（物理学专业论文）力学系统的共形不变性与守恒量研究.pdf

、 令 1 m e c h a n i c a ls y s t e m s at h e s i ss u b m i r e df o r t h ed e g r e eo f m a s t e r c a n d i d a t e ：l iy a n s u p e r v i s o r ：p r o f f a n gj i a n h u i c o l l e g eo fp h y s i c ss c i e n c e & t e c h n o l o g y c h i n au n i v e r s i t yo f p e t r o l e u m ( e a s t c h i n a ) 7 寸 、 i ， 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 套旅 日期： 2 0 l1 年6 月岁日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名： 夺氘 指导教师签名：盈金 日期：2 0 i l 年6 月5 日 日期： ) 口f f 年乡月夕日 一： 摘要 用对称性寻求各种约束力学系统的守恒量是分析力学的一个近代发展方向。在数理 科学中具有重要的理论意义和实际价值研究约束力学系统的新对称性，将突破约束 力学系统对称性和守恒量理论研究仅限于原来几种对称性的范畴，为深入揭示约束动 力学系统的内在性质和规律提供新的理论基础j 本文研究了力学系统的一种新对称性 共形不变性及其导致的守恒量首先研究了n a m b u 力学系统的共形不变性，从系统 的动力学方程出发，给出了共形不变性的定义及其确定方程，利用共形不变性和l i e 对 称性的关系，推导出了共形因子表达式并给出了系统共形不变性导致的k a i 守恒量、 h o j m a n 守恒量、i 型新型h o j m a n 守恒量和i i 型新型h o j m a n 型守恒量；其次，研究了 完整高阶力学系统的共形不变性，从系统的动力学方程出发，给出了共形不变性的定 义及其确定方程，利用共形不变性和l i e 对称性的关系，推导出了共形因子表达式并给 出了系统共形不变性导致的n o e t h e r 守恒量；再次，研究了高阶非完整力学系统的共形 不变性，从系统的动力学方程出发，给出了共形不变性的定义及其确定方程，利用共形 不变性和l i e 对称性的关系，推导出了共形因子表达式并给出了系统共形不变性导致 的n o e t h e r 守恒量；第四，研究了v a c c o 力学系统的共形不变性，从系统的动力学方程 出发，给出了共形不变性的定义及其确定方程，利用共形不变性和l i e 对称性的关系， 推导出了共形因子表达式并给出了系统共形不变性导致的n o e t h e r 守恒量和h o j m a n 守 恒量最后对本文的研究做了总结，对力学系统共形不变性与守恒量的研究做了展望 关键词：力学系统，共形不变性，守恒量 7 c o n f o r m a li n v a r i a n c ea n dc o n s e r v e dq u a n t i t i e sf o r m e c h a n i c a ls y s t e m s l iy a n ( p h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f f a n gj i a n h u i a b s t r a c t a p p l y i n gs y m m e t r i e st os e e kc o n s e r v e dq u a n t i t i e so fa l lk i n d so f c o n s t r a i n e dm e c h a n i c a l i sam o d e md e v e l o p m e n t a ld i r e c t i o ni na n a l y t i c a ld y n a m i c s ，a n dp o s s e s s e si m p o r t a n t t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c ei nm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s s t u d y i n gan e ws y m m e t r yo f m e c h a n i c a ls y s t e mw i l lb r e a kt h r o u g ho r