（基础数学专业论文）球面上单位切丛t1s2n1的几何.pdf

球面上单位切丛乃s 饥+ 1 的几何 中文提要 球面上单位切丛t 1 s 2 n + 1 的几何 中文提要 本文给出了矢丛上s a s a l d 度量的局部表示，特别得到单位切丛噩s 2 n “ 上s a s a k i 度量的表达式在此度量下计算了奇数维球面s 2 1 上h o p f 向量场 的体积，由g y s i n 序列得到了t i s 2 + 1 的上同调群利用g r a s s m a n n 流形 上的示性类定义了置s 鼽+ 1 上一个c a l i b r a t i o n 卢，证明了l 轨+ 1 是p 的积分子 流形并证明了当且仅当n = 1 时h o p f 向量场是肛的积分子流形采用切 丛t s 2 + t 上不同的联络，证明了这时h o p f 向量场都是s 2 n + 1 上体积最小的 单位向量场 关键词：s a s a k i 度量，c a l i b r a t i o n ，积分子流形，h o p f 向量场 作者：杨小娟 指导老师：周建伟 g e o m e t r yo nt h eu n i tt a n g e n tb u n d l e 噩s 鼽+ 1 a b s t r a c t g e o m e t r yo nt h eu n i tt a n g e n tb u n d l et i s 2 。+ 1 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w eg i v ea ne x p h c rr e p r e s e n t a t i o no ft h es a s a k im e t r i co nav e c t o r b u n d l e i np a r t i c u l a r w eg e ts a s a k im e t r i co nu n i tt a n g e n tb u n d l e 丑s 2 n + 1 ，b yw h i c h w ec a l c u l a t et h ev o l u m eo ft h eh o p fv e c t o rf i e l d 瞻f r o mg y s i ns e q u e n c e ，w eg e tt h e c o h o m o l o g yo f 五s 2 “b ye u l e rc h a r a c t e r i s t i c ，w ed e f i n eac a l i b r a t i o no n 孔s 鼽+ 1 a ds h o wt h a tt h es u b m a n i f o l dl 知+ 1i sa ni n t e g r a ls u b m a a i f o l do ft h ec a l i b r a t i o n w e a l s os h o wt h a th o p fv e c t o rf i e l d 婚i st h ei n t e g r a ls u b m a n i f o l do n l yw h e nn i se q u a lt o o n e w i t has a s a k im e t r i cd e f i n e db yh o p fv e c t o rf i e l d ，w es h o wt h a tt h eh o p fv e c t o r f i e l dh a sm i n i m u mv o l u m eo ns 2 n + lf o ra l ln k e y w o r d s ：s a s a k im e t r i c ，c a l i b r a t i o n ，i n t e g r a ls u b m a n i f o l d ，h o p fv e c t o rf i e l d i i w r i t t e nb yy a n gx i a o j u a n s u p e r v i s e db yp r o f z h o uj i a n w e i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：奉参n ：均日期； ! ! ：生：! 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可蹦采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布 ( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名：i 壶! j ：些日期：旦l 坠j 导师签名邀日期：! 