（电磁场与微波技术专业论文）若干分形天线分析研究.pdf

分形 性和 寸缩 研究 ，仿 用矩 a b s t r a c t i nt h i sp l p 盯t h ea p p l i c a t i o n so fk o c hf r a c t a l ，t r e e - l i k ef r a c t a l ，m i n k o w s k if r a c t a l a n ds i e r p i n s k if r a c t a li na n t e r k r l a sa r es t u d i e d t h ei n p u ti m p e d a n c ea n dp a t t e r no f k o c h f r a c t a l m o n o p o l e a n dt r e e l i k e m o n o p o l e a r e a n a l y z e d b o t he x p e r i m e n t a l a n d n n m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h et w ok i n d so fa n t e n n a sb o t hh a v et h ec h a r a c t e r i s t i c so f r e d u c t i o ni ns i z ea n dt h et r e e - l i k ef r a c t a lm o n o p o l ea l s oh a sm u l r i b a n db e h a v i o r t h e k o c hf r a e t a li sa l s oa p p l i e dt os m a l ll o o pa n t e n n aa n dt h ea n a l y s i sr e s u l t ss h o w t h a tt h e k o c hf r a c t a lc a ni m p r o v et h ei n p u tr e s i s t a n c eo fs m a l ll o o pa n t e n n a m i n k o w s k if r a e t a l i sa p p l i e dt or e s o n a n tl o o pa n dt h er e s u l t so fs i m u l a t i o na n dm e a s u r e m e n ts h o w t h a tt h e m i n k o w s k if r a c t a lc a r ld r o pr e s o l a n l ! f r e q u e n c yo f t h es q u a r el o o pa n t e i d a f i n a l l y , t h e s i e r p i n s k im o n o l a o l ei ss i m u l a t e db ym e t h o do fm o m e n ta n dw i r e g r i dm o d e lw i t hi t s m u l t i b a n db e h a x i o rv e r i f i e d k e ) o r d s ：f r a e t a la n t e n n a r e d u c t i o ni ns i z em u l t i b a n d i n p u ti m p e d a n c e p a t t e r n 第一章绪论 第一章绪论 1 1 分形理论和应用背景 长期以来，对于自然界几何特性的研究一直是人们所关心的。从自然界物体 的几何外形到物体运动的几何轨迹，从山脉、岛屿、河流、冰川、岩石和海岸线， 到植物昆虫细胞、晶体聚合物和蛋白质的几何结构，再到恒星和行星的运行轨迹 以及粒子运动的几何轨迹等等，这些都是人们研究的对象。总之，对于几何学的 研究涉及自然科学的各个领域，因此，对这一方面的研究对于自然科学研究有着 十分重要的意义。 在经典的欧几里德几何中，普通的几何对象，如零维的点、一维的线、二维 的面、三维的立体以及四维的“时空”等都是人们熟知的例子。从几何的观点来 看，欧氏几何是以上面的规整几何图形为其研究对象的。然而，随着问题研究的 深入，诸如参差不齐的海岸线、婉蜒曲折的河流，连绵起伏的山脉，变幻无穷的 的浮云，生长的晶体以及交错的血管等，在这些几何结构面前，传统的经典几何 学和古典数学显得苍白无力。这些对象有一个共同点，那就是极不光滑和极不规 则。事实上，河流不是折线，云团不是球，山峰也不是圆锥，因此发展传统的 几何学势在必行。新的几何学所反映的宇宙粗糙而不圆润凹凸而不光滑，这是 “斑痕、麻点、破碎、扭曲、缠绕、纠结的几何学州“。于是，分形几何学便应 运而生了。 