（基础数学专业论文）关于一类亚纯函数的分担值问题.pdf

k 盔硕士学位论文答辩委员会成员名单 伽厂年厂月上夕日 姓名职称单位备注 孳支，爪、级瑶车互吁钐天孑 主席 泳左秉瓠旋量蹄彩文芎 门至乏面取履备石彩 芬 蚕江娃浚t 魄节冢办无足孳和秽 l1 l 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究： 作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引j h j 的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个入和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：诌 【 嗍：如- 厂爹州。7 i d ， ， 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利1 7 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 i f 导师签名：瓦专i 1 v 日期： 莎哆t - - 占 名丌 一叶 蚊 b 位期 学口 摘要 在正规族理论中，可以得出这样的结果： ，是一族单位圆上的业纯函数，若对于任意，有 豆，( o ) = 动心) ，且一， 1 ) c 西，( 1 ) ，则，是单位圆上的正规族。 在值分布理论中，张庆彩得到了这样的结果：设，( = ) 是 复平面上的非常数亚纯函数，b 是非零的有限复数，若，和， c m 分担。且1 m 分担b ，则： ( i ) f = f ，或者 ( i i ) ，= 留2 b ，其中c 是任意非零常数。 注意到两个结论条件的相似性( 张的结果的条件要强一 些) ，按照b l o c h 原理的思想，我们猜测是不是可以将张庆彩 的条件中的“，和，7i m 分担b ”减弱成“，协) = b 辛，( z ) = b ”。 遵循这个思路，结合运用值分布和正规族的分析方法，我 们对这个猜测给出了肯定的证明，得到如下的结果： ，是非常数的亚纯函数，若，( z ) ，协) c m 分担0 且，协) = 1 = ，( 。) = 1 ，则，( ；) ；，协) 或者，( z ) = i = 忑2 ；，其中c 是某个非 零常数。 关键词：亚纯函数正规函数正规族i m 分担c m 分担零点 a b s t r a c t c o n c e r n i n gt h et h e o r y o fn o r m a lf a m i l i e s ，w ec a ng e tt h e f o l l o w i n gr e s u l t ： l e t 厂b eaf a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nu n i td i s c ，i f f o ra n yf 歹，w eh a v e 面，( o ) = 面，( o ) ，a n de s 一( 1 ) c e ( 1 ) ， t h e n ，i san o r m a lf a m i l yi nu n i td i s c c o n c e r n i n gv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y ，q c z h a n gg o tt h e f o l l c w i n gr e s u l t ： l e t ，( z ) b e an o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i ef u n c t i o ni nc jb i saf i n i t en o n z e r oc o m p l e xn u m b e r 。i f a n d | c ms h a r e0 a n di ms h a r eb ，t h e n ： ( i ) f 三f 7 ，o r ( i i ) ，= 南2 b ，h e r e ci sa n yn o n - z e r oc o n s t a n t 。 