生：丛 球面上单位切丛噩s 2 1 的几何 引言 己i 古 ) l口 在几何与拓扑中，对球面的研究一直受到众多数学家的注意，作出了许 多杰出的成果例如，若m 是一个m 维完备单连通的黎曼流形，它的截面 曲率k 满足 k o o 是常数) ，那么m 同胚于球面s t ，1 而把截面 曲率的条件改为j k ，则m 不一定同胚于球面s ”这些内容可见 【1 4 】又例如球面上怪异微分结构的研究【4 】和著名的p o i n c a r 6 猜想此外， 许多数学家还讨论了奇数维球面上线性无关向量场的存在性及其个数 g l u c k 和z i l l e r 在文 7 1 利用s a s a k i 度量定义了球面上单位向量场的体积， 证明了s 3 上体积最小的单位向量场是h o p f 向量场，但是对于高维球面上体 积极小的向量场还不清楚本文进一步研究了这些问题，我们研究的主要方 法是c a f t a n 与陈省身等人的活动标架法以及c a l i b r a t i o n 在1 讨论了一般矢丛上的s a s a k i 度量设丌：e 一肘是n 维黎曼流 形m 上的黎曼矢丛，纤维型是磷利用矢丛e 上的黎曼联络d ，e 的 切空间t e 可以分解为水平子空间h e 和垂直子空间v e 的直和对任意 x ，y 正e ，x = x h + x y ，y = y h + y y ，令 e = m + 这样定义的度量称为e 上的s a s a l d 度量利用平行移动，我们给出了它在 坐标下的表达式 在5 2 利用活动标架法讨论了单位球面上切丛t s 2 1 的水平子空间和垂 1 球面上单位切丛丑s 鼽+ 1 的几何引言 直子空间，给出了单位切丛正s 夸n + - 上s a s 出度量的表达式利用g y s i n 序 列求出了正s 2 n 的上同调群 在3 利用g r a s s m a n n 流形a ( 2 ，2 n + 2 ) 上的示性类定义了正s 耕1 上的一 个c a f i b r a t i o np ，证明了l 2 n + l ( 见( 7 】) 是p 的积分子流形，从而l 2 州是所在 同调类中体积最小的子流形 在4 讨论了h o p f 向量场垤，计算了它的体积证明了当且仅当n = 1 时，瞻是p 的积分子流形采用切丛了苫2 n “上不同的联络，可以证明h o p f 向量场都是s 2 时1 上体积最小的单位向量场 2 球面上单位切丛n s 2 - + l 的几何1矢丛上的s a s a k i 度量 l 矢丛上的s a s a k i 度量 设m 是n 维黎曼流形，丌：e m 是m 上的黎曼矢丛，纤维型是舻 是纤维上的度量，全体c o o 截面记作r ( e ) 设d ：r ( s ) 一r ( t + m o e ) 是e 上的黎曼联络设开集ucm ，在r - 1 ( u ) 上处处线性无关的幺正截面 s 。，池下，联络d 可以表示为 七 d s 。= 醒5 口，瑶+ 嵋= 0 d = l 设e 1 e n 是u 上的幺正标架，u ，u “是其对偶，存在u 上g 。函数 r 毛，使得啦= r 曼u t 1 任意p m ，e 7 r - ，) ，我们把t , e 中所有与纤维相切的向量的集合称为 e 处的垂直子空间，记作k ( e ) 设7 ( t ) 是m 上过p 的曲线，7 ( o ) = p ，彳( t ) 是 e 上过e 的曲线，彳( o ) = e 如果”( 彳( t ) ) = 7 ( t ) ，称彳( t ) 是7 ( t ) 在e 处的提升 曲线进一步，若q ( 。) 4 ( t ) = 0 ，称彳( ) 是，y ( t ) 在e 处的水平提升曲线，这时 寺( o ) 叫做e 处的水平切向量，所有水平切向量的集合称为水平子空间，记作 鼠( e ) 这样有直和分解 疋e = 日；( e ) o k ( e ) 利用皿( e ) 与耳m 同构，k ( e ) 与, i t - 1 ( p ) 同构定义e 上度量如下： 对任意x ，y 正e ，x = x h 4 - x y ，y = y 日+ y y ，令 e = f4 - 上式中 m 是底流形m 上的黎曼度量， 是纤维g - - i ( p ) 上的欧氏内 积这样定义的度量称为e 上的s a s a k i 度量，由定义可以看出此度量由e 的水平子空间和垂直子空间决定 球面上单位切丛正s 饥+ 1 的几何l矢丛上的s a s a l d 度量 下面讨论s a s a l d 度量在局部标架下的表达式 定理1 切空间t e 的局部基是 杀一毛于曼圹导，i 乩，礼；酽0 ，q 乩，惫 t e 的对偶空间t + e 的局部基是 d x ，i = 1 ，礼；由。+ 亍备护d x d y 。+ 雌以o t = 1 ，k t ，口卢 证设s l t 恿是ucm 上幺正截面，。：圭y a s a 的矢丛坐标是( 。