（应用数学专业论文）用一维小波探测和反演radon变换的奇性.pdf

声明 v8 7 8 6 0 8 本人郑重声明：本论文的所有研究工作都是在导师指导下，由本 人独立完成，论文中所引用的已知结论均已列在参考文献中特别， 未经作者本人许可，任何擅自更改、抄袭或剽窃本论文之内容的行 为，都将承担相应的学术和法律责任 目录 摘要 计算机层析成像的数学基础是r a d o n 变换，它的重要应用有医学c t 、 工业c t 和地球物理反演等在实际应用中，人们关心的往往是函数图像发生 重大改变的地方，如两种人体组织的交界处、地球物理反演两种介质的交界面 等，因为图像的不规则的突变部分( 峰变处) 通常包含了其本质的信息例如图 像亮度的不连续性表示景物中含有边缘；在心电图或雷达信号中，令人感兴趣 的信息包含在信号的峰变处函数，( ，v ) 的r 矗d o n 变换的反演是已知，( z ，) 的r a d o n 变换，求，( z ，g ) 有时，由于整个反演，( 。，”) 需要处理的数据量比较 大，或者所需数据不完全时，反演，( z ，f ) 就较困难从文献【5 ，7 ，2 0 】可知，奇 性反演所需的数据量不是很大，只和函数图像发生奇性附近的投影数据有关 r a d o n 变换的精确反演只是对光滑的函数是有效的，所以对图像函数发生奇性 的地方要特别关注，需要研究它的r a d o n 变换的奇性传播和奇性反演 a g r a m m 对古典r a d o n 变换对函数在它的支集的边界上恒大于零，且 仅在支集的边界上有跳跃奇性时给出r a d o n 变换的奇性和函数奇性的关系而 实际应用中，奇性不一定发生在边界在31 节给出了在二维空间中，一类分片 光滑函数在支集内部有跳跃奇性时r a d o n 变换的奇性和函数奇性的关系，采用 了对函数作光滑延拓的方法证明了如果直线k 和函数j ( z ，) 的产生跳跃奇 性的曲线段集合r 申的任意一条曲线段相切，那么函数，( z ，y ) 的r 蒯泄变换 r ，( p ，u ) 在p = 芦附近是l i p s c h i t z - 1 2 次奇性的如果线k 和函数，( z ，) 的 产生跳跃奇性的曲线段集合r 中的任意一条曲线段都不相切，那么函数，( o ，y ) 的r a d o n 变换r ，( n u ) e ”；反之，如果函数，( o ，) 的r a d o n 变换r ，加，u ) 在p = 芦附近是l i p s c h i t z 一1 2 次奇性的，那么函数，( z ，g ) 在其奇性曲线段上 就是跳跃奇性的 图象重建问题，它的数学理论基础是r a d o n 变换及其逆变换，它已经独立 目录 3 上半圆曲线2 ，和函数，( 。，) 的产生跳跃奇性的曲线段集合r 中的任意一条 曲线段都不相切，那么函数，( z ，g ) 的r a d o n 变换j r ，( r ，f ) c 。：反之，如果 函数，( z ，) 的r a d o n 变换r ，( r ，) 在r = f 附近是l i p s c h i t z l 2 次奇性的， 那么函数，( z ，) 在其奇性曲线段上就是跳跃奇性的给出了奇性反演的例子 关键词：r a d o n 变换；r a d o n 变换的奇性；奇性反演；局部l i p s c h i t z 连续； 图像边缘检测；图像边缘的奇性；l e g e n d r e 变换；一维小波变换；小波变换模 极大 目录 5 s c to fc u r v cs e g m e n t sw h e r ct h ef u n c t j o n ，( z ，) h a sj u m p 翊n g u l a r i t y ，t h cr a d o n t r a n s f o r mr ，( 弘u ) o ft h ef u n c t i o n ，( z ，可) h a sl i p s c h i t z 一1 2s i n g u l a r i t yi nt h e n i g h b o r h o o dp = 多i ff p ud o e s n ti n t e r s e c ta 1 1 yo fr ，r ，( p ，u ) g ；w h e r e a s ，i f t h er a d o nt r a n s f o r m 兄，( p ，u ) o ft h cf u n c t i o n ，( z ，可) h a sl i p s c h i t z 一1 2s i n g u l a “t yi nt h en e i g h b o r h o o dp 二f ，t h ef u n c t i o n ，( z ，9 ) h a sj u m ps i n g u l a r i t yi n i t ss i n g u l ar j t yc u r v c s i m a g cr c c o n s t r u c t i o ni sb a s c do nt h cr a d o nt r a n s f o r ma n dr a d o ni n v e r s c t r a n s f o