（基础数学专业论文）矩阵方程反问题的极小frobenius范数对称解.pdf

摘要 矩阵特征值反问题是研究如何根据特征值、特征向量等信息确定矩阵的元素 约束矩阵方程问题是在满足一定约束条件| 、i 的矩阵集合中求矩阵方行! ! i ：l ，j 解m 阵特 征值反问题广。泛应用于自动控制、经济、振动理论、以及土木工程等，约束翘1 5 乍方 程问题在结构力学、固体力学、物理、地质、分了光谱学、电学、量子力学、结构 设计、参数谚 刖、自动控制、非线性规划j 动态分析等许多领域挪具有踅要的应川 本文在线性约束下矩阵束最佳逼近问题中，在一定的条件下，解决了一个矩阵柬最 佳逼近| 、u j 题 问题：设么，召，c 都是mx1 l 阶矩阵，当彳和口满足同时奇异值分解( s s v d ) ， 求x s r ”，y 觥”7 ，使得满足0 似+ y , b - cf = m i n ，汜 s = 瞵，叫8 似+ 朋一c l = r a i n ，a 觥“” ，s r 本文解决了这个关于x ，y 的矩阵方程a x + y 1 3 = c 的反问题，得到了其 f r o b c n i u s 范数对称解 关键词：反问题；奇异值分解；f r o b e n i u s 范数；划称删 a b s t r a c t a ni n v e r s ep r o b l e mo fm a t r i xe i g e n v a l u e si si n v e s t i g a t i n gh o wt od e t e r m i n em a t r i x e l e m e n t su s i n gt h ei n f o r m a t i o no fe i g e n v a l u e ，c i g e n v e t o ra n ds oo n t h ep r o b l e mo f c o n s t r a i n e de q u a t i o ni sf i n d i n gt h es o l u t i o no fm a t r i xe q u a t i o ni nt h em a t r i xs e t sw h i c hi s i l ld e t e r m i n e dc o n s t r a i n e dc o n d i t i o n i n v e r s ep j o b l e m so i ：m a t r i xe i g e n v a l u e sh a v eb e e n w i d e l yu s e di n c o n t r o lt h e o r y , e c o n o m i cf i e l d ，v i b r a t i o nt h e o r ya n dc i v i lc o n s t r u c t i o n e n g i n c c r i n g t h ep r o b l e mo fc o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o ni sv e r yi l n p o r t a n tt ot h ea r e ao l c o n s t l u c t i o n m e c h a n i c s ，s o l i dm e c h a n i c s ，p h y s i c s ，g e o l o g y ，m o l e c u l es p e c t r o s c o p y ， e l e c t r i c i t y ，q u a n t u mm e c h a n i c s ，c o n s t r u c t i o nd e s i g n ， ) a r a n r a t e ri d e n t i f i c a t i o n ，a u t o m a t i c c o n t r o l ，n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ，d y n a m i ca n a l y s i sa n ds oo i l 1 h i sp a p e rs o l v e sa no p t i m a la p p r o x i m a t i o no fm a t r i x f i b e r su n