1 9 7 5 年，b b ，m a n d c l b r o t 在总结了自然界中非规整几何图形后，第一次提出 了分形这个概念，认为分形几何学可以处理自然界中那些极不规则的构型，指出 分形几何将成为研究许多物理现象的有力工具。分形的英文单词是f r a c t a l ，它来 源于拉丁语中的f r a c t u s ，而f l a t u s 则是f r a n g c r c 的形容词形式，含有“碎化，分 裂”之意m 。分形理论为物体组织形态的描述提供了一种极其简洁的方法。 分形所蕴含的概念及理论不仅受到自然科学各个领域的关注和吸收，还得到 社会科学各个领域的青睐和移植，各学科工作者纷纷将分形引入到自己的研究领 域，分析一些相关问题。目前分形概念及理论在物理学、生物学、化学、天文 学、宇宙学、经济学、信息学、音乐、美术以及人文学等各个领域中都得到了广 泛的应用”。作者无暇兼顾分形的这些广泛应用，本文主要论述作者将分形技术 应用于天线领域的研究。 一 ； 一口下- 霸囊_ _ _ - 1 f 广一一 2 若干分形天线分析研究 1 2 国内外研究状况 分形在电磁领域的应用研究始于上世纪七十年代术，到了八十年代中期已成 为非常活跃的课题。1 9 9 0 年d l - j a g g a r d 提出了分形电动力学( f r a c t a l e l e c t r o d y n a m i c s ) ，确定了将分形与麦克斯韦( m a x w e l l ) 电磁理论相结合的新方向。 分形天线作为分形在电磁领域应用的一个分支，是近十几年才兴起的。在上 个世纪八十年代已有学者对随机分形天线阵进行过研究n 1 ，到了九十年代中期， 分形天线已成为一个比较热的研究方向。国内外的许多学者纷纷对各种分形天线 及其性质展开了广泛的研究他们对分形单元天线、分形方向图的综合以及分形 阵列天线等方面部进行了研究，揭示了分形天线的许多奇特性质。他们利用分形 几何设计了诸如s i e r p i n s k i 单极子天线 5 - 6 1k o c h 曲线单极子”】，k o c h 岛屿贴 片”，分形树天线”，分形体天线”1 以及组合式分形天线“1 等单元天线，设 计了多波段分形天线阵”，综合出具有分形特性的特性方向图”。另外，这些 学者也对分形天线的分析方法4 l 进行了初步的研究。分形理论在天线方面的应 用，使得人们有可能设计出新型的天线，综合出某些所需特性的分形辐射方向图。 1 3 本文的主要研究内容 分形理论应用于天线设计领域，主要是利用分形结构的几何特性。分形几何 结构一般都具有无标度性和分数维数特性( 或者说是自相似性和空问填充性) ， 但如何把分形几何的这两大特性转化为天线的电磁特性，这是分形天线研究的一 个主要目的，也是一个难点。 本文研究的主要是分形单元天线。本文从几种最基本的分形结构入手，把这 几种结构都设计成天线，然后用矩量法对其阻抗特性及辐射方向图特性进行了仿 真计算，并将计算结果与天线的测量结果作了比较。本文首先研究了k o c h 曲线 单极子和树状分形单极子天线的阻抗特性和方向图特性，对这两种天线的尺寸缩 减性与其分形结构的分数维数之间的关系作了初步的研究；然后本文研究了k o c h 分形和m i n k o w s k i 分形在小环天线和谐振环天线上的一些应用，如提升小环天线 的辐射电阻，减小谐振环天线的尺寸等；最后本文介绍分形技术在多波段天线方 面的应用，用矩量法对s i e r p i n s k i 单极子天线进行了仿真计算，并与有关文献的 结果进行了比较。 第二章分形理论简介 第二章分形理论简介 2 1 分形的基本概念 分形理论是近年来非线性科学中非常活跃的一个数学分支，其研究对象是非 线形系统和自然界中存在的一些不光滑的和不可微的几何形体。分形理论基础最 初的形式是分形几何学，最早是由美籍法国科学家b b m a n d e l b r o t 于七十年代 创立的。 1 9 6 7 年b m a n d e l b r o t 在国际权威杂志科学上提出一个貌似简单实则复杂的 问题：“英国的海岸线有多长? ”这似乎可以从地理教科书或百科全书中找到答 案然而b m a n d e l b r o t 却回答，海岸线的长度是不确定的。海岸线作为陆地与大 海的交界，由于海浪的不断冲击和陆地的自身运功，所以形状较为复杂，弯弯曲 曲极不规则。任何一个海湾都包含着一系列更小的海湾。海岸线上大大小小的 海峡、半岛、沙滩及构成这些物体的各种微粒、分子、原子，要完全精确地确定 形状无限复杂的海岸线，在实际上是办不到的。币如他后来所述：“任何海岸线 在一定意义上都是无限长的，因为答案依赖于度量时所用的直尺的长度。”拿一 只两脚规，把它展成一定的码宽，然后沿着海岸线一步步地测量，所得的码数只 是真实长度的一种近似，因为两脚规忽略了一切短于一码的迂回曲折。缩小码宽 并重复上述过程，将得到稍大些的长度，因为这时两脚规将反映出更多的细节。 这是一个以不同距离以不同尺度观察物体效果的定量方法。一位试图从人造卫 星上估计英国海岸线长度的观察者，比在海滩上的踏勘者将得出较小的数值，而 后者比起爬过每一粒卵石的蜗牛来，又会得到较小的结果。常识告诉我们，虽然 这些估值一个比一个大，但它们会趋近于某个特定的最终值，即海岸线的真实长 度。