，掣) 口= l 。= ( 。t ，护) 是7 r ( e ) 的坐标，y = ( y 1 ，y ) 是纤维坐标在此坐标下， a 可 构成k e 的基 下面计算风e 记7 ( t ) = ( z 1 ( t ) ， 沿曲线7 的截面联络d 在截面s 。 a a ! z “( t ) ) ，s ( t ) = ey 。( t ) s 。= ( z ( ) ，! ，0 ) ) 是 a 因此， d s = f f 鲎d t + 丢瑶等以t ) j 鼢 巩s = 0 的充要条件是喾+ 圪警y 。( t ) = 0 另一方面，e 中曲线s ( t ) 的切 向量场是 ds=莩一dx万c9+善譬dya驴o_dt d td t 争如t ?国a 若s ( t ) 沿，y 平行，则 塞= e 警刍一e 圪譬旷( ) 刍 = e 警【杀一恐( 7 ( t ) ) 旷( t ) 南】 这样证明了在局部丛坐标下。见e 由 4 zd p 谁 n 1 。谢 | | 域口知 u 。阻 = d n = 旦妒 旷 p m _ r 叩 一 旦掰 球面上单位切丛n s 2 n + 1 的几何l矢丛上的s a s a k i 度量 生成 不难算得对偶空间的局部基：d x ，d y 。+ 亍豁护彬= d y 。+ 嵋矿定理 1 得证 记u 。= d y 。+ 皤矿，e 上的s a s a k i 度量在坐标下表示成 其中g i j = 村 采用m 上的幺正标架场e l ，一，e f l 设s ：m e 是一个可微截面下面计算嵌入子流形s ：m e 关于 s a s 出度量d s 刍的体积 采用上面的记号，s 的坐标是( z 1 ，矿，y 1 ( z ) ，矿( z ) ) ，这时d y a = ( e i y 。) = 1 u 。在此坐标下表示成 r ( u 。) = ( e ：( 可。) + 可4 r 刍) u t 从而 s ( d s 刍) ：量t ) 。+ 圭( s t u a ) 。 = 莹( 幻+ ( e t ( g a ) + g 口u 盆( e ，) ) ( e j ( 可。) + 9 4 以( 勺) ) ) u 。 = e ( + e ) u 截面s 关于度量d s 刍的体积是 州( s ) = 厶征而面川肘 其中a = ( o 玎) ，o u = e 这与文献( 7 】中给出的体积公式 州( s ) = 厶俩而面而而m 5 ， 。1 +一 dp如 。触 = 2 e 如 q u 。1 +r u 。：i 1 | 2 e sd 球面上单位切丛n s + 1 的几何l矢丛上的s a s a t d 度量 是一致的 因为对任意不全为零的实数鼢，t = l ，他，有 a i j x i x j2 0 i = 1 j = l 所以矩阵a 是半正定的由公式可知v o l ( s ) v o l ( m ) ，当8 是平行向量场， 即d s = 0 时，v o l ( s ) = v o l ( m ) 6 球面上单位切丛乃s 鼽+ 1 的几何2噩s 缸+ 1 上的几何 2t 1 s 2 n + 1 上的几何 r 孙+ 2 是2 n + 2 维欧氏空间， 是其上的欧氏内积，v 是关于 的 黎曼联络s 孙+ 是r 鼽+ 2 中的单位球面，包含映射i ：s 拥+ 1 一r 2 2 是嵌 入， 限制在s 2 州上得到球面上的黎曼度量 设d 是s 2 n + 1 上由联络v 诱导的联络，d = 矿v ，( 诱导联络的具体定义 见【1 3 】) 点e 1 s 孙+ 1 处的切空间为正，s 鼽“= x r 2 ”2i = o ) ， t s 2 ”1 = u e 跏+ 1e s 抽” 是s “+ 1 = x t s 轨“ii x i = 1 ) 是s 2 上单位切矢的集合，叫做球面上的单位球丛 丑s 加+ 1 可以表示为 丑s 2 “+ 1 = ( e 1 ，e 2 ) r 2 n + 2 r 2 - + 2ii e l i = i e 2 i = 1 ， = o ) 因此单位球丛丑s h + 1 同胚子s t i e f e l 流形v ( 2 ，2 n + 2 ) 记孔s 2 ”1 上的s a s a k i 度量为d s v ( 2 ，2 n + 2 ) 是r 2 2 r + 2 中的嵌入子流形，其上的度量由欧 氏内积诱导得到，记作d s 参这两种度量并不相同 首先证明下面的两个引理 引理1 切空间噩e l , e 2 ) s 2 “+ 1 ) 由( e 2 ，一e 1 ) ，( e 。，o ) ，( 0 ，e 。) 生成，q = 3 ，2 n + 2 丑弘+ 1 在r 2 ”2 r 鼽+ 2 中( e 1 ，e 2 ) 处的法空间由( e 2 ，e 1 ) ，( e l ，o ) ，( 0 ，e 2 ) 生成 证孔s 2 竹+ 1 中的点局部可以用( e 。，e ：) 表示，e 。，e 。