d e rl i n e a rc o n s t r a i n s w i t ht h em o d i f y i n go ft h ec o n d i t i o n p r o b l e m ：l e ta ，ba n dca r ea l l ，2 甩l n a t r i c e s w h e n 4 a n d 口s a t i s f yt h e s a m e s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n ( s s vd ) ，w e s e e kt h e s y m m e t r i c n l a t l i x s r ”，) 7 s r s ot h a ta x + y b - cf = r a i n l e t s = 【x ，r j l u a x - y b e l l = m i l ls y 默j ，y s i t ” t h i sp a p e rs o l v e st h ei n v e r s ep r o b l e mr ) rm a t r i xe q u a t i o no l ，y ， ，。_ j 义+ m = c a n do b t a i n st h em i n i m u m f r o b e n i u s - n o r m s y m m e t r i c a ls o l u t i o n k e yw o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ；s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ；f r o b e n i u s n o r m ；s y m m e t r i c s o l u t i o n i v 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文矩阵方程反问题的极小f r o b e n i u s 范数对称解，足存导 师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引川的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 缴作者( 签孙尚绷 m q 年j ，月暖h 指导教师确认( 签名) ： 伊8 年州1 州 学位论文版权使用授权书 f 喹营0 本学位沦义作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送变学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被奄阅和借阅。本人授权河北! j f i j 范大学可以将! 学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影目j 、缩印或其它复制于段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适朋木授权书) 论文作者。签孙尚窆钢 明l 二厂月昭h 指导教师( 签名) ： ( 唔匿 似暑年j 制l 引言 代数特征值反问题( 又称矩阵特征值反问题或代数逆特征值问题) ，就是研究纨i 何根据特征值、特征向量等信息( 有时附加某些条件) 确定矩阳向已素其来源十分j 。 泛，它不仅来自对数学物理反问题的离散化，而i = 1 来匡l 幽体力学、粒了物理、量。j 物 理、结构i 殳计、系统参数识别、自动控制等许多领域例如，著名的s t u r m l i o u v i l l e j j 习题的反0 j j 题就是利用特征值和特征函数确定s t u r m l i o u v i l l 方程的系数及边界 条件，多自山度弹簧一一质点系统的物理参数识别就归结为j a c o b i 矩阵逆特征值问 题 约束矩阵方程问题是在满足一定约束条件下的矩阵集合中求矩阵方程的解刁i 同约束条件，或刁i 同类型的矩阵方程，都得到不l 司的约束矩阵方程数值代数r t l ，存 一定的约束条件f ，求矩阵使其具有预先给定的特征刈，称为代数特征对反问题； 已知矩阵x ，- 3 ，求满足某种约束条件的矩阵爿使么，v = 1 3 或l l a x 一3 = m i nn ，j 问题 称为矩阵反问题它们都是一类约束矩阵方程问题 约束9 i 1 1 ( 1 5 1 - 方程问题在结构力学、吲体力学、物理、地质、分子光潜学、电学、 量子力学、结构设计、参数识别、自动控制、非线性j i i ! 