n o t i c i n gt h es i m i l a r i t yb e t w e e nt h ec o n d i t i o n so ft h et w o r e s u l t sa b o v e ( q c z h a n g sc o n d i t i o ni sm o r es t r o n g ) ，a n d g u i d e db yt h eb l o e hc o n j e c t u r e ，w eg u e s sw h e t h e rw ec a n w e a k e nt h ec o n d i t i o n ”a n df 7i ms h a r e 护i nq c z h a n g s r e s u l tt o ”f 7 ( 三) = b 号f ( z ) = b f o l l o w i n gt h i s ，a n du s i n g t h ea n a l y s i n gm e t h o d si nv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r ya n dt h e t h e o r yo fn o r m a lf a m i l i e s ，w eg i v ea f f i r m a t i v ea n s w e rt ot h e g u e s s ，a n dg e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t ： ，、 l e t ，b ean o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，i f ，f z ) ， ，7 ( z ) c ms h a r e0a n d ，7 ( z ) = 1jf ( z ) = 1 ，t h e ne i t h e r f ( z ) 三f 7 ( z ) o rf ( z ) = t 蒋2 ，h e r eci sa n yn o n z e r oc o i l s t a n t k e y w o r d s ： m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s h a r e ，c ms h a r e z e r op o i n t s 3 第一节引言及结果 十九吐纪末，数学家e p i c a r d 和e b o r e l 对整函数和业纯函数的根进行了研究 并得到一系列突出的结果，他们的工作以及后来一系列数学家的贡献，构成了 整函数与孤纯雨数值分布论的基础。在值分布论的发展中，r n e v a n l i n n a 做了 巨大的贡献。他在1 9 2 5 年引入了亚纯函数的特征函数，并且建立了n e v a n l i n n a 第 一。和第二基本定理，特征函数的概念和这两个定理在很长时间内成了值分布理 论的基础。以往p i c a r d $ i lb o r e l 的定理可以山n e v a n l i n n a 第一第二定理直接推 j 。后来，人们提出了结合导数的值分布的问题，并取得了相关的成果，例虫l i m i l l o t u x 不等式，h a y m a n 不等式等等。 在二十世纪初，p m o n t e l j 入了正规族的概念，正规族本质上是一一族全纯函 数或者亚纯函数的列紧性。m o n t e l 将函数族的正规性与函数族的取值联系起来， 建立了著名的m o n t e l 正规定则。在函数族正规性的判定上，很长段时间以来， 都是采用计算的方法，通过判断函数族的球面导数是否内闭一致有界来实现的。 直到以色列数学家z a l c m a n 提出了z a l c m a n i j i 理，提出如果如果函数族厂不正 规，那么可以在原函数族的基础上构造一列函数内闭致收敛到c 上的某个非 常数砸纯函数，这样就可以用反证法来研究一些正规族的问题。庞学诚教授对 该定理作了重要的推，。，使之可以运川到导函数上，从而可以用来研究涉及导 数的正规族的判定问题。 在值分布理论和正规族理论并行发展的时候，b l o c h 提出：若p 是一个业纯函 数所属的性质，若平面上的亚纯函数，在c 上满足性质p ，必为常数，那么单 位圆盘上的亚纯函数旗，对于任意的，f 在单位圆盘r 满足性质p ，则 厂在单位厕盘卜是一个正规族。这就是著名的b l o c h 原理，一般说来，b l o c h 原理 并不总是成立的，但是确实有大量值分布论和正规族的结果是符合b l o c h 原理 的。本论文的 l 发点就是按照b l o c h 原理的思想，证明了一个正规族理论中的结 论在值分布论中的“对应结果”。 首先，我们给出本文中出现的概念和记号的定义： 设，在c 上亚纯，定义 m ( n ，) - c 嘉n 1 。g + 阶) ( ) 一厂盟攀。( o ，) l 咿 其中n ( n ，) 为瓶纯函数，在 z ：h r ，内的极点的个数( 计算重数) ，n ( 0 ，) 为 o 作为，的极点的重数( 如果0 不是，的极点，则n ( 0 ，) = o ) 。 ( t ，) ：，塑尘盟盈d f + 瓦( o ，f ) l 。g ， 其中行( t ，) 为孵纯函数_ ，在f z ： r ) 内的极点的个数( 不计霓数) ，如果01 i 【r ，。