r m i th a sb e e na p p l i e di nm a n ys c i e n c e 丘e l d si n d e p e n d e n t l ys u c h a s m c d i c i n c ，c n 昏n e e ra n de t ct h cs i n g u l ”i t ya n dt h cd c t o c “o no ft h ci m a g e se d g e a r et h ei m p o r t a n tp a r t so ft h ei m a g er e c o n s t r u c t i o n u n t i lr e c e n t l y ，t h ef b u r i e r t r a n s f o r n lw a st h cl n a i nm c t h c m a t i c 8 lt o o lf o ra n a l y z i l l g 出l l g uj a l1 t yt h cf o u r i c r ”a n 8 f o r mi sg l o b a la n dp r o v i d c sad c s c r i p t i o no ft h co v c ra l lr c 9 1 l l a r i 乞yo fs 唔 n a l s ，b u ti t i sn o tw e l la d a p t e df b r 矗n d i n gt h el o c a t i o na n dt h es p a t i a ld i s t r i b u - t i o n o fs i n g u l a r i t i c s t h a ti st os a * i ft h ef u n c t i o nh a sm a n ys i n g u l a r i t yp o i n t s ，曲ef o u r i e rt r a n s f o r mc a n tr e c o g n i z et h el o c a t i o no fs i n g u l a r 蚵p o i n t 8a n dt h e s i n g u l a r i t yw c a k n c s si nf a c t ，t h cw a w l c tt r a n s f o r mh a st h cp r o p c r t yo f8 p a t i a l l 。c a t i z ；n g i tc a nf o c u st h ci o c a t i o n a ls t r u c t u r c so ft h c 鲥g n a lt 1 r 0 1 l 曲c o n t i n u ” o u s l ya d j u s t i n gt h es c a l ea l i m e n ts ot h e w a v e l e th a n o r m c a ng i v e 乞h el i p s c h i t z r c g u l a r i t yo faf u n c t i o na tap o i n to ri na ni n t c r v a l ，t h cs i n g i l l a “t i o so fa ni m - a g eo f t e nh a p p e ni np i e c e w i s es m o o t hc u r v e s f b rac l a 8 so fp i e c e w i s es m o o t h j m a g cf u n c t i o n s ，w cd c t c c tt h cc d g co ft h ci m a g cw j t ho n e - d i m c n s i o n 出w a v e l e t t r a n s f o r ma n dc o m p u t et h cl i p s c h i t ze x p o n c n t t h i si sac r c a t i v cp o i n t v h a v e p r o v e dt h a tw ew i l lg e tt h ea n a l o g o u st h e o r yr e s u l ta st w 0 - d i m e n s i o n a jw a v e l e t t r a n s f o r mi fw cd c t c c tt h cc d g co fa ni m a g ew i t ho n c d i m c n s i o n a lw a v c l e t t r a n s f o r ma l o n gt w ov e r t i c a ld i r e c t i o n s t h eo n e - d i m e n s j o n a lw a v e l e tt r a n s f o m l w ，( “，s ) io ft h ef u n c t i o n ，( z ，掣) a b o u tt h ca l i m c n tyi s t h cs a m cd e c a ya s 5 0 “ b yt h ed u a lr e l a t i o nb e t w e e nt h es i n g u l a r i t yo ft h ef u n c e i o na n dt h es i n 。 