i g i n a ls o m et y p e so fs y m m e t r i e si nt h e o r yo f s y m m e t r i e sa n dc o n s e r v e dq u a n t i t i e so fam e c h a n i c a ls y s t e m i tp r o v i d e san e wr a t i o n a l et o r e v e a li n h e r e n tp r o p e r t i e sa n dl a w so fam e c h a n i c a ls y s t e m i nt h i sp a p e r , w es t u d yan e w s y m m e t r yc a l l e dc o n f o r m a li n v a r i a n c ea n dc o n s e r v e dq u a n t i t i e so fam e c h a n i c a ls y s t e m c o n f o r m a li n v a r i a n c ea n dc o n s e r v e dq u a n t i t i e so fm e c h a n i c a ls y s t e m s f i r s t l y , c o n f o r r n a l i n v a r i a n c ef o rn a m b um e c h a n i c a ls y s t e m si ss t u d i e d f r o mt h ed y n a m i c a le q u a t i o n ，t h e d e f i n i t i o na n dd e t e r m i n i n ge q u a t i o no fc o n f o r m a li n v a r i a n c ea r eg i v e n u s i n gt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nc o n f o r m a li n v a r i a n c ea n dl i es y m m e t r y , c o n f o r m a lf a c t o ri sd e d u e d w ea s l og i v e t h ek a ic o n s e r v e dq u a n t i t i e s ，h o j m a nc o n s e r v e dq u a n t i t i e s 、it y p eh o j m a nc o n s e r v e d q u a n t i t i e sa n d i lt y p eh o j m a nc o n s e r v e dq u a n t i t i e s s e c o n d l y , c o n f o r m a li n v a r i a n c ef o r h i g h e r - o r d e rh o l o n o m i cm e c h a n i c a ls y s t e m si ss t u d i e d f r o mt h ed y n a m i c a le q u a t i o n , t h e d e f i n i t i o na n dd e t e r m i n i n ge q u a t i o no fc o n f o n n a li n v a r i a n c ea r eg i v e n u s i n gt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nc o n f o r r n a li n v a r i a n c ea n dl i es y m m e t r y , c o n f o r m a lf a c t o ri sd e d u e d w eg i v et h e n o e t h e rc o n s e r v e d q u a n t i t i e sy e t t h i r d l y , c o n f o r m a l i n v a r i a n c ef o r h i g h e r - o r d e r n o n h o l o n o m i cm e c h a n i c a ls y s t e m si ss t u d i e d f r o mt h ed y n a m i c a le q u