（基础数学专业论文）自守l函数的广义素数定理.pdf

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- 1 ) 4 ：_ ，萋m m 薹 n 1a si ng o d e m e n ta n dj a c q u e t 【1 1 】： w h e r e h e r eq 霄( p ，j ) a r e c o r r e s p o n d e n c e 三( ) = l ( s ，) = p n = l a 。( n ) 旷 邵州= 垂( 1 一半= l ) c o m p l e xn u m b e r sa s s o c i a t e dw i t h7 r pa c c o r d i n gt ot h el a n g l a n d s t ol i n kl ( s ，7 r ) w i t h 跄s 1 w eh a v e p r i m e s ，w et a k el o g a r i t h m i cd i f f e r e n t i a t i o no fi t ，t h e nf o r 刿：一虽垒盟型型 l ( 哪) 一刍 1 ) c 山东大学博士学位论文 w h e r ea ( n ) i st h ey o nm a n g o l d tf u n c t i o n ，a n d 口霄) = f & 丌仞，萨 1 9 m t h ep r i m en u m b e rt h e o r e mf o rl ( s ，7 r ) w a sc o n s i d e r e db yq u 【3 8 】u n d e rg e n e r a l i z e d r i e m a n nh y p o t h e s i s ，a n ds h eo b t a i n e dt h a t f a ( n ) a 霄( 佗) x 1 2 ( 1 0 9l o gx ) 2 n s z e x c e p to nas e to fx o ff i n i t el o g a r i t h m i cm e a s u r e i f7 r 7i sa l la u t o m o r p h i ci r r e d u c i b l ec u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o no fg l m ，( q a ) ，w ed e f i n e l ( s ，7 r ) ，a 丌，( p ，t ) ，a n da t , ) l i k e w i s e ，f o ri = 1 ，m t i f 丌a n d 7 r a r ee q u i v a l e n t ，t h e n m = 仇，a n d q 。0 ，j ) ) = 【q 霄，1 ) f o ra n yp h e n c e0 霄) = a s , ) f o ra n y 礼2p 七， w h e n7 r 垡7 1 7 f ) r7 ra n d a sa b o v e o n ec a no b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gr a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n sl ( s ，7 r 亓) w h i c ha r ed e v e l o p e db yj a c q u e t ，p i a t e t s k i s h a p i r o ，a n ds h a l i k a 【2 0 ，s h a h i d i 【4 3 t h i sl - f u n c t i o ni sg i v e nb yl o c a lf a c t o r s ： w h e r e l ( 8 ，霄亓7 ) = l v ( s ，丌p 铭) = mm ， j = l 七= l s i m i l a r l y , w eh a v e ( s ，7 r 亓7 ) l ( s 7 r l p ( s ，唧) ( t 一掣) o o n = l a ( n ) o 。