g u i a r i t yo fi t s r a d o nt r a n s f o r m ，w ed e t c c tt h cs i n g u l a r i t yo fp r o j c c t i o nd a t u s w i t ho n e d i m e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m l a s t l yw ei n v c r s el h cs i n g u l a r i t yo ft h c f u n c t j o nw j t hl c g o n d r ot r a n s f o r mb yt h ed u a lp r o p c r t yo ft c g c n d r ct r a n s f o r m l nt h ca p p l i c a t i o nw eg i v ct h cc d g cd c t c c t i o nr c s u l to ft h ci m a g co fs h c p p - l o g a nt h a ti 8w i d e l yl l s e di ni m a g er e c o n s t r u c t i o nr e s p e c t i v c l yg j v et h ep i c t u r e 0 fs h c p p l o g a n sr a d o nt r a n s f o r mf r o m 吾t o 孥，t h cp i c t u r co fr a d o nt r a n s f o r m s s i n g u l a r i t yc u r v e sw h i c ha r ed e t e c t e dw i t ho n e d j m e n s i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m ， a n dt h cs h c p p l o g a n se d g ec u r v c sw h i c ha r cr c c o n s t r u c t c db yt h cs i n g u l a r i t y c u r v c so fr a d o nt r a n s f b r m i nt h i sp a p e r 、v ea l s od i s c u s st h er e l a t i o nb e t w c c nm es i n 目“a r i t yo fr a d o n t r a n s f o r ma l o n gs c m i s u p p e rc i r c l ea n dt h cs i n g u l a r i t yo ft h cf u n c t i o nw h c nt h c c l a s so fp i e c e w i s ef u n c t i o nh a sj u m ps i n g u l a r i t yi ni t ss u p p o l ti ft h cs e m i s u p p e r c i r c l cf 幢i n t c r s e c ta n yc u r v co frw h i c hi sas c to fc u r v cs c g m c n tw h c r ct h cf u n c t i o n ，( z ，可) h a sj u m ps i n g u l a r i t y ，t h er a d o nt r a n s f o r mr 厂( r ，f ) o ft h ef u n c t i o n ，( 。，可) h a sl i p s c h i t z l 2s i n g u l a r i t yi nt h en e i g h b o r h o o dr =fi f ， d o e s n t i n t c r s c c ta n yo fr ，r ，( r ，) g 。