幺正，将e 。，e 。扩充成 r 轨+ 2 上的一组幺正基e 1 ，e 2 ，e 2 。+ 2 这时( e l ，e ：) 可以看作正s 饥+ 1 上的函 数， ( e l ，e 2 ) ：五s 加+ 1 _ r 2 2 r 饥州 7 球面上单位切丛n s 凯+ 1 的几何 2丑s 2 “+ 1 上的几何 有矗s 知+ 1 上的1 一形式u ，嵋，使得 2 n + 2 d e t = u e 2 + “， e 。 o = 2 利用活动标架法： ( d e l ，d e 2 ) 2 n + 2加+ 2。 ( u e 。u ；印) 口= 2口= 1 3 u ( e 2 ，_ e 1 ) + 2 量t * + 2 u ，。) + 2 量n + 2 u 瓢e 口) ，( + ) 可知丑e l , e 2 ) s 2 州) 由( e 。，一e 1 ) ，( e 。，o ) ，( 0 e q ) 生成，u 刍u ，蠼为其对偶基 由d i m t ( e l , e 2 、( a s + 1 ) = 4 n + l ，d i m ( r 2 ”+ 2 r 2 “+ 2 ) = 4 n + 4 可得丑s 2 “+ 1 在 r 2 2 胪+ 2 中( e - ，e 2 ) 处的法空间的维数是3 容易验证：( e 。，e 1 ) ，( e ，o ) ，( 0 ，e ：) 生成( e 。，e 。) 处的法空间 引理2 单位切球丛r ：t 1 s 2 + 1 _ s 2 1 ，下( e 1 ，e 2 ) = e 1 点e l s 2 叶1 处的切 空间由e 2 ，+ 2 生成e 2 ，e 。在五s 2 ”1 上( e l ，e 2 ) 点处关于联络d 的水 平提升分别是( e 。，一e 1 ) ，( e 。，o ) 因此( e 。一e 1 ) ，( e 。，0 ) 构成( e 泓。) 处的水平子空 间，( 0 ，) 构成垂直子空间，这里a = 3 ，2 n + 2 证设1 ( t ) = e l c o s t + e 2s i u t 是s 2 n + 1 上的一条曲线，1 ( o ) = e l ，( o ) = f i 2 彳( t ) = ( e 1c o s t + e 2s i n t ，一e ls i n t + 8 2 c o s $ ) 是7 ( t ) 在正s 2 叶1 中( e l ，e 2 ) 处的提升 曲线，专( o ) = ( e 。，一e 。) 这时 v ( ) 彳( t ) = v h 蔷( 一e ls i n t + e 2 c o s t ) = 岳( 一e ls i n t + e 2c o s t ) = 一e lc o s t e 2s i n t = - 7 ( t ) 由于，y ( ) 也是s 2 n “在7 ( t ) 处的法矢，由子流形的基本方程可得 d 1 ( ) 彳( ) = v ，( ) ( t ) 一 7 0 ) = 一，y ( t ) + 1 ( ) = 0 8 口 0 2 u 觯瑚 + eu 一一 ed j j j j 疗 e l 忙 d 球面上单位切丛n s 2 n + 1 的几何2a s 2 n + 1 上的几何 这说明彳( ) 沿着1 ( t ) 是平行的，因此e 。在( e t ，e 2 ) 处的水平提升是( e 2 ，- e 1 ) 对用同样的方法，取7 ( t ) = e lc o s $ + e 。s i n t 是s 槲1 上的一条曲线， 1 ( o ) = e l ，( o ) = e a 彳( t ) = ( e lc o s t + e 。s i n t ，e 2 ) 是7 ( t ) 在丑s h + 1 上( e l ，e 2 ) 处的 提升曲线，寺( o ) = ( e 。，o ) 由v ，( t ) ( t ) = v 。击8 2 = 0 ，可得d ( c ) ( t ) = 0 从而e 口在( e 1 ，e 2 ) 处的水平提 升是( e 。，o ) 取纤维中过( e 。，e ：) 的曲线彳( t ) = ( e 。，e 2 c o s t + e 。s i n t ) ，4 ( o ) = ( 0 ，e 。) 是切 于纤维的切矢量 结合引理l ，上面的讨论表明( e t ，一e 1 ) ，( e 。，0 ) 构成点( e 。，e 。) 处的水平子空 间，( 0 忍) 构成垂直子空间 有了上面的两个引理，我们可以得到 定理2 丑s 鼽“上的s a s a k i 度量是 v ( 2 ，2 n + 2 ) 上由r 2 “+ 2 舻。+ 2 上欧氏内积诱导的度量是 证由1 的讨论知道矢丛上的s a s a k i 度量由水平子空间和垂直子空间决 定再由引理l 和引理2 可得 另一方面，根据诱导度量的定义及( + ) 式，可得 d s ；= ：知 。 + 氅2 u 。 + a = 3 注：从d s ；，d s 2 的表达式不难看出两者的区别在于：从d s 转化为d s 刍只 需在( e 2 i e 。) 方向上的长度乘以、互，而与( e z ，一e t ) 垂直的方向度量不变 9 n 2 o 口2 u 一嘲 + 口1 u o 口1 u 础 | | sd 嵋 p q 2 u 瞄 + u 0 a 1 u 互 uou2 = d 0 2 up 嵋 眦瞄 + q l up a 1 u c = 霹 d 球面上单位切丛丑s 轨+ 1 的几何 2孔s 2 n + 1 上的几何 设西是t , s 2 州上关于度量如 的黎曼联络，下面我们计算万和它的结 构方程 因为t i s 凯+ t 是嵌入到欧氏空间r 加+ 2 r 2 ”2 中的子流形， d ( e 2 ，一e 。) = u ( e ，e ：) + u ；( e 。，o ) 一u ( o ，e 口) ， 1l d ( e 。，o ) = u ? ( 一e 。，0 ) 一；u ；( e z ，一e 1 ) 一；u ；( e 2 , e 1 ) + u ：( e 口，o ) ， d ( 0 , e a ) = 一17 ( e 2 , - - e i ) 一拶1 e 2 ，e ) + u 黔一e 2 ) + 莓醒阶) 由子流形理论，将上面三式中与丑妒z 垂直的部分去掉得黎曼联络万， 百( e 2 ，一e 。) = u g ( e 。，0 ) 一u f ( o ，8 口) ， q a 西( e a ，o ) = 一j l w 2 c * ( e 2 , - - e 1 ) + 吾醒( e 口t o ) ， 面( o 心) 2i l w l a ( e 2 ，- e 1 ) + 吾。驰e 口) 计算可得联络西的结构方程为 如 = u ；a ( 一；啦) + 0 2 2 。a ( ；u ? ) ； n _ q 。 扎 = u a u 呈，止j 拿= u 拿 u ? ； 蠼+ 2 = 0 ，u ? + “亡= 0 ，以+ 嵋= 0 下面计算n $ 2 - “上的上同调群 考虑g y s i a 序列( 见【1 ) 一h p ( t , s 鼽+ 1 ) 马日p 一鼽( s 2 州) 乌日p + 1 ( s 洲) 二h p + 1 m s 2 州) 一， 其中几表示沿着纤维积分，e 是s 鼽“上的欧拉类，矿是拉回映射 因为s 2 ”1 是奇数维球面，这时欧拉类e = o ( 见【1 】) 上面的序列可化为 短正合序列 0 _ h 9 ( n s 轨+ 1 ) 与日p - 2 “( s 2 “+ 1 ) 一0 ， 球面上单位切丛乃s 2 叶1 的几何 2噩s 缸+ 1 上的几何 。一日卅1 ( s 鼽+ 1 ) 二1 s 2 州) 一0 由序列的正合性，知道仉是同构而 州妒1 ) ： 9 _ 0 , 2 n + l 10 ，口0 ，2 n + 1 可得 h o ( 丑s 2 n + i ) = h 2 ”( 丑s 2 n + 1 ) = h 4 n + l ( 冗s 2 n + 1 ) = z h 。( 五s h + 1 ) = 0 ，q 0 ，2 n ，4 n + 1 1 l 球面上单位切丛乃s 鼽+ 1 的几何3 噩s 鼽+ 1 上的c a l i b r a t i o n 3t l s 2 n + 1 上的c a l i b r a t i o n 2 主要讨论了乃s 凯“上的几何，本节我们利用c a l i b r a t i o n 进一步讨论 噩s 2 n + 1 首先简单介绍一下有关c a l i b r a t i o n 的知识 设是几维r i e m a n n 流形m 上的闭七形式，且对任意p m ，b m 中任意 惫个幺正向量t ，h 一， o k ，都有( t ，1a a v ) 1 ，称是m 上的一个c a l i b r a t i o n 如果日为m 的k 维定向子流形，对任意p h ，l h 的定向幺正基e h 胁 都有( e la ae ) = 1 ，这时称日是c a l i b r a t i o n 的积分子流形 引理3 设维定向子流形日与膏是m 中岛+ 1 维子流形c 的边缘，即 阳= 日一百，且日是m 的c a l i b r a t i o n 的积分子流形，这时 3 h 曲h 墨j h 矾叠、j hj “ 其中d 翰，d 瞻分别为h ，霄上体积元 证设包含映射i ：h m ，i ：万一m ，分别有h ，耳上的函数g l - i ，g 厅，使得 联= g l ，d v h ，踞= 9 膏d 瞻 设e 。，e 。，e 女为日的定向幺正基，e 。，e 。