( 礼) 西一( 礼) _ _ _ _ _ _ - 一 m s l i ua n dy e 3 1 】c o n s i d e r e dt h ep r i m en u m b e rt h e o r e mo fr a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n sw h i c hc o n c e i t i st h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ef u n c t i o n t h em a i nt h e o r e ma s s e r t e dt h a t x a ( n ) a 霄( 礼) a ，r 如) = n z a ( n ) a 霄( 竹) a 霄和) n 1 ) ， w h e r eki sap o s i t i v ei n t e g e r ，a n d 陆亓( n ) i sac o m p l e xn u m b e ra t t a c h e dt o7 ra n d 亓 t h e o r e m1 1 l e t7 rb ea na u t o m o r p h i ci r r e d u c i b l ec u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o no g l m ( q ) a ) a s s u m et h a t7 ri ss e l f - c o n t r a g r e d i e n t ：7 r 竺亓t h e n t l zp 。亓( n ) = ( 七l 。g k - i z + a l , k 1 。g k - 2 x + + a k - l , k ) z + o xe x p ( 一c 厄) ) ， w h e r et h ec o m p l e xc o n s t a n t s ，七o = 1 ，k 一1 ) a r ea t t a c h e dt o7 ra n d 亓 l e teb eag a l o i se x t e n s i o no fqo fd e g r e ez l e te a = n t ，鼠b ei t sa d e l er i n g ， w h e r eur u n so v e ra l lp l a c e so fe ，a n d 兀d e n o t e sar e s t r i c t e dp r o d u c t f o ra n yp r i m e p ，w eh a v ee o q q p = o 叫p 鼠，w h e r euw i t hu 旧a r ep l a c e so fe l y i n ga b o v ep s i n c ee i s g a l o i so v e rq ，a 1 1 日w i t h 训pa r ei s o m o r p h i c d e n o t eb yl pt h ed e g r e e ，b ye p = o r d 。 ) t h eo r d e ro fr a m i f i c a t i o n ，a n db y 厶t h em o d u l a rd e g r e eo f 鼠o v e rqf o rv l p t h e n l p = e p 厶a n d 舶= 妒i st h em o d u l eo f 日o nt h eo t h e rh a n d ，e o q ri se i t h e ro 叫r o ro 。i c l e tpa n d b ea u t o m o r p h i ci r r e d u c i b l ec u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o n so fg l m ( 玩) a n dg l m ，( e a ) w i t hu n i t a r yc e n t r a lc h a r a c t e r ，r e s p e c t i v e l y d e n o t el ( 8 ，p ) t h e c o r r e s p o n d i n gr a n k i n - s e l b e r gl - f u n c t i o n s c o n s i d e r l ( s ，口) - - - - - - - - - - - - - - - 一：= ：一 l ( 8 ，p ) o 。 n = l a ( n ) a p x ( 几) n s r e c e n t l y , g i l l e s p i ea n dj i 9 】s t u d i e dt h es u m 。女人( n ) x e ( n ) a n da s s e r t e dt h a t t l 1 ) ， w h e r eki sap o s i t i v ei n t e g e r ，a n d 办6 ( 扎) i sa c o m p l e xn u m b e ra t t a c h e dt opa n d 互 t h e o r e m2 1 l e tpb ea na u t o m o r p h i ci r r e d u c i b l e c u s p i d a lr e p r e s e n t a t i o no l g l 仇( e a ) a s s u m et h a tpi ss e l f - c o n t r a g r e d i e n t ：p 竺巨t h e n n z觚蚕( 佗) = ( 批g k - 1 x + c ，山g k - 2x + + 仇- l 七) z + o xe x p ( 一cl v s 鬲z ) ， w h e r et h ec o m p l e xc o n s t a n t s 勺，奄02 i n2 0 0 9 ，l i i 【2 9 】s t u d i e dt h es u m k ( n ) n 1 时，我们有 l 7 ( s ，7 r ) = 人( 扎) n 。