歹e x 三，则c f 歹c j e x g 即 云血；， ( 2 6 ) 于是否；，令q = i n ，； ，由( 2 2 ) ，( 2 4 ) 两式可以看出任意口人有q c q ，即q 是 的一个下界由( 2 6 ) 知，( 彳) cq ，再利用( 2 3 ) ，( 2 5 ) 知q d 于是根据z d m 引理1 4 1 知d 中必有极小元，记作9 = 【阮，u 】 5 第2 章非连续增算子的不动点定理 东北大学硕士学位论文 最后证明，v 分别是a 在d 中的最小不动点与最大不动点 若彳u k ，又因为q d ，就有 u a u 。， ( 2 7 ) 彳v 吒， ( 2 8 ) 又因为，0 ) cq ，n n + q o = k 。，a v 。】有意义，且q 0cq ，绕q 由于协，0 ) ， ”x v 。，于是a u 。a x = x a v 。再由( 2 7 ) 知t j r 0 ) cq o ，由( 2 8 ) 有a ( 4 v ) 4 v 结合( 2 7 ) 知q oe d 此与姨的极小性矛盾，故必有4 v 。= 1 ，。n n 可证a u 。= “。，再由 ，0 ) cq ，则结论成立 注本章将【3 】中的增算子由形式变为更一般的形式c 忍，对算子马用非常弱的伪 可分条件替代了【3 】中的相对弱紧性条件定理2 1 运用了与 3 】中定理1 不同的方法加以 证明定理2 2 的证明方法类似于 3 1 0 0 定理2 的证明方法 6 东北大学硕士学位论文 第3 章脉冲积一微分方程的初值问题 第3 章脉冲积微分方程的初值问题 3 1 预备知识 本章讨论b a n a c h 空间e 中含间断项的二阶非线性脉冲积微分方程初值问题( ，阳) ( 3 1 ) 的最大解与最小解的存在性 x ”( ，) = 厂( ( f ) ，( 戤) ( r ) ，( ) ( r ) ) ，f 气， a x i , 吨。叫气) i，、 ( 3 1 ) 缸i ，吨= ，。( x ( 气) ) 一 巩( x ( 气) ) ，k = l ，2 ，聊， x ( t o ) = x o ，x ( 岛) = 而一m x o ， x o ，五e ，tej = 【f 0 ，t o + 口】，o t o f l 乙 e 强可测【1 6 1 ，工l l x ( f ) f la t 佃 l ( j ，e ) 在范数恻i 。= 圳工( ，) 0 衍下为半序b a l l a c h 空间m 1 若xe p c i ( ，e ) ，由中值定理得x 瓴) 一x ( 气一办) 办7 0 x ( f ) ：气- h 厶，z k 0 ，k = l ，2 ，z 满足下列不等式之一： m , n g o r 2 兀 ( 1 - 丘) + ，i ( 1 叫。) “f 兀m ( 1 一厶) + ，i ( 1 叫。) + 1 - 1 ， 脚 m、 k = l ln = lk = nj 鸩g o + 厶1 8 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ，- * 训 恤只 m 卜扭 卜x k 训心吲m 劬嘲心 卜乒舻声 东北大学硕士学位论文 第3 章脉冲积一微分方程的初值问题 这里g 。= m a x k ( t ，s ) ：( f ，s ) ed ，r - - - r n a x t , + l - t , ：o f 历) ，i = r a i n t , + i 一：o f 朋) ， 4 = 1 ( e 腑一1 ) 艺三三： 如= 兰三砌r 口一1 ) p 坳一2 i 1 ( 肋幻) 2 + 1 1 ：三三 贝l j q ( t 1 9 ，v t e j - 证明v oe p ，记z ( f ) = ( g ( f ) ) ，则z 尸c 1 ( ，r 1 ) ha 1 ( ，r 1 ) ，1 = 1 = 1 ( 3 4 ) 式得 z ”( f ) 一m 2 z ( t ) - 2 m z ( f ) 一( 死) ( f ) ，口e t e j ，t # t k ， 芝甚 - 厶l + 删“ k - 1 ，2 ，m ， ( 3 7 ) 位t l f = f 。z ( 气) + 心z ( ) ， = 1 ，2 ， 、7 z o o ) - o ， z ( 气) o 令口( f ) = z ( f ) g 腩，贝j ja p c i ( ，r 1 ) n a l ( ，r 1 ) ，由( 3 7 ) 式知口( 岛) o ，口( 岛) = z ( ) e m t o + m z ( t o ) e m 。