a t i o n ，t h ed e f i n i t i o n a n dd e t e r m i n i n ge q u a t i o no fc o n f o r m a li n v a r i a n c ei sg i v e n u s i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n c o n f o r m a li n v a r i a n c ea n dl i es y m m e t r y , c o n f o r m a lf a c t o ri sd e d u e d w eg i v et h en o e t h e r c o n s e r v e dq u a n t i t i e s f o u r t h l y , c o n f o r m a li n v a r i a n c ef o rv a c o om e c h a n i c a ls y s t e m si ss t u d i e d f r o mt h ed y n a m i c a le q u a t i o n ，t h ed e f i n i t i o na n dd e t e r m i n i n ge q u a t i o no fc o n f o r m a l i n v a r i a n c ea r eg i v e n u s i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o n f o r m a li n v a r i a n c ea n dl i es y m m e t r y , c o n f o r m a lf a c t o ri sd e d u e d w eg i v et h en o e t h e rc o n s e r v e dq u a n t i t i e sa n dh o j m a nc o n s e r v e d q u a n t i t i e sy e t l a s t l y , t h er e s e a r c h e si nt h i sp a p e ra r es u m m a r i z e da n dt h e o r i t i c a lr e s e a r c h e s o nc o n f o r m a li n v a r i a n c ea n dc o n s e r v e dq u a n t i t i e sf o rm e c h a n i c a ls y s t e m sa l ep r o s p e c t e d k e yw o r d s ：m e c h a n i c a ls y s t e m s ，c o n f o r m a li n v a r i a n c e ，c o n s e r v e dq u a n t i t i e s p ， 弋 ，r 目录 第一章绪论1 1 1 分析力学概述。1 1 2 分析力学中近代对称性理论的研究进展3 1 3 本文研究的内容6 第二章约束力学系统的对称性与守恒量理论7 2 1n a m b u 力学系统的l i e 对称性与守恒量一7 2 1 1 经典n a m b u 力学系统的l i e 对称性与守恒量。7 2 1 2 一般n a m b u 力学系统的l i e 对称性与守恒量一8 2 1 3 受约束的一般n a m b u 力学系统的l i e 对称性与守恒量1 0 2 2 完整高阶力学系统的l i e 对称性与守恒量1 2 2 3 高阶非完整系统的l i e 对称性与守恒量1 4 2 4v a e c o 力学系统的l i e 对称性与守恒量1 7 第三章n a m b u 力学系统的共形不变性与守恒量2 0 3 1 经典n a m b u 力学系统的共形不变性与守恒量2 0 3 1 1 系统共形不变性的确定方程2 0 3 1 2 系统共形不变性的共形因子2 l 3 1 3 系统共形不变性导致的守恒量2 2 3 1 4 算例2 5 3 2 般n a m b u 力学系统的共形不变性与守恒量2 7 3 2 1 系统共形不变性的确定方程2 8 3 2 2 系统共形不变性的共形因子2 8 3 2 3 系统共形不变性导致的守恒量2 9 3 2 4 算例3 0 3 3 受约束的一般n a m b u 力学系统的共形不变性与守恒量3 2 3 3 1 系统的共形不变性的确定方程3 2 3 3 2 系统共形不变性的共形因子3 3 3 3 3 系统共形不变性导致的守恒量3 3 3 3 4 算1 列3 5 3 4 本章小结3 7 第四章完整高阶力学系统的共形不变性与守恒量。