；w h e r c a 8 ，i ft h cr a d o nt r a n s f o r mr ，( r ，go f t h ef u n c t i o n ，( z ，可) h a sl i p s c l l i t z 一1 2s i n g u l a r i t yi nt h en e i g h b o r h o o dr = f ，t h e f u n c t i o n ，( 石，) h a sj u m ps i n g u l a r i t yi ni t ss i n g u l 8 r i t yc u r v c 8 t h ci n v e r s i o ne x a m p l cj 8g i v e n k e yw o r d s ：r a d o nt r a n s f o r m ；s i n g u l a r i t yo fr a d o nt r a n s f o r m ；s i n g u l a r i t i e s i n v e r s i o n ；t h el o c a ll i p s c h i t ze x p o n e n t s ；d e t e c t i o no fi n l a g ee d g e ；s i n g u l a r i t yo f i m a g ec d g e ；l c g e n d r et r a n s f o m ；t h em o d u l u sm 蜮i m a o ft h ew a v o l c tt r a n s f o r m ； 目录 o n c d i m e n s i o a lw a v c l c tt r a n s f o r m 7 全文通用记号 2 维欧氏空间 垂直于目的单位向量 内积 范数为( 厶i ，1 2 d # ) 1 肛的空间 f r f e r 变换 小波变换 r n d 变换 r n d l 变换 舻萨棚椰，吖可可 第一章绪论 1 1r a d o n 变换的奇性研究和小波变换的展望 计算机层析成像的数学基础是r a d o n 变换，它的重要应用有医学c t 、 工业c t 和地球物理反演等函数，( o ，g ) 的r a d o n 变换的反演是已知，( z ，v ) 的r a d o n 变换，求，( z ，v ) 有时，由于整个反演，( z ，可) 需要处理的数据量比 较大，或者反演所需数据不完全时，反演，( 。，g ) 就较困难但实际应用中，人 们关心的往往只是函数发生重大改变的地方l ，2 1 ，例如地球物理反演两种介 质的交界面，重要的是重建其轮廓时就要重建函数发生奇性的地方所以对图 像函数发生奇性的地方要特别关注，需要研究它的r 丑d o n 变换的奇性传播和 奇性反演f 1 5 ，1 6 ，1 7 图像重建是图像处理的一个重要分支，目前已经广泛应用于各学科技术领 域而奇异性的大小和图像边缘的检测是图像重建的主要部分信号的奇异性 及不规则的突变部分通常包含了其本质的信息例如图像亮度的不连续性表示 景物中含有边缘；在心电图或雷达信号中，令人感兴趣的信息包含在信号的峰 变处长期以来，f o u r i e r 变换是研究函数奇异性的主要工具，但它缺乏空间 局部性，只能确定函数奇异性的整体性质，而难以确定各奇异点的位置及分布 情况也就是说，当函数有许多奇异点时，用f 0 u r i e r 变换难以确定各奇异点 的位置及奇性的强弱而小波变换具有空间的局部化性质，通过不断调整一个 聚焦过程的尺度参数，小波变换可以聚焦于信号的局部结构，因此小波变换可 以给出函数在一个区间甚至一个点处的l i p s c h i t z 正则性f 8 ，1 9 ，1 1 1 小波分析最早应用在地震数据压缩，以后在图像处理、故障诊断等方面取 得了传统方法无法达到的效果小波分析是目前国际公认的最新时间一一频谱 9 第一章绪论 1 0 分析工具，现在小波分析已经渗透到自然科学、应用科学、社会科学等方面， 连金融、证券、股票等都有小波的应用研究 1 2 本文的主要研究工作 本文基于r a d o n 变换的理论，以小波变换作为工具，研究了一类分片光滑 函数的r a d o n 变换的奇性和原函数奇性的关系，并反演出图像函数的奇性曲 线 ag r a m m 对古典r a d o n 变换对函数在它的支集的边界上恒大于零，且 仅在支集的边界上有跳跃奇性时给出r a d o n 变换的奇性和函数奇性的关系 而实际应用中，奇性不一定发生在边界我们给出了在二维空间中，一类分片 光滑函数在支集内部有跳跃奇性时r a d o n 变换的奇性和原函数奇性的关系 图像重建中，图像的奇性往往发生在分片光滑的奇性曲线上对于分片光 滑的图像函数，基于小波分析的“数学显微镜性质”，先在理论上证明了用一维 小波变换检测图像的边缘和确定函数图像的发生奇性地方的l i p s c h i t z 指数大 小的可行性，然后在数值实现中给出了图像重建中广泛使用的s h c p p - l o g a n 头 部图像的边缘检测结果 根据函数的r a d o n 变换的奇性和原函数奇性之间的对偶关系，我们用一维 小波变换检测投影数据的奇性，即原函数的r a d o n 变换的奇性再根据l c g e n d r e 变换的对合变换性质，用l e g e n d r e 变换反演原函数的奇性该部分的数值实 现仍然使用的是s h e p p l o g a n 头部图像，先把该图做r a d o n 变换，用一维小 波变换检测出r a d o n 变换的奇性，再用l c g c n d r c 变换反演出s h c p p l o g a j l 头 部图像的边缘曲线 本文在最后还研究了分片光滑函数在其支集内部有跳跃奇性时，沿上半圆 曲线，r a d o n 变换的奇性和原函数奇性的关系，得到一些初步的理论结果，并 且给出了奇性反演的例子 第二章预备知识 在这一章里我们简单介绍一下在后面几章的研究中会用到的一些相关数学 理论基础，以便为后面的研究做准备 2 1 二维空间中r a d o n 变换的定义及其性质 二维空间中直线f 。