换句话说所有的这些测量值应收敛于一个定值。事实上，如果海岸线是一 个欧氏图形，那么该曲线确实是收敛的，但对于极不规则、极不光滑的海岸线来 说，当你越接近它们时，就会在越来越小的范围上发现同等程度的不规则性和复 杂性。随着测量尺码的变小，所得的海岸线长度不断上升。从数学意义上讲，其 长度应该是无限的。类似于海岸线这样的不规则曲线很多，对于这种不够光滑和 不规则的“病态”集和函数如何去描述和测量呢? 用以前经典几何图形的长度、 面积、体积作为标准去度量显然是不够的，这就必须引入分形的概念。如果对类 似海岸线这样的不规则图形加以详细研究，我们会发现一个重要的性质一自相似 性( s e l f - s i m i l a r i t y ) 。通俗地说，就是局部的形态与整体形态的相似，即在所有的 4 若干分形天线分析研究 方向上按同一比例扩展或均匀线形变换。事实上，自然界中的许多事物具有自相 似的层次结构。在理想情况下，甚至具有无穷多层次，适当地放大和缩小几何尺 寸，整个结构并不改变，如图2 1 所示。我们把这种在形态、结构、功能和信息 等方面具有自相似性的研究对象通称为分形。 图2 1 自相似结构 分形这个概念现在已为越来越多的人们所知晓，但值得注意的是至今仍然没 有一个被人们普遍接受的统一定义。什么是分形? 什么是分形维数? 一直没有一 个精确的答案因此，分形及其度量( 分形维数) 的严格确切定义至今尚未解决。 分形的创始人b m a n d e l b r o t 曾先后给出两个定义。其为非整数h a u s d o r f f 维数的集合( 1 9 8 2 ) ： af r a c t a li s b yd e f i n i t i o na s e tf o rw h i c ht h eh a u s d o r f f - b e s i c o v i t c hd i m e n s i o n s t r i d l ye x c e e d s t h e t o p o l d g i c a ld i m e n s i o n 其二定义为局部与整体之间存在某种相似性的形状( 1 9 8 6 ) ： af r a c t a li ss h a p em a d e o f p a r t ss i m i l a r t ot h ew h o l ei ns o m e w a y 前者显然是不可取的。因为它排除了为数众多的其h a u s d o r f f 维数为整数而又 具有明显分形特性的集合，如p e a n o 曲线。后者显然反映了分形的重要特性一自 相似性：但自相似性并不能概括分形的全部属性，如m i n k o w s k i 分形等。 著名分形几何家肯尼思法尔科内( k e n n e t hf a l c o n e r ) 从数学的角度对分形 进行过详细描述，他的观点似乎更合理一些”。法尔科内指出，对分形下一个 严格的直接的定义是不现实的。应该象生物学家对待“生命”的定义一样，不给 出严格定义，而列出生命的特征来说明什么是生命。例如生命是可以再生的有 环境适应性等。大多数生物都具有所述特征，但仍有一些例外，而这并不影响人 们对生命概念的理解。相同地，最好把分形看成是具有某些特性的集合，而不用 去寻找一个几乎概括所有情况的精确定义。k f a l c o n e r 列出五条用不确定性语言 描述的分形集f 的特性( 精细的结构；非常不规则；某种自相似性；其“分形维 第二章分形理论简介 数”常大于其拓扑维数：在多种情况下可以递归地定义) ： ( 1 ) f h a saf i n es t r u c t u r e ，i e d e t a i lo n a r b i t r a r i l ys m a l l s c a l e s ( 2 ) fi st o oi r r e g u l a rt ob ed e s c r i b e di nt r a d i t i o n a lg e o m e t r i c a ll a n g u a g e ，b o t h l o c a l l ya n dg l o b a l l y ( 3 ) o f t e nf h a ss o i i ef o r m o f s e l f - s i m i l a r i t y , p e r h a p sa p p r o x i m a t e o rs t a t i s t i c a l ( 4 ) u s u a l l y , t h e f r a c t a ld i m e n s i o n o ff ( d e f i n e di ns o m e w a y ) i sg r e a t e rt h a ni t s t o p o l o g i c a l d i m e n s i o n ( 5 ) i nm o s tc a s e so fi n t e r e s tfi sd e f i n e di nav e r ys i m p l ew a y , p e r h a p sr e c u r s i v e l y 2 2 分形维数 我们已经知道，对于度量类似海岸线这样的分形形体，长度已不能作为描述 它的特征物理量了。