3 8 4 1 系统共形不变性的确定方程3 8 4 2 系统共形不变性的共形因子4 0 4 3 系统共形不变性导致的守恒量4 3 4 4 算例4 4 4 5 本章小结4 5 第五章高阶非完整力学系统的共形不变性与守恒量4 6 5 1 系统共形不变性的确定方程4 6 5 2 系统共形不变性的共形因子4 7 5 3 系统共形不变性导致的守恒量4 9 5 4 算例5 0 5 5 本章小结5 2 第六章v a c c o 力学系统的共形不变性与守恒量5 3 6 1 系统共形不变性的确定方程5 3 6 2 系统共形不变性的共形因子5 5 6 3 系统共形不变性导致的守恒量5 9 6 4 算例6 0 6 5 本章小结6 2 总结与展望6 3 参考文献6 5 攻读硕士学位期间取得的研究成果7 2 致 射7 3 f 时间 吼 广义坐标 玩广义速度 坑 广义加速度 ( 所) 吼m 阶广义速度 占 无限小参数 f 时间无限小变换的生成元 主要符号表 厶h o j m a n 守恒量 毒广义坐标的无限小变换的生成 x ( o 零阶无限小生成元向量 x ( 1 ) 一阶无限小生成元向量 x ( 2 二阶无限小生成元向量 x ( 肘 m 阶无限小生成元向量 厶k a i 守恒量 i 型新型h o j m a n 守恒量 i i 型新型h o j m a n 守恒量 入b s g 约束乘子 广义加速度能 v a c c o 型非完整约束 规范函数 风哈密顿函数 鳄- 2 ( m - 2 ) 阶广义主动力变率 瓯一2( m _ 2 ) 阶速度能量 任意函数 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 分析力学概述 分析力学是由l a g r a n g e 创立的1 7 8 8 年，l a g r a n g e 发表了大型著作分析力学一 书，从而奠定了分析力学的基石【l 】在此著作中，不须借助几何方法，而纯粹利用严格的 数学分析的方法来处理所有的力学问题之后，随着h a m i l t o n 、p o i s s o n 、j a e o b i 以及 a p p e l l 等后继者对分析力学更深入的研究和贡献，分析力学逐渐成为一门具有严密理 论、系统完整的学科已有二百余年历史的分析力学作为一门科学，随着生产实践的不 断发展也在不断的发展和进一步深化，现已成为力学中占有基本地位的一个分支分析 力学的发展大致经历了以下的过程： l a g r a n g e 力学：l a g r a n g e 力学成功的将力学理论与数学分析方法结合起来，使 其可以无须借助于以往常用的几何方法而运用于解决所有的力学问题，深刻阐述了 如何普遍而有效地建立质点系的运动微分方程它的一整套严密的分析方法，解决 了任意非自由系统从描述位形到建立运动方程的一系列带有根本性的问题，把牛顿 力学提高到一个新的水平它的基本内容就是建立系统运动规律的变分原理，并由变 分原理得出在各种条件下的运动方程式，以及这些运动方程式的积分方法可以说是 l a g r a n g e 奠定了分析力学的基本思想l a g r a n g e 力学的核心是d a l e m b e r t - - l a g r a n g e 原 理和l a g r a n g e 方程其中，l a g r a n g e 方程的建立是l a g r a n g e 力学体系的一项重要成就， 也是l a g r a n g e 对经典力学的巨大贡献l a g r a n g e 方程促成h a m i l t o n 力学的产生以及 l a g r a n g e 力学逆问题的发展，它具有理论上和应用上的重要价值l a g r a n g e 系统是位形 空间中最基本最简单的力学系统 h a m i l t o n 力学：在l a g r a n g e 力学的基础上，h a m i l t o n 及其后继者对理想、完整、有 势系统的动力学作了进一步研究，他在其两篇论文论动力学中的一个普遍方法和再 论动力学中的一个普遍方法中引入h a m i l t o n 作用量，提出分析力学中很重要的 h a m i l t o n 原理他把坐标和动量作为独立变量来描述力学体系的运动，得到了 h a m i l t o n 正则方程之后，经j a c o b i 和l i e 等人的研究，h a m i l t o n 力学逐步建立并完善 起来h a m i l t o n 力学是经典力学向近代物理学观念过渡的桥梁口4 1 文献1 2 - - - 6 给出了 h a m i l t o n 力学的一些研究成果哈密顿原理和哈密顿正则方程是h a m i