划与动态分析等许多领域都 具有重要的应用 1 9 5 6 匈id o w n i n g 和h o u s e h o l d e r 首次捉 了矧i 阵特征值反m 题的加法问题1 9 6 8 车fh o e h s t a d t 发表了关于j a c o b i 矩阵特征值反邀的研究论义随后提f = 了含参数的 逆特征值j 、u j 题，对多自由度弹簧一一质点系统的物理参数识别提出j a c o b i 矩阵特征 值反问题随着问题的深入，约束矩阵方程问题引起了许多专家学者关注1 9 8 2 年， 湖南大学李森林教授在研究一类直接控制系统绝埘稳定性的充要条l q ：t , j 提m 了个 火十线性方l ! j 缴【臼，j 反正j 题，即给定石，6 凡”，找对称m 定矩阵a 使l x = 6 的m 题结 构系统的校正导致谱约束下的矩阵逼近i 、u j 题由于实际问题需求和问题本身具有的 数学上的魅力，各类约束矩阵方程及其最小二乘问题i ：内研究文献卜l 渐增多，特别是 从t 9 8 6 1 i 后，发展迅速，关于各类约束矩阵力程或其i 葭小二i 乘6 j 4 题i i l - i , i 存自制洲! 论 也刁i 断完善，捉 | = | 了些求解约束矩阵方碰的有效数值方法，_ j 已心j l jj j 实际m 题，1 9 8 8 印，a l i w r i g h t 在研究非线性规划题们算秘删摊f 1 了具何j i 二j r 定约乘的_ i 州 容的矩阵方程求解题在电学、光学或自动控制的线性系统进| j j 测试或复原时，山 于原有资料不全或者要求对已有资料进行检核等原因，提川r 诺约束下矩阵的最优 逼近涮题在研究结构振动系统的校j f ，有限元模型的修m 等问题时，也遇剑了类 似0 j 0 趔线性最优控制问题也可归纳为约求矩阵力羁! n q 题枉结构分析坝域或刈微 分方程反01 越进行研究时，电提出类似的问题此外约束矩阵乃稚存在于线性楼 弛中方差及协方差的估计及对电力系统的慢负荷分析和短i l l 路研究：l 作中冉：航空 j 川卫中，对飞行器来说振动改计和振动控制是1 1 1 当重疆的，逆特征值力1 法已成为】【 l 行设计的有力一1 ：遵币是这些领域挝f b 的许多刁i 同类，弘的约束鲥邛年乃稻 问题刺激了 约束矩阵方程问题理论的快速发展，成为当今计算领域鼓热l jf 内课题之幽此， 约束矩阵方程问题的研究无论从理论还是从应用的角度来酿挪具有1 - 阉的自，j - 景 由j 二所给约束条件不同或应用背景不同从而得到1 i i 刊的约束矩阵方程l 0 题，目 6 仃，该领域的研究- ) f 起了国内外学者的高度重视，= j i ：已墩得r 乐列可。冉的成粜 本文所醣的背景问题是在电学或自动控制中常见的一个80 越，舀i 电学或自动控 制巾通过对系统输入和输出的信息关系的分析，以考察线性系统建立数学模型，认 让 或j e 测陔线。盹系统内部的构造特性，即构造一低迎滤波器，这实际1 j _ 是个黑箱 题，例如改输入数拥：为a ，输出数排 为口，确定故系统的状i s y ，从i f | j 也确定厂 个线性流形s ： s = x s r | 删= b ，脏 文ll 】f 2 i l | 1 已经埘这个线性流形l 的逆特札值n u 题做了。些倒1 ：究，再来史 【3 4 【5 】把研究线性流形也归结为特征值反n d 题并进 j ：r 叫究，9 2 6 1 1 7 1 1 8 】义摊j 剑 线性谱约束下矩阵束的最佳逼近阐题，刘关j j 二矩阵方剃反问题 水义的j l _ ：作足在线性约束。f 矩阵束最佳逼近问迎小对给定条件做一+ 改变，解；贝： 了一个i j ! | 炸束域t e 逼近问题 1 1 符号与基本概念 1 预备知识 定义1 1 1 池r ”表示m x 卵阶实矩i 坏集合，r ，”表力j ，l i 秋为，的子集， | i 1 1 为阡o b e n iu s 范数，s r ”表示所有靠以实矩阵的全体，o r ”表示，阶实i f 交阵， ，为单位阵，a 术口= ( ) 表示矩阵ab 口的l l ad a l n a r d 枳，a 表示矩阵a 1 1 3 i ) e n r o s ea 0 ，3 逆，a + 表示l e n r o s e m o o r e 。