o ，及 口”( ，) 一n f ：o k ( t , s ) p m f - s 口( j ) 凼，口p t e ，r 气， ( 3 8 ) a al ，；k 一厶口( 气) ， a a i ，；k 一。女口( ) ，k = l ，2 ，聊 下证如果( 3 5 ) 和( 3 6 ) 之一满足，则有 口( f ) o ，v t ， ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 情形1 设( 3 5 ) 成立，反之( 3 1 1 ) 不真即9 t ，使得口( f + ) ( 1 - l i + 。) + ( + ：- t , + 。) ( 1 一三，+ 。) 口( t + 。) - l o z r 2 ， 、31 3 7 i ) 口( + 。) - r ( 1 - l , ) + ( t j + 。一f ) ( 1 - l ，) 五一乇名，2 ， 若口( 矿) = 名，贝, l j t = ；或口( ；) = 五，舭= ； 整理( 3 1 3 ) 式n 口( r ) 兄m ( 1 一厶) + ，i ( 1 一三i ) _ 杰血 ( 1 - 厶) + ，；( 1 叫。) + 1 厶加z ( 3 1 4 ) k = i i n = i + lk = nj 注意到口( f ) 0 ，故由( 3 6 ) 式知 查北大学硕士学堡垒圭箜! 主壁鲨塑二垡坌查堡箜塑竺望望 _ - _ _ _ - _ - i _ _ l _ _ _ _ l _ _ _ _ - - _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ i _ - _ - _ - i - _ - _ l _ _ - - - i _ - - _ _ - _ - _ i _ _ - - _ 一一一 乇，2 m ( 1 一丘) + 吒( 1 叫。) m ( 1 一厶) + ( 1 叫t ) + 1 k = ll n = f + lk = n j 酗训州。) 偿如训州肿) _ i ， 这与( 3 5 ) 式矛盾当扛，时，则有；i t , ，f 。 ，类似于( 3 1 4 ) 式可证 口( f ) 一五五+ ( 1 一三t ) 旯一乇加2 ， 从而有乇，- 1 ，显然与( 3 5 ) 式矛盾，故( 3 1 1 ) 式成立 情形2i l j ( 3 6 ) 式满足而( 3 1 1 ) 式不真用与情形1 相同的方法可证了r + o - po ( o 聊) 与f ( o f ，) ，使得 a ( t 。) 0 ( 3 1 5 ) 旯= 0 时与情形l 相同 五= 口( f ) 或力= 口( ；) ，；( ，f j + 。】时由( 3 1 3 ) 式可知 口( r ) 一五 一三女 - l t 其中f 的意义与( 3 1 3 ) 式中相同根据( 3 1 6 ) ，( 3 8 ) ，( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 式知 口( r ) 一z 一g o 知w s ) p m 一善丘元 一g 。r a t 工：( t o + a - j ) e u o - , ) 2 击一见善厶 卅m ：+ 纠， l 1 此与( 3 6 ) 式矛盾，故( 3 1 1 ) 式成立从而 k = l 4 0 - 0 ，v f - 厂又因为尸是任意的，所以g ( f ) 口，v f - 厂，证毕 气 矗 i 口 ，_i + ， 出 凼 、-，、l， s s ，i， 口 口 、l-，、li， s s 一 一 ，_，j_ 1f + + 力 见 r 1 r 1 、弩，f厶脯，_ii_-，(1i_i_-、 第3 章脉冲积一微分方程的初值问题 东北大学硕士学位论文 3 3 初值问题 本节讨论含间断项的二阶非线性脉冲积微分方程初值问题的最大解与最小解的存 在性首先讨论二阶线性脉冲积微分方程初值问题的解的存在性 设盯l ( j ，e ) ，”p c l ( j ，e ) ， z ”( f ) = 盯( f ) 一m 2 x ( t ) - 2 m x ( t ) - n ( r x ) ( o ，t , t k ， 缸b = ( 甜( 气) ) 一厶 x ( 气) 一甜( 厶) ， a x i ，；= ，。