因此必须寻找另外一种物理量来描述它，而分形维数将是更 合适的概念。 在谈分形维数以前，首先谈谈什么是维数。我们根据经验得知，点是零维， 直线是一维，平面是二维，而我们居住的空间却是三维。如果像相对论那样把 时问和空间作为同等处理，那么我们居住的空问就是四维了。所有这些经验的维 数都是整数，其数字与单独挑选的变数数和自由度是一致的。也就是说，直线上 的任意点可以用一个实数表示，平面上的任意点可用两个实数组表示。如果把维 数作为自由度数那么对任意非负的整数n ，作为t l 维空间考虑时，在数学上是 完全没有问题的。因此，把自由度数作为维数的设想是非常自然的，而且也没有 特别使人产生疑问的余地。但早在1 8 9 0 年，对经验维数己提出了较深刻的疑问。 这是因为可以只用一个实数表示应是二维的正方形上的任意点。用一条曲线即可 把平面完全覆盖的最好例子是p e a n o 曲线。p e a n o 曲线使得传统的经验维数出现 了危机，为此，必须从根本上重新考虑维数的意义。目前已有不少有关维数的定 义，其中最易理解且与分数维具有密切关系的是被叫作相似维数的量i t 4 | , 根据相似性，我们来看看线段、正方形和立方体的维数。如图2 2 所示，把 各图形的边分成二等分，当然，线段是一半长度的二个线段。正方形则是边长为 原来1 2 的4 个正方形，而立方体则为8 个。也就是浇，线段、j 下方形、立方体 可被看成为分别由2 、4 、8 个把全体分成l 2 的相似形组成。2 、4 、8 数字可改 写为2 1 、2 2 、2 3 ，但这里出现的1 、2 、3 则分别与其图形的经验维数相一致。若 改写成更一般的形式，当某图形是出a 。个把全体缩小为1 a 的图形构成，那么此 指数就应具有维数的意义，一般称此维数为相似性维数。从上述定义可看出，相 似陛维数d 完全没有是整数的必要。如果某图形是出把全体缩小成i a 的b 个相 似形所组成，出于b = a d ，相似性维数则为： 6 若干分形犬线分析研究 d ：= l o g h l o g “ ( 2 i ) | 璺| 2 2 把线段、止方形、立方体的单位故度分成一、r 相似性维数是经验维数的推广，但其适应范围十分有限，下面我们介绍分数 维数定义中最有代表性的一种定义一豪斯道夫( h a u s d o r f f ) 维数，有关其它维数 的定义可参考相关文献 3 1 ”“。豪斯道夫维数具有对任何集都有定义的优点， 由于它是建立在相对比较容易处理的测度概念基础上的，因此在数学上也是比较 方便的。 豪斯道夫( h a u s d o r f f ) 于1 9 0 9 年给出：假定d 0 ，用直径小于e 0 的可数 个数的球覆盖集合e ，此时，若假定r ，r 2 ，r 。为各球的直径，那么d 维豪 斯道夫测度可用下式定义6 1 m ，j ( e ) _ l i m 即i n f 。s _ t 。s ( 2 2 ) 此量从0 向无限大迁移时，则称d 为集合e 的豪斯道夫维数。 豪斯道夫维数也可以用另一种方法来定义 1 7 1 0 设一个几何对象的分数维是d ， 保持度量单位半径r 不便，使几何对象沿其每个独立方向放大，倍，这时几何对象 放大了k 倍。设对它进行度量的结果为( r ) ，则n ( r ) 必为原值的k 倍，则 j ，( r ) ：k n ( r ) ：罢 ( 2 3 ) ， 这里c 为常数。反之，如几何对象保持不变，而将度量单位半径r 缩小为原来半 径的1 1 ，则度量结果也必为( r ) ，即 ，、一d ( r ) = c l 导) ( 2 4 ) 由方程( 2 3 ) 和( 2 4 ) 可知 第二章分形理论简介 故有 ( 2 5 ) d ：坐( 2 - - 6 ) l n ， 两个定义显然是自治的，只不过第二种定义与相似性维数更接近些，所以也更形 象些。 2 3 物理分形与数学分形 从物理观点上看，分形往往是经常性非周期力重复作用产生复杂结构的结果。 海岸线正是由l x l 浪不断侵蚀而成，其形状反映周期过程和非周期过程的一种平 衡。这样在随机分形结构中尽管小范围是无序的，但大范围内仍呈现出有序性。 从这个意义上看，自然分形既不能用数学物理中的普通周期函数表示，也不能用 统计方法和信号处理中的随机函数或相关性描述。 我们重新回到海岸线的长度问题上来。海岸线作为一种实际事物，它在大小 两个方向上都有自然的限制，取海岸线上外缘几个突出的点，用直线把它们连起 来，得到海岸线长度的一个下界，使用比这些直线更长的尺度是没有什么意义的。 另一方面，海边的砂石其最小尺度也不过于原子和分子，使用更小的尺度也是毫 无意义的。在这两个限度之自j ，存在着许多个数量级的“无标度”区问。所谓无 标度性，是指不论测量的单位如何变化，我们所关心和研究的性质( 如形念、复 杂程度、不规则性等) 均不发生变化。我们已经看到，在无标度区内，长度显然 不是海岸线好的度量特征，分数维将是更合适的概念。