l t o n 力学的核心内 容l a g r a n g e 方程经历l e g e n d r e 变换可转化为h a m i l t o n 正则方程用h a m i l t o n 正则方程 形式简单而对称，用它描述的系统称为h a m i l t o n 系统它仅用一个h a m i l t o n 函数h 就可 第一章绪论 以描述系统的动力学性质h a m i l t o n 系统是相空间中最基本最简单的力学系统由于在 理论和实际的工程中的诸多模型都是以h a m i l t o n 系统的形式出现，因此，h a m i l t o n 系统 在数学物理、微分几何、天体力学以及生物工程的各个领域都有广泛的应用 非完整力学：分析力学在l a g r a n g e 和h a m i l t o n 时期发展迅速并且逐步完善但是， 在这两个时期人们还不知道有非完整约束系统的存在直到1 8 9 4 年，德国学者h e r t z 才 第一次把约束和系统分成完整和非完整的两大类，从此对非完整力学才有了较为系统的 研究非完整约束系统的提出开辟了非完整力学的新时期【7 】，现已成为分析力学中既有 理论价值又有实际意义的分支在国外，对非完整系统力学的研究很活跃1 9 世纪末2 0 世纪初的2 0 年间，得到了一阶线性非完整约束限制下系统的各种形式的运动微分方程； 1 9 6 7 年，非完整系统动力学一书在莫斯科的出版，该书是世界上第一本较系统、全 面介绍非完整系统动力学的著作并于1 9 7 2 年被译成英文在欧洲发行我国在非完整力 学的研究上也取得了重要进展【8 】1 9 6 4 年山东工学院牛青萍在其论文经典力学基本微 分原理与不完整力学组的运动方程【9 】中提出了速度空间和加速度空间虚位移的基本概 念他将虚位移的概念扩展到速度空间和加速度空间，为非完整力学的研究提供了新的 思路1 9 7 9 年以来，我国在非完整力学的基本概念，基本方程，积分方法等方面做出了 贡献，并于1 9 8 5 年出版了第一本非完整力学专著一非完整动力学基础【7 1 ，得到了国 内外学者的高度认可随着科学技术的进步，非完整力学将会进一步显示其生命力 b i r k h o f f 力学：随着分析力学的进一步发展，又出现了一新的力学产物- - b i r k h o f f 系 统动力学1 9 2 7 年美国著名数学家b i r k h o f fqd 发表了名著动力系统一书，书中建 立起了一类比h a m i l t o n 方程更为普遍的新型动力学方程一类新型动力学方程 - b i 成h o 仃方程和一类比h a m i l t o n 原理更为普遍的新型积分变分原理 斗f 搀b i 瑚h o 行原理【1 0 ，1 1 】用b i r k h o f f 方程描述的动力学系统称为b i r k h o f f 系统它 是一类极其重要的动力学系统我国学者梅凤翔教授等人在b i r k h o f f 系统动力学的研究 上做出了巨大贡献，取得了诸多成果1 9 9 6 年，梅风翔教授出版了著作( ( b i r k h o f f 系统动 力学【1 2 j ，构造了b i r k h o f f 系统动力学的基本理论框架，这标志着b i r k h o f f 力学这门新 力学的诞生b i r k h o f f 动力学具有重要的理论价值和实际意义b i r k h o f f 力学的理论价值 体现在它的高度概括性，即h a m i l t o n 原理是p f a f f - b i r k h o f f 原理的特殊形式，b i r k h o f f 方 程是h a m i l t o n 正则方程经过非正则变换得到的，h a m i l t o n 正则方程是b i r k h o f f 方程的特 殊形式b i r k h o f f 力学推广了h a m i l t o n 力学，它的研究成为数学物理学科、量子力学、原 子分子物理、生物物理、工程领域等近代的发展方向 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 n a m b u 系统与h a m i l t o n 系统存在密切联系，因为n a m b u 系统是基于h a m i l t o n 系统 的思想构造的n a m b u 力学作为经典h a m i l t o n 力学对奇数维相空间的一种可能推广l l 习 是1 9 7 3 年n a m b u 在以e u l e r 转动方程形式为前提、而同时以l i o u v i l l e 原理为引导原理 提出的m u k u n d a n 和s u d a r s h a ne c g 研究了n a m b u 力学和h a m i