本科毕业论文-奇偶性的推广及应用论文.doc

榆林学院本科毕业论文分类号 单位代码 密 级 学 号 学生毕业论文题 目奇偶性的推广及应用作 者院 (系)专 业指导教师答辩日期摘 要奇偶性是一种特殊对称性，利用函数对称性可以化简很多积分计算本课题从一元函数奇偶性定义出发，进而先横向将其推广到一般的中心对称、轴对称的情况，再纵向推广到多元函数的情况最后介绍对称性在一些积分运算中的应用，让我们对对称性有一个更深入的了解关键字：奇偶性；中心对称；轴对称I榆林学院本科毕业论文The deformation and Application of An EquationABSTRACTParity is a special kind of symmetry，integral calculation can be simplified a lot by symmetry functionsThis topic carries on the deformation，then first to promote it to the center of the general symmetry，axisymmetric condition，longitudinal extension to multivariate function from the definition of function parity sexFinally introduces the application of symmetry in some integral operation，let us have a deeper knowledge of symmetryKey words：parity；center symmetry；axisymmetric I榆林学院本科毕业论文目 录摘 要IABSTRACTII目 录III1引言12函数奇偶性定义的推广22.1一元函数奇偶性定义22.2一元函数奇偶性概念的推广23函数对称性的应用43.1一元函数对称性的应用43.2二元函数对称性的应用84小结12参考文献13致 谢14III 1引言我们知道一元奇函数是关于原点中心对称的函数，偶函数是关于轴对称的函数，对于这一类函数性质的应用我们已经十分熟悉。奇偶性是一种特殊的对称性，那么对于一般的点对称、轴对称的性质呢？一元函数我们清楚了，那么多元函数呢？本文将对这些问题做一个初步的研究2函数奇偶性定义的推广2.1一元函数奇偶性定义先写出一元函数奇偶性的定义：定义11 为定义在上的函数，是对称于原点的数集对，若有，则为上的奇函数；若有，则为上的偶函数判断一元函数奇偶性有三种等价的形式：推论1 对定义域内任意，（1）为偶函数的充要条件为；（2）为奇函数的充要条件为推论2 对定义域内任意，当恒不为时，（1）为偶函数的充要条件为；（2）为奇函数的充要条件为推论3 对定义域内任意，（1）为偶函数的充要条件为；（2）为奇函数的充要条件为2.2一元函数奇偶性概念的推广我们知道一元奇函数是关于原点成中心对称的函数，一元偶函数是关于轴成轴对称的函数，那么一般的中心对称、轴对称又是如何定义的呢？现在我们就从一元函数奇偶性定义出发，看看一般中心对称轴对称是如何定义的定义22 如果函数，满足对，恒有，那么函数图象关于点对称；如果函数，满足对，恒有，那么函数图象有直线对称特殊的取，时，就得到一元函数奇偶性的定义了由此我们就将函数的奇偶性推广为一般的中心对称，轴对称，以后我们提到奇偶函数时就可以用中心对称，轴对称来代替完成了它的纵向推广过程，我们再来看一下它的横向推广过程即了解一元函数对称性后，我们再来看一下多元函数的对称性定义32 如果二元函数，定义域为，任给，（1）若，则称是以点中心对称的二元函数（2）若 ，则称是以直线，为对称轴的二元函数（3）若 ，则称是以面为对称面的二元函数，同样若，则称是以面为对称面的二元函数三元函数到元函数的情况同理由此完成了奇偶函数定义的纵向推广过程多元函数对称性也可以用像一元函数奇偶性的等价变形来证明这里不再加以说明大学数学中有很多问题都用到了函数的对称性，下面我们主要说明一下一元函数和二元函数对称性的应用3函数对称性的应用3.1一元函数对称性的应用定理13 若在定义域内可积且关于点对称，即满足，则对，有证明 由已知，先令，则，再令，则，那么就有 ，得证特殊的当，时，即为一元函数积分对称性应用定理24 若在定义域内可积且关于直线对称，即满足，则对，有证明 左边，已知，现令，则， ，那么左边右边，得证例15 求定积分解 令，取，则，有 ，由定义3知在上关于点对称，再由定理1知 例2 求积分的值解 令，则 那么关于中心对称由定理1知 例3 求定积分解 积分区域关于原点对称且原式 ，令，则，那么，由推理1知关于对称那么由定理2可知 ，再令，则，由推理1知关于点对称那么由定理1可知，即有原式例46 求解 原式因为，故为偶函数令，那么，故由推论1知为奇函数则为上的奇函数再由定理1知，那么原式，而，则在上关于点对称，故再由定理2知 3.2二元函数对称性的应用定理37 若在定义域内可积且关于点对称，即满足，则对，则证明 由已知，先令则 ，再令则 ，那么原式 ，得证定理47 若在平面域内可积且关于点对称，即满足，则其中表示积分区域的面积其证明可利用一元函数的对称性，类似定理3的证明定理54 若在平面区域可积，且即关于面对称，即满足，则，其中为在轴上方的部分定理63 若在定义域内可积，且同时关于面，和面对称，即满足，则对，则，其中为在轴上方，右边的部分定理77 设二元函数在平面区域内可积，且，和关于点中心对称对称，则当时，有例5 求积分，其中是由直线，所围成的区域解 积分区域关于点对称，令，则，那么由定理4知例68 求二重积分，其中是由，所围成的平面区域解 积分区域关于原点对称令则，又有 +，同理，故(待定常数)，令，故由定义2知是上关于点中心对称的二元函数再由定理5知例7 求积分，其中是由确定的闭区域解 积分区域关于点中心对称令，则，且，那么关于面和面对称由定理6知例8 求二重积分=，其中为除去坐标轴轴以外椭圆1围成的区域解 积分区域是以原点为中心的对称区域，令，且，那么，而在且内恒不为零则，即有，由定义3知是以点中心对称那么由定理4知=0对于三重积分的情况，同样可以利用被积函数点对称，线对称，面对称的性质来计算，多元积分同理4小结本文以一元函数奇偶性定义为起点，进行推广，并通过相关例题，介绍了奇偶函数推广后的一些性质的在积分计算中的应用利用对称性计算积分是一种非常重要的计算技巧，对数学理论的研究以及积分运算的解答都有重要的意义它对我们以后进行进一步的学习有很大的帮助，同时也指引我们探讨一个问题时，要深入挖掘其本质含义学会举一反三，寻求最简单、最快捷的解决办法，从而提高解题效率参考文献1 吉米多维奇(苏联)数学分析习题集题解(一)M山东科学技术出版社,19802 毛纲源，考研数学（数学二）常考题型及其解题方法技巧归纳M武汉:华中科技大学出版社，2004103 王家正，乔宗敏数学分析选讲M安徽大学出版社，2010.8.4 隋梅真，对称区域上二重积分可以简化的条件和方法J山东建筑工程学院学报，19955 华东师范大学数学系