，j 为n k 纯晌瓤，阳苗掰重，v l r ，) 刀，删稽间苗佰亘。 设s ( r ) 是在( r o ，o 。) ，i 定义的实函数，其中r o 三0 。若s ( r ) 在该区问内非负 且非减，则它的极 定义为： 、一1 0 9 + s ) a 2 一l l m l l 面o ， z t 设，( z ) 在开平面c 上甄纯，( 。) 的极定义为r ，) 的极( 显然t ( r ，) 是非负 且非减的止函数) 。即： ：”l i r al o g + t ( r , f ) 设( 厶( z ) ) 是区域d 内的列亚纯函数，其极限函数为，( z ) ( 可以恒等于一常 数，包括值0 0 ) 。对丁d 内任意点z o ，我们称( 九( o ) ) 在点询一致收敛，如果存在 z o 的邻域u ( z o ) ，当f ( z o ) 。和肚适当大时，丘( z ) 在u ( 铀) 全纯且一致收敛到 ，( o ) ；当f ( z o ) = o o 和p 适当大时，l 厶( 。) 在扩( 翔) 全纯且“。致收敛到1 f ( 。) 。 设，为区域d 内的一族亚纯函数，如果对，中任一函数序列( 九( o ) ) ，存在 子序列( 。( 2 ) ) 在d 内每点一致收敛，则称，在d 内是正规的。 设，在c 上亚纯，定义i ，7 i ( 1 + i f l 2 ) 为，的球面导数，记为，o 。对于a c ， 定义 易( n ) = f - ma ) = 。c ：f ( z ) = 。) 我们称开平面上的亚纯函数，为正规函数，当且仅当对于任意的o c ， ，”( z ) sm ，其中严( z ) 是，的球面导数，m 为与z 无关的固定正数。 设，和9 是两个亚纯函数，a c ，如果，一a 和g 一口有相同的零点( 考虑重 数) ，则我们称，和9c m 分担a 。如果，一a 和9 一a 有相同的零点( 不考虑重 数) ，则我们称，和gi m 分担a 。 在 5 中，张庆彩证明了下列关于，和，7 的值分布的结果。 定理1 1 设，( z ) 是复平而上的非常数业纯函数，6 是非零的有限复数，若，和f c m 分担0 且i m 分j ：! = ! b ，则： ( i ) f ；f 7 ，或者 ( i i ) f = 仁i 2 b l ，其中c 是任意非零常数。 在这篇文章中，我们主要证明以下结论： 篓理1 2 设，( 。) 是复平面上的非常数的纯函数，若，和f 7c m 分担0 ，且豆，( 1 ) c e ，( 1 ) ，则： ( i ) f ；f 7 ，或者 ( i i ) f = = 再2，其中c 是任意非零常数。 显然，这个结论推，1 了定理1 1 。 5 推论l3 设，( z 岱复平i i 些的非常值韭纯函数，6 是非零的有限的复数，符，和，7 c m 分担0 ，且e y ，( b ) ce ，( 6 ) ，则，和f 7i m 分担b 。 第二节基本公式和引理 引理2 1 4 设，在c 上业纯，则 t ( r ，) 丙( 1 ，f ) + 丙p ，= o ) + 丙p ，f = 1 ) + s p ，f ) 如果，是有限级，n s ( r ，f ) = o ( 1 0 9 r ) ，若，为有理函数，n s ( r ，) = o ( 1 ) 。 引理22 3 设，是一族在单位圆盘上非正规的亚纯函数，如果对于任意的sef 和，( z ) = 0 ，存在一个正数a ，使得i ，7 ( z ) i a ，则对于任意0 sk s l ，存在 i ) 实数r ，o r 1 i i ) 复数列z 。，| z n l r i i i ) 函数列 ， j v ) 正数，l j m 。a , n 一0 使得9 。( ) = 丛! ： ! 盟内闭一致收敛于c 上的非常数亚纯函数9 ( 在球面跞离 卜- ) 。定义球而导数9 + ( ) = t 等赫，则 扩( ) 9 4 ( 0 ) = a + 1 引理2 。31 2 正规函数的级数不超过2 ，止规的整函数即y o s i d a 函数) 定是指数 型。 引理2 ，4 设，是旗单位网卜的弧纯函数，蓉对于任意，有可，( o ) e r ，( o ) ，且e l ，( 1 ) ce ，( 1 ) ，则，是单位圆上的正规族。 引理2 5 设，是c 上的亚纯函数，若，和，c m 分担0 ，且l ( 1 ) c 马( 1 ) ，则 ，是正规函数。 引理26 【l 】设，是有限级的皿纯函数，若，有无穷多个重级零点，则厂7 可无限 次的取到每个非零的有限值。 7 第三节引理的证明 引理2 1 ，引理22 ，引理2 3 和引理2 6 都分别是 1 ， 2 ，【3 】和【4 的直接结果 下面是引理24 和引理25 的证明。 引理2 4 的证明这个证明主要是基于例中定理3 的证明。 