，靠为耳的定向幺正基日是 m 的c a l i b r a t i o n 的积分子流形，d y m ( e 1 a e 2 a a e ) = 1 ，d ( l 如 靠) = 1 ， 因此 ( e lae 2 a ae k ) = g h = 1 ， f ( e 1ae 2 a a 蟊) = 踞1 ， 应用s t o k e s 定理，由o c = h 一耳得到 q = l c 妖= l h p 乏一j 乒= u d v h b 所以 f hd v m = l i g 再a v 毳sj i d v 再 球面上单位切丛噩s h + 1 的几何3 矸s + 1 上的c a l i b r a t i o n 等式成立，g 厅三0 ，这时霄也是c a l i b r a t i o n 的积分子流形 引理3 说明日是同调意义下体积最小的子流形 设g ( k ，n ) 是欧氏空间舻中所有定向南维子空间构成的g r a s s m a n n 流形 对于茹g ( 2 ，2 n + 2 ) ，取它的一组定向幺正向量e 1 ，e 2 ，z 可以表示成e 1 ae 2 以 下设i ，j = 1 ，2 ，a ，p = 3 ，一，2 n + 2 由丁( e l 渤) = e l ae 2 定义了一个主丛7 - ：丑s 凯+ 1 一g ( 2 ，2 n + 2 ) ，纤维型是 s o ( 2 ) 定义g ( 2 ，2 n + 2 ) 上的矢丛7 r 1 ：e a ( 2 ，2 n + 2 ) ，7 r f l ( e 1ae 2 ) 是由e l ，e 2 生成的r 2 - + 。的2 维子空间，所以e - ，e z 可以看成在uca ( 2 ，2 n + 2 ) 上的截 面 由如= 蠢e j + 嵋e 。给出矢丛e 上的联络 ， “ d 岛= e q e j 由d 2 e t = d 0 勺一d e j = ( d 珥一e 心a 氓) e ，可知曲率 22 n + 2 噶= 蹦一 = 嵋 以= 一衅 哼，硝十q ；= 0 k = l a = 3 因此矢丛丌。的e u l e r 类可以表示为 12 n + 2 e ( e ) 。寺互。? u ； 同理，定义g ( 2 ，2 n + 2 ) 上的矢丛7 r 2 ：e 上一g ( 2 ，2 n + 2 ) ，它在e 1 ae 2 上的 纤维是由e ”一 e 2 。+ 。生成的r 2 叶。的2 n 维子空间计算可得矢丛丌2 的e t h e r 类： e ( e 上) = 矗嘉岛磋? 2 讯n + 2 ( 峨1 。 u + 咄2 ， u ) ( c o t 2 _ , a c o l 2 “十叫2 ：。，、w 。i 2 “) 定义单位切丛噩s “+ 1 上2 n 形式 f2 南磺：! 嚣2 u + u 堙) ( u p l u ；2 “+ 谚1 u y - ) 可以证明是g ( 2 ，2 n + 2 ) 上的c a l i b r a t i o n ( 见【1 2 】) 利用超渡( 见【3 】) r e ( e ) = 一咖，叩为t t s 2 “+ 1 上的l 一形式可取叩= 。1 - - 。o f f 定义n s 2 ”1 上2 n + 1 形式 p = u ：a 球面上单位切丛噩s 加+ 1 的几何3 丑铲1 上的c a l i b r a t i o n 当n = 1 时，p 就是文【7 】给出的丑s 3 上的c a l i b r a t i o n 定理3 “为五s 加“上的c a l i b r a t i o a 证由 2 n + 2 审= 缸； f + u = 埘 f = ( 一“? 啦) f = 0 ， 毫3 可得p 是闭形式 从耳驴+ 1 ) 中任意2 n + 1 个幺正向量x h ，扎可以得到另一组 幺正基k ，+ 1 ，使得t i 时k 都与( e ：，一e - ) 垂直，这时 u a f ( 确a x 矗+ 1 ) = d f ( m a 】乞+ 1 ) = u ( h ) ( k k 。+ - ) 1 这证明了p 是丑s 2 ”1 上一个c a l i b r a t i o n 设f 2 n 是切丛r ：丑s 2 n + 1 一s 槲。1 在勘s 鼽+ 1 上的纤维， 定义嵌入 f 2 “= ( z o ，y ) ：y s 饥， = 0 ) f ：s 知s 1 一v ( 2 ，2 n + 2 ) ( y ，0 )一( x o c o s 0 + ys i n 0 ，- - x 0 s i n 0 + y c o s 0 ) 我们把这个映射的象记作l 2 - + 1 ( 见 7 】) ，l 2 州是置s 2 n + 1 = v ( 2 ，2 n + 2 ) 的一个 子流形 定理4l 2 - + 1 是p 的积分子流形 证记a 1 = z oc o s 0 + y s i n 0 ，a 2 = 一z os i n 0 + y c o s 0 由 ( 2 ，一a 1 ) 硼+ ( s i n 0 ，c o s o ) d y 2 n + 2 ( e 2 ，一1 ) a o + ( s i np 自，c o sp a 。) o i = 3 可知l 2 n + 1 的切空间的基是( 2 ，一d 1 ) ，( s i n o 3 ，c o s o i 3 ) ，( s i n o 2 ，i + 2 ) c o s o a 2 。