可以表示为 ：p = ( z ，可) u = z c o s 口+ 可s i n 口 其中p 为法线长( 即原点到直线的垂线长) ，日为法线与z 轴的交角，o 口 n ，u = ( c o s 口，s i n 日) 是从原点到直线的单位向量 考虑s 为沿直线的方向，的法线方向为p ，则( p ，s ) 成新坐标系 f 1 3 】，所以 z = p c o s 口一s s i n 日 一o 。 s + o 。 p = p s i n 口+ sc o s 日 在二维空间中具有紧支集函数，( z ，g ) 的r a d o n 变换瓯6 】可表示为 r m ，“) 。，。m ，) 如2 _ 。，( p c 。s 口一蚓n 口，p s i n 口+ s c 0 8 目) d s r，十。 显然r a d o n 变换有下面的性质 r ，( - p ，u ) = r ，( p ，一“) 所以我们可以在一。o p + o 。，0s 目 7 r 范围内考虑函数，( z ，”) 的r a d 伽 变换 1 1 第二章预备知识 2 2 小波变换的定义与基本性质 1 2 在影像地震学中，m o r l c t 知道：在探测高频时，假如传递到地下的可调脉 冲波持续时间太长，便不能用来分辨密聚的地层结构，因此，m o r l e t 认为不能 始终发射相同波长的波，在探测高频时，应发送更短的波，这种由单个函数的 伸缩得到的波叫小波虽然g r o s s m a n n 是一个理论物理学家，但他知道m o r l e t 的方法与他在量子物理上的工作有相似性g a b o r 之后将近4 0 年，m o r l e t 与 g r o s s m a n n 重新鼓动了理论物理学与信号处理领域专家的合作，使所谓的连续 小波变换得以产生【3 】然而，对从事调和分析的数学家以及致力于计算机视觉 中多尺度图像处理的研究者而言，这些观念并不是全新的不同知识背景的科 学家在一起交流，使各个不同领域的研究重新融合，从而发展出小波理论 小波是一个均值为0 的l 2 ( r ) 函数 妒( t ) 出= o 它有规范化范数眇l | = l ，且能量集中在以t = o 为中心的邻域内，对妒作伸 缩s ，平移“可得到一族时频原子 = 击妒( 宰)vo 6 这些原子仍然有规范化的范数0 饥。i i = 1 定义2 2 1 设t f ( t ) l 2 ( r ) ，称妒( ) 为一个小波母函数，如果它的乃而e r 变 换妒( ) 满足允许性条件 2 铧扎 0 ，称其为一个小波序列其中s 为伸缩因子，u 为平 移因子 l 2 ( r ) 的函数关于时间“，尺度s 的小波变换为 嗍“，s ) _ 0 使当o z ，肌( 。) 9 珊( z ) + 5 和 珊( z ) 一6 弘g 七( ) 时，( z ，) 是光滑的当o i z “， j ( z ) = ，( z ，9 ( z ) + o ) 一，( z ，g ( z ) 一0 ) 0 我们称，( z ，) 在曲线段最上是跳跃奇性的，j ( i ) 为，( z ，) 在( 牙，g ( 虿) ) 的 跃值还假设对每个鼠，当口k z 6 k 时，蘸( z ) o 18 第三章用一维小波探测和反演r 8 d o n 变换的奇性 2 1 其中x 是一足够大的数，使得d = 5 u 卯，c ( z ，g ) 1 x z 1 和z 2 + ( y 一1 ) 2 = 1 围成的区域内为2 ，在z 2 + 一1 ) 2 = l 以外的区 域为o ( 1) 对于一1 1 当ors1 时， r ，( 呱 x 第三章用一维小波探测和反演r a d o n 变换的奇性 图322 s 1 1 e p p l o g a i l 头部图像 图323 一维小波检测到的s h e p p l o g a n 头部图像的奇性曲线 而在实际应用中，我们一般获得的是投影数据，如医学c t 和工业计算机 断层摄影等所以下面我们用一维小波检测s h c p p l o g a n 头部图像的投影数据 的奇性曲线，再根据前面已有的理论结果( 原函数的奇性与其r a d o n 变换的奇 性关系) 由l e g e n d r e 变换反演出s h e p p - l 0 9 a n 头部图像的奇性曲线 第三章用一维小波探测和反演r a d 变换的奇性 3 l 图3 - 27 ：到孚范围内由投影数据反演出的奇性曲线 通过图的比较可以看出，图3 2 5 的效果没有图323 反演出的效果好，这 是因为在根据r a d o n 变换的奇性曲线用l c g c nd l c 变换反演原图像的奇性曲线 时，有一步对r a d o n 变换角度反正切值的求导，在这里用线性插值的方法求 导会产生误差，而且角度之间的间隔口不能太小，如果太小，c