义逆 使得 定义1 1 2 给定a r ，“”，其奇异值分解( s v d ) 为存在u o r ”“”，v o r ”“7 ， 4 ：u f io 沙， l0o | 黔，： e i = d i 昭c 川 。，u = ( 鬈u ，2 少= ( 巧h v 2 , ) ， ( 1 ) 定义1 1 3 给定a ，b r “”。，j c 州时奇j 值分解( s s v i ) ) 为存 u o r ，v o r ”，使得 彳：u f - ( 0 妒， r 。( ) 、， 疗= u l 。 矿。 l0( ) | 其中u = ( y 绝) ，矿= ( ) ，= 蹦吣c 仃。，盯：，咋p 。 2 = d i a g ( & ，五，乃，v ，- 0 0 ) ，r = r a n k ( a ) ，t = r a n k ( ，) ，这黔设r t 定义t - 4 q ，。= c 1 1 ”，月“r ，矽1 ) 一= ( c s | t , - 孑7 兄，) 一 c 。：= c 蟛约，r ”x ，矽怛) ，= 叮，2 + 孑7 2 ) 一 ( 2 ) o | 九t o | 灭? ，1si ，? 1s l 万，五= o - ，五，l f ，j f f e 它 ，= c ，旷，= p f 2 了7 。_ 麓髫厂 奠它 4 = ( 蟛”) 旷7 ， = ( 矽”盯) r r 。r ，矽5 = ，t o ，( f _ l ，2 ，f ) ，g r “”，g = ( 岛) 州s ，7 s r ， 则满足阮s + ? 艺：一g = m i n 的解集 可表示为 厶= i s ，7 is ，? s c x , i e ，s + z 1 ：一g 虬= m i n l ，一o * ( e z g - g c e 2 ) + y k 玎、+。唯。g t - g e l ) + 甲：玎+ l 厶2 l ：乖：g 二o ，。，+ 主2 ：k g + 乖r o z 半g ，c q ：；二三，。水c ，g 。一去，f l ( p ，乖( i + g ，i ) + 4 串。，4 爿c rp 5 71 i 其中7 s r “r 并且存在p ，于j 厶，满足炒，于玑蠹( | l l | 2 ? + 例i 二， 一小 i i 女( 2 g g7 艺2 ) + l 、p i 拳( 中2 牢( f g + g i ) ) + 1 jt ( 。g + g 7 ，) + 【4 十g + 0 4 7 g 7 刚刿：概s + t e ：一g n = ( o - ，s j i + 2 厂g 。了+ ( 1 ) i ( l g 一g i ) + 甲2 ，# w 串( 2 术i ( ；十g7 i ) + ( 由s 一( d s 7 ) ( l g7 一g e i ) ( i 丁，+ 以f 。一g ，) 2 + l - t j ， ( c r , s 一岛) 2 + ( 叩，) 2 + i 1 j s ， ( 9 ，+ 弛- g p ) 2 + ( q - g , j ) ! s ，s ， s ，l - t s ， 7 山( 1 ) 式知 s ，叫厶，则必、z 纵f i ：阴- n - 匕i s h2 灭i g p2 j g _ o i 九| 一a j 九j + k ；tq = ，t 。=2 ；g 一九j g i o 仃， ， 万，兄f 盯，1 f ，f ， ! l k ”i t ? | l 1 f i ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 。，l 邮邸 s 驴望乒半，钒 o t 七oi j 2g ，q ，。2 警，js ， ， 把( 3 ) 、( 4 ) 、( ：t - ) ) 、( 6 ) 写成矩阵形式为 s = ( d i 木( 2 g g7 2 ) + v l 卑( ( d2 = i c ( l g + g7 。1 ) 一k 半7 + 中3 ：# ( l g + g 7 1 ) + 中4 母g + g7 帛( 1 ) 。7 。， i t = 【i ) l 堆( i g r g z i ) + 甲2 木t o + ( p5 水( l g7 一g x l ) + q ) 57 水( g x l 一i g7 ) = l 冰( l g r - g x i ) + v 2 爿c ? j + ( q ) 5 一( 1 ) 57 ) ( g t z i g7 ) ， 其中7 ；蹦” ( 6 ) ( 7 ) 对一j 二i s ，7 】厶，由于厶是一个闭凸集，所以满足”，删，= i n 的解足存白圳i 。 