( n ) l ( s ，7 r ) 鲁 其中a ( n ) 是v o l tm a n g o l d t 函数，并且 o 七) = q 霄，歹) 七 1 1 时，有 墨! ! 兰! ! 兰塑：一手垒盟竺! 盟型生 l ( s ，7 r 亓7 ) 三 佗8 。 r a n k i n - s e l b e r gl 函数l ( s ，丌x t r ) 的素数定理就是要给出函数 a ( 佗) ( n ) 面。和) n z 的渐进估计刘和叶在论文 3 1 】中得到：如果7 r 和7 r 7 至少有一个是自共轭的，则有 2 p 咖如爝如，= 豢黧 七 厅丌p + s r r 一脚 m n 芦 l i ， _ 丌 丌s l 山东大学博士学位论文 在本章中，我们将考察r a n k i n - s e l b e r gl 函数l ( s ，7 rx 亓) 的广义素数定理考虑 锩等斗旷薹掣c 晒u ， 其中k 是一个正整数，且办膏( n ) 是一个和7 r ，亓有关的复数应用r a n k i n - s e l b e r g 厶函数的解析延拓、e u l e r 乘积、函数方程及非零区域等性质( 见1 2 ) 和轨道积分，我 们可以得到如下结果： 定理1 1 设丌是g l 。( q a ) 上一个自守的不可约的尖的酉表示如果7 r 垒亓，则有 陬膏( n ) = ( 批g k - 1 x + 。蛐l 。g k - 2 x + + a k - l , k ) z n 1 时是绝对收敛的( 见j a c q u e t ， s h a l i k a 【2 1 】) r s 2 完全l 函数圣( s ，7 r 开) 可以解析延拓到整个复平面，并且满足函数方程 西( s ，7 r 亓) i - - - ( s ，7 r 亓7 ) 西( 1 一s ，亓丌) 这里 e ( s ，丌亓7 ) = r ( 丌7 r - ! ，v 7 r - - $ 膏， 其中gx 亓， 0 且7 - ( 7 rx 亓) = 士饼1 删2 ( 见s h a h i d i 【4 3 】，【4 4 ，【4 5 】或【4 6 】) r s 3 令q ( 9 ) = id e t ( g ) 1 如果对任意的r r ，7 r 7 喾7 r id e th 则圣( s ，7 rx 亓) 是解析的如果m = m i 且存在t o r ，7 r 竺l r od e tp ，则垂( s ，7 r 亓7 ) 有极点s = i r o 和8 = 1 + 讥，并且都来自l ( s ，7 r 亓，) ( 见j a c q u e t ，s h a l i k a 【2 1 】或【2 2 ) 3 山东大学博士学位论文 r s 4 圣( s ，丌x 亓，) 是阶为1 的亚纯函数，并且在带形区域内是有界的( 见g e l b a r t ， s h a h i d i 1 2 】) r s 5 当驼s 1 时，圣( s ，7 r 亓) 和l ( 8 ，7 r 亓) 都不为o ( 见s h a h i d i 【4 3 d 另外， 如果丌和7 r ，至少有l 个是自共轭的，则有非零区域 跄s 1 一莨画趸五：i c i l 3 玎硒，1 ， 并且在区域 跪s 1 一元吾瓦丢c 丽3 ，1 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 内最多有一个例外零点这里常数c 3 和c 4 是可以计算的正数( 见s a r n a k 【4 2 】或 g e l b a r t ，l a p i d ，s a r n a k 【7 ) r s 6 设n ( t ，7 r ) 表示区域0s 1 ，i t l t 内非显然零点的个数则有 n ( t ，7 r 亓) tl o g ( q 霄亓，t ) ， 且 n ( t + 1 ，丌亓7 ) 一n ( t ，7 r 亓7 ) l o g ( q 霄亓，t ) ( 见刘和叶 3 2 】) r s 7 与广义r a m a n u j a n 猜想相对应的界存在常数0 0 1 2 ，使得 i q 。0 ，j ) i 矿， 如果7 r 在p 是非分歧的， 且 i 跄p 丌( 歹) i 0 ， 如果7 r 在o 。