o t 口就趋近 于无穷，这样求导产生的误差就很大角度之间的间隔可以取在3 度到5 度之 间，图325 是在间隔5 度的情况下反演出的在今后的研究中努力改善此结 果，减小误差，或者努力找到更好的反演方法 第三章用一维小波探测和反演r a d o n 交换的奇性 2 4 具有紧支集函数，( z ，g ) g ”( ，产r ) ，其中r = un ，n ：”= 鲰( z ) ( = 1 ，2 ，m ) 是光滑曲线段，( z ，y ) 在光滑曲线段n 上具有拟i 一幛c 1 1 i t z ( 、次奇 性是指：如果宵一( c o s 7 ，s i n 7 ) 是曲线段n ：= m ( z ) ( o 女 0 是一适当小的数，0 d l ，7 ( o ，7 r ) “+ ”表明从曲线的上方 来趋近点( z ，玑( z ) ) ，“一”则相反如果育= ( o ，1 ) ，则，( z ，g ) 在光滑曲线段 r 上沿轴方向是拟l i p s c h i t zo 次奇性的 注：本章中所提到的函数，( z ，) 和光滑曲线段n ：= 弧( t ) ( = 1 ，2 ，- - ，m ) 都是满足上述假设的 引理3 2 1 函数，( z ，) 在沿其奇性曲线n ：y = 肌( z ) ( n k “) 的法线方向 是拟l z 舯c 如的充要条件是它沿可轴方向上的奇性仍然是拟l 印s c o 如a 的 证明为了证明的方便，我们不妨设毹( ) f 附近时，( r ，) ( r ，o ) = ( r ) ( r ，0 ) ，当- 在t f 附近时 ( r ，) ( r ，o ) =( r ，+ ) ( r ，o ) + ( r ，) ( o ) 2 茂譬如+ 群坞箬尹如 一2 ( g ) 、r 2 一0 2一， f ，0 1、行i _ 二 “4 。，“( 邶) ，+ ( z ，诉q 5 ) 。 。厶f ，) 。万夏季一“ 其中灿( r ，o ) ，a ( r ，o ) 是曲线f ，o 在区域西外的x 坐标，由4 1 节关于函数，f z ，y ) 的光滑性假设，可以对函数，_ ( z ，) ，+ ( z ，9 ) 在s ： 口( z ) 的下方的一 定范围内象s o b o l e v 空间延拓定理那样做n 次光滑延拓，延拓后的函数仍用 ，_ ( z ，) ，+ 扛，) 记，于是上式可写为 ( r ，) ( r ，o ) = + 产墨鱼塑= 两一，+ ( z ，厢) ， ，一。( q ) 万夏亏r 一一一 严丛芸垒二孚 j ( r ，o ) o x 第四章一类函数沿圆曲线r a d o n 变换的奇性研究 当1 r 厄 而时 毗沪巾+ 2 a s 羔锄s 宰 当锕= 丽r 扣习而可时 r ，( 呱一f 3 a r c c 。s 南羔”商n w 咖志 7 、l 十 当、( 1 + 蚓) 2 + l r 、p 了了+ l 时， r ，( r ，) = 4 r a r c c 。8 赫 r 2 + f 2 当r 、俘呵1 + 1 时， r ，( r ) = o ( 2 ) 对于l 当o r 舨研一1 时 r ，( r ，) = o 当厢一1 r 、瓜 丽时 r ，( r ，) = z ra r c c 。sj ；：妥 当加 丽可 rs 如1 丽丽时 州呱) 刮。a r c c o s 南妥一c s i n ；+ a r c s i n 志】 当、瓜习丽 r 厢+ l 时， r ，( 嘣h c c o s 互与妥 3 9 参考文献 【l 】mj i a n g a n d g w a n g e t cb l i n d d e b l u r r i n g o f s p r i a l c t i m a g e s ，i e e e n a n sm e di m a g ，v 0 12 2 ( 2 0 0 3 ) ，n o7 ，8 3 7 _ 8 4 3 1 2 】gb e y l k i n t h ei r i v e r s i o np r o b 】e ma n da p p 王i c a t i o no ft h cg c n e la i i z e dr a d o n 1 y a n s f o r m ，c o m mp u r ea p p lm a t h ，x x x v u ( 1 9 8 4 ) ，5 7 9 5 9 9 f 3 】ag r o s s m a n na n djm o r l e td c c o m p o s i t i o no fh a r d yf u n c t i o n si n t oi n t c g r a b l e w a v o l c t so fc o n s t a n ts h a p c s i a mj o fm a t h a n a l ，1 5 ( 4 ) ：7 2 3 7 3 6 ，j u l y1 9 8 4 【4 l i d a u b c c h i c si b nl c c t u r c so nw a v c l o t sc b m s n s fs e r i c si na p p l ，m a t h ， s i a m 1 9 