l t o n 力学的关系，并 讨论了三维空间中一种可能的l a g r a n g e 量的构造方法【1 4 1 o g a w at 等人探讨了n a m b u 方程的作用量，给出了n a m b u 力学的一种可能的l a g r a n g e 表示，并给出了其第一个应用 - e l l l e r 方程【”】n a m b u 力学用规范化的n a m b u 括号代替h a m i l t o n 力学中的p o i s s o n 括 号来表征力学量的变化n a m b u 力学保有了h a m i l t o n 力学的优点，而且具备了另一些优 良的性质，因此n a m b u 力学在代数、几何、张量、量子和流形等方面的性质被广泛的研 究，使其在数学物理、粒子物理，宇宙学，流体力学等方面有着广泛的应用2 0 0 8 年，国 内学者张凯等第一次用对称性理论研究了n a m b u 系统的l i e 对称性及其l i e 对称性的逆 问题，并得到了一类新型守恒量【1 6 1 蔺鹏研究了n a m b u 力学系统的l i e 对称性与h o j m a n 型守恒量【1 7 】文献 1 8 】将上述提到的经典n a m b u 力学系统的研究范围进行了拓展，得 到了一般n a m b u 力学系统、受约束的n a m b u 力学系统，并将这三类系统统称为n a m b u 力学系统，利用对称性理论，研究了n a m b u 力学系统l i e 、m e i 对称性和由此直接或者 间接导致的守恒量，以及在小扰动影响下，系统对称性的摄动和绝热不变量 1 2 分析力学中近代对称性理论的研究进展 对称性普遍存在于整个自然界中，例如数学中圆柱、正三角形、方程的对称函数；化 学中晶体结构的对称；宇宙中天体的对称；生物学中高等生物的两侧对称等等一般说 来，若能对几何形体施行某种操作使它的形状和位置都不显现任何觉察的变化，就称这 种形体具有几何对称性在物理学中物理学家将对称性进行了扩展，除了研究某个系统 或某件具体事物的对称性外，更重要的是研究物理规律的对称性物理规律的对称性是 指经过一定的操作后，物理规律的形式保持不变，它又叫做不变性因此，物理规律的 对称性又叫不变性 由于力学系统动力学方程的积分一般十分困难，甚至系统的运动微分方程不可积， 在这种情况下，如果能找到系统的一些守恒量，那么对了解系统的物理状态，认识其内 在特性及规律性具有非常重要的意义n e w t o n 根据力学的特性找到了动量守恒，动量矩 守恒和机械能守恒分析力学由l a g r a n g e 函数或h a m i l t o n 函数的表达式来判断系统是 否存在循环积分和广义能量积分对称性和守恒量联系密切，系统的对称性往往与守恒 量相对应约束力学系统近代对称性理论主要有n o e t h e r 对称性理论、l i e 对称性理论和 3 第一章绪论 m e i 对称性理论，由此得到的守恒量主要有n o e t h e r 守恒量、h o j m a n 守恒量和m e i 守恒 量【1 9 1 1 9 1 8 年，德国学者n o e t h e r 在论文不变变分问题【2 0 】中给出了n o e t h e r 理论n o e t h e r 研究了h a m i l t o n 作用量在群的无限小变换下的不变性，将对称与守恒本质联系在了一起， n o e t h e r 理论揭示了力学系统的守恒量与对称性之间的潜在关系n o e t h e r 理论给出之后， 国内外关于n o e t h e r 对称性的研究得到了许多的成果d j u l d c 等研究了经典非保守动力 学的n o e t h e r 理论【2 1 1 ；b a h a r 等对约束非保守动力学系统的n o e t h e r 理论做了推广翰； s a r l e t 、c a n t r i j n 对经典力学的n o e t h e r 理论做了全面的综述团】我国学者李子平教授在 1 9 8 1 年在国际上首次研究了非完整约束系统的n o e t h e r 理论【2 4 】，做出了突出贡献1 9 8 6 年以来，梅风翔【2 5 1 、张解放【2 6 1 、方建会1 2 7 1 等对约束力学系统的n o e t h e r 理论做了进一步 研究，将其推广到各种约束力学系统可以说，n o e t h e r 理论推动了近代力学和理论物理 学的发展，使其在经典力学系统、场论、波动方程以及微观量子领域等得到了广泛应用 与n o e t h e r 对称性的研究思路不同，l i e 对称性是直接研究微分方程在群的无限小 变换下的不变性1 9 7 9 年l u t z k y 2 8 】扩展群方法应用于力学系统，提出了力学系统的运动 微分方程l i