+ 2 ) 上面用到d 可：2 彗2 邑。t ，3 ，e 2 。+ 2 是s 2 n 上一组幺正标架 i = 3 1 4 球面上单位切丛丑s 2 n + l 的几何3 五s 2 1 上的c a l i b r a t i o n 在s a s a k i 度量下，i ( e 2 ，一e 1 ) l = 1 ，i ( s i n 0 毛，c o s 0 , ) i = i ( s i n ，c o s 口e 3 ) a a ( s i u 02 ，c o s 0 锄+ 2 ) = 磁：餮2 ( ( s i n e e i i c o s 口甜a ( s i n o i ，c o s e a i 。) ) ，因此 p ( ( 西，一1 ) a ( s i n 0 9 3 ，c o s 8 3 ) a a ( s i n p b + 2 ，c o s 8 2 n + 2 ) ) = 薯( ( s i n p 西，c o s 口3 ) a a ( s i n p a 2 。+ 2 ，c o s 8 e 2 + 2 ) ) = 醴：餮2 ( ( s i n 8 自。，c o s 0 邑。) a a ( s i n e 邑：。，c o s 0 e ，。) ) = 1 这证明了三加+ 1 是p 的积分子流形 定理4 说明在l 耕1 所在的同调类内，工轨“是乃s h + 1 的体积最小的 子流形设是飓叶t s 鼽+ 1 ) 的一个生成元，文f 7 】证明了在同调群中， 【l 2 州 _ 2 而对下面定义的h o p f 向量场瞻有 】_ 球面上单位切丛噩s 2 “+ 1 的几何 4h o p f 向量场 4h o p f 向量场 设s 2 1 = ( 轧，+ ，) 俨+ 1l j z , 1 2 = 1 ) 是复欧氏空间c 1 中的 球面，c p 是复射影空间定义h o p f 映射丌：s 孙+ 1 一c p ，丌( z ) = 阱易见 7 1 - - 1 ( = 地ia s 1cc ，h o p f 映射的纤维是单位圆s 1 设7 ( 口) = e i s z 是纤 维中的一条曲线，则有，y ( o ) = z ，( o ) = = t z 令z i = + 佩，y t r ，c n + 1 与r 2 2 有如下的一一对应 ( z 1 ，+ 1 ) h ( x 1 , y 1 ，z “+ 1 ，y “+ 1 ) 在上述对应下 了( 轧，+ 1 ) h ( 一y 1 ，z 1 ，一y 州，z 州) 利用上式得到定义在r 2 ”。上的复结构j ：r 2 - + 2 一r z ”z ，使得 j ( x 1 ，y 1 ，z “+ 1 ，y “+ 1 ) = ( 一y 1 ，z 1 ，t ，一y 4 + 1 ，z “+ 1 ) 设e 1 e 2 t l + l 是辟”2 中一组幺正标架，使得j e 2 。一i = e 2 。，s = l ，n + l 映射z 一止定义了t , s ：n + 上一个向量场 _ 噩s 2 n + 1 一( 6 1 ，j e l ) 叫做h o p f 向量场下面计算在定理2 中给出的度量d s ：，d s ! 下向量场 的体积 从定义知道，瞻可以看作正p + 1 的子流形，它上面的点局部用( e 。，j e 。) 表示由 2 n + 2 d ( e l ，j e l ) = ( d e l ，d j e l ) = ( d e t ，j d e l ) = u ? ( e d j e 。) 口z 2 1 6 球面上单位切丛噩s 2 1 的几何 4h o p f 向量场 可知垤作为子流形的基底是( e 。，j e 。) ，对偶基是u 这时 2 n + 2 瞄( d s i ) = u ；o u ：+ 2eu ? 固u ? a = 3 从而h o p f 向量场垤关于孔s 2 时1 上两种度量的体积分别是 v o t ( y ) l = 2 “v o l s 鼽+ 1 ， v o t ( y ) 2 = 2 互v o l s 2 “+ 1 定理5 嵌入子流形：s h + 1 一t 1 s 2 “是全测地的 证( e 。，j e 。) 给出上一点的邻域， 2 n + 2 d ( e t ，j e l ) = u ? ( e 。，j e 。) ， a = 2 d 2 ( e l ，j e l ) = 山? ( e 。，j e 。) + w ( d e 。，j d e 。) = d u ( e 。，j e 。) + u a u g ( e 卢，j e 卢) 因为( e 。，j e 。) 