事实上，任何无标度区问 都是建立在一定的特征尺度之上。所谓特征尺度，即我们测量对象时所用的尺码。 任何事物，一旦取定了它的特征尺度，那么在大于内尺度而小于外尺度的范围内， 一定存在着与尺度无关的“无标度区”。对于统计分形而言超出了无标度区间 其自相似性和自仿射性便不复存在了。 对于严格的自相似分形，由于它存在数学上的无穷嵌套因此它的无标度区 间是无穷大的，它没有外尺度也无内尺度，因而也没有特征尺度。在无穷嵌套结 构中，根据自相似性，分数维数虽然是由第一次的构造原则所决定，与结构自身 的层次( 阶数) 无关，但与分形的另外一些特性，如它的欧氏测度却密切相关 i s i 。 数学上的连续迭代分形与自然界真实物体和物理过程所表现出的物理分形是有区 别的。数学分形在任意标度下均有自相似性，而自然界所呈现的形状如地貌结构、 海洋表面，植被、湍流及闪电等都有内外标度。换句话说，这些结构在一定的标 度区间内才显示分形特性。 s 茎王坌堡! 堂坌堑堑塞一 ：一 分形结构特性与电磁波的最终结合由相应的电磁波的波长这个尺度来决定。 在海岸线问题上我们可以通过尺子的缩小量与海岸线长度的增加量来确定海岸 线的特征。对于分形天线，情况正好相反，我们是要设计出合适的分形结构及馈 电方式，使得天线能工作在不同的频率或波长下，而天线的性能基本保持不变， 或者使得天线在某一频率下性能更好。 箜三主堑量鲨塑尘 ! 一 第三章矩量法简介 在目前电磁场问题的数值计算方法中，矩量法m “1 是应用较早和较为广泛 的一种。矩量法的收敛速度比f d t d 法快，如果基函数和权函数选择合理的话， 用矩量法得到的结果是非常精确的。本文中的计算结果大部分都是用采用n e c 2 计算内核的矩量法程序得到的，因此本章对程序中用到的矩量法的基本原理、电 场积分方程和基函数的选取作简要介绍。 3 1 矩量法原理 根据线性空侧理论，n 个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程、积 分方程都属于希尔伯特空间中的算子方程，这类算子方程可化为矩阵方程求解。 由于在求解过程中，需要计算广义矩量故穗此中方法为矩量法。 对于一般的算子方程，可写为 巧= p ( 3 1 ) 其中e 为已知激励源，f 为未知响应，l 为线性算子。将未知函数f 用基函数 f 线性展开： 厂= q 正( 3 - - 2 ) 为确定系数d ，用权函数 w i ) 对( 3 1 ) 式两边取内积，得 ( w ，们= ( w ，p ) i = l ，n ( 3 3 ) 由于l 是线性算子，故有 窆口如，玩) = ( w j ，e ) j _ 1 ，一，( 3 - - 4 ) 将上式写成矩阵形式 【g 【 = 【e 其中g 。= ( w ，玩) ，爿，= a ， e ，= 1 4 2 + , e i 。 ( 3 5 ) 矩阵方程的解为： 【棚：【g 】_ i 司 ( 3 6 ) 要用矩量法求解算子方程，第一个步骤是选取一个合适的内积，这里我们选 取的内积为： 望 董王坌堡垂些坌堑堑塞 ( ，g ) = j ，( f ) g ( 尹) 刊 ( 3 7 ) 矩量法解一般来说只是精确解的近似，近似的好坏与基函数及权函数的选取 有关，当两者相同时，这种方法也称为伽略金法。在n e c 2 2 1 所采用的权函数 为占函数即 w ，扩) = j ( f f ) ( 3 8 ) 基函数的选取要视具体问题而定。 3 2 电场积分方程( e f i e ) 在各向同性均匀无界媒质中由电流源了产生的电场的积分表达式1 为： 嗣= ( 一掣) f 【i + 矿1 v v 7 ) g ( 哪( f ) d y ( 3 9 ) 其中 舭，= 筹= 嵩 对于在自由空间的情况，由格林函数对称性，上式可简写为： 舌= 等胁，赫f ) d v ( 3 - - 1 0 ) 其中 a ( f ，) ：( 2 亍+ v v ) g ( v ，f ) g ( - 一) = 街 k = 珊扫忑 叩= 瓜 亍= ( 菇+ 劳+ 笼) 时间因子为e x p ( j 甜) 。 对于理想导体，电流仅分靠于表面。当观察点不在导体面上时，( 3 1 0 ) 式可写 为 翮= - 一- g 7 刁p ，( f ) g 2 ( r , r ) 幽( 3 - - 1 1 ) 剥 第三章矩量法简介 其中j 。为面电流密度。 当尹- - - - hf 时，( 3 1 0 ) 式可写为 豆( 耻等 ，了，) 葩即出 ( 3 1 2 ) f 表示主值积分。 对于理想导体，在边界上还必须满足电场切向连续条件，即 卉( f ) x p ( ，) + 豆7 ( f ) j = o ( 3 - - 1 3 ) h 为s 的单位法矢，豆5 是由感应电流1 7 产生的散射场，将豆。写成( 3 1 2 ) 式的 形式代入( 3 1 3 ) 式中得 啊m 豆够) = 等姆) x f 、z ( 叻，k 2 j + 可v 虹尹) 删 ( 3 - 1 4 ) 对于细导线，我们作如下近似2 ”： ( 1 )电流只沿导线轴的方向流动： ( 2 ) 电流和电荷密度可以近似地认为是线电流，和导线轴上的线密度仃： ( 3 ) 只对导线表面上豆的轴向分量使用边界条件。 