的，又有 岭诅 义i l l i 灿if 叱 硼 = ( 2 + 勺2 ) + ( f 二+ f ，2 ) + 2 c x ，2 + 0 ：) 十( 5 。2 + ，! ) ， a i a i o | | o 2 4 | f t s | g c ，| f r | s r s ，- 0 ， 贝, j i i a x + 肋一酬= m i n 解可表示为 i x ，y 】= u ( m l 水( 人：u 7 c u 一( 7 c u a ：) + v 。 其中t s r ” 证略 术( q ) ：丰( 人，u 。c u + u 。c 。u 人) 一k 帛7 ) ) u 7 u ( 水a 。u r c 7 u u7 c u a ，) + ：球r ) 己厂。 ， 定理2 8 给定i 2 d i a g ( c r l ，啄) o ，25 d i a g ( 五，乃，生) ，一 o ，i = 1 ，2 f g r ，则方程z i s + t z 2 = g ，s ，7 1 s r ”有解的充要条件是 其觯集为： 其中7 觥” ( 。+ v ，) 术( i g - g ，) = 0 m l 卓( 1 g 一g z i ) 一p 2 1 + ( ( i ) ，1 ) ，7 ) 冰( 。g r g ，) 证明：山( 2 1 ) 式知，方程。s + z z ：= g 有解当r - j 仪当l i ，圳寸， 、，lrj 、， k一 引 ( 水 一 甲g k & 彬咖 g 写 k p 木 宰 ) n l e + 乙 当口，兄，( 丁，五，q ，j =g 一l ，g ，o i f f , 一o - | g ? i 2 一；x i 二每又t 扣诤哪魁幽| 一渤，s i 舢广等2 等 瓠“洲，仃j g ! = o r 拈，驴等2 等 当1 i f j ，时， t i l = a | gq o g ? j 仃见 把以上各项写成矩阵形式，得有解的允要条件为 解为： s = e 1 ) l 7 = ( ( i 】。+ v ) 水伍i 1 g g7 i 1 ) = o 定理2 9 符b ，于j 上，则存在唯一解醇，于j 满足 8 p ，于】l f = ( 1 l 8 i 十i p l e ) j = r a i n 证毕 盼鸲, * ( e 晰z g - 叫g 州r z 2 ) + 啦il 三躲恐您，誉g r _ g z 屯1 ) 叼柑写。) ) 证明：若p ，于j 上，由- t - ：l 。是一个闭凸集，所以满足l p ，于 i 眭的，7 - i i 8 ，? 0 i = i i l l + l 于旷 要删s ，讯= m i n ，必、- , 川4 4 - 足- o = 0 ， i ，r 当a | 九l = o - j 九? | ，1 墨i ，jst 馘。 k i | s j | = l | i l 【) 2 ( 1 十k ，) g l 口， m i n 的解是存在 一 g 见 f 允 f 万一 岛一吒 l i 汕 、j 写 订r r c g k g 仁h 木 口 ， y k = ；伍一：g + 书 、l17 7 r 5 枣 e l k 一 一 匕 g h 卜 一l。仁r 球 枣 k + 、a 9 飞 一 r g g 伍k p 术 丰 ，巧 + g? 邮 + 2 g蚴 + 2 + ，v 一 等 q k + 2 + ，b 馏 q 恒 | | 、； p 一 ， u o 盯 + “毕 定理2 1 0 若a ，b ，c r 舢，a 与召刚司时奇；辛值分解形如( 2 ) ，方程有解的 充要条件是： 定义 c c v 2 = 0 ， ( 。+ 甲，) 半( i l u ? c v , 一_ 7 c 。u ，i ) = o ， r a n k ( z2 ，u ；c v , ) = t = r a n k ( b ) y ：= ( x ，匕) ，【，；c v , = ( c ，c ：) ， ! j ! | j 方程的解为 ：= ( j 三) ，= d j 昭c 允，元：，a ， l 4 = ，水伍：u f 。c v , 一_ 7 c u ，：) + 一术( u i c r , 一k 钉) + ( 中。+ 。) 术( i l u i c v , ) + ov i7 。( j7 u 。i 1 ) 叼cu ，i 1 ；1 “c 。