e 对称性的概念，引发了约束力学系统l i e 对称性与守恒量的研究【2 9 刁1 1 1 9 9 2 年h o j m a n 给出了l i e 对称性导致的一种新守恒量h 0 j m a n 守恒量【3 2 】此后对力学系统 对称性的研究成为热门课题，人们对其进行了深入的研究1 9 9 4 年c o n z a l e z g a s c o n 给 出了h o j m a n 定理的几何基础【3 3 1 ，1 9 9 5 年l u t z k y 将h o j m a n 定理作了进一步推广【3 4 1 1 9 9 9 年梅风翔教授的专著李群和李代数对约束力学系统的应用【2 5 】的出版，引领并带动了 我国学者对约束力学系统l i e 对称性和n o e t h e r 的深入研究张宏斌等给出了时间可变 的一般无限小变换群下的广义的h o j m a n 定理【3 习；方建会等将其推广到相空间，研究了 相空间中的广义的h o j m a n 守恒量 3 6 1 人们对l i e 对称性和守恒量作了大量的研究讨论， l i e 对称性得到了重要的发展，取得了一系列的成果【3 似7 1 本世纪初梅凤翔教授提出了形式不变性( 后被称为m e i 对称性) t 4 8 ，4 9 】这一新对称性， 并导出了一种新型守恒量( m e i 守恒量) 形式不变性是我国在对称性与守恒量理论方面 做出的最重要的贡献，受到国际上的关注随后关于m e i 对称性的研究发展迅速方建 会等通过引入协调函数来研究力学系统的守恒量，由此得到了m e i 对称性导致广义m e i 守恒量【5 0 ，5 1 1 国内学者还研究了n i e l s e n 系统【5 2 , 5 3 1 、b i r k h o f f 系统f 5 4 - 5 6 、相空间中力学系 统【57 】等各种力学系统的m e i 对称性，使其成为一种寻找守恒量的常用方法 梅凤翔教授在2 0 0 4 年出版了约束力学系统的对称性与守恒量f 1 9 l 一书，此书全面 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 系统的论述了约束力学系统的单一对称性与守恒量理论2 0 0 4 年以来，梅凤翔等基于三 种单一对称性的研究，将它们进行了融合，提出了约束力学系统的联合对称性或统一对 称性 5 s , 5 9 1 ，并研究了其导致的守恒量统一对称性及联合对称性是对称性理论研究的升 华和发展，它比单一对称性更加的高级，可以由统一对称性及联合对称性同时导致多种 类型的守恒量自2 0 0 4 年以来，对约束力学系统统一对称性或联合对称性及其导致的守 恒量的研究已取得了许多重要的成果，使其成为该领域的一个新的热门课题【6 嘶6 】 对称性是约束力学系统的一种非常重要而又普遍的性质，约束力学系统的守恒量往 往对应于它的对称性那当力学系统受到微小的扰动作用时，它的对称性和守恒量将会 受到什么影响? 发生什么变化? 这就是约束力学系统对称性的摄动与绝热不变量的研 究范畴了通常，我们将约束力学系统还未受到小扰动作用时的守恒量称为精确不变量， 将受到扰动后约束力学系统的守恒量称为绝热不变量对称性的改变我们称为对称性的 摄动研究约束力学系统小扰动作用下对称性的摄动与绝热不变量对解决我们遇到的实 际问题具有重要的意义目前，人们关于约束力学系统的对称性摄动与绝热不变量的研 究也取得一系列的成果文献【6 7 】和 6 8 】分别研究了一般动力学系统的精确不变量和绝 热不变量、相空间中约束哈密顿系统的精确不变量与绝热不变量；傅景礼研究了转动相 对论b i r k h o f f 系统对称性的摄动及其逆问题例；张毅研究了l a g r a n g e 力学系统l i e 对称 性的摄动，得到了一类i - i o j m a n 形式的高阶绝热不变量，称之为h o j m a n 绝热不变量【7 0 1 丁宁等研究了非完整系统m e i 对称性摄动及其导致的绝热不变量【7 l 】；张小妮等研究了相 对论h a m i l t o n 系统l i e 对称性摄动及其导致的广义h o j m a n 绝热不变量【7 2 】文献 7 3 】研 究了相空间中n o e t h e r - l i e 对称性的摄动及其导致的绝热不变量 用对称性理论寻求分析力学中各种约束力学系统的守恒量为分析力学的发展注入 了新活力近十多年来，关于约束力学系统的对称性与守恒量的研究取得了许多重要进 展然而以往的工作大多限于对三种单一对称性( n o e t h e r 、l i e 和m e i 对称性) 及其联 合与四种守恒量( n o e t h e r 、h o j m a n 、m e i 和l u z k y 守恒量) 的研究近期，两种新对称 