与垤相切，所以在五s 2 n + 1 中第二基本形式l i = 0 从而坛 是a s 獬的全测地子流形 定理6 当且仅当n = 1 时，h o p f 向量场是肛的积分子流形 证h o p f 向量场作为噩s 2 n + 1 的子流形的基底是( e 。，一e 1 ) ，( e 。，j e 。) ，q = 3 ，2 n + 2 在s a s a l d 度量下，i ( e 2 ，一e 1 ) l = 1 ，i ( ，j e 。) i = 2 当n = 1 时，p = u a ( u a u + u ；a u ；) p ( ( e z ，- e 1 ) a 学a 生铲) ；i ( u a u + 。；a u 2 ) ( ( e 3 ，e 4 ) ，( e 4 ，一e 3 ) ) = 1 1 7 uo a 1 u 三 2 i | 嗡 球面上单位切丛矸s 知+ 1 的几何 4h o p f 向量场 当n 2 时，不妨设j 一z = j e 缸的展开式共有( 2 n ) 1 2 “项，其中必有 某些项作用在( ( e 3 ，e 4 ) a a ( e 。+ 2 一e 2 n + 1 ) ) 上等于0 ，所以 卢( ( e 2 ，一e 1 ) a 学a a 虹与产) = 击( ( e 3 ，e 4 ) a a ( e 2 n + 2 i e 2 n + 1 ) ) 1 定理得证 下面定义切丛t s 加“上的其它联络得到切丛上不同的s a s a l d 度量 利用i - i o p f 向量场得到s 2 n + 1 上切丛的垂直分解t s 2 叶z = e 1oe 2 ，e 1 由 翰生成定义切丛t s 2 , , + 1 上的联络万：它在e ，上是平凡的，对任意x r ( 岛) ，孤由d x 投影到恳上得到设垤，e 。，e 2 n + ，是s 孙+ - 上一组局部 幺正切向量场，这时s t s 2 n + ，可以表示为s ：g 瞻+ 2 n + 1 可a e 。， a = 2 2 n + 1 s = d y l v h + ( d y 。+ 护u ；) e 。 o = 2口 记u 。= d y 。+ 毒可4 嵋，由联络万定义的t s 饥+ 1 上的s a s a l d 度量是 2 n + 2翱+ l d s 备= ( u i ) 2 + ( d y l ) 2 + ( u 。) 2 ， i = 2 o = 2 其中警2 ( u i ) 。是s 饥+ ，上的度量 s 孙+ 1 的体积元是d v = u u ”2 ，这时7 r + d y 是t s 2 ”1 上的c a l i b r a t i o n ， 显然h o p f 向量场是它的一个积分子流形这时v o l ( v ) = v o l ( s 2 州) ，由此得 到 定理7 由联络万得到的s a s a k i 度量下，h o p f 向量场是s u + l 上体积最 小的向量场 从上面的讨论可以知道，如果y 是球面s 2 n + 1 上的一个单位向量场，那 么存在丁s 2 1 上的s a s a k i 度量，使y 的体积就是s n + - 的体积，从而它是体 积最小的向量场 1 8 球面上单位切丛n s 2 n + 1 的几何 结论 本文给出了矢丛上s a s a k i 度量的局部表示，特别得到了单位切丛正s u + 1 上的s a s a k i 度量的表达式在此度量下计算了s 饥+ 1 上h o p f 向量场的体 积，由g y s i n 序列得到了丑s 2 n “的上同调群利用g r a s s m a n n 流形上的示性 类定义了噩s 2 n + 1 上的c a l i b r a t i o n 肛我们证明了 定理4l 2 n + 1 是弘的积分子流形 定理6 当且仅当n = 1 时，h o p f 向量场是p 的积分子流形。 定义切丛t s 。州= 蜀oe 2 上的联络万：它在且上是平凡的，对任意 x r ( 易) ，放由d x 投影到场上得到由此得到： 定理7 由联络万得到的s a s a k i 度量下，h o p f 向量场是s 2 - + 1 上体积最 小的向量场 球面上单位切丛丑s 2 n + 1 的几何 参考文献 参考文献 f 1 】b o t tr a n dt ul w ，d i f f e r e n t i a lf o r 瑚i na l g e b r a i ct o p o l o g y , s p r i n g e r - v e r l a g ， n e wy o r k ，1 9 9 9 【2 】2 b r i t oa n dj o h n s o nd l ，v o l u m n m i n i m i z i n gf o l i a t i o n so ns p h e r e s ，p r e p r i n t 【3 】c h e r nss ，as i m p l ei n t r i n s i cp r o o fo ft