r ， f ，扣，+ ，一；) 半 v j r ( ? u 一u l , c v ，) u l + 甲2 牢t ic l ；1y f 2 其中= s r ，x 2 2 s r ( 一r k ( 一，匕2 s i t ( j f f _ f 脚 _ r ) ，y 1 2 r f l i 抛一 证明：由( 8 ) 式知，方程有解的充要条件是： | i ，v + 】，i ，：一c l i | l ，? = o ，峪x 。：一c , 2 = 0 ，：一c 地= 0 ，c ：l i = o 所以，山定鲻149 i t l ，上式成立等价予 ( ( 重) 。十y ) 爿c 伍i c ，i c _ 一k 7 。c 。u ，i ) = o ，c ：= o u ；c v 2 = 0 ， x l2 = i c 。：= i 己厂j c 6 ， 扎= o 耸= c ： 铮r a n k ( z 2 ，c 2 1 ) = r a n k ( z2 ，u ；c v , ) = 仁r a n k ( b ) 、，l，j ， u 、llll、 c ，一，；，一彤k 一 凶此，有解f 一允要性就证完 ，下面我们米求其解，由定义得 ( _ 砭聒牡小功， 。j ：是；= ( y l ，匕) = ( c ；，匕) ，匕r ( 巾t ，_ ) 1 1 i 推论2 1 得 t t = 国，堆( 2 u 1 j c v , k c r u ，：) + 掣，母( i u i c v k 术7 ；) + 和。+ 04 ) 毋( 抛j c v , ) ( _ c u ，n l ，1 = m 。球( 。_ r c u ，一u l c k ，) + v ：枣7 + p ，一；) 木( ；k ，c u ，一u j 。c v , z ，) = ( ( p ，+ ；) 宰( ，k7 c u 一j c v e 。) 十甲：木丁 定理2 1 l x = v 若陋，矿】厶， l 防，砌f = m i n 存在唯一解，表示为 7 ( d ，水( 2u f c v , 一_ 7 。c r u ，：) + i 1l , ( i u i c v , + _ cr + ( 懈i ，) + 咖。乖( i 。u ，r c _ ) + ( 1 ) ：母厂c 7 u ，一) + 。木( ，u ? c _ + “7 1 c7 u ，) 曙川c u ，i 1 i 1 u l 。c v , 0 v7 ， f 阢木( ，“7 c r u ，一u j c v , ，)；，c j p = u i + 吉甲，珠k 木半( i ，u r c v , + “，c ，。，。一：) 一o p lc 1 ；1 0 0 j 证毕 证l ! j = | ： 因为。是一个闭凸集，所以存在唯一的极小h o b e n i u s 范数，利片j ( 4 ) 、( 5 ) 、( 6 ) 、( 7 ) 式和推论2 5 即町让得 推论2 1 2 当a = b 时，即为文献 8 所讨论的一个问题 推论2 1 3 若b 有( 1 ) 的分解式，爿= u i _ ，则方程似十凇：c 有解的充分 必要条件是 u ；c = 0 ，t h 木p i c v i v , c7 u ，) ：0 1 2 并日解集为 u l * ( 1 1 7 c 7 u i ；( - ? k u ：c i 嵋) + y 2 术7 1 其中， 7 s r 腑，x 2 2 舢“”一“，匕2 。默”“” 证明：i i j 于此时，= f ，所以( d 口= ( 1 ) 。r 2 = ，fq ) 。= 0 ，( 吣= 0 ，利片j 推论2 6 直接证得 1 3 y 吃 ，匏 凡x u 矿 c 己 u 、厂 “ z 、l 牢 ，咏胁u 一 一c 矿 ，、：计叫嘭 ，l 阻巾 米 ， ，q e i + 矿 | i y rj 、 u o ，y 参考文献 谢冬秀线性流形上的逆特征值 可题 j i 苛等学校计算数学学报，19 9 3 ( 4 ) ： 3 7 4 3 8 ( ) 【2 】戴华线性流形上实对称矩阵的最佳逼近问题计算数学，1 9 9 3 ( 4 ) ：4 7 8 4 8 8 【3j 郭忠，李斌矩阵方程y r a x = 3 的一类反问题湖南大学学报，1 9 9 4 ，2 l ( 4 ) ： 1 6 4 】袁永新阿类矩阵方程的极小范数解 j 】_ 高等计算数学学报2 0 0 2 2 ) ：1 2 8 ，i = ；4 5 】何楚宁线性流形上皿半正定阵的类逆特征值问题t 岛等学校计算数学学 报，2 0 0t ( 3 ) ：2 4 9