性一共形不变性【7 4 粕1 和l a g r a n g e 对称性【7 7 枷】被引入到对称性研究中，受到了学者们的 关注，并也取得了一些成果 共形不变性理论是上个世纪6 0 7 0 年代在规范场论，特别是引力规范场论中的热点 课题，近期在动力学系统中有了新的应用研究，并取得了许多重要的成果文献【7 4 】研 究了b i r k h o f f 系统的共形不变性，并讨论了共形不变性与l i e 对称性之间的关系r o b e r t m c l a e h l a n 等利用几何方法研究了h a m i l t o n 系统的共形不变性，讨论了共性不变形的几 5 第一章绪论 何结构及其与一般对称性的关系【7 5 1 蔡建乐研究了一般完整系统的共形不变性，并推导 出了系统共形不变性导致的n o e t h e r 守恒量【8 1 】随后，人们又探讨了h a m i l t o n 系统，事 件空间中力学系统，机电系统等约束力学系统【7 6 , 8 2 - 9 4 1 的共形不变性但是对于分析力学 中的很多力学系统还没研究本文将对这些个系统的共形不变性展开研究研究约束力 学系统的新型对称性具有重要理论意义和实际价值它将突破约束力学系统对称性的守 恒量理论研究仅限于原来几种对称性的范畴，丰富和发展约束力学系统的对称性与守恒 量理论，为深入揭示约束动力学系统的内在性质和规律提供新的理论基础 1 3 本文研究的内容 本文基于l i e 群和l i e 代数理论，研究力学系统的共形不变性及其导致的守恒量， 包括n a m b u 力学系统、完整高阶力学系统、高阶非完整力学系统和v a c c o 力学系统的 共形不变性及其导致的n o e t h e r 守恒量和h o j m a n 守恒量从而完善约束力学系统的共 形不变性与守恒量理论 第1 章：概述分析力学的历史与现状以及约束力学系统对称性理论的研究概况 第2 章：简要介绍所要研究的几类约束力学系统的l i e 对称性理论，包括这几类约 束力学系统的运动微分方程，l i e 对称性及其导致的守恒量 第3 章：研究n a m b u 力学系统的共形不变性与守恒量建立系统共形不变性的确定 方程，利用l i e 对称性与共形不变性的关系，推导出系统共形不变性的共形因子表达式， 给出系统共形不变性导致的n o e t h e r 守恒量、h o j m a n 守恒量及两类新型的h o j m a n 守恒 量 。 第4 章：研究完整高阶力学系统的共形不变性与守恒量建立系统共形不变性的确 定方程，利用l i e 对称性与共形不变性的关系，推导出系统共形不变性的共形因子表达 式，给出系统共形不变性导致的n o e t h e r 守恒量 第5 章：研究高阶非完整系统的共形不变性与守恒量建立系统共形不变性的确定 方程，利用l i e 对称性与共形不变性的关系，推导出系统共形不变性的共形因子表达式， 给出系统共形不变性导致的n o e t h e r 守恒量 第6 章：研究v a c e o 力学系统的共形不变性与守恒量建立系统共形不变性的确定 方程，利用l i e 对称性与共形不变性的关系，推导出系统共形不变性的共形因子表达式， 给出系统共形不变性导致的n o e t h e r 守恒量和h o j m a n 守恒量 最后，总结本文的研究成果，并提出约束力学系统共形不变性理论有待于进一步 解决的问题 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第二章约束力学系统的对称性与守恒量理论 本文研究的n a m b u 力学系统、完整高阶力学系统、高阶非完整力学系统和v a c c o 力学系统的共形不变性及其守恒量与力学系统的l i e 对称性及其守恒量有密切的联系 本章将简要介绍这几种力学系统的l i e 对称性及其直接或间接导致的守恒量，主要包括 这几类力学系统的l i e 对称性及其导致的n o e t h e r 守恒量、h o j m a n 守恒量 2 1n a m b u 力学系统的l i e 对称性与守恒量 本节简要介绍n a m b u 力学系统的l i e 对称性与守恒量理论包括经典n a m b u 力学 系统、一般n a m b u 力学系统和受约束的一般n a m b u 力学系统的l i e 对称性及其导致的 k a i 守恒量、h o j m a n 型守恒量、i 型新型h o j m a n 守恒量和i i 型新型h o j m a n 型守恒量 2 1 1 经典n a m b u 力学系统的l i e 对称性与守恒量 假设刀维相空间的运动由r 1 个广义坐标薯o = 1 ，甩) 来描述对于任意函数4 ( x ) ， 定义n a m b u - p o i s s o n