是非分歧的 在文章 4 0 中，r u d n i c k 和s a r n a k 证明了0 = 1 2 1 ( m 2 + 1 ) ，广义r a m a n u j a l l 猜 想是说0 = 0 除了以上r s l r s 7 ，我们还要定义区域c ( m ，仇，) ：在复平面c 上挖掉圆盘 i s - 2 n + m “歹，k ) l 南，ns9 ，1 j m ，1 s 七一 后的区域对j = 1 ，m 和k = 1 ，m 7 ，我们用p 0 ，k ) 表示瞬( 陆膏，( 歹，七) ) 的小数部分另外设p ( o ，0 ) = 0 ，p ( m ，m 7 ) = 1 因此p 0 ，k ) 【0 ，1 】，并且存在 4 山东大学博士学位论文 p 0 1 ，七1 ) ，z ( j 2 ，k 2 ) ，使得p u 2 ，k 2 ) 一( j 1 ，k 1 ) 1 3 m m 不仅如此，我们还可得在 卢( 歹1 ，k 1 ) 与卢慨，k 2 ) 之间，不存在其它z ( j ，后) 综上可知 5 i d = s ：p o l ，k 1 ) + 1 8 m m 瓣s 卢( 沈，k 2 ) 一1 8 m m 7 cc ( m ，m 7 ) 不仅如此，对所有的n = 0 ，一1 ，一2 ，而言，我们都有 & = 2 ，存在t 7 st + 1 满足 杀1 0 9 l ( a + i r , 7 rx 亓 ) l o g k + l ( q 椭制i ) 证明k = 1 ，2 的情况参见【3 2 ，以下我们假设k 3 令 a ( s ) - m 。 l + ( s o p ) 七 ( 矿研1 一研1 ) 把以上估计代入到( 1 3 3 ) 式中得 d 七 d s kl o g l ( s ，7 r 亓7 ) = ( 一1 ) b 1 i i m p - t l l ( s i 伯) 奄 ( t i m p ) 2 + ( s o i 伯) 七 l o g ( q 。x 引i ) ，( k 一1 ) ! ( 七一1 ) ! ( 七一1 ) ! 、 ( s p ) 七( s 一1 一打- o ) ( s i 丁b ) 七 + o ( 1 0 9 ( q 霄亓，i t l ) ) ( 1 3 4 ) 7 山东大学博士学位论文 和 3 2 中的证明一样，选取c 0 ，t 7 t + 1 满足以下性质：对任意的盯+ i t ，满 足- 2 盯52 ， l t 一丁i c l o g 一1 ( q 霄膏，i t l ) ) ， 盯+ i t c ( m ) ，l ( a + i t ，7 rx 亓，) 0 ，并且仃+ i t 距离l ( s ，7 rx 亓7 ) 的极点1 + i 丁0 和 讥至少有1 3 那么远从而， 引理得证 蕊d kl o g l ( 盯+ i l ，丌删) ；l o g k ( q 惭制i ) 1 1 1 - i m p l - i 选取8 = 盯+ i t ，( 佗- 2 ) 显然，我们有o r - i 从而 杀l 。g 胡_ s 砧啪 ，4 ，1 - - f j 二一 。1 再一次运用盯 1 时，我们有 耶阱妒篇= 薹掣 由复分析的知识可知 瓢南a s f 乃篡k 其中( b ) 代表直线盯= b 0 选取b = 1 + 1 l o g x 得 耻一砌，= 熹小s ，南d s 显然，最后两个积分有如下估计： = 去le + 艺+ 篡、 f r x d t x ； 。 至( 1 一和) = 熹e ) 南a s + 。( ；) 选取实数一2 a 0 使得t 和一t 可以和引理1 1 中的7 - 一样考虑 轨道 c l ：b o r a ，t = 一t ； q ：盯= a ，- t 冬t t ； g ：a 盯b ，t = z 注意在移动轨道的过程中，通过了l ( 7 r 亓) 的三个极点5 = 1 ，0 ，- 1 ，显然零点，以 及非显然零点p = p + 竹同时注意到8 = 1 的阶为k ，而8 = 0 的阶为k + 1 显然零 1 0 l 山东大学博士学位论文 点的情形可以运用r s 2 和( 1 1 3 ) 解决：s = 一陆膏0 ，k ) 时，a 一驼( 妇膏0 ，七) ) 1 ； s = 一2 一脚亓0 ，七) 时，a + 2 一瓣( 亓o ，七) ) 1 这里我们用到了- 2 a - 1 由以上讨论得 1 2 丌i ，南a s 一芴1 ( 厶+ l + 厶) + 纠r ，。，e s 竹，南 + m 一叫r 剁e s 朋j ( s ) 南a - r ( g 。x iu 七) ) 1 、7 + 州删邑枷卅嘞r e s 蒯朋j ( s ) 希可 口+ 2 一孔m 。x 青u ，七) ) 0 ，当一2s 仃2 时，我们可以选取7 - t 7 + 1 使得 杀l o g l ( a4 - i t , rx ) l o g k + l ( q 椭n 更进一步地，应用引理1 3 ，我们可以得到如下估计： j p 士i t ) l 0 9 2 七( q 。膏丁) 厶6b 矿c 捌争掣 类似地，在g 上的积分估计也满足这个上界运用引理1 2 ，当t 时，我们可以选 取a 使得 善1 0 9 l ( a + i r , l rx # ) 1 再运用引理1 3 可得 j ( a + i t l 1 因此， 厶仁高抵三 取t e ) ( p ( 卅币) ，最终我们得到 厶+ 厶+ 厶z 唧( 一c 抓函) ( 1 a 2 ) 山东大学博士学位论文 注意s = 一l 是函数 ， 耶) 南 的一个单极点，留数大小为o ( x - 1 ) ，s = 1 ，0 分别为阶为后和七+ 1 的两个极点在 s = 1 点的留数为： r 州e s ，南= 璺( 错筹者) 。