若f 不正规，则由引理22 ，存在： i ) 实数r ，0 r 1 i i ) 复数z 。，i z n i l ，使得1 醛( 吲m ，r , p l f ”( ) 1sm 。注意n f 7 ( 。) = ，( 2 。) = l ，显然有 l f ( 。) l 0 。 由丁f 没g ：g a ，并且，的极点对苦的零点没有贡献，显然对于所有的i ， a 。 0 。注意到譬= 一1 ( 1 f ) ，我们可以把( 7 ) 式写成 ( ) 7 = 一去e 一“p ( 2 ) ( 8 ) 这里p ( z ) 一( z a 1 ) m ( z o 。) 岛，觑= 一d 。 对( 8 ) 式积分，得到： 7 1 ：一 d e - c z p 1 0 ) + b ( 9 ) 72 一a p 1 心j + b ( 9 ) 这里日( z ) 满足g ( z ) 一e 日( z ) = p ( z ) ，占是常数。 在( 8 ) 式和( 9 ) 式中，令z = z n ，( ，( ) = ，( ) = 1 ，i i 一。) ，得到 e 一“p ( ) = 1 ，( 1 0 ) a一7 7 、 一云8 一“p l ) 一1 一b ， ( 1 1 ) t t l ( 1 0 ) 和( 1 1 ) ，可得 a e - c z “( ( 1 一b ) j d ( ) + p l ( ) ) = 0 注意n p ( z ) = 爿( 。) 一c p l ( z ) ，有 ( 1 一日) 爿( ) + ( c b c + 1 ) p l ( ) = 0f 1 2 ) 如果口21 ，则对丁所有的。，b ( j = ( ) ，从而日( 2 ) i0 ，而这说明，；c s f ( ( 8 ) 可得) ，与前而的论述矛肝。 1 0 蛐j 岽占1 ，由r 对j 所有 | 勺，1 1 2 j 均成立，我们有爿( 2 ) 令p l ( 2 ) ；p 1 o ，a = 一鲁( a o ) ，( 9 ) 式可以写成： ；疏喃姐 令u = a e 一南，则 f ：_ 二_ _ 。 u + b 0 和c = 击。 ( 1 3 ) 满。1 ( 1 4 ) ( u + 口1 2 一 卜叫 + ( 2 b 一南灿+ b 2 = o ( 1 6 ) 车( 1 6 j 式中，将w 视为变量。如果b = 0 ，则t h 0 3 ) ，f = e 。，从而，；f ， 而这与，的假设矛盾。如果b 0 ，则( 1 6 ) 式的根不取o ，“从而可以被u 取 型“i it - a ，0 ，我们有u o ) 。注意到( 1 6 ) 式的所有解都必须为( 1 7 ) 式的解，显 餐! 坐) 荽：窒亨一对重根，这就对应着b = l 2 的情况，此时f = i = 嘉e ，其中 c 是某个非零常数，从而定理证毕。 1 “ 推论l - 3 的证明对定理12 的两种情况分别验算，就可以得到推论1 3 。 高 参考文献 1 w b e r g w e i l e ra n da e r e m e n k o o nt h es i n g u l a r i t i e so lt h ei n v e t 3 et o 。n l e r o m 0 7 7 ) h i ef u n c t i o no lf i n i t eo t d e gr e v i s t am a t h 1 11 9 9 5 ，3 5 5 - 3 5 7 2 j ，c l u n i ea n dw k h a y m a n ，t h es p h e r i c a ld e r i v a t i v e s 吖i n t e g r u la n dh t e t o m o r p h i c 知n c t i o n s ，c o m m e n t m a t h h e l v 4 01 9 9 6 ，11 7 - 1 4 8 3 】p a n gx u e c h e n g ，s h a r e dv a l u e sa n d n o t r e a lf a m i l i e s ，a n a l y s i s 2 22 0 0 2 ，1 7 5 - 1 8 2 【4 】y a n gl e ，v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y ，s p r i n g e r v e r l a g ，( 1 9 9 3 ) 5 】张庆彩，涉及导甬数的亚纯函数的唯一性，数学学报4 52 0 0 2 ，8 7 1 - 8 7 6 6 】w a l t e rb e r g w e i l e r ，p a n gx u e c h e n g o nt h ed e m v a t i v eo im e r o m o r p h i c 知n c t i o n s