作了这些近似后，导线上的面电流了。( f ) 就可以用线电流，柬代替： ，( s ) - j = 2 n u j 、妒) ( 3 1 5 ) s 为，处的轴向距离，；为单位切向矢。因此( 3 1 4 ) 式可写为 “( m p ( 班等娴1 1 ) p 坷昙声( 即 ( 3 _ 1 6 ) 对整条导线积分对雷的轴向分量应用边界条件，将上式写成标量形式为： 。趴耻杀弦) 卜寥一嘉虹即出( 3 - - 1 7 ) 由于f 是线轴上的点而尹为表面或外面的点，因此p 一刊日，a 为导线半径。 3 3 电流基函数的选取 在矩量法中，基函数的选取是非常重要的，它对解的精度及收敛速度有很大 的影响。在n e c 2 中采用的基函数为： i s ( 5 ) = ，+ 目s i n k ( s - s j ) + c jc o s k ( s - s ) ，b s j i a ，2 ( 3 1 8 ) 其中0 是第j 段的中心坐标，a ，为第j 段的长度，a ，、目和q 都为待定系数。 按文献1 2 0 1 中介绍的分段方法，将每- d , 段又取为n 一、n o 和n + ，则可得 ，o ( s ) = a ? + b ? s i n k ( s s f ) + c ? c o s k ( s - s ，)f $ - - s ，f ，2 ( 3 1 9 a ) 兰董王坌丝墨些坌堑堕茎 f j ( s ) = 巧+ 巧s i n k ( s s ) + q e o s k ( s s j ) ( 3 1 9 b ) i s - - s j l a j 2 ， - ，= 1 ，n f ( s ) = 一j + 彤s i n k ( s s j ) + c ；c o s k ( s s ) ( 3 1 9 c ) i s - - s j j 其中j 。和j 分别为零阶和一阶贝塞尔函数，r = 0 5 7 7 2 为欧拉常数。 3 4 电压源模型 1 3 ( 3 4 4 ) ( 3 4 5 ) ( 3 4 6 ) ( 3 4 7 ) ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) ( 3 5 0 ) ( 3 5 1 ) ( 3 5 2 ) ( 3 5 3 ) ( 3 5 4 ) 当基函数确定后，接下来应设定源。我们一般采用电压源模型。假设给第j 段加强度为v 的电压，则第i 段上的电场为 耻豢 ( 3 5 5 ) ，为第i 段的长度。 将这些已知条件代入前面的计算式中，求出内积，得到矩阵方程，然后用高 ，；，。 坐董王坌墅墨垡坌堑婴壅 = = 一 斯消元法等方法求解矩阵方程，可得到电流展开系数，即可求出导线上的电流分 布。知道了电流分布后，我们可以根据需要对天线的输入阻抗或远场方向图等电 参数进行计算。 有关文献2 3 1 的测试数据表明，当导体的分段满足一定条件1 2 3 1 ( 如分段均匀 且 0 1 丑等) 时，采用以上基函数和电压源模型的矩量法可以得到非常精确的 结果，其误差大约为1 2 。 第四章分形单极子天线 第四章分形单极子天线 1 5 天线的小型化技术一直是天线设计中的一个重点。由于天线尺寸减小后，其 辐射电阻也随之减小，其输入阻抗的虚部增大使得天线很难与传输线匹配。通 常为改善天线的输入阻抗特性，一般需要对天线进行加载。文献【2 4 1 中介绍了 几种加载方法，如介质加载、顶部加载等。本文中介绍的天线并没有采用以上这 些方法，但大部分原理是相同的。本文通过引入分形结构来改善天线的输入阻抗 特性，达到尺寸缩减的目的。 在本章中，k o c h 曲线和一种树状分形结构都被设计成单极子天线。本文对这 两种单极子天线作了详细的研究，并与普通的四分之一波长单极子作了比较。本 文假设这些单极子天线都沿z 轴放置，与x y 平面垂直，且高度相同，都为9 c m 。 我们用矩量法在一定频率范围内对天线的输入阻抗特性和方向图特性进行分析， 并与实验测量结果相比较，两者基本吻合。实验数据和仿真结果都表明，这两种 分形单极子天线都具有尺寸缩减性。 4 1 电小天线 在介绍分形单极子天线之前，我们先来回顾下电小天线的概念。所谓电小 天线就是指天线的最大几何尺寸远小于工作波长的天线。在天线领域中曾对四个 方面的问题提出了基本限度，即电小天线、超方向性天线、超分辨力天线和高增 益天线。其中电小天线用集中参数理论和球面波模式理论进行了分析它们的共 同结论2 4 1 是：天线的品质因素q 和以波长衡量的天线体积( 球体) 的半径的三 次方成反比。天线的电尺寸越小，它的q 值就越高，工作频带宽度也就越窄。 按惠勒( la w h e e l e r ) 的定义，当天线满足下式： 三上( 4 1 ) 22 万 时，天线可称为电小天线。式中，为天线的最大几何尺寸，丑为工作波长。实际 上这方面并没有一个严格的界限。r wek i n g 定义的电小天线的界限为 五1 1 0 ，而s a s c h l k u n o f f 及h tf r i s s 则定义为 s 1 s 。