1 = z ( 一。g k - l - j x ) ， 其中 = 磐( 错粼) = 志= 参 这里，七0 = 1 ，七一1 ) 与7 r 和亓有关类似地， 因此， 学，南= 她( 错筹筹) 似 = 巩，k l o g b z l o g 七z ， 。浆。邢) 南= ( 喜，。g k - 1 x + b l , kl o g k - 2x + + b k - l , k ) z + o ( 1 0 9 七z ) 假设显然零点s = 一触x 亓o ，七) 的阶是1 若l 0 ，使得孵( 弘霄亓o ，尼) ) 1 6 因此， 一瓣。委 。一r e s js ) 南矿g l - 1 z 广g z 而当l 砖时，我们有 ) = 高( 即m 删) 0 ) ， 1 2 一 山东大学博士学位论文 并且 于是可得 邑、：一黑) ) 南 x 1 - 6 l o g 1 以 d 一乳( 盎) 15 一p 翟一s ( s 十1 1 一拧。委脉。一m r e s 地js ) 南产g z ( 1 4 4 ) 同样地，我们有如下估计： 二聍邑一r e s 池js ) 南z 。1 。，k ( 1 舶) 为了计算对应于非显然零点的留数，我们回忆r s 4 和r s 5 得 莩瓦再1 可 o 。，莩两1 ， 与显然零点的情况类似，我们关心非显然零点p 的阶设p 的阶为f ，若1 7 k ，则j ( 8 ) 可以表示成 其中g ( p ) 0 由上可知， ) = f 端南， i 暑鬻) i 矗2i 喜辫( 矿) 。7 - 1 = 7 1 t 脚 篓= 禹( 赤) 咖s ) ( 卜) ) 拥。g - i x。毛峰m掣ax一。i(志)“lt 一一 、7 。 拥对弋i 暑 砉( 击+ 南) + 南) ( 高+ 南) + 访高) ，( 两+ 而了丽j + 獗万丽， 1 3 r 渤 ，(l、 凝 + 磐 ，、 z g o 口 z = 山东大学博士学位论文 其中e 是( 2 2 2 ) 式中例外零点的集合我们有l e i 0 ，使得关于 p e 的和式z 1 6 l o g 七z 运用( 2 2 1 ) ，关于pge 的和式的估计如下： x e x p ( 一c 瓠面) ， 其中我们选取t = e x p ( 瓜) + d ( 0 d 1 ) 类似地，对f k ，我们有 并且 耶) = 舌羰南( ) 0 ) ， i 暑眇) 南= 斛y ! l i m ( 蒜) 。1 = i 暑辫 善k - 1 楠c i ( 赤) ( i ) ( h ( s ) x 8 ) ( k - l - o ) 一l o g k - 1 x h e 旧唧m 如a x 。l ( 志) a l 川 丁一一 1 。1 7 机矿l i 喜 i = 2 ( 高+1 7 l 墨丁 南) + 南 甜嵫m z ( 善+ 薹t ) 1 = 2 ( 击+1 1 i s ti l s ”o z e x p ( 一cl y n x ) ， 这样我们就有 再1 丽) + 而b i 暑鹭邢) 南 1 ，局部因子定义为 l 口( s ，p 矿) = 垂垂( 1 一旦半) 一1 j = 上l = 上 一 令 l v ( s , 0 x 卅i i 她p 洇= f l i i ( 1 一业笋) v l pv l p ，= 上l = 上 。 相应的完全l 函数定义为 圣( s ，px 矿) = l ( 8 ，px ) l ( s ，px 矿) ，( 2 1 2 ) 其中a r c h i m e d e a n 局部因子为 k ( s ，p ) = i ir r ( s + 肛删( 口，j ，z ) ) 1 8 j 矿 x p p + s c r 汹 m 础 岫 = 矿 p s l 或 山东大学博士学位论文 这里，复数# q x ( u ，j ，i ) 满足显然估计 跄p ( 秒，j ，i ) ) - - 1 ( 2 1 3 ) 对式( 2 1 1 ) 求对数导数得 工7 ( s ，p ) 一量a ( n ) a 。矿( 佗) 一= = = 一 - - - - - - - - = - - = - - - 一 l ( s ，p ) 鲁 矿 其中 矿知厶) = 厶q 沁j ) a 多( ，i ) ， 并且当，pfk 时，q p 汐) = 0 特别地，当p 竺时， 厶) = 厶i q 她j ) 卜o i p 。l j 0 且7 - ( p ) = 一n u w - ) 口1 2 ( 见s h a h i d i 4 3 ，【4 4 ， 4 5 】或【4 6 9 r s n 3 令q 国) = id e t ( g ) 如果对任意的7 r ，箬pold e tl 打，则3 ( 8 ，p ) 是解析的如果m = 仇7 且存在7 o r ，垒p od e ti r o ，则垂( s ，p ) 有极