( 材( 如) ) 一三。 x ( ) 一甜( 气) ( 3 1 7 ) 一m b ( 甜( ) ) 一厶( x ( 气) 一材( 厶) ) ，j | = i ，研， 4 f o ) = x o ，x “) = 五一坻， x ( f ) = e m ( t * - t ) + ( f - t o ) e m ( t o - t ) 五+ 【( 妙吖 盯( s ) 一( 戤) ( j ) 凼 + p 讹叫 厶( 甜( & ) ) 一厶 x ( 气) 一“( ) ( 3 1 8 ) l o l k f + ( f 一气) ，。( “( 气) ) 一三七( x ( t ) 一“( 如) ) ， 这里m ，n ，厶，z t k ( k = 1 ，2 ，朋) 是常数 下面给出下列引理 引理3 2 如果x p c i ( j ，e ) 是( 3 1 8 ) 1 懈，n x e p c i ( ，e ) n a l ( ，e ) 是( 3 1 7 ) 的 证明令x p c i ( ，e ) 是线性脉冲积分方程( 3 1 7 ) 的解，则 缸i ，吨= x ( 譬) 一z ( 气) = p 州龟训x o + ( t , - t o ) e m ( t o - t k ) 五+ j ：化一s 户州吼 盯( s ) 一( 戤) ( s ) 幽 + z e m ( t k - t k ) 厶( “( 如) ) 一厶 z ( 气) 一材( 厶) + 纯一气) ，。( “( 气) ) 一三i ( z ( t ) 一甜( 气) ) l o q i t p 川叫而一化一t o ) e 以t o - ) x l c ( 气一s 户川” 仃( s ) 一( a ) ( s ) 凼 一p 地叶 厶( “( 如) ) 一厶 x ( ) 一“( ) + ( 气一) ，i ( “( 气) ) 叫。( x ( 气) 一“( 气) ) = 厶( 甜( 气) ) 一厶 x ( 丘) 一“( ) ， 对( 3 1 8 ) 式两端求导得 川= ( e m ( 岛- 1 ) 而+ ( ) p 蜘五+ ( 妙叫 仃( s ) 一( a ) ( s ) 凼 + p 地- ， ( “( ) ) 一厶 x ( ) 一材( 气) + ( 卜t k ) i 。( 材( 气) ) 岛 气q l k ( 工( 气) 一“( ) ) ) ) = 一m e 咐k + e m ( t o - t ) _ 一m ( f _ t o ) e m ( 岛- t ) _ + ( p 川州一m ( ) p 川h ) 盯( s ) 一( 戤) ( s ) 凼 一m p 讹f 厶( 甜t 。) ) 一t x ( ) 一甜( 气) + ( f 一) ，t ( “( 气) ) b ( k ( f i v k ( x ( ) 一”( 气) ) ) + p m “- f ，。( 甜( 气) ) 一。( x ( ) 一扰( 气) ) 岛( 气 f = 一m e m ( 白- t ) + ( r t o ) e m ( t 。- ) 一+ 【( 妙叫 仃( s ) 一( a ) ( s ) 出 +p 盹- f 厶( “( 厶) ) 一厶lt k ) - - 甜( ) + ( 卜厶) ，。( “( 气) ) t o k f l k ( x ( ) 一甜( ) ) ) + e m ( b - t ) _ + 【p 咐 仃( s ) 一( 戤) ( j ) 豳 + p 肼“叫 ，。( 甜( ) ) 一三。( z ( 气) 一甜( 气) ) t o t k f = 一m x ( t ) + e u ( 岛- o x l + 。i b t o te u ( * - t ) 盯( s ) 一( 戤) ( j ) 丞 +p m “f ，。( “( ) ) 一三。( x ( ) 一甜( ) ) ， t o t i f 缸h = x ( 砖) 一x ( 气) = 一尬( 砖) + e m “吨葺+ c p m p “ 仃( s ) 一( 戤) ( s ) 幽 + t o t k l ： p 肘“一k ，。( “( ) ) 一t 七( x ( ) 一“( 气) ) + 尬( ) _ e m ( t o - 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