本文中采用的是 惠勒的定义，对于单极子天线，可将( 4 一1 ) 式写为： k h 1( 4 2 ) k 为波数，h 为天线高度。 众所周知，天线是与自由空间相耦合的部件。在自由空间，一定工作频率的 若干分形天线分析研究 无线电波所对应的波长是不以人们的主观意志为转移的，而天线的性能又是和自 由空间的波长密切相关的，从这个意义上说是无法要求其小型化的。这个意思 从另一个角度来说就是在缩小天线的体积尺寸后，必然要引起天线某些性能的 劣化。本文研究分形技术在天线上的应用，目的之一就是要利用分形技术来减小 天线的体积( 尺寸) 并且尽量使其它方面的性能指标保持不变。 4 2k o c h 单极子 本章中，我们首先研究的是k o c h 单极子天线。这种天线在文献 7 1 中已有 论述，本章研究的目的是作为一个比较和补充且本章的侧重点有所不同，本章 更偏重于分形单极子天线尺寸缩减性的研究。 4 2 1k o c h 曲线的几何描述 k o c h 曲线是h e l g ey o nk o c h 于1 9 0 4 年构造出的一种曲线，是分形曲线的一 个代表作。k o c h 曲线的生成方法有多种，较为直观的一种方法就是替换法，其过 程如图4 1 所示：将一直线段分成三等分，截去中问的l 3 部分而代之以两个 l 3 长的相交6 0 0 角的线段，这样就得到一条新的曲线；然后再对每一个1 3 长线 段( 此时共四条线段) 重复上述过程，又可得到另一条曲线；，经过无数次替 代后，我们就得到了k o c h 分形曲线。 k 0 k 1k 2k 3 k 4 | ! i4 1k o c h 曲线生成过程 理想的k o c h 分形曲线处处连续却处处不可微，但对于天线工程来说要把一 副天线加工成这种理想的形状，实际上是不可能的，我们只能加工成k o c h 曲线 的有限次迭代的形式。为研究方便起见，我们把经过零次迭代k o c h 曲线称为k 0 第四章分形单极子天线 ( 直线) ，把经过一次迭代的k o c h 曲线称为k l ，经过n 次迭代的k o c h 曲 线称为k n 。 从图4 1 中我们可以看出，k o c h 曲线每迭代次，其总长度就变为原来的 4 3 倍，而曲线的高度( 跨度) 却保持不变，因此，对于一条经过无数次迭代的 k o c h 曲线，它将成为一条高度不变，长度却无限长的特殊曲线。k o c h 曲线的总 长度与其迭代次数有关，对于n 次迭代的k o c h 曲线，其长度可由下式给出： 小俐( 4 - - 3 ) 其中h 为迭代酊原直线的高度，n 为迭代次数。 4 2 2k o c h 曲线的生成算法 上- 4 , 节我们从几何的角度出发，给出了生成k o c h 曲线的一种直观的方法， 这对于我们理解k o c h 曲线的产生过程是很方便的但是如果要用计算机程序来 生成k o c h 曲线，这是不够的，必须用一种数学算法来描述这个过程。生成k o c h 曲线的算法也有很多种，本文中采用的是i f s ( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ) 方 法。i f s 是一种收缩仿射变换族由它可以构造、描述一大类分形集合。一个i f s ( 迭代函数系统) 是由几个仿射变换构成。设有一变换：r 2 一r 2 的形式为： 国( 工1 ，x 2 ) = 0 w 1 + h 2 + p ，“l + 出2 + 厂) ( 4 - - 4 ) 在直角坐标系中，我们常常写成如下形式： 。( 三 = ：； 耋 + ；) = 爿x + ，( 4 - - 5 ) 其中1 2 ，6 ，c ，d ，p ，f 均为实数，和叠为j 点的坐标。由上式我们可以看 出，仿射变换仅与这6 个实数有关，因此我们将仿射变换写成国= k ，6 ，c ，d 一，】 的形式。相应的，矩阵一总可以写成如下形式： 一=(i咖善：8黝(4-6)sin0 c o s o lr 】 i，22j 当= 1 2 = ，0 r 1 ，# - 0 1 = 0 ：= 0 时，此变换称为收缩性自相似变换。其中 ，为收缩因子，0 为旋转角度。矩阵t 是变换中的位移量。 根掘i f s 方法，图4 1 中的k o c h 曲线可以由下列仿射变换确定： 铲b ，o ，h o l 铲1 c o s 6 0 0 , ；s i n 6 0 。, - ；s i n 6 0 。, 1 c o s 6 0 。, 0 , 訇 若干分形天线分析研究 铲l ，l _ e o s 6 0 0 弩_ 1 舶o o ，扣o o ，；c o $ 6 0 。, 譬- ，爿 旷卧咖，司( 4 - - 7 ) 其中收缩因子为1 1 3 ，旋转角度分别为0 0 ，- - 6 0 0 ，6 0 0 和0 0 。图4 1 中给出了从零 次迭代到四次迭代的五条k o c h 曲线。 4 2 3k o c h 单极子天线的测量 我们按单极子天线的方式测量了k o 、k 1 和k 2 这三种天线。天线馈电方式如 图4 2 所示。所有的k o c h 单极子天线高都为9 c m ，都是由直径为0 8 m m 的铜导线 弯曲而成。