9 l f 5 lr a m m a g ，z a s l a v s k y a i s i n g u l a r i t i c s o ft 1 1 cr a d o n n a n s f o r m j 】b u l l a m e rma t h s o c ，1 9 9 3 ，2 8 ：1 0 9 1 1 5 【6 】dl u d w j g t h er a d o nn a n s f o r mo ne u c l i d e a ns p a c e c o m m p u r ea p p l m a t h ， 1 9 6 6 1 9 ：4 9 8 1 f 7 1r a m mag ，k a t s e v i c hait h er a d o nn a n s f o r ma 1 1 dl o c a l1 b m o g r a p h y 【m 】n e w y o r k ：c r cp r c s s 1 9 9 6 9 8 1 1 5 ( 8 sm a l l a ta n dwl h w a n g s i n g u l a r 姆d e t e c t i o na n dp r o c e s s i n gw i t hw a v e l e t s i e e en a n si n f o t h e 0 吼3 8 ( 2 ) ：6 1 7 - 6 4 3 ，m a r c l l1 9 9 2 【9 l sm a l l a ta n dsz h o n g c h a r a c t o r i z a t i o no fs i g n a l sf r o mm u l t i s c a l ee d g c s i e e e n a n 8 p a t ta n “a n dm a c hi n t e l l ，1 4 ( 7 ) ：7 1 0 一7 3 2 ，j u l y1 9 9 2 1 0 1y m e y c r o n d c l c 七t c sc ta l g o r i t h m c sc o n c u r r c n t s f m 】h c r n l a n n ，p a r i s ，1 9 9 2 1 1 】sj a 圩h r d p o i n t w i s es m o o t h n e s s ，t w 0 _ m i c r o l o c a l i z a t i o na n dw a v c l e tc o e 伍c i e n t s p u b l i c a t i o n sm a t e m h t i q u e s ，3 5 ：1 5 5 1 6 8 ，1 9 9 l 参考文献 4 3 1 1 2 】( 法) s t 6p h a n cm a l l a taw 8 v c l c t1 1 0 u ro fs i g n a jp r o c c s s i n g l m l ，s c c o n de d i - t i o n a c a d o m i cp r c s s 1 9 9 9 1 2 3 一1 4 7 【1 3 j c o a t e sa n ds h e l g a s o n t h er a d o nn a n s f o r m 【m 】p r o g r e s si nm a t h e m a t i c s 【1 4 1sr d e a n s ，t h er a d o n7 n a n s f o r ma n ds o m eo fi t sa p p l i c a t i o n s ，1 9 8 3 15 ) b c r t c r 0 m ，d cm o lca n dv i a n og a ( 1 9 8 0 ) t h es t a b i l j t yo fi n v e r s ep r o b l e m s ，i n b a j t e shp ( e d ) ，i n 、吧r s es c a t t e r i n gp r o b k m ss p r i n g e r f 1 6 1n a t t e r e r ，f ( 1 9 7 9 ) o n t h ei n v e r s i o n。ft 1 1 ea t t 0 1 1 u a t c dr a d o n t r a n s f o r mn u m e rm a t h ，3 2 ，4 3 1 4 3 8 1 1 7 】n a t t e r e r ，f ( 1 9 8 3 b ) e x p l o m n gt h er a n g e so fr a d o nt r a n s f o r r n 8i nt o m o g r a p h y ，i n d e u n h a r d ，p a n dh a i r c r ，e ( c d s ) ，n u m c r i c a lt r e a t 瑚c n to fi n v e l s ep i o b i e l si nd i f - f e r c n t