接地板为一直径8 2 c m 的铝盘，同轴线特性阻抗为5 0 q ，测量仪器为 w i l t r o n3 7 2 6 9 a 。 幽4 2 天线示意幽 我们对天线在2 0 0 l h z 到1 5 0 0 m h z 频率范围内的输入阻抗特性进行了测量，图 4 3 中给出了它们的驻波曲线的测量值。 l 兰| 4 3 a k 0 的驻波曲线的测越值 k 0 、k i 和k 2 的驻波最小点的测量值分别为8 0 1 m h z 、6 7 5 m h z 和5 9 3 m h z 。 从图中我们可以看出，随着迭代次数的增加，驻波最小点逐渐向低频端偏移，这 第四章分形单极子天线 i 兰i4 _ 3 bk l 的驻波曲线的测耸值 1 9 幽4 3 ck 2 的驻波曲线的测域值 意味着天线要实现阻抗匹配所需的尺寸在减小。为方便分析天线的其它各项参 数，我们也对天线进行了仿真计算。 4 2 4 数值结果及分析 由于天线加工方面的原因，我们只能对前三次迭代的k o c h 曲线单极子进行 测量，无法用测量的方法对更高次迭代的k o c h 单极子进行研究，对更高次迭代 的k o c h 单极子天线，我们只能用数值方法加以仿真。我们首先用矩量法对前五 次迭代的k o c h 单极子天线的输入阻抗特性( 即s l l 参数) 进行了仿真计算，计 算结果如图4 4 所示。从图中我们可以看出，k o 、k 1 和k 2 的驻波最小点处的频 率分别为7 9 5 m h z 、6 7 5 m h z 和6 0 0 m h z 与前面的测量结果8 0 1 m h z 、6 7 5 m h z 和5 9 3 m h z 十分接近，这说明我们的计算程序是可靠的计算结果是可信的。由 于测量所得到的数据有限，为统一起见，本文在下面的分析中都将采用数值计算 结果。 从s l1 参数图中我们可以看出，整个k o c h 曲线单极子天线系列的驻波最小 点都随着迭代次数的增加而向低频端偏移，相应的更高次迭代的k o c h 曲线k 3 和 k 4 的驻波最小点处的频率分别为5 6 5 m h z 和5 5 5 m h z 。为更好地分析k o c h 单极 若干分形天线分析研究 子天线的阻抗特性，我们对天线输入阻抗的实部和虚部分别进行分析。图4 5 给 出了k 0 - - k 4 的输入阻抗的实部和虚部曲线。 幽4 4k 0 - - k 4 的s 参数计算值曲线 f r e q u e n c y ( m h z ) l 茎| 4 5 a 不同k o c h 单极子天线输入阻抗的实部 从输入阻抗曲线图中我们可以看出，随着迭代次数的增加，天线的第一谐振 频率( 下文中简称谐振频率) 逐渐降低，但是降低的幅度逐步减小。从图中我们 还可以看出，在低频端，天线输入阻抗的实部随着迭代次数的增大而增大，天线 输入阻抗的容抗分量随着迭代次数的增大而减小。我们回过头再来看k o c h 曲线 的结构，从k 0 到k 】，天线的横向尺寸增大了，但是，从k l 到k 4 ，天线的最大 横向尺寸没有改变，天线的高度也不变，但天线的长度却增大了很多，因此，我 们可以确定，k o c h 曲线的分形结构是天线谐振频率的降低的主要原因。 首o01口。暑lee一一dp)= 第四章分形单极子天线 f r e q o e n c y ( m h z ) 图4 5 b 不同k o c h 单板子大线输入阻抗的虚部 我们已经知道，k o c h 分形可以在一定程度上降低天线的谐振频率，使k o c h 单极子天线向电小天线靠近，但k o c h 分形是否会改变单极子天线的方向图昵? 下面我们就研究一下k o c h 分形技术对天线方向图的影响。 假设天线在x z 平面内，与z 轴平行，弯曲部分在x 轴f 半平面内( 如图4 2 所示) 。图4 6 中给出各个天线在驻波最小点处的方向图( 方向系数) 。口从一9 0 0 到9 0 0 表示口角是从x ( 或y ) 负半轴到x ( 或y ) 正半轴。 h l ! i4 6 a 不同k o c h 曲线单极子x z 平面方向图 四分之一波长单极子天线方向系数的理论值为5 1 6 r i b ，矩量法计算的k 0 的 方向系数为5 ，l s d b ，与理论值非常接近，这再次说明我们的计算程序是可信的， 计算结果是精确的。从x y 平面、x z 平面和y z 平面这三个正交平面的方向图中 我们可阻看出，不同迭代次数的k o c h 曲线单极子天线在各自的驻波最小点的方 向图基本一样。其中在垂直面内的方向图几乎完全重合，在水平面内的方向图略 若干分形天线分析研究 9 。朗加5 d - 4 03 0 - t 1 0d 1 02 03 0d 05 0 7 d 轴 0 图4 6 b 不同k o c h 曲线单板子y z 平面方向图 d ir e d i v i b t l e r ne = s o 。 亨_ _ q m 剧4 6 c 不同k o c h 曲线单极子x y 乎面方向l 生l 有差别，但差别很小。在0 1 - 0 2 d b 左右，估计这主要是由于k o c h 曲线的